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Dibujo Técnico II María Amián

Tema 9: Sistema Diédrico. Elementos Básicos

El sistema diédrico es un método de representación geométrica de los elementos del espacio tridimensional sobre un plano, es decir, la reducción de las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano, utilizando una proyección ortogonal sobre dos planos que se cortan perpendicularmente. Para generar las vistas diédricas, uno de los planos se abate sobre el segundo. La proyección ortogonal se realiza sobre dos planos principales:

Horizontal (PH) Vertical (PV).

El objeto queda representado por su vista frontal (proyección en el plano vertical) y su vista superior (proyección en el plano horizontal); también se puede representar su vista lateral, como proyección auxiliar (plano de Perfil PP), a la que recurrimos cuando no conocemos la posición del objeto en su vista frontal, ni en la superior.

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Bloque II: Sistemas de Representación

http://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_ortogonal

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Tridimensional

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo


La línea que separa ambos planos y vistas se denomina Línea de Tierra, y se representa mediante una recta con dos guiones inferiores (uno en cada extremo).

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Plano

Perfil

(PP)


Los espacios que quedan definidos por los dos planos de proyección, reciben el nombre de cuadrantes.Existen dos planos que dividen asimismo los cuadrantes en octantes, son los planos bisectores.1234567

Para representar el espacio en el papel, el PH se abate sobre el PV, de manera que en nuestro formato (folio) quedan dos espacios separados por la Línea de Tierra. En el caso de que acudamos a la tercera proyección o Plano de Perfil, éste se abate sobre el PV y su representación en el papel es una línea perpendicular a la Línea de Tierra.

9.1 El Punto

El punto es el elemento básico del dibujo en proyección. En diédrico se representan sus proyecciones ortogonales sobre el PH, PV y PP. Se hace a través de coordenadas o magnitudes, que son las siguientes: origen, cota y alejamiento.

La proyección en el PV se indica con una letra minúscula con prima: a’ y corresponde a la cota o altura del punto sobre la línea de tierra.

La proyección en el PH se indica con la misma letra minúscula, pero sin prima: a y corresponde al alejamiento, la distancia del punto a la línea de tierra en el plano horizontal. Como el PH se abate sobre el PV, el alejamiento se representa por debajo de la línea de tierra.

La proyección en el PP se indica con una letra minúscula con dos primas: a’’

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PH

PV

Para ubicar un punto por sus coordenadas debemos saber:

El origen se representa con una X, y suele ser la primera coordenada. Si el valor dado es negativo, el punto se coloca a la izquierda. Si es positivo a la derecha.

El alejamiento se representa con una Y. Si el valor es negativo, se ubica por encima de la línea de tierra, y si es positivo debajo.

La cota o altura se representa con una Z. Si el valor es negativo se ubica por debajo de la línea de tierra, y si es positivo, por encima.

Así, que según las coordenadas colocamos el punto A siguiendo el orden: origen, alejamiento, cota. Por ejemplo: A (15, 20, 30) (Distancias en milímetros)

El valor positivo o negativo depende de la colocación de los puntos en los cuadrantes, como observamos en el siguiente esquema (el diedro está visto de perfil)

Los puntos ubicados en los planos bisectores:

Primer plano bisector (1ºPB) = Cota y alejamiento equidistantes (mismas medidas).

Segundo plano bisector (2ºPB) = Cota y alejamiento superpuestos.

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15

+a

20

+a’

30

PH

PV

Z +, Y+Z +, Y-

Z -, Y- Z -, Y+

3º

2º 1º

4º

+B2º PB 1º PB

+A


d’

d

l’

l

Quedarían así representados:

El punto en diédrico tiene 17 proyecciones, según se coloque en los diferentes cuadrantes y planos bisectores:

Casos particulares:

Puntos d y l, Y=0 :

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h

h’

p

p’ Puntos h y p, Z=0

Punto q, Y=0, Z=0

9.2 La Recta

Una recta queda definida por dos puntos, así que para obtener las proyecciones de una recta, basta con unir las proyecciones verticales y las horizontales de los puntos.

Pero tenemos que destacar también:

Las trazas de la recta: Puntos de intersección de ésta con los planos de proyección. También marcan el lugar en el que la recta pasa de un cuadrante a otro. Existen dos trazas:

Traza vertical: Intersección de la recta con el PV, se le adjudica la letra V y sus proyecciones son: v-v’ (punto de Y=0)

Traza horizontal: Intersección de la recta con el PH, se le adjudica la letra H y sus proyecciones son: h-h’ (punto de Z=0)

Como hemos indicado anteriormente, las trazas marcan el lugar en el que las rectas pasan de un cuadrante a otro, y cuando esto ocurre, parte de la recta queda oculta tras el PV o el PH. Para indicarlo, las proyecciones se representan con línea discontinua.

Visibilidad de una recta: 1. Se obtienen las trazas de la recta

localizando los puntos h-h’ y v-v’: h’: punto donde la proyección

r’ corta a la LT. h: punto donde la

perpendicular a LT por h’ corta a r (proyección horizontal de la recta)

v: punto donde r corta a la LT. v’: punto donde la

perpendicular por v corta a r’

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q=q’


2. Al hallar las trazas, las proyecciones de R quedan divididas en 3 partes, y los segmentos que quedan entre las trazas v’-h’ y v-h, serán visibles mientras que el resto se representa con línea discontinua.

Intersección de la recta con los planos bisectores:1. Se hallan las trazas de la recta.2. Intersección con el 1ºPB:

Se traza una línea que forme el mismo ángulo α con la LT que la proyección vertical de la recta (se puede obtener también con la proyección horizontal).

3. Intersección con el 2ºPB: Localizar el punto en el que se cortan las dos proyecciones

de R.

Alfabeto de la recta (Tipos de recta)

Las rectas tienen ciertas propiedades, dependiendo de la posición con respecto a los planos de proyección. Podemos identificar las rectas según sus proyecciones.

Recta cualquiera: No tiene ninguna posición especial con respecto a los planos del sistema. Por ello carece de propiedades ventajosas o especiales.

Recta horizontal: Es paralela al plano horizontal de proyección, por lo que su altura es constante, es decir, paralela a la LT. Se proyecta horizontalmente en verdadera magnitud (verdadera medida) sobre el PH, como una recta oblicua.

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Recta frontal: Es paralela al PV y su proyección horizontal lo es a la LT. Se proyecta verticalmente en verdadera magnitud sobre el PV, como una recta oblicua.

Recta vertical: Es perpendicular al PH, en el PV su proyección es perpendicular a la LT (en verdadera magnitud) y en el PH, un punto.

Recta de punta: Es perpendicular al PV, en el PH su proyección es perpendicular a la LT (en verdadera magnitud) y en el PV, un punto.

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Recta paralela a la LT: Es paralela al PH y al PV. De modo que las dos proyecciones son paralelas a la LT (ambas en verdadera magnitud)

Recta que corta a la LT: Sus proyecciones se cortan en la LT.

Recta de perfil: Es paralela al PP. Sus proyecciones son perpendiculares a la LT y se superponen, por ello se debe acudir al PP (tercera proyección) para poder realizar algunas operaciones: situar un punto, obtener sus trazas (cuando está definida por dos puntos), obtener su visibilidad.

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Utilización del PP para proyecciones de la recta de perfil: El PP se usa para obtener la proyección lateral de la recta (en verdadera magnitud) y poder resolver los casos anteriores. Consiste en girar los elementos 90º como se observa en la imagen.

Rectas que se cortan y rectas que se cruzan:

Dos rectas se cortan si sus proyecciones lo hacen en dos puntos contenidos en la misma perpendicular a la LT.

Dos rectas se cruzan si sus proyecciones se cortan pero no lo hacen en puntos contenidos en una misma perpendicular a la LT.

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a

a’r’

s’

rs

r

s

s’

r’a’

b

a

b’


9.3 El Plano

Un plano puede quedar definido por cuatro combinaciones de rectas y puntos:

Dos rectas que se cortan: Hallando las trazas de las rectas y uniéndolas =v’+v’ y h+h

Dos rectas paralelas: De igual modo. Un punto y una recta: Hallando otra recta por el punto y las trazas de ambas. Tres puntos no alineados: Hallando como mínimo, 2 rectas, y sus trazas.

Un plano corta, generalmente a los planos de proyección según dos rectas que se llaman trazas que se indican con una letra mayúscula: P’ en PV, P en PH, y P’’ en PP.

Pertenencias de rectas y puntos a un plano y entre sí: Una recta pertenecerá a un plano cuando sus trazas estén

contenidas en las trazas del plano.

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Plano definido por dos rectas que se cortan


Un punto pertenecerá a un plano cuando pertenezca a una recta contenida en ese plano, es decir, cuando sus proyecciones estén contenidas en las de la recta.

Recuerda que siempre debe cumplirse lo anterior para que se den casos de pertenencias.

Rectas Particulares de un plano: Son aquellas rectas que, por sus características, pueden estar contenidas en un plano.

Recta cualquiera.

Recta horizontal.

Recta frontal.

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Recta de perfil.

Recta de máxima pendiente: Es la recta que, estando contenida en un plano, forma el mayor ángulo posible con el PH. Se caracteriza porque su traza horizontal es perpendicular a la traza horizontal del plano.

Recta de máxima inclinación: Es la recta que, estando contenida en un plano, forma el mayor ángulo posible con el PV. Se caracteriza porque su traza vertical es perpendicular a la traza vertical del plano.

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Alfabeto del Plano (Tipos de planos): Los planos pueden tener diferentes posiciones con respecto a los planos de proyección, y por ello tenemos un alfabeto del plano.

Plano Horizontal: Paralelo al PH, por lo tanto no tiene traza horizontal y todos los elementos que contiene se proyectan en verdadera magnitud en el PV. Contiene:

Recta horizontal Recta de punta Recta paralela a L.T.

Plano Frontal: Paralelo al PV, por lo tanto carece de traza vertical y todos los elementos que contiene se proyectan en verdadera magnitud en el PH. Contiene:

Recta frontal Recta vertical Recta paralela a L.T.

14¿Para qué sirve?

Para resolver ejercicios de representación de volúmenes en los que además del coeficientereducción, hay que aplicar una escala.

¿Para qué sirve?

Conocer los tipos de rectas que pueden contenerse en un plano es muy útil para determinar un plano en ejercicios y problemas de diédrico.


Plano Proyectante Vertical o Plano de canto: Es perpendicular al PV, por lo que su traza horizontal es perpendicular a LT. La traza vertical es oblicua a LT y todo lo que contiene se proyecta verticalmente sobre ella= traza vertical contiene las proyecciones de las rectas y los puntos en su interior. Contiene:

Recta cualquiera Recta frontal Recta de punta Recta que corta a LT.

Plano Proyectante Horizontal: Perpendicular al PH, por lo que su traza vertical es perpendicular a la línea de tierra y su traza horizontal es una línea oblicua a LT y todo lo que contiene se proyecta horizontalmente sobre ella= traza horizontal contiene las proyecciones de las rectas y los puntos en su interior, Contiene:

Recta cualquiera Recta horizontal Recta vertical Recta que corta a LT.

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¿Para qué sirve?

Para resolver ejercicios de representación de volúmenes en los que además del coeficientereducción, hay que aplicar una escala.


Plano paralelo a LT: Sus trazas son paralelas a LT. Para poder trabajar con este plano debemos acudir al PP o tercera proyección, donde se presenta como una recta oblicua y en VM. Contiene:

Recta paralela a LT Recta cualquiera Recta de perfil

Plano que contiene la LT: Sus trazas están superpuestas a la LT y se indican con dos guiones cortos con las letras correspondientes a cada una (primero la traza vertical). Para definirlo se necesita un punto y acudir a la tercera proyección donde se dibuja como una recta. Contiene:

Recta paralela a LT Recta que corta a LT

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1 Representa los siguientes puntos e indica su situación:

A (10,0,40)

B (30,20,30)

C (50,-70,20)

D (70,-50,-50)

E (90,30,-70)

F (110,40,50)

G (130,20,-60)

H (130,30,0)

I (170, 0, 0)

2 Representa las proyecciones de las rectas, indicando sus trazas y sus partes vistas y ocultas

1ª Línea de Tierra

R= A (20,40,60) y B(45,-10,30)

S= C (140,25,10) y D(170,50,50)

2ª Línea de Tierra

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Ejercicios: Para poner en práctica lo que hemos aprendido y así reforzar nuestros conocimientos


T = A (25,10,30) y B (60,50,40)

U = C (100,10,45) y D (150,50,15)

3 Dibuja las siguientes rectas: R= Horizontal, S= Recta paralela a la LT, T= Recta de punta,

X= Recta que corta a la LT, U= Frontal, V= de Perfil.

4 Representar en diédrico las proyecciones de las rectas que pasan por los siguientes puntos, indicando sus trazas y sus partes vistas y ocultas.

(Un formato DIN A-4 para cada 2 líneas de tierra. El origen se sitúa a 10 mm del margen del formato, sobre la LT y ambas líneas se separan 10 cm.)

1º Formato:

1ªLT. Recta R: Punto A(20,40,60) y Punto B (45,10,30). Recta S: Punto C (90,30,10) y Punto D (130,5,45)

2ª LT. Recta T: Punto A (25,10,30) y Punto B (60,50,40). Recta U: Punto C (100,10,45) y Punto D (150,50,15)

2º Formato:

1ª LT. Recta R : Punto A (20, 40,60) y Punto B (45, -10,30). Recta S: Punto C (140,25,10) y Punto D (170, 50,50)

2ª LT. Recta T: Punto A(30,30, 15) y Punto B (65, -40, 50). Recta U: Punto C (100, -30, 40) y Punto D (160,10,-50)

3º Formato

1ªLT. Recta R: Punto A (20, 40, 60) y Punto B (70, 10, 60). Recta S: Punto C (120, -10, -20) y Punto D (180, -10, 75)

2ª LT. Recta T: Punto A (15,50,-10) y Punto B (75, 50, -10). Recta U: Punto C (110,10, -30) y Punto D (170, -40, 75)

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5 ¿Cómo serían las proyecciones de…

a) Recta Paralela a la LT que contiene un punto en el 2º Cuadrante?

b) Recta Vertical que atraviesa del 1º al 4º cuadrante? Dibuja su intersección con el 1º y 2º Bisector.

c) Recta Vertical que atraviesa del 2º al 3º Cuadrante? Dibuja su intersección con el 1º y 2º Bisector.

d) Recta Horizontal que contiene un punto en el 3º cuadrante? Dibuja su intersección con el 1º y 2º Bisector.

e) Recta Oblicua a los planos de proyección que pasa por los cuadrantes 1º, 2º y 3º? Dibuja su intersección con el 2º Bisector.

h) Recta que pasa por la LT que pasa del 2º al 4º diedro?

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+a’

+a

+a’

+a

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P’

3 Traza un plano W que contenga al punto A y a la recta horizontal R

4 Traza un plano W que contenga al punto A y a la recta frontal S

1 Traza una recta oblicua a los planos de proyección, contenida en el plano dado y determina su visibilidad.

2 Traza una recta horizontal, contenida en el plano dado y determina su visibilidad.

P

P’

P

5 Dada la traza horizontal del plano W y la recta R, frontal, dibuja la traza vertical.

r’

r

P

6 Dado el plano P, dibuja en sus 3 proyecciones, una recta de perfil contenida en ese plano.

P P


+a’

+a

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7 Hallar las trazas de un plano conocidos los siguientes datos:

1 Tres puntos no alineados

+a’

+b’

+c’

+b

+a +c

2 Un punto A, contenido en una recta horizontal cuya proyección horizontal forma 45º con LT.

3 Una recta U de Máxima Pendiente


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