Identificación de SistemasIdentificación de Sistemas

Objetivos

• Aprender las bases de la identificación de sistemas.

• Obtener una visión general sobre problemas relacionados (optimización, filtrado adaptativo...)

• Conocer las técnicas más utilizadas.

• Reconocer ventajas, desventajas y posibilidades de aplicación.

• Aplicar los conocimientos ya adquiridos.

• Presentar algunos ejemplos reales.

Organización

• Introducción

• Técnicas:

– Convencionales:• Análisis de respuesta

• Predicción lineal (LPC)– Métodos estáticos y adaptativos

• Estimación del orden

– No convencionales:• Algoritmos genéticos (GA)

Introducción

“Identificar un sistema consiste en

encontrar un conjunto de reglas y/o

parámetros asociados que describan

un modelo aceptable para el proceso

que en él se está llevando a cabo.”

Introducción

¿H(a)?¿H(a)?u s

No tengo acceso al

interior

No tengo acceso al

interior

CAJA

NEGRA

CAJA

NEGRA

No tengo

acceso a

la entrada

No tengo

acceso a

la entrada

¿Qué tipo de

sistema es?

¿Qué reglas lo

gobiernan?

¿Cuantas entradas y

salidas tengo?

¿Qué orden tiene?

¿Qué valores tienen

sus parámetros?

Supongo alguna

forma paramétrica

Introducción

• Los datos obtenibles del sistema son: su señal de salida y, en algunos casos, su señal de entrada.

• Los resultados de la identificación son: la estructura y el conjunto de parámetros característicos del modelo.

• En algunos casos la estructura del sistema puede ser conocida o supuesta “a priori” y la identificación se reduce a la búsqueda de los parámetros.

• En el caso más general tanto la estructura como los parámetros deben ser encontrados minimizando algún criterio de error o de costo.

Paramétrica vs. No Paramétrica

• Paramétrica: se supone un modelo a priori con parámetros ajustables, y el problema consiste

en hallar los parámetros óptimos del mismo para aproximar los datos.

• No Paramétrica: aquí no se supone ningún modelo a priori, y el problema consiste en hallar una función o regla de comportamiento que

concuerde o se desprenda de los datos.

Planteo general

+

-

e

f(e)

arg min ( ( ))f e=a

a

H(a)

Hest(aest)

aest

u s

s

Sistema real

Sistema estimado

Superficie de

error en

función de los

parámetros

Método para hallar

el óptimo

Criterio

( ( ))f e a

a

¿Cómo es la superficie de error?

??

Técnicas disponibles

• Convencionales

– Análisis de respuesta:

• Temporal

• Frecuencial

– Predicción lineal:

• Métodos estáticos

• Métodos adaptativos

• No convencionales

– Algoritmos genéticos

– Otros: Recocido simulado.

Análisis de la respuesta...

• Estimulo el sistema con una función conocida.

• Del análisis gráfico de la forma de la salida determino los parámetros

0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

Am

pli

tud

Solo sirve para sistemas de orden pequeño

Análisis de la respuesta…

0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

Am

pli

tud

ζ: Tiempo que tarda el sistema en

alcanzar el 63.7 % del valor final

ωn: frecuencia natural de oscilación,

ξ: coeficiente de amortiguamiento y

k: la ganancia de estado estacionario

Respuesta a un escalón (t)

Primer orden (s):

Segundo orden (s):

Análisis de la respuesta...

• En el caso frecuencial se intenta estimar la respuesta espectral

• Se pueden utilizar dispositivos analógicos o digitales

• Generalmente es útil como identificación no paramétrica del punto de vista cualitativo

SistemaSistemaVCOVCO

RampaRampa

Predicción Lineal

Predicción Lineal

• La denominación predicción lineal proviene del modelo que se utiliza en la aproximación del sistema real a identificar.

• Decimos que “la salida es predecible a partir de una combinación lineal de las

entradas y salidas pasadas”.

El modelo ARMA

∑∑=

−=

− +−=q

l

lnl

p

k

knknubGsas

01

.

1

1

1

( )

1

ql

l

l

pk

k

k

b z

H z G

a z

−

=

−

=

+

=

+

∑

∑

El modelo AR

)()(

)()(

zC

G

zA

zBGzH ≅=

Cuadrados mínimos

nnnsse ˆ−=

( ) ( )222 ˆ asT

nnnnnssse +=−=

Sistema de Wiener-Hopf...

• Señales determinísticas

ECTen

n==∑ 22ξ

2 0

T

n n n n

n n

s

ξ∇ = ⇒

= −

∑ ∑s s a s raR −=

Ecuación que

relaciona los

parámetros y la

salida del sistema

Sistema de Wiener-Hopf...

• Señales aleatorias estacionarias

raR −=

[ ] Rss =TE

[ ]

2 2 2 ...

2

n n

T T

n

E e E s

E s E

ξ = = +

+ ⋅ + ⋅ s a a s s a

[ ]

2 0

T

nE E s

ξ∇ = ⇒

⋅ = − s s a s

Superficie de error

Superficie de error cuadrático para un sistema AR de orden 2.

E

a1

a2

Resolución Wiener-Hopf

• Métodos estáticos:

– Atacan directamente la resolución del sistema de ecuaciones lineales mediante métodos

numéricos.

• Inversión de Matrices

• Matriz Toeplitz: Levinson-Durbin

Resolución Wiener-Hopf

• Métodos adaptativos:

– Buscan minimizar el error cuadrático instantáneo mediante una adaptación

permanente de los parámetros.

• Realizan sucesivas aproximaciones a la raíz de la función en el sentido del gradiente negativo

• Función: error cuadrático instantáneo.

Sistemas variantes

en el tiempo

Método adaptativo de Widrow

knnkk seaann −−=

−µ2

1

Estimación del orden

• Se fija un criterio que depende del orden y del error.

• Se busca conseguir simultáneamente un orden pequeño y buena aproximación

0 5 10 15 20

Am

pli

tud r

elat

iva

Orden

Vp

Ip

Método de Akaike Método de Error de Predicción Final (FPE)

20/09/2012 33

Ejemplo: Tracto Vocal

Cavidad

oral

Cuerdas

vocales

Laringe

Traquea y

bronquios

Cavidad

faringea

Salida

nariz

Salida

boca

Pulmones

Fuerza

muscular

Velo

Lengua

Cavidad

nasal

Diafragma

Tracto vocal

Tracto respiratorio

En

ergía

Frecuencia

Ener

gía

Frecuencia

Pre

sión

Tiempo

Ener

gía

Frecuencia

Tiempo

Pre

sión

Ener

gía

Frecuencia

|X( f )|

|H( f )|

|L( f )|

|Y( f )|

y( t )

x( t )

Ejemplo: Tracto Vocal

Wolfgang von Kempelen, 1791:

• Máquina que reproducía la mecánica del aparato fonador.

20/09/2012 34

Cavidad

oral

Cuerdas

vocales

Laringe

Traquea y

bronquios

Cavidad

faringea

Salida

nariz

Salida

boca

Pulmones

Fuerza

muscular

Velo

Lengua

Cavidad

nasal

Diafragma

Tracto vocal

Tracto respiratorio

Ener

gía

Frecuencia

Ener

gía

Frecuencia

Pre

sión

Tiempo

En

erg

ía

Frecuencia

Tiempo

Pre

sión

Energ

ía

Frecuencia

|X( f )|

|H( f )|

|L( f )|

|Y( f )|

y( t )

x( t )

Ejemplo: Tracto Vocal

Cavidad

oral

Cuerdas

vocales

Laringe

Traquea y

bronquios

Cavidad

faringea

Salida

nariz

Salida

boca

Pulmones

Fuerza

muscular

Velo

Lengua

Cavidad

nasal

Diafragma

Tracto vocal

Tracto respiratorioE

ner

gía

Frecuencia

En

erg

ía

Frecuencia

Pre

sión

Tiempo

Energ

ía

Frecuencia

Tiempo

Pre

sión

En

ergía

Frecuencia

|X( f )|

|H( f )|

|L( f )|

|Y( f )|

y( t )

x( t )

Ejemplo: Tracto Vocal

¿Cómo encontrar los coeficientes del filtro del tracto vocal?

Problema de Identificación de Sistemas

• Filtro todo-polos (AR)

• Señal NO estacionaria (fonemas diferentes en el discurso) �análisis por tramos estacionarios.

• Podemos encontrar G a partir de la energía.

Filtro AR

?

Filtro AR

?Entrada Salida

Bibliografía...

• Makhoul J., “Linear Prediction: A Tutorial Review,” Proc. IEEE, vol 63, no. 4, pp. 561-580, apr. 1975.

• Deller. J. R., Proakis J. G., Hansen J. H., Discrete-Time Processing of Speech Signals, Pren-tice Hall, chap. 5, 1987.

• Kay S. M. and Marple S. L., “Spectrum Analisis,” Proc. IEEE, vol. 69, pp. 1380-1419, nov. 1981.

Bibliografía...• Morikawa H., “Adaptative Estimation of Time-Varying Model Order in the

ARMA Speech Analisis,” IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Processing, vol. 38, pp. 1073-1083, jul. 1990.

• Ogata K., Ingeniería moderna de control, Segunda Edición, 1993.

• Papoulis A., “Maximun Entropy and Spectral Estimation: A Review,” IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Processing, vol. ASSP 29, pp. 1176-1186, dec. 1981.

• Rabiner L. R. and Gold B., Theory and Application of Digital Signal Processing, Prentice Hall, chap. 12, 1975.

• Reddy V. U., Egardt B. and Kailath T., “Least Squares Algorithm for Adaptative Implementation of Pisarenko`s Harmonic Retrieval Method,”IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Processing, vol ASSP 30, pp. 399-405, jun. 1982.

• Rocha L. F., “Predicción lineal aplicada a señales de voz,” Revista Telegráfica Electrónica, set. 1979.

• Schroeder M. R., “Linear Prediction, Entropy and Signal Analysis,” IEEE ASSP Magazine, jul.1984.

• Widrow B. and Lehr A., “30 Years of Adaptative Neural Networks: Perceptron, Madaline, and Backpropagation,” Proc. IEEE, vol. 78, no. 9, pp. 1415-1442, set. 1990.