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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

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  • PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES

    TRANSFORMADA

    DISCRETA DE FURIER

    LABORATORIO N5

    ING. ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES

    PROFESOR:

    GUSTAVO PAZ PURISACA

    ALUMNA: CANCHARI LA ROSA SAYUMI 2015

  • MARCO TEORICO:

    El algoritmo para la FFT explota las propiedades de simetra de la exponencial compleja discreta en el tiempo para reducir el nmero de multiplicaciones. Para evaluar una transformada discreta de Fourier con N muestras el algoritmo de la FFT encuentra su eficiencia cuando N es una potencia de 2. Esta restriccin no afecta el uso prctico de la FFT ya que la longitud de h(n) puede ser incrementada a la siguiente potencia de 2 aumentando el nmero adecuado de ceros.

    Debido a la naturaleza discreta del ndice de tiempo para seales de tiempo discreto, el escalamiento en tiempo y en frecuencia asume una forma diferente con respecto a la de tiempo continuo. Sea x(n) una seal con espectro X(w). Consideremos la transformada Y(w) de y(n).

    1

    Sustituyendo m=-n en la ecuacin 1 obtenemos que:

    2

    Esto es, aplicando la transformada de Fourier:

    3

    Aunque la ecuacin 3 es anloga al caso de tiempo continuo, la deferencias surgen cuando tratamos de escalar en tiempo y en frecuencia en lugar de invertir el eje de tiempo.

    El resultado que puede ser paralelo a la ecuacin correspondiente al anlisis de tiempo continuo es el siguiente:

    Si n es un mltiplo de k

    Si n no es un mltiplo de k

  • Sea k un entero positivo y definamos la seal.

    Algoritmo Analtico de decimacin para la FFT.

    Consideremos h(n) para n mayor que cero y menor que N-1, dividiremos la transformada discreta de Fourier en dos sumatorias: una para las muestras pares y otras para las muestras impares, de la siguiente manera.

    Ambas sumatorias aparecen en la forma de un punto de N/2. Consideremos a hp(n) como la secuencia para las muestras pares y hi(n) como la secuencia para las muestra impares. De la misma forma tendremos que Hp(k) ser la FFT para las muestras pares y Hi(k) para las muestras impares. Considerando lo anterior tenemos que:

    Esta tcnica es comnmente conocida como decimacin. En realidad la decimacin de las secuencias anteriores se puede continuar hasta llegar al punto en el que slo se pueda tener una sola muestra por sumatoria. Es necesario, como ya se haba mencionado anteriormente que el numero de muestras N se una potencia de 2, es claro que de lo contrario la tcnica anterior sera de poca utilidad. Para lograr siguientes decimaciones las dos sumatorias obtenidas de la primera decimacin sern ahora consideradas como expresiones originales de H(k) y sern por lo tanto sujetas a sus propias decimaciones a partir de sus muestras pares e impares.

    La tcnica de decimacin en efecto reduce el nmero de clculos que debemos realizar para llegar a un resultado final al realizar una DFT, sin embargo esta reduccin es realmente significativa ciando el nmero de muestras N es muy grande.

  • 1) PROPIEDAD DE LINEALIDAD en la Transformada de Fourier

    En etse caso la funcin generada ser [y1,y2]=linealidad(n) y para su

    construccin habr que efectuar las siguientes operaciones:

    *Crear una imagen aleatoria x1

    *Crear otra imagen aleatoria x2

    *Calcular los espectros de cada una

    de ellas, denominados x1 e x2

    *A partir de las dos imgenes

    anteriores obtener una nueva imagen

    x=ax1+bx2, siendo a y b los

    valores de cada alumno quiera elegir. Para hacerlo de forma ms elegante

    pueden generarse estos valores tambin de forma aleatoria pero

    comprendido entre 0 y 8.

    *Calcular el espectro X de la nueva imagen.

    Como esta ser una de las salidas de la

    funcin, deber renombrarse como valor y1.

    *El espectro de la seal X se calculara

    utilizando los espectros individuales, para ver

    si se cumple la propiedad. Se har y2=aX1

    +bX2

    Est claro que si se cumple la propiedad de

    linealidad de los espectros y1 y y2 debern

    coincidir completamente.

  • 2) PROPIEDAD DEL DESPLAZAMIENTO en la Transformada de Furier

    En este caso la funcin generada ser [y1,y2]=desplazamiento(n) y para su

    construccin habr que efectuar

    las siguientes operaciones:

    *Generar una imagen aleatoria x1

    de dimensiones nxn

    *Colocarla dentro de otra matriz de mayor tamao que se habr generado

    anteriormente toda completa de ceros, formando con ella la matriz x11.

    *Calcular el espectro de esa imagen x11.

    *Calcular el modulo del espectro y1.

  • *Construir otra nueva imagen x12 colocando la matriz x1 dentro de la gran

    matriz de ceros pero en otra posicin diferente a la del apartado b.

    *Calcular el espectro de es una imagen x12.

    *Calcular el modulo del espectro y2.

    Se podr comprobar que los mdulos de ambas transformadas coinciden,

    con lo que se confirma que se cumple la propiedad de que desplazando la

    imagen el modulo del espectro no se modifica, pero si lo hace a travs de la

    relacin conocida.

  • 3) PROPIEDAD DE SEPARABILIDAD en la Transformada de Fourier:

    En este caso la funcin generada ser [y1,y2]=separabilidad y para su

    construccin habr que efectuar las siguientes operaciones:

    *Crear un vector columna aleatorio x1 de n elementos, lo que quiere decir

    que solamente depende de la dimensin y.

    *Calcular la transformada

    X1.

    *Crear un vector fila

    aleatorio x2 de n

    elementos, lo que quiere

    decir que solo depende y.

    *Calcular la transformada

    X2.

  • *Calcular la imagen x3 obtenida del

    producto matricial de los dos vectores

    anteriores f=f1*f2. El resultado ser una

    matriz cuadrada de tamao nxn. Observar

    que no es independiente el orden de

    multiplicacin de matrices

    *Calcular la transformada y1 de la imagen

    x3.

    Efectuar el producto matricial de las dos

    transformadas x1 y x2 comprobando que

    coincide con el valor anterior y2=X1*X2.

  • 4)PROPIEDAD DE LA

    SIMETRIA CONJUGADA

    en la Transformada de

    Fourier

    En este caso la funcin

    generada ser

    y=simetra(n) y para su construccin habr que efectuar las siguientes operaciones:

    *Crear una imagen leatoria x1 de tamao nxn

    *Calcular su Trabnsformada de Fourier X1, que ser la variable de salida

    *Observar directamente sobre el espectro de la simetra.

    *aplicar la funcin anterior para el caso de n=6 y para ese caos en concreto rellenar

    la siguiente Tabla, de manera que en cada celda se inscribir el valor de la posicin

    del elemento que es el

    conjugado del valor que

    se encuentra sobre la

    Transformada en la

    posicin inscrita.

  • 5) Comprobar PROPIEDAD DE LA ROTACION en la Transformada de Fourier

    En Este caso la funcin generada ser

    [y1,y2]=rotacin(n,a) y para su construccin

    habr que efectuar las siguientes

    operaciones:

    *Crear una imagen aleatoria x1 de tamao

    nxn

    *Calcular su espectro y1.

    *Crear una imagenx2 que sea una rotacin de

    la imagen x1

    Si a=1 rotacin de 901 ala derecha

    Si a=2 rotacin 1801

    Si a=3 rotacin de 901 ala izquierda

    *calcular el espectro y2

    *Comprobar las

    relaciones entre los

    espectros y1 e y2.

  • 6) PROPIEDAD DE ESCALADO en la Transformada de Fourier

    En este caso la funcin generada ser [y1,y2]=escalado(n) que intenta

    comprobar que un estiramiento en el espacio se traduce en una comprensin

    en frecuencia. Para su construccin habr que efectuar las siguientes

    operaciones:

    *Crear una imagen aleatoria x1 de tamao

    nxn.

    *Calcular su espectro y1.

    *a partr de x1 crear una imagen x2

    construida de manera que se intercalen dos

    ceros entre cada uno de los valores

    originales, incrementando, por lo tanto, su

    tamao por tres en cada una de las dos

    dimensiones.

    *calcular el espectro y2 de esta nueva

    imagen x2

    *Comprobar que el espectro se repite tres

    veces. Para apreciar este detalle, es posible

    que convenga tratar al mdulo de la

    Transformada como si fuese una imagen y

    visualizarla.

  • 7) PROPIEDAD DE RELLENADO CON CEROS en la transformada de Fourier

    En este caso la funcin

    generada ser

    [y1,y2]=rellenado (n,n1)

    que intenta comprobar con

    su rellenado con ceros se

    mantiene el mismo espectro, aunque con ms muestras que el de la imagen

    sin rellenar. Para su construccin habr que efectuar las siguientes

    operaciones:

    *Crear una imagen aleatoria x1 de tamao nxn.

    *Calcular su espectro y1.

    *A partir de la imagen x1 de tamao nxn, construir otra imagen de tamao

    mayor rellenado con ceros ala derecha y en la parte inferior, pasando a

    tomar la nueva imagen de dimensin n1xn1.

  • *calcular el espectro y2 de esta nueva seal

    A partir de los espectros y1 e y2 razonar las relaciones entre ellos.

    Comprobar las diferencias entre agrandar la imagen rellenado ceros al final

    (tal como estn en este apartado), y agrandarla interpolando ceros como se

    ha hecho en el punto anterior. Es importante comprobar que tanto en un

    caso como en otro, hay informacin suficiente para poder recuperar las

    misma imagen original a partir de los valores de los espectros, aunque sena

    diferentes entre si. Razonar con detalle estos aspectos

    8) TEOREMA D ELA CONVOLUCION

    Este teorema establece que si se convolucionan dos imgenes, se obtiene

    una nueva imagen que tiene un espectro que podra haber sido calculado

    efectuando el producto de los dos espectros de las imgenes iniciales. Este

    teorema encuentra especial aplicacin para calcular la salida de los circuitos

    conociendo la entrada y la funcin de transferencia del circuito (o su

    respuesta impulsiva), tal como se aprecia en la figura.

    X[m,n]

    X[k,l]

    h[m,n]

    H[m,n] Y[m,n]=x[m,n]*h[m,n]

    Y[k,l]=X[k,l].H[k,l]

  • En este caso, la funcin

    generada ser [y1,y2]=

    convolucin(n) y para su

    construccin habr que

    efectuar las siguientes

    operaciones:

    *Crear una imagen

    aleatoriax1 de tamao nxn

    *Crear una imagen aleatoriax2 de tamao nxn

    *Calcular la imagen x3 como convolucin de las dos anteriores. El tamao ya

    no ser nxn, sino que ser de tamao mayor, concretamente (2n+1)x(2n+1)

    *calcular el espectro y1 de

    la imagen x3

    Calcular el espectro X1 de la

    seal x1, pero rellenado

    previamente con ceros para

    que el tamao resultante

    sea igual que el de la

    convolucin anterior

    *de la misma forma calcular

    el espectro X2.

    *Calcular el producto y2 de

    los espectros de las dos

    imgenes originales

  • OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES:

    Se logr el objetivo de Conocer la FFT de las funciones

    establecida.

    En esta prctica lo que se encontr fue que matlab es una

    herramienta muy til para calcular la transformada de fourier.