Nombre: Miguel Ángel Sánchez Alcántara

Materia: Matemáticas III

Profesor: Luis Miguel Villarreal Matías

Proporción Aurea y Secuencia de Fibonacci

Grupo: 3°B

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INDICE

Introducción 3

Secuencia de Fibonacci 4

Proporción Aurea 6

Conclusión 8

Actividad 9

Referencias Bibliográficas 10

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INTRODUCCIÓN

Desde que amanece y abrimos los ojos, estamos en contacto con las Matemáticas.

Cualquier cosa que hacemos depende de las Matemáticas, es por eso que son magníficas y muy interesantes. Durante nuestra trayectoria de vida hay veces que las Matemáticas nos fastidian por la tarea o simplemente no nos gustan ya que es una ciencia de exactitud. Pero nos daremos cuenta que no tienen nada de aburrido, si no al contrario que son muy interesantes y están en nuestra vida cotidiana.

“La Matemática es la llave de oro que abre todas las ciencias”.

DURUY

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SECUENCIA DE FIBONACCI

Leonardo de Pisa mejor conocido como Fibonacci. Fue un matemático italiano que vivió entre 1170-1250 y fue el autor de la posteriormente denominada Sucesión de Fibonacci.

Fibonacci explico el desarrollo de fenómenos naturales de crecimiento mediante una sucesión:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…

Esta secuencia se realiza sumando dos números consecutivos para obtener el siguiente. Por ejemplo 0+1=1, 1+1=2, 2+1= 3, 3+2=5 y así sucesivamente hasta llegar al infinito.

Fibonacci planteó un problema con conejos. Supón lo siguiente: empiezas con dos crías que tardan un mes en crecer y empezar a aparearse. Las crías nacen un mes después. ¿Cuantos pares habrá después de un año? La respuesta es 233 que es el decimotercer número de la serie.

Una octava en el teclado del piano tiene 13 teclas: 8 blancas y 5 negras, las cuales se dividen en grupos de 3 y 2. Todos estos números pertenecen a la serie de Fibonacci, ¡otra coincidencia magnifica!

Los números de esta sucesión son comunes en las cabezuelas de las flores. Si los miras de cerca por abajo, verás que los flósculos están acomodados en espiral en dos direcciones. El número de espirales de cada dirección es un número de esta secuencia.

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La Cantidad de pétalos de una flor suele ser un número de la secuencia de Fibonacci, las margaritas de Michaelmas suelen tener 34,55 o 89 pétalos.

Una coincidencia muy curiosa es que el cociente de dos números consecutivos de la secuencia, se aproxima al llamado número de oro. Pero nunca alcanza a ser exacto. De hecho es imposible obtener este número como resultado de una operación de dos números por eso los matemáticos lo llaman “irracional”

Ejemplo:

55/ 34= 1.617 Numero de oro: 1,618034

A continuación veremos la relación entre el número de oro y esta magnífica serie.

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LA PROPORCIÓN ÁUREA

La serie de Fibonacci está estrechamente relacionado con el numero 1.618034 conocido como phi (se pronuncia fi). Los matemáticos y los artistas tuvieron conocimiento de este peculiar número desde hace varios milenios y por mucho tiempo creyeron que tenía poderes mágicos. Leonardo da Vinci llamaba al phi “la proporción aurea” y lo aplicaba para realizar sus pinturas. Phi tiene propiedades extrañas. Por ejemplo, multiplicarlo por si mismo equivale a sumarle uno.

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x

Los griegos de la antigüedad pensaban que phi era mágico porque solía aparecer en las formas que consideraban sagradas. Por ejemplo una estrella de cinco picos, la proporción entre las líneas cortas y largas es exactamente phi. A Leonardo da Vinci y otros artistas de la Europa medieval le fascinaban las matemáticas y pensaban que las formas que tenían la proporción phi eran más armoniosas, por ello solían aplicarlo en sus pinturas. Unos grandes ejemplos de estas obras son El “Hombre de Vitrubio” y La “Gioconda”, de Leonardo da Vinci.

Se dice que los arquitectos de la antigua Grecia utilizaban phi en sus construcciones y algunos aseguran que el Partenón (abajo), en Atenas, está basado en rectángulos áureos.

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Dibuja una línea recta de 10 cm de largo y haz una pequeña marca a los 6.18 cm con lo cual quedan dos secciones. Si divides la longitud total de la línea entre el tamaño de la sección más larga, obtienes 1.618, y si divides la longitud de la sección larga entre la sección más corta, obtienes el mismo resultado. Esto es la proporción áurea o Demostración:

Si dibujas un rectángulo cuyos lados midan 1 y phi, obtendrás lo que los artistas llaman “rectángulo áureo”. Divídelo en un cuadro y un rectángulo, y el rectángulo pequeño resulta ser otro rectángulo áureo. Si continúas haciéndolo empezara a surgir una espiral. Esta “espiral áurea” es similar a la concha de un animal marino llamado nautilus.

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CONCLUSIÓN

Mi conclusión en esta investigación es que la Matemática es una ciencia muy extraña y bella, ya que la proporción áurea es algo increíble y nos puede parecer inexplicable, pero a la vez es bella, ya que es un número perfecto y es increíble como de distintas formas podemos obtener este número, y como distintos artistas aplicaban este magnífico número en sus pinturas ya que creían que eran más armoniosas.

También la serie de Fibonacci es algo fantástico, ya que me gustó mucho la manera en la que se relaciona esta secuencia con la naturaleza y creo que esta sucesión y el número áureo demuestran la presencia de las Matemáticas en nuestra vida cotidiana.

Además aprendí la importancia de tener libros, ya que en Primer Grado de Secundaria el profesor de Matemáticas nos dejo leer un libro llamado “Piensa un Numero” de Johnny Ball y gracias a esto mi trabajo está mejor elaborado. Lo que más se me dificultó de este trabajo fue realizar la espiral aurea en Geogebra, ya que fue muy laborioso realizarla, pero siento que quedó presentable y el resultado fue satisfactorio para mí.

Además, aparte de este trabajo cuando leía el libro “El Diablo de los Números” me di cuenta que hacían mención de la Serie de Fibonacci y eso me gusto mucho ya que lo explican de una manera muy simple y divertida. Finalmente puedo decir que las Matemáticas no son tan complejas, si no al contrario, son sencillas, interesantes y curiosas.

Escalera de caracol o proporción áurea

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ACTIVIDAD

Realiza la espiral aurea partiendo de rectángulos áureos en Geogebra siguiendo las siguientes instrucciones:

1. Primero construimos un rectángulo cualquiera2. Después realizamos dentro del rectángulo un cuadrado, que dará un cuadrado y

un rectángulo que sería áureo y continuamos con la misma dinámica3. Para comprobar que es un rectángulo áureo trazamos un segmento el cual se

tiene que superponer en las dos diagonales ( en la del cuadrado y en el vértice del rectángulo inicial)

4. Seguimos construyendo cuadrados hacia el interior del rectángulo inicial5. Ahora seguiremos construyendo cuadrados, pero ahora hacia el exterior del

rectángulo inicial6. Posteriormente realizaremos la espiral aurea utilizando la herramienta “Arco”7. Para realizar el arco necesitamos de mucha destreza para realizar esta espiral con

la herramienta arco damos click en diversos puntos observando que la espiral tome su forma si es que nos equivocamos en trazar la espiral y empieza a tomar otra forma podemos empezarlo otra vez con la opción deshacer (flecha amarrilla en el lado superior derecho)

8. Seleccionamos todos los arcos le agregamos un color llamativo y un grosor mayor que el inicial

9. Ocultamos el segmento que comprobaba si el rectángulo era áureo y también todos los puntos

10. Finalmente también ocultamos el primer rectángulo áureo y al ocultarlo nos queda la figura más uniforme, al final queda la figura y queda un pequeño rectángulo en blanco que sería un rectángulo áureo. Por último podemos agregarle color a nuestra figura y diferentes tipos de trazo para una mejor presentación

La figura nos tiene que quedar de la siguiente manera:

FIGURA HECHA POR: Miguel Ángel Sánchez Alcántara

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFIAS

Libro: Piensa un numero

Autor: Johnny Ball

Editorial: Ediciones SM

Edición: 1era edición

Año edición: 2005

Número de páginas: 96 pp.

http://www.youtube.com/watch?v=DKGsBUxRcV0

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/videos/8espiral/espiral.html

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