LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

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Estas preparado para ver Estas preparado para ver algo sorprendente?????? algo sorprendente??????

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Estas preparado para verEstas preparado para veralgo sorprendente??????algo sorprendente??????

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Estas preparado para ver algo Estas preparado para ver algo realmente sorprendente????realmente sorprendente????

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Algo que quizás despierte tu Algo que quizás despierte tu curiosidadcuriosidad

??????????????Bueno eso esperamos……….Bueno eso esperamos……….

Sorprenderte…….al menos un Sorprenderte…….al menos un poquitopoquito

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TODOS PROFES DE MATEMÁTICA:TODOS PROFES DE MATEMÁTICA:

OTRA VEZ??????OTRA VEZ??????

Y ESA MÚSICA????Y ESA MÚSICA????

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ES SOLO LA PRESENTACIÓN……….ES SOLO LA PRESENTACIÓN………. PARA ENGANCHARLOS UN POCO NADA PARA ENGANCHARLOS UN POCO NADA

MAS………..MAS……….. PERO PROMETEMOS TERMINAR CON UNA PERO PROMETEMOS TERMINAR CON UNA

QUE SEGURO LES GUSTA A TODOS….QUE SEGURO LES GUSTA A TODOS…. PACIENCIA………SOLO DURA UN PAR DE PACIENCIA………SOLO DURA UN PAR DE

HORAS………HORAS………

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LA MATEMATICA LA MATEMATICA

NOS RODEA CHICOSNOS RODEA CHICOS

SIIIIIIIIIIIIIIIIIII ESTA POR TODAS SIIIIIIIIIIIIIIIIIII ESTA POR TODAS PARTES…….PARTES…….

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MATEMÁTICAAAAAMATEMÁTICAAAAAMUCHAMUCHAMATEMÁTICA…..MATEMÁTICA…..

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AHÍ VA…………..AHÍ VA…………..

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EL NÚMERO DE OROEL NÚMERO DE ORO

ƟƟ

Porqué de oro???Porqué de oro???

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Seguro todos conocen estas Seguro todos conocen estas imágenes que mostraremos a imágenes que mostraremos a

continuación.continuación.

Intenten retenerlas en la Intenten retenerlas en la memoria, todas guardan una memoria, todas guardan una

relación. relación.

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LeonardoLeonardo de PISA de PISA (FIBBONACI )(1170-1250) (FIBBONACI )(1170-1250)

El matemático más El matemático más importante de la importante de la Edad Media.Edad Media.

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Da a conocer al mundo la sucesión de Da a conocer al mundo la sucesión de Fibonacci en su libro Fibonacci en su libro Liber abaciLiber abaci, ,

junto con el problema de los conejos. junto con el problema de los conejos.

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Liber AbaciLiber Abaci

EEn esa época se usaban en Europa los n esa época se usaban en Europa los numerales romanos por lo que el trabajo numerales romanos por lo que el trabajo de Leonardo es muy importante ya que los de Leonardo es muy importante ya que los europeos conocieron y aprendieron a usar europeos conocieron y aprendieron a usar el sistema de numeración hindo-arábigo.el sistema de numeración hindo-arábigo.

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El problema de los conejosEl problema de los conejos

““Si una pareja de conejos tarda un mes Si una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil.en alcanzar la edad fértil.

Y a partir de allí, nace una nueva Y a partir de allí, nace una nueva pareja……entonces pareja……entonces

¿Cuántos conejos habrá al cabo de un ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado númerodeterminado número

de meses?.”de meses?.”

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Si pensamos en un Si pensamos en un gráfico o esquema sería:gráfico o esquema sería:

Observemos a un costado las cantidades de parejas de conejosObservemos a un costado las cantidades de parejas de conejos

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PENSEMOS:PENSEMOS:

EN ENERO TENEMOS: EN ENERO TENEMOS: 1 1 PAREJAPAREJA

EN FEBRERO TENEMOS LA MISMA PAREJA EN FEBRERO TENEMOS LA MISMA PAREJA

: : 11 EN MARZO TENEMOS LA ORIGINAL MAS EN MARZO TENEMOS LA ORIGINAL MAS

LA NUEVA CRÍA : LA NUEVA CRÍA : 22 EN ABRIL, LAS 2 ANTERIORES MAS LA EN ABRIL, LAS 2 ANTERIORES MAS LA

NUEVA : NUEVA : 33 EN MAYO, EN MAYO, 5 5 PAREJAS…..y asíPAREJAS…..y así

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PENSEMOS EN UNA PENSEMOS EN UNA TABLA PARA TABLA PARA

EJEMPLIFICAR MEJOREJEMPLIFICAR MEJOR

144DICIEMBRE89NOVIEMBRE55OCTUBRE34SETIEMBRE21AGOSTO13JULIO8JUNIO5MAYO3ABRIL2MARZO1FEBRERO1ENERO

C/ DE PAREJASMESES

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La suceesión de Fibonacci es una sucesión La suceesión de Fibonacci es una sucesión de números de la forma:de números de la forma:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…

Donde cada valor se encuentra Donde cada valor se encuentra sumando los dos anteriores.sumando los dos anteriores.

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MUY SIMPLEMUY SIMPLE

1+1=2 1+1=2 2+1=3 2+1=3 3+2=53+2=5 5+3= 8 5+3= 8 8+13=21 RECUERDEN 8+13=21 RECUERDEN 13+21=13+21=3434 21+34=21+34=5555

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AHORA PORQUÉ HA SIDO TAN AHORA PORQUÉ HA SIDO TAN

IMPORTANTE DICHA SUCESIÓN??????IMPORTANTE DICHA SUCESIÓN??????

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REALIZANDO UN CAMBIO DE VARIABLESREALIZANDO UN CAMBIO DE VARIABLES

( QUE DESPUÉS VEREMOS EN CLASE)( QUE DESPUÉS VEREMOS EN CLASE)SE ENCUENTRA UNA ECUACIÓN DEL TIPO:SE ENCUENTRA UNA ECUACIÓN DEL TIPO:

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XX²-X-1=0²-X-1=0 Donde sus raíces son:Donde sus raíces son:

1,618033989…. Y su conjugado1,618033989…. Y su conjugado

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RECUERDEN BIEN ESE NÚMERO:RECUERDEN BIEN ESE NÚMERO:

((1,618033989….)1,618033989….)

TRAJO HISTORIA A LO LARGO TRAJO HISTORIA A LO LARGO DE LA HISTORIADE LA HISTORIA

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MATEMÁTICAMENTE es curioso MATEMÁTICAMENTE es curioso que:que:

Si dividimos los números de la sucesión, ese Si dividimos los números de la sucesión, ese cociente se acerca mucho a…cociente se acerca mucho a…

1.618033989.1.618033989.

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Los griegos obtuvieron Los griegos obtuvieron este número al hallar la este número al hallar la relación entre la diagonal relación entre la diagonal del pentágono regular y su del pentágono regular y su ladolado

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PERO NO SOLO EN ESTAS PERO NO SOLO EN ESTAS CUESTIONES APARECE ESTE CUESTIONES APARECE ESTE

NÚMERONÚMERO

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GIRASOLES Y MARGARITASGIRASOLES Y MARGARITAS

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los girasoles tienen 55 espirales en un los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.

Las margaritas presentan las semillas en Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.forma de 21 y 34 espirales.

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Las ramas y las hojas de lasLas ramas y las hojas de lasplantas se distribuyen buscando siempre plantas se distribuyen buscando siempre

recibir el máximo de luz del sol.recibir el máximo de luz del sol.

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Por eso ninguna hoja nace justo en la Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior.vertical de la anterior.NO ES CIERTO????NO ES CIERTO????

Page 32: LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

La distribución de las hojas alrededor del La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se producetallo de las plantas se produce

siguiendo estos números.siguiendo estos números.

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CON ESOS NÚMEROS PODEMOS FORMAR CON ESOS NÚMEROS PODEMOS FORMAR UN RECTÁNGULO, DIVIDIDO EN OTROS UN RECTÁNGULO, DIVIDIDO EN OTROS

MAS PEQUEÑOS………..MAS PEQUEÑOS………..

ASÍ……….ASÍ……….

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LO LLAMARON RECTÁNGULO ÁUREOLO LLAMARON RECTÁNGULO ÁUREO

OBSERVEN LA ESPIRAL QUE SE PUEDE OBSERVEN LA ESPIRAL QUE SE PUEDE FORMAR ADENTRO.FORMAR ADENTRO.

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VEAMOS ALGUNAS IMAGENESVEAMOS ALGUNAS IMAGENES

QUE USTEDES CONOCEN…………..QUE USTEDES CONOCEN…………..

DESPUÉS SE RELACIONARÁN CON EL DESPUÉS SE RELACIONARÁN CON EL RECTÁNGULO ÁUREO RECTÁNGULO ÁUREO

SORPRENDENTEMENTESORPRENDENTEMENTE

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EL HOMBRE DE VITRUBIOEL HOMBRE DE VITRUBIO

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Da Vinci conocía la proporciónDa Vinci conocía la proporción

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Las proporciones del rostro de la Las proporciones del rostro de la Gioconda hecho con Gioconda hecho con rectángulos áureosrectángulos áureos..

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La contrucción del "mapa" del rostro de la La contrucción del "mapa" del rostro de la Gioconda pintada por Leonardo de Vinci es Gioconda pintada por Leonardo de Vinci es

similar a la construcción de la similar a la construcción de la espiral áurea del nautiloespiral áurea del nautilo

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En las obras de muchos otros artistas del En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento se han buscado relaciones Renacimiento se han buscado relaciones

áureasáureas

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Que encaja sorprendentemente Que encaja sorprendentemente bien en las obras de algunos bien en las obras de algunos

pintores, como Boticelli:pintores, como Boticelli:

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En autores del S. XX como En autores del S. XX como SALVADOR DALÍ:SALVADOR DALÍ:

utiliza el rectángulo áureo como utiliza el rectángulo áureo como formato del lienzo...formato del lienzo...

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AH……ME OLVIDABA DE CONTARLES QUE AH……ME OLVIDABA DE CONTARLES QUE LA MÚSICA QUE ESTAMOS ESCUCHANDO LA MÚSICA QUE ESTAMOS ESCUCHANDO SE RIJE POR EL MISMO PATRÓNSE RIJE POR EL MISMO PATRÓN

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La Proporción Áurea en FotografíaLa Proporción Áurea en Fotografía

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Entre los aspectos formales, el manejo de Entre los aspectos formales, el manejo de la proporción está muy relacionado con el la proporción está muy relacionado con el encuadre, y menos directamente con otros encuadre, y menos directamente con otros como la perspectiva. como la perspectiva.

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Ya vimos cómo sus propiedades Ya vimos cómo sus propiedades geométricas hacen de la razón áurea algo geométricas hacen de la razón áurea algo bastante más interesante que una división bastante más interesante que una división simple. simple.

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Vamos a ver algunos ejemplos en los que elVamos a ver algunos ejemplos en los que el

fotógrafo, conscientemente o no, fotógrafo, conscientemente o no, "se lleva bien" con la razón áurea:"se lleva bien" con la razón áurea:

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Cartier-Bresson:Cartier-Bresson:

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fotógrafos como Man Ray fotógrafos como Man Ray

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El esquema más simple de división áurea El esquema más simple de división áurea lo dan cuatro líneas divisorias:lo dan cuatro líneas divisorias:

Trazándolas todas, cada magnitud se Trazándolas todas, cada magnitud se divide en tres zonas. divide en tres zonas.

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Utilizadas a veces como tapa de CDUtilizadas a veces como tapa de CD

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ARQUITECTURASARQUITECTURAS

NUEVAS Y NO TANTO…..NUEVAS Y NO TANTO…..

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Pirámide de KeopsPirámide de Keops

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El PartenónEl Partenón

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El Templo de CeresEl Templo de Ceres

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Apolo de Belvedere Apolo de Belvedere

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Leda AtómicaLeda Atómica

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NOTRE DAMENOTRE DAME

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ANTIGUAS NO???????ANTIGUAS NO???????VEAMOS OTRAS VEAMOS OTRAS

APLICACIONESAPLICACIONES

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EL NAUTILUSEL NAUTILUS

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El nautilo

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Radiografía de un nautilo

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SE PARECE AL ESPIRAL DEL RECTÁNGULO SE PARECE AL ESPIRAL DEL RECTÁNGULO ÁUREO NO?????ÁUREO NO?????

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Uno de los septos

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Los septos de un nautilo crecen geométricamente :

cuanto más grande es el molusco, con tanta mayor velocidad aumenta de

tamaño.

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PODEMOS REPRESENTARLO PODEMOS REPRESENTARLO ASÍASÍ

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En una escala lineal o aritmética, el crecimiento de los septos del nautilo se representa por una curva.

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Se puede distorsionar la escala para que la representación esté dada, en cambio, por una recta.

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Por eso es tan importantePor eso es tan importante

El estudio de las funciones que vemos El estudio de las funciones que vemos durante todo el secundario.durante todo el secundario.

PolinómicasPolinómicas RacionalesRacionales LogarítmicasLogarítmicas ExponencialesExponenciales trigonométricastrigonométricas

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Ellas nos permiten modelizar situaciones Ellas nos permiten modelizar situaciones que, al representarlas podemos estimar.que, al representarlas podemos estimar.

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SÍ, estimar un modelo MatemáticoSÍ, estimar un modelo Matemático

AYUDA A PREDECIR EL AYUDA A PREDECIR EL COMPORTAMIENTO DE CUALQUIER COMPORTAMIENTO DE CUALQUIER SITUACIÓN…………….SITUACIÓN…………….

Si, DE CUALQUIER SITUACIÓNSi, DE CUALQUIER SITUACIÓN

Page 77: LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

ESTA SECUENCIA EN ESPIRAL SE ESTA SECUENCIA EN ESPIRAL SE PUEDE VER TAMBIÉN EN:PUEDE VER TAMBIÉN EN:

MICROORGANISMOSMICROORGANISMOS EN LOS CUERNOS DE CARNEROS Y EN LOS CUERNOS DE CARNEROS Y

ELEFANTESELEFANTES FÓSILESFÓSILES URACANES Y REMOLINOSURACANES Y REMOLINOS

Page 78: LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

HASTA EN EL VUELO DE LOS HALCONESHASTA EN EL VUELO DE LOS HALCONES

PUES PERMITE VISUALIZAR MEJOR SUPUES PERMITE VISUALIZAR MEJOR SUPRESA.PRESA.

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ES POR ESTO QUE QUIENES INTENTAMOS ES POR ESTO QUE QUIENES INTENTAMOS HACER MATEMÁTICAHACER MATEMÁTICA

SENTIMOS UNA FACINACIÓN ESPECIALSENTIMOS UNA FACINACIÓN ESPECIAL

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GRACIAS A GRACIAS A NUESTROS NUESTROS ALUMNOSALUMNOS

Page 81: LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

POR ESTAR, POR RESPETAR POR ESTAR, POR RESPETAR NUESTRO TRABAJO, POR NUESTRO TRABAJO, POR

ATENDER, POR SU SILENCIO, ATENDER, POR SU SILENCIO, POR SU CARIÑOPOR SU CARIÑO

Page 82: LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

Y GRACIAS ESPECIALMENTE Y GRACIAS ESPECIALMENTE A:A:

1° DE NATURALES Y GESTIÓN1° DE NATURALES Y GESTIÓN1° DE SOCIALES Y CAD1° DE SOCIALES Y CAD

Page 83: LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

2° DE NATURALES Y GESTIÓN2° DE NATURALES Y GESTIÓN2° DE SOCIALES Y CAD2° DE SOCIALES Y CAD3° DE NATURALES Y GESTIÓN3° DE NATURALES Y GESTIÓN3° DE SOCIALES Y CAD3° DE SOCIALES Y CAD

Page 84: LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

ESPERAMOS ENTUSIASMARLOS ESPERAMOS ENTUSIASMARLOS PARA CREAR UNA PARA CREAR UNA

PRESENTACIÓN CON ALGÚN PRESENTACIÓN CON ALGÚN TEMA DE SU INTERÉSTEMA DE SU INTERÉS

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Y PARA TERMINAR…………Y PARA TERMINAR…………

Page 86: LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

ESTUDIAMOS LA CRÍA EN REPRODUCCIÓN ESTUDIAMOS LA CRÍA EN REPRODUCCIÓN DE UNA FAMILIA DE GATOS Y EL DE UNA FAMILIA DE GATOS Y EL RESULTADO FUE EL SIGUIENTE.RESULTADO FUE EL SIGUIENTE.

MUY IMPORTANTEMUY IMPORTANTE

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FINFIN

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