Escuela Secundaria Técnica

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“La Proporción Aurea y La Serie de Fibonnacci”

Por: Manuel Lazcano Barrero3 o B

Materia: Matemáticas III

Profesor: Luis Miguel Villarreal Matías

Fecha: jueves, 25 de octubre del 2012

Ciclo escolar:2012-2013

Índice

Índice---------------------------------------------------- P.2

Introducción-------------------------------------------P.3

La proporción aurea----------------------------------P.4

La serie de Fibonnacci--------------------------------P.6

Relación------------------------------------------------- P.8

Relación con la naturaleza -------------------------P.9

Conclusión----------------------------------------------P.10

Actividad------------------------------------------------P.11

Imágenes------------------------------------------------P.13

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Introducción

En el presente trabajo se habla de la proporción aurea, la serie de Fibonnacci y su relación entre ellas y el mundo.

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La proporción aurea

Es la división armónica de una recta en media y extrema razón. Es decir que el segmento menor, es al segmento mayor, como éste es a la totalidad de la recta. O cortar una línea en dos partes desiguales de manera que el segmento mayor sea a toda la línea, como el menor es al mayor De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor, esto es un resultado similar a la media y extrema razón. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea, se adopta como símbolo de la sección áurea (Æ ), y la representación en números de esta relación de tamaños se llama número de oro = 1,618.

A lo largo de la historia de las artes visuales, se han formulado diferentes teorías sobre la composición.

Platón decía: es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una relación entre ellas que los ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo. La suma de las partes como todo es la más perfecta relación de proporción. Vitruvio acepta el mismo principio pero dice la simetría consiste en el acuerdo de medidas entre los diversos elementos de la obra y estos con el conjunto, ideó una fórmula matemática, para la división del espacio dentro de un dibujo, conocida como la sección áurea, y se basaba en una proporción dada entre los lados más largos y los más cortos de un rectángulo. Dicha simetría está regida por un modulo o canon común: que es el número.

Los Egipcios descubrieron la proporción áurea por análisis y observación, buscando medidas que les permitiera dividir la tierra de manera exacta, a partir del hombre, utilizando la mano, el brazo, hasta encontrar que media lo mismo de alto que de ancho con los brazos extendidos y encontraron que el ombligo establecía el punto de división en su altura y esta misma ,se lograba de manera exacta, rebatiendo sobre la bases de un cuadrado, una diagonal trazada de la mitad de la base a una de sus aristas. La proporción áurea, paso de Egipto a Grecia y de allí a Roma. Las más bellas esculturas y construcciones arquitectónicas están basadas en dichos cánones.

Los griegos llamaban simetría a la cadena de relaciones de ritmo armónico, Pitagórico y Platónico, adoptado para el arte del espacio, tomando como modelo o medida al hombre

Euclídes en su obra: "Elementos", aparecen la primera fuente documental importante sobre la sección áurea, dedicando varias proposiciones a la división de una recta en media y extrema razón. Geométrica y algebraicamente es la partición asimétrica más lógica y más importante a causa de sus propiedades matemáticas y estéticas, razón por la cual fue llamada divina proporción, por el monje Boloñes Luca Paccioli, Es una formula fría matemática que permite adaptarse al hombre y humanizarla, lo que ha hecho su perennidad a través de los siglos.

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La serie de Fibonnacci

El matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1250), conocido como Fibonacci, se

hizo famoso tanto por su gran contribución a la divulgación en Europa del sistema

de numeración indo-arábigo que utilizamos hoy, como por el descubrimiento de una

sucesión de números reales, que se conoce desde entonces con su nombre.

Fibonacci presentó la sucesión en su obra Liber Abaci, en 1202, y manifiesta

haberla encontrado al resolver el problema de la cría de conejos: "Cierto hombre

tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y desea saber cuántos son

creados a partir de este par en un año, cuando es su naturaleza parir otro par en

un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".

Siendo el periodo de gestación de unos 31-32 días, se trataría de conocer el

número de animales (parejas) que existirán a los 12 meses, suponiendo que se

reproducen continuamente y cada pareja de conejos da lugar a una nueva pareja

(macho y hembra). Cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes. Se tendría:

Al comienzo del primer mes: 1 pareja (la pareja original que se

supone nace ahora).

Al final del primer mes: 1 pareja que se cruza (la pareja que

nace al comienzo del primer mes).

Al final del segundo mes: 2 parejas (nace una pareja) y se vuelve

a cruzar la primera pareja.

Al final del tercer mes: 3 parejas (nace la tercera pareja) y se

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cruzan las dos preexistentes.

Al final del cuarto mes: 5 parejas (nacen dos parejas) y se

cruzan las tres preexistentes.

Al final del quinto mes: 8 parejas (nacen tres parejas) y se

cruzan las cinco preexistentes.

Al final del sexto mes: 13 parejas (nacen cinco parejas) y se

cruzan las ocho que existían.

Al final del séptimo mes: 21 parejas (nacen ocho parejas) y se

cruzan las 13 preexistentes.

Al final del octavo mes: 34 parejas (nacen 13 parejas más) y se

cruzan las 21 parejas que existían.

Al final del décimo mes: 55 parejas (21 que nacen ahora más 4

las 34 que ya existían).

Al final del undécimo mes: 89 parejas que corresponden a las 55

que existían más las 34 que nacen

ahora).

Al final del duodécimo mes: 144 parejas que son la suma de las 89

que existían mas 55 que nacen ahora.

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Relación

Los números de Fibonacci tienen propiedades matemáticas interesantes, y muchas operaciones aritméticas entre ellos vuelven a dar números de Fibonacci. Una de ellas, apuntada por el astrónomo Johannes Kepler es la siguiente: si vamos dividiendo entre ellos números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, su cociente se acerca al valor 1.618033... Esta constante se denomina número de oro, número áureo o divina proporción, e históricamente se le han atribuido propiedades estéticas. Un rectángulo cuyo lado menor esté en la misma proporción respecto al mayor, que el lado mayor respecto a la suma de los dos lados, sigue las proporciones áureas.

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Relación con la naturaleza

Los números de Fibonacci aparecen a menudo en la naturaleza. Por ejemplo, se sabe que de los huevos que pone la abeja reina en una colmena, si están fecundados nacen abejas obreras o reinas, mientras que de los no fecundados nacen zánganos. Así pues, las reinas tienen dos progenitores, mientras que los zánganos tienen sólo uno. El número de individuos en cada generación de ancestros de un zángano sigue la sucesión de Fibonacci. También siguen la sucesión de Fibonacci las ramificaciones de algunas especies de hierba, flores, arbustos o árboles, así como la disposición de los piñones en la piña, o de las florecitas que forman las flores compuestas como las margaritas. Y en el cuerpo humano, los huesos que forman el dedo índice de la mano están en la misma proporción que los números 2, 3, 5 y 8.

Hay estudios psicológicos que consideran que la proporción áurea está relacionada con la percepción de la belleza por el cerebro humano. Así se cree que obras como las pirámides o la acrópolis pudieron ser construidas siguiendo esta proporción. También aparece en la disposición de los elementos en cuadros como La Última Cena de Leonardo, o en la fachada de Nôtre-Dame de París. Ya en el siglo XX, el arquitecto Le Corbusier tomó el número áureo como base para su sistema de arquitectura Modular. Y como aplicación más cercana, la proporción de los lados de las tarjetas de crédito es muy cercana al número áureo. También hay quien apunta a la divina proporción en la naturaleza, como por ejemplo en la relación entre la altura de una persona y la altura de su ombligo, o en las proporciones del cuerpo de muchos animales.

En los recién nacidos el ombligo divide el cuerpo en dos partes iguales, en un cuerpo desarrollado normalmente, la relación entre la parte superior del cuerpo de la cabeza al ombligo y entre esta y la planta de los pies cumple la denominada media y extrema razón, propia de la sección áurea, es decir 3.5 = 5.8. Vitruvio estableció una afinidad entre el hombre y las figuras geométricas, al descubrir que el hombre de pie con los brazos extendidos puede inscribirse en un cuadrado, si separa las piernas puede inscribirse dentro de un circulo, que tiene como centro el ombligo. 

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Conclusión

La proporción áurea y la serie de Fibonnacci son ejemplos o formas de explicar en este caso la forma de la naturaleza y como la naturaleza tiene una perfección en todos los campos de la ciencia.

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Actividad

La siguiente actividad consiste en dibujar una elipse aurea como la siguiente:

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