“NUMERO DE ORO Y SUCESION DE FIBONACCI”

INSTITUCION EDUCATIVA FRANCISCO ANTONIO DE ULLOA

JENIFER JULIETH BOJORGE

SERGIO ANDRESCORONADO

JEFFERSON STEVEN MUÑOZ

LUIS ALBERTO RAMIREZ

11-01

POPAYAN

SEPTIEMBRE DE 2014

Leonardo de Pisa [Fibonacci]

Leonardo de Pisa, mejor conocido por su apodo Fibonacci (que significa hijo de Bonacci)

nació en la ciudad italiana de Pisa y vivió de 1170 a 1250.Se hacía llamar a sí mismo

"Bigollo" que quiere decir "bueno para nada".

Era hijo de Guilielmo Bonacci quien trabajaba como representante de la casa comercial

italiana más importante de la época, en el norte de África.

Considerado como el primer algebrista de Europa (cronológicamente hablando) y como el introductor del sistema numérico árabe, fue educado de niño en Argelia, donde su padre era funcionario de aduanas. Después por razones de tipo comercial, empezó a conocer todo lo que de esta ciencia se enseñaba en Egipto, Siria, Sicilia y en Provenza. Al material reunido le dio un orden, una unidad de método y una claridad de enseñanza en el Liber Abaci (Libro del ábaco), que, como modelo de texto universitario, sirvió también, por su caudal de ejemplos, para la compilación de manuales de aritmética para uso de los comerciantes.

Es en medio de esta actividad comercial que Leonardo de Pisa comienza a formarse

como mercader y matemático en la ciudad de Bugia, hoy Bejaia un puerto al noreste de

Argelia. Se conoce muy poco sobre su vida; sin embargo, en el prefacio de uno de sus

libros más importantes, el Liber Abaci, Leonardo comenta que fue su padre quien le

enseñó Aritmética y lo animó a estudiar matemáticas. En Bugia Leonardo recibió este tipo

de enseñanza de maestros árabes, lo cual era, sin duda, lo mejor que podía sucederle a

un joven medieval italiano que quisiera saber matemáticas.

Se convirtió en un especialista en Aritmética y en los distintos sistemas de numeración que se usaban entonces. Muy pronto se convenció de que el sistema hindo-arábigo era superior a cualquiera de los que se usaban en los distintos países que había visitado. Decidió llevar este sistema a Italia y a toda Europa de ser posible, en donde aún se usaban los numerales romanos y el ábaco. Produciendo así que se popularizara el uso

de las cifras árabes y expuso los principios de la trigonometría en su obra Practica Geometriae (Práctica de la geometría).

Durante toda su vida se dedicó al estudio de las matemáticas y las formas más

prácticas de aplicarlas como un instrumento indispensable para el desarrollo del comercio.

Los mercaderes italianos al principio estaban indecisos de utilizar estos nuevos métodos

pero poco a poco el sistema de numeración hindo-arábigo fue introducido en Europa

gracias al trabajo de Fibonacci.

Leonardo regresó a Pisa alrededor del año 1200 y ahí escribió una gran cantidad de libros

y textos sobre matemáticas. En la época en la que vivió aún no existía la imprenta, por lo

que sus libros eran escritos a mano y las copias que de ellos circulaban también se

hacían a mano. Es fácil imaginar la pequeña cantidad de copias que podían circular en

ese entonces y aunque parezca imposible todavía hoy se conservan copias de los

siguientes libros: "Liber Abaci", escrito en 1202; "Practica geometriae", escrito en

1220; "Flos", escrito en 1225 y "Liber quadratorum", escrito en 1227. Sin embargo son

muchos más los que se perdieron en el transcurso de la historia.

La reputación de Leonardo crecía de tal modo que para 1225 era reconocido como uno de

los mejores matemáticos y de distintas cortes y comercios le pedían asesorías.

Debemos reconocer en él a uno de los primeros hombres que llevó la matemática árabe a

Europa además de poner muy en alto el nombre de la matemática griega y darla a

conocer entre los mercaderes y comerciantes, es decir sacarla de los monasterios y el

monopolio de los eruditos.

Leonardo de Pisa fue sin duda el matemático más original y hábil de toda la época

medieval cristiana, pero buena parte de sus trabajos eran demasiado difíciles para ser

bien comprendidos por sus contemporáneos.

Sucesión de Fibonacci

- La sucesión de Fibonacci es 1, 1, 2, 3, 5, 8,13,...

- Cada término es igual a la suma de los dos anteriores an = an-1 + an-2

Propiedades - La sucesión de Fibonacci tiene muchas propiedades curiosas:

- La suma de los n primeros términos es: a1 + a2 +... + an = an+2 - 1

- La suma de los términos impares es: a1 + a3 +... + a2n-1 = a2n

- La suma de los términos pares es: a1 + a4 +... + a2n = a2n+1 - 1

- La suma de los cuadrados de los n primeros términos es: a12 + a22 +... + an2 = anan+1

- Si n es divisible por m entonces an es divisible por am

- La propiedad más curiosa de esta sucesión es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la razón áurea. Esto es: an+1/an tiende a (1 + ð 5)/2

REINO VEGETAL

En esta imagen se presenta la secuencia de Fibonacci, pues la cantidad de pétalos corresponde a un número de dicha secuencia.

En las escamas de una piña, tras observarla aparece un espiral alrededor del vértice en igual número a los términos citados en la sucesión de Fibonacci.

REINO ANIMAL

En Caso del pavo real vemos más de un espiral el cual tiene relación con los rectángulos

áureos, pues sus plumas forman una red de espirales, unas que van en el sentido de las

agujas del reloj y otras al contrario, pero en cualquiera de los casos siempre, las

cantidades de unas y de otras son los términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

Vemos la relación del caracol con un espiral formado por los rectángulos áureos.

CUERPO HUMANO

En partes corporales de seres humanos y animales, como es el caso de: la relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo, la relación entre la distancia del

hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos o la relación entre las articulaciones de las manos y los pies etc. .

Aquí observamos que con el agua se forman rectángulos áureos y posteriormente un espiral de Fibonacci.

CIENCIA

MATEMATICAS

En el caso del triángulo de pascal notamos que la suma de las diagonales dará un número de la sucesión de Fibonacci.

ARTE

En el arte: en los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo. También aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.

NUMERO DE ORO

En el siglo V a.C en la Grecia clásica fue descubierto, seguramente por el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento.

Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otras vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones. Está ligado al denominado

rectángulo de oro y a la sucesión de Fibonacci

Ya en el siglo XX se el otorgo el nombre de numero de oro con su respectivo símbolo (FI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe).

Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes. El número áureo, también conocido como "número de oro" o "divina proporción", es una constante que percibimos a diario, aunque apenas nos demos cuenta. Aparece en las proporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en el cuerpo humano. Un objeto que respeta la proporción marcada por el número áureo transmite a quien lo observa una sensación de belleza y armonía. Veamos un poco más en qué consiste. El número áureo es el punto en que las matemáticas y el arte se encuentran. COMPROBACION DE LAS TARJETAS DE CREDITO ANCHO: 8.6 LARGO: 5.4 TOTAL:1.592

INTEGRANTES ALTURA ( CM) ALT. OMBLIGO (CM)

TOTAL

LUIS RAMIRES 163.5 97.7 1.673

SERGIO CORONADO

175.5 109.5 1.602

JENIFER BOJORGE

157.7 95.7 1.64

JEFFERSON MUÑOZ

168.6 99.3 1.69