Objetivo de la Sesión.

Al concluir esta sesión manejaras los principales sistemas de numeración

Mapa Conceptual de la Sesión.

Sistemas de Numeración

Conversión entre bases

Sistema binario

Sistema octal

Sistema hexadecimal

Sistema Binario

Integrado por

Sistema decimal

¿Qué son los sistemas de numeración ?

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas de tipo posicional, que se caracterizan porque cada elemento tiene valor distinto según la posición que ocupa en la cifra o cantidad representada.

MSD – Most Significant Digit (Digito más significativo)

LSD – Least Significant Digit (Digito menos significativo)

Sistemas de Numeración

Un sistema de numeración en base b utiliza para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras

Ejemplos:

b = 10 (decimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b = 16 (hexadecimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

b = 2 (binario) {0,1}

El número se expresa mediante una secuencia de cifras:

N ... n4 n3 n2 n1 n0 n-1 n-2 n-3 ...

El valor de cada cifra depende de la cifra en sí y de la posición que ocupa en la secuencia

¿A que nos referimos con conversión entre bases?

La forma más comúnmente usada para realizar la conversión entre diferentes bases es utilizando el sistema posicional; el valor significativo asignado a cada digito es una cantidad que está en función de su posición. N = dp-1np-1 + dp-2np-2 + … + d0n0 + d-(q-1) + d-(q-2)n-(q-2)

Forma compacta

d son los dígitos (coeficientes del número)n la base del sistemaP el número de dígitos externosq el número de dígitos fraccionarios

El digito más a la derecha se le conoce como menos significativoEl dígito más a la izquierda se le conoce como más significativo

N = dini + djn-(j)

La siguiente tabla muestra los sistemas numéricos más comunes y su relación.

L Decimal Binario Octal Hexadecimal

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1

2 0 0 1 0 2 2

3 0 0 1 1 3 3

4 0 1 0 0 4 4

5 0 1 0 1 5 5

6 0 1 1 0 6 6

7 0 1 1 1 7 7

8 1 0 0 0 10 8

9 1 0 0 1 11 9

10 1 0 1 0 12 A

11 1 0 1 1 13 B

12 1 1 0 0 14 C

13 1 1 0 1 15 D

14 1 1 1 0 16 E

15 1 1 1 1 17 F

Sistema Decimal

Emplea diez diferentes dígitos { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Por esto se dice que la base del sistema decimal es diez.

Ejemplo. Representar el número 3637.2510 en forma posicional.

Datos: 4 dígitos, p = 4 y 2 dígitos fraccionarios q=2

3637.25 = di 10i + dj 10 –(i)

= [ 7x100 + 3x101 + 6x102 + 3x103 ] + [ 2x10-1 + 5x10-2 ]= [ 7x1 + 3x10 + 6x100 + 3x1000 ] + [ 2/10 + 5/100 ]

= [ 7 + 30 + 600 + 3000] + [ 0.2 + 0.05 ] = 3637.25

Conversión de decimal a binario

El método para convertir un número decimal a binario es el método de divisiones sucesivas.

1. Dividir el numero decimal entre 2.2. El residuo (uno o cero) es el dígito menos significativo, el cual se almacena

en un arreglo unidimensional.3. Dividir entre 2 el cociente de la división anterior, pero ahora el residuo se

coloca en la siguiente posición de más significativo valor.4. Repetir el paso anterior y el residuo se coloca en la siguiente posición de

más significativo valor.5. Repetir el paso anterior hasta obtener un cociente cero.6. Los números en el arreglo unidimensional se muestran de abajo hacia

arriba.

Conversión de decimal a binario, ejemplo:

2610 = 110102

0,187510 = 0,00112

26,187510 = 11010,00112

Fuente:Higinio Mora Mora;

Conversión de decimal a binario, ejemplo:

Convertir 17310 a ?2

173 2 86 1 43 0 21 1 10 1 5 0 2 1 1 0 0 1

17310 = 101011012

Convertir 312910 a ?2

3128 2 1564 1 782 0 391 0 195 1 97 1 48 1 24 0 12 0 6 0 3 0 1 1 0 1

312910 = 1100001110012

Conversión de decimal a Octal

Primer Método.

[ ]10 [ ]2 [ ]8

Decimal a binario, de binario a octal

Ejem. Convertir el número 15310 a base ()8

15310 [ 010 011 001 ]2 2318

(en la lamina 7 podrá visualizar esta relación)

Nota: La conversión de binario a octal se explicara con más detalle cuando se vea el sistema binario

Conversión de decimal a Octal

Segundo Método.De las divisiones sucesivas, consiste en dividir el número decimal entre 8 hasta que el cociente sea igual a cero.

Convertir 7565810 a ?8

75658 8

9457 2

1182 1

147 6

18 3

2 2

2 2

0

7565810 = 2236128

Convertir 634810 a ?8

6348 8

793 4

99 1

12 3

1 4

1 1

0

7565810 = 143148

Conversión de decimal a Hexadecimal

Primer Método.Consiste en convertir el numero en base 10 a base 2 y luego de base 2 a base 16

[ ]10 [ ]2 [ ]16

Decimal a binario, de binario a hexadecimal

Ejm. Convertir el número 15310 a base ()16

15310 [ 0 1001 1001 ]2 9916

(en la lamina 7 podrá visualizar esta relación)

Nota: La conversión de binario a hexadecimal se explicara con más detalle cuando se vea el sistema hexadecimal

Conversión de decimal a Hexadecimal

Segundo Método.Consiste en realizar divisiones sucesivas pero dividiendo entre 16

Convertir 1037910 a ?16

10379 16

648 11B

40 8

2 8

0 2

1037910 = 288B16

Sistema Binario

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

Representar el número (1010)2 en forma posicional. Tiene cuatro dígitos enteros p=4 y 0 dígitos fraccionarios.

(1010)2 = di2i + d-j 2 –(i

= d020 + d121 + d222 + d323 + d424

= 0 x 1 + 1 x 2 + 0 x 4 + 1 x 8(1010)2 = (10)10

Conversión de binario a decimal, ejemplo:

Convertir el número (11011) a decimal

110112 = 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20

= 16 + 8 + 0 + 2 + 1

110112 = 2710

Conversión de binario a octal

Se forman bloques de tres bits, cada uno a partir del punto. Por tanto, el modo de conver tir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos bi narios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Binario Octal

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 2

0 0 1 1 3

0 1 0 0 4

0 1 0 1 5

0 1 1 0 6

0 1 1 1 7

Convertir el siguiente numero binario a octal:

11101012 a ()8

001 110 101

1 6 5

Por lo tanto 11101012 = 1 6 58

Fuente:Higinio Mora Mora;

Conversión de binario a hexadecimal

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "con trayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios., tanto a la derecha como a la izquierda del punto.

Convertir el siguiente numero binario a octal:

11101010112 a ()16

0011 1010 1011

3 A B

Por lo tanto 11101010112 = 3 A B16

Binario Hexadecimal

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 2

0 0 1 1 3

0 1 0 0 4

0 1 0 1 5

0 1 1 0 6

0 1 1 1 7

1 0 0 0 8

1 0 0 1 9

1 0 1 0 A

1 0 1 1 B

1 1 0 0 C

1 1 0 1 D

1 1 1 0 E

1 1 1 1 F

Fuente:Higinio Mora Mora;

Sistema Octal

En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lu gar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

Correspondencia con el binario:

8 = 23 Una cifra en octal

corresponde a 3 binarias

Ejemplos:

10001101100.110102 = 2154.648 (Binario a Octal)

537.248 = 101011111.0101002 (Octal a Binario)

Conversión Decimal – Octal

760.3310 1370.25078

Fuente:Higinio Mora Mora;

Sistema Hexadecimal

En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F.

Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decima les 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.

Correspondencia con el binario:

16 = 24 Una cifra en hexadecimal

corresponde a 4 binarias

Binario Hexadecimal

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 2

0 0 1 1 3

0 1 0 0 4

0 1 0 1 5

0 1 1 0 6

0 1 1 1 7

1 0 0 0 8

1 0 0 1 9

1 0 1 0 A

1 0 1 1 B

1 1 0 0 C

1 1 0 1 D

1 1 1 0 E

1 1 1 1 F

Sistema Hexadecimal

Ejemplos

10010111011111.10111012 = 25DF.BAH

4373.7910 1115.CA3D16

Conversión Decimal - Hexadecimal

273

553

1174373

17113 16

16

1

16

1 1

Fuente:Higinio Mora Mora;

Actividad de sesión 3UNIDAD 2. Sistemas de numeración

Tipo de actividad: Test Memorama (Arrastre01)Descripción: La carta con la respuesta correcta.Propósito: Autoevaluar tus conocimientos sobre lo visto hasta ahora.

El número 425 en forma posicional

Convertir de hexadecimal a decimal

D52

Convertir de binario a hexadecimal

10100111.111011

Convertir de binario a octal

1111110.0001

Convertir de decimal a binario

258

3410 176.04 5+20+400 =425

100000010 A7.EC

En este momento eres capaz comprender lo que es un microprocesador y reconocer los elementos que lo integran

Ingresa al link http://books.google.com/books?id=bmLuH0CsIh0C&printsec=frontcover&dq=sistemas+digitales+tocci&hl=es&ei=d9jJTdiPBKTUiAK_8t2iBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false y ejercita, estudia el primer capitulo para reafirmar tus conocimientos.

Ingresa al linkhttp://www.luventicus.org/articulos/02A035/index.html

Conclusiones

•En la siguiente sesión conoceremos aritmética binaria

Lo que veremos en la sesión próxima.

GLOSARIO

sistemas posicionales. se caracterizan porque un símbo lo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.

Bit: 0 ó 1

Referencias de Consulta

Tocci, Ronald J y Widmer Neals. Sistemas Digitales, Octava Edición. Ed. Pearson Educación. Mexico 2003

DE MIGUEL, Miguel, Arquitectura de computadoras, Teoría y ejercicios resueltos, España, Alfa omega-Rama, 2002.

¡Enhorabuena!

• Has concluido la Sesión 3 de la Asignatura Arquitectura de Computadoras, correspondiente al Cuarto Cuatrimestre.

• Continúa incrementando tus conocimientos, revisa tu siguiente sesión programada.