EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS!!!!!

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1 7HPD�� – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato

7HPD�� – LOS NÚMEROS COMPLEJOS OPERAR CON COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

EJERCICIO 1 : Calcula y representa gráficamente la solución que obtengas:

a) ( )iii

+−1

24 5b) ( )

iii

2125 6

+−+− c) ( )

iii

+−−

1530

d) ( )iii

−−

2325 9

Solución:

a) ( ) ( ) ( )( )( )( ) =

+++−

=−

−+−=

−+−+

=++

=++

=+−

=+−

=+−

114422

14422

11142

142

124

124

124

124

2

225 iii

iiiiiii

ii

ii

iii

iii

iii

iii+=+=

+= 3

22

26

226

b) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

( )=

−

−−+−=

−−+−−−+−−

=+−+−−

=+−

+−−=

+−+−

2

26

i41

i2ii425i21i21i21i25

i21i25

i21i215

i21i2i5

( ) ( )i34

5i345

412ii425

−−=+−

=+

+−+−=

c) ( ) ( ) ( )( )( )( ) iiiii

iiii

iiii

ii

iiii 23

24

26

246

11155

155

1115

15

1151

15

2

230

+=+=+

=+

+−+=

−−−+

=−−+−−−+−

=+−+−

=+−−−

=+−−

d) ( ) ( ) ( )( )( )( ) =

−+++

=+−++

=−+

=−+

=−−

=−−

=−−

2

229

410201530

2221015

21015

21510

21510

2325

2325

iiii

iiii

ii

ii

iii

iii

iii

iiiii 745

35520

53520

1410201530

+=+=+

=+

−++=

2 7HPD�� – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato

PASAR DE BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA. OPUESTO Y CONJUGADO

EJERCICIO 2 : :3 complejo número el Dado iz −= a) Represéntalo gráficamente y exprésalo en forma polar. b) Obtén su opuesto y su conjugado.

Solución: a) Forma polar:

( ) ( ) 241313 22==+=−+=z

cuadrante) 4.º el en está (pues33033

31 D=α→=

−=αtg

D3302 :tanto Por =z

iz +−=−→ 3Opuestob) iz +=→ 3Conjugado

EJERCICIO 3 a) Expresa en forma binómica el número complejo z = 4135° y represéntalo gráficamente.b) Obtén el opuesto y el conjugado de z.

Solución:

( ) iisenicosz 222222

22

413513544 a)135

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+== DD

D

iz 2222Opuestob) −=−→ iz 2222Conjugado −−=→

EJERCICIO 4 : Halla el módulo y el argumento de4

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

ii

Solución: Expresamos 1 − i y 1 + i en forma polar:

( ) 211111 22 =+=−+=− i

cuadrante) 4º el en está (pues315111 D=β→−=

−=βtg

211111 22 =+=+=+ i

cuadrante) 1 el en está (pues 45111 erD=α→==αtg

Por tanto: ( ) 11112

211

010804

270

4

45

3154

====⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

DDDD

D

ii Módulo = 1 y Argumento = 0°.

2 7HPD�� – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato

PASAR DE BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA. OPUESTO Y CONJUGADO

EJERCICIO 2 : :3 complejo número el Dado iz −= a) Represéntalo gráficamente y exprésalo en forma polar. b) Obtén su opuesto y su conjugado.

Solución: a) Forma polar:

( ) ( ) 241313 22==+=−+=z

cuadrante) 4.º el en está (pues33033

31 D=α→=

−=αtg

D3302 :tanto Por =z

iz +−=−→ 3Opuestob) iz +=→ 3Conjugado

EJERCICIO 3 a) Expresa en forma binómica el número complejo z = 4135° y represéntalo gráficamente.b) Obtén el opuesto y el conjugado de z.

Solución:

( ) iisenicosz 222222

22

413513544 a)135

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+== DD

D

iz 2222Opuestob) −=−→ iz 2222Conjugado −−=→

EJERCICIO 4 : Halla el módulo y el argumento de4

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

ii

Solución: Expresamos 1 − i y 1 + i en forma polar:

( ) 211111 22 =+=−+=− i

cuadrante) 4º el en está (pues315111 D=β→−=

−=βtg

211111 22 =+=+=+ i

cuadrante) 1 el en está (pues 45111 erD=α→==αtg

Por tanto: ( ) 11112

211

010804

270

4

45

3154

====⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

DDDD

D

ii Módulo = 1 y Argumento = 0°.

2 7HPD�� – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato

PASAR DE BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA. OPUESTO Y CONJUGADO

EJERCICIO 2 : :3 complejo número el Dado iz −= a) Represéntalo gráficamente y exprésalo en forma polar. b) Obtén su opuesto y su conjugado.

Solución: a) Forma polar:

( ) ( ) 241313 22==+=−+=z

cuadrante) 4.º el en está (pues33033

31 D=α→=

−=αtg

D3302 :tanto Por =z

iz +−=−→ 3Opuestob) iz +=→ 3Conjugado

EJERCICIO 3 a) Expresa en forma binómica el número complejo z = 4135° y represéntalo gráficamente.b) Obtén el opuesto y el conjugado de z.

Solución:

( ) iisenicosz 222222

22

413513544 a)135

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+== DD

D

iz 2222Opuestob) −=−→ iz 2222Conjugado −−=→

EJERCICIO 4 : Halla el módulo y el argumento de4

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

ii

Solución: Expresamos 1 − i y 1 + i en forma polar:

( ) 211111 22 =+=−+=− i

cuadrante) 4º el en está (pues315111 D=β→−=

−=βtg

211111 22 =+=+=+ i

cuadrante) 1 el en está (pues 45111 erD=α→==αtg

Por tanto: ( ) 11112

211

010804

270

4

45

3154

====⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

DDDD

D

ii Módulo = 1 y Argumento = 0°.

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OPERACIONES EN FORMA POLAR

EJERCICIO 5 : Una de las raíces octavas de un número complejo, z, es −1 + i. Halla el valor de z.

Solución: Si −1 + i es una raíz octava de z, entonces: ( )81 iz +−=Expresamos −1 + i en forma polar:

( ) 211111 22 =+=+−=+− i

cuadrante) 2.º el en está (pues13511

1 D=α→−=−

=αtg

Por tanto: ( ) ( ) 16161621 01080

8

1358 ====+−= DDDiz

EJERCICIO 6 : El producto de dos números complejos es D7522 .Sabiendo que uno de losnúmeros es z = 1 + i, halla el otro número.

Solución:

Llamamos w al número buscado. Entonces, tenemos que: ⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

=⋅

iz

wz

1

22 75D

Expresamos z en forma polar:

21111 22 =+=+=z

cuadrante) primer el en está (pues45111 D=α→==αtg

:tanto por y,2 Luego45D

=z

( ) iisenicosw +=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=+=== 3

21

23

23030222

2230

45

75 DDD

D

D⇒ iw +== 32 :decir Es

30D

EJERCICIO 7 : Calcula e interpreta gráficamente las soluciones: 3 27i−

Solución: Expresamos −27i en forma polar: D2702727 =− i

Así: 210 con 272727336027033

2703 ,,ki k ===− + DD

D

DD 90903 3270 =→=k D21031 →=k D33032 →=k

DDD 330210903;3;3 :son raíces tres Las

Los afijos de las tres raíces cúbicas ocupan los vértices de un triángulo equilátero.

EJERCICIO 8 : .soluciones las tegráficamen interpreta e 1Halla 5 −

Solución: 4,3,2,1,0;1111

72365360180

5180

5 ====−++

kkk DDDD ⇒ DDDDD 32425218010836

1;1;1;1;1 :son raices cinco Las

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OPERACIONES EN FORMA POLAR

EJERCICIO 5 : Una de las raíces octavas de un número complejo, z, es −1 + i. Halla el valor de z.

Solución: Si −1 + i es una raíz octava de z, entonces: ( )81 iz +−=Expresamos −1 + i en forma polar:

( ) 211111 22 =+=+−=+− i

cuadrante) 2.º el en está (pues13511

1 D=α→−=−

=αtg

Por tanto: ( ) ( ) 16161621 01080

8

1358 ====+−= DDDiz

EJERCICIO 6 : El producto de dos números complejos es D7522 .Sabiendo que uno de losnúmeros es z = 1 + i, halla el otro número.

Solución:

Llamamos w al número buscado. Entonces, tenemos que: ⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

=⋅

iz

wz

1

22 75D

Expresamos z en forma polar:

21111 22 =+=+=z

cuadrante) primer el en está (pues45111 D=α→==αtg

:tanto por y,2 Luego45D

=z

( ) iisenicosw +=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=+=== 3

21

23

23030222

2230

45

75 DDD

D

D⇒ iw +== 32 :decir Es

30D

EJERCICIO 7 : Calcula e interpreta gráficamente las soluciones: 3 27i−

Solución: Expresamos −27i en forma polar: D2702727 =− i

Así: 210 con 272727336027033

2703 ,,ki k ===− + DD

D

DD 90903 3270 =→=k D21031 →=k D33032 →=k

DDD 330210903;3;3 :son raíces tres Las

Los afijos de las tres raíces cúbicas ocupan los vértices de un triángulo equilátero.

EJERCICIO 8 : .soluciones las tegráficamen interpreta e 1Halla 5 −

Solución: 4,3,2,1,0;1111

72365360180

5180

5 ====−++

kkk DDDD ⇒ DDDDD 32425218010836

1;1;1;1;1 :son raices cinco Las

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OPERACIONES EN FORMA POLAR

EJERCICIO 5 : Una de las raíces octavas de un número complejo, z, es −1 + i. Halla el valor de z.

Solución: Si −1 + i es una raíz octava de z, entonces: ( )81 iz +−=Expresamos −1 + i en forma polar:

( ) 211111 22 =+=+−=+− i

cuadrante) 2.º el en está (pues13511

1 D=α→−=−

=αtg

Por tanto: ( ) ( ) 16161621 01080

8

1358 ====+−= DDDiz

EJERCICIO 6 : El producto de dos números complejos es D7522 .Sabiendo que uno de losnúmeros es z = 1 + i, halla el otro número.

Solución:

Llamamos w al número buscado. Entonces, tenemos que: ⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

=⋅

iz

wz

1

22 75D

Expresamos z en forma polar:

21111 22 =+=+=z

cuadrante) primer el en está (pues45111 D=α→==αtg

:tanto por y,2 Luego45D

=z

( ) iisenicosw +=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=+=== 3

21

23

23030222

2230

45

75 DDD

D

D⇒ iw +== 32 :decir Es

30D

EJERCICIO 7 : Calcula e interpreta gráficamente las soluciones: 3 27i−

Solución: Expresamos −27i en forma polar: D2702727 =− i

Así: 210 con 272727336027033

2703 ,,ki k ===− + DD

D

DD 90903 3270 =→=k D21031 →=k D33032 →=k

DDD 330210903;3;3 :son raíces tres Las

Los afijos de las tres raíces cúbicas ocupan los vértices de un triángulo equilátero.

EJERCICIO 8 : .soluciones las tegráficamen interpreta e 1Halla 5 −

Solución: 4,3,2,1,0;1111

72365360180

5180

5 ====−++

kkk DDDD ⇒ DDDDD 32425218010836

1;1;1;1;1 :son raices cinco Las

7HPD�� – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 3

OPERACIONES EN FORMA POLAR

EJERCICIO 5 : Una de las raíces octavas de un número complejo, z, es −1 + i. Halla el valor de z.

Solución: Si −1 + i es una raíz octava de z, entonces: ( )81 iz +−=Expresamos −1 + i en forma polar:

( ) 211111 22 =+=+−=+− i

cuadrante) 2.º el en está (pues13511

1 D=α→−=−

=αtg

Por tanto: ( ) ( ) 16161621 01080

8

1358 ====+−= DDDiz

EJERCICIO 6 : El producto de dos números complejos es D7522 .Sabiendo que uno de losnúmeros es z = 1 + i, halla el otro número.

Solución:

Llamamos w al número buscado. Entonces, tenemos que: ⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

=⋅

iz

wz

1

22 75D

Expresamos z en forma polar:

21111 22 =+=+=z

cuadrante) primer el en está (pues45111 D=α→==αtg

:tanto por y,2 Luego45D

=z

( ) iisenicosw +=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=+=== 3

21

23

23030222

2230

45

75 DDD

D

D⇒ iw +== 32 :decir Es

30D

EJERCICIO 7 : Calcula e interpreta gráficamente las soluciones: 3 27i−

Solución: Expresamos −27i en forma polar: D2702727 =− i

Así: 210 con 272727336027033

2703 ,,ki k ===− + DD

D

DD 90903 3270 =→=k D21031 →=k D33032 →=k

DDD 330210903;3;3 :son raíces tres Las

Los afijos de las tres raíces cúbicas ocupan los vértices de un triángulo equilátero.

EJERCICIO 8 : .soluciones las tegráficamen interpreta e 1Halla 5 −

Solución: 4,3,2,1,0;1111

72365360180

5180

5 ====−++

kkk DDDD ⇒ DDDDD 32425218010836

1;1;1;1;1 :son raices cinco Las

7HPD�� – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 4

Los afijos de las raíces quintas ocupan los vértices de un pentágono regular.

EJERCICIO 9 : Halla un número complejo, z, sabiendo que una de sus raíces quintas es 2 − 2i.

Solución: z = (2 − 2i)5⇒Expresamos 2 − 2i en forma polar:

( ) 8442222 22 =+=−+=− i

cuadrante) 4.º el en está (pues315122 D=α→−=−

=αtg

Por tanto:

( ) ( ) ( ) ( )=+======−= DDDDDDD 135135212821282222822 135135

75751

155

31535

3155 isencosiz

ii 12812822

22

2128 +−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−= ⇒ Es decir: iz 1281282128 135 +−== D

EJERCICIO 10 : Calcula: 4 81−

Solución: 3,2,1,0;338181

90454360180

4180

4 ====−++

kkk DDDDD ⇒ Las cuatro raíces son: DDDD 31522513545

3;3;3;3

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN FORMA COMPLEJA

EJERCICIO 11 : Resuelve las ecuaciones: a) z2 − 4z + 5 = 0 b) z3 + 8 = 0 c) x2 − 4i x − 5 = 0 d) z3 + 64 = 0

Solución:

a) z2 − 4z + 5 = 0⇒ iiz ±=±

=−±

=−±

= 22

242

442

20164⇒ iziz −=+= 2;2 :soluciones dosHay 21

b) z3 + 8 = 0 → z3 =−8⇒ 2,1,0;228812060

3360180

3180

3 ====−=++

kzkkDDD DD

⇒ DDD 30018060 2;2;2

c) x2 − 4i x − 5 = 0⇒ ⎩⎨⎧

+−=−+=+→±=

±=

±=

+−±=

+±= ii

iiiiiiii

x 2112211212

224

244

220164

220164 2

iziz 21;21 :soluciones dosHay 21 +−=+=

d) 3180

333 646464064 D=−=→−=→=+ zzz ⇒ 2104412060

3360180

,,k;zkk

===++ DDDD

Las tres raíces son: DDD 300180604;4;4

7HPD�� – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 4

Los afijos de las raíces quintas ocupan los vértices de un pentágono regular.

EJERCICIO 9 : Halla un número complejo, z, sabiendo que una de sus raíces quintas es 2 − 2i.

Solución: z = (2 − 2i)5⇒Expresamos 2 − 2i en forma polar:

( ) 8442222 22 =+=−+=− i

cuadrante) 4.º el en está (pues315122 D=α→−=−

=αtg

Por tanto:

( ) ( ) ( ) ( )=+======−= DDDDDDD 135135212821282222822 135135

75751

155

31535

3155 isencosiz

ii 12812822

22

2128 +−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−= ⇒ Es decir: iz 1281282128 135 +−== D

EJERCICIO 10 : Calcula: 4 81−

Solución: 3,2,1,0;338181

90454360180

4180

4 ====−++

kkk DDDDD ⇒ Las cuatro raíces son: DDDD 31522513545

3;3;3;3

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN FORMA COMPLEJA

EJERCICIO 11 : Resuelve las ecuaciones: a) z2 − 4z + 5 = 0 b) z3 + 8 = 0 c) x2 − 4i x − 5 = 0 d) z3 + 64 = 0

Solución:

a) z2 − 4z + 5 = 0⇒ iiz ±=±

=−±

=−±

= 22

242

442

20164⇒ iziz −=+= 2;2 :soluciones dosHay 21

b) z3 + 8 = 0 → z3 =−8⇒ 2,1,0;228812060

3360180

3180

3 ====−=++

kzkkDDD DD

⇒ DDD 30018060 2;2;2

c) x2 − 4i x − 5 = 0⇒ ⎩⎨⎧

+−=−+=+→±=

±=

±=

+−±=

+±= ii

iiiiiiii

x 2112211212

224

244

220164

220164 2

iziz 21;21 :soluciones dosHay 21 +−=+=

d) 3180

333 646464064 D=−=→−=→=+ zzz ⇒ 2104412060

3360180

,,k;zkk

===++ DDDD

Las tres raíces son: DDD 300180604;4;4

7HPD�� – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 4

Los afijos de las raíces quintas ocupan los vértices de un pentágono regular.

EJERCICIO 9 : Halla un número complejo, z, sabiendo que una de sus raíces quintas es 2 − 2i.

Solución: z = (2 − 2i)5⇒Expresamos 2 − 2i en forma polar:

( ) 8442222 22 =+=−+=− i

cuadrante) 4.º el en está (pues315122 D=α→−=−

=αtg

Por tanto:

( ) ( ) ( ) ( )=+======−= DDDDDDD 135135212821282222822 135135

75751

155

31535

3155 isencosiz

ii 12812822

22

2128 +−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−= ⇒ Es decir: iz 1281282128 135 +−== D

EJERCICIO 10 : Calcula: 4 81−

Solución: 3,2,1,0;338181

90454360180

4180

4 ====−++

kkk DDDDD ⇒ Las cuatro raíces son: DDDD 31522513545

3;3;3;3

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN FORMA COMPLEJA

EJERCICIO 11 : Resuelve las ecuaciones: a) z2 − 4z + 5 = 0 b) z3 + 8 = 0 c) x2 − 4i x − 5 = 0 d) z3 + 64 = 0

Solución:

a) z2 − 4z + 5 = 0⇒ iiz ±=±

=−±

=−±

= 22

242

442

20164⇒ iziz −=+= 2;2 :soluciones dosHay 21

b) z3 + 8 = 0 → z3 =−8⇒ 2,1,0;228812060

3360180

3180

3 ====−=++

kzkkDDD DD

⇒ DDD 30018060 2;2;2

c) x2 − 4i x − 5 = 0⇒ ⎩⎨⎧

+−=−+=+→±=

±=

±=

+−±=

+±= ii

iiiiiiii

x 2112211212

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Las tres raíces son: DDD 300180604;4;4