La comprensión del sistema de numeración decimal y su...

La comprensión del sistema de

numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas

Camilo Andrés Prieto Ospina

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Bogotá, Colombia

Año 2012

La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.

Camilo Andrés Prieto Ospina

Trabajo presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en enseñanza de las ciencias exactas y naturales

Directora

Profesora, Clara Helena Sánchez B.

Departamento de Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad, Ciencias

Bogotá, Colombia

Año 2012

A mi padre:

Por su generoso corazón que procuró con

solidaridad el éxito de mis proyectos, por su paciente

compañía, por la admiración, cariño y gratitud que

siempre le he tenido.

Agradecimientos

Agradezco emotivamente a todo el cuerpo administrativo, directivo y docente de la

Universidad Nacional de Colombia que con su labor diaria abren las puertas del progreso

al país. La gran calidad humana de la profesora Clara Helena Sánchez directora de este

trabajo, motivó la excelencia, el compromiso y la dedicación para lograr un buen

resultado.

Resumen y Abstract I

Resumen El siguiente trabajo hace una propuesta didáctica para que un estudiante de grado sexto

comprenda el sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones

aritméticas. Para esto el trabajo hace un recorrido por el contexto histórico y disciplinar

de los números naturales; la idea es que el estudiante comprenda el funcionamiento del

sistema de numeración decimal comparándolo con otros sistemas y operando en otros

sistemas de numeración como el egipcio, el babilónico, el romano, el maya y el indo-

arábigo en distintas bases. La propuesta didáctica viene complementada con un cd de

juegos interactivos creados en los programas CLIC 3.0 y Neobook para motivar y

fortalecer el aprendizaje de los niños.

Palabras clave: 1) Número, 2) Sistema de numeración, 3) Número Natural,

4) Sistema decimal 5) Operaciones matemáticas.

Abstract

This abstract describes a didactic proposal to a student from sixth grade understands the

decimal system and its proper uses in arithmetic operations. So this paper has been done

a journey through the historical context and natural numbers disciplines, the main idea is

students understand the numerical decimal system functions and comparing it with other

ones, as: Egyptian, Babylonian, Roman, Mayan and Hindu-Arabic in different bases.

The didactic approach is complemented by an interactive CD games created in the

programs ” CLIC 3.0 and NeoBook” to engage and strength the children's learning

process.

Keywords: 1) Number 2) Numeration System 3) Natural Number 4) Decimal System

5) Math Operations.

Contenido

Contenido

Pág. Resumen…………………………………………………………………………………………IX Lista de figuras…………………………………………………………………………………...II Introducción……………………………………………………………………………………… 1. Planteamiento del problema didáctico ………………………………………………...2 2. Contexto historico ....................................................................................................... 3

2.1 Primeras evidencias ............................................................................................ 3 2.2 Historia de la base 10 .......................................................................................... 7 2.3 Los egipcios .................................................................................... ................. 8

2.4 Sistemas de Numeración posicionales..............................................................11 2.5 Los Babilónicos……………………………………………………………………. 12 2.6 Sistema maya…………………………………………………………………..…. 14 2.7 Sistema Romano………………………………………………………………..… 15 2.8 Sistema Indo-arábigo…………………………………………………………..… .17 2.9 Sobre el cero…………………………………………………………………….. ..19 3. Contexto disciplinar .......................................................................... ………………..20 3.1 Números naturales………………………………………………………………...20 3.1.1 El conjunto de los números naturales como sistema axiomático…..22 3.1.2 Construcción del conjunto N: sistema conjuntista…………………....27 3.1.3 Sistemas de numeración…………………………………….……….….29 3.2 Conceptos Básicos……………………………………………………………......31 3.3 Fundamentación de sistemas de numeración…………………………………33 3.4 Resumen del contexto disciplinario………………………………………….…..34 4. Contexto Didáctico…………………………………………………………………….….36 4.1 Reflexiones sobre algunos aspectos didácticos……..……………………...…36 4.1.1 La importancia del juego en la didáctica………………………………....36 4.1.2 Unidad didáctica……..…………………………………………………...…39 4.1.2.1 Descripción de la unidad didáctica…………………….……….40 4.1.3 Objetivos didácticos……………………..…………………………………40 4.2 Secuencias de las actividades a seguir en clase……………………..……….41 4.2.1 Recomendaciones generales para el maestro………………………....42 4.2.2 Recomendaciones generales para el estudiante…………..…………..43 4.3 Sesiones de clase…………………………….………………………………….43 4.3.1 1 Sesión (Historia del uno)……………………………….……………43 4.3.2 2 Sesión (Numeración egipcia)……………………….………………44

I II 1 2 3 3 7 8

11 12 14 15 17 19 20

20 22 27 29 31 33 34

36 36 36 39 40 40 41 42 43 43 43 44

Contenido

4.3.3 3 Sesión (Numeración babilónica)……………………………….…..52 4.3.4 4 Sesión (Juegos interactivos)………………………………….…….60 4.3.5 5 Sesión (Numeración romana)…………………………………… 61 4.3.6 6 Sesión (Numeración maya)………………………………………...65 4.3.7 7 Sesión (Sistema decimal)…………………………………………..75 4.3.8 8 Sesión (Maratón de ejercicios)……………………………………...78 4.3.9 9 Sesión (A jugar)………………………………..………………… …78 4.3.10 10 Sesión (Evaluación)…………………………..……………………78 4.4 Recursos para el contexto didáctico…………………………………………..80 5. Conclusiones .............................................................................................................. 81 Bibliografía ......................................................................................................................... 82

52 60 61 65 75 78 78 78 80 81 82

Lista de Figuras II

Lista de figuras Pág.

Figura 2-1: Huesos utilizados para contar ……………………………………………..…4 Figura 2-2: Fichas utilizadas por los sumerios para contar…………………………......5 Figura 2-3: Operación sumeria…….…………………………………………………….....5 Figura 2-4: Resta sumeria………………………………………………………………......5 Figura 2.5: Numeración egipcia…………………………………………………………….8 Figura 2-6: Ejemplo 1 de número egipcio………………………………………………..10 Figura 2-7: Ejemplo 2 de número egipcio……………………………………………......10 Figura 2-8: Numeración Babilónica………………………………………………… ….12 Figura 2-9: Numeración Maya…...………………………………………………………..14 Figura 2-10: Numeración Romana………………………...…………………………….....17 Figura 2-11: Teoría 1 del origen de la forma de los números indo-arábigos…….........17 Figura 2-12: Teoría 2 del origen de la forma de los números indo-arábigos……...…..17 Figura 2-13: Teoría 3 del origen de la forma de los números indo-arábigos……….....18 Figura 3-1: Ejemplo para los niños de cardinalidad…………………………………... .28 Figura 4-1: Página principal de los juegos interactivos...……………..……………...…43 Figura 4-2: Ubicación de Egipto en África…………………………………………...…...44 Figura 4-3: Egipto……………………………………………………………………….......44 Figura 4-4: Números en egipcio………………………………………………………...…46 Figura 4-5: Cuenta egipcia 1……………………………………………………………….46 Figura 4-6: Cuenta egipcia 2……………………………………………………………….47 Figura 4-7: Cuenta egipcia 3……………………………………………………………….47 Figura 4-8: Multiplicación egipcia 1…………………………………………………….…49 Figura 4-9: Multiplicación egipcia 2…………………………………………………….…50 Figura 4-10 Multiplicación egipcia 3…………………………………………………….…50 Figura 4-11 Mapa de Babilonia………………………………………………………….….52 Figura 4-12 Número babilónicos…………………………………………………………....53 Figura 4-13 Numeración babilónica…………………………………………………....…..54 Figura 4-14 Antiguo imperio romano………………………………………………….…...61 Figura 4-15 Suma con números romanos…………………………………………….…..64 Figura 4-16 Mapa de asentamiento Maya………………………………………...……....65 Figura 4-17 Numeración Maya………………………………………………………….…..68

4 5 5 5 8

10 10 12 14 17 17 17 18 28 43 44 44 46 46 47 47 49 50 50 52 53 54 61 64 65 68

1

Introducción

En 1990 en Latinoamérica y el Caribe más de cuarenta millones de personas eran pobres1. Según la OCDE2 por medio de las pruebas PISA3 esta pobreza se debe a que los individuos no adquieren destrezas o habilidades que les permitan asumir un rol dentro de la sociedad ni que les proporcione bienestar personal, social y económico. Se observó también que la escuela es responsable en este problema por no definir hasta 1990 temáticas disciplinares que realmente sirvieran en el futuro social de los individuos al terminar su bachillerato.

Por esta razón, en las instituciones educativas de los países adscritos a la OCDE entre ellos Colombia, se introduce el concepto de competencia, que es el producto de un estudio minucioso acerca de la pertinencia de los temas a tratar en las distintas áreas del conocimiento, en particular las matemáticas. También se estudia la utilidad aplicativa después del bachillerato de cada uno de estos temas, se listan y se sugieren a las instituciones.

En matemáticas cada competencia se enmarca dentro de un tipo distinto de pensamiento que según la psicología se da en los individuos. Uno de los pensamientos es el “pensamiento numérico” debidamente justificado en el libro.

Ahora bien, según los estándares básicos de competencias en matemáticas, el pensamiento numérico se refiere a “la comprensión del número, al sentido y uso que se le asigna; a las relaciones y operaciones que se pueden efectuar con ellos en diferentes sistemas numéricos”; por tal razón es de absoluta pertinencia fijar como objetivo la comprensión del sistema decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas, tema central de este trabajo.

1 Por pobre se entiende la persona que sobrevive con menos de un dólar diario. 2 Organización para la Cooperación del Desarrollo Económico. 3 Programa para la evaluación internacional de estudiantes.

2La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas

1. Planteamiento del problema didáctico

En mi experiencia, al trabajar sistemas de numeración con niñas de sexto grado, he notado las siguientes dificultades:

1. No comprenden el funcionamiento del sistema de numeración que usan para hacer operaciones.

2. No pueden hacer la conversión de un sistema de representación a otro.

3. Mecanizan algoritmos para operar números naturales sin comprender su real funcionamiento.

4. Priorizan los algoritmos y no el razonamiento lógico.

5. Incurren constantemente en errores de cálculo aritmético.

6. Tienen serias dificultades a la hora de aprender otros temas de la aritmética, como la potenciación, la radicación, la descomposición factorial de un número, el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor entre dos o más números naturales.

Por lo anterior este trabajo tiene el propósito de sugerir algunas acciones encaminadas a facilitar la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en el manejo de las operaciones aritméticas con los números naturales; para ello usted encontrará lo siguiente:

1. Un recorrido histórico en cuanto a los orígenes de los sistemas de numeración más conocidos como el maya, el egipcio, el babilónico, el romano y en especial el sistema decimal.

2. Una retroalimentación específica de temas involucrados como el teorema fundamental de la numeración, y el funcionamiento de los sistemas de numeración egipcio, maya, babilónico, romano y decimal. Las operaciones aritméticas vistas desde la teoría de números.

3. Estrategias didácticas para atacar los problemas mencionados, como la comparación de los sistemas maya y babilónico con el decimal para hallar similitudes, diferencias y bondades de este ultimo al resolver operaciones.

4. Una presentación del programa Clic 3.0 como herramienta didáctica y tecnológica pertinente en los procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas.

5. El diseño de algunas actividades en el programa Clic 3.0, para introducir el juego como dispositivo didáctico en el aprendizaje de los sistemas de numeración y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.

3 Contexto histórico

2. Contexto histórico Las dificultades que nuestros antecesores tuvieron para evolucionar en los conceptos de número y sistema de numeración, pueden ser similares a las dificultades que presentan nuestros estudiantes en el aula. También los recursos utilizados en la antigüedad para resolver tales problemas pueden ser efectivos para el aprendizaje de esos temas.

La historia de las matemáticas es una fuente de motivación, orientación, inspiración y autoformación del profesor en matemáticas4. En la mayoría de los casos, para el estudiante no es interesante estudiar matemáticas pues no encuentra en la cátedra del profesor objetos de interés y motivación; no ve una necesidad como tal para aprender matemáticas y los algoritmos sobre el papel se le vuelven aburridores y aislados del mundo real. La historia de las matemáticas muestra paisajes interesantes en donde se describen personajes y lugares reales relacionados con todo el contexto de las matemáticas. Por ejemplo, en la historia podemos ver por qué era apasionante resolver problemas geométricos, qué problemas se solucionaron con la ayuda de las matemáticas, qué obras geniales se deben a las matemáticas, qué ocurría alrededor de la vida de los distintos genios matemáticos, qué obstáculos tuvieron y cómo los solucionaron, qué fue realmente un aporte significativo en una época puntual. De esta manera la historia de las matemáticas puede traer la esencia del encanto para estudiarla, la historia de las matemáticas puede ser la inspiración de los docentes más activos y creativos. Es bastante interesante pensar cómo fue concebida la idea de número y aún más la idea de sistema de numeración. A continuación haré un breve recorrido histórico que ilustre lo que sucedió con los orígenes del número y de algunos sistemas de numeración. Me basaré esencialmente en el libro de Georges Ifrah “La historia universal de las cifras”5 del cual he tomado lo que considero relevante para este trabajo.

2.1 Primeras evidencias Hubo un tiempo en que los hombres no sabían contar. Posiblemente solo tenían una idea intuitiva de cómo numerar varias unidades de distintos objetos. Muy probablemente nuestros ancestros eran incapaces de concebir los números de forma abstracta; podemos pensar que un niño de 3 a 4 años tenga las mismas dificultades.

No existe una fecha exacta sobre la implementación por parte del hombre del número como recurso de medida o de cantidad. Se cree que el uso del número se debió iniciar con la necesidad de contar montones de objetos haciendo marcas en huesos o en

4 Revista SUMA. 2004. Número 45, páginas 17 a 28. 5 IFRAH, Georges . Historia Universal de las Cifras. 3ª ed. Madrid. Espasa Calpe. 1998.

4La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas piedras. Así lo constatan unos huesos de Babuino6 encontrados por Jean Braicourt, según Wikipedia, en el lago Eduardo localizado entre Uganda y la República Democrática del Congo. Este hueso tiene una edad de 35.000 años y se encuentra guardado en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales de donde se tomó la siguiente foto7:

Figura 2-1: Huesos utilizados para contar.

En la Figura 2-1 se ven marcas en ambos huesos. Por el lado que se les mire vemos 60 marcas y se supone que el hombre pudo haber hecho esto con el objetivo de llevar cuentas de algo.

Existen distintas versiones acerca del origen del hueso. Carl Boyer8 dice que el hueso fue encontrado en Checoslovaquia, Richard Mankiewicz9 dice que el hueso fue encontrado en Swazilandia; para mi la versión de más peso, es la dada por Wikipedia ya que se soporta con evidencias fotográficas tomadas a los huesos que reposan en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales.

De marcas a símbolos de numeración se pasa cuando se empiezan a establecer las primeras sociedades complejas que crearon la necesidad de llevar registros contables de sus propiedades, como terrenos, alimentos, personas, etc. Estos hallazgos datan del año 8000 antes de Cristo en Mesopotamia que también implementó estos símbolos en agrimensura y astronomía.

6 Es el nombre común dado a dos especies distintas de primates del género Theropithecus, ya extintas, que durante el Plioceno y comienzos del Pleistoceno alcanzaron gran tamaño. Estaban estrechamente emparentadas con el gelada (Theropithecus gelada) del que se diferenciaban fundamentalmente en el tamaño del cuerpo y lo pronunciado de los colmillos. El gelada, la especie más pequeña conocida del género Theropithecus, todavía persiste en las montañas de Etiopía y Eritrea. 7 Fotos sacadas de Wikipedia. 8 BOYER Carl. Historia de la matemática. 1° ed. COIMOFF. 1984. Página 22 9 MANKIEWICZ Ricard, Historia de las matemáticas, 2 ed, 2004, Ediciones Paidos Ibérica. Madrid España. Página 10.


En el 4000 antes de Cristo se instaló en Mesopotamia un grupo de personas que hoy conocemos como los sumerios, ellos dejaron de asignar una raya a la unidad para representarla como una ficha movible de forma más o menos cónica10.

Figura 2-2: Fichas utilizadas por los sumerios para contar.

Sin saberlo los sumerios en su paso de raya a ficha habían iniciado la aritmética, pues la movilidad la inclusión y la eliminación de fichas dieron al hombre las primeras ideas acerca de adicionar y sustraer cantidades por medio de una herramienta. Un logro realmente significativo.

Por ejemplo: Si se tenían cinco gallinas se representaban con las siguientes fichas:

Figura 2-3: Operación sumeria.

Si intercambiaban dos gallinas por piedra, eliminaban dos fichas y quedaban tres fichas que significaba que quedaban tres gallinas de cinco originales.

Figura 2-4: Resta sumeria.

10 Video “La historia del uno parte 1” (se recomienda ver) dirección electrónica: http://www.youtube.com/watch?v=twJpGlkNT70

6La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas Los sumerios también descubrieron que la idea de implementar símbolos permitía representar no solo unidades sino multiplicidad de ellas.

El trabajar con fichas movibles permitió a los sumerios hacer las operaciones aritméticas de adición, sustracción y división11, idea que en la actualidad se puede usar para enseñar a los niños operaciones aritméticas elementales utilizando fichas.

Pero con las fichas no se podían etiquetar productos ni dejar registro de cuentas. Por tal razón nace la escritura cuneiforme. Además como en Mesopotamia, la piedra era escasa, la madera, el cuero y el pergamino eran de difícil conservación; los pueblos de la región aprovechaban la arcilla, la única materia prima a su alcance y que les permitió expresar el pensamiento humano o transcribir el lenguaje articulado.

Para dejar las marcas sobre la arcilla se ayudaban con puntillas que al presionarlas sobre la arcilla dejaban grabados círculos o puntos. Con el tiempo las puntillas fueron sustituidas por varillitas de hueso o marfil a las que se les llamó cálamos, que dejaban pequeños segmentos de recta con lo cual generaban toda su escritura12.

También se sabe que cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base del sistema. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca. Cuando se alcanza un número determinado, se crea un nuevo símbolo que se le asigna a un grupo más grande de unidades, y así sucesivamente.

Podemos tener reglas en donde los cuatro primeros números, por ejemplo, son representados por una simple repetición del símbolo asignado al número uno, tantas veces como sea preciso o por el alineamiento, yuxtaposición, o superposición de guijarros, dedos, muescas, trazos o círculos que simbolizan la unidad y así sucesivamente.

Podemos también definir una regla en donde los mismos números son representados por palabras, objetos, gestos o signos, cada uno de ellos distinto de los demás. Partiendo de una u otra regla fundamental, desde entonces el hombre pudo aprender a contar conjuntos cada vez más extensos.

Pero en ambos casos tropezó pronto con grandes dificultades. Para representar números cada vez mas grandes no se podía, evidentemente, tener una cantidad indefinida de guijarros, palillos, muescas o nudos de cuerda; tampoco el número de dedos de la mano

11 IFRAH, op. cit. Página 89, 301 a 303, página 3 primera referencia completa. 12 Video “La historia del uno ” dirección electrónica: http://www.youtube.com/watch?v=twJpGlkNT70


ni partes del cuerpo eran extensibles a voluntad. No se podía repetir una misma palabra de modo ilimitado, ni crear hasta el infinito nuevos nombres de números o símbolos originales.

En adelante, el ser humano debía enfrentarse a la pregunta: ¿cómo designar números grandes con el mínimo posible de símbolos? El haber encontrado una solución a ese delicado problema llevó unos cuantos siglos.

La solución fue privilegiar un grupo particular (como la decena, la docena, la veintena o la sesentena, por ejemplo) y organizar la serie regular de números según una clasificación jerarquizada fundada sobre esa base. Dicho de otra manera, se convino una “escala” a partir de la cual es posible repartir los números y los diversos símbolos según grados sucesivos a los que se pueden dar los nombres respectivos de : unidades de primer orden, unidades de segundo orden, unidades de tercer orden, etc. De esa manera se llegó a una simbolización estructurada de los números, lo que permitía evitar esfuerzos considerables de memoria o de representación. Es lo que llamaremos el principio de la base. Su descubrimiento marcó el nacimiento de los sistemas de numeración, sistemas cuya “base” no es otra que el número de unidades que es necesario agrupar dentro de un orden dado para formar una unidad del orden inmediatamente superior.

2.2 Historia de las base 10

¿De dónde procede el sistema decimal? Algunos autores, para quienes la década habría constituido “un modelo para todo”, intentaron dar respuesta a esta pregunta acudiendo a la interpretación de la iglesia católica. Por ejemplo Nicomáco de Gerasa13 en un tiempo en que cierta filosofía mística, atribuía a los números carácter sagrado, por no decir divino, introduce la siguiente plegaria pitagórica, dirigida a “los dioses números”, “El 10 es la madre de todo, el primero nacido el que nunca se desvía y el que posee la clave de todas las cosas”. La siguiente cita es evidentemente reveladora:

“El Dios creador, ordenando con arte, se sirvió de la Década como canon para el todo… y así es como las cosas del cielo y de la tierra tienen entre sus conjuntos y sus partes relaciones de concordancia basadas en la década y ordenadas según ella… pues ella sirvió de medida para el todo… El número 10 es, en efecto, el mas perfecto de todos. De acuerdo con esa idea se establecieron las divisiones y las formas de las extremidades, de nuestras manos y pies… y es justo título y conforme a la naturaleza divina que si premeditación alguna coincidimos con los hombres de todo el mundo para contar según ese numero perfecto….”14

Si tenemos en cuenta la gran influencia de la iglesia católica en las costumbres y creencias de la gente de occidente podríamos decir que la concepción de base diez se debe a mitos religiosos. Sin embargo, otros autores piensan que la base diez se da

13 Nicómaco de Gerasa (también Nicomachus, c. 100 d.C., Gerasa, actualmente Jerash, en Jordania), fue un filósofo y matemático neopitagórico. Autor de la obra de gran influencia Arithmetike eisagoge (Introducción a la aritmética), un tratado en donde aborda la teoría de números. El tratado se constituyó en manual de base de las escuelas platónicas, traducido en varias ocasiones, fue considerado una autoridad durante diez siglos. 14 IFRAH, op. cit. Página 182.

8La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas naturalmente porque la herramienta primaria del hombre para contar son los dedos de la mano.

Georges Ifrah, afirma que en ciertas regiones de África occidental los pastores mantenían una costumbre muy práctica para contar un rebaño. Hacían desfilar los animales uno tras otro. Al paso del primero enhebraban una concha en una correa blanca, otra por el segundo, y así sucesivamente. Al paso del décimo animal deshacían el collar y enhebraban una concha en una correa azul, asociada a las decenas. Luego volvían a enhebrar en la correa blanca hasta que pasaban al vigésimo animal, y entonces enhebraban una segunda concha en la correa azul. Cuando esta a su vez contenía diez conchas, al haber contado cien animales, se deshacía la correa de las decenas y enhebraban una concha en una correa roja, reservada para las centenas. Y así continuaban hasta acabar la cuenta de los animales. Al enumerar doscientos cincuenta y ocho animales, por ejemplo, se tenían ocho conchas enhebradas en la correa blanca, cinco en la azul, y dos en la roja.

La idea fundamental de ese procedimiento reside en el predominio del agrupamiento por decenas (paquetes de diez), centenas (paquetes de diez decenas), millares, etc. En esa técnica concreta, cada concha de la correa azul vale por diez, mientras que una concha de la correa roja indicaba un agrupamiento de cien unidades. Tenemos ahí un ejemplo de numeración decimal concreto.

Naturalmente, en lugar de usar conchas y correas, ese principio podría ser aplicado tanto a palabras como a signos gráficos: obtendríamos entonces numeraciones orales o escritas de base diez y según Ifrah, fueron los egipcios quienes adoptaron el primer sistema de numeración base 10, como veremos a continuación. 15

2.3 Los egipcios

La notación numérica de los egipcios no fue más que una manera de introducir por escrito el resultado de un método concreto de contar, que ellos emplearon en épocas arcaicas; un método que consistía en representar un número dado por el alineamiento o acumulación de tantos objetos-patrones como hiciese falta (guijarros, conchas, bolillas, bastoncillos, discos, argollas, etc), asociados cada uno de ellos a un orden de unidad de un sistema de numeración. En el siguiente cuadro encontrará esa simbología, su traducción al español y al sistema decimal.

Figura 2-5: Numeración egipcia.

15 IFRAH, op. cit. Página 89.


Los signos de la numeración escrita apenas permitían imaginar los objetos concretos que les habían precedido en el arte del cálculo figurado de las épocas anteriores a la invención de la escritura.

¿Por qué los números 1.000 y 100.000, por ejemplo, fueron representados respectivamente, por una flor de loto y un renacuajo? ¿Habrían contado en su época por medio de flores de loto y ranas? Parece poco real.

¿Por qué razón la espiral y el dedo humano fueron elegidos para representar la centena y la decena de mil? ¿Y por qué al hombre arrodillado levantando los brazos hacia el cielo le fue atribuido el valor de un millón? Son algunas de las muchas preguntas acerca de las cuales la egiptología no se ha pronunciado todavía.

Según Ifrah el origen gráfico de las cifras egipcias ha sido bastante más complejo que el de las cifras sumerias o de los elamitas vecinos de los sumerios (hoy sudoeste de Irán). Los inventores de esta numeración habrían recurrido, sin duda a varios principios a la vez.

A este respecto las siguientes hipótesis pueden ser plausibles, aunque no se disponga de una prueba formal alguna sobre el tema.

El origen de la cifra 1 podría haber sido “natural”. En efecto la barra vertical es el símbolo gráfico más elemental que el ser humano puede imaginar para la presentación de la unidad. Los hombres prehistóricos la utilizaban desde más de 30.000 años sobre sus huesos tallados como vimos y se sabe que una multitud de pueblos le atribuyeron ese valor.

Para el símbolo de la decena la hipótesis que se maneja es que corresponde al dibujo de un cordón que habría servido para reunir 10 de los bastoncillos que representaban la unidad; el dibujo para el diez egipcio era una especie de “U” invertida así:

Para los símbolos de 100 y 1000 (la espiral y la flor de loto ) se puede pensar que sus inventores debieron recurrir a “préstamos fonéticos”.

En efecto, es posible suponer que el origen de las palabras egipcias para decir “espiral” y “flor de loto” correspondían respectivamente a los mismos sonidos que “cien” y “mil”. Y queriendo representar gráficamente estos números, se habría adoptado la imagen de la espiral y la flor de loto por sus sonidos respectivos, independientemente de su sentido visual directo.

10La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas Casos semejantes se han producido en muchos otros pueblos. En la antigua escritura china, por ejemplo, el número 1000 tenía la misma representación gráfica que el nombre, y sus nombres respectivos probablemente tuvieron la misma representación que en la época arcaica.

Por su parte, el jeroglífico de la decena de mil (que representa justamente un dedo

elevado y un poco inclinado ) podría haber constituido una sobrevivencia de la cuenta manual que los egipcios emplearon, probablemente, permitía contar hasta 9.999 gracias a diversas posiciones de los dedos.

El símbolo para 100.000 ( ) podría tener su origen en algo puramente simbólico: el “croar” de los renacuajos en el Nilo y la gran fecundidad primaveral de estos batracios.

En cuanto al jeroglífico de 1’000.000 ( ) podría haber tenido un origen de carácter psicológico. Los primeros egiptólogos que descifraron este ideograma creyeron, en un principio, que se trataba de un hombre intimidado por la importancia considerable del número que estaba obligado a expresar. En realidad este jeroglífico (que no solamente designaba el valor del millón, sino que poseía todo, a los ojos de lo egipcios un genio que sostenía la bóveda celeste. En el origen de esta imagen-signo hubo probablemente un hombre ( quizá un sacerdote o un astrónomo) contemplando las estrellas del firmamento y tomando entonces conciencia de su multitud (Véase la figura 5).

La idea de que fuera un sistema aditivo, es decir que para expresar un número “grande” se debiera recurrir a la adición de sus cifras es heredada de antiguas culturas como lo muestran evidencias en barro, piedra y madera encontradas en Karnak16.

Así los 47.209 enemigos aniquilados por el faraón Hasehem en el 2800 A.C. se expresan con 9 trazos verticales, seguidos de dos espirales (200), un ramillete de 7 flores de loto (7000) y luego 4 dedos levantados (40.000), como se ilustra enseguida.

Figura 2-6: Ejemplo 1 de número egipcio.

Con esta forma aditiva de asignar símbolos a cantidades, la posición de los símbolos no tenía ninguna repercusión en la cantidad y aunque usualmente se representaban con cierto orden la representación que se presenta en la Figura 2-6 es equivalente a la de la Figura 2-7.

Figura 2-7: Ejemplo 2 de número egipcio.

16 Karnak (al‐Karnak,كنركلا, "ciudad fortificada", llamada en el Antiguo Egipto, "el lugar más venerado") es una pequeña población de Egipto, situada en la ribera oriental del río Nilo, junto a Luxor. Era la zona de la antigua Tebas que albergaba el complejo religioso más importante del Antiguo Egipto

11La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas La forma jeroglífica de representación de cantidades de los egipcios era obsoleta a la hora de escribir números como 9’999.999 pues implicaba escribir cada símbolo nueve veces lo que en términos prácticos resultaba bastante laborioso.

Para hacer operaciones aritméticas, el sistema no era versátil, sin embargo los diseños arquitectónicos demandaban ingeniería sofisticada que debió apelar a las matemáticas para tener éxito; así lo demuestran las pirámides que construyeron.

No es recomendable enseñar operaciones aritméticas a los estudiantes con este sistema pues aunque los cálculos no son complicados, resulta laboriosa su escritura, y el estudiante puede perder la noción de sistema posicional.

2.4 Sistemas de numeración posicionales.

Mucho más efectivos que los sistemas aditivos son los posicionales. En ellos la posición de una cifra indica el grupo de unidades que representa según la base escogida.

Sólo tres culturas además de la hindú lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho de que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.

Fueron los hindúes antes del siglo VII los que idearon el sistema decimal tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos al sistema decimal cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran serios indicios de una procedencia cien por ciento india. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellos, aunque tardaron siglos en ser usados y aceptados. Se produjo en Europa una gran resistencia por el solo hecho de ser nuevo y ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

A continuación se muestran con mayor detalle algunos de los sistemas de numeración mencionados.

12Contexto histórico

2.5 Los babilonios17

Muy superior a todas las notaciones numéricas usadas en el mundo antiguo, el sistema abstracto de los expertos mesopotámicos forjado a partir de la antigua numeración sexagesimal sumeria es bastante parecido a nuestro sistema de numeración actual, del que difiere por la naturaleza de su base y el modo de formación de sus cifras.

Según Ifrah, desde los descubrimientos de Hincks18 en 1854, muchos otros documentos de carácter científico, fueron encontrados en diversas regiones de Mesopotamia. Su desciframiento e interpretación se deben mucho a las contribuciones de F. Thureau-Dangin y O. Neugebauer en 1960 aproximadamente.

La existencia de esta numeración está atestiguada por múltiples tablillas matemáticas provenientes de Susa (en Elam), que se remontan a finales de la I dinastía babilónica, y ha sido confirmada por el descubrimiento reciente de tablillas matemáticas en Mari.

Por su contenido matemático y en particular, por la notación numérica empleada, las tablillas babilónicas constituyen la confirmación de un desarrollo matemático muy elevado, y nos proporcionan un testimonio de la influencia babilónica más allá de las fronteras.

Se dice que es el primer sistema de numeración posicional en el cual el valor de un dígito particular depende tanto de la base como de su posición en el número que se quiere representar. Esto es un avance muy importante, porque, antes de este sistema la gente estaba obligada a utilizar símbolos únicos para representar cada potencia de una base (diez, cien, mil, y así sucesivamente), como mostramos en el sistema egipcio llegando a ser los cálculos más básicos poco manejables.

Un número grande en el sistema babilónico de base sesenta se puede escribir de forma rápida y su extensión sobre tablillas o papel es mínima. Además, la base 60 es divisible por dos, tres, cuatro, cinco, seis, diez, quince, veinte, y treinta. Solamente dos símbolos eran usados en una variedad de combinaciones para denotar los primeros 59 números; la cuña ( ) y el clavo ( ) como se observa en la Figura 2-8.

Figura 2-8: Numeración babilónica.

17 IFRAH, op. cit. Página 204 18 Edward Hincks (19 de agosto de 1792 ‐ 3 de diciembre de 1866) fue un asiriólogo Irlandés y uno de los descifradores de la escritura cuneiforme mesopotámica.


Un número mayor de 59 como 142 por ejemplo, se representaba así:

Nótese que en el número existe un espacio entre y . Esto

Señala que el número consta de dos cifras: que es la cifra de las unidades y

que corresponde a las unidades de segundo orden.

El sistema de numeración babilónico es por lo tanto un sistema mixto aditivo-posicional: aditivo hasta 59 y posicional desde 60.

Como no existía un símbolo específico para el cero, los egipcios dejaban un espacio que causaba confusión cuando representaba alguna cifra.

Por ejemplo en el número se supone que cero representa las unidades de segundo orden.

Un estudiante puede pasar desapercibido este hecho y más si el cero representa las cifras de las unidades de primer orden (unidades); por eso propongo la estrategia de ubicar los números en rectángulos en donde cada cifra ocupe un lugar separado por barras, para que se aprecie mejor la representación.

Así pues a lo podemos distribuir así:

De tal manera que el estudiante comprenda claramente la ubicación de las cifras del número.

14La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas De esta manera podemos escribir cualquier número babilónico sin ambigüedades. Por ejemplo el mismo número 60, en donde cero representa la cifra de las unidades de primer orden, quedaría representado así:

Lo que facilitará además realizar las operaciones más claramente.

2.6 Sistema maya

Según Ifrah, los mayas, antigua civilización de la zona de América Central19 usaban un sistema de numeración vigesimal, esto es de base 20. Los mayas preclásicos20 y sus predecesores olmecas definieron el concepto del cero o “nada” sobre el año 36 A.C, lo que constituye el primer hecho documentado del cero como hoy lo conocemos.

La escritura maya, era una combinación de símbolos fonéticos e ideogramas. Su decifrado fue un complicado proceso, ya que los sacerdotes españoles ordenaron la quema de todos los libros mayas tras la conquista.

Los números mayas fueron usados esencialmente para medir el tiempo y hacer calendarios. Por ese motivo el sistema tiene relación con los días, meses y años. No es muy aconsejable para hacer operaciones aritméticas.

La numeración maya posee solo tres símbolos para representar los números 0, 1 y 5 como podemos ver en el la Figura 2-9 en la cual se encuentran los números del 0 al 29.

Figura 2-9: Numeración Maya.

19 La civilización maya habitó una vasta región denominada Mesoamérica, en el territorio de América Central, en los territorios actuales de Guatemala, Belice, Honduras , El Salvador y en el territorio hoy comprendido por cinco estados del sureste de México que son, Campeche, Chiapas, Quintana Roo, Tabasco y Yucatán, con una historia de aproximadamente 3.000 años 20 La historia de la cultura maya se divide en tres periodos: pre‐clásico, clásico y post‐clásico. Ver la página: http://thematrix.sureste.com/cityview/merida1/merida2000/periodos.htm


2.7 Sistema Romano21

El sistema de numeración utilizado por los romanos era mucho más simple que los anteriores y se basaba en el valor absoluto y posición relativa de siete símbolos representados por letras del alfabeto, con los que se podía representar unas cantidades elevadas con un número reducido de ellos. Estos símbolos eran: I, V, X, L, C, D y M, donde I representaba 1 unidad, V 5 unidades, X diez unidades, L 50 unidades, C 100 unidades, D 500 unidades y M 1000 unidades. Con estos símbolos se obtenían todos los demás números. Es importante decir que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil. Por ejemplo 5.000 se escribe .

Las reglas del sistema son las siguientes

1. Los símbolos se colocan de tal forma que el de menor valor vaya delante del valor mayor. Por ejemplo 2151 se escribe MMCLI y 1809 se escribe MDCCCIX.

2. Cuando a la derecha de una cifra se escribe otra igual o menor, el valor resultante es la suma de los dos valores de las cifras. En el siguiente cuadro damos varios ejemplos:

Por otro lado, la cifra I colocada a la izquierda de V o X, les resta una unidad. La cifra X colocada a la izquierda de la L o la C, les resta diez unidades. La C colocada a la izquierda de la D o la M, les resta cien unidades.

21 IFRAH, op. cit. Página 405.


3. jUna cifra no se puede repetir más de tres veces seguidas.

4. Las cifras V, L y D no se pueden duplicar ya que la X, C y M representan sus valores duplicados.

5. Si entre dos cifras cualesquiera hay otra menor, esta restará su valor a la siguiente.

En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos con rapidez. Prácticamente todo el mundo occidental conoce los números romanos. Se enseñan en las escuelas, se pueden ver en créditos de muchas películas, marcan los siglos y se usan para distinguir reyes del mismo nombre, entre otras cosas.

Según Ifrah las cifras romanas y etruscas son verdaderos fósiles prehistóricos. Derivaron directamente de la práctica de la muesca, aritmética primitiva, cuyo principio consistía en hacer pequeñas tallas sobre un fragmento de hueso o sobre un bastón de madera, que permite hacer una correspondencia biunívoca entre las cosas que hay que numerar y los trazos destinados a representarlas. La siguiente figura22 muestra la evolución de las muescas que derivaron en los números romanos que hoy conocemos.

22Es una foto escaneada del libro de Ifrah pero arreglada en el programa Paint para su presentación y mejor comprensión en este trabajo.


Figura 2-10: Numeración romana.

2.8 Sistema Indo-arábigo 23

La civilización india es la cuna de la numeración moderna. Según una tradición popular que persiste en Egipto y norte de África, las cifras “árabes” fueron inventadas por un vidriero geómetra originario del Magreb, el cual imaginó que podría dar a cada una de las nueve cifras significativas, una forma evocativa en función del número de ángulos contenidos en el trazado de cada una de ellas. Un ángulo para el grafismo de la cifra 1; dos ángulos para el grafismo de la cifra 2, tres ángulos para 3 y así sucesivamente ver Figura 2-11

Figura 2-11: Teoría 1 del origen de la forma de los números indo-arábigos.

Esta teoría también la podemos encontrar en la obra de un autor francés de fines de siglo XIX llamado Pierre Louis Dumesnil24, quien considera como igualmente probable la hipótesis de la formación de estas figuras por encaje de trazos como se muestra en la Figura 2-12.

Figura 2-12: Teoría del origen de la forma de los números indo-arábigos.

23 IFRAH, op. cit. Página 550 24 Pierre Louis Dumesnil, fue un pintor francés (1698‐1781). Es especialmente recordado por su cuadro en el que representa a Descartes y a la reina Cristina de Suecia.

18La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas Ifra referencia varias hipótesis de distintos personajes para quienes el número de puntos habría servido inicialmente para realizar una representación ideográfica de las nueve unidades del primer orden decimal que habrían sido enlazadas para formar los nueve signos conocidos (Ver Figura 2-13). En 1760 Dumesnil retomó esta teoría, pero para apoyar la tesis del origen griego del sistema: al atribuir a los pitagóricos la invención de las cifras actuales. Adoptó como argumento que las representaciones geométricas de los números enteros por agrupaciones de puntos habían desempeñado un importante papel entre los miembros de la secta.

Figura 2-13: Teoría 3 del origen de la forma de los números indo-arábigos.

Existen un sin número de hipótesis imaginarias acerca de quien, cómo y por qué se diseñó esta numeración, lo que hace que obtener información consistente y veraz se torne complicado. Sin embargo Ifrah propone que la invención de los números decimales es propiedad meramente india25 recopilando 21 testimonios europeos y 30 árabes que ratifican la propiedad intelectual de los indios del llamado sistema “indo-arábigo”.

Concluyendo esta parte podemos decir que los hindúes hicieron grandes y valiosos aportes en matemáticas a la humanidad. Los sacerdotes hindúes inventaron los números decimales, llamados arábigos por ser los árabes quienes los divulgaron luego de invasiones que hicieron a España y otros países en el siglo VII.

Los contactos comerciales entre la India y el imperio construido por los árabes favorecieron que éstos últimos adoptaran tanto el sistema de numeración hindú como sus signos numerales, contribuyendo luego decisivamente a difundirlos en Occidente.

Los hindúes también inventaron el valor de la cifra cero (en el siglo IX el cero ya era de uso común en los textos hindúes), muchas nociones sobre decimales, el sistema de valorar un número según el lugar que ocupa en el conjunto de varias cifras y los fundamentos del álgebra y la trigonometría.

El sistema de numeración se presta para hacer todo tipo de cálculos aritméticos gracias a las bondades que ofrece por ser posicional, de base 10 y contar con la simbología antes presentada. Como es el sistema más usado, muchos estudiosos han creado un sin número de algoritmos para hacer cálculos numéricos, es el que se ha globalizado y el que los estudiantes deben manejar a cabalidad.

A nuestro país llegó este sistema numérico con el descubrimiento de América.

25 IFRAH, op. cit. Página 817


2.9 Sobre el cero

Hasta el año 1200 después de Cristo, se usó en Europa la numeración romana. Por esa época, un mercader de Pisa, Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci, al volver de un largo viaje por África y Oriente Medio escribió un libro titulado Liber Absci26, donde exponía y proponía emplear el sistema de numeración utilizado por los árabes, que a su vez lo habían aprendido de los hindúes. Sus ventajas más importantes eran la utilización del cero y el sistema posicional de notación.

La obra de Fibonacci tuvo que esperar a la invención de la imprenta para que llegara a ser conocida en toda Europa.

Es interesante señalar que ya los mayas, en el siglo V, tenían la noción del cero, número que empleaban en su sistema de numeración vigesimal. El número cero es una de las grandes invenciones del genio humano, ya que facilita la ejecución de las operaciones aritméticas.

La introducción del cero y el sistema decimal en Europa permitió el progresivo abandono de la numeración romana vigente hasta la Edad Media. Puede comprobarse la importancia de este sistema, si se hacen los cálculos corrientes utilizando los números romanos.

Como hemos mostrado, a lo largo de la historia han existido numerosos sistemas de numeración. Cada cultura o civilización se ha servido de los sistemas que ha considerado más pertinentes. Para simplificar, dividiremos a todos los sistemas en dos tipos:

1. Sistemas no posicionales. En ellos se utilizan símbolos cuyo valor numérico es siempre el mismo independientemente de donde se sitúen. Es lo que ocurre por ejemplo con la numeración romana o con la numeración egipcia.

2. Sistemas posicionales. En ellos los símbolos numéricos cambian de valor en función

de la posición que ocupen. Tienen una base, que es el número total de símbolos que utiliza el sistema. Es el caso de la numeración decimal de base 10.

La historia ha demostrado que los sistemas posicionales son mucho mejores para los cálculos matemáticos por las siguientes razones:

1. Se puede representar cualquier cantidad por grande que sea. 2. Las operaciones matemáticas son más sencillas, pues sus cálculos se hacen versátiles

y ligeros.

Partiendo de la representación decimal de los números naturales, a continuación daremos una mirada al sistema algebraico que los conforma.

26 Es un libro histórico sobre aritmética escrito por Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Su título tiene dos traducciones comunes, El libro del ábaco o El libro del cálculo. En este trabajo, Fibonacci introduce a Europa los números arábigos, un elemento mayor de nuestro sistema decimal, el cual había aprendido cuando estudió con los árabes mientras vivía en el norte de África con su padre, Guglielmo Bonaccio, quien quería que él se convirtiera en mercante.

20 Contexto disciplinar

3. Contexto disciplinar

3.1 Números naturales

Las más antiguas nociones de número en la raza humana se remontan en el tiempo hasta perderse su rastro. Sin embargo, el desarrollo y aplicación del primitivo concepto es un proceso muy largo en el que se va avanzando de manera lenta e irregular. Parece ser que el elemento determinante en el paso de reconocer, de forma muy primitiva, este concepto es el descubrimiento de que algunos grupos de cosas pueden ponerse en correspondencia biunívoca.

Una vez que la consciencia de número se extiende y se comprende de modo general en los seres humanos, se observa la necesidad de expresar dicho conocimiento a través de algún tipo de lenguaje simbólico.

Como vimos en el contexto histórico, en un principio se usan los dedos de las manos: consecuencia de ello es la actual preponderancia del sistema decimal, que también fue dominante en muchos pueblos primitivos. Del mismo modo, en otros lugares y épocas aparecen sistemas de base 5 (los dedos de una sola mano) y sistemas de base 20 (los dedos de las manos y los pies conjuntamente). El siguiente paso es la utilización de montones de piedras u otros objetos para representar correspondencias con los elementos de otro conjunto. En una etapa posterior, estos montones se sustituyen por muescas en palos, trozos de maderas, huesos... hechos en la mayoría de las ocasiones con sílex27. Aunque no hay constancia de ello, los signos para representar números parecen ser anteriores a la aparición de la palabra escrita. No en vano, es más sencillo hacer muescas sobre una determinada superficie que establecer una frase para describir una cierta realidad concreta.

En cuanto al concepto de número natural, es de suma importancia observar las dos caras que ofrece: una es el aspecto cardinal, y otra es el aspecto ordinal. Ambos son complementarios y mientras el primero se basa en el principio de emparejamiento, el segundo trae consigo el concepto de sucesión.

El concepto de número se consolida y progresa con gran rapidez gracias a la facilidad para identificar estos dos aspectos. El número cardinal, es el que permitirá el cálculo aritmético, y el número ordinal ofrece la facilidad para disponer todo tipo de objetos en sucesión. El sistema numérico está basado en los dos principios que se deducen de ambas visiones del concepto de número: el de correspondencia y el de sucesión.

En el conjunto de los números naturales, cualquier elemento se puede obtener añadiendo una unidad al elemento que le antecede. Este es el llamado principio de recurrencia, uno de los más importantes en este contexto.

27 El sílex (SiO2), también llamado pedernal del grupo de la sílice (como el cuarzo o la calcedonia)

21 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas. Para obtener una construcción formal del conjunto N de los números naturales, se puede recurrir a dos caminos diferentes, cada uno de ellos relacionado con el aspecto cardinal u ordinal de número.

En un principio, el concepto de número natural se introduce de forma axiomática a través de Giussepe Peano en 1888. Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de clases, el número natural aparece como un concepto derivado; es por este camino por el que se internan otros matemáticos como Georg Cantor en 1860, Gottolb Frege en 1872 y más adelante en 1922 Bertrand Russell.

Fue Frege quien nos legó la actual definición de número cardinal, apoyándose en la idea de correspondencia biunívoca; idea mejorada por Bertrand Russell: “un número es cualquier cosa que sea el número de una clase y, el número de una clase es la clase de todas las clases equivalentes con la clase dada”.

La anterior definición tiene la apariencia de ser circular, pero en realidad no lo es. Definimos “El número de un determinada clase” sin usar la noción de número en general; podemos por lo tanto definir en términos de “el número de determinada clase sin cometer errores lógicos”28

La anterior definición que parece un trabalenguas con el tiempo se formaliza como veremos más adelante.

No obstante, la teoría de conjuntos dio lugar a principios del siglo XX a una tremenda polémica, ya que en ella se descubrió la aparición de algunos conjuntos paradójicos. Esto condujo, entre otras discusiones, a cuestionar la existencia del conjunto de todos los conjuntos.

Fue el matemático Giuseppe Peano en 1888 quien intentó desarrollar un lenguaje formalizado para fundamentar la aritmética. Sus axiomas han servido como base de numerosas construcciones en el campo del Álgebra y el Análisis. Fundamentó sus cinco postulados en tres conceptos: cero, número y la relación ser sucesor de. A pesar de estos esfuerzos, sería Hilbert (uno de los padres del formalismo en matemáticas) quien realmente acabará sistematizando el pensamiento axiomático, aunque Grassmann y Dedekind ya habían dado algunos pasos en esa misma dirección.

Una vez realizada esta axiomatización, pareció haberse logrado una fundamentación definitiva. Sin embargo, en las tres primeras décadas del siglo XX se abrió una gran crisis de los fundamentos en el mundo matemático que afectó a éste en todos sus aspectos. Es aquí donde se sitúan las numerosas controversias y discusiones acerca del concepto de número.

28 BERTRAND RUSSELL. Introducción a la filosofía matemática. Ediciones Paidos Ibérica. Vol 32. Barcelona España, 1988. Páginas 24 y 25.

22 Contexto disciplinar.

Ninguno de los dos procedimientos para fundamentar la aritmética se mostró como absolutamente satisfactorio y sin fisuras. El sistema axiomático parte del concepto ordinal para intentar desarrollar a continuación la teoría cardinal; de manera opuesta, el sistema conjuntista desarrolla la aritmética cardinal para introducir a continuación el número ordinal. En ambos casos, las justificaciones lógicas parecen en extremo complicadas y enrevesadas, demostrando teoremas que aparecen como evidentes a la intuición y otros no tan evidentes.

3.1.1 El conjunto de los números naturales como sistema axiomático

A. Sistema axiomático de Peano29.

Para definir el conjunto N de los números naturales se puede recurrir a la siguiente construcción; es un conjunto que verifica los axiomas que se enuncian a continuación:

1. Cero es un número. 2. El sucesor de un número es un número. 3. Los números distintos tienen sucesores distintos. 4. Cero no es sucesor de ningún número. 5. Principio de inducción matemática.

Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias observaciones importantes:

Observación 1: En su formulación original, Peano dio como primer número natural el 1 y no el 0 como aquí aparece.

Observación 2: El primer axioma garantiza que el conjunto N no es vacío; al menos contiene al elemento cero. El segundo de los axiomas ofrece un procedimiento para la construcción del conjunto N, a través de la relación de sucesor de. Así el sucesor de 0 se puede denotar con cualquier símbolo, por ejemplo 0'. El tercer axioma garantiza que hay infinitos números naturales. Gracias al axioma cuarto podemos decir que en el conjunto de los números naturales (IN) hay un “primer” número y el principio de inducción matemática da las herramientas necesarias para demostrar propiedades de los números.

El principio de inducción completa y sus consecuencias

Para verificar que una propiedad P(n) es valida para todo número natural n se deben verificar dos cosas:

1) P(0) es verdadera 2) Si P(n) entonces P(n+1) es verdadera para cualquier n Є IN.

Entonces p(n) es verdadera para todo n Є IN.

29 Me he basado para esta sección en el libro: Teoría de números para principiantes. De JIMENEZ L., GORDILLO L. y RUBIANO G. (1999) Universidad Nacional de Colombia. Pagina 1.

23 Contexto disciplinar.

Hay muchos matemáticos que consideran que el primer elemento del conjunto N es el 1, no el 0. En tal caso, el principio anterior puede enunciarse de forma análoga, es decir hay que cambiar P(0) con P(1) y verificar que se cumple. Una manera muy intuitiva para comprender lo que dice este principio es la analogía es decir hay que cambiar P(0) con P(1) y verificar que se cumple con infinitas fichas de dominó colocadas en fila una detrás de otra.

Si tenemos la seguridad de que las fichas están colocadas de tal forma que al caer una cualquiera de ellas, entonces hace caer a la siguiente, y también nos aseguramos de que la primera ficha caiga, entonces concluimos que de manera irremisible todas las fichas colocadas en la fila caerán.

Con el principio de inducción matemática podemos enunciar y demostrar algunos teoremas relevantes. A continuación enunciaremos y demostraremos algunos de ellos; pertinentes para el trabajo.

Teorema 1: Todo elemento de N es distinto de su siguiente. Es decir, x ≠ x', para cualquier elemento x del conjunto N.

Demostración: considerando el conjunto C = {x N/x ≠ x'}, el tercer axioma de Peano asegura que 0 pertenece a C; además, si y pertenece a C, entonces debe cumplir que y ≠ y'. Por el axioma 2 se tiene que y' ≠ (y')', por lo cual y' debe pertenecer al conjunto C. Por tanto, aplicando el principio de inducción, debe ser C = N. Así se construye a partir de 0 la sucesión de los números naturales.

Teorema 2: Todo elemento del conjunto N, a excepción del 0, es el siguiente de algún número natural. Es decir, que dado cualquier número natural n ≠ 0, siempre existe otro número natural m tal que m' = n.

Demostración: Sea C = {0} {x N-{0}/existe y Є IN y y' = x}. Por hipótesis 0 C; de igual modo, si k C entonces k' C. Por el axioma 2 de Peano concluimos que C = N, y por tanto se observa que dado un número natural cualquiera éste debe ser cero o debe ser el siguiente de otro.

B. Operaciones básicas en el conjunto N: suma y producto de números naturales

En el principio de inducción se van a apoyar las llamadas definiciones por recurrencia, que permiten definir las operaciones de suma y multiplicación entre los naturales y probar algunas de sus propiedades.

24 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas

a) Suma de números naturales.

A cada par de números naturales m y n se les asocia otro número natural, que llamaremos suma de m y n y que se denota por m + n, definido por recurrencia del siguiente modo:

m + 0 = m.

Si m + n está definido, entonces m + n' = (m + n)'.

Esta afirmación formaliza una manera muy intuitiva de presentar la suma en términos muy elementales; consiste en sumar n veces 1 a un número fijo m. Esto es:

La anterior expresión representa una de las formas más elementales que utilizan los niños a la hora de sumar; ir añadiendo una unidad hasta lograr el resultado.

Esta operación así definida posee ciertas propiedades que enunciaremos a continuación y que se demuestran, por lo general, con el principio de inducción matemática.

Propiedad 1: La suma de números naturales está bien definida. Es decir, que dados dos números naturales m y n, entonces la suma m + n también pertenece al conjunto N. Por tanto, el conjunto de los números naturales es cerrado con respecto a la operación suma. Además, dicha operación es única. Esto se conoce en la escuela como propiedad clausurativa.

Propiedad 2: La suma de números naturales es una operación asociativa, es decir que para cualesquiera m, n y p números naturales se cumple que (m + n) + p = m + (n + p). Se desprende de estas dos primeras propiedades que (N,+) es un semigrupo aditivo.

Propiedad 3: La suma de números naturales es una operación que posee elemento neutro. Esto es, existe un elemento de N (dicho elemento es el cero) que verifica que:

m + 0 = 0 + m = m, para todo elemento m del conjunto N.

Propiedad 4: La suma de números naturales es una operación conmutativa. Quiere esto decir, que dados dos números naturales m y n se verifica que m + n = n + m.

Propiedad 5: A excepción del cero, ningún elemento del conjunto N tiene elemento opuesto. Es decir, si se tiene que m + n = 0, entonces deben ser m = n = 0.

Propiedad 6: Simplificación o cancelación de elementos. Si se tiene m + n = p + n, entonces es m = p.

La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas 25

b) Producto de números naturales

Esta operación también se definirá a partir de una recurrencia, de la siguiente manera: dados dos números naturales m y n, asociado a ellos se encuentra otro número natural llamado producto de m y n denotado como m·n (aunque en general se suele escribir simplemente mn) definido como sigue:

m · 0 = 0. Si m·n está definido, entonces m · n' = m · n + m.

Para un niño la expresión m · n corresponde a sumar m veces n:

Por ejemplo: 2·3 = 2·2' = 2·2 +2. Como 2·2 está definido como sumar dos veces dos entonces 2·2 +2 = 2+2+2

Del mismo modo que la suma, esta operación producto cumple una serie de propiedades que la hacen característica, y que son las siguientes:

Propiedad 1: El producto de números naturales está bien definido. Es decir, que dados dos números naturales m y n, entonces el producto m · n también pertenece al conjunto de los números naturales. Por tanto, el conjunto N es cerrado con respecto a esta operación, que además es única.

Propiedad 2: La operación producto es distributiva respecto de la operación suma. Esto se traduce en que dados m, n y p números naturales, entonces se cumple que:

m· (n + p) = m· n + m· p y también que (m + n) · p = m· p + n· p.

Propiedad 3: El producto de números naturales posee la propiedad asociativa, lo cual significa que dados m, n y p números naturales, entonces se cumple que:

(m· n)p = m(n· p).

Propiedad 4: El producto de números naturales posee la propiedad conmutativa. Esto es, que dados dos números naturales m y n entonces se cumple que m· n = n· m.

Propiedad 5: Existe un elemento del conjunto N (que es el elemento 1) que cumple que:

m · 1 = 1 · m = m, cualquiera que sea el número natural m. Dicho elemento recibe el nombre de elemento neutro para el producto de números naturales.

Propiedad 6: El conjunto N no tiene divisores de cero, es decir, si m· n = 0 entonces m = 0 o n = 0.


Propiedad 7: Simplificación o cancelación de elementos: si se tiene un número natural n ≠ 0 y se cumple que n· m = n· p, entonces es m = p.

Nota: La mayoría de estas propiedades se demuestran con el principio de inducción matemática.

D. Ordenación en el conjunto N

a) Definición y propiedades

Dados dos números naturales m y n, se dice que m es menor o igual que n (y se denota por m ≤ n) si existe un número natural p tal que m + p = n. También se puede decir en ese caso que n es mayor o igual que m, y se denota por n ≥ m.

Hay que tener en cuenta que para un niño, un número n es menor que un número m si en su proceso de contar uno a uno, nombra primero a n que m.

Por ejemplo para un niño 2 < 5 porque al contar de 1 a 5 se pasa primero por 2.

Esta relación entre los elementos que conforman el conjunto de los números naturales cumple las siguientes propiedades:

Propiedad 1: La relación tiene la propiedad reflexiva: todo elemento m del conjunto N cumple que m ≤ m.

Propiedad 2: La relación verifica la propiedad antisimétrica. Es decir, dados dos números naturales m y n tales que m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n.

Propiedad 3: La relación cumple la propiedad transitiva, o sea que dados tres números naturales m, n y p tales que m ≤ n y que n ≤ p, entonces m ≤ p.

Propiedad 4: la relación posee la propiedad de conexión. Para cualesquiera dos elementos m y n del conjunto N, se cumple siempre que m ≤ n o que n ≤ m.

Estas propiedades confieren a (N,≤) la calificación de conjunto totalmente ordenado, pues dos elementos cuales quiera siempre son comparables.

b) Compatibilidad entre la relación de orden y las operaciones con números naturales

La relación de orden anteriormente descrita da lugar a dos leyes con respecto a las operaciones suma y producto de números naturales, una para cada operación.

Monotonía con respecto a la suma: dados tres números naturales m, n y p, m ≤ n si, y sólo si, m + p ≤ n + p.

27 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas

Consecuentemente, en una desigualdad se puede sumar miembro a miembro. Es decir, que si m ≤ n y también p ≤ q, entonces m + p ≤ n + q.

Monotonía con respecto al producto: dados tres números naturales m, n y p, si m ≤ n entonces mp ≤ np. Si se tiene p ≠ 0, entonces también se va a cumplir la implicación recíproca.

Teniendo en cuenta lo anterior se tiene la propiedad de la tricotomía que afirma:

Dados dos números naturales m y n, se debe cumplir una, y sólo una, de las relaciones siguientes: m < n, m = n ó m > n.

3.1.2 Construcción del conjunto de los números naturales IN: En teoría de conjuntos.

El conjunto N construido a través de la teoría de conjuntos tiene la ventaja de que su visión es más intuitiva que la que se obtiene de la construcción axiomática. Sin embargo, este nuevo camino presenta graves problemas como la noción de infinito y la aparición de los conjuntos paradójicos, por lo cual exige un tratamiento muy delicado y preciso. No en vano, la crisis de fundamentos de la teoría de conjuntos afectó profundamente a esta rama de las Matemáticas y para resolverlos se requirió una teoría axiomática formal de la teoría de conjuntos. Sin embargo se puede trabajar de manera intuitiva a nivel escolar.

A. Cardinales y operaciones.

a) Cardinal de un conjunto

A través de la relación “ser equipotente” definida entre los conjuntos, se va a definir el nuevo concepto matemático de cardinal o número de elementos de un conjunto.

Definición: Sean A, B conjuntos. Decimos que A es equipotente con B si y solo si existe una función f: A→B que es biyectiva.

Así el cardinal de un conjunto A, que se denota como Card(A), será siempre el mismo que el de cualquier conjunto equipotente con él. Es decir, que Card(A) = Card(B) si y sólo si, A es equipotente a B.

Con esta definición 0 = {x/x ~ ø}, 1= { x/x ~ {a}}, 2={ x/x ~ {a,b}},… y así sucesivamente.

b) Operaciones con cardinales.

Con los cardinales se pueden efectuar las diversas operaciones aritméticas.

Contexto disciplinar 28

• Suma de cardinales:

Sean a y b dos cardinales cualesquiera. Eso significa que a = Card (A) y b = Card(B)

Siendo A y B dos conjuntos. Definimos a+b = Card (AUB) con la condición de que A y B

sean disyuntos o sea A∩B = ø.

De esta manera se tiene que

Card (A) +Card(B) = Card (AUB) si A∩B = ø.

La definición anterior no depende de las representaciones escogidas y es fácil demostrar a partir de las propiedades de las operaciones entre conjuntos que la suma de cardinales cumple con las propiedades conmutativa, asociativa y modulativa. Esto es:

Para cualesquiera conjuntos A, B, C se tiene:

a) Conmutativa: Card(A) + Card(B) = Card (B) + Card(A) pues A U B = B U A

b) Asociativa: Card(A) + (Card (B) + Card(C)) = (Card (A) + Card(B)) + Card)C) pues A U ( B U C) = (A U B) U C.

c) Modulativa: Card(A) + 0 = A

Pues A U ø = A.

La definición de suma refleja, el trabajo que a veces se hace con los niños pequeños con ejercicios como los siguientes.

Figura 3-1: Ejemplo para los niños de cardinalidad: al efectuar la operación 4 + 3 ellos imaginan cosas como estas:

• Producto de cardinales: Si a = Card(A) y b = Card(B), se define el producto de cardinales como a · b = Card (A × B).

Nuevamente, se prueba que la definición no depende de los representantes escogidos y que tiene las propiedades conmutativa, asociativa y elemento neutro (que en este caso será el cardinal 1, correspondiente a los conjuntos unitarios).

Los niños asimilan la multiplicación tomando ejemplos de rectángulos que se pueden conformar con distintos objetos. Como se muestra en el siguiente ejemplo30 que ilustra cómo se obtiene el resultado de multiplicar 3 por 5.

30 Ejemplo tomado del texto Delta 6 para grado sexto de la Editorial Norma


La multiplicación (producto) se relaciona con la suma (adición) por medio de la propiedad distributiva. Card(A) = a, Card(B) = b y Card (C) = c, entonces se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c.

c) Orden entre cardinales

Dados dos cardinales a y b con a = Card(A) y b = Card(B), se dice que el cardinal a es menor o igual que el cardinal b (denotado como a ≤ b) si, y sólo si, existe una aplicación inyectiva de A en B; es decir, si el conjunto A es equipotente con una parte del conjunto B.

Esta relación no depende de los representantes escogidos, y cumple las siguientes propiedades:

1. Cualquier cardinal a cumple que a ≤ a.

2. Dados dos cardinales a y b, si se cumple que a ≤ b y que b ≤ a, entonces a = b. Este es el llamado Teorema de Cantor-Bernstein.

Con esta definición también es posible demostrar las propiedades de orden en el numeral anterior.

Las definiciones anteriores nos permiten operar con conjuntos finitos como infinitos. En teoría de conjuntos un conjunto infinito se define como sigue:

Un conjunto A es infinito si y solo si existe un subconjunto propio B de A tal que A es equipotente con B, y es finito en caso contrario.

Dentro de esta teoría un número natural es el cardinal de un conjunto finito y en la teoría se puede probar que el conjunto de los números así definidos es isomorfo con el conjunto de los números naturales que se definió a través de los axiomas de Peano

3.1.3 Sistemas de numeración

Como lo vimos en el contexto histórico, al parecer la primera civilización que utilizó un sistema de numeración propiamente dicho fue la egipcia. Hace más de 5.000 años, los egipcios utilizaban un sistema de numeración jeroglífico de base 10. Poco a poco fueron surgiendo símbolos para representar diferentes potencias de diez. Algo más adelante, hacia los siglos XIX-XVII a. C., en la civilización babilónica ya se dispone de un sistema de numeración plenamente desarrollado cuya base ya no es decimal, sino sexagesimal (base 60).


El descubrimiento de miles de tablillas de escritura cuneiforme procedentes de dicha época (reinado de Hammurabi y su dinastía), con todo tipo de información, permite establecer estos conocimientos con toda fiabilidad.

Para números menores o iguales a 59, los sistemas egipcio y babilónico son prácticamente análogos, pero de ahí en adelante las diferencias son muy grandes. Los babilonios inventaron un sistema de notación posicional (hace más de 4.000 años), que les permitía representar números usando tan sólo dos símbolos: uno para el 1 y otro para el 10. Su gran problema fue la falta de representación del cero en sentido posicional.

En la Grecia más arcaica, la numeración se encontraba rodeada de un fuerte misticismo. Pitágoras y sus discípulos tenían en los números su forma de vida, rindiendo culto en torno a ellos y tomándolos como sagrados. Parece que en Grecia hubo dos sistemas de numeración: uno más primitivo, el sistema ático, que se cree procedente de la numeración jeroglífica egipcia; y otro posterior, el sistema jónico, que empezaba a desarrollar el principio posicional. Ambos sistemas se fundamentaban en una base decimal. Más adelante, los romanos utilizaron abreviaturas para expresar números. Son las famosas cifras romanas, que hacían extremadamente complicado el cálculo (por lo que se generalizó el uso del ábaco). Pese a su avanzado nivel técnico, los romanos conservaron un sistema de numeración sorprendentemente arcaico y muy poco operativo. En China, el sistema de numeración fue básicamente decimal y allí se introdujo el principio multiplicativo, que facilitaba enormemente la representación de números grandes. En esta región surgieron dos sistemas, uno basado en este principio multiplicativo y el otro en la notación posicional.

En la historia de la numeración, uno de los pasos más decisivos fue la invención del cero. Al parecer, ésta se dio de forma independiente en Oriente y Occidente, aunque la paternidad del descubrimiento suele atribuirse a la civilización maya. Aunque los babilonios habían hecho avances en este aspecto, fueron los mayas los que dotaron de pleno sentido a este concepto matemático. En la India es donde realmente surgen los sistemas de numeración modernos. Fue aquí donde se aplicó la idea del valor posicional a un sistema de numeración decimal. Además, fueron los hindúes los que redujeron a nueve el número de cifras usadas para representar números (no tenían símbolo mjhhpara la posición vacía; es decir, en un principio no disponían del cero). Hacia los siglos VIII-IX de nuestra era, sin embargo, aparece el cero en la India (unos 200 años después que los otros nueve símbolos), al parecer proveniente de Grecia. Este descubrimiento fue aplicado correctamente aquí en sus dos vertientes: como noción de vacío, y como cantidad nula.

Así pues, en la India hace unos 1.500 años se estableció la base de los sistemas de numeración modernos: base decimal, notación posicional y una cifra para cada uno de los diez numerales básicos. Luego el sistema que utilizamos actualmente no fue, como habitualmente se cree, de procedencia árabe. Al-Khwarizmi, un famosísimo matemático y astrónomo árabe, expuso en sus obras el sistema hindú de forma tan detallada y precisa que por error se creyó que había sido invención suya o herencia árabe. No obstante, se


debe tener en cuenta que sí fueron los árabes los que adoptaron los principios de este sistema y lo transmitieron a lo largo y ancho de su imperio, especialmente a Europa.

Este sistema, aun con todas sus evidentes ventajas, tardó varios siglos en implantarse definitivamente. Hasta el siglo XIII, en que las Cruzadas y las escuelas de traductores empezaron a propagar nuevas ideas, conceptos y concepciones en el mundo europeo, no se produjo un avance significativo en este aspecto. Gran parte del rechazo al nuevo sistema se debió a la fuerte implantación del ábaco como instrumento de cálculo, que impedía percatarse de las tremendas ventajas que emanaban de él. Cabe destacar entre los grandes defensores del nuevo sistema a Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci), que en su Libro del Ábaco (paradójico título, ya que en él critica el sistema tradicional) introduce los nuevos métodos algebraicos y la nueva notación indoarábiga. Durante varios siglos se desató una fuerte lucha entre los defensores del ábaco y los innovadores “algoristas”, que finalizó hacia el siglo XVI con la victoria de estos últimos, dada la evidente superioridad del nuevo método. Es en este momento cuando se consolida definitivamente nuestro actual sistema de numeración.

3.2 Conceptos básicos

La serie de números naturales es infinita, y por tanto, no se puede utilizar un símbolo particular para cada uno. Debido a ello, es necesario desarrollar algún método para simbolizar cualquier número natural.

Surge así la noción de sistema de numeración, definido como un conjunto de normas y convenios que son utilizados para representar a todos los números naturales mediante una adecuada combinación de un grupo reducido de signos. De este modo, en función del sistema de numeración que se considere, se obtendrá una distinta representación de un cierto número natural.

Cada uno de los signos del sistema se llama cifra (a veces también dígito o guarismo). En esta sección sólo vamos a estudiar sistemas de numeración posicional basados en el principio del valor relativo (por ejemplo nuestro habitual sistema decimal).

En un sistema de numeración lo primero que se establece es la base “b” que se va a utilizar; dicho sistema se valdrá de “b” cifras, que simbolizarán los números desde 0 hasta b – 1. A partir de b, aparecen las unidades de segundo orden (las decenas en el sistema decimal), constituidas por b unidades; las unidades de tercer orden están constituidas por b unidades de segundo orden... y así sucesivamente. Es decir, cada b unidades de un cierto orden constituyen una unidad del orden superior. El principio del valor relativo permitirá utilizar una cifra para expresar el número de unidades en cualquier orden, en función de su lugar al escribir el número. Así, cualquier número natural puede escribirse como una sucesión finita de estas cifra.


En particular, son muy conocidos y utilizados el sistema decimal (el más usual en nuestros tiempos, debido a sus ventajas en cuanto al cálculo algorítmico), el sistema sexagesimal (de origen mesopotámico, presente en la medida de los ángulos y del tiempo) y el sistema binario (de base 2, que permite a los ordenadores la codificación interna de la información).

3.3 Fundamentación de sistemas de numeración

A. El Teorema Fundamental de la Numeración31.

Sea “b” la base de un cierto sistema de numeración, siendo “b” un número natural distinto de 1; entonces, cualquier número natural n se escribe de manera única mediante la expresión:

0 1 2 3

donde los son números naturales menores que b.

A esta expresión se la denomina expresión polinómica de n en base b.

Es importante recalcar que esta expresión siempre existe y además es única.

Como consecuencia de este teorema se obtiene el principio del valor relativo. Al ser todos los a(i) < b, cada uno de ellos se escribe con una sola cifra, y entonces se puede expresar el número natural n como n = a(k)a(k – 1)... a(2)a(1)a(0). Así pues, escribiendo sucesivamente y de modo ordenado las cifras de un número, el orden de las unidades que representa cada una está dado por el orden que ocupa en dicha escritura. Por ejemplo, en la expresión polinómica de n, la cifra a(i) representará las unidades de orden i + 1.

B. Propiedades

1. Dada una base b y un número natural n escrito como a(k)a(k – 1)... a(1)a(0) en la base b, entonces el número nbj (producto de n por una potencia de b) se escribe añadiendo j ceros a la derecha de n.

2. Sea n un número natural y sea b otro número natural; si la escritura de n en la base b está formada por p cifras, entonces n está comprendido entre bp-1 y bp. La implicación recíproca también es cierta

Vamos a demostrar esta propiedad; para ello hay que comprobar que se cumplen las dos

implicaciones: n tiene p cifras en base b si y solo si bp-1≤ n < bp.

31 GEISS CHRISTOF. Algebra Superior II. Algunas propiedades de los números naturales. Disponible en la página electrónica: http://www.matem.unam.mx

33La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas ═>) Si n tiene p cifras, entonces se escribirá como:

a (p – 1)bp-1+ a(p – 2)bp-2+... + a(2)b2+ a(1)b + a(0) ≥ bp-1.

Hay que probar que n < bp:

como cada a(i) < b, entonces se tendrá que a(1)b + a(0) < a(1)b + b = (a(1) + 1)b ≤ b2,

a(2)b2 + a(1)b + a(0) < a(2)b2+ b2 = (a(2) + 1)b2≤ b3, y así sucesivamente. De forma que al final obtenemos:

n = a(p – 1)bp-1+ a(p – 2)bp-2+...+ a(2)b2+ a(1)b + a(0) < a(p – 1)bp-1+ bp-1= (a(p – 1) + 1)bp-1≤ bp

<═) Supongamos que bp-1≤ n < bp, y supongamos que n no tuviese p cifras; es decir, que n tiene menos o más de p cifras. En el primero de los casos se puede suponer que n tiene p – 1 cifras, pero entonces debería ser (por la otra implicación) bp-2≤ n < bp-1, lo cual contradice la hipótesis de partida.

En el otro caso, podemos suponer que n tiene p + 1 cifras, pero se llega a otra contradicción ya que sería entonces bp≤ n < bp+1. Por tanto, n no puede tener ni menos ni más de p cifras; tendrá exactamente p cifras.

3. Sean m y n dos números naturales que tienen p y q cifras, respectivamente, al escribirlos en una cierta base b; entonces, si p < q entonces m < n.

4. Sean m y n dos números naturales que tienen igual número de cifras al expresarlos en una cierta base b; entonces será m < n si, y sólo si, la cifra de mayor orden de m que sea distinta de su correspondiente en n es menor que ella.

C. Cambio de sistema de numeración

El paso de escribir un número natural en una cierta base b a escribirlo en otra base diferente b’ se suele hacer en general a través de la base decimal, ya que es a la que estamos más habituados. Así pues, vamos a distinguir los siguientes casos:

a) Paso de base b a base decimal

Este cambio es muy sencillo, pues basta con efectuar las operaciones indicadas en la expresión del número como lo muestro en la parte didáctica del trabajo. Por ejemplo, para expresar el número 2135(6), es decir 2135 en base 6, en base decimal basta efectuar : 2 · 63 + 1 · 62 + 3 · 6 + 5 = 491.

b) Paso de base decimal a base b

En este caso es suficiente con hacer una división sucesiva, hasta llegar a un cociente menor que la base, momento en que finaliza el proceso. Entonces, la expresión del número en esa base b tendría como primera cifra ese último cociente y a continuación los

34La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas demás restos escritos en orden inverso a su aparición. Por ejemplo, para expresar el número 491 (en base decimal) como un número en base 6 se procede como sigue:

1) Se divide 491 por 6, el resultado es:

491 = 6 x 81 + 5

2) Se toma el cociente 81 y nuevamente se divide por 6 para obtener:

81 = 6x13+3

3) Ahora el cociente 13 se divide por 6 y se obtiene

13 = 6x2+1

Como 1<6 termina el proceso y resulta que 491(10) = 2135(6) como se aprecia en las siguientes divisiones sucesivas.

c) Paso de base b a base b’

Para pasar un número de una base b a otra base b’ es suficiente con hacer una combinación de los procesos ya vistos: primero se pasa de la base b a base decimal y a continuación, pasamos de la base decimal a la base b’.

A pesar de que en general se suelen utilizar estas estrategias para los cambios de base, hay algunos cambios en particular que pueden hacerse a través de algoritmos más sencillos. Sobre todo, esto se refiere a los cambios entre sistemas que tienen como base 2 o alguna de sus potencias. Por ejemplo, cambios entre el sistema binario (base 2) y el sistema hexadecimal (base 16).

Aquí no vamos a desarrollar los procedimientos para efectuar operaciones básicas con números en una base b cualquiera, ya que dichos procedimientos se basan en algoritmos casi idénticos a los que se utilizan en el sistema decimal.

3.4 Resumen del contexto disciplinario

Las primeras nociones de número que se dan en el género humano surgen con la consciencia de propiedades generales de algunos grupos de objetos. En


particular, la constatación de la existencia de correspondencias biunívocas es el paso más decisivo en este aspecto.

Es muy importante tener en cuenta la doble cara del concepto de número natural: cardinal (de donde surgirá el principio de emparejamiento) y ordinal (ligado al concepto de sucesión).

Para construir formalmente el conjunto N de los números naturales se pueden seguir dos caminos diferentes, cada uno de ellos relacionado con el aspecto ordinal o cardinal de número natural. El camino axiomático es seguido por matemáticos como Peano y Hilbert; el segundo, basado en la teoría de clases, es el que siguieron Cantor, Frege y Russell.

La construcción axiomática de N suele hacerse a través del sistema axiomático de Peano, que al actuar conjuntamente con el principio de inducción completa, permite la demostración de muchas propiedades aritméticas.

En cuanto a la construcción de N basada en un sistema conjuntista, aunque en

principio es más intuitiva, plantea muchos problemas referidos al rigor matemático. Hay que decir que la crisis de fundamentos que afectó en los primeros años del siglo XX al mundo matemático influyó de manera decisiva en esta concepción. La base de esta construcción es la relación de equipotencia entre conjuntos, que sin embargo da lugar a la paradoja del conjunto de todos los conjuntos.

Respecto a los sistemas de numeración, es importante destacar que ya hace 5.000 años los egipcios disponían de un sencillo sistema iterativo que usaba la base decimal. La civilización babilónica nos legó el sistema sexagesimal (de base 60) plenamente desarrollado. Otros pueblos, tales como Grecia y Roma, utilizaron sus propios sistemas de numeración con distinta fortuna. Uno de los grandes problemas, común a estos sistemas, siempre fue la ausencia del cero. Este concepto y su representación aparecen de forma independiente en el mundo maya y en la civilización hindú. Es en el subcontinente indio donde se hunden las raíces de nuestro actual sistema de numeración, que apareció en Europa de mano de los árabes. Tras una enconada disputa, que duró varios siglos, las ventajas del nuevo método se impusieron a la tradición y quedó así consolidado nuestro actual sistema de numeración.

En el estudio de los sistemas de numeración destacan principalmente los basados

en el principio del valor relativo (como es el nuestro, por ejemplo). Las distintas bases en las que puede expresarse un número natural, y la unicidad y propiedades de dicha expresión, permiten el cambio entre unas y otras bases mediante sencillos cálculos.

36 Contexto Didáctico

4. Contexto didáctico

Para esta parte se tomó como referencia principal el trabajo de Constance Kamii sobre construcción de la aritmética. Kamii recopila aportaciones de autores como Piaget, Toulmin, Inheler, Sinclair, Siergist, entre otros, plenamente identificados con el modelo pedagógico constructivista.

Constance Kazuko Kamii es profesora de la School of Education de la Universidad de Alabama en Birmingham, es autora del libro “Reinventando la aritmética”, relacionada con la aritmética elemental32 y cuestiona fuertemente los supuestos tradicionales sobre la enseñanza de las matemáticas, explicando de manera muy objetiva porqué cree que los niños ahorran trabajo a largo plazo si reinventan la aritmética en lugar de aprender a emitir respuestas correctas. Pienso que la comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas es base fundamental en el aprendizaje de otros conceptos propios de la aritmética y en la solución de problemas.

Kamii también hace una justificación con la cual estoy de acuerdo con respecto a porqué no seguir la línea de enseñanza tradicional descrita en la serie “Mathematics Today”33 en la que se dota al estudiante de hechos numéricos y técnicas de cálculo, en donde todas las operaciones básicas se presentan con modelos y algoritmos “mágicos” de dificultad progresiva que se acompañan a menudo con ejemplos.

La anterior percepción sugiere que el estudiante adquiera el conocimiento interiorizándolo, que de acuerdo con los estudios de Jean Piaget, se logra construyéndolo por medio de la manipulación de objetos. Es lo que trataremos en nuestro trabajo como veremos a continuación:

4.1 Reflexiones sobre algunos aspectos didácticos.

4.1.1 La importancia del juego en la didáctica

Como este trabajo involucra un cd con juegos interactivos, es pertinente una reflexión acerca del juego en la didáctica de la matemática:

La actividad matemática ha tenido desde siempre una componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones más interesantes que en ella han

32 KAMII, Constance Kazuko. Reinventando la aritmética II. 2ª ed. Madrid. Visor Distribuciones. 1994. 220p. 33 Mathematicas Today, es un modelo pedagógico en donde las lecciones han sido cuidadosamente estructuradas para garantizar un buen aprendizaje. El aprendizaje comienza siempre en el nivel concreto, después pasa al semiconcreto, al simbólico y, finalmente a los niveles abstractos. Así, los niños aprenden en primer lugar a contar objetos reales; después cuentan objetos en dibujos; y por último generalizan relaciones numéricas.

37 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas surgido. Desde la perspectiva de Miguel de Guzmán34 de la obra “Homo Ludens se destacan algunas características del juego en la didáctica de las matemáticas

Es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí misma, no por el provecho que de ella se puede derivar.

Tiene una cierta función en el desarrollo del hombre; el niño, como el ser racional, juega y se prepara con ello para la vida. También el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberación, de evasión, de relajación.

El juego no es broma; el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego. El juego, como la obra de arte, produce placer a través de su contemplación y de su

ejecución. El juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio. Existen ciertos elementos de tensión en él, cuya liberación y catarsis causan un gran

placer. El juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practican. A través de sus reglas, el juego crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y

armonía.

Un breve análisis de lo que es la actividad matemática basta para permitirnos comprobar que muchos de estos rasgos están bien presentes en ella. La matemática, por su naturaleza misma, es también juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el científico, instrumental, filosófico, que juntos hacen de la actividad matemática uno de los verdaderos ejes de la cultura.

Si el juego y la matemática, en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que también participan de las mismas características en lo que respecta a su propia práctica. Esto es especialmente interesante cuando nos preguntamos por los métodos más adecuados para transmitir a nuestros estudiantes el profundo interés y el entusiasmo que las matemáticas pueden generar y para proporcionar una primera familiarización con los procesos usuales de la actividad matemática.

Quien se introduce en la práctica del juego debe adquirir una cierta familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con las otras al modo como el novicio en matemáticas compara y hace interactuar los primeros elementos de la teoría unos con otros. Estos son los ejercicios elementales de un juego o de una teoría matemática.

Quien desea avanzar en el dominio del juego va adquiriendo unas pocas técnicas simples que, en circunstancias que aparecen repetidas a menudo, conducen al éxito. Estos son los hechos y lemas básicos de la teoría que se hacen fácilmente accesibles en una primera familiarización con los problemas sencillos de un contexto especifico.

34 Guzmán Miguel. Enseñanza de las Ciencias y la Matemática. Organización de Estados Iberoamericanos. Pagina Wep. Dirección: http://www.oei.es/oeivirt/edumat.htm

38 Contexto Didáctico

Una exploración más profunda de un juego con una larga historia proporciona el conocimiento de los caminos peculiares de proceder de los que han sido los grandes maestros en el campo. Estas son estrategias de nivel más profundo y complejo que ha requerido una intuición especial puesto que se encuentran a veces bien alejadas de los elementos iniciales del juego. Esto corresponde en matemáticas a la fase en la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos los grandes teoremas y métodos que han sido creados a través de la historia. Son procesos de las mentes más creativas que están ahora a su disposición para que él haga uso de ellas en situaciones más confusas y delicadas.

Finalmente hay unos pocos que son capaces de crear nuevos juegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones capaces de motivar estrategias y formas innovadoras de jugar. Esto es paralelo a la creación de nuevas teorías matemáticas, fértiles en ideas y problemas, posiblemente con aplicaciones para resolver otros problemas abiertos en matemáticas y para revelar niveles de la realidad más profundos que hasta ahora habían permanecido en la penumbra.

La matemática y los juegos han entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de siglos. Es frecuente en la historia de las matemáticas la aparición de una observación ingeniosa, hecha de forma lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento, como el pensamiento numérico, espacial, aleatorio etc.

Del valor de los juegos para despertar el interés de los estudiantes se ha expresado muy certeramente el señor Martin Gardner35, el gran experto de nuestro tiempo en la presentación lúcida, interesante y profunda de multitud de juegos por muchos años en sus columnas de la revista americana Scientific American.

El matemático experto comienza su aproximación a cualquier cuestión en su campo con el mismo espíritu explorador con que un niño comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco espera iluminar, con el placentero esfuerzo del descubrimiento. ¿Por qué no usar este mismo espíritu en nuestra aproximación pedagógica en matemáticas?

Uno de los rasgos centrales de este trabajo es la incorporación de tecnología como recurso didáctico. Para esto diseñé algunos juegos que tienen que ver con los sistemas de numeración babilónico, egipcio, maya, romano, y decimal con sus operaciones en el programa Clic 3.0. que acompaña el trabajo.

El paquete de juegos que se encuentran en el disco compacto, no solamente contiene un trasfondo matemático sino que también pretende ubicar al estudiante en un contexto histórico y geográfico de cada una de las culturas que se mencionan (egipcia, babilónica,

35 Martin Gardner (Tulsa, Oklahoma, 21 de octubre de 1914 – Norman, Oklahoma, 22 de mayo de 2010) fue un divulgador científico y filósofo de la ciencia estadounidense, muy popular por sus libros de matemática recreativa.

39La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas maya, romana e indo-arábiga). Esto con el fin de responder al discurso pedagógico actual en cuanto a la necesidad de generar actividades y espacios interdisciplinarios.

Como podrá notar el lector, en este trabajo se han colocado gran cantidad de ilustraciones gráficas de los distintos conceptos mencionados, pues se me facilita crear y reproducir figuras en el programa paintbrush.36

4.1.2 Unidad didáctica Las actividades de aula que propone este trabajo se han montado sobre el modelo de una unidad didáctica, por eso considero pertinente hacer una reflexión sobre el concepto de “unidad didáctica”

Una unidad didáctica37 o unidad de programación es la intervención de todos los elementos que intervienen en el proceso de enseñanza-aprendizaje con una coherencia metodológica interna y por un período de tiempo determinado a un tema o contenido en particular.

Según Antúnez y otros38, para la realización de las unidades didácticas de aula es necesario contemplar dos aspectos:

La planificación y distribución de los aprendizajes que se pretenden orientar en una clase.

La planificación y temporización, dentro de cada nivel, de los aprendizajes

correspondientes. La programación se convierte pues en la temporización por niveles de aprendizaje, a través del establecimiento de unidades didácticas que deberían estar ordenadas y secuenciadas en el seno de cada tema con unas metas concretas. Éstas según Martínez (1995), son:

Ayudar a eliminar la dependencia excesiva del azar y la improvisación.

Satisfacer, en consecuencia, las necesidades psicológicas inmediatas de la persona que planifica (sentimientos de control sobre los procesos, seguridad en lo que hace o propone, confianza en si mismo y en la propuesta, disminución de la incertidumbre, etc.).

36 Es un programa simple de dibujo gráfico desarrollado por Microsoft. Paint ha acompañado al sistema operativo Microsoft Windows desde la versión 1.0. Siendo un programa básico, se incluye en todas las nuevas versiones de este sistema. Por su simplicidad, rápidamente se convirtió en una de las aplicaciones más usadas de las primeras versiones de Windows ‐introduciendo a varios a dibujar con la computadora por primera vez‐ y es todavía fuertemente asociado con la inmediata usabilidad de Windows 37 Ministerio de Educación y Ciencia de España. Introducción temprana a las TIC. Páginas 144 y 145. disponible en google books. 38 CARRASCO, ANTUNEZ Y VYGOTSKI. La Identidad Estructural de la Didactica según Carrasco, Antuñez y Vygotski. Web escolar. Dirección electrónica: http://www.webscolar.com/la‐identidad‐estructural‐de‐la‐didactica‐segun‐carrasco‐antunez‐y‐vygotski

40 Contexto didáctico

Favorecer la eliminación de programas incompletos, ya que implica una reflexión sobre la secuenciación y la temporización realizada en el proyecto curricular.

Ayudar al profesorado a prepararse cognitiva e instrumentalmente para el proceso de

enseñanza aprendizaje. Guiar los procesos interactivos de enseñanza-aprendizaje que tienen lugar durante la

puesta didáctica. Permitir adaptar el trabajo didáctico de los profesores a las características

socioculturales del contexto donde labora.

La unidad didáctica se configura como una herramienta capaz de abarcar distintos ámbitos de planificación. Así, puede verse como espacio de contextualización, espacio de concreción de los objetivos y contenidos generales, espacio de decisión metodológica y espacio evaluativo. Son muchos los autores y editoriales que han elaborado diferentes esquemas a tener en cuenta para el desarrollo de unidades didácticas. Teniendo en cuenta lo anterior, este trabajo presenta la unidad didáctica con las especificaciones propuesta por Antúnez y que serán descritas a continuación.

Descripción de la unidad didáctica. Objetivos didácticos. Contenidos de aprendizaje. Secuencias de actividades. Recursos materiales Organización del espacio y el tiempo. Evaluación.

4.1.2.1 DESCRIPCIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA (Diseñada para abordar en el aula el tema del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas). La Unidad didáctica está dirigida a estudiantes de grado sexto, debe ser el primer tema que se trate en el año escolar. Los estudiantes deben tener un concepto intuitivo de número natural y manejar algunas operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división.

4.1.3 Objetivos didácticos Nos proponemos que los estudiantes:

1. Conozcan algunos sistemas de numeración distintos al decimal para que comparen e

interioricen su funcionamiento en el manejo de las operaciones aritméticas.

2. Se motiven por medio del juego en la exploración y el aprendizaje del tema.

41La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas 3. Manejen los algoritmos que se requieren para el cálculo de operaciones, y sus

aplicaciones en problemas de la vida cotidiana. 4. Consoliden buenas bases de pensamiento numérico que les permitan una fácil

apropiación de los conceptos propios del siguiente nivel.

5. Manejen adecuadamente los siguientes conceptos:

Números naturales Sistemas de numeración. Sistemas de numeración no posicionales. Sistemas de numeración posicionales. Concepto de base Sistema de numeración decimal. Operaciones aritméticas

Para que el estudiante alcance de manera satisfactoria los anteriores objetivos se espera que:

1. Halle diferencias en el funcionamiento de distintos sistemas de numeración. 2. Vea las ventajas y desventajas que tienen algunos sistemas de numeración para hacer

cálculos aritméticos. 3. Enuncie algunas ventajas del sistema de numeración decimal frente a otros sistemas a

la hora de hacer cálculos y resolver problemas. 4. Valore la importancia de conocer otros sistemas de numeración para comprender el

decimal. 5. Reconozca la importancia de operar en otros sistemas de numeración para

comprender el uso de los algoritmos tradicionales para hacer cálculos y su funcionamiento.

6. Desarrolle talleres de ejercitación de los distintos conceptos vistos.

En cuanto a lo actitudinal se espera del estudiante:

1. Participación en clase. 2. Interés por aprender el funcionamiento de los sistemas de numeración propuestos. 3. Indagación a través de la consulta. 4. Ejercitación en procura de una buena fluidez e interpretación de resultados.

4.2 Secuencias de las actividades a seguir en clase.

En una unidad didáctica se debe dar unas recomendaciones generales tanto para el profesor como para el estudiante como alistamiento para las clases, se debe decir el número de sesiones indispensables para el abordaje del tema, con una descripción detallada de las actividades a desarrollar en cada sesión y sugerir un modelo de actividades.


4.2.1 Recomendaciones generales para el maestro.

Estas son las recomendaciones generales para el maestro, para diez sesiones de trabajo tiempo que considero adecuado para el abordaje total del tema: Sistema de numeración decimal con sus operaciones básicas.

Se sugiere:

1. Hacer una ubicación histórica y geográfica del sistema de numeración que va a tratar. Puede apoyarse con mapas puestos diapositivas y cuentos infantiles relacionados con la histórica de cada cultura, esto hará que su clase sea atractiva e interdisciplinaria.

2. Vincular a la clase videos relacionados con el tema. Sugiero presentar en cada sesión una parte del video: “Historia del uno” que se encuentra en internet digitando la dirección electrónica: http://www.youtube.com/watch?v=twJpGlkNT70 por su calidad y la motivación que se puede generar en los niños. (Es conveniente que el profesor vea previamente el video)

3. Socializar y orientar las inquietudes de los estudiantes que surjan una vez terminados de ver cada parte del video. (Apóyese en el contexto histórico)

4. Hacer una presentación oral de cada sistema de numeración haciendo permanentemente comparaciones con el sistema de numeración decimal, esto con el objeto de que los niños vean las virtudes del sistema de numeración decimal y su funcionamiento.

5. Mostrar ejemplos, y proponga ejercicios para que los estudiantes trabajen en grupos.

6. Orientar y socializar permanentemente el trabajo realizado por los grupos de trabajo.

7. Al finalizar cada una de las diez sesiones el docente puede hacer uso del cd de juegos interactivos anexo a este trabajo con el objeto de fortalecer cada uno de los conceptos tratados siguiendo estas orientaciones:

Introduzca el cd Haciendo clic en la unidad de discos compactos encontrará dos iconos.

Haga doble clic en el que dice JUEGOSS.

Obtendrá el siguiente pantallazo con el que podrá empezar la exploración:

43La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas Figura 4-1: Página principal de los juegos interactivos.

4.2.2 Recomendaciones generales para el estudiante

1. Lea en compañía de tres compañeros el cuento suministrado por el profesor para cada una de las culturas que se va a estudiar.

2. Exponga sus inquietudes al profesor para hacer una ubicación histórica geográfica de la cultura egipcia.

3. Preste cuidadosa atención a las explicaciones y orientaciones generales del profesor, para que pueda desarrollar un taller diseñado por el profesor para la siguiente clase y para que pueda interactuar con facilidad en la actividad propuesta por el profesor al finalizar la clase en la sala de sistemas.

4. Solucione cada uno de los talleres presentados al final de cada sesión. 5. Intente resolver todas las actividades propuestas en el cd de juegos que van a

utilizar en la sala de sistemas. 6. Socialice con sus compañeros lo que más le gustó de la clase 7. Socialice con sus compañeros lo que menos le gustó de la clase

4.3 Sesiones de clase.

A continuación presento una descripción detallada de las actividades que a manera de sugerencia el profesor puede hacer al interior del aula.

4.3.1 1ª SESIÓN (Historia del uno)

Se informará a los estudiantes sobre los contenidos, los logros, los indicadores de logro y los criterios de evaluación del tema.

Se hará una introducción al tema proyectando el video o lecturas relacionadas “Historia del uno” que se encuentra en internet digitando la dirección electrónica: http://www.youtube.com/watch?v=twJpGlkNT70, por su calidad y la motivación que se puede generar en los niños.

Una vez terminado de ver el video se socializará y orientará las inquietudes de los estudiantes que surjan una vez terminados de ver los videos.


4.3.2 2ª SESIÓN (Numeración egipcia)

Con el fin de ubicar al estudiante tanto geográfica como históricamente se mostraran algunas diapositivas retro-proyectadas con video-beam como la de la Figura 4-2 y la Figura 4-3. También se mostrará el cuento “La Creación” que aparece después de los mapas.

Con el animo de motivar el uso del atlas, una vez terminado de ver el mapa y leído el cuento, se pedirá a los estudiantes ubicar Egipto en el atlas y leer toda la información que de ese país se encuentre en ese libro.

Figura 4-2: Ubicación de Egipto en África.

Figura 4-3: Egipto.


La Creación

Se cuenta que NUN era agua, era el Dios de las tinieblas, era el principio de todo… pero dormía, solo dormía.

Cuando por fin NUN despertó, solo encontró aburrimiento, a su alrededor era él todo lo que veía. Ni animales, ni plantas, ni hombres… ni siquiera dioses. Entonces, reconociendo en sí mismo el poder inmenso de crear, decidió ponerse manos a la obra y comenzar con la creación de universo.

Como era agua comenzó creando tierra, hizo surgir de sí una gran isla de tierra limosa, era Egipto, y pensó que al haber nacido Egipto del agua, debía ser esta quien le diera la vida, fue entonces cuando creó el río divino, el Nilo.

NUN continuó creando… se le ocurrió crear los números para que todos pudieran contar sus cosas, creo el cielo, el aire, plantas, animales y dioses, pero algo faltaba, no había una oscuridad absoluta, pero tampoco había luz. Un día, de un loto que flotaba en el Nilo surgió luz. La flor se resistía a abrirse y cuando ya no pudo aguantar más, de su interior nació RA, el sol, dando al mundo lo que le faltaba, esa luz con la que apreciar los colores, la belleza de la creación y por supuesto el tiempo, ya que RA volvía al interior del cáliz de la flor del loto a descansar mientras duraba la noche. RA se convirtió en el dios más poderoso, el amo del mundo y también el más envidiado.

Después de la ubicación histórica, se hará una explicación en el tablero del diseño y funcionamiento del sistema de numeración egipcio. Esta sesión se apoyará en la historia del sistema de numeración egipcia consignada en este trabajo y en algunas de las referencias bibliográficas dadas. (Se recibirán y orientarán de la mejor forma las inquietudes y dudas que los estudiantes manifiesten en la explicación, se inducirá el aprendizaje a través de preguntas)

La preparación de clase de cada sesión está sustentada con las “Guías para el profesor y el estudiante” que aparecen más adelante.

Una vez resueltas las dudas surgidas en la explicación y socializado las principales conclusiones de la clase, se prepararán a los estudiantes en una sala de sistemas para interactuar con el cd de juegos interactivos anexo a este trabajo.

El cd de juegos interactivos se compartirán con los estudiantes, para que lo exploren y jueguen en la página interactiva correspondiente a los egipcios. En ella aparece también el contexto geográfico, el contexto histórico y los juego matemáticos.

Guía para el profesor.

Este es el método seguido por lo egipcios para efectuar sus cálculos39. Imaginémonos en el año 2000 a.c., aproximadamente, en la casa de un cultivador de cereales de la región de Menfis.

39 IFRAH, Georges . Historia Universal de las Cifras. 3ª ed. Madrid. Espasa Calpe. 1998. 1996p


Al final de la recolección llega un funcionario para controlar el estado de la producción y fijar la cuota anual.

El funcionario encarga a algunos obreros medir el grano con el celemín40 y embalarlo en sacos. La recolección ha dado este año tres tipos de trigo: el trigo almidonero, el trigo enriquecido, y la cebada vulgar. Para no equivocarse en la variedad de cereales, los obreros reparten el trigo almidonero en filas de doce sacos, el enriquecido en filas de quince sacos y la cebada en filas de diecinueve sacos; estos grupos corresponden, respectivamente, a los números 16, 84 y 369.

Al término de esta operación, el funcionario toma un trozo de roca que le servirá de “tiza” y efectúa algunos cálculos con ayuda de las cifras jeroglíficos. Recordemos la representación de los números en egipcio.

Figura 4-4: Números en egipcio.

A pesar del carácter muy rudimentario de su numeración escrita, los egipcios aprendieron desde mucho tiempo atrás a hacer operaciones aritméticas por medio de sus cifras. La suma y la resta no presentan dificultad alguna: para la primera, basta con yuxtaponer o superponer las representaciones cifradas de los números que se quiere sumar, y después agrupar (mentalmente) las cifras idénticas, remplazando cada vez diez signos de cada categoría por la cifra de la clase decimal inmediatamente superior.

SUMA: para sumar y se sobreponen cada uno de los números como se muestra a continuación:

Figura 4-5: Cuenta egipcia 1.

40 El celemín es una medida agraria que se utilizaba en algunas partes de España antes de que fuera obligatorio el Sistema Métrico Decimal.

47La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas Ahora, como podemos ver en la Figura 4-6 tenemos agrupados doce trazos es decir, una asa y dos trazos.


La asa que aparece encerrada en un círculo rojo fue conformada por 10 trazos y se localiza en el lugar de las asas. Los dos trazos sobrantes son colocados en el lugar de los trazos.

De la misma manera, diez asas conforman una espiral (en el ejemplo de la suma no se da el caso); diez espirales, una flor de loto, y así sucesivamente. Realizadas todas las operaciones, obtenemos el siguiente resultado:



Es decir + =

Como el objetivo de este trabajo es la enseñanza del sistema decimal, el anterior procedimiento puede resultar muy valioso para asimilar el algoritmo de suma usual con el sistema decimal.

Los egipcios podían realizar la multiplicación de un número por dos: bastaba con duplicar cada uno de los símbolos:

Ejemplo:

Ahora debemos tener en cuenta que diez trazos forman una asa, diez asas conforman un espiral, diez espirales una flor de loto y así sucesivamente. Por consiguiente el resultado final es:

Otra cosa que podían realizar los egipcios fácilmente era la multiplicación o la división de un número por 10. Bastaba con remplazar en la escritura del número correspondiente cada símbolo por la cifra de su décuplo en el primer caso y por el su décima parte en el otro.

Ejemplo:

Solución:

Como podemos ver cada cifra del número a multiplicar por diez se convierte en el siguiente símbolo en el orden de los símbolos de la numeración egipcia.

Así se convierte en , se convierte en , se convierte en y así sucesivamente.

Ejemplo 2. Multiplicar por 10 el número:

49La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas Solución:

Ósea:

Para la división por diez el número debía ser múltiplo de diez. Un numero múltiplo de diez era aquel que no tenía trazos.

Ejemplo:

La división de números múltiplos de diez se deja como ejercicio. (se sigue el proceso inverso de la multiplicación)

Para la multiplicación por números distintos de diez procedían de otra manera: como no sabían multiplicar o dividir directamente más que por 2, solían hacer duplicaciones sucesivas (o series de multiplicaciones por dos)

Volvamos a nuestro “inspector de contribuciones”, quien al querer determinar el número total de sacos de trigo almidonero, debe efectuar la multiplicación de 16 por 12. Para ello, procede de la siguiente manera:

Figura 4-8: Multiplicación egipcia.

Con sus cifras jeroglíficas inscribe, pues, el multiplicador 12 sobre la columna de la derecha y, a su lado, sobre la columna de la izquierda, el número 1. A continuación duplica sucesivamente cada uno de los números hasta que multiplicando 16 aparece en la columna de la izquierda. El numero 192, que corresponde con el 16 en la columna de la derecha es el resultado de esta operación: 16 x 12 = 192

Para determinar el número de sacos de trigo enriquecido, multiplica ahora 24 por 15. Dispone también esta operación como antes:


Figura 4-9: Multiplicación egipcia 2.

Escribe en la columna de la derecha el multiplicador 15 y en la izquierda, el número 1. A continuación, duplica sucesivamente cada uno de los números. Pero como el multiplicando 24 no aparece esta vez en la columna de la izquierda, prosigue la duplicación hasta el momento en que obtiene el número más alto contenido en ese multiplicando. Así, se detiene en 16, en la columna de la izquierda, y busca en ella los números cuya suma sea igual a 24. Después marca con un pequeño trazo los números seleccionados (en este caso, 16 y 8), y con la barra oblicua, los correspondientes de la columna de la derecha (es decir, 120 y 240)

Figura 4-10: Multiplicación egipcia 3.

Sumando los números marcados con el trazo oblicuo, obtiene el siguiente resultado:

24 x 15 = 120 + 240 = 360

El número de sacos de cebada se deja como ejercicio al lector.

La división se hace, igualmente siguiendo las duplicaciones consecutivas, pero el procedimiento se efectúa en el sentido inverso.

Al finalizar la explicación el docente puede hacer uso del cd de juegos interactivos anexo a este trabajo con el objeto de fortalecer la parte de numeración egipcia.

TALLER DE NUMERACIÓN EGIPCIA PARA EL ESTUDIANTE

1. Escribe estos números egipcios en el sistema de numeración decimal:

a) b)

51La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas c) d)

e)

f)

g)

h)

2. Escribe los siguientes números del sistema de numeración decimal en el sistema de numeración egipcio:

a) 6 b) 53 c) 222 d) 4.101 e) 32.102 f) 121.310 g) 1.000.101

3. Responde a las siguientes preguntas sobre el sistema de numeración egipcio:

a) ¿Cuántos dígitos de cada tipo puede haber como máximo en un número? Razona tu respuesta.

b) ¿Cuál es el mayor número que podían escribir?

c) No utilizaban el cero. ¿Por qué no lo necesitaban?

GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

Exponga sus inquietudes al profesor para hacer una ubicación histórica geográfica de la cultura egipcia.

1. Preste cuidadosa atención a las explicaciones y orientaciones generales del profesor,

para que pueda desarrollar un taller diseñado por el profesor.

2. Socialice con sus compañeros y con el profesor lo que más le gustó de la

clase.


3. Socialice con sus compañeros y con el profesor lo que menos le gustó de la

clase.

4.3.3 3ª SESIÓN (Numeración babilónica)

Se hará una contextualización geográfica e histórica de babilonia mostrando las figuras 24 por medio de diapositivas lo mismo que la lectura “La leyenda de la torre de Babel”.

Figura 4-11: Mapa de Babilonia.

La leyenda de la Torre de Babel

Toda la tierra tenía la misma lengua , el mundo hablaba una misma lengua y empleaba

las mismas palabras. Los hombres en su emigración a

Oriente hallaron una llanura en la región de Senaar y

se establecieron allí. Y se dijeron unos a otros:

“hagamos ladrillos y cozámoslos al fuego”

se sirvieron de ladrillos en lugar de piedras y de betún

en vez de argamasa. Luego dijeron:

- “Edifiquemos una ciudad, y también una torre cuya

cúspide llegue hasta el cielo, para perpetuar nuestro

nombre y no dispersarnos por toda la tierra”.


Pero Dios bajó a ver la ciudad y la torre que los hombres estaban construyendo, y dijo:

- “Si esta es la primera obra que realizan, nada de lo que se propongan hacer les resultará

imposible, mientras formen un solo pueblo y todos hablen la misma lengua. Bajemos

entonces, y una vez allí, confundamos su lengua, para que ya no se entiendan unos a

otros”.

Así el Señor los dispersó de aquel lugar, diseminándolos por toda la tierra, y ellos dejaron

de construir la ciudad. Por eso se llamó Babel: allí, en efecto, el Señor confundió la lengua

de los hombres y los dispersó por toda la tierra para que ellos entendieran de esa forma el

real significado y valor que tiene la unión de los hombres.

Notas importantes para el abordaje del tema: sistema de numeración babilónico

El más interesante de todos los antiguos sistemas de numeración es el babilónico, que surgió aproximadamente en el año 2000 A. de N.E.

El sistema de numeración Babilónico, fue el primer sistema posicional conocido por nosotros. Los números en el sistema se representaban con la ayuda de sólo dos símbolos, una cuña vertical ( ) que representaba a la unidad y una cuña horizontal ( ) para el número diez. De aquí surgió la denominación de cuneiforme para la escritura de los antiguos babilonios.

Figura 4-12: Números babilónicos.


Con la ayuda de los dos signos mencionados, todos los, números enteros del 1 al 59 se podían escribir exactamente como en la numeración egipcia: es decir, que los signos para el diez y la unidad se repetían, tantas veces como en el número hubiese decenas y unidades. En la siguiente figura se encuentra la representación del 1 a 59.

Figura 4-13: Numeración babilónica.

Hasta el momento no hemos encontrado nada nuevo. Lo nuevo empieza con la escritura del número 60 donde se utiliza el mismo signo que para el 1, pero con un espacio entre él y los signos restantes. Observe los siguientes ejemplos de números babilónicos.

A partir de este número, el sistema numérico babilónico es un sistema posicional de base 60

Dibujar rectángulos para precisar la posición de la cifra es una estrategia concebida para este trabajo pero que paulatinamente vamos a abandonar.


TRADUCCION DE UN NÚMERO BAIBILONIO A NUMERACION DECIMAL

Ejemplo 1:

Para traducir un número babilónico “grande” como: recomiendo a los profesores sugerir y socializar los siguientes pasos:

1. Haga una traducción de cada una de las cifras (use la Figura 4-13), esto puede hacerse en la parte inferior del número, como se muestra continuación.

2. Multiplique cada traducción por potencias de 60 de derecha a izquierda así:

3. Sume cada uno de estos productos:

4. Resuelva el polinomio aritmético resultante:


Ejemplo 2

Traducir el número

Solución:

1. Hago la traducción de cada una de las cifras según figura 15:

2. Aplico la operación multiplicación ( X ) a cada una de estas traducciones por potencias de sesenta en su orden, de derecha a izquierda:

3. Aplico la operación suma ( + ) a cada uno de estos productos:

4. Resuelvo el polinomio aritmético resultante:

Es decir = 468.058 Para el anterior ejemplo se tuvo en cuenta la estrategia41 de los rectángulos pues el espacio entre cifras puede causar dificultades TRADUCCIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL A BABILÓNICO

41 Esta estrategia se puede encontrar en la parte histórica en la parte de numeración babilónica

57La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas Ejemplo 1: Suponga que tenemos el número 15460. Siga los siguientes pasos:

1. La idea es mirar cuantos grupos de cada potencia de 60 podemos conformar con el

número. Para esto vamos a dividir el número por 60. Si el cociente resultante es más grande de 60 dividimos nuevamente por 60 hasta que el cociente resultante sea menor de 60. Observe la siguiente ilustración:

En la primera división el cociente resultante es 257 que es más grande que 60 por eso vuelvo a dividir por 60 y obtengo de cociente 4 que en menor de 60.

2. Ahora voy a encerrar con una pequeña circunferencia todos los residuos resultantes y

el cociente que es menor que 60. Observe la ilustración:

Como la división arrojo tres números: dos residuos y un cociente entonces el número babilónico esta compuesto por tres cifras

3. Debajo de cada una de estas pequeñas circunferencias voy a colocar la traducción en

babilónico del número que está en su interior:


4. Ahora solo nos queda escribir el número para esto cada una de las traducciones que

se escribieron a babilónico representan una cifra del número entonces escribiremos el número final en el sentido de la flecha.

Ósea:

Esto porque

OPERACIONES CON NÚMEROS BABILÓNICOS

A los números babilónicos por se posicionales se les pueden aplicar los mismos algoritmos que nosotros usamos para hacer operaciones, por eso ellos constituyen una buena herramienta para la enseñanza de las operaciones básicas con números naturales tema central del trabajo. Veamos pues unos ejemplos que demuestran esto:

Ejemplo 1 (suma)

Tenemos dos números babilónicos, apliquemos el algoritmo que tradicionalmente nos enseñan en la primaria:


1. Empecemos sumando unidades con unidades: 41 + 30 es 71 es decir un grupo de 60

unidad y sobran 11. Observe la figura:

2. Pasemos a sumar en las segundas columnas en donde encuentro grupos de 1 grupo de 60 unidades más un grupo de 12 unidades, más un grupo de 35 unidades. Esta suma da como resultado 48 grupos de 60 unidades. Como 48 no se pasa de la base (60) entonces lo puedo escribir sin problema.

3. De la misma forma se razona para terminar con el proceso.

TALLER NUMERACIÓN BABILÓNICA PARA EL ESTUDIANTE

1. Escribe estos números babilónicos en el sistema de numeración decimal:

a) b)

c) d)


e) f)

2. Escribe estos números egipcios en numeración babilónica.

a)

b)

3. Escribe los siguientes números del sistema de numeración decimal en el sistema de numeración babilónica:

a) 40 b) 60 c) 61 d) 360 e) 2500 f) 60000 g) 4532


a) ¿Cómo identificas que un numero babilónico termina en cero?

b) ¿Cuál es el mayor número babilónico que se puede escribir?

c) No utilizaban el cero. ¿Por qué no lo necesitaban?

4.3.4 4ª SESIÓN (Juegos interactivos)

El profesor lleva a los estudiantes a una sala de sistemas previamente preparada, para que los estudiantes jueguen con el cd de juegos interactivos que se encuentra anexo a este trabajo orientando de la siguiente manera:

Introduzca el cd Haciendo clic en la unidad de discos compactos encontrará dos iconos. Haga doble clic

en el que dice JUEGOSS.

Obtendrá el siguiente pantallazo con el que podrá empezar la exploración:


Sugiera a sus estudiantes para que elijan las opciones “EGIPCIOS ” y “BABILÓNICOS” Permita que sus estudiantes manipulen los juegos de forma autónoma hasta encontrar

las soluciones.

4.3.5 5ª SESIÓN (Numeración romana)

Ubicación geográfica e histórica proyectando con recursos tecnológicos la figura 28 y la lectura de la leyenda Romulo y Remo (Fundación de Roma).

Figura 4-14: Antiguo imperio romano

Rómulo y Remo (Fundación de Roma)

En el año DCCXXIII antes de que naciera Jesús en Belén, había en Italia un rey llamado Numitor. El hermano de este rey se rebeló contra él y lo destronó. Luego cogió a sus II hijos recién nacidos, los depositó en un cestillo y los dejó en el río Tiber. La corriente llevó el cestillo al bosque, donde quedó enganchado entre unas ramas. Acertó a pasar por allí cerca una loba, y al oír el llanto de los niños se acercó.

- ¡Pobrecitos, qué crueles son los hombres!

Y llena de compasión, cogió a los pequeños entre los dientes y los llevó a su cueva.

Los II niños, cuidados por la loba, se iban haciendo grandes y fuertes. Hasta que un día, los encontró un pastor, los llevó a su cabaña y se los entregó a su mujer, para que los cuidase.

Cuando la mujer vio a los niños, dijo a su marido:

- ¡Pero si estos niños son los hijos de nuestro antiguo señor, el rey Numitor!

Y, como había sido un rey muy querido, la mujer cuidó a los niños con mucho gusto por XX años.


Cuando fueron mayores, les contó el pastor que ellos eran hijos del rey Numitor y sobre todo el daño que había causado el tío de ellos. Entonces Romulo y Remo, reunieron un ejército y le declararon la guerra a su tío. Lo vencieron en seguida y desde entonces, Rómulo y Remo fueron los reyes de esa región, llamada Lascio.

Pero entonces quisieron hacer entre los II una ciudad donde habían sido encontrados por la loba a la que llamaron Roma que significa río. Rómulo eligió una de las VII colinas que dominaban el sitio y con un arado trazó un surco circular sagrado según los ritos. A su vera, más tarde, se construiría la primera muralla, pero luego esa ciudad se hizo más grande y ocupó otras VI colinas cercanas. Por eso se llamó a Roma la ciudad de las VII colinas.

Explicación en el tablero del diseño y funcionamiento del sistema de numeración Romano.

Para esta parte de la sesión, la clase se apoyará en la historia de sistema de numeración romana consignada en este trabajo. Como soporte disciplinar están las “notas importantes para el abordaje del sistema de numeración romano” que a continuación aparecen como ayuda para un mejor dominio del tema.

GUÍA PARA EL PROFESOR.

Al finalizar la explicación de esta sesión, el docente puede hacer uso del cd de juegos interactivos anexo a este trabajo con el objeto de fortalecer la parte de numeración romana

El sistema de numeración utilizado por los romanos era mucho muy simple y se basaba en el valor absoluto y posición relativa de siete símbolos representados por letras del alfabeto, con los que se podía representar unas cantidades elevadas con un número reducido de ellos. Estos símbolos eran: I, V, X, L, C, D y M, donde “I” representaba 1


unidad, “V” 5 unidades, “X” diez unidades, “L” 50 unidades, “C” 100 unidades, “D” 500 unidades y “M” 1000 unidades. Con estos símbolos se obtenía todos los demás números:

1. Este sistema se basaba en la reunión de los símbolos, colocados de tal forma que el de menor valor iría delante del valor mayor.

Ejemplos:

MMCLI representa al 2151

MDCCCIX representa al 1805

2. Cuando a la derecha de una cifra se escribe otra igual o menor, el valor resultante es la suma de los dos valores de las cifras.

Ejemplos:

XX = 10 + 10 = 20, LXVI = 50 + 10 + 5+ 1 =66 , VII = 5+1+1= 7, XV = 10 + 5 =15,

MDC = 1000 + 500 + 100 =1600 , LV = 50 + 5= 55.

3. La cifra I colocada a la izquierda de la V o la X, les resta una unidad. A la derecha, les suma una unidad. La cifra X colocada a la izquierda de la L o la C, les resta diez unidades y a la derecha les suma diez unidades. La C colocada a la izquierda de la D o la M, les resta cien unidades y si esta colocada a la derecha les suma cien unidades.

Ejemplos:

IV = 4, XL = 40, IX = 9, CX = 110, VI = 6, CD = 400, XI = 1, MC = 1110

4. Regla: Una cifra no se puede repetir más de tres veces seguidas.

Ejemplos:

XIII = 14, XXXIII = 33, XXIV = 24

5. Las cifras V, L y D no se pueden duplicar ya que la X, C y M representan sus valores duplicados.

Ejemplos:

X representa a 10 en lugar de VV

C equivale a 100 en lugar de LL

M equivale a 1000 en lugar de DD


6. Si entre dos cifras cualesquiera hay otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.

Ejemplos:

XIX = 19, LXIV = 64

7. El valor de los números romanos se multiplica por mil tantas veces como rayas horizontales colocadas encima de estos últimos.

El sistema romano no resultó favorable para hacer cálculos cuando se trataba de sumar o multiplicar números significativamente grandes.

Para convencernos, intentemos simplemente efectuar una suma por medio este sistema. La siguiente figura muestra un ejemplo de lo anterior:

Figura 4-15: Suma con números romanos

Las cifras romanas no son signos que sirven para efectuar operaciones aritméticas, sino abreviaturas destinadas a anotar y retener números. Por eso los romanos recurrieron a los ábacos de fichas para hacer cálculos.

TALLER NUMERACIÓN ROMANA PARA EL ESTUDIANTE

1. Escribe estos números romanos en el sistema de numeración decimal:

a) IX b) XIX c) XIV d) XLIV e) CDXL d) MDLXX

2. Escribe los siguientes números babilónico en numeración romana:

a) b) c)

3. Escribe estos números egipcios en numeración romana.

a)

b)



a) 44 b) 94 c) 342 d) 598 e) 456 f) 5643 g) 987


a) ¿Es necesario el cero en la numeración romana? Explica tu respuesta

b) ¿Cuál es el mayor número romano que se puede escribir?

4.3.6 6ª SESIÓN (Numeración Maya)

Figura 4-16: Mapa de asentamiento Maya.

La civilización maya se desarrolló con toda amplitud en la parte de América Central que hoy comprende los estados mexicanos de tabasco, Chiapas y Yucatán, Honduras, británica, República de Guatemala y algo de la República de Salvador.

La vida del maya42

Bajo la luz de la luna, pirámides y grandes templos alzaban sus siluetas.

En los obscuros palacios dormían los sacerdotes y los gobernantes.

Árboles inmensos, como centinelas nocturnos, rodeaban el lugar.

Un grupo de chozas bordeaban el centro ceremonial, en una de ellas, a través de las paredes de bajareque, se veía la luz rojiza de las brasas.

42


Todavía no había salido el sol cuando, en esa choza, el padre se levantó y avivó el fuego.

Sacudió el hombro de su hijo para despertarlo.

Acarició la frente de la mujer acostada y preguntó:

—¿Todavía no?

—No, pero regresa pronto —dijo ella.

Padre e hijo, vestidos con sus taparrabos, su manta y sus sandalias, salieron de prisa a trabajar al campo.

Con las primeras luces del amanecer, quetzales y colibríes comenzaron a revolotear.

El aleteo de las garzas y los faisanes, el paso sigiloso de los venados y los chillidos de los monos, daban la bienvenida al sol.

En la casa, mientras tanto, la madre apuró a las niñas para que molieran el maíz, limpiaran los frijoles y dieran de comer a los guajolotes.

Ella misma preparó el guisado para cuando los hombres regresaran del campo.

Poco después de la comida, de pronto, con voz firme ordenó:

—Hija, haz prisa, corre por la partera, ha llegado el momento, daré a luz.

Ansiosos, todos esperaban el alumbramiento.

Cuando la partera recibió al recién nacido, apoyó el cordón umbilical sobre una mazorca y lo cortó con un cuchillo nuevo de pedernal.

Por las caras sonrientes era fácil saber que todo había salido bien.

La partera bañó al bebé en una fuente de agua pura.

Después arrojó allí los objetos usados durante el parto.

El padre tomó unos granos de mazorca y los sembró; de ellos saldría el primer alimento.

Otros granos los guardaría cuidadosamente para que el mismo niño los plantara cuando fuera grande, y unos más fueron reservados para el sacerdote.

Cuando tenía apenas cinco días de nacido, le colocaron al niño unas tablillas en la frente y en la nuca. Las tendría puestas por unos cuantos días para deformarle el cráneo, pues, según ellos, así se vería más hermoso.

Un sacerdote le puso por nombre el del día de su nacimiento.

Cuatro era un número mágico que simbolizaba muchas cosas, entre ellas las cuatro esquinas de la milpa.

Por eso, cuando el niño cumplió cuatro meses hicieron la ceremonia del hetzmek.

El padrino lo cargo sobre su cadera y le mostró los objetos que utilizaría cuando fuera más grande.

Pero si hubiera sido niña, el hetzmek se habría celebrado a los tres meses, porque tres eran las piedras que sostenían el comal, que representaba las tareas femeninas.

Siguieron muchas fiestas con cada nueva hazaña del niño:

El primer bocado, los primeros pasos, sus primeras palabras y el primer corte de cabello.

67La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas A los tres años, le pegaron sobre la cabeza una piedrecita que usaría durante toda su infancia. A las niñas les ataban una concha roja sobre el pubis.

El niño quería ser grande. Al fin cumplió 12 años. Ya estaba preparado para tomar parte en el Caputzihil, la fiesta del "nacer de nuevo" que iniciaba a todos los jóvenes y jovencitas, de entre 12 y 14 años de edad, en la vida adulta.

El padrino, para purificarlo, le colocó un paño blanco sobre la cabeza y le salpicó con agua la cara y entre los dedos de los pies y de las manos. Luego el sacerdote le despegó la piedrecita.

Las madres, por su parte, les quitaban la concha a las niñas.

A todos les fueron poniendo el nombre de sus padres.

Las niñas continuarían viviendo en sus casas, pero el niño tuvo que despedirse de la familia.

Ahora, hasta que contrajera matrimonio, viviría en una casa para jóvenes donde se perfeccionaría en el aprendizaje de algún oficio, así como en los deberes religiosos que había empezado a aprender de niño en la casa paterna. Oraría y ayunaría periódicamente.

Aprendió a hacer ofrendas de incienso, animales y comida. También de su propia sangre extraída de orejas, dedos y otras partes del cuerpo. Desde niño le habían enseñado a soportar el dolor y el significado del sacrificio.

Cuando cumplió 20 años, su padre le eligió una joven del mismo nivel social.

El casamentero hizo los acuerdos con la familia de la novia.

El novio, acompañado por sus padres, visitó una y otra vez la casa de sus futuros suegros y llevó como regalos mantas, cacao, maíz, algodón, piedras y plumas.

El día elegido por el sacerdote para la boda, un anciano bendijo a la pareja y les aconsejó llevar una vida recta. Hicieron un gran festejo.

Unos meses después del casamiento, la muerte del abuelo entristeció a todos.

Las ceremonias de los funerales fueron muy impresionantes.

Enterraban al difunto con su plato predilecto, sus adornos, su jícara labrada y su ropa más fina, para que lo acompañaran en su viaje al otro mundo.

Según la creencia, allí se reuniría con el dios de la muerte.

Explicación en el tablero del diseño y funcionamiento del sistema de numeración Maya. Para esta parte de la sesión la clase se apoyará en la historia del sistema de numeración maya consignada en este trabajo y en las “notas importantes para el abordaje de sistema de numeración maya” que se consigna más adelante. Estas notas sirven para adquirir un buen dominio del tema.

Al finalizar la explicación de esta sesión, se va a hacer uso del cd de juegos interactivos anexo a este trabajo con el objeto de fortalecer la parte de numeración maya.


GUÍA PARA EL PROFESOR

El sistema de numeración maya es de base 20, provisto de un cero y en el que las cifras tienen un valor determinado por su posición en la escritura de los números. Hasta el número 19, las unidades del primer orden de esta numeración vigesimal estaban representadas por unos símbolos elementales (puntos y rayitas) de uno a cuatro puntos para las primeras cuatro unidades; una raya horizontal para el numero 5; uno, dos, tres o cuatro pontos colocados por encima de la raya para los números del 6 al 9; dos rayas una encima de la otra para el 10 y así sucesivamente.

Figura 4-17: Numeración Maya.

Cada número superior a 20 se escribe sobre una columna vertical que comprendía tantos niveles como órdenes de unidades había.

TRADUCCIÓN DE UN NÚMERO MAYA A DECIMAL

Para traducir números compuestos de dos o más ordenes órdenes, podemos colocar frente a cada cifra del número maya su traducción a números decimales, después podemos multiplicar cada cifra de arriba hacia abajo por potencias de 20 y por último sumar estos resultados.

Ejemplo 1: A cuánto equivale en numeración decimal el número:

Solución:

1. Se hace una traducción de cada una de las cifras del numero, esto puede ser al lado derecho de cada una de las cifras así:

69La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas 2. Se Multiplica cada traducción por potencias de 20 en su orden, de abajo hacia arriba así:

3. Se suman los resultados

260 + 7 = 267

Así equivale a 267.

Ejemplo2: ¿A cuanto equivale el número en numeración decimal?

Solución: Sigo los siguientes pasos:

1. Hago una traducción al lado derecho de cada una de las cifras (Apóyese con la Figura

4-17) :

2. Multiplico cada traducción por potencias de 20 en su orden, de abajo hacia arriba así:


3. Sumo los resultados

Así equivale a 20817

TRADUCCIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL A NUMERAL MAYA

Ejemplo: Traducir el numero 8543 a numeral Maya.

Solución. Sigo los siguientes pasos:

1. En este caso debemos calcular cuantos grupos de cada potencia de 20 podemos conformar con el número (8543). Para esto vamos a dividir el número (8543) por 20. Si el cociente resultante es más grande de 20 dividimos nuevamente por 20 hasta que el cociente resultante sea menor de 20. Observe la siguiente ilustración:


En la primera división el cociente resultante es 427 que es más grande que 20 por eso vuelvo a dividir por 20 y obtengo de cociente 21 que es mayor de 20 por eso vuelvo a dividir por 20 hasta llegar al cociente 1.

2. Ahora voy a encerrar con una pequeña circunferencia todos los residuos resultantes y el cociente que es menor que 20. Observe la ilustración:

3. Debajo de cada una de estas pequeñas circunferencias voy a colocar la traducción en Maya del número que está en su interior:

4. Ahora solo es cuestión de escribir el número, para esto cada una de las traducciones que se escribieron a Maya representan una cifra del número. Entonces escribiremos el número de abajo hacia arriba empezando por el primer residuo obtenido.


Así, 8543 equivale a en numeración Maya.

OPERACIONES CON NÚMEROS MAYAS

Se dice que los mayas no hicieron mucho cálculo aritmético con sus números, sin embargo por ser un sistema posicional podemos pensar en los mismos algoritmos que aprendimos en la primaria:

Pensemos en restar, por ejemplo,

Y tratemos de aplicar el algoritmo tradicional:

Primero adecuemos el papel, eso lo podemos hacer así:

73La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas Quiere decir que en la caja vacía colocaremos los resultados de nuestro proceso.

Se debe garantizar que el primer número sea mayor que el segundo para poder trabajar dentro de los naturales.

Ahora bien, restemos unidades con unidades, veintenas con veintenas aplicando el algoritmo tradicional.

Restamos unidades con unidades y decimos: Cero menos ocho no se puede entonces pedimos una unidad de veintenas prestada al piso de arriba, como es cero este entonces se le pide prestado a las unidades de cuatricentenas que son cuatro. Así el cero de veintenas queda convertido en 19 veintenas, y el cero de unidades queda convertido en veinte unidades.

Ahora si podemos restar. Veinte menos ocho es doce.

Diecinueve menos cinco es 14.

Como una de las cuatro cuatricentenas fue la que prestó, entonces esta cifra queda convertida en tres cuatricentenas, así tres cuatricentenas menos tres cuatricentenas es cero.

Ósea que


Estos ejercicios de hacer operaciones básicas con otros sistemas de numeración resultan bastante efectivos para aprender el funcionamiento del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en operaciones aritméticas, objetivo central del trabajo.

TALLER DE NUMERACIÓN MAYA PARA EL ESTUDIANTE

1. Escribe estos números mayas en el sistema de numeración decimal:

a) b) c) d)

2. Escribe los siguientes números babilónico en numeración maya:

a) b) c)

3. Escribe estos números egipcios en numeración maya.

a)

b)


a) 20 b) 21 c)19 d) 400 e) 5230 f) 5643 g) 987

5. Escribe los siguientes número mayas en numeración romana y babilónica.

a) b)


4.3.7 7ª SÉSIÓN (Sistema decimal)

Esta es una de las clases más importantes, pues en ella se va a recopilar todo el trabajo hecho con los sistemas de numeración para abordar la charla sobre numeración decimal.

En esta sesión se deben considerar las similitudes y diferencias que tienen los sistemas de numeración vistos en las sesiones pasadas con el sistema de numeración decimal. Este ejercicio de comparación es clave para lograr el objetivo del trabajo que es que los estudiantes comprendan el funcionamiento del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.

El profesor puede hacer comparativos de números mayas, babilónicos, indo-arábigos en distintas bases con números del sistema decimal.

Ejemplo: Se puede mostrar a los estudiantes dos sumas, una en base 5 y otra en base 10 para que asimilen por medio de la comparación el funcionamiento del algoritmo que emplea para la suma.

Escriba en el tablero las siguientes sumas: (fueron cuidadosamente escogidas pues comprenden todas las variantes que una suma puede ofrecer)

La suma de la izquierda muestra dos números escritos en base 5 y la de la derecha dos números escritos en base 10.

La idea es que los estudiantes hagan las sumas simultáneamente

Por costumbre los niños suelen empezar el proceso sumando unidades con unidades, es pertinente que el profesor pregunte por qué es indispensable empezar por sumar las unidades.


A continuación el profesor puede continuar con el proceso y colocar los el resultado de sumar las cifras de segundo orden así:

Una vez escrito lo anterior en el tablero, el profesor debe preguntar a los estudiantes que fue lo que sucedió, por qué 2 en el caso de la base 5 y por qué 0 en el caso de la suma en sistema decimal. Además de eso que significan los unos que se colocaron arriba de la columna de las unidades de tercer orden.

Colectivamente los estudiantes responderán las preguntas, el profesor debe socializar, concluir y pedirle a los estudiantes que terminen ambas sumas. (Dar tiempo para esto)

Socialice el resultado:

77La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas Ahora proponga un ejercicio en donde se hagan simultáneamente dos restas: Por ejemplo una en indo-arábigo base seis y otra en el sistema decimal.

Utilice la misma metodología que usó para orientar a sus estudiantes con la suma, socialice y concluya.

Proponga ejercicios de operaciones (incluya la multiplicación) simultáneas incluyendo sistema de numeración maya y babilónica. Saque con los estudiantes conclusiones acerca del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN

El teorema fundamental de la numeración dice que el valor en un sistema numérico posicional de base b, una cantidad N, está dado por la expresión:

En donde N es el numero en el sistema numérico decimal, n es el número de dígitos del número N, xi un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración donde x1

representa la cifra que está en el lugar de las unidades, x2 la cifra de segundo orden etc., b es la base del sistema de numeración.

Ejemplo: Suponga que se quiere saber a cuanto equivale el numero 2345 (doscientos treinta y cuatro base cinco) en base diez o numeración decimal.

Solución: En este caso b = 5, x1 = 4, x2 = 3 y x3 = 2 y como n es 3 entonces obtengo:

N= 4*50 + 3*5 + 2*52

Ósea N= 69

Miremos si el teorema me sirve para descubrir el valor de un número maya.

Supongamos que tenemos nuevamente el número


En este caso b = 20 (Base Maya), x1 = 17, x2= 0, x3 = 12 y x4 = 2 y n = 4 que es el numero de cifras del numero Maya.

Si aplicamos el teorema.

Tenemos que N = 17x 200+0x20+12x202+2x203

N= 20.817

Este resultado nos permite ver que nuestro teorema fundamental de la numeración funcionó para números mayas.

De igual forma podemos comprobar el teorema con números babilónicos.

En definitiva, este teorema se puede aplicar para números en donde se maneje base y posición.

Al finalizar la explicación de esta sesión, el docente puede hacer uso del cd de juegos interactivos anexo a este trabajo con el objeto de fortalecer la parte de numeración decimal.

4.3.8 8ª SESIÓN (Maratón de ejercicios)

“Maratón de ejercicios” Se propondrán a grupos de dos estudiantes, ejercicios en donde se practique la conversión de números de un sistema a otro y algunas operaciones en sistemas distintos incluido el decimal, se espera que el estudiante comprenda los algoritmos para sumar, restar y multiplicar gracias a la mirada desde otros sistemas. (Se debe crear un paquete de ejercicios para esta sesión)

4.3.9 9ª SESIÓN (A jugar)

A jugar: A la sala de sistemas previamente preparada, se llevarán los estudiantes para que exploren y manipulen los juegos (software programado en los programas CLIC 3.0 y Neobook con el animo de motivar el aprendizaje del tema) suministrados en el disco compacto entregado junto con este trabajo. Se debe tener en cuenta que el cd de juegos es compatible solamente para Windows de 32 bits.

4.3.10 10ª SESIÓN (Evaluación)

Evaluación escrita de 10 puntos para valorar el aprendizaje de los estudiantes.

79Contexto didáctico

COLEGIO __________ EVALUACIÓN BIMESTRAL DE MATEMÁTICAS

PERIODO I – 2013 GRADO SEXTO

NOMBRE_________________________ CURSO______ CÒDIGO_____ Fecha: _____ DOCENTE: Camilo Andrés Prieto. Tiempo 2 horas Logro 1: Comprende el sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.

1. Transforme 1000000(2) a numeral babilónico.

2. Escriba en numeral egipcio.

3. Escriba en el sistema decimal

4. Escriba 1501 en numeral babilónico.

5. Resuelva la siguiente resta:

6. Resuelva la siguiente suma:

7. Escriba 4444 en el sistema de numeración romana. 8. Explique que es un sistema de numeración posicional.


9. Explique que es, que el sistema decimal sea base 10

10. Resuelva la siguiente resta en el sistema decimal:

4.4 Recursos para el contexto didáctico

Para tratar la parte lúdica de la unidad, he diseñado algunos juegos interactivos en los programas libres CLIC 3.0 y Neobook que suministraré de forma gratuita en un disco compacto adjunto a este trabajo, por lo cual es indispensable contar con una sala de computadores con Windows 98 en adelante y unidad de discos compactos, es aconsejable que la sala tenga video beam para impartir instrucciones a los estudiantes, y presentar el video de la primera sesión.

Advertencia: Clic 3.0 no es compatible con Windows 8.

81 Conclusiones

5. Conclusiones

1. La historia de los sistemas de numeración se presenta como un recurso didáctico importante para tener en cuenta en el aprendizaje del sistema decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.

2. La comparación de varios sistemas de numeración con el decimal, facilita la comprensión del sistema de numeración decimal.

3. Hacer operaciones con sistemas de numeración distintos al decimal, hace que los algoritmos se comprendan y se apliquen de forma correcta en el sistema de numeración decimal.

4. La vinculación de TICS mediante juegos virtuales en este trabajo, propone un recurso de motivación e interés para comprender el sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.

5. Haber soportado el contexto didáctico de este trabajo en una unidad didáctica permitió adecuar en cuanto a metodología y tiempo la labor docente para abordar el tema del sistema de numeración decimal.

6. En muchos casos los estudiantes emplean el sistema de numeración decimal para resolver problemas de la vida cotidiana sin entender su real funcionamiento, llegando a cometer errores de cálculo aritmético. Este trabajo logra que el estudiante aprenda de forma significativa el funcionamiento del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.

82 Bibliografía

Bibliografía

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