La sucesión de Fibonacci

Serie de Fibonacci

Leonardo de Pisa (1170-1250) fue un matemático italiano famoso por la invención de la sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos, y por popularizar el sistema decimal en Europa.

Conocido por Fibonacci, con motivo de sus continuos viajes a Oriente fue él quien dio a conocer en Occidente los métodos de los matemáticos hindúes.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

● Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo la secuencia áurea había sido descubierta por matemáticos hindúes investigando los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos.

● Kepler también describió los números de Fibonacci.

● El matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números sucesivos de Fibonacci se acerca a la relación áurea fi (Φ) cuanto más se acerque n a infinito.

)(

)1(lim nF

nF

n

Obtención del número áureo (Φ):

Se divide un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razón entre la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte y la otra:

Esta razón,que cumple la propiedad, es denominada razón áurea.Se puede obtener este número a partir de la expresión anterior:

Se puede despejar a utilizando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, teniendo

en cuenta que a>0 y b>0:

Dividiendo todo por b se obtiene:

El número de oro se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en la geometría. Desde la antigua Grecia ha sido utilizado por los artistas tanto en pintura como arquitectura, escultura o música para lograr el equilibrio y la belleza.

El Partenón, mostrando los rectángulos áureos utilizados posiblemente en su construcción.

Los términos de la sucesión de fibonacci vienen dados por la siguiente función recursiva:

Se puede obtener una expresión que nos proporcione el término n-esimo de la sucesión, a ésta se la conoce como fórmula de Binet (1843), aunque se dice que Euler ya la publicó en 1765 :

5

)(

5

)()(

nnnn phiPhiPhiPhinFib

Donde Phi es el número áureo y phi su recíproco (phi=1-Phi)

nn

nFib2

51

2

51

5

1)(

O de forma equivalente:

Propiedades:

● Es una fórmula sorprendente! A pesar de tratar con potencias de phi, que es número irracional, nos devuelve un número entero para cualquier valor entero de n.

● Si F(p)=a, tal que a es un número primo, entonces p también es un número primo, con una única excepción: F(4)=3.

● La suma infinita de los términos de la secuencia F(n)/10n es exactamente 10/89

● La suma de diez números de Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.

●La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n+2 menos uno

Éstas fórmulas son válidas para n>0

● El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. los dos últimos cada 300; a partir de ahí, se repiten cada 1,5x10^n números

● Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5…Esto se puede generalizar de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias de módulo m, para cualquier m.

● Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la secuencia de Fibonacci, cada uno de ellos distinto de los demás. Por ejemplo, 17=13+3+1, 65=55+8+2

n<0

Habíamos encontrado una expresión para Fib(n) para n enteros y positivos. Sin embargo aplicando la misma ley de recurrencia para los números negativos obtenemos:

n: ….-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …

Fib(n): ….-8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 ….

Y esto es coherente con la fórmula de Binet obtenida para n>0.

Por lo tanto la fórmula de Binet es válida para todo n entero.

De esta forma la sucesión de fibonacci se extiende hasta el infinito en ambas direcciones, positiva y negativa.

Donde x es el término de la sucesión de Fibonacci y F(x) el número de Fibonacci correspondiente a dicho término.

¿Y si n es racional?

Fib(n)= (Phin – (-phi)n)/√5

El segundo término (-phi)n muestra que tenemos que calcular la raíz n-ésima de un numero negativo.

El término n-ésimo para n racionales viene dado por la siguiente fórmula:

Donde x es a lo que hemos llamado anteriormente n.

Esta función extiende la sucesión de Fibonacci al plano complejo!

Demostración:

Partimos de la ecuación de Binet:

5

)1(

)(n

nn

PhiPhi

nFib

para extenderla al plano complejo.

Para ello utilizamos la ecuación de Euler:

01ie ó ie1

Sustituyendo esto en la fórmula de Binet obtenemos :

5)(

n

nin

Phi

ePhi

nfib

Expresamos e^iπn utilizando la expresión:

)()cos( tsenite ti

Sustituyendo de nuevo en la fórmula de Binet obtenemos la fórmula esperada:

iPhi

nPhi

Phi

nPhi

nfibn

nn

n

5

)sin(

5

cos)(

¿Qué pasa si representamos gráficamente F(n), dada por la fórmula de Binet,

en un diagrama de Argand?

La representación azul es para valores positivos de n comprendidos entre 0 y 6. Esta curva corta al eje de abscisas (que representa la parte real del número complejo) en los números de Fibonacci 0,1,2,3,5,8. Hay un looping en x=1 de forma que ésta es una raíz doble. De esta forma obtenemos la serie completa de Fibonacci:0,1,1,2,3,5,8…como los puntos de corte con el eje.

La representación roja es para valores negativos de n comprendidos entre -6 y 0. También corta al eje x en los puntos -8,5,-3,2,-1,1 y 0 que corresponden a los números de Fibonacci F(-6), F(-5), F(-4), F(-39, F(-2), F(-1) Y F(0) respectivamente.

Se puede ver una representación 3D del diagrama de Argand anterior (añadiendo un eje con n) en el siguiente link: http://members.aol.com/kwpapke/Binet3D.html

Para n>0 el cociente entre dos términos consecutivos tiende a Phi cuando n tiende a infinito. ¿Sucede lo mismo para n<0 en el plano complejo? Veámoslo con un ejemplo:

fib (-50.25) = -10037577756+10037577756i

fib (-49.25) = 6203564218-6203564218i

Ratio=-0,618033989

El ratio de fib(n+1)/fib(n) para n<0 es phi y NO Phi.

n complejo

¿Qué pasa si insertamos un n complejo en nuestra función?

Utilizando de nuevo la fórmula de Euler:

)ln(PhiePhi )()ln( biaPhibia ePhi

y sustituyendo en la fórmula de Binet operando un poco obtenemos:

5)(

))ln(()ln(

ba

iPhibaiPhiba

ePhi

eePhi

biafib

Sucesión de Fibonacci en la naturaleza:

Fibonacci obtuvo la sucesión que lleva su nombre observando un proceso natural, los ciclos reproductivos de los conejos. Tuvo en cuenta dos reglas básicas: los conejos sólo tienen una pareja de crías cada temporada y un conejo tarda una temporada en alcanzar la edad madura para poder reproducirse.

Las abejas comunes viven en colonias. En cada colonia hay una sola reina (hembra), muchas trabajadoras (hembras estériles), y algunos zánganos (machos). Los machos nacen de huevos no fertilizados, por lo que tienen madre, pero no padre. Las hembras nacen de huevos fertilizados y, por tanto tienen madre y padre. Estudiemos el árbol genealógico de 1 zángano: tiene 1 madre,2 abuelos (su madre tiene madre y padre), 3 bisabuelos, 5 tatarabuelos, 8 tatara-tatarabuelos, 13 tatara-tatara-tatarabuelos…

La secuencia 1,1,2,3,5,8,13… es la serie de Fibonacci.

Muchas plantas tienen un número de pétalos que coincide con esa secuencia de números: la flor del iris tiene 3 pétalos, la rosa silvestre 5, la del dephinium 8, la de la cineraria 13, la de la chicoria 21… (las hay con 34,55 y 89 pétalos)

El papel del número áureo en botánica recibe el nombre de ley de Ludwig

El número de espirales cercanas al centro de un girasol que van hacia la izquierda y las que van hacia la derecha son ,ambos, números de fibonacci.

El número de espirales que en ambos sentidos presenta la piel de las piñas coincide con sendos números de Fibonacci.

El número de hojas del cactus es un número de Fibonacci

Las relaciones corporales entre muchas partes corporales de los humanos y los animales:

-La relación entre la altura del ser humano y la altura de su ombligo

-La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos

-La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla

-La relación entre las divisiones vertebrales

-La relación entre las articulaciones de las manos y los pies

La secuencia de Fibonacci en el arte:

-Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto

-La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón

-En los violines, la ubicación de las efes se relaciona con el número áureo.

-En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert…

La secuencia de Fibonacci en ciencia:

El interés por esta secuencia ha sido avivado por desarrollos recientes en programación de ordenadores, ya que al parecer tiene aplicación en clasificación de datos, recuperación de informaciones, generación de números aleatorios, e incluso métodos rápidos de calculo aproximado de valores máximos o mínimos de funciones complicadas, en casos donde no se conoce la derivada.

Los números de Fibonacci también se ajustan, en economía, al comportamiento del mercado.

Leo Moser ha estudiado las trayectorias de rayos luminosos que inciden oblicuamente sobre dos láminas de vidrio planas y en contacto. Los rayos que no experimentan reflexión alguna atraviesan ambas láminas de sólo una forma; para los rayos que sufren una reflexión hay dos rutas posibles; cuando sufren dos reflexiones , las trayectorias son de tres tipos, y cuando sufren tres, de cinco. Al ir creciendo el número n de reflexiones, el número de trayectorias posibles se va ajustando a la sucesión de Fibonacci: para n reflexiones el número de trayectorias es Fn+2. La sucesión puede utilizarse de forma parecida para contar el número de distintas rutas que puede seguir una abeja que va recorriendo las celdillas hexagonales del panal; suponemos que la abeja se dirige a la celdilla contigua y a la derecha de la que ocupa. Poco cuesta probar que hay sólo una ruta hasta la primera casilla, dos hasta la segunda, tres hasta la tercera, cinco hasta la cuarta, y así sucesivamente.

Pero el más notable de los problemas abiertos concernientes a sucesiones de Fibonacci es el de si contienen o no colecciones infinitas de números primos.

Parece ser que la naturaleza siga a raja tabla la sucesión de Fibonacci. Esto no es así, pero si representásemos gráficamente nuestros objetos de estudio frente a conjuntos de números, veríamos un pico en el conjunto que contuviese los números de Fibonacci.

¿Por qué sucede esto?

En muchos casos, cómo en los vegetales expuestos (semillas de girasol, ramificación de árboles o piñas) esto sucede porque la sucesión de fibonacci es la manera más eficiente de rellenar el espacio con formas crecientes

La naturaleza no intenta utilizar los números de Fibonacci, estos aparecen como parte de un proceso físico más profundo, esta es la razón del porqué las espirales que vemos en el centro de un girasol, o en las piñas de las coniferas, no son perfectas, no siguen una regla matemática, simplemente responden a restricciones físicas.

De todas formas sigue siendo sorprendente encontrar estos patrones en casos tan diferentes.