El estudio de cualquier rama de las matemticas requiere un buen conocimiento de las principales propiedades de los nmeros reales, as como de propiedades especiales de algunos de sus subconjuntos ms notables. El propsito de este captulo es presentar el mnimo de nociones que consideramos indispensables para cubrir estas necesidades.

Leccin 1.1Una Visin Preliminar

La nocin de nmero es una de las ms fundamentales en matemticas. Su origen se remonta a la antigedad y a travs de los siglos ha pasado por un largo proceso de extensin y de generalizacin.Los nmeros ms simples, los que utilizamos para contar, son losenteros positivos:

Representamos el conjunto de los enteros positivos por.Si al conjunto de los enteros positivos le aadimos el nmero, obtenemos el conjunto de losnmeros naturalesque representamos por. Es decir,

Si ale agregamos los inversos aditivosde los enteros positivos, obtenemos el conjunto de losnmeros enterosque representamos por. Luego,

El conjunto de nmeros ms simple despus de los enteros es el conjunto de losnmeros racionales. Los nmeros racionales surgieron ante la necesidad de medir con bastante precisin distintas magnitudes tales como longitud, peso, tiempo y muchas otras. Un nmero esracionalsi puede expresarse en la formadondeyson enteros con. Como ejemplo de nmeros racionales podemos citar:

Observamos que los nmeros racionalesyson simplemente los enterosy. En general, todo nmero entero es un nmero racional.El conjunto de los nmeros racionales lo representamos con el smbolo.Los griegos fueron conscientes de que los nmeros racionales no son suficientes para medir todas las longitudes. Aunque ellos demostraron quemide la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado, tambin probaron queno puede escribirse como el cociente de dos enteros.Los nmeros que no son racionales, se llamannmeros irracionales. En un contexto ms avanzado, se puede demostrar que existen mucho ms nmeros irracionales que nmeros racionales. Por el momento, podemos mencionar que sies un nmero racional yentonceses un nmero irracional. La reunin de todos los nmeros racionales y todos los nmeros irracionales constituye el conjunto de losnmeros realesque representamos por.Entre los conjuntos numricos hasta ahora mencionados existen las siguientes relaciones:

donderepresenta la inclusin entre conjuntos. En todos los casos la inclusin es estricta.Tambin es conveniente mencionar que el conjunto de los nmeros irracionales es el complemento del conjunto de los nmeros racionales con respecto a. Por lo tanto si representamos porel conjunto de todos los nmeros irracionales, tenemos la relacin

Leccin 1.2.Adicin y Multiplicacin de Nmeros Reales

Sobre el conjuntode los nmeros reales tenemos definidas dos operaciones, laadiciny lamultiplicacinque asignan a cada parde nmeros reales susumay suproducto(que escribiremos abreviadamente como) de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades bsicas:P.1escerradopara la adicin y la multiplicacin. Es decir, siyson nmeros reales, entoncesyson tambin nmeros reales.P.2La adicin y la multiplicacin ensonconmutativas. Es decir, siyson nmeros reales, entonces

P.3La adicin y la multiplicacin ensonasociativas. Es decir, siyson nmeros reales, entonces

P.4La multiplicacin esdistributiva, a izquierda y a derecha, con respecto a la adicin enEs decir, siyson nmeros reales, entonces

P.5Existenidentidadespara la adicin y la multiplicacin en. Es decir, existen dos nmeros reales diferentes que representamos pory, tales que para todo nmero realse tiene

P.6Existeninversospara la adicin de nmeros reales y para la multiplicacin de nmeros reales diferentes de cero. Es decir,Para todo nmero real, existe un nmero real que representamos por, tal que

Para todo nmero real, existe un nmero real que representamos por, tal que

El nmerose llama elinverso aditivodeo elopuestode. El nmerose llama elinverso multiplicativodeo elrecprocode.Dados los nmeros realesy, la propiedad asociativa de la adicin nos dice que. Esto nos lleva a definir sin ambigedades el smbolocomo el resultado comn de estas expresiones. Similarmente, siyson nmeros reales, por repetidas aplicaciones de la propiedad asociativa de la adicin podemos comprobar que los nmeros

son todos iguales y definircomo el resultado comn de estas expresiones. En general, si tenemos una coleccin finitade nmeros reales, todas las formas posibles en que los asociemos para sumarlos producen el mismo resultado y podemos definircomo este resultado comn.Tambin, dada una sumadenmeros reales, la propiedad conmutativa de la adicin nos permite cambiar arbitrariamente el orden de los sumandos.Obviamente, podemos hacer consideraciones similares para la multiplicacin de nmeros reales.Ejemplo 1.1.En la siguiente lista se ilustran algunas de las propiedades de la adicin y multiplicacin de nmeros reales. Todas las letras representan nmeros reales. Existencia de identidad para la adicin. Conmutatividad de la adicin. Existencia de inversos multiplicativos. Propiedad distributiva. Existencia de inversos aditivos. Existencia de identidad para la multiplicacin. Asociatividad de la adicin. Conmutatividad de la multiplicacin. siExistencia de inversos multiplicativos. Asociatividad de la multiplicacin.

Leccin 1.3.Diferencia y Cociente en los Nmeros Reales

La diferencia y el cociente de dos nmeros reales se pueden expresar en trminos de la adicin y la multiplicacin de acuerdo con las siguientes definiciones:Definicin 1.3.1.Siyson nmeros reales, la diferencia deyes

Definicin 1.3.2.Siyson nmeros reales con, el cociente depores

Hacemos notar que como el nmero cero carece de inverso multiplicativo, la divisin por cero no est definida.La importancia de las propiedades bsicas P.1 a P.6 es que a partir de ellas se pueden deducir todas las dems propiedades relativas a la adicin y multiplicacin de nmeros reales. A manera de ejemplo podemos citar algunas de ellas de uso muy frecuente: Propiedades cancelativas: Siyson nmeros reales tales que, entonces. Siyson nmeros reales tales queyentonces. Unicidad de los inversos: Siyson nmeros reales tales que, entonces. Siyson nmeros reales contales que, entonces. Reglas de los signos:Siyson nmeros reales arbitrarios, entonces , Regla de los signos para las fracciones:Siyson nmeros reales con, entonces

Simplificacin de fracciones:Siyson nmeros reales cony, entonces

Operaciones con fracciones:Siyson nmeros reales conyentonces Si adems,, entonces Ejemplo 1.2.En la siguiente lista utilizamos algunas de las propiedades mencionadas. Siempre suponemos que los denominadores de las fracciones son diferentes de cero. SientoncesPropiedad cancelativa. Regla de los signos. Regla de los signos para fracciones. Suma de fracciones. Regla de los signos. Simplificacin de fracciones. Multiplicacin de fracciones. Divisin de fracciones y regla de los signos.En el prximo captulo usaremos intensivamente las propiedades bsicas de la adicin y multiplicacin de nmeros reales, y las propiedades que de ellas se deducen.

Leccin 1.4.Orden en los Nmeros Reales

El conjuntode los nmeros reales contiene un subconjunto especial llamado el conjunto de losnmeros positivos, que representamos por, cuyas propiedades bsicas son:P.7Siypertenecen a, entoncespertenece a.P.8Siypertenecen a, entoncespertenece a.P.9Sies un nmero real, se cumple exactamente una de las siguientes relaciones.x\P,x=0,-x\PEstas propiedades las completamos con la siguiente definicin:Definicin 1.4.1.Siyson nmeros reales, entonces significa que. significa que. significa queo. significa queo.De acuerdo a la definicin anterior tenemos quesi y slo sies positivo, es decir,si y slo si.Utilizando la notacin anterior, podemos expresar las propiedades bsicas de los nmeros positivos de la siguiente forma:P.7Siyentonces.P.8Siyentonces.P.9Sies un nmero real, se cumple exactamente una de las siguientes relacionesx>0,x=0,-x>0Las siguientes terminologas se usan con frecuencia: Sidecimos queesnegativo. Sidecimos queesno negativo. significa quey. significa quey. significa quey. significa quey.De estas propiedades se deducen las reglas usuales que rigen las operaciones con desigualdades. Como ejemplo podemos citar algunas de ellas de uso muy frecuente: Siyson nmeros reales tales que, entoncespara todo nmero real. Siyson nmeros reales tales quey, entonces. Siyson nmeros reales tales quey, entonces. Sientoncesy sientonces. Sientoncesy sientonces. Siyson nmeros reales tales que, entoncesy, o,y. Siyson nmeros reales tales que, entoncesy, o,y.Ejemplo 1.3. pues pues pues puesy Sientonces Sientoncesy por lo tanto Para todo nmero realse tiene que Siyson nmeros reales tales queentonces

Leccin 1.5.Representacin Geomtrica de los Nmeros Reales

Geomtricamente podemos representar el conjunto de los nmeros reales mediante los puntos de una recta horizontal que llamaremos larecta realo eleje real. Para ello,escogemos un punto de la recta para representar el nmeroy otro punto a la derecha de este para representar al nmero. La longitud del segmento determinado por los puntos marcadosyse selecciona como unidad de distancia. Utilizando esta unidad de distancia representamos los nmeros positivos a la derecha dely los nmeros negativos a la izquierda delEl entero positivose representa por el punto situado a una distancia deunidades a la derecha dely el entero negativose representa por el punto situado a una distancia deunidades a la izquierda del, como se indica en la siguiente figura donde se representan los enteros entrey.

Para representar un nmero racional positivodividimos la unidad de distancia, es decir , el segmento determinado poryenpartes iguales y le asignamos, a la derecha de, el punto determinado porde estas partes de longitud. Para representar el nmero racional negativo, procedemos de forma similar, pero tomandopartes de longituda la izquierda de. La grfica siguiente nos muestra algunos de los puntos que representan nmeros racionales

La siguiente construccin nos muestra como representar el nmero irracionalsobre la recta:

Concretamente, el punto que representa ase obtiene trazando desde el punto marcadoun segmento de recta de longitud igual a la unidad y perpendicular a la recta real. Se forma un tringulo rectngulo cuya hipotenusa tiene longitud. Luego se traza un arco de crculo con centro eny radio, el punto de interseccin de este arco con el eje real represente el nmero.En general es imposible indicar de que forma se puede representar cualquier nmero irracional sobre la recta, pero aceptamos como un axioma que a cada nmero real le corresponde exactamente un punto sobre la recta y que recprocamente, cada punto de la recta corresponde a exactamente un nmero real. Una correspondencia como esta se llama unsistema de coordenadas. El nmero correspondiente a un punto dado se llama lacoordenadadel punto. El punto que corresponde al nmero cero se llama elorigendel sistema de coordenadas y usualmente lo representamos por O. Por ejemplo en la figura siguiente

la coordenada dees, la coordenada dees, la coordenada deesetc.En la prctica, se acostumbra a identificar un nmero real con el punto sobre la recta que lo representa y, a utilizar como sinnimas las expresiones " el punto" y " el nmero".Para representar la distancia entre dos puntos de la recta, necesitamos calcular la diferencia entre la coordenada del punto que esta a la derecha y la coordenada del punto que esta a la izquierda. Si los puntos tienen coordenadasy, entonces cuandola distancia esy cuandola distancia es, ya que la distancia es siempre positiva. Con el fin de tener una nica frmula para calcular la distancia en todos los casos, introducimos la nocin de valor absoluto.Definicin 1.5.1.Sies un nmero real, suvalor absolutoque notamos, lo definimos| x| =Ejemplo 1.4. , pues , pues , pues , pues De acuerdo con nuestra observacin anterior, siyson las coordenadas de dos puntos sobre una recta, la distancia entre ellos se define como. En particular,representa la distancia del origen al punto.

La relacin de orden entre nmeros reales tiene una interpretacin geomtrica muy simple:si y slo si el punto que representaesta localizado a la izquierda del punto que representa.La representacin geomtrica es de gran utilidad en la resolucin de problemas y en la visualizacin de muchas propiedades importantes de los nmeros reales.Es til introducir la nocin deintervalo. Siyson nmeros reales, definimos los siguientes subconjuntos de

Los conjuntos as definidos se llaman en su orden, intervaloabiertode extremosy, intervalocerradode extremosy, intervaloabierto-cerradode extremosye intervalocerrado-abiertode extremosy.Geomtricamente podemos representar estos intervalos sobre la recta real como se indica en las siguientes figuras:

Un parntesis cuadrado en la figura indica que el extremo correspondiente pertenece al intervalo.Se acostumbra a ampliar el concepto de intervalo para incluir los siguientes conjuntos, conocidos con el nombre deintervalos infinitos:

Dejamos al lector la representacin geomtrica de estos intervalos. El smbolollamadoinfinitoque aparece en la definicin anterior, no es un nmero real, es tan solo un artificio de notacin.Leccin 1.6.Los Enteros

En esta seccin vamos a mencionar algunas de las propiedades ms importantes del conjuntode los nmeros enteros. Recordamos queesta formado por la unin del conjunto de los enteros positivos, el conjunto de los enteros negativosy el.Muchos de los resultados sobre nmeros enteros son consecuencia del siguiente resultado:Principio de buena ordenacin.Todo subconjunto no vacode nmeros naturales posee un mnimo. Es decir, existetal quepara todo.Una primera consecuencia de este principio es el resultado conocido como algoritmo de la divisin.Algoritmo de la divisin.Siyson enteros con, entonces existen enteros nicosytales que

Los nmerosyse llaman respectivamente, elcocientey elresiduoobtenidos al dividirpor.El siguiente diagrama ilustra la demostracin del resultado anterior

Sies un mltiplo de, es decir sipara algn entero, tomamos. Sino es mltiplo de, tomamosdondees el menor mltiplo deque se encuentra a la izquierda del nmero. Observamos que de esta forma.Ejemplo 1.5.1. Si, podemos escribir:

2. Si, tenemos

En virtud de este algoritmo, con, podemos representar todo enteroen alguna de las formas

dondees un entero. Sise puede representar en la primera forma, de-ci-mos quees un enteropary cuando se puede representar en la segunda forma, de-ci-mos que es un enteroimpar. Los enteros pares son por lo tanto:y los enteros impares son,.Definicin 1.6.1.Seanynmeros enteros con. Decimos quedivideasi existe un enterotal que. En tal caso escribimos. Cuandodivide adecimos tambines undivisorde, o quees unfactorde, quees unmltiplode.Para indicar queno divide aescribimos.Definicin 1.6.2.Un entero positivose llama un nmeroprimosi tiene exactamente dos divisores positivos a saber,y. Un entero positivo mayor que 1 que no es primo se llamacompuesto.Los primeros nmeros primos sony.Sin duda alguna el siguiente resultado es la propiedad ms importante que tiene el conjunto de los enteros positivos.Teorema 1.6.1. (Teorema fundamental de la Aritmtica)Todo entero es primo, se puede factorizar como producto de primos. Esta factorizacin es nica salvo por el orden de los factores.De acuerdo al teorema anterior, sies un entero mayor que, lo podemos escribir en la forma

dondeson primos no necesariamente diferentes. Agrupando los primos iguales en la factorizacin de, lo podemos escribir en la forma

donde los primos son ahora diferente y los exponentes son enteros positivos. Esta ltima representacin dese llama la representacinnaturalocannicade.Ejemplo 1.6.Cuando trabajamos con varios enteros es deseable utilizar los mismos nmeros primos para representarlos y en tal caso aceptamos en la representacin cannica de un entero, exponentes cero. As por ejemplo escribimos

donde en todos los casos hemos utilizados los mismos primos.Si la representacin cannica de un entero es, entonces los divisores positivos detienen la forma

dondepara cada.Ejemplo 1.7.Los divisores positivos deson

Siy, decimos quees undivisor comndey. Cuandoyson enteros no ambos iguales a cero, el mayor de los divisores comunes positivos deyse llama elmximo comn divisordeyy lo representamos por la notacin.Puesto que, sientonces, se observa que

Como ejemplo tenemos

Siy, decimos quees unmltiplo comndey. Cuandoyson enteros no nulos, el menor de los mltiplos comunes positivos dey, que existe por el principio de buena ordenacin, se llama elmnimo comn mltiplodeyy lo representamos por la notacin. En este caso tambin tenemos

Por ejemplo,

Es conveniente observar que en matemticas utilizamos a veces la misma notacin para representar conceptos diferentes, pero el contexto nos indica con claridad el significado deseado. Por ejemplo, si trabajamos con el orden en los nmeros reales,representa un intervalo abierto, pero si trabajamos con nmeros enteros,representa el mximo comn divisor de dos enteros.Una de las consecuencias del Teorema fundamental de la Aritmtica es que nos proporciona un mtodo rpido para hallar el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo de dos enteros. Concretamente tenemos el siguiente resultado:Siycon losprimos y,para todo. Entonces,

dondey.Ejemplo 1.8.Comoy.Entonces,

Los resultados anteriores se extienden de manera similar a cualquier nmero finito de enteros.Ejemplo 1.9.entonces,

Leccin 1.7.Nmeros Racionales e Irracionales

Como indicamos en la seccin < href="reales1.tex">1.1. los nmeros racionales son los que se pueden expresar en la formadondeyson enteros y. El conjuntode los nmeros racionales contiene como subconjunto al conjuntode todos los enteros, pues cualquier enterolo podemos expresar en la forma, es decir como un racional con denominador igual a.Observamos que existen varias expresiones de la formaque representan el mismo nmero racional, por ejemplo. Caracterizamos estas expresiones de acuerdo a la siguiente definicin.Definicin 1.7.1.Los nmeros racionalesyconyson iguales cuando.Es decir tenemos:si y slo siSi tenemos en cuenta las operaciones con fracciones que mencionamos en la seccin < href="reales2.tex">1.2., vemos que los nmeros racionales resultan cerrados para la adicin, la resta, la multiplicacin y la divisin, ya que en todos los casos se obtienen fracciones cuyos numeradores y denominadores son nmeros enteros.Los nmeros reales que no son racionales, los llamamos nmeros irracionales. Como ejemplo podemos citary.En general es muy difcil probar que un nmero real es irracional. Sin embargo, hay una demostracin fcil de que el nmeroes irracional. Hela aqu:Por el algoritmo de la divisin sabemos que todo enteroes par o impar, es decir puede expresarse en una de las dos formasconenteroy por lo tantoconenteroDe las igualdades anteriores concluimos que sies par entonceses par.Supongamos quees racional. Luegoconyenteros. Podemos asumir queyno tienen ningn factor comn. Luegoo sea, es decires par y por la observacin preliminar,tambin es par. Podemos escribirconentero. Sustituyendo este valor en la ecuacin, tenemos, o, por consiguientees un entero par yse puede expresar en la formaconentero. De esta forma hemos llegado a contradecir que los enterosyno tienen ningn factor comn. Por lo tanto nuestra hiptesis de quees racional es imposible y en consecuenciaes irracional.A partir de un nmero irracional dado, podemos construir una infinidad de nmeros irracionales, pues fcilmente se demuestra el siguiente resultado:" Sies un nmero irracional yes cualquier nmero racional diferente de cero, entonces los nmeros,,,,,yson todos nmeros irracionales."La irracionalidad de cualquiera de estos nmeros se demuestra inmediatamente por contradiccin. Por ejemplo, sifuera un nmero racional, tendramosconracional. Despejandotendramosque es un nmero racional, pues la diferencia de dos nmeros racionales es un nmero racional. Esto contradice quees irracional. Por lo tantono puede ser un nmero racional.Ejemplo 1.10.Todos los siguientes nmeros son irracionales

El ejemplo siguiente nos muestra que los nmeros irracionales no son cerrados para la adicin, la resta, la multiplicacin y la divisin, es decir hay casos en que estas operaciones aplicadas a nmeros irracionales producen como resultado un nmero racional.Ejemplo 1.11.

Leccin 1.8.Expresiones Decimales

Dado que todo nmero racional es el cociente de dos enteros, efectuando una divisin ordinaria lo podemos representar mediante unaexpresin decimal. Estas representaciones o bien son finitas, como en el caso deyo bien se repiten en ciclos regulares indefinidamente como en el caso deyCuando en una expresin decimal hay un ciclo de cifras que se repiten indefinidamente, decimos que el decimal esperidico. Llamamosperodoal conjunto de cifras que forman el ciclo que se repite y para representar el nmero sin ambigedades trazamos una barra sobre este ciclo. Todo decimal finito puede considerarse como un decimal peridico donde la cifra que se repite es el cero. Usando estas notaciones tenemos;

Hemos visto que todo nmero racional se puede representar como una expresin decimal peridica. Tambin es cierto que toda expresin decimal peridica representa un nmero racional. Los siguientes ejemplos nos muestran como encontrar el racional representado por una expresin decimal.Ejemplo 1.12.Hallemos el nmero racional representado por.Tenemos

En el siguiente ejemplo, el perodo contiene ms de un dgitoEjemplo 1.13.Hallemos el nmero racional representado por.Tenemos

El caso ms general se presenta en el siguiente ejemploEjemplo 1.14.Hallemos el nmero racional representado por.Tenemos

y luego procedemos con, como en el ejemplo anterior. Es decir

y comoentonces.En el desarrollo de los ejemplos anteriores, se multiplic el nmeropor ciertas potencias de. Estas potencias no se eligieron al azar, sino que se escogieron cuidadosamente, de tal forma que los nmerostuvieran la misma parte decimal que. De esta forma, al efectuar las restasse obtuvieron nmeros enteros a partir de los cuales se despejo el nmero racional.La discusin anterior nos muestra que el conjunto de los nmeros racionales es idntico con el conjunto de los decimales peridicos. En consecuencia, el conjunto de los nmeros irracionales esta constituido por todos los decimales no peridicos. Como ejemplos de un decimales no peridicos, podemos citar las expresionesydonde el nmero de ceros que preceden ao ava aumentando cada vez.Seauna expresin decimal finita. Multiplicando portenemosa1a2ano sea

Despejandoobtenemos el nmero racional

Por lo tanto,satisface las siguientes relaciones

Similarmente, sies un nmero real positivo que tiene una expansin decimal infinita, entonces el nmeroesta localizado sobre la recta numrica de tal forma que satisface las siguientes desigualdades

Observamos que la representacin decimal esta asociada con la divisin de un intervalo unidad en 10 partes iguales, la divisin de cada una de estas subdivisiones en 10 partes iguales y as sucesivamente. Si por ejemplo consideramos el nmero decimaltenemos las grficas siguientes

y ampliando

Leccin 1.9.Densidad de los Nmeros Racionales y de los Nmeros Irracionales en R

Dados dos nmeros reales diferentesy, su promedioesta comprendido entrey. Por lo tanto, entre dos nmeros reales sin importar lo cercano que se encuentren, hay una infinidad de nmeros reales. Esto implica que dado un nmero real cualquierano tienen sentido expresiones tales como " el nmero real siguiente a" o " el nmero real anterior a".Usando nuestra caracterizacin de los nmeros reales como expresiones decimales, podemos refinar el resultado anterior y establecer los siguientes resultados:Resultado 1.Entre dos nmeros reales diferentes hay un nmero racional, y por lo tanto hay infinitos nmeros racionales entre ellos.Resultado 2.Entre dos nmeros reales diferentes hay un nmero irracional, y por lo tanto hay infinitos nmeros irracionales entre ellos.Los resultados 1 y 2 se describen en lenguaje matemtico diciendo, respectivamente, que el conjunto de los nmeros racionales esdensoen el conjunto de los nmeros reales y que el conjunto de los nmeros irracionales es denso en el conjunto de los nmeros reales.Ejemplo 1.15.Construyamos dos nmeros racionales y dos nmeros irracionales entrey.Usando expresiones decimales peridicas tenemos que

son dos nmeros racionales entrey.Usando expresiones decimales no peridicas tenemos que

son dos nmeros irracionales entrey.

Leccin 1.10Axioma de Completez

Si analizamos cuidadosamente el conjuntode los nmeros racionales, observamos quesatisface las propiedades bsicas P-1 a P-6 de la seccin1.2.que gobiernan las operaciones de adicin y multiplicacin entre nmeros reales y satisface las propiedades P-7 a P-9 de la seccin1.4.que gobiernan la relacin de orden entre nmeros reales. Sin embargo, dado que el conjunto de los nmeros racionales son tan solo un subconjunto muy pequeo del conjunto de todos los nmeros reales, debe existir por lo menos una propiedad bsica adicional que distinga los nmeros racionales de los nmeros reales. Esta propiedad es el axioma de completez que mencionaremos brevemente en esta seccin.Para empezar, necesitamos introducir una terminologa y notaciones adicionales.Definicin 1.10.1.Seaun conjunto no vaco de nmeros reales. Un nmero realse llama unacota superiordesi

Sitiene cotas superiores, decimos queesacotado superiormente.Ejemplo 1.16.El intervalo cerradoes acotado superiormente. Algunas cotas superiores deson;;;. En general cualquier nmero mayor o igual quees cota superior de este conjunto.Ejemplo 1.17.El intervalo abiertoes un conjunto acotado superiormente que tiene las mismas cotas superiores que el intervalo cerrado.Ejemplo 1.18.El conjuntode todos los nmeros reales no es acotado superiormente.Dejamos como ejercicio para el lector, definir las nociones anlogas decota inferiorde un conjunto no vaco de nmeros reales y de conjuntoacotado inferiormente. Tambin le solicitamos que de ejemplos de estos conceptos.Definicin 1.10.2.Seaun conjunto no vaco de nmeros reales acotado superiormente. Un nmero realse llamaextremo superiordesi cumple las siguientes propiedades:1. es una cota superior de,2. Para toda cota superiordese tiene que.Observamos que las condiciones i) y ii) expresan quees lamnima cota superiorde. En la prctica nos referimos al extremo superior de un conjunto como elsupremo, abreviado Sup. Notamos el supremo decomo.Elextremo inferioronfimodenotadose da de forma anloga.Ejemplo 1.19.SientoncesyEjemplo 1.20. Sientoncesy. Sientoncesy.Ejemplo 1.21.SientoncesEstamos listos para introducir la ltima propiedad bsica o axioma que caracteriza al conjunto de los nmeros reales.P-10Axioma de completez.Todo conjuntode nmeros reales no vaco y acotado superiormente, tiene supremo.Entre las principales consecuencias de este axioma podemos citar: Todo conjuntode nmeros reales no vaco y acotado inferiormente, tiene nfimo. El conjuntode los nmeros naturales no es acotado superiormente. Propiedad Arquimediana de los nmeros reales: Siyes cualquier nmero real, entonces existe un entero positivotal que.La propiedad Arquimediana de los nmeros reales tiene la siguiente in-ter-pre-ta-cin geomtrica: Si tenemos dos segmentos de recta, uno tan largo como queramos de longitudy otro tan corto como queramos de longitud(ver la figura), tomando un nmero suficiente de veces el segmento pequeo, podemos cubrir el segmento largo.

(Existetal queUtilizando la propiedad Arquimediana se puede demostrar con alguna dificultad y sin usar representaciones decimales, que el conjunto de los nmeros racionales es denso en el conjunto de los nmeros reales. A partir de este ltimo resultado se puede deducir fcilmente que el conjunto de los nmeros irracionales tambin es denso en el conjunto de los nmeros reales.Para finalizar estas notas sobre el conjunto de los nmeros reales presentaremos un ejemplo que nos muestra que los nmeros racionales no satisfacen el axioma de completez.Ejemplo 1.22.Sea

Por definicines un subconjunto del conjunto de los nmeros racionales,es no vaco ya que,yes acotado superiormente en, por ejemplo pory. Sin embargono tiene un supremo en. El nmero que podra ser el extremo superior de, serapero.

Leccin 1.11Nmeros Complejos

Ningn nmero real es solucin de la ecuacin. La solucin de esta ecuacin se halla en el conjuntode losnmeros complejos, el cual contiene tantocomo los nmeros cuyo cuadrado es negativo. Launidad imaginariaes.Puesto queey se espera operar elementos decon una suma y un producto sucede en, el conjuntodebe contener los productos de la formapara, y las sumas, dondeyson nmeros reales. En efecto tenemos que:

Definicin 1.11.1.Los realesyson, respectivamente, laparte realy laparte imaginariadel nmero complejo. Si, un nmeroes uncomplejo no realy si, adems,, el nmero (es decir) es unimaginario puro.Noteque un nmero realtiene la formacon.Ejemplo 1.23.1. La parte real dees 2 y su parte imaginaria es.2. La parte imaginaria dees.3. La parte real dees.4. ,,son complejos, no reales.5. ,,,son imaginarios puros.Laigualdad de nmeros complejosse define as:

(Esto es, dos complejos son iguales si y slo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales)Las operaciones de suma y producto se definen haciendo uso de las operaciones de nmeros reales y teniendo en cuenta que. As tenemos:

Ejemplo 1.24.1. 1. si y slo si.2. si y slo siy.3. No existe un realpara el cualy no existe un realpara el cual.2. 1. 2. . La parte real de este complejo es el nmero real.3. 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. ,,. En general, sies un nmero entero,puede ser divido pory en ese caso se obtienen un cocientey un residuotales quey. EntoncesLa suma y el producto de nmeros complejos cumplen las condiciones de cuerpo o de campo que cumplen la suma y el producto de nmeros reales (es decir, las propiedades 1 a 5 de la seccin anterior, se cumplen si se supone que los elementos son nmeros complejos). Hablamos entonces delcuerpoocampo de los nmeros complejos. La verificacin de casi todas las propiedades es rutinaria. Nos detendremos en la que no lo es: la existencia de inversos.Un nmero complejoposee inverso para la suma pues siyentonceses el inverso de. En efecto,

Comprobaremos la existencia de inversos para el producto despus de introducir otros conceptos.Noteque. Este complejo se denota por.Larestase define as: siyson nmeros complejos,

o, ms explcitamente,

Ejemplo 1.25.1. 2. Sies un nmero complejo tal que, entonces, es decir,3. Elconjugadode un nmero complejo, denotado porse define as:(o)Ejemplo 1.26.1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Sientonces2. Siyentonceses un nmero real. Para probarlo, supongamos que. Como, es decir,, entonces, lo cual implica quey, en consecuencia,.3. 1. 2. 3. 4. En el tercer ejemplo tenemos la comprobacin de las siguientespropiedadesreferentes al conjugadode, un nmero complejo.1. , dondedenota la parte real de. Ases un nmero real.2. , dondees la parte imaginaria de. As,es 0 o un nmero imaginario puro.3. . Este es un nmero real positivo o cero. Es cero si y slo si.4. , si y slo sies un nmero real.Definicin 1.11.2.Elmdulodel nmero complejose denotay se define as:(la raz cuadrada positiva del nmero real).Con estos elementos verificamos las existencia de inversos para el producto de nmeros complejos (propiedad 4 en la seccin\docLink{reales1.tex}{1.1}en el caso complejo). Esa propiedad dice que dado,, existetal quepues si tomamostenemos:

As el inverso depara el producto es. Se denota poro. Expl-ci-ta-men-te, si, entonces

Ladivisinde nmeros complejos se define as: siy, son nmeros complejos y

Ms explcitamente,

Ejemplo 1.27.1. 1. 2. 3. ,, ms generalmente, sies un nmero real entoncesy el mdulo dees, es decir, el mdulo de un nmero real es igual a su valor absoluto (\docLink{reales5.tex}{seccin 1.5}).2. 1. 2. 3. Si,,, es decir es el inverso depara el producto de nmeros reales.3. 4. 5. Otras propiedades del conjugado se refieren a su comportamiento en relacin con las operaciones entre nmeros complejos. A continuacin enunciamos esas propiedades:Sison nmeros complejos arbitrarios entonces1. o, ms generalmente,2. 3. o, ms generalmente,4. siEjemplo 1.28.1.

2.

3.

Leccin 1.12Races Cuadradas de Nmeros Reales Negativos

El nmero complejoes. Qu podemos decir acerca de las races cuadradas de los nmeros reales negativos en general?Sies un real negativo entonceses un real positivo y(la raz cuadrada positiva de), es un nmero real. Tenemos

As queyson las races cuadradas depara.Laraz cuadrada principaldees. Es denotada por.Ejemplo 1.29.1.

2. Siyson nmeros reales positivos. Sin embargo, en el caso de los reales negativos la igualdadno es vlida. En efecto,mientras quemientras que3.