Prof. Jenner Huamán Callirgos

LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN En el desarrollo de la humanidad, el hombre tuvo la necesidad deexpresar el número, al inicio presumiblemente solo en un lenguajesimbólico. Por medio de los dedos de las manos se podían representarcolecciones de hasta diez elementos, y usando los dedos de las manos ypies podía remontarse hasta veinte. Cada pueblo en la antigüedaddefinía su propio sistema de numeración.

El sistema de numeración más simple que usa la notación posicionales el sistema de numeración binario. Este sistema usa solamente dosdígitos (0; 1). El sistema binario se usa en computación para elmanejo de datos e información. Normalmente al dígito cero se leasocia con apagado y al dígito 1 con encendido.

El hombre en su vidacotidiana trabaja desde elpunto de vista numérico conel sistema decimal.Asimismo, la computadoradebido a su construcción, lohace desde el sistemabinario, utilizando una seriede códigos que permiten superfecto funcionamiento.

¿La capacidad de la memoria RAM detu PC es una potencia de 2? ¿Seráuna coincidencia o tendrá relación conla base binaria?

Representación gráfica del número 100112

(número en base 2) y alegoría de la presencia de los binarios en las redes

informáticas.

Es un conjunto de símbolos que mediante ciertas reglas puedenrepresentar todos los números naturales.

SISTEMA DE NUMERACIÓN

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Base Nombre del sistema Cifra que se usan

23456789101112

BinarioTernarioCuaternarioQuinarioSenarioHeptanarioOctanarioNonarioDecimalUndecimalDuodecimal

0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

OBSERVACIONES:

•Toda cifra que forma parte de un numeral es un entero positivo y menor que su respectiva base.

( )nabcd Entonces: a; b; c; d < n

•Un numeral no puede empezar con la cifra cero.

( )nabcd Es decir “a” tiene que

ser diferente de cero.

•A mayor numeral aparente le corresponde menor base y a menor

numeral aparente le corresponde mayor base.

( ) ( ): n m

Si abcd xyz=

Comon < mabcd xyz> entonces

•El menor sistema de numeración que existe es el de base 2 (sistemabinario)Es decir n 2≥

•Toda cifra mayor que nueve va encerrada entre paréntesis. Porconvención se utiliza:Cifra Letra

10 <> A11 <> B12 <> C. . .. . .. . .

•Todo número entre paréntesis representa una sola cifra excepto la base:4 (12) 8 (13)

tiene 3 cifras y no 4

1 cifra1 cifra

1 cifra

• En el sistema de base “n”, se pueden utilizar “n” cifras diferentes, las

cuales son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ….;(n-1)

REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NUMERAL

abc

)5(abcd

•Cuando se quiere representar un número y no se conocen las cifrasse utilizan letras del alfabeto y una barra encima de las cifras.Ejemplo:

Un número de 3 cifras:

Un número de 4 cifras en base 5:

TRANSFORMACIÓN DE SIST. DE NUMERACIÓN

De base 10 a una base diferente de 10

Divisiones sucesivas

EJERCICIOS

De una base diferente de 10 a base 10

De una base diferente de 10 a otra diferente de 10

Descomposición polinómica.

Por Ruffini

• Descom-posición Polinómica

• Divisiones Sucesivas

QUE PUEDE SER

Por mediode la

usando utilizando

De una base diferente de 10 a la base 10: Para este caso, seutiliza:

a) Descomposición polinómica: Se expresa el número como elvalor relativo de sus cifras.

Ejemplo

Convertir el número 876(9) a base decimal.

Resolución

876(9) = 8 . 92 + 7 . 9 + 6 = 717

b) Por Ruffini: Se realiza el siguiente procedimiento:Del ejemplo anterior:

Convertir el número 876(9) a base decimal.

Resolución

Se escribe el número a convertir con sus cifras separadas:

8 7 6

89

x 79

72

x

711

717 Número en el sistemaDecimal.

+ +

De base 10 a una base diferente de 10: Se utiliza el método dedivisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado entrela base “n” a la cual se desea convertir, si el cociente es mayor que“n” se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que sellegue a una división donde el cociente sea menor que “n”.

Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas lasdivisiones, desde el último residuo hacia el primero y eseserá el número escrito en base “n”.

Ejemplo:Convertir: 100 a base 3Resolución

Luego:100 = 10201(3)

De una base diferente de 10 a otra diferente de 10: Se utilizan eneste caso, los 2 métodos vistos anteriormente, es decir:

1ºLlevamos el número del sistema diferente de 10 a base 10por descomposición polinómica o por Ruffini.

2ºLuego llevamos el número hallado en el sistema decimal ala base que nos piden por divisiones sucesivas.

Ejemplo: Convertir: 543(6) a base 4

Resolución

543(6) = 5 . 62 + 4 . 6 + 3 = 207

El número en la base “n” dada (n ` 10) se convierte al sistema decimal:

El número convertido a base decimal se pasa a la base deseadapor divisiones sucesivas.

Luego :543(6) = 207 = 3033(4)

Propiedad: Si un numeral que representa la misma cantidad deunidades simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberácumplirse que donde tenga mayor representación aparente lecorresponde una menor base y viceversa..

−+=

+−

)Y()x( RATONPAVO

Entonces: x > y

Propiedades Importantes

Del Numeral de cifras Máximas:

𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 1). . . (𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑘𝑘 − 1

K cifras

De las bases sucesivas:

1𝑒𝑒1𝑑𝑑1𝑐𝑐1𝑏𝑏1𝑎𝑎(𝑛𝑛)

= 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑒𝑒

Caso particular:

Aplicaciones

Hallar (J + H + C) si:

JHC(3) = 23(4)

Resolución

1.

)7(ana

)5(aaaa

Al expresar 214 en base 7 se obtuvo

Calcule la suma de cifras al expresar en base n.

Resolución

2.

2""

................. igualescifrasn

xxxxx

13nnnN =

= 4095

a) 2 193 b) 2 196 c) 2 396d) 2 186 e) 2 176

Hallar: expresado en base 10.

3.

Resolución

Convertir )3R(3)2R(1 ++

A) 234(R + 2) B) 563(R + 2)C) 219(R + 2) D) 999(R + 2)E) N.A.

a base (R + 2)4.

Resolución

5. Se desea repartir S/. 1536 entre un cierto número de personas, de tal modo que cada una pueda recibir S/. 1, S/. 5; S/. 25; S/. 125, …., etc. y que no más de cuatro personas reciban la misma cantidad de dinero. Hallar el número de personas beneficiadas.

Resolución

Supongamos que los S/. 1536 se repartiera de la siguiente manera:a personas reciben S/.1 (a<4)b personas reciben S/. 5 (b<4)c personas reciben S/. 25 (c<4)d personas reciben S/. 125 (d<4)...Luego 1536 = a.1 + b.5 + c.25 + d.125 + …Podemos darnos cuenta que los factores de a, b, c, d,…., son potencias de 5 y lo podemos expresar así:

1536 = a.50 + b.51 + c.52 + d.53 + ….Es la descomposición polinómica en base 5, donde a, b, c, d, …, son las cifras, luego debe convertirse 1536 a base 5.

2 + 2 + 1 + 2 + 1 = 8

1536 5

5

5

5

307

61

12

2

1

2

12

1536 = 22121(5)

Entonces:1536 = 2.54 + 2.53 + 1.52 + 2.51 +1.50

Por tanto

2 personas reciben: S/. 6252 personas reciben: S/. 1251 persona reciba: S/. 25 2 personas recibe: S/. 51 persona recibe: S/. 1

Número de personas favorecidas:

1200x13 4 =Hallar el valor de “x” si se cumple:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

a2b

2baba5

=Si: Hallar: a + b

a) 4 b) 8 c) 2 d) 6 e) 10

)n()1n( 146abc =+Si:

)ed(dde +=

Hallar: a + b + c + e – d

A) 9 B) 11 C) 12 D) 10 E) 13

Calcule la suma de cifras de: E = 9 x 74 + 5 x 73 + 54 en el sistema heptanario.A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

Si los siguientes numerales están correctamente escritos:

( ) ( ) ( ) ( )p6m nn23q ; p21 ; n3m ; 1221

Hallar “m+n+p”.

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

Hallar el valor de “n” sí: =23n23 5323

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Calcular “b” si: ( ) ( )+ = n64(b 1)3 bbb4

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Si se cumple que: 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑐𝑐𝑎𝑎, Calcule el valor de

a + b – c, sabiendo que a, b, c son positivos. (UNI-2014-I)a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Resolución