NMEROS ADIMENSIONALES E INTERPRETACIN DE LA ECUACIONES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

I. INTRODUCCINLa teora de modelos establece lo siguiente:1. El modelo ha de ser geomtricamente semejante al prototipo.Si esto no se cumpla, no es que sea difcil comparar los resultados entre el modelo y el prototipo, sino que es imposible.2. El modelo ha de ser dinmicamente semejante al prototipo.Para que exista semejanza entre el modelo y el prototipo, es necesario que los flujos (lneas de corriente), han de ser semejantes. Esto quiere decir que es fundamental que las velocidades, aceleraciones, fuerzas, etc., se hallen tambin en relaciones bien determinadas. Estas relaciones como se ver, se deducen de la igualdad de los nmeros de Euler, Froude, Reynolds, etc., segn sean los casos.

II. CUERPOA. NUMEROS ADIMENSIONALES NMERO DE EULER: SEMEJANZA DINMICA Y GRADIENTE DE PRESIONES

Razn ente las fuerzas de inercia y las provocadas por la presin. Este nmero aparece si el comportamiento de la presin es independiente de la dinmica propia del flujo, de manera que no est determinado exclusivamente por las variaciones de la velocidad. Si, como es habitual, la velocidad y la presin estn relacionadas, de manera que no son independientes, al seleccionar la velocidad como una variable de inters no se debe incluir la presin. Esta ltima se puede obtener despus mediante la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli.Flujos en los que la cada de presin es significativa: la mayora de situaciones de flujo.

Supngase que se desea determinar experimentalmente las fuerzas que estar sometido el pilar de un puente cuya seccin transversal tendr la forma de la figura de abajo.

Se har el estudio investigando un modelo reducido a escala 1/40 por ejemplo. En primera aproximacin: La corriente tendr lugar en planos horizontales (corriente bidimensional). Las partculas de fluido no se acelerarn verticalmente. La fuerza de la gravedad no tendr influjo alguno sobre este tipo de corriente. Tanto las fuerzas debidas a la viscosidad como las restantes fuerzas, se estima sern de escasa importancia y podrn despreciarse. Las nicas fuerzas que actuarn sobre el pilar sern, pues, la debida al gradiente de presiones. En el infinito la corriente en uniforme, y adems en todos los puntos del infinito (o puntos suficientemente alejados del pilar) la velocidad es la misma e igual a to. La ecuacin de Bernoulli se cumplir no solo entre dos puntos situados en la misma lnea de corriente, sino entre dos puntos cualesquiera del fluido, porque supondremos que todas las partculas del fluido transportan la misma energa (movimiento irrotacional).Si en la fig. de arriba, el plano de dibujo es horizontal, escribiendo la ecuacin de Bernoulli entre dos puntos de este plano: un punto O situado suficientemente alejado del pilar y otro punto genrico cualquiera, aunque no est en la misma lnea de corriente, se tendr:

Por ser z = z0. Llamando :

Matemticamente, se puede demostrar que en el fluido ideal e irrotacional que estamos considerando esta configuracin de corriente no depende ms que de la geometra del contorno (el pilar en este caso), pero no del tamao (escala). Es decir, que las configuraciones de corriente del modelo y del prototipo sern tambin geomtricamente semejantes (semejanza dinmica). Por tanto, segn la ecuacin () en puntos homlogos, el segundo miembro es igual en el modelo que en prototipo, luego tambin el primer miembro ser igual en puntos homlogos en el modelo y en el prototipo.Ahora bien, si:

Siendo , se tendr que en puntos homlogosEl primer miembro de () es el nmero de Euler:

Donde v------ velocidad caracterstica (en este caso ).

NMERO DE REYNOLDS: SEMEJANZA DINMICA CON PREDOMINIO DE LA VISCOSIDAD.

Segn Mataix, 1982., en los ensayos aerodinmicos realizados en los tneles de viento y en otra multitud de problemas la fuerza predominante, adems de la debida al gradiente de presiones, es la fuerza debida a la viscosidad.De la ecuacin de Newton, se deduce que la fuerza de la viscosidad es proporcional a . Por lo cual la relacin de la fuerza de inercia a la fuerza de la viscosidad ser:

Esta relacin adimensional se conoce con el nombre de nmero de Reynolds.

Para que en este caso los ensayos del modelo y del prototipo sean dinmicamente semejantes es menester que el nmero de Reynolds sea idntico en ambos. El nmero de Reynolds mide la importancia relativa de cada una de las variables que intervienen en un fenmeno en que la fuerza predominante es la viscosidad es decir la . Cuanto mayor es el nmero de Reynolds menos importancia tiene la fuerza de viscosidad en el fenmeno, y viceversa. No es la viscosidad dinmica el parmetro decisivo, sino .Si en el ensayo con el modelo de la fuerza de viscosidad ha de tener la misma importancia que tendr en el prototipo, los nmeros de Reynolds en el modelo y en prototipo habrn de ser iguales:

El nmero de Reynolds es el parmetro adimensional de semejanza en los problemas con predominio de la viscosidad.Cuanto mayor es el nmero de Reynolds menor es la importancia de la viscosidad, y viceversa.,En los problemas con predominio de la viscosidad se verifica aproximadamente:

Y por tanto slo y cuando los nmeros de Reynolds sean iguales los nmeros y Euler tambin sern.Supongamos que se utiliza el mismo fluido en el modelo y en prototipo es decir, . La relacin de velocidades segn la ley de Froude ser:

Como la densidad del aire es mucho menor que la densidad del agua en los ensayos con aire las fuerzas de inercia sern ms dbiles, con lo que las de la viscosidad sern relativamente ms importantes. As el aire se comportar como un lquido relativamente ms viscoso que el agua. En los tneles de viento, los ensayos se hacen segn la ley de Reynolds, en cambio en los ensayo de mquinas hidrulicas suele despreciarse la viscosidad porque la ley expresada en la ecuacin (4) dara por el modelo una velocidad irrealizable o una altura de salto excesiva y se prescinde de la semejanza dinmica, es decir, se supone que si hay semejanza geomtrica, hay tambin semejanza dinmica. (Mataix, 1982).

SEMEJANZA DINMICA CON PREDOMINIO DE LA ELASTICIDAD: NMERO DE MACHEl nmero de Mach no es una unidad de velocidad, sino la relacin entre la velocidad de un objeto y la del sonido en el espacio. La velocidad del sonido es variable: es proporcional a la raz cuadrada de la temperatura, que vara segn el lugar y la altura. (Jouette, 2008)El nmero de mach, q se designa por , se define como la relacin entre la velocidad del fluido y la velocidad del sonido en el fluido, para las condiciones de flujo. (Smith, 2003)

El nmero de Mach recibi ese nombre en honor a Ernst Mach (1838 -1916), quien condujo los primeros experimentos significativos relacionados con el vuelo supersnico en la universidad de Praga, Alemania.

REGMENES DE FLUJO SEGN MACH:Teniendo como base el nmero de Mach se definen generalmente cinco regmenes de flujo, en la siguiente forma:Rgimen incompresible:El nmero de Mach es pequeo en comparacin con la unidad (aproximadamente 0.2 en un gas perfecto). En esta clasificacin, los efectos de compresibilidad se consideran, generalmente insignificantes.Rgimen subsnico:El nmero de Mach es inferior a la unidad, pero tiene una magnitud suficiente para quedar fuera de la clasificacin del rgimen de un flujo incompresible.Rgimen transnico:El nmero de Mach es muy cercano a uno, es decir vara de valores ligeramente menores a la unidad y escasamente superiores a ella.Rgimen supersnico:Es donde el nmero de Mach es superior a la unidad.Rgimen hipersnico:Es cuando el nmero de Mach es muy superior a la unidad.Sin embargo, un avin que viaja con una velocidad de entre Mach 0.75 y Mach 1.20 tiene reas en su superficie que experimentan ambos tipos de flujo: subsnico y supersnico; los ingenieros aerodinmicos se refieren a este rgimen de vuelo (o escala de velocidades) con el nombre de rgimen transnico. Los clculos del flujo del aire en esta rea deben hacerse muy cuidadosamente.

COMO SE MIDE MACH:Sea un objeto diminuto se desplaza en el aire a una velocidad V < c; el movimiento del objeto crea perturbaciones de presin, las cuales se propagan esfricamente hacia el exterior a partir del objeto, con una velocidad del sonido c. Si el objeto no estuviera en movimiento, los frentes de onda se extenderan esfricamente, y tendra las posiciones que se ilustran a continuacin, en intervalos sucesivos de tiempo.

Los frentes de onda emergen para formar un frente plano y el fluido que est delante de este frente no recibe ningn efecto del movimiento de la partcula. Si por algn motivo la velocidad local es mayor que la velocidad del sonido, las pulsaciones individuales se combinan para formar un patrn cnico, como se ilustra a continuacin:

A este patrn se le conoce con el nombre de cono de Mach. El fluido que est por delante del cono, no tiene ninguna perturbacin, pero repentinamente sufre cambios de presin, temperaturay densidad, conforme atraviesa el cono de Mach. Cuando un flujo atraviesa cambios repentinos a atravesar una onda, a esta ltima se le denomina onda de choque. Se ha logrado hacer visibles los gradientes de densidad en un flujo, utilizando un sistema ptico fotogrfico, conocido con el nombre de aparato de Schlieren. Para esto el modelo se debe montar en un tnel de viento o aerodinmico, para que las ondas de choque sean claramente visibles.Donde el nmero de Mach se calcula como

PARA QUE SE UTILIZA EL NMERO DE MACHLos nmeros Mach 1, Mach 2, Mach 3, etc. se utilizan para indicar la velocidad de un avin u objeto en comparacin con la velocidad del sonido. Mach 2, por ejemplo, significa que el avin vuela a dos veces la velocidad del sonido. Recuerda, la velocidad del sonido puede cambiar segn las condiciones de la atmsfera.Un avin que vuela a baja altura a una velocidad de Mach 0.8 tendr el mismo comportamiento del flujo del aire sobre las alas que el mismo avin volando a grandes alturas a Mach 0.8. La velocidad del sonido disminuye conforme la altura aumenta; por lo tanto, para que el avin que vuela a una altura ms alta viaje a Mach 0.8, su velocidad deber ser menor que la del avin que vuela a una altura ms baja.El comportamiento del flujo del aire alrededor de las alas o reas superficiales, sin embargo, ser igual en ambos aviones.El flujo del aire sobre un ala cambia drsticamente cuando la velocidad del avin se aproxima a Mach 1.0. Hay diversos procedimientos matemticos que se utilizan para calcular el comportamiento del flujo del aire.Es interesante ver qu le sucede al flujo del aire a medida que un aeroplano se acerca a Mach 1.0. A velocidades subsnicas, las ondas de presin cambiante que se originan alrededor del avin se propagan en todas direcciones a la velocidad del sonido correspondiente a la altitud a la que viaja el avin. Conforme el avin vuela ms rpidamente y se acerca al rgimen transnico (an por debajo de Mach 1.0), la velocidad de las ondas que se propagan delante del avin no es mucho mayor que la velocidad del propio avin.Cuando se alcanza la barrera del sonido, Mach = 1.0, el frente de las ondas acsticas y el avin viajan a la misma velocidad.

Un F-18 rompiendo la barrera del sonido. Cortesa de la US Navy.Conforme la velocidad del avin aumenta y rebasa la velocidad del sonido (un nmero de Mach superior a 1.0), las ondas se comprimen formando una especie de envoltura cnica alrededor del avin. Las condiciones de la corriente de aire delante del avin no cambian hasta que el avin pasa ah. Solamente la regin que se encuentra dentro del cono es afectada por el avin.

SEMEJANZA DINMICA CON PREDOMINO DE LA GRAVEDAD: NMERO DE FROUDE

El nmero de Froude cuya abreviatura es Fr, es un nmero adimensional, el cual relaciona el efecto de las fuerzas de inercia con las fuerzas de gravedad las cuales actan sobre un fluido. Este tipo de nmero recibe este nombre, en honor al ingeniero ingls William Froude.El nmero de Froude interviene cuando se forma vrtice y solamente para nmeros de Reynolds superiores a 300. En tanques con placas deflectoras con agitadores de hlice introducidos lateralmente, o para nmeros de Reynolds inferiores a 300 no se forman vrtice y el nmero de Froude deja de ser una variable. (Smith, 2003) El nmero de Froude se utiliza para comparar la resistencia por formacin de olas entre los cuerpos de varios tamaos y formas. En el flujo de superficie libre, la naturaleza del flujo depende de si el nmero de Froude es mayor o menor que la unidad. (Centro de Artigos, 2012)

La frmula para hallar el nmero de Froude es la siguiente:

Cuando el nmero de Froude se encuentra en canales abiertos informa sobre el estado del flujo hidrulico, mientras que cuando el nmero de Froude se encuentra en un canal se conoce como:

Dnde:v: velocidad media de la seccin del canal [m/s] Dh: Profundidad hidrulica (A/T) [m]. A es el rea de la seccin transversal del flujo y T el ancho de la lmina libre.g: es la aceleracin de la gravedad [m/s]

APLICACIONES USUALES DEL NMERO DE FROUDEEl nmero de Froude tiene gran aplicacin en la ingenieracivil, como loes en los canales abiertos, ya que nos informa el estado del flujo hidrulico, teniendo claro que el flujo con el que se va a trabajar va a ser nicamente agua. Algunas de las aplicaciones reales en las que utilizamos el nmero de Froude son las siguientes:

Gran aplicacin en regmenes permanentes, uniformes y variados en cales, Ya que esto es muy importante para la evaluacin de remansos y la clasificacin de resaltos hidrulicos.

Amplia aplicacin en lo que es la modelacin hidrulica fsica, es decir en los Laboratorios de Hidrulica, ya que la gran mayora de modelos se basan en la igualdad del nmero de Froude para Modelo y Prototipo. Aplicacin en la Hidrulica Fluvial. Aplicacin en la medicin de caudales de ros, ya que as podemos saber el estado del flujo.

Aplicacin en la Teora y Seleccin de Mquinas Hidrulicas como los son las Bombas y las Turbinas.

SEMEJANZA DINMICA CON PREDOMINOI DE LA TENSIN SUPERFICIAL: NUMERO DE WEBER

Segn Diego Samano y Mihir Sen (2009), el nmero de weber puede interpretarse como la razn de la energa superficial de una muestra de fluido con dimensin L a su energa cintica ( V2 L3 / s L2 ).

Numero de weber = Fuerzas de inercia = V2 LFuerzas de tensin superficial s

En donde es la densidad del fluido, V es la velocidad caracterstica, L longitud caracterstica, s tensin superficial. Este nmero requiere la presencia de una superficie libre, pero si estn involucrados objetos grandes, como botes en un fluido como por ejemplo el agua, este efecto es muy pequeo.

Debe su nombre a Moritz Weber (1871-1951), del Instituto Politcnico de Berln, que desarrollo las leyes de semejanza en su forma actual. Fue Weber quien puso nombre a los nmeros de Reynods y Fraude. El nmero de Weber juega un papel importante solo si el orden es la unidad o menor, lo que ocurre normalmente cuando la curvatura de la superficie es comparable en tamao a la profundidad del lquido. Por ejemplo, en gotas, flujos capilares, ondas de pequeas longitud y modelos hidrulicos en pequeas dimensiones.

El nmero de Weber es un parmetro importante en atomizacin de un lquido. El nmero de Weber da la razn caracterstica entre las fuerzas aerodinmicas que ejercen el gas sobre una pelcula delgada y las fuerzas de tensin que actan en la superficie del lquido. La tensin superficial del lquido en la superficie de una gota es lo que mantiene la forma de la misma. Si una gotita es sometida a la accin de un chorro de aire, y existe una velocidad relativa entre el gas y la gotita, fuerzas inerciales debido a dicha fuerza hacen que la gotita se deforme. Si el numero Weber es demasiado grande, las fuerzas inerciales superan a las fuerzas de tensin superficiales, hasta el punto en que la gotita se desintegra en gotas an ms pequeas.

A nmeros de Weber pequeos el lquido experimenta separacin suscritica, en la cual la tensin superficial jala la delgada capa liquida hacia una sola columna que despus se separa para formar gotas relativamente grandes. A valores supercrticos de Weber, la pelcula liquida se separa de forma aerodinmica en finos tamaos de gotas del orden del grosor de la pelcula L. Por lo tanto, el criterio del nmero de Weber puede ser til al pronosticar el tamao esperado de la gotita en la atomizacin de un lquido, es parmetro significativo en la combustin de una turbina de gas y en los cohetes.

El nmero de Weber uno interviene si no hay superficie libre excepto si hay cavitacin de lquido a valores muy bajos de numero de Euler. Por la tanto, en fluidos viscosos a bajas velocidades sin superficie libre el nico parmetro adimensional importante es el nmero de Reynolds.

B. TEOREMA DE BUCKINGHAM.

El teorema de BUCKINGHAM establece que en un problema fsico en que se tengan n variables que incluyan m dimensiones distintas; las variables se pueden agrupar en n-m grupos adimensionales independientes.Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una funcin que las relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las variables V1, V2, ..., Vn; el teorema de BUCKINGHAM tambin establece que existe una funcin de la forma: g(G1,G2,...,Gn-m) = 0.El mtodo para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,...,n-m); consiste en la seleccin de m de las n variables, con diferentes dimensiones, de manera que contengan entre todas las m dimensiones, y emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los n-m grupos adimensionales a partir de la siguiente expresin genrica (Julin Martinez,2004):

A los grupos adimensionales, se les suele denominar parmetros adimensionales 3 de BUCKINGHAM, al ser su expresin un productorio adimensional (smbolo de productorio = ) Los exponentes aij se determinan por la condicin de que cada grupo resulte adimensional; se sustituyen las dimensiones de las variables por ellas mismas y los exponentes de M,L,T, se igualan a cero (adimensionalidad del parmetro).Consideremos como ejemplo, la fuerza de arrastre en flujo externo, de un fluido sobre un determinado objeto. Se tiene que la fuerza de arrastre (FD) depende de: la viscosidad absoluta del fluido (P), la densidad del fluido (U), la velocidad relativa entre fluido y objeto (v) y de una longitud caracterstica del objeto (L). Las cinco variables: FD, P, U,v, y L, aportan 3 dimensiones distintas: M,L y T; con lo que por el teorema de BUCKINGAM se tendrn 5-3=2 grupos adimensionales:G1 = FD La vb UcG2 = P Ld ve UfLos exponentes de cada grupo se determinan a partir de sus ecuaciones dimensinales:[G1] = [FD] [La] [Vb] [Uc] M0 L0 T0 = (MLT-2 )(L)a(LT-1)b(ML-3)c = M1+c L1+a+b-3c T-2-b... 0=1+c; 0=1+a+b-3c; 0=-2-b ..... a=-2; b=-2; c=-1Con lo que el grupo adimensional G1 es:

Que da lugar al denominado coeficiente de arrastre C; en donde se introduce el factor (1/2) para obtener la expresin dinmica que es de la siguiente forma:

(2.)

De forma anloga se obtiene el segundo parmetro adimensional: G2=PL-1v-1U-1; que da lugar al nmero de REYNOLDS Re:(3)

B. INTERPRETACIN DE LA ECUACIN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Ecuacin de movimientoSegn Muchos fluidos manifiestan una relacin linean entre las componentes de esfuerzo y los gradientes de velocidad, estos fluidos son los Newtonianos e incluyen fluidos comunes como el agua, aceite y aire. Si adems de la linealidad, el fluido es isotrpico, las componentes de esfuerzo y gradientes de velocidad estn relacionadas mediante dos propiedades de fluido: la viscosidad y el coeficiente de viscosidad . Realizando una deduccin laboriosa que comprende el uso de derivadas parciales se obtienen las siguientes ecuaciones:

Estas son las ecuaciones de Navier-Stokes que se aplican para la cantidad de movimiento de los fluidos Newtonianos, llamadas as en honor de Louis M.H. Navier (1785-1836) y George Stokes (1819-1903); con estas tres ecuaciones diferenciales y la ecuacin diferencial de continuidad se tiene cuatro ecuaciones y cuatro incgnitas, u, v, w, y p; la viscosidad y densidad son propiedades del fluido que supuestamente se deben conocer.Las ecuaciones Navier-Stokes se expresan en forma vectorial multiplicando las ecuaciones por , respectivamente y sumndolas. Se obtiene:

Donde se utiliz el Laplaciano

Si se combina la anterior, la ecuacin resultante es:

Debido a que la ecuacin de momentum lineal es primordialmente una relacin entre fuerzas y velocidades, debe escogerse un volumen de control que incluya las fuerzas y las velocidades que contribuyan a la solucin del problema en una forma conveniente. Por lo general, se busca conocer la fuerza causada por el flujo interno sobre el conducto o canal transportador para la solucin de los problemas se considerar especficamente la reaccin a la fuerza que se busca. Esto significa que si se desea la fuerza causada por el agua sobre una tubera o un aspa, al utilizar la mecnica de fluidos en principio se obtendr la fuerza causada por la tubera o el aspa sobre el agua. Finalmente, debe recordarse que la ecuacin de momentum lineal se dedujo a partir de F = m*a, y por tanto tiene la limitacin de que el volumen de control, con respecto al cual se miden las velocidades, debe estar fijo en un espacio inercia1 (en la seccin siguiente se considerar el caso general de volmenes de control no inerciales) (Shames, 1995).

III. CONCLUSIONES Se verific la importancia de la aplicacin de los nmeros adimensionales en los procesos de fluidos de ingeniera. Se logr interpretar la ecuacin del momento lineal en la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli, para diversos tipos de fluidos clasificados segn sus propiedades reolgicas. Se determin la aplicacin en la seleccin de Mquinas Hidrulicas como los son las Bombas y las Turbinas, a travs del uso de prototipos con nmeros adimensionales, el teorema de Buckingham y la ecuacin del momento lineal.

IV. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

1. Centro de Artigos. (2012). Obtenido de http://centrodeartigos.com/articulos-enciclopedicos/article_81025.html2. Jouette, A. (2008). El Secreto de Los Numeros. Espaa: SWING.3. Smith, M. C. (2003). Operaciones Basicas de Ingenieria Quimica. Espaa: Reverte, S. A.4.http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/conceptosbasicosmfluidos/nmach/nmach.html5. http://numerode.com/para/nmero-de-froude.php6. Irving H. Shames. 1995. Mecnica de fluidos. 3ra Edic. Editorial McGRAW-HILL INTERAMERICANA S. A. Santa de Bogota. Colombia. 144 p.7.http://ftpmirror.your.org/pub/wikimedia/images/wikipedia/commons/5/5e/NUMERO_DE_WEBER.pdf8.http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/hja/file/Mec_Fluid_CBS/tema_3_analisis_dimensional_0405.pdf9. http://www3.nd.edu/~msen/MecFl.pdf10. Claudio Mataix (1982). MECNICA DE FLUIDOS Y MQUINAS HIDRULICAS. Segunda edicin. Edit. Oxford University Press. Mxico, DF.