O PERACIONES 2 Transporte Profesor: Pablo Diez Bennewitz Ingeniería Comercial - U.C.V.

OPERACIONES 2Transporte

OPERACIONES 2Transporte

Profesor: Pablo Diez BennewitzIngeniería Comercial - U.C.V.

Profesor: Pablo Diez BennewitzIngeniería Comercial - U.C.V.

ORGANIZACION

RESULTADOS

ORGANIZACION PARA LA CONVERSIONORGANIZACION PARA LA CONVERSION

• DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO• ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES• MEDICION DEL TRABAJO• ADMINISTRACION DE PROYECTOS

SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES - EL MODELO

Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert

PLANIFICACION

INSUMOS

M

PLANIFICACIONPLANIFICACION (DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION:• ESTRATEGIAS DE OPERACION• PREDICCION (PRONOSTICOS)• ALTERNATIVAS DISEÑO PRODUCTOS/PROCESOS• CAPACIDAD DE OPERACIONES• PLANEACION UBICACION INSTALACIONES• PLANEACION DISTRIBUCION FISICA

PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSIONPROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION• PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA• PROGRAMACION OPERACIONES

SEGUIMIENTO PRODUCTOS

CONTROLCONTROL• CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION• CONTROL DE INVENTARIO• PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES• ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD• CONTROL DE CALIDAD

CONTROL

RETROALIMENTACION

PROCESO de CONVERSION

MODELOS

MODELOS

MODELOSMM

• Productos• Servicios• Información

M

MODELO DE TRANSPORTE

Plantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras de determinados destinos (D) receptores, donde hay que transportar cierta cantidad de recursos productivos (naturales, intermedios o finales) desde las fuentes hacia los destinos

FUENTESOferta

Capacidad de producciónProveedores

Plantas de producciónAlmacenes mayoristas

DESTINOSDemanda

Capacidad de ventaPlantas de producciónAlmacenes mayoristas

Tiendas minoristas


Se desea determinar la distribución óptima de los recursos productivos, lo que implica establecer la

combinación de distribución de fuentes a destinos, que tenga el mínimo costo asociado

F1

F3

F2

Fn

D1

D2

D3

Dm


Lo anterior se obtiene mediante el mínimo costo de transporte, lo que requiere considerar los costos unitarios de transporte desde cada fuente hacia cada destino

Se construye un modelo de transporte que, es un caso particular del método simplex

F.O. : Mín Z = n m

i=1 j=1

Cij Xij

• Cij : Costo unitario de transporte desde la fuente i hasta el destino j

• Xij : Unidades a trans-portar desde la fuente i hasta el destino j

i jCij


F.O. : Mín Z = n m

i=1 j=1

Cij Xij i jCij

s.a. :

i=1

j=1

n

m

Xij

Xij

=

=

Qdemandada

Qofrecida

Xij > 0

A

i,j

ALGORITMO DE TRANSPORTE

DesdeHacia

F1

F2

F3

F4

D1 D2 D3 D4

TOTAL

TOTAL

X1j

X2j

X3j

X4j

Xi1 Xi2 Xi3 Xi4

CijXij


DesdeHacia

F1

F2

F3

F4

D1 D2 D3 D4

TOTAL

TOTAL

X1j

X2j

X3j

X4j

Xi1 Xi2 Xi3 Xi4

X23

C21

C11

C31

C41

C12

C22

C32

C42 C43

C33

C23

C13 C14

C24

C34

C44

X33

X43 X44X42X41

X34X32X31

X24X22X21

X14X13X12X11

XijCij C23

X236

175

Significa que el costo unitario de transporte desde la fuente 2 al destino 3 es de $6

A su vez, el número de unidades a transportar desde la fuente 2 al destino 3 es de 175

SIGNIFICADO DE CADA CUADRO


Es el valor total producido en los orígenes (Qofrecida) y es también el valor total demandado por los destinos (Qdemandada)

Qdemandada

Qofrecida

==

XimXi3Xi2Xi1

+

++++

+++

.......

....... XnjX3jX2jX1j

Necesariamente: Qdemandada Qofrecida=


Si Qdemandada Qofrecida, entonces significa que falta en el cuadro una columna o fila, la que representa las holguras existentes

=

=

Si Qdemandada Qofrecida

Holguras

Exceso de Oferta

Exceso de Demanda

Qdemandada Qofrecida

Qdemandada Qofrecida>

<

Holguras

VARIABLES DE HOLGURA

Cuando no se cumple la condición necesaria del modelo de transporte (Qofrecida = Qdemandada), se incorporan variables de holgura (o exceso), a través de la creación una columna adicional o una fila adicional en el cuadro

Se asume que el costo unitario de transporte para la columna adicional o fila adicional es cero, ya que las variables de holgura o exceso no forman parte de la función objetivo de optimización

VARIABLES DE HOLGURA

Dependiendo si se trata de un exceso de oferta (Qofrecida > Qdemandada), o de un exceso de demanda (Qdemandada > Qofrecida), las variables de holgura (o exceso) que se añaden, a través de la creación una columna adicional o una fila adicional en el cuadro, representan diferentes casos

Cada caso de variables de holgura o exceso, con su posible columna adicional o fila adicional, se identifica a partir del contexto de cada situación particular

EXCESO DE OFERTA

Qofrecida QdemandadaCapacidad

Ociosa>Si

Se crea una columna adicional en el cuadro, que representa a las unidades a no producir

Qofrecida Qdemandada Acumulación de Inventario>Si

Se crea una columna adicional en el cuadro, que corresponde a la acumulación de inventario

Casos Posibles:

Casos Posibles:

EXCESO DE DEMANDA

Si Qofrecida Qdemandada<Desacumulación

de Inventario

Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la desacumulación de inventario

Si Qofrecida Qdemandada<Demanda No Satisfecha

Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la demanda no satisfecha

Qofrecida Qdemandada Producción en Turno Extra<Si

Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la producción en turno extra

(sobretiempo)

Casos Posibles:

EXCESO DE DEMANDA

EJEMPLO

Una compañía manufacturera dispone de 3 fábricas con diferentes capacidades y costos de transporte para el destino de sus 4 almacenes. La información pertinente se muestra en la tabla:

Costo Unitario de Transporte a cada Almacén CapacidadPlanta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)

1 23 18 21 25 6502 21 24 23 18 6003 18 21 27 23 700

Demanda 300 450 500 600

Para resolver se arma un cuadro simplex

METODOLOGIA DEL SIMPLEX

1) Se arma el tableau inicial

5) Se realizan tantas iteraciones como sean necesarias hasta encontrar la solución óptima

4) Si no es la solución óptima, se itera hallando una nueva solución factible, para verificar si la nueva solución factible es o no es óptima

3) Evaluar si la solución factible es o no es óptima

2) El tableau inicial otorga la 1ª solución factible

METODOS PARA LOGRAR LA 1ª SOLUCION FACTIBLE

• Esquina Nor-Oeste• Vogel

Ambos mecanismos no garantizan la optimalidad inmediata, solo garantizan la factibilidad

Iteraciones: Si la solución básica no es óptima, se deben reasignar recursos, mediante el criterio de la minimización de los costos, lo que implica realizar iteraciones al cuadro

METODO ESQUINA NOR-OESTE

Asigna el máximo número de unidades a transportar en la celda ubicada en la esquina nor-oeste del cuadro tableau

Luego, se asigna el máximo número de unidades a transportar en la celda aledaña correspondiente, según las restricciones de demanda en los destinos y las restricciones de oferta en las fuentes


Si en principio, la asignación de la esquina nor-oeste es una restricción de demanda, entonces no es posible asignar hacia abajo en el tableau y se asigna hacia el lado

Mientras que, si la asignación inicial es una restricción de oferta, entonces no es posible asignar hacia el lado en el tableau y se asigna hacia abajo

Así sucesivamente, se completa el cuadro tableau, de acuerdo al criterio recientemente descrito


En general:

Si no se puede asignar más por restricción de demanda

Si no se puede asignar más por restricción de oferta

Se completa hacia el lado

Se completa hacia abajo

EJEMPLO DE TRANSPORTE

DesdeHacia

Planta 1

Planta 3

Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta

Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

300 350

100 500

Inven.

0

600

600500300 450 18501950100

100

Qofrecida Qdemandada>Como Acumulación de Inventario

18 21 27 23 0

21 24 23 18 0

DIMENSION ESPACIO VECTORIAL

El problema de transporte es una aplicación de la programación lineal, para el caso específico de variables de decisión bidimensionales (Xij, con dos subíndices: ij)

La programación lineal se concibe y comprende, a partir de conceptos geométricos y un sistema de ecuaciones lineales (que en el caso del modelo de transporte: Qofrecida = Qdemandada)

Los conceptos geométricos implican el uso de espacios vectoriales, con determinada dimensión


La dimensión es el rango del espacio vectorial, que representa la cantidad de componentes requerida

en la base o vector de variables básicas ( XJ )

Si se cumple con el rango establecido, entonces el conjunto de ecuaciones (restricciones) del sistema cumple la condición de linealidad: o sea, todas las restricciones son linealmente independientes (l.i.)

La condición de linealidad o restricciones linealmente independientes, es condición ineludible para aplicar la metodología del simplex


Programación Lineal con variables de decisión

unidimensionales (caso Xi)

Programación Lineal con variables de decisión

bidimensionales (caso Xij)

Rango = m

Rango = m + n - 1

Donde m es el número de restricciones l.i.

Donde: • m es el número de columnas del tableau• n es el número de filas del tableau

Existe cuando en la solución básica hay al menos una variable cuyo valor es igual a cero

Cuando la solución es óptima y a la vez degenerada, entonces hay múltiples soluciones óptimas: 2, 3, 4 o quizás infinitas soluciones

La solución degenerada no implica dificultad para el problema de programación lineal, es simplemente un caso particular

SOLUCION DEGENERADA

Número de Variables Básicas m + n - 1=

m: Número de columnas en el tableau (destinos)

n : Número de filas en el tableau (fuentes)

Si Variablesbásicas < ( m + n - 1 )

Existe solución

degenerada

SOLUCION DEGENERADA

SOLUCION DEGENERADA

Para completar una base con solución degenerada, se ingresan tantos valores ceros como sean necesarios para completar el rango (dimensión) requerido por el espacio vectorial

Cuando se ingresa uno o más valores ceros, no se hace en cualquiera celda vacía al azar

El o los valores ceros, deben ingresarse tal que se disponga una base linealmente independiente (l.i.)


( m + n - 1 ) = 7

Sin embargo, en la asignación inicial del método de la esquina nor-oeste, solo hay 6 variables básicas (celdas ocupadas)

Por lo tanto, existe una solución degenerada. Luego, debe ingresarse un valor cero para completar la base de iteración

Ingresa XP3A2 = 0 Pudo ser también en otras celdas vacías


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

300 350

100 500

Inven.

0

600

600500300 450 19501950100

1000

XJ1 = (XP1A1,XP1A2,XP2A2,XP2A3,XP3A2,XP3A4,XP3INV)

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0

BASE LINEALMENTE INDEPENDIENTE (L.I.)

Una base es linealmente independiente cuando permite realizar la verificación de la condición de optimalidad para cada variable no básica (celda vacía en el tableau)

Aquello acontece cuando se forma un único lazo alrededor de cada una de las variables no básicas, determinando para cada una de éstas, si realizan o no realizan aporte a la minimización de costos del problema

BUSQUEDA DE SOLUCION OPTIMA

Se realiza un análisis de sensibilidad, calculando los precios sombra de cada una de las variables no básicas (celdas vacías en el algoritmo de transporte), para saber si es que hay algún ahorro respecto del costo total (valor de la función objetivo z) de la reciente iteración

Variables básicas ( XJ ): Están en el tableau y

toman un valor, que en general es mayor que cero

Variables no básicas ( XJ ): No están en el tableau

(celdas vacías) y necesariamente valen cero

VERIFICACION DE OPTIMALIDAD

Permite comprobar si una solución básica factible es o no es óptima, evaluando el precio sombra o costo marginal asociado al transporte o envío de una unidad en cada variable no básica o celda desocupada en el tableau

Verificar la condición de optimalidad se efectúa por medio de la formación de “lazos”, alrededor de cada variable no básica

Lazos: Son los caminos que se forman dentro del tableau, alrededor de las celdas no básicas y, que se cierran mediante movimientos exclusiva y alternadamente, horizontales y verticales

Por ejemplo:

El primer vértice del lazo es una celda no básica, la cual también es el último vértice, cerrando el lazo. Los demás vértices del lazo necesariamente son variables o celdas básicas


El costo marginal referido a la verificación de la optimalidad, se obtiene a través de los mismos costos unitarios presentes en las celdas del lazo, según la transferencia de unidades asignadas que exista en cada celda del lazo:

Si la celda del lazo recibe unidades

en la transferencia

Se suma el costo unitario de la celda para la verificación

Si la celda del lazo entrega unidades

en la transferencia

Se resta el costo unitario de la celda para la verificación


En el ejemplo, para la celda P2A1 (planta 2 y almacén 1) se tiene:

300

100

350

Alm.1 Alm.2

Planta 1

Planta 2

+21 -24

-23 +18

CMg = +21 -24 +18 -23 = - 8

Hay un Ahorro Marginal, es el concepto de

precio sombra


PRECIO - SOMBRA

Es cuánto varía la función objetivo respecto del cambio en una unidad de una de sus variables componentes

La verificación de optimalidad requiere obtener el precio sombra de todas las celdas vacías, para lo cual se necesita formar los lazos respectivos

Una base linealmente independiente garantiza un único lazo alrededor de cada una de las variables no básicas

CONDICION DE OPTIMALIDAD

Si ij 0 , ij XJ A> Solución óptima

La solución factible es óptima cuando no existe posibilidad alguna de ahorro marginal, lo que ocurre cuando todos los precios sombra son mayores o iguales a cero

Si ij 0 ,ij XJ < Solución no

es óptima

E

CONDICION DE OPTIMALIDAD

Mientras exista al menos un precio sombra menor que cero en las celdas no básicas de las iteraciones del tableau, entonces su solución factible no es óptima, por lo que entonces deben continuarse las iteraciones

Si hay dos o más precios sombra menores a cero, se determina que ingresa a la base la variable no básica que origina el precio sombra más negativo

ITERACIONES

Cuando hay ahorro marginal, lo máximo que se

transfiere hacia la celda no básica, es el mínimo

de las celdas que entregan unidades en la

transferencia, para así conservar la condición

de factibilidadXij > 0

A

i,j

Cada vez que se realiza una iteración (reasignación de unidades), a continuación se necesita volver a calcular los precios sombra, hasta verificar que se alcanza la solución óptima

CONCEPTO DE LA GRAN “M”

En caso de que no se pueda o no se desee almacenar o asignar unidades, el método de transporte define un costo unitario de transporte igual a “M”, que representa un costo marginal infinito, que en el tableau se expresa de la siguiente manera:

Si CMg = 8 M


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823

18

21 25

650

600

700

500

Inven.

0

600

600500300 450 19501950100

1000

Se deben calcular todos los precios sombra

-8

300 350

100

= + 21 - 24 + 18 - 23 = - 8 P2A1

21 24 23 18 0

0232721


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

300

Inven.

0

600

600500300 450 100

1000

-8

= + 21 - 18 + 24 - 23 = + 4

+4350

100 500

P1A3

21 24 23 18 0

023272118


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

300

100 500

Inven.

0

600500300 450 100

100

-8

= + 25 - 18 + 21 - 23 = + 5

+5+4350

0 600

P1A4

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823

2318 21

21

27

25

650

600

700

300

100 500

Inven.

0

600500300 450 100

0

-8

= + 0 - 18 + 21 - 0 = + 3

+5+4350

0 600 100

+3

P1INV

21 24 23 18 0


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

300

100 500

Inven.

0

600500300 450 100

-8

= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8

+5+4350

0 100

+3

600

-8

P2A4

21 24 23 18 0

023272118


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

300

100 500

Inven.

0

600500300 450 100

-8

= + 0 - 24 + 21 - 0 = - 3

+5+4350

0 100

+3

600

-8 -3

P2INV

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

500

Inven.

0

600500300 450 100

= No Existe

+5+4350

0 100

+3

600

-8 -3

Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2

-8

300

100

E

P3A1

018232421

23 0272118


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

= No Existe

+5+4350

100

+3

600

-8 -3

Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2

-8

300

500100

0

EE

P3A3

018232421

23 0272118

DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

350

100600

-8-8

300

500100

0

P2A4

018232421

23 0272118

= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8

EJEMPLO DE TRANSPORTERevisión del lazo para la iteración correspondiente:


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

350

100

300

500

Entra XP2A4


Unidades Transferir = 100

100

0 600

y Sale XP2A2.

100

100 500

018232421

021 27 2318


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

350

100500

300

500

100

Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración:

100

-4

-8 -1

0 +8

+5

+5

+3

21 24 23 018

18 21 27 23 0

DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

350

100500

300

500

100

Revisión del lazo para la iteración correspondiente:

100

-8

21 24 23 018

18 21 27 23 0

P3A1 = + 18 - 23 + 18 - 21 = - 8



DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

100500

500

Entra XP3A1


100

Unidades Transferir = 100y Sale XP3A2.

300 350

100100

4502001823

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

450

100500

200

500

100


100

-12

+8 -1

+8 +16

-3

+5

-5

21 24 23 018

18 21 27 23 0

21

DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

450

100500

200

500

100

100

-12

21 24 23 018

18 21 27 23 0

21



P1A3 = + 21 - 23 + 18 – 23 + 18 - 23 = - 12


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

450

100

Entra XP1A3


Unidades Transferir = 200y Sale XP1A1.

200

100 500

100500

200

300 300

30030021 24 23 18 0

18 21 27 23 0


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

450

100300

200

300

300


300

+12

-4 -1

+8 +4

+9

+5

+7

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0

23

DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

450

100300

200

300

300

300

-4

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0

23



P3A2 = + 21 - 18 + 21 – 23 + 18 - 23 = - 4


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

100300

Entra XP3A2


Transferir = 300y Salen XP2A3 y XP3A4.

300

450 200

300 300

300

600

500150

021 24 23 18 0

18 21 27 23 0


DesdeHacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

1823 21 25

650

600

700

Inven.

0

600500300 450 100

150

100

500

300300


600

+8

+4+3

+9 +3

0

Se halló la solución óptima, que es degenerada

E E E018232421

18 21 27 23 0


Solución Óptima del Ejercicio:

XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)

XP1A2

XP1A3

XP2A3

XP2A4

XP3A1

XP3A2

XP3INV

= 300

= 300

= 100

= 150

= 500

= 600

= 0

Z = (150*18) + (500*21) + (0*23) + (600*18) + + (300*18) + (300*21) + (0*100)

Z = Costo Total = $ 35.700

La solución no es única, pues

es una solución degenerada ij > 0

A

i,j XJ

EJEMPLO

Problema resuelto el método de esquina nor-oeste:


1 23 18 21 25 6502 21 24 23 18 6003 18 21 27 23 700

Demanda 300 450 500 600

Considere que los costos unitarios de producción son de $18, $25 y $10 para las plantas 1, 2 y 3 respectivamente. Por política de la empresa, no se permite almacenar inventario en las plantas 1 y 2. Plantee como problema de programación lineal y encuentre la asignación óptima por método Vogel

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

Cada vez que se plantea un problema de programación lineal, se procede cumpliendo las siguientes etapas:

1.- Comprensión del problema (lectura en detalle)

2.- Definición de las variables de decisión

3.- Descripción de la función objetivo

4.- Identificación de las restricciones del problema


En un problema de transporte, las variables de decisión contemplan todas las combinaciones posibles de flujos de distribución física, a transferir desde las fuentes hacia los destinos

Resulta imprescindible definir las variables de decisión. Si no se definen las variables de decisión, entonces es imposible determinar qué significan las

denominaciones Xij que, a continuación, se

describen en la función objetivo y las restricciones


Las restricciones incluyen un conjunto de restricciones de oferta (una por cada fuente) y otro conjunto de restricciones de demanda (una por cada destino), sin olvidar la condición de no negatividad

Se define como función objetivo la minimización de los costos de transporte asociados a la red de distribución física


Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de oferta:

Oferta total

Demanda total>

Si

>< =

Restricciones OfertaRestricciones Demanda

<=

Situación válida tanto para acumulación de inventario como capacidad ociosa (unidades a no producir)

Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de demanda:

Oferta total

Oferta total

Demanda total

Demanda total

<

Si

Si

>< =



<=

< >=


Situación válida para caso de demanda no satisfecha

Situación válida para los casos de desacumulación de inventario y de producción en turno extra

El ejemplo considera dos categorías de costos, por lo que se deben sumar los costos unitarios de producción con los costos unitarios de transporte

La tabla de costos para plantear el problema de programación lineal queda así:

INVA4A3A1 A2

P1 41 36 39 43 MP2 46 49 48 43 MP3 28 31 37 33 10


Sea Xij: Número de unidades a transportar desde


la fuente i-ésima hacia el destino j-ésimo

donde: i = { planta 1, planta 2, planta 3 }

j = { almacén 1, almacén 2, almacén 3, almacén 4 }

Función objetivo: Minimizar Z

Mín Z = 41XP1A1 + 36XP1A2 + 39XP1A3 + 43XP1A4 +

46XP2A1 + 49XP2A2 + 48XP2A3 + 43XP2A4 +

28XP3A1 + 31XP3A2 + 37XP3A3 + 33XP3A4

(producción + transporte)

Para el ejemplo planteado:


1 23 18 21 25 6502 21 24 23 18 6003 18 21 27 23 700

Demanda 300 450 500 600

Oferta total = 1950Demanda total = 1850

Hay un exceso de oferta

Luego, se plantean: Restricciones OfertaRestricciones Demanda

<=

• •



s.a. XP1A1 + XP1A2 + XP1A3 + XP1A4 650

Restricciones de Oferta:

XP2A1 + XP2A2 + XP2A3 + XP2A4 600

XP3A1 + XP3A2 + XP3A3 + XP3A4 700

Restricciones de Demanda:

<<<

s.a. XP1A1 + XP2A1 + XP3A1 300

XP1A2 + XP2A2 + XP3A2 450

XP1A3 + XP2A3 + XP3A3 500

XP1A4 + XP2A4 + XP3A4 600

====

Restricciones de No Negatividad: Xij 0> , ij

A

METODO DE VOGEL

Selecciona las diferencias de ahorros más altas y luego asigna el máximo número de recursos productivos en la celda con el mínimo costo unitario, según las restricciones de oferta y de demanda

Utiliza conceptos matemáticos y de cálculo avanzado: calcula un gradiente moviéndose por la mayor pendiente, asignando unidades en las celdas con el menor costo marginal

Vogel es más inteligente y rápido que la esquina noroeste, pero tampoco garantiza la optimalidad

Gradiente: g(x) =zx i

zy j+

> >

ETAPAS DEL METODO VOGEL

1) Calcular las diferencias entre los dos costos unitarios más bajos para cada fila y para cada columna, en el tableau

3) Se elimina la fila o columna que copa su oferta total o demanda total, respectivamente, por efecto de la asignación reciente

2) Se escoge la mayor de las diferencias y se ubica en tal fila o columna (según sea el caso), la celda con el menor costo unitario, asignándole el máximo número de unidades posible

ETAPAS DEL METODO VOGEL

4) Se reinicia sucesivamente desde la etapa 1), recalculando las diferencias entre los dos costos unitarios más bajos para cada fila y para cada columna, seleccionando la mayor de tales diferencias, para identificar en dicha máxima diferencia la celda con el menor costo unitario y asignar en dicha celda el máximo número de unidades posibles, según las restricciones de oferta y de demanda. Esta etapa sigue hasta que ya no se obtiene diferencia alguna en el tableau

5) Se asignan las celdas restantes en forma manual

Al resolver el problema de transporte, sólo se consideran los costos diferenciales, por lo que si bien se deben sumar los costos unitarios de producción con los costos unitarios de transporte, es posible reducir la tabla de costos según:

INVA4A3A1 A2

Como sólo interesan los costos diferenciales, podría trabajarse

INVA1 A2 A3 A4

P1 31 26 29 33 MP2 36 39 38 33 MP3 18 21 27 23 0

P1 41 36 39 43 MP2 46 49 48 43 MP3 28 31 37 33 10



P.1

P.3

Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta

P.2

Dda

650

600

700

Inven

600500300 450 100

513

18

3

3

102 M

100

1ª asignación: en la celda con menor costo de la mayor de las diferencias de mínimos costos

23272118

36 39 38 33 M

31 26 29 33 M

0


P.1

P.3


38P.2

Dda

39

2631

33

2318

36

21

29

27

33650

600

700

InvenM

M

600500300 450 100

0

5

3

3

3

102 M

100

13

300

1ª asignación: XP3A3 = 1002ª asignación: XP3A1 = 300

.... y así se completa sucesivamente


P.1

P.3


P.2

Dda

33650

600

700

InvenM

600500300 450 100

3

3

18

13 5 2 10 M

100

*

300

*10

300 *

13 9 013

450

*

4

9

200 *300 300

3936

31 26 29

18 21 27

38 33 M

023

5

23


1ª asignación: XP3INV = 100, gradiente columna INV = M

2ª asignación: XP3A1 = 300, gradiente columna A1 = 13




6ª asignación: XP2A3 = 300

7ª asignación: XP2A4 = 300

Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible, sin embargo falta verificar la condición de optima-lidad e iterar vía simplex si es que es necesario

Asignación manual


Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

2631

33

18

36

21

29 33650

600

700

InvenM

M

600500300 450 100

0100300 300

450 2003839

30030027 23

Entra XP3A2


+12

+8 +4

-4 -1

+9 +M

+M

De acuerdo al cálculo de los precios sombraTransferir = 300y salen XP2A3 y XP3A4.


Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

36650

600

700

Inven

M

600500300 450 100100300

3839300 300

300300

600

Hay solución degenerada, ingresa XP2A2 = 0

0


2118 27 23 0

450 20050015033

292631 M33


Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

31

18

36

21

650

600

700

Inven

M

600500300 450 100

0100300 300

150 5003839

600027 23

+8+3


+8EE

Ya que ij > 0 A

i,j XJLa solución es óptima

33

332926+13

M+M

E


Solución óptima del ejemplo:

XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)

XP1A2

XP1A3

XP2A2XP2A4

XP3A1

XP3A2

XP3INV

= 300

= 300

= 100

= 150

= 500

= 600

= 0

Z = (150*36) + (500*39) + (0*69) + (600*43) + + (300*28) + (300*31) + (100*10)

Z = Costo Total = $ 69.400

La solución no es única, pues

es una solución degenerada ij > 0

A

i,j XJ

(producción + transporte)

O PERACIONES 2 Transporte Profesor: Pablo Diez Bennewitz Ingeniería Comercial - U.C.V.

Documents

Transcript of O PERACIONES 2 Transporte Profesor: Pablo Diez Bennewitz Ingeniería Comercial - U.C.V.