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Las principales características de

nuestro sistema de numeración y

sus orígenes históricos.

Rocío Torrado Bea

Índice de contenidos

¿Cómo contamos nosotros? 3

La correspondencia unidad por unidad 4

La talla de muescas 5

Contar con las manos 6

Simplificar mediante símbolos 8

Organizar los símbolos 9

¿Qué pasa con el cero? 10

Los números modernos 11

Presente y futuro 12

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¿Cómo contamos nosotros?

Antes de conocer la historia de los números, vamos a recordar brevemente cómo contamos

nosotros.

Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad, y se representa utilizando

unos símbolos llamados cifras.

Nuestro sistema de numeración utiliza las diez cifras. A

estas cifras las llamamos cero (0), uno (1), dos (2), tres (3),

cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9).

Usamos un sistema de numeración decimal (base 10) donde 10 unidades del mismo orden

forman una unidad del orden inmediato superior.

10 unidades = 1 decena

10 decenas = 1 centena

10 centenas = 1 millar

Es un sistema de numeración posicional, ya que el valor de una cifra depende del lugar que

ocupa en dicho número.

Ejemplo:

1672 = 1000 + 600 + 70 + 2

1672 = 1 x 1000 + 6 x 100 + 7 x 10 + 2 x 1

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La correspondencia unidad por unidad

La forma en que representamos actualmente los números es el resultado de miles de años de

ensayos, tanteos y reflexión por parte de la humanidad, de fulgurantes avances e incluso

retrocesos e involuciones.

Desde que el hombre tuvo la necesidad de contar algo, los animales de un rebaño, los días

que faltaban hasta cierta posición del sol,… buscó la forma de registrar la información para su

uso posterior. Los recursos materiales que utilizaron dependían de la cultura donde estaban

ubicados: guijarros, palitos, conchas, huesos…

Agrupaban un conjunto de elementos en un “conjunto modelo”, de forma que se

correspondiese unidad por unidad con el conjunto que querían contar.

Ejemplo:

Un pastor podía llevar un saquito con cierta

cantidad de piedras. Al terminar la jornada, el

pastor sacaba las piedras del saquito y hacía

entrar a las ovejas en el redil una a una.

Por cada oveja que pasaba, metía una piedra

en el saquito. Si al final había tantas ovejas

como piedras, no había perdido ninguna.

Así, gracias al principio de la correspondencia unidad por unidad, es posible desenvolverse

aunque el lenguaje, la memoria o el pensamiento abstracto sean totalmente deficientes.

El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en

común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen. La

cualidad se denomina número.

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La talla de muescas

Además de utilizar conjuntos de elementos materiales también utilizaban la técnica de la talla

de muescas sobre palos o huesos. Como a primera vista el ser humano sólo puede distinguir

como máximo cuatro muescas consecutivas, empezaron a agrupar las muescas de diferente

manera:

Ejemplo:

Los pastores comenzaron además a diferenciar las muescas, realizando la quinta muesca con

una inclinación distinta a las anteriores. Los números romanos, que todavía usamos, provienen

de esta técnica.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Tiene una serie de muescas marcadas en grupos. Existen varias teorías acerca de su posible uso, relacionadas todas con los números.

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Contar con las manos

Como tenemos diez dedos, casi todas las

culturas han terminado por agrupar las

unidades en grupos de diez.

Sin embargo, el sistema tardó mucho en

ocupar la posición dominante actual. En

distintos períodos históricos, múltiples culturas

inventaron sistemas de numeración diferentes

del decimal.

Base 5

Varias tribus africanas empleaban el sistema quinario (base 5). Es

evidente la relación de este sistema con la forma de la mano del

hombre.

Base 12

Tuvo bastante difusión el sistema duodecimal (base 12).

Indudablemente su origen también está ligado al cálculo por los

dedos: puesto que los cuatro dedos de la mano (a excepción del

pulgar) tienen 12 falanges en total, pasando el dedo pulgar por

estas falanges se puede contar de 1 hasta 12.

Desde el punto de vista matemático el sistema duodecimal tiene

ciertas ventajas sobre el decimal porque el número 12 es divisible

por 2, 3, 4 y 6 mientras que el número 10 sólo es divisible por 2 y

5. Cuantos más divisores del número que constituye la base del

sistema de numeración, mayores ventajas se tienen al emplearlo.

Los vestigios del sistema duodecimal se han conservado en

la lengua hablada hasta nuestros días: en lugar de «doce» a

menudo decimos «docena». Muchos objetos (huevos,

cuchillos, tenedores, platos, etc.) suelen contarse por

docenas y no por decenas.

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Base 60

En la Babilonia antigua, cuya cultura (incluyendo la

matemática) era bastante elevada, existía un

sistema sexagesimal (base 60) muy complejo. Los

historiadores datan su invención sobre el 2.700

a.C., pero discrepan en cuanto a sus orígenes. Una

hipótesis, por cierto no muy fidedigna, es que se

produjo la fusión de dos tribus una de las cuales

usaba el sistema duodecimal y la otra el sistema

quinario, surgiendo como compromiso entre los

dos el sistema sexagesimal.

Este sistema se ha conservado en cierta medida hasta

nuestros días. Por ejemplo, en la subdivisión de la hora en 60

minutos y del minuto en 60 segundos, así como en el sistema

análogo de medición de los ángulos: 1 grado = 60 minutos y 1

minuto = 60 segundos.

Base 20

Los aztecas, los mayas y los celtas usaban el sistema

vigesimal (base 20). Proviene de contar con los

dedos de las manos y de los pies.

Los más antiguos testimonios conocidos de la

escritura maya datan de finales del s. III d.C. Los

mayas inventaron un “cero” para su sistema de

numeración, posicional de base veinte, utilizando el

cinco como base auxiliar.

Algunos vestigios del sistema vigesimal de los celtas subsisten

en el moderno idioma francés: por ejemplo, «ochenta» en

francés es «quatre-vingt», o sea, «cuatro veces veinte». El

número 20 figura también en el sistema monetario francés: el

franco, unidad monetaria, consta de 20 sous.

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Simplificar mediante símbolos

Pensemos en la forma de contar que utilizaba el propio cuerpo: podemos hacer un recuento

recorriendo diversos puntos del cuerpo en un orden prefijado y emparejando cada uno de

esos puntos con uno de los objetos a contar.

El hecho de considerar un orden fue muy importante, pues se pasó a distinguir entre el

aspecto cardinal del número (basado en emparejamientos) y el aspecto ordinal (basado en

emparejamientos, pero con un orden prefijado).

Ejemplo:

Para referirnos a un día del año decimos “es

día quince de enero”. En realidad deberíamos

decir “es décimo quinto día de enero”, pues

usamos un cardinal (quince) en lugar de un

ordinal (décimo quinto) por comodidad del

lenguaje. Estamos haciendo referencia a un día

concreto de una lista ordenada de días.

A raíz de la distinción entre cardinal y ordinal, en vez de repetir el símbolo de la unidad tantas

veces como fuera necesario hasta tener la cantidad deseada, se pasó a atribuir a cada número

un símbolo original y considerar la sucesión de dichos símbolos (sin relación unos con otros).

El problema que surgió es que se necesitaban muchos símbolos distintos. En diferentes partes

del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución. En un afán de simplificación, se

agruparon cierto número de unidades de primer orden para dar lugar a un nuevo símbolo

para una unidad de orden superior. Este número es la base.

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Organizar los símbolos

El auge de la civilización Griega en el Mediterráneo sirvió de vehículo transmisor hacia las

culturas de occidente. Los griegos tomaron el diez como base, y su sistema de numeración era

literal usando letras del alfabeto como símbolos para los números.

Los sistemas que hemos visto hasta ahora siguen un sistema de notación aditiva. Acumulan

los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el

número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una

determinada posición. En el sistema de numeración aditiva, el significado de cada símbolo no

depende del lugar que ocupa.

Ejemplo:

El número 23 en números romanos se escribe

como XXIII. La cifra X aparece dos veces y

siempre vale lo mismo, diez unidades. En la

numeración egipcia ocurre lo mismo, expresado

con otros símbolos

Sin embargo, en un sistema de notación posicional, la posición de cada cifra nos indica si

valor. Es el caso de nuestro sistema decimal, en el que depende de donde escribamos una cifra

tendremos unidades, decenas, centenas,…

Los sistemas posicionales tienen la ventaja de que permiten escribir números grandes

mediante una cantidad relativamente pequeña de símbolos y realizar fácilmente operaciones

aritméticas.

Existieron también sistemas de notación híbrida, como el chino clásico, que combinan el

principio aditivo con el multiplicativo.

Ejemplo:

La forma clásica de escritura de los números en

China es un sistema decimal estricto que usa las

unidades y las distintas potencias de 10.

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¿Qué pasa con el cero?

La numeración que forjaron los matemáticos y astrónomos de Babilonia a comienzos del

segundo milenio antes de nuestra era fue una de las más notables de la antigüedad.

Contrariamente a la mayoría de los sistemas de la época, el valor de sus cifras estaba

determinado por su posición en la escritura de los números.

La numeración babilonia era totalmente equivalente a nuestro sistema actual. Sólo difería en

que usaba base 60 en lugar de 10 en la formación de sus cifras. Sin embargo, tenía muchos

inconvenientes, pues sus 59 unidades significativas no eran representadas mediante 59 signos

distintos, sino mediante repeticiones aditivas de dos cifras de base (1 y 10).

Cuando no había ninguna unidad en cierta posición, dejaban un vacío que muchas veces daba

lugar a errores. Los mayas y los chinos también utilizaban notación posicional y se encontraron

con el mismo problema.

Ejemplo:

Imaginemos que no existe el cero en nuestro

sistema de numeración. Al escribir 1 podríamos

estar indicando 1 unidad o 1 decena.

Los babilonios y los mayas inventaron un símbolo

para indicar la ausencia de unidades de cierto rango,

eliminando así toda ambigüedad en la escritura de

números. Pero no fue concebido como número, es

decir, como sinónimo de “cantidad nula”. No es el

cero que usamos actualmente. El cero será una de las

grandes invenciones del genio humano, ya que facilita

la ejecución de las operaciones aritméticas.

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Los números modernos

El sistema de numeración arábigo se considera uno de los avances más significativos de las

matemáticas. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que tuvo su origen en la

India, se expandió por el mundo islámico y de ahí, vía al-Andalus, al resto de Europa.

El mundo le debe a la cultura india el invento trascendental del sistema de numeración de

posición de base 10, así como el descubrimiento del 0.

Este sistema de numeración llegó a Oriente Medio hacia el año 670. Matemáticos

musulmanes del actual Irak, como al-Jwarizmi, ya estaban familiarizados con la numeración

babilónica, que utilizaba el cero entre dígitos distintos de cero,aunque no tras dígitos distintos

de cero, así que el nuevo sistema no tuvo un buen recibimiento. Al-Jwarizmi escribió el libro

"Acerca de los cálculos con los números de la India" cerca de el año 825 y Al-Kindi escribió "El

uso de los números de la India" en cuatro volúmenes. Su trabajo fue muy importante en la

difusión del sistema de la India en el Oriente Medio y en el occidente.

Las primeras menciones de estos numerales en la literatura occidental se encuentran en el

Codex Virgilianus del año 976. A partir de 980 Silvestre II hizo uso de su oficio papal para

difundir el conocimiento del sistema en Europa. Fibonacci, matemático italiano, contribuyó a la

difusión por Europa del sistema arábigo con su libro Liber Abaci (“Tratado del ábaco”),

publicado en 1202, donde exponía y proponía emplear el sistema de numeración utilizado por

los árabes. La obra de Leonardo Pisano tuvo que esperar a la invención de la imprenta para

que llegara a ser conocida en toda Europa. Era el inicio del movimiento de la democratización

del cálculo en Europa. Hasta entonces se usaba el sistema de numeración romano.

El ábaco es un instrumento de cálculo que utiliza cuentas

que se deslizan a lo largo de una serie de barras de metal o

madera fijadas a un marco para representar las unidades,

decenas, centenas, unidades de millar, etc. Fue inventado en

Asia menor, y es considerado el precursor de la calculadora

digital moderna.

Utilizado por mercaderes en la Edad Media a través de toda

Europa y el mundo árabe, fue reemplazado en forma gradual

por la aritmética basada en los números indo-árabes.

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Presente y futuro

Con la aparición de los ordenadores hemos asistido a cierta evolución de

la escritura de cifras, que se ha esquematizado. La informática además

usa base 2, con dos cifras, 0 y 1. Pero es un sistema como el nuestro,

sólo que con una base distinta, pues es posicional y usa el cero.

Desde el hombre de Cromañón, o desde el supuesto hombre primitivo

que sólo sabe contar con su cuerpo, hasta el hombre moderno, no ha

habido ninguna modificación fundamental del cerebro, sino un

enriquecimiento del equipo mental. Hasta el punto de que el uso de las

cifras y de la aritmética elemental nos parece a menudo una aptitud

innata y evidente de la mente humana.

La pregunta que se nos plantea es ¿está esta historia acabada? Ha sido tan larga y tortuosa

que bien podrían producirse nuevos rodeos. Pero nuestro sistema de numeración es un

sistema definitivamente perfecto, acabado, porque es el que tiene mayor economía de signos

y permite representar cualquier número, por grande o pequeño que sea. Y, además, es el más

eficaz, pues permite que todos realicemos cálculos.

Esta invención profundamente humana es también la más universal,

fusiona a la humanidad. No ha habido ninguna Torre de Babel de los

números: mientras que existen cuatro mil lenguas y varias decenas de

alfabetos y sistemas de escritura para transcribirlos, hoy sólo existe un

sistema de numeración escrita, el único y auténtico lenguaje universal.

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Resumen

• Nuestro sistema de numeración es posicional de base 10. Para representar números

utilizamos diez cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0.

• La humanidad comenzó por agrupar elementos (piedras, conchas,…) para tener

conjuntos modelo y hacer una correspondencia unidad por unidad entre dichos

conjuntos y los que se querían cuantificar. De ahí proviene la cualidad de número.

• Se continuó por la talla de muescas sobre palos o huesos, gracias a lo que se comenzó

a agrupar y distinguir trazos.

• Las manos nos sirven de “calculadora”. Existen distintas maneras de contar usando las

manos, dando lugar a sistemas de distinta base. Entre los más importantes están el

quinario (base 5), decimal (base 10), duodecimal (base 12), vigesimal (base 20) y

sexagesimal (base 60).

• Distinguir entre el aspecto cardinal y el ordinal permitió simplificar la notación. Se

encontraron con el problema de tener demasiados símbolos al usar uno para cada

número, por lo que comenzaron a usar símbolos múltiplos de la base.

• Según organicemos los símbolos tenemos sistemas de notación aditiva (acumulación

de símbolos de cifras), posicional (valor de la cifra según posición del símbolo) e

híbrida (mezcla de ambas).

• El cero como cifra se inventó posteriormente al resto de cifras, facilitando las

operaciones aritméticas.

• Los números árabes provienen de la India, y llegaron a Europa sobre el año 1000 d.C. a

través de la expansión del Islam.

• En el año 825 Al-Jwarizmi escribió el libro “Acerca de los cálculos con los números de la

India” con lo que dio a conocer este sistema de numeración a los musulmanes.

• En 1202 Fibonacci publicó la obra “Liber Abaci” con la que lo dio a conocer a los

números arábigos en occidente. Hasta la invención de la imprenta no se extendieron

por Europa.

• Hasta entonces se utilizaban los números romanos, con la ayuda de un instrumento de

cálculo llamado ábaco.

• El sistema de numeración actual posiblemente no sufra modificaciones sustanciales en

el futuro, pues es un sistema definitivamente perfecto.

• Los números son un verdadero lenguaje universal.

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Bibliografía

• Libros:

o “Historia de una gran invención”, Georges Ifrah

o “Historia universal de las cifras”, Georges Ifrah

• Webs:

o Términos buscados en Wikipedia: número, cifra, historia de los números, sistema

decimal, números árabes.

o Imágenes buscadas con Google Imágenes.

• Vídeos:

o Extractos del programa “Redes: vida y números” del canal La 2 de TVE