La sucesión de FibonacciLa sucesión de Fibonacci

La sucesión.La sucesión.

Propiedades.Propiedades.

Número áureo.Número áureo.

Rectángulos áureos.Rectángulos áureos.

Arte, arquitectura y la sucesión.Arte, arquitectura y la sucesión.

La naturaleza y la sucesión.La naturaleza y la sucesión.

Presentación

Juan Ignacio Rodríguez

3ºC

La sucesiónLa sucesión1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

La sucesión de Fibonacci es una sucesión La sucesión de Fibonacci es una sucesión recurrente en la que cada término a partir recurrente en la que cada término a partir del 3º se obtiene sumando los dos del 3º se obtiene sumando los dos anteriores:anteriores:

La sucesiónLa sucesión1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

A1=1A1=1

A2=1A2=1

A3=1+1=2A3=1+1=2

A4=2+1=3 A4=2+1=3

A5=3+2=5A5=3+2=5

A6=3+5=8A6=3+5=8

A7=5+8=13A7=5+8=13

A8=8+13=21A8=8+13=21

La fórmula general de la sucesión La fórmula general de la sucesión es:es:

aann=(a=(an-1n-1)+(a)+(an-2n-2))

Siendo aSiendo a11=1=1

Pero la sucesión se Pero la sucesión se puede construir puede construir desde cualquier desde cualquier número entero:número entero:

La sucesiónLa sucesión1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

A1=7A1=7A2=7A2=7A3=7+7=14A3=7+7=14A4=14+7=21 A4=14+7=21 A5=21+14=35A5=21+14=35A6=35+21=56A6=35+21=56A7=56+35=91A7=56+35=91A8=91+56=147A8=91+56=147

La fórmula general de la sucesión La fórmula general de la sucesión es:es:

aann=(a=(an-1n-1)+(a)+(an-2n-2))

Siendo aSiendo a11=7=7

Pero la sucesión se Pero la sucesión se puede construir puede construir desde cualquier desde cualquier número entero: número entero:

por ejemplo.por ejemplo.

La razón áurea, que veremos más adelante, se cumple.

Ésta sucesión fue Ésta sucesión fue descubierta por el descubierta por el matemático Leonardo matemático Leonardo de Pisa, más de Pisa, más conocido como conocido como Fibonacci.Fibonacci.

La descubrió a partir del estudio de la La descubrió a partir del estudio de la reproducción de los conejos durante 1 reproducción de los conejos durante 1 año.año.

Donde observó, como veremos, que la Donde observó, como veremos, que la descendencia seguía un orden sucesivo.descendencia seguía un orden sucesivo.

La sucesiónLa sucesión1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

Algunas propiedades de la sucesión:Algunas propiedades de la sucesión:_Si sumas los tres primeros términos que ocupan _Si sumas los tres primeros términos que ocupan

posición impar, menos 1, (1,3,5),  da como posición impar, menos 1, (1,3,5),  da como resultado el sexto término: (1+3+5)-1=8resultado el sexto término: (1+3+5)-1=8(a(a66))

_Tan solo 1 termino de cada 3 es par, 1 de cada 4 _Tan solo 1 termino de cada 3 es par, 1 de cada 4 es múltiplo de 3, uno de cada 5 es múltiplo de es múltiplo de 3, uno de cada 5 es múltiplo de 5,etc:5,etc:

Las razones entre los números de la sucesión Las razones entre los números de la sucesión siempre varía, pero…siempre varía, pero…

éstas razones entre los números de la éstas razones entre los números de la sucesión ,según éstos aumentan, se acercan sucesión ,según éstos aumentan, se acercan cada vez más al número áureo o cada vez más al número áureo o

número de oro( )=1’618039…número de oro( )=1’618039…

Las razones de la sucesión son:Las razones de la sucesión son:1/1;2/1;3/2;5/3;8/5;13/8;21/13;34/21….1/1;2/1;3/2;5/3;8/5;13/8;21/13;34/21….1:11:1==112:1=2 2:1=2 3:2=1.5 3:2=1.5 5:3=1.66 5:3=1.66 8:5=1.6 8:5=1.6 13: 813: 8==1.625 1.625 21:1321:13==1.61538461.615384634:2134:21==1.61904761.619047655:3455:34==1.61764711.617647189:5589:55==1.61818181.6181818

Como hemos visto antes, en la sucesión a partir de 7, ésta razón se cumple:

A6/a5=56:35=1.6

A7/a6=91:56=1.625

Y así sucesivamente

Ésta razón fue descubierta antes que por Ésta razón fue descubierta antes que por Fibonacci, por matemáticos hindúes como Fibonacci, por matemáticos hindúes como Gopala, que investigaron los patrones Gopala, que investigaron los patrones rítmicos que se formaban con silabas de rítmicos que se formaban con silabas de una o dos notas.una o dos notas.

La fórmula del número áureo es:La fórmula del número áureo es:

==1+1+√5√5=1’618033988…=1’618033988…

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Que se extrae de la ecuación:Que se extrae de la ecuación:XX22-X-1=0-X-1=0X=X=-(-1)+/--(-1)+/-√(-1)2-4x1x(-1)√(-1)2-4x1x(-1) 2x1 2x1 X=X=1+/-√51+/-√5X1=X1=1+√51+√5 2 2 22 X2=X2=1-√51-√5 22

La razón áurea se halla también en los La razón áurea se halla también en los rectángulos áureos, en los que la rectángulos áureos, en los que la proporción entre sus lados es igual al proporción entre sus lados es igual al número áureo.número áureo.

El rectángulo áureo es un rectángulo de El rectángulo áureo es un rectángulo de medidas armoniosas que, como veremos, medidas armoniosas que, como veremos, ha sido utilizado en gran parte de nuestra ha sido utilizado en gran parte de nuestra cultura.cultura.

  El rectangulo áureo se El rectangulo áureo se construye:construye:

Dibujando un cuadrado y Dibujando un cuadrado y marcando el punto medio marcando el punto medio de uno de sus lados. Se de uno de sus lados. Se une con uno de los une con uno de los vértices del lado opuesto vértices del lado opuesto y llevando esa distancia y llevando esa distancia sobre el lado inicial, de sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos esta manera obtenemos el lado mayor del el lado mayor del rectángulo.rectángulo.

  Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo claro que el lado mayor del rectángulo vale 1+vale 1+√5,√5, por lo que la proporción entre por lo que la proporción entre los dos lados es:los dos lados es:1+√51+√5

22

El rectángulo áureo ha El rectángulo áureo ha sido utilizado en el sido utilizado en el arte y la arquitectura.arte y la arquitectura.

Como el Partenón Como el Partenón griego:griego:

Donde sus medidas Donde sus medidas están construidas a están construidas a partir de rectángulos partir de rectángulos áureos.áureos.

El rectángulo áureo ha El rectángulo áureo ha sido utilizado en el sido utilizado en el arte y la arquitectura.arte y la arquitectura.

Como el partenón Como el partenón griego:griego:

Donde sus medidas Donde sus medidas están construidas a están construidas a partir de rectángulos partir de rectángulos áureos.áureos.

Nuestros DNI. están hechos a base de la Nuestros DNI. están hechos a base de la proporción áurea:proporción áurea:

Da Vinci utilizó para Da Vinci utilizó para muchos de sus muchos de sus cuadros la proporción cuadros la proporción áurea.áurea.

El rostro de la Gioconda El rostro de la Gioconda está encajado en un está encajado en un rectángulo áureo, y rectángulo áureo, y dentro de estos dentro de estos rectángulos se rectángulos se identifican las partes identifican las partes de su cara.de su cara.

Da Vinci utilizó para Da Vinci utilizó para muchos de sus muchos de sus cuadros la proporción cuadros la proporción áurea.áurea.

En el hombre de vitrubio, como En el hombre de vitrubio, como se explica en El código Da Vinci, se explica en El código Da Vinci, la proporción áurea se la proporción áurea se encuentra en sus medidas.encuentra en sus medidas.Si se divide la altura total (línea Si se divide la altura total (línea roja )entre la altura hasta el roja )entre la altura hasta el ombligo (línea verde ), se ombligo (línea verde ), se obtiene el número áureo obtiene el número áureo aproximadamente.aproximadamente.(siempre hay errores de medición)(siempre hay errores de medición)

Esta proporción se Esta proporción se encuentra en encuentra en cualquier persona cualquier persona más o menos más o menos desarrollada.desarrollada.

En el hombre de vitrubio, como En el hombre de vitrubio, como se explica en El código Da Vinci, se explica en El código Da Vinci, la proporción áurea se la proporción áurea se encuentra en sus medidas.encuentra en sus medidas.Si se divide la altura total (línea Si se divide la altura total (línea roja )entre la altura hasta el roja )entre la altura hasta el ombligo (línea verde ), se ombligo (línea verde ), se obtiene el número áureo obtiene el número áureo aproximadamente.aproximadamente.(siempre hay errores de medición)(siempre hay errores de medición)

Las medidas de Toni son:Las medidas de Toni son:

185cm de altura y 113cm hasta el ombligo.185cm de altura y 113cm hasta el ombligo.

185:113=1.63716….. Aprox. El número 185:113=1.63716….. Aprox. El número áureo.áureo.

Las medidas de Iñaki son:Las medidas de Iñaki son:

180cm de altura y 112cm hasta el ombligo.180cm de altura y 112cm hasta el ombligo.

180:112=1.6071…..Aprox. El número áureo.180:112=1.6071…..Aprox. El número áureo.

En la naturaleza también se observa la En la naturaleza también se observa la sucesión de Fibonacci y la razón áurea.sucesión de Fibonacci y la razón áurea.

De hecho, la razón áurea es la base del De hecho, la razón áurea es la base del crecimiento en la naturaleza:crecimiento en la naturaleza:

La espiral logarítmica, o la La espiral logarítmica, o la concha del caracol concha del caracol nautilos (entre otros):nautilos (entre otros):

Su crecimiento sigue el Su crecimiento sigue el orden de los rectángulos orden de los rectángulos áureos, formando entre áureos, formando entre los vértices de los los vértices de los rectángulos una espiral rectángulos una espiral que ha cautivado por su que ha cautivado por su belleza.belleza.

En las semillas de los En las semillas de los girasoles, las girasoles, las espirales que forman espirales que forman siguen los número de siguen los número de la sucesión de la sucesión de Fibonacci:Fibonacci:

21 espirales34 espirales

(marcada 1 de cada 2)

También se observa en la reproducción de También se observa en la reproducción de los conejos (gracias a lo que descubrió la los conejos (gracias a lo que descubrió la sucesión), los números de la sucesión se sucesión), los números de la sucesión se observan en el número de parejas cada observan en el número de parejas cada mes.mes.

Cada pareja tarda Cada pareja tarda 1 mes en ser 1 mes en ser fértil y otro mes fértil y otro mes en el embarazo, en el embarazo, o lo que es lo o lo que es lo mismo, tarda 2 mismo, tarda 2 meses en dar a meses en dar a luz.luz.

Nueva pareja

Continuación de padres

Cada mas es un termino de Cada mas es un termino de la sucesión.la sucesión.

El primer mes hay una pareja El primer mes hay una pareja que no tiene crías.que no tiene crías.11..

El segundo mes ya es fértil y El segundo mes ya es fértil y comienza el embarazo.comienza el embarazo.11..

El tercer mes la primera El tercer mes la primera pareja tiene otra pareja. pareja tiene otra pareja. Ya son Ya son 22 parejas. parejas.

El cuarto mes la primera El cuarto mes la primera pareja tiene otra pareja y pareja tiene otra pareja y la segunda comienza el la segunda comienza el embarazo. Sonembarazo. Son 3 3 parejas. parejas.

El quinto mes la primera El quinto mes la primera pareja tiene otra y la pareja tiene otra y la segunda otra, la tercera segunda otra, la tercera pareja comienza el pareja comienza el embarazo. Son embarazo. Son 55 parejas parejas

Nueva pareja

Continuación de padres

Mes 1

Mes 2

Mes 3

Mes 4

Mes 5

Este proceso continúa siguiendo la sucesión de Fibonacci.

Fibonacci (Leonardo de Pisa) descubrió, Fibonacci (Leonardo de Pisa) descubrió, sin saberlo, la clave del crecimiento en sin saberlo, la clave del crecimiento en toda la naturaleza.toda la naturaleza.

Fibonacci (Leonardo de Pisa) descubrió, Fibonacci (Leonardo de Pisa) descubrió, sin saberlo, la clave del crecimiento en sin saberlo, la clave del crecimiento en toda la naturaleza.toda la naturaleza.

FIN