Apuntes de Diédrico

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E.T.S. INGENIEROS DE MINAS UNIDAD DOCENTE DE SISTEMAS DE REPRESENTACION y PROYECTOS DE INGENIERIA APUNTES DE PROYECCION DIEDRICA H " ",' A 2 ro GUILLERMO LLOPIS TRILLO " Madrid, 1993

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  • E.T.S. INGENIEROS DE MINAS

    UNIDAD DOCENTE DE SISTEMAS DE REPRESENTACION y PROYECTOS DE INGENIERIA

    APUNTES DE PROYECCION DIEDRICA

    H

    "

    ",' A 2 ro

    GUILLERMO LLOPIS TRILLO

    "

    Madrid, 1993

  • NDICE EXPRESIN GRFICA

    1. INTRODUCCIN 1

    1.1. Proyecciones. 1

    1.2. Sistemas de representacin 4 1.2.1 . Sistema Didrico 5 1.2.2. Sistema Axonomtrico 6 1.2.3 . Sistema de Perspectiva Caballera 8 1.2.4. Sistema de Planos Acotados . 10 1.2.5. Sistema Ele Persfleeva Caiea 11 1.2.6. Sistema Ele Preyeeeia Bstereegrfiea 12 1.2.7. Sistema Ele Preyeeeia Gaemaiea 13

    2. PROYECCIN DIDRlCA 14

    2.1. Introduccin 14

    2.2. Representacin de puntos. 16 2.2.1 . Posiciones relativas de un punto. 17

    2.3 Representacin de rectas 19

    2.4. Rectas en posiciones particulares. 23 2.4.1. Rectas horizontales 23 2.4.2. Rectas frontales. 24 2.4.3. Rectas verticales 24 2.4.4. Rectas de punta. 25 2.4.5. Rectas en el plano horizontal de proyeccin 25 2.4.6. Rectas en el plano vertical de proyeccin 26 2.4.7. Rectas paralelas a la lnea de tierra. 26 2.4.8. Rectas contenidas en el primer bisector 27 2.4.9. Rectas paralelas al primer bisector 27 2.4.10. Rectas contenidas en el segundo bisector 28 2.4.11 . Rectas paralelas al segundo bisector 28 2.4.12. Rectas de perfil 29

    (Ejercicios bsicos RECTAS)

    2.5. Representacin de planos: Trazas. 33

    2.6. Planos en posiciones particulares. 35 2.6.1. Planos horizontales 35 2.6.2. Planos frontales. 35 2.6.3. Planos verticales. 36 2.6.4. Planos de canto. 36 2.6.5. Planos de perfil. 37 2.6.6. Planos paralelos a la lnea de tierra. 37 2.6.7. Planos linea de tierra-punto 37 2.6.8. Planos perpendiculares al primer bisector 38 2.6.9. Planos perpendiculares al segundo bisector 38

    2.7. Rectas contenidas en un plano. 39 2.7.1. Rectas horizontales de un plano. 39 2.7.2. Rectas frontales de un plano. 39 2.7.3. Rectas de perfil en un plano. 40

  • 2.7.4. Lnea de mxima pendiente. 41 2.7.5. Lnea de mxima inclinacin 43

    2.8. Punto situado en un plano 44

    2.9. Planos no definidos por sus trazas 44 2.9. 1. Plano definido por dos rectas que se cortan 45 2.9.2. Plano definido por dos rectas paralelas 45 2.9.3. Plano definido por una recta y un punto. 46 2.9.4. Plano definido por tres puntos. 47 2.9.5. Horizontales y frontales de un plano no definido por sus trazas 47

    (Ejercicios bsicos PLANOS)

    2.10. Planos pasando por una recta 49

    2.11. Interseccin de planos 52 2.11.1 . Interseccin de dos planos cualesquiera. 53 2. 11.2. Interseccin de un plano cualquiera con un plano de perfil. 54 2.11.3. Interseccin de un plano cualquiera con un plano frontal. .55 2.11.4. Interseccin de dos planos cuyas trazas horizontales son paralelas. 56 2.l1.5 . Interseccin de dos planos cuyas trazas se cortan fuera del dibujo 57 2.11 .6. Interseccin de un plano definido por sus trazas con un plano linea de tierra-punto 58 2.11.7. Interseccin de un plano con el segundo bisector 60 2.11.8. Interseccin de dos planos paralelos a la lnea de tierra .. . 61

    (Ejercicios bsicos INTERSECCIN ENTRE PLANOS)

    2.l2. Interseccin de recta y plano 62 2.l2.1. Interseccin de una recta vertical con un plano. 63 2.12.2. Interseccin de una recta con un plano no definido por sus trazas 64 2.l2.3. Partes vistas y ocultas en la interseccin de recta y plano. 66

    2.12.3. 1 Posiciones relativas de dos rectas que se cruzan ... 66 2. 12.3 .2. Interseccin de una recta con un plano cuyas trazas se cortan formando un ngulo agudo. 68 2.12.3.3. Interseccin de una recta con un plano de canto ... 70 2.1 2.3.4. Interseccin de una recta con un plano cuyas trazas se cortan formando un ngulo obtuso. 71

    (Ejercicios bsicos INTERSECCIN ENTRE RECTA Y PLANO)

    2.13. Paralelismo. 72 2.l3.1. Rectas paralelas 72 2.13.2. Planos paralelos 74 2.13.3. Recta paralela a un plano. 76 2.13.4. Plano paralelo a una recta. 76 2.l3.5. Plano paralelo a dos rectas 78 2.13.6. Plano paralelo a un plano. 78

    (Ejercicios bsicos PLANOS PARALELOS)

    2.14. Perpendicularidad 80 2.14.1. Teoremas de perpendicularidad 80 2.14.2. Recta perpendicular a un plano. 81 2.14.3 . Plano perpendicular a una recta. 82 2.14.4. Plano perpendicular a un plano por una recta. 83 2. 14.5. Proyeccin cilindrica ortogonal de una recta sobre un plano. 84

    (Ejercicios bsicos ORTOGONALIDAD)

  • 2.15 . Distancias 85 2.15.1. Distancia entre dos puntos. 86 2.1 5.2. Distancia de un punto a un plano. 90 2.15.3. Distancia de un punto a una recta. 91 2.15.4. Distancia entre dos rectas paralelas 92 2.15.5. Distancia entre dos planos paralelos 93 2.15 .6. Mnima distancia entre dos rectas 95

    2.16. CamBios ee plano ee pfoyeeeiH 98 2.16.1. CamBio ee plano vertieal ee pf9yeeeiH 98 2.16.2. CamBio ee plano flOAZOHtal ee pfoyeeeiH 103

    2.17. Giros 106

    2.18. Abatimientos. 111

    2.19. ngulos 117 2. 19.1. ngulo de dos rectas 117

    2.19.1.2. ngulo de las trazas de un plano. 119 2.19.2. ngulo de recta y plano. 121 2.19.3. ngulo de una recta con los planos de proyeccin 122 2.19.4. ngulo de dos planos 125 2.19.5. ngulo de un plano con los planos de proyeccin 128

    2.20. Figuras planas 135 2.20. 1. Elementos de un tringulo a partir de sus proyecciones. 135 2.20.2. Relaciones de afinidad en una figura plana. 137 2.20.3. Proyecciones de un tringulo equiltero 138 2.20.4. Pro)'eeeioHes ee tilla eifetlllrereHeia. 14 1

    2.21. Poliedros 146 2.21.1. Representacin 146 2.21.2. Prisma. 148

    2.21.2.1. SeeeioHes planas 151 2.21 .2.2. IflterseeeiH ee reela y llrisma. 156 2.21.2.3. DesOFfollo 159

    2.21.3. Pirmide. 164 2.21.3.1. SeeeioHes planas 167 2.21.3.2. IHlerseeeiB ee reela y pirmiee. 172 2.21.3 .3. DesOFfollo 175

    2.21 o4. Polieeros regtllares eOH'>'eJ{8s. 179 2 .2 lA .1. Tetfaeefo 181 2.21.4 .2. Oetaeero 184 2.21.0. CHBO 187 2.21.404. Ieesaeero 192 2.21.4 .5. Doeeeaeero 198

  • NDICE DIBUJO I

    1. INTRODUCCIN 1

    1.1. Proyecciones. 1

    1.2. Sistemas de representacin 4 1.2.1. Sistema Didrico 5 1.2.2. Sistema Axonomtrico 6 1.2.3. Sistema de Perspectiva Caballera 8 1.2.4. Sistema de Planos Acotados. 10 1.2.5. Sistema Ele Persjleetiva Cfliea 11 1.2.6. Sistema Ele Preyeeeifl estereegrfiea 12 1.2.7. Sistema Ele Preyeeeifl Gflemniea 13

    2. PROYECCIN DIDRICA 14

    2.1. Introduccin 14

    2.2. Representacin de puntos. 16 2.2.1. Posiciones relativas de un punto. 17

    2.3 Representacin de rectas 19

    2.4. Rectas en posiciones particulares. 23 2.4.1. Rectas horizontales 23 2.4.2. Rectas frontales. 24 2.4.3. Rectas verticales 24 2.4.4. Rectas de punta. 25 2.4.5. Rectas en el plano horizontal de proyeccin 25 2.4.6. Rectas en el plano vertical de proyeccin 26 2.4.7. Rectas paralelas a la lnea de tierra. 26 2.4.8. Rectas contenidas en el primer bisector 27 2.4.9. Rectas paralelas al primer bisector 27 2.4.10. Rectas contenidas en el segundo bisector 28 2.4.11. Rectas paralelas al segundo bisector 28 2.4.12. Rectas de perfil 29

    (Ejercicios bsicos RECTAS)

    2.5. Representacin de planos: Trazas. 33

    2.6. Planos en posiciones particulares. 35 2.6.1.Planos horizontales 35 2.6.2. Planos frontales. 35 2.6.3. Planos verticales. 36 2.6.4. Planos de canto. 36 2.6.5. Planos de perfil. 37 2.6.6. Planos paralelos a la lnea de tierra. 37 2.6.7. Planos lnea de tierra-punto 37 2.6.8. Planos perpendiculares al primer bisector 38 2.6.9. Planos perpendiculares al segundo bisector 38

    2.7. Rectas contenidas en un plano. 39 2.7.1. Rectas horizontales de un plano. 39 2.7.2. Rectas frontales de un plano. 39

  • 2.7.3. Rectas de perfil en un plano. 40 2.7.4. Lnea de mxima pendiente. 41 2.7.5. Lnea de mxima inclinacin 43

    2.8. Punto situado en un plano 44

    2.9. Planos no definidos por sus trazas 44 2.9.1. Plano definido por dos rectas que se cortan 45 2.9.2. Plano definido por dos rectas paralelas 45 2.9.3. Plano definido por una recta y un punto. 46 2.9.4. Plano definido por tres puntos. 47 2.9.5. Horizontales y frontales de un plano no definido por sus trazas 47

    (Ejercicios bsicos PLANOS)

    2.10. Planos pasando por una recta 49

    2.1 1. Interseccin de planos 52 2.11.1. Interseccin de dos planos cualesquiera. 53 2.11.2. Interseccin de un plano cualquiera con un plano de perfil. 54 2. 11.3. Interseccin de un plano cualquiera con un plano frontal. .55 2.11.4. Interseccin de dos planos cuyas trazas horizontales son paralelas. 56 2.1 1.5. Interseccin de dos planos cuyas trazas se cortan fuera del dibujo 57 2.11 .6. Interseccin de un plano definido por sus trazas con un plano lnea de tierra-punto 58 2.11.7. Interseccin de un plano con el segundo bisector 60 2.11.8. Interseccin de dos planos paralelos a la lnea de tierra ... 61

    (Ejercicios bsicos INTERSECCIN ENTRE PLANOS)

    2. 12. Interseccin de recta y plano 62 2.1 2. 1. Interseccin de una recta vertical con un plano. 63 2.12.2. Interseccin de una recta con un plano no definido por sus trazas 64 2.12.3. Partes vistas y ocultas en la interseccin de recta y plano. 66

    2.12.3.1 Posiciones relativas de dos rectas que se cruzan . .. 66 2.12.3.2. Interseccin de una recta con un plano cuyas trazas se cortan formando un ngulo agudo. 68 2.12.3.3. Interseccin de una recta con un plano de canto ... 70 2.12.3.4. Interseccin de una recta con un plano cuyas trazas se cortan formando un ngulo obtuso. 71

    (Ejercicios bsicos INTERSECCIN ENTRE RECTA y PLANO)

    2.13 . Paralelismo. 72 2. 13. 1. Rectas paralelas 72 2.13 .2. Planos paralelos 74 2.13.3. Recta paralela a un plano. 76 2.13.4. Plano paralelo a una recta. 76 2.13.5. Plano paralelo a dos rectas 78 2.13 .6. Plano paralelo a un plano. 78

    (Ejercicios bsicos PLANOS PARALELOS)

    2. 14. Perpendicularidad 80 2.14.1. Teoremas de perpendicularidad 80 2.14.2. Recta perpendicular a un plano. 81 2.14.3. Plano perpendicular a una recta. 82 2. 14.4. Plano perpendicular a un plano por una recta. 83 2. 14.5. Proyeccin cilndrica ortogonal de una recta sobre un plano. 84

    (Ejercicios bsicos ORTOGONALIDAD)

  • NDICE DIBUJO 11

    2.15. Distancias 85 2.15.1. Distancia entre dos puntos. 86 2.15.2. Distancia de un punto a un plano. 90 2.15.3. Distancia de un punto a una recta. 91 2.15.4. Distancia entre dos rectas paralelas 92 2.15.5. Distancia entre dos planos paralelos 93 2.15.6. Mnima distancia entre dos rectas 95

    2.16. CamBies ae l"18fle ae l"reyeeeiR 98 2.16.1. CamBie ae l"18fle vertieal ae l"reyeeeiR 98 2.16.2. CamBie ae pIaRe l18riz8Iltal ae preyeeeiR 103

    2.17. Gires 106

    2.18. Abatimientos. 111

    2.19. ngulos 117 2.19.1. ngulo de dos rectas 117

    2.19.1.2. ngulo de las trazas de un plano. 119 2.19.2. ngulo de recta y plano. 121 2.19.3. ngulo de una recta con los planos de proyeccin 122 2.19.4. ngulo de dos planos 125 2.19.5. ngulo de un plano con los planos de proyeccin 128

    2.20. Figuras planas 135 2.20.1. Elementos de un tringulo a partir de sus proyecciones. 135 2.20.2. Relaciones de afinidad en una figura plana. 137 2.20.3. Proyecciones de un tringulo equiltero 138 2.20.4. PreyeeeieRes ae HIla eireHllfereReia. 141

    2.21. Poliedros 146 2.21.1. Representacin 146 2.21.2. Prisma. 148

    2.21.2.1. SeeeieRes pl8flas 151 2.21.2.2. IRterseeeiR ae reeta)' prisma. 156 2.21.2.3. Desarrelle 159

    2.21.3. Pirmide. 164 2.21.3.1. SeeeieRes pl8flas 167 2.21.3.2. IRterseeeiR ae reeta y pirmiae. 172 2.21.3.3. Desarrelle 175

    2.21.4. Pelieares regulares eeRvexes. 179 2.21.4.1. Tetraeare 1 g 1 2.2l.4 .2. Oetaeare 184 2.2l.4.3. CHIle 187 2.2l.4.4.Ieesaeare 192 2.2l.4.5. Deaeeaeare 198

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    J

    1

    1. INTRODUCCION

    La Geometra Descriptiva tiene por objeto representar sobre un plano cuerpos, figuras u objetos del espacio empleando proyecciones centrales o proyecciones paralelas.

    Los objetos se observan desde una distancia finita, y es por ello que se obtiene una representacin mas natural de los mismos con ayuda de una proyeccin central, pero la relativa facilidad de construccin que tienen las proye~ciones paralelas, unido a la conservacin de las relaciones dimensionales, explican la amplia utilizacin de Sistemas de Representacin que utilizan estas ltimas proyecciones.

    De los sistemas de representacin basados en proyecciones paralelas, el desarrollado por el matemtico, ingeniero y estadista francs Gaspar Monge (1746 - 1818), dado a conocer en su obra "Geometrie Descriptive" (1799), fue y sigue siendo el mtodo principal para la realizacin de dibujos tcnicos.

    A modo de introduccin del Sistema de Proyeccin Didrica o de Monge, que es el motivo principal de la presente publicacin, en los apartados siguientes se hace una breve descripcin de los diferentes tipos de proyecciones y de los sistemas de representacin ms importantes.

    1.1. Provecciones

    Proyectar un punto A del espacio sobre un plano de proyeccin P es hallar la interseccin, a, de una recta R, que pase por el punto A, con el plano P.

    Para obtener la proyeccin del punto A sobre el plano, Fig.l, es preciso definir la recta R llamada recta o rayo proyectante.

    Figura 1

    a. I I

    p

    , I

    I I

    Figura 2

    o

    p

  • 2

    Un procedimiento consiste en obligar a que dicha recta R pase por un punto fijo y propio, 0, Fig. 2. La proyeccin de A sobre P ser el punto a de interseccin de la recta OA = R con el plano P.

    De la misma forma y sin cambiar de centro de proyeccin 0 , ni de plano de proyeccin P, se pueden obtener las proyecciones de otros puntos del espacio B, e, D, etc .. Un punto D situado en el plano de proyeccin se proyecta en d, coincidente con D. Tres puntos E, F, G, alineados con se proyectan en un mismo punto e=f=g, Fig.3.

    o M .k----o---- mo:>

    Figura 3

    e , , , , , , ,

    p

    nicamente el punto no tiene una proyeccin definida, ya que por pasan infinitas rectas proyectantes, por lo que la proyeccin de puede ser cualquier punto del plano P.

    Si para un punto dado, M, la recta proyectante resulta ser paralela al plano de proyeccin, se considera que la recta y el plano se cortan en un punto impropio. El punto M tendr su proyeccin en un punto del plano P infinitamente alejado, m.,.

    Dados un plano de proyeccin P y un centro de proyeccin 0, Fig. 2, se puede hallar la proyeccin a de un punto cualquiera del espacio A, pero conociendo la proyeccin a no se puede determinar la posicin del punto A en el espacio, puesto que cualquier punto de la recta proyectante OA se proyecta en a.

    La proyeccin r de una recta R se obtiene proyectando dos cualesquiera de sus puntos A y B, hallando sus proyecciones a y b, y unindolas, Fig. 4. Las rectas proyectantes OA y OB definen un plano Q, plano proyectante, cuya interseccin con el plano de proyeccin P es la recta r, proyeccin de R.

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    3

    o

    Q

    p p

    b

    a

    Figura 4 Figura 5

    La proyeccin de una lnea MINI se obtiene proyectando una serie de sus puntos, Fig. 5. Las rectas proyectantes OM, ..... , ONI forman una superficie proyectante o cnica, cuya interseccin con el plano de proyeccin es la lnea mn proyeccin de MINI'

    La proyeccin mn de una lnea no determina a la linea que se quiere proyectar MIN, puesto que en la superficie proyectante puede existir todo un conjunto de lneas MiNi que tendran por proyeccin mn.

    En todos los casos anteriores las rectas o rayos proyectantes pasan por un punto fijo y propio O. La proyeccin se denomina central, cnica o perspectiva.

    Si se torna corno centro de proyeccin un punto infinitamente alejado del plano de proyeccin, un punto impropio, los rayos proyectantes son paralelos y la proyeccin se denomina paralela o cilndrica.

    La proyeccin se efectuar mediante rectas paralelas a una direccin dada s, hallando los puntos de interseccin con el plano de proyeccin. En el caso de la Fig. 6 la proyeccin es oblicua con relacin la plano de proyeccin. Si la direccin de proyeccin definida por la recta s es perpendicular al plano de proyeccin, Fig. 7, la proyeccin que se obtiene se denomina ortogonal.

  • 4

    A

    p

    Figura 6 Figura 7

    1.2. Sistemas de representacion

    Sistemas de representacin son los diferentes mtodos que se utilizan en Geometra Descriptiva para representar o dibujar sobre un plano cualquier figura del espacio.

    Al pasar del espacio tridimensional al plano del dibujo bidimensional se pierde una dimensin. Adems deber conseguirse que cada punto del espacio tenga un solo punto de representacin en el plano y que cada punto del plano sea proyeccin de un nico punto del espacio, es decir que debe establecerse una correspondencia biunvoca e inequvoca entre puntos del espacio y puntos del plano.

    La manera de conseguir dicha representacin sobre un plano es utilizando proyecciones, centrales o paralelas, sujetas a detenninadas normas, propias de cada sistema de representacin.

    Los principales sistemas de representacin agrupados por el tipo de proyeccin en que se basan son los que aparecen reflejados en el Cuadro 1. En los apartados siguientes se indican los fundamentos de cada uno de ellos.

    CUADRO 1. SISTEMAS DE REPRESENTACION

    PROYECCION .. , . , :. :':i: : : ':." .\ :.,: .. X .. .. -:'., .... ,.

    PARALELA O CILINDRlCA CENTRAL

    ORTOGONAL OBLICUA

    Didrico Perspectiva Caballera Perspectiva Cnica

    Axonomtrico Axonomtrico Perspectiva Estereogrfica

    Planos Acotados Proyeccin Gnomnica

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    :1

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    5

    1.2.1. Sistema Didrico

    Es una doble proyeccin cilndrica ortogonal de los objetos sobre dos planos perpendiculares, uno horizontal y otro vertical, que se cortan segn una recta denominada lnea de tierra, Fig. 8.

    ~ ""'~ O'

    el. _-...cr---,

    l I

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    (o')

    , ,

    ALEJAbllEHTO

    o

    L _ _____ .jL-__ ---, __ .J PLANO HORIZONTAL Pl ANO OEL CUADRO

    Figura 8

    COTA

    ALEJAMIENTO

    ...-_0' 1 , , , , ,

    PAPEL DEL DIBUJO

    Figura 9

    L DE TIERRA

    Un punto cualquiera del espacio A queda representado por su proyeccin sobre el plano horizontal a y por su proyeccin sobre el plano vertical a'.

    Se considera al plano horizontal como plano del dibujo o plano del cuadro. Como la proyeccin vertical a' est situada en un plano perpendicular al plano del dibujo, se hace un abatimiento o giro del plano vertical alrededor de la lnea de tierra hasta hacerlo coincidir con el plano horizontal.

    Sobre el plano del dibujo, Fig. 9, el punto A del espacio quedar representado por a' y por a. La distancia de a' a la lnea de tierra se denomina cota y la distancia de a a la lnea de tierra alejamiento.

    En la Fig. 10 se ha representado un cubo ABCDEFGH en el espacio con sus caras paralelas a los planos de proyeccin y sus proyecciones didricas. En proyeccin vertical las caras ABFE y DCGH aparecen superpuestas, en proyeccin horizontal las caras que se superponen son ABCD y EFGH.

  • 6

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    0 1 'f.b

    hoL---.-..J e'9

    Figura 10

    1.2.2. Sistema Axonomtrico

    Es una proyeccin cilndrica, ortogonal u oblicua, de los objetos sobre un plano cualquiera denomina plano del cuadro,

    Un punto A' del espacio, junto con el sistema de ejes coordenados rectangulares O'X'y'Z' a los cuales est referido, se proyectan paralelamente a una direccin determinada D, sobre el plano del dibujo o plano del cuadro, Fig, 11.

    Figura 11

    I I I I

    Z'

    "-, , , , , , , ---- -1 0 ,

    'b--_____ _ a'

    I x'

  • )

    :..,.

    ;,

    7

    Sobre el papel del dibujo se tendr: la proyeccin del origen de coordenadas O; las proyecciones de los ejes X, Y, Z; el punto A perspectiva directa del punto del espacio A'; y las perspectivas a" a2, a. de los puntos a'" a'2' a'3' respectivamente, que definan la posicin del punto A' en el espacio.

    Si el plano del cuadro corta a los ejes en tres puntos M, N, P, tales que O'M =O'N =O'P, y la direccin de proyeccin D es perpendicular al plano del cuadro, Fig. 12, la proyeccin se denomina Isomtrica, los ejes Ox, OY y OZ, en el papel del dibujo, se cortarn formando entre si ngulos de 120.

    H

    Figura U

    Los ejes OX', OY', OZ', en el espacio estaban graduados en unidades de dibujo (U.D.), al hacer la proyeccin sobre el plano del cuadro la graduacin sobre los ejes Ox, OY, OZ resulta ser de magnitud ms pequea, vindose afectada de un coeficiente de reduccin igual a vTT3 pues, para el dibujo directo sobre el papel del dibujo, las unidades que se miden sobre los ejes OX, OY, OZ son vTT3 x (U.D.).

    La Fig. 13 es la perspectiva isomtrica de un cubo A'B'C'D'E'F'G'H' que tiene las caras paralelas a los planos coordenados. ABCDEFGH es la perspectiva directa del cubo, y los tres rombos R, R2, R3, son las perspectivas de las proyecciones del cubo sobre los planos coordenados X'OY', X'O'Z' e Y'O'Z'.

  • ". E

    y

    o

    0: , , , ,

    : ' ,

    , R 1

    " , ,

    Figura 13

    1.2.3. Sistema de Perspectiva Caballera

    8

    . '

    .'

    x

    Es una proyeccin cilndrica oblicua de los objetos sobre uno de los planos del triedro de referencia O'X'Y'Z', generalmente el plano definido por los ejes O'X' y O'Z', Fig. 14.

    y'

    M'

    ----- - - --?ra;

    ,.LANO DEL CUADRO

    , I I

    Figura 14

    6 ft ADUACION: Z

    Oe:l-U.D. N oe. . U. D.

    2 OP'T(U. D. )

    x

  • , J '. }

    :' . .;'

    " )

    )

    9

    Sobre el plano del cuadro o papel del dibujo, los ejes OX y OZ, coincidentes respectivamente con O'X' y O'Z', son perpendiculares. La posicin del tercer eje OY depender de la direccin de proyeccin D, que queda definida mediante los ngulos o: y B.

    El ngulo B suele ser generalmente igual a 135, y el ngulo 0:, que el rayo proyectante forma con el plano del dibujo, suele ser mayor de 45, para que las magnitudes paralelas al eje OY resulten reducidas en lugar de ampliadas, a fin de que el dibujo resultante no tenga un aspecto excesivamente deformado.

    El valor de o: se suele expresar en forma numrica de arco cotangente de un ngulo, pues as, con multiplicar por l las dimensiones reales, se tendrn las dimensiones proyectadas. Un valor habitual suele ser

    = are cotg ~

    En estas condiciones los ejes OX y OZ del papel del dibujo estarn graduados en U.D., y el eje OY, bisectriz del ngulo de 90 que forman los ejes OX y OZ, estar graduado en 2/3 x (U.D.).

    La Fig. 15 es la perspectiva caballera de un cubo A'B'C'D'E'F'G'H' que tiene las caras paralelas a los planos coordenados. ABCDEFGH es la perspectiva directa del cubo, el paralelogramo S, es la perspectiva de la proyeccin del cubo sobre el plano coordenado X'O'Y', el cuadrado S2 es la perspectiva de la proyeccin del cubo sobre el plano coordenado X'O'Z', y el paralelogramo 83 es la perspectiva de la proyeccin del cubo sobre el plano coordenado Y'O'Z'.

    z l .... e o" e ., /

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    s, ,G

    ............ ............ E __ .,--......!lHi.!"

    y/ ",,--Vi------.J0!----7 s, ' x

    Figura 15

  • 10

    1.2.4. Sistema de Planos Acotados

    Es una proyeccin cilndrica ortogonal de los objetos sobre un plano horizontal denominado plano de comparacin.

    Al carecer de la nocin de relieve en sentido perpendicular al plano de comparacin, las proyecciones de los puntos se complementan con unos nmeros o cotas, cuyo valor depende de la altura a que estn situados sobre el plano horizontal, Fig. 16.

    P LANO DE t'OftlPtAffACJON '1

    B(O) o lu.D. B" B t o

    lu.D.

    ~ A

    A(3 ) o

    C(- 2 ) o

    I

    t )("x x

    Oc' I'APEL DEL DISUJO

    Figura 16

    Este sistema de representacin es el que ms se utili2a para la representacin de superficies topogrficas y para la resolucin de problemas relativos a obras pblicas y minera a cielo abierto.

    En la Fig. 17 se ha representado un cubo A'B'C'D'E'F'G'K' en el espacio y su proyeccin sobre el plano de comparacin con las caras ABCD y EFGK superpuestas, la primera a cota H + h y la segunda a cota H.

    e'

    __ -. _____ A~'------~

    1 i

    hj F (H) G (H)

    8 (II." h...) _______ 0"",'" .h) G' . ,

    k(H)

    D (Hth 1

    Figura 17

  • )

    J

    11

    1.2.5. Sistema de Perspectiva Cnica

    Es una proyeccin central de los objetos sobre un plano denominado plano del cuadro.

    El centro de proyeccin V se denomina punto de vista y representa al observador. El plano del cuadro es vertical y est situado por encima de un plano horizontal llamado plano geometral, Fig. 18.

    L.M. y ' LINEA DEL HORI ZONTE

    o'

    L.INEA DE

    TiERRA

    (o,

    / _____ .-.:~-7I''--+--....,..---/PLANO - I GEONETRAL , \ , ,

    --' (o \

    Figura 18

    La perspectiva cnica del punto A del espacio es el punto Al de interseccin del rayo proyectante AV con el plano del cuadro.

    La representacin sobre el plano del dibujo se consigue abatiendo el plano geometral sobre el plano del cuadro. En el papel del dibujo se tendr la recta de interseccin de ambos planos o lnea de tierra, las proyecciones sobre el plano del cuadro y el plano geometral de V, v'-(v), y de A, a'-(a), y la perspectiva cnica Al del punto del espacio.

    La Fig. 19 representa un cubo ABCDEFGH con dos caras paralelas al plano del cuadro y dos caras paralelas al plano geometral. La perspectiva cnica del cubo sobre el papel del dibujo, es la de la parte derecha de la figura.

  • e

    AF----"('

    I

    I I

    12

    o b /l ~

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    h 9

    ~- ------------ 1-J__-~ ~------

    / 1 / 1

    . _A

    Figura 19

    1.2.6. Sistema de Proyeccin Estereogrfica

    Es una proyeccin cnica de puntos y lneas situados sobre la superficie de una esfera tomando como centro de proyeccin un punto V de la superficie esfrica y como plano de proyeccin un plano P que pasa por el centro O de la esfera y es perpendicular al radio OVo

    La proyeccin estereogrfica de un punto A' de la superficie esfrica es el punto A situado en la interseccin del rayo proyectante A'V con el plano diametral P, Fig. 20.

  • o ""

    0-' ~

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    00

    ~'.

    13

    v ,

    r--"L--~l-t- _o - - --~ ____ p_"

    '---:'1------, ' . ., , ,/ lo -.

    .~ . - . __o- . - . _ .

    A5 I

    Figura 20

    Es un sistema de representacin que encuentra gran aplicacin en Cartografa, Mecnica de Rocas, Cristalografa y Geologa Estructural. Las rectas y planos del espacio se trasladan paralelamente a s mismos hasta que pasen por el centro O de la esfera y corten a la superficie esfrica en puntos o segn circunferencias, posteriormente se halla la proyeccin estereogrfica de esos puntos o circunferencias.

    1.2.7. Sistema de Proyeccin Gnomnica

    Es una proyeccin cnica de puntos y lneas situados sobre la superficie de una esfera utilizando corno centro de proyeccin el centro de la esfera y corno plano de proyeccin un plano tangente a la esfera, Fig. 21.

    f , '1

    I I

    _-----1-------- , , ,

    P DE VISTA

    \ /./iv

    .,--__ -\ ____ ::: __ '?,-S __ ~+-~"""--:-;:- -- ---1--------7 ... 0..

    PLANO DE L __________________ -" PROYECCION

    Figura 21

    Este sistema de representacin tiene su mayor aplicacin en Cartografa y en Astronoma.

  • 14

    2. PROYECCION DIEDRICA

    2.1. Introduccion

    La proyeccin didrica o sistema de representacin didrico es una doble proyeccin cilndrica ortogonal de los objetos sobre dos planos perpendiculares, uno horizontal H y otro vertical V que se cortan segn una recta denominada lnea de tierra, Fig. 22 .

    v ALEJ YIENTO

    _-o' ______________ A~7":.,-

    / ,

    " , .. ----- --------------(a') ti Q

    0-- --- ------~ lo) , , H

    Figura 22

    =

    o ~ ,

    Figura 23

    , c')

    ~ , , , , , ,

    o

    L.T:

    Un punto cualquiera del espacio A queda definido por su proyeccin sobre el plano horizontal a y por su proyeccin sobre el plano vertical a'.

    Se considera al plano horizontal H como plano del dibujo o plano del cuadro_ Como la proyeccin sobre el plano vertical a' est situada en un plano perpendicular al plano del dibujo, se hace un abatimiento o giro del plano vertical alrededor de la lnea de tierra hasta hacerlo coincidir con el plano horizontal H.

    Sobre el plano del dibujo, Fig_ 23, el punto A del espacio est representado por (a') y por a. La distancia de (a') a la lnea de tierra se denomina cota y la distancia de a a la lnea de tierra se denomina alejamiento.

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    :-_, .j

    )

    15

    El punto A del espacio desaparece, pero se puede restituir, ser suficiente deshacer el abatimiento, levantar por a una perpendicular al plano H y por a' una perpendicular al plano V para obtener el punto original A en la interseccin de ambas perpendiculares, demostrando as la reversibilidad de este sistema de representacin.

    El plano horizontal H y el plano vertical V se suponen ilimitados y dividen el espacio en cuatro regiones llamadas Primero, Segundo, Tercero y Cuarto Cuadrantes o diedros, Fig. 24.

    La persona que observa el objeto que se quiere representar se supone que est situada en el Primer Cuadrante. Como se trata de una doble proyeccin ortogonal, el efecto es como si el observador mirase al objeto desde el infinito, suponiendo que se encuentra infinitamente alejado del plano vertical de proyeccin para las proyecciones sobre dicho plano, e infinitamente alejado del plano horizontal de proyeccin para las proyecciones sobre el plano horizontal.

    CUADRANTE 2'9

    I ,

    CUADRANTE ~

    ----0,4 , , , ,

    b (c')- ----- ---i H r-------- --. --""9(t{) , .

    CUADRANTE 3'R

    --...._ ... . '

    Figura 24

    QJADRANTE 42

    Los planos de proyeccin V y H se suponen opacos, por lo cual los objetos situados en los cuadrantes 2, 3 Y 4 son ocultos para el observador y al dibujarlos sobre el papel del dibujo se representarn de trazos para diferenciarlos de los objetos situados en el Primer Cuadrante que se dibujarn de trazo continuo.

    En lo sucesivo, para simplificar los dibujos, la proyeccin vertical de un punto cualquiera se representar con una letra minscula acentuada y sin parntesis. Volviendo a la Fig. 23, la proyeccin vertical (a') del punto A pasar a ser a', y la proyeccin vertical (b') del punto b pasar a ser b', conservando para las proyecciones horizontales a y b las mismas notaciones.

  • 16

    2.2. Representacin de puntos

    Los puntos -del espacio, tales como A y B de la Fig. 25, se considera que estn referidos a un sistema de ejes coordenados rectangulares O'X'Y'Z'.

    Las proyecciones horizontales y verticales vienen definidas por tres coordenadas (x, y, z) rferidas al origen O situado sobre la lnea de tierra, prximo al borde izquierdo del papel del dibujo.

    z

    ALEJ MIENTO

    , I , .. ----

    ",,--- -----

    (a') ti , 9'- . -----.... (.) ! 01 I I

    H

    Figura 25

    z

    y

    o

    .'

    x

    PAPEL DEL DIBUJO

    .' ~ ,

    o

    L.T .

    x es la abscisa. Se mide sobre la lnea de tierra y es siempre positiva,

    y es el alejamiento del plano vertical y determina la posicin de la proyeccin horizontal del punto. Se mide en direccin perpendicular a la lnea de tierra, con valores positivos hacia el borde inferior del papel y negativos hacia el borde superior del papel.

    z es la cota o distancia al plano horizontal y determina la posicin de la proyeccin vertical del punto. Se mide en direccin perpendicular a la lnea 9Y'tierra, con valores positivos por encima de la lnea de tierra y ?""m, po< d,b.jo d, ,no

  • J "

    ;;

    17

    En la figura anterior el punto A tiene mayor abscisa que el punto B, ambas son positivas. El punto A, situado en el primer cuadrante, tiene alejamiento positivo, la proyeccin horizontal a est situada por debajo de la lnea de tierra, y cota tambin positiva, la proyeccin vertical a' est situada por encima de la lnea de tierra.

    El punto B, situado en el tercer cuadrante, tiene alejamiento negativo, con respecto al observador que est situado en el primer cuadrante est situado por detrs del plano vertical de proyeccin, y su proyeccin horizontal b est situada por encima de la lnea de tierra, segn el sentido de los valores negativos de y. La cota del punto B tambin es negativa, el punto est situado por debajo del plano horizontal de proyeccin, su proyeccin vertical b' est situada por debajo de la lnea de tierra, segn el sentido de los valores negativos de z.

    2.2.1. Posiciones relativas de un punto

    Los planos de proyeccin V y H dividen el espacio en cuatro regiones, cuadrantes o diedros. Dependiendo del cuadrante en que se halle ubicado un punto, las cotas y alejamientos tienen los siguientes signos:

    CUADRANTE COTA ALEJAMIENTO

    1 + +

    2 + -

    3 - -4 - +

    Los planos bisectores de esos diedros dividen el espacio en ocho diedros de 45". El plano bisector del primero y tercer cuadrantes se llama primer bisector y el plano bisector del segundo y cuarto cuadrantes se llama segundo bisector, Fig. 26.

    Figura 26

  • 18

    Los puntos situados en los planos de proyeccin o en los planos bisectores tienen las siguientes particularidades:

    ,:,,'" ' , . ' PLANO . COTA .:.' .. ' ALEJAMIENl'O

    , Horizontal cero cualquiera

    Vertical cualquiera cero

    1~ Bisector iguales y del mismo signo

    2 Bisector iguales y de signo contrario

    v v

    o-o r , ~ , (' t" / - ''yA '-/ ~ 5 4 i' '~ , " ':$" 1': I.~ ~ , / I " l . ' ,/ : lb') , / H , H

    (o') , , Q , o / >! / " o / .i.'r:--- - " "-

    /' e- / 11 15

    C4~ "- / 1Z ,. "-l'

    Figura 27

    En la Fig. 27 se han dibujado dos secciones de los planos de proyeccin y de los planos bisectores por planos' perpendiculares a la lnea de tierra. La de la parte izquierda contiene dos puntos A y B Y sus correspondientes proyecciones, y en la de la parte derecha se ha representado una serie de puntos numerados del 1 al 17.

    Haciendo abstraccin de las abscisas respectivas de esos 17 puntos, en la Fig. 28 se han representado sus proyecciones horizontales y verticales, y se ha indicado el cuadrante a que pertenecen,

    CUADRANTE 12 CUADRANTE z2 CUADRANTE 32 CUADRANTE 42

    .' q4' 5' 191 ' ?" 9" 10 11 t q *'

    q 9 : o , , : 12 y , , , o o , o 9 o I o ~.' i rz' ,

    o

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    o

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    o o ; o o : o , I ~16' , o , o , ~14 o , , I b. lo o o , , o , o o o I ~ "O o , , , lS s' o o b A 014' 016 o 2 n' 12'

    1

    Figura 28

    '7 lr

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    J

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    )

    19

    2.3. Representacin de rectas

    Las proyecciones de una recta R se obtienen proyectando dos puntos cualesquiera de ella, A y B, Fig. 29. Uniendo las proyecciones de esos puntos sobre el plano vertical, a' y b', se obtiene la proyeccin vertical r' de la recta, y uniendo las proyecciones de los dos puntos sobre el plano horizontal, a y b, se obtiene la proyeccin horizontal r de la recta, Fig.30.

    v v v'

    H H

    Figura 29

    v'

    I , , , , , I

    v' P

    r

    r'

    Figura 30

    Las proyecciones r y r' definen completamente la posicin de la recta R en el espacio. Basta trazar por r un plano P perpendicular al plano H y por r' un plano Q perpendicular al plano V para obtener R corno recta de interseccin de esos dos planos, Fig. 29.

    Dos puntos importantes de una recta son sus trazas o puntos de interseccin con los planos de proyeccin. La interseccin de la recta con el .plano horizontal es un punto H, de proyecciones h-h', con cota 0, y la interseccin de la recta con el plano vertical es un punto V, de proyecciones v-v, con alejamiento O.

    Si se conocen las proyecciones r' -r de una recta, Fig. 30, y se quieren hallar sus trazas, la forma de proceder sera la siguiente:

    Traza horizontal: Observar la proyeccin vertical r', seguirla hasta que encuentre a la lnea de tierra en un punto que ser acentuado h', por ese punto dibujar una perpendicular a la lnea de tierra hasta que corte a la proyeccin horizontal r en un punto que ser sin acentuar h. El punto h-h' es la traza de la recta con el plano horizontal de proyeccin.

  • 20

    Traza vertical: Observar la proyeccin horizontal r, seguirla hasta que encuentre a la lnea de tierra en un punto que ser sin acentuar v, desde ah dibujar una perpendicular a la lnea de tierra hasta cortar a la proyeccin vertical r' en un punto que ser acentuado v'. El punto v'-v es la traza de la recta con el plano vertical de proyeccin.

    La recta representada en la Fig. 30 tiene la parte comprendida entre trazas en el primer cuadrante. A partir de h-h' y hacia la derecha, la recta pasa al cuarto cuadrante, sus puntos tienen cota negativa y alejamiento positivo; las dos proyecciones estn por debajo de la lnea de tierra y se dibujan de trazos u ocultas.

    Desde v'-v y hacia la izquierda la recta se encuentra en el segundo cuadrante, sus puntos tienen cota positiva y alejamiento negativo; las dos proyecciones estn por encima de la lnea de tierra y se dibujan de trazas u ocultas.

    Otros puntos notables de una recta son los de interseccin con los planos bisectores, Fig. 31.

    v

    ,,/ "1l15ECTOR

    ---

    h

    Figura 31

    Al dibujar la simtrica de una de las proyecciones con respecto a la lnea de tierra, (en la figura la simtrica de la proyeccin horizontal r), se obtiene un punto m'-m sobre las proyecciones de la recta, que por construccin tiene igual cota que alejamiento. Es el punto de interseccin de la recta con el primer plano bisector, al que corta en el primer cuadrante.

    Si se prolongan las proyecciones de la recta hasta que se corten en un punto n' -o, de igual cota que alejamiento en valores absolutos, ese punto es el de interseccin de la recta con el segundo plano bisector, al que corta en el segundo cuadrante, pues las dos proyecciones n' y n estn por encima de la lnea de tierra.

    H

  • '.

    )

    " J

    )

    .J ) ')

    :;; )

    21

    En la Fig. 32 se ha r9presentado un punto a'-a en el segundo cuadrante, por a' se ha

    " ',e v' 1, p, I ' .... h / 1 : '" , ' I '1"', a' " I I t .... , ~ 1 : I .... /l' I I I ',/ I : I I " .... t I I I ;' '...la I I I ,,'T'.... 1 I " ,"'" I I 1/ 1 "', I IVI ...J.V

    , 7{ ~' I , b ,,, ~ r , ,

    Figura 32

    Las trazas de la recta r' -r con los planos de proyeccin se hallan de igual manera que se ha hecho anteriormente: Se sigue la proyeccin vertical r' hasta encontrar a la lnea de tierra en h', cuya proyeccin horizontal, situada sobre r, es h. Se sigue la proyeccin horizontal r hasta encontrar a la lnea de tierra en v, cuya proyeccin vertical, sobre r', es v'.

    Entre trazas la recta est situada en el segundo cuadrante, al igual que el punto a' -a. A la derecha de v'-v la recta se encuentra en el primer cuadrante, un punto tal como b'-b tiene la proyeccin acentuada por encima de la lnea de tierra y la proyeccin sin acentuar por debajo, es decir cota y alejamiento positivos. A la izquierda de h' -h la recta se encuentra en el tercer cuadrante, un punto como el c' -c tiene la proyeccin acentuada por debajo de la lnea de tierra y la proyeccin sin acentuar por encima, cota y alejamientos negativos.

    La recta R en el espacio es como la representada en la Fig. 33, con la parte comprendida entre trazas en el segundo cuadrante, oculta para el obserVador situado en el primer cuadrante, y por ello se dibuja en didrica de trazos. A la derecha de su traza vertical, v' -v, la recta se encuentra en el primer cuadrante, es vista para el observador y por ello se dibuja en la Fig. 32 de trazo continuo desde v' -v hacia la derecha. A la izquierda de su traza horizontal h' -h la recta est situada en el tercer cuadrante, oculta para el observador, y se representa en didrica de trazos a la izquierda de h' -h.

  • 22

    v

    ,0

    Figura 33

    De fonna anloga se procedera para hallar las trazas y las partes vistas y ocultas de una recta S con su porcin entre trazas situada en el tercer cuadrante, Fig. 34, Y de una recta T con su porcin entre trazas situada en el cuarto cuadrante, Fig. 35.

    v H

    h' ............. I ..... __ I

    s'- ---. : - .......... v -

    Figura 34

  • )

    , j

    ')

    )

    J )

    )

    )

    23

    v

    /

    Figura 35

    2.4. Rectas en posiciones particulares

    En el apartado anterior se ha visto la forma de hallar las trazas y de distinguir partes vistas y ocultas de una recta cualquiera con su porcin entre trazas en el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes.

    A continuacin se va a comentar como son las proyecciones de rectas que ocupan posiciones particulares con respecto a los planos de proyeccin V y H. En todos los apartados se estudiar el caso ms general, la parte de la recta situada en el primer cuadrante, con excepcin de las rectas contenidas o paralelas al segundo plano bisector y de las rectas de perfil, que son las que presentan mayor dificultad de representacin.

    2.4.1. Rectas horizontales

    Son rectas paralelas al plano horizontal de proyeccin.

    Todos los puntos de una recta horizontal tienen la misma cota, por lo que la proyeccin vertical r' es paralela a la lnea de tierra, Fig. 36. Por ser paralelas al plano H slo tienen traza con el plano vertical, v' -v.

  • 24

    v

    .' " v' r' R

    H

    Figura 36

    2.4.2. Rectas frontales

    Son rectas paralelas al plano vertical de proyeccin,

    Todos los puntos de una recta frontal tienen el mismo alejamiento del plano V, por lo que la proyeccin horizontal r es paralela a la lnea de tierra, Fig. 37.

    Por ser paralelas al plano V slo tienen traza con el plano horizontal, h-h',

    .' I , , , , , , : ' , ,

    ~ r .

    Figura 37

    2.4.3. Rectas verticales

    Son rectas perpendiculares al plano horizontal de proyeccin.

    La proyeccin vertical r' es perpendicular a la lnea de tierra. La proyeccin horizontal r queda reducida a un solo punto h, todos los puntos de la recta tienen la proyeccin horizontal coincidiendo con h, Fig. 38.

  • , -.

    )

    J )

    ,o; .

    . jo

    25

    , , v

    ,1, , ,

    , , " , R r(

    , , o o , o .; PI: r

    Figura 38

    Como las rectas frontales tambin son paralelas al plano V solo tienen traza con el plano horizontal, h-h' ,

    2.4.4. Rectas de punta

    Son rectas perpendiculares al plano vertical de proyeccin.

    La proyeccin horizontal r es perpendicular a la lnea de tierra. la proyeccin vertical rO queda reducida a un solo punto v', todos los puntos de la recta tienen su proyeccin vertical coincidiendo con v', Fig. 39.

    Como las rectas de punta tambin son paralelas al plano H slo tienen traza con el plano V, v'-v.

    v e .' , el"

    R , I

    J H

    Figura 39

    2.4.5. Rectas en el plano horizontal de proyeccin

    Los puntos de las rectas contenidas en el plano H tienen cota 0, por lo que la proyeccin vertical r' coincide con la lnea de tierra, Fig. 40.

    El punto de interseccin con el plano V, v' -v, est en la lnea de tierra.

  • 26

    v

    v-v ,.

    R

    H

    Figura 40

    2.4.6. Rectas en el plano vertical de proyeccin

    Los puntos de las rectas conterudas en el plano V tienen alojamiento 0, por lo que la proyeccin horizontal r coincide con la lnea de tierra, Fig. 41.

    El punto de interseccin con el plano H, h-h', est en la lnea de tierra.

    v

    ft-n r

    H

    Figura 41

    2.4.7. Rectas paralelas a la lnea de tierra

    Son rectas paralelas a los planos H y V, por lo que sus puntos tienen cota constante y alejamiento tambin constante, Fig. 42.

    La proyeccin vertical r' y la proyeccin horizontal r son paralelas a la lnea de tierra.

    ---,-'-' --/1 ~- . /: /'

    .,:.." --"-, _-"R __ "'!,"

    v "

    . . ' : ,/' ... k'_' __ .,-__ "":./ H

    Figura 42

    /

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    )

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    )

    )

    )

    \

    27

    2.4.8. Rectas contenidas en el primer bisector

    La proyeccin vertical r' y la proyeccin horizontal r de una recta contenida en el primer plano bisector son simtricas respecto a la lnea de tierra. Fig.43.

    Cada punto de la recta tiene igual cota que alejamiento. Las trazas con el plano H y con el plano V estn en la lnea de tierra.

    v

    11\1' , .. H

    Figura 43

    2.4.9. Rectas paralelas al primer bisector

    La proyeccin horizontal y la proyeccin vertical de las rectas paralelas al primer plano bisector forman el mismo ngulo con la lnea de tierra, Fig. 44.

    h~ / 1...... ", I .............. I I ............. I I "" ...... I

    h' , v,

    Figura 44

  • 28

    Las rectas r' -r y s' -s son paralelas al primer bisector, la primera est situada por encima del bisector y la segunda por debajo de l.

    Sus proyecciones verticales y horizontales forman ngulos iguales con la lnea de tierra, y al trazar la simtrica de una de las proyecciones con respecto a la lnea de tierra resulta ser paralela a la otra proyeccin, por lo que no tienen punto comunes de interseccin con el primer bisector.

    2.4.10. Rectas contenidas en el segundo bisector

    Las rectas contenidas en el segundo plano bisector tienen sus proyecciones vertical r' y horizontal r superpuestas, Fig. 45.

    Figura 45

    /' /'

    7h-h !

    Cada punto de la recta r' -r tiene igual cota que alejamiento pero de signos opuestos por estar en el segundo o cuarto cuadrantes. Las trazas con los planos H y V estn en la lnea de tierra.

    2.4.11. Rectas paralelas al segundo bisector

    Las rectas paralelas al segundo plano bisector tienen su proyeccin horizontal y vertical paralelas, Fig.46.

    La recta r' -r es una recta paralela al segundo plano bisector con su porcin entre trazas situada en el primer cuadrante. La proyeccin horizontal r y la proyeccin vertical r' son paralelas por lo que no puede haber ningn punto que tenga sus proyecciones confundidas.

  • )

    , .; ., , , .'

    )

    11', " " '2

    Figura 46

    ",'"

    ./ "2 ./ /

    ./ , .,; , '" I

    '" I ./ ./

    29

    La recta s' -s es paralela al segundo plano bisector y tiene su porcin entre trazas situada en el tercer cuadrante.

    2.4.12. Rectas de perfil

    Son rectas contenidas en planos de perfil, es decir en planos perpendiculares a la lnea de tierra.

    Las proyecciones vertical r' y horizontal r son coincidentes y perpendiculares a la lnea de tierra, Fig.47,

    , , ',(R) ,

    . "

    v

    __ ___ (A)

    " , , - , - , -(o) ',(h )

    (H)

    "

    v ti

    h

    Figura 47

    v

    , , \

    \(R) \

    rt - - -l;I!A) 1\ , \

  • 30

    Conocidas las trazas y las proyecciones de una recta de perfil, si se quiere situar sobre ella las proyecciones de un punto A es necesario abatir la recta sobre uno de los planos de proyeccin.

    El abatimiento se suele hacer sobre el plano vertical de proyeccin, girando el plano de perfil y la recta contenida en l un ngulo de 90 alrededor del eje vertical v' -h', intersec-cin del plano de perfil con el plano V. En la Fig. 47 se ha hecho el giro en sentido contrario al de las agujas del reloj.

    El punto H de interseccin de la recta R con el plano horizontal describe un arco de circunferencia de centro h' y radio h'-h, alejamiento del punto H, hasta situarse sobre la lnea de tierra en (h).

    El punto V de interseccin de la recta con el plano vertical, por estar en el eje de giro no se desplaza. La recta abatida (R) se obtiene uniendo v' con (h).

    El punto A en el espacio describe un arco de circunferencia de centro a', proyeccin vertical del punto, radio a'A (alejamiento del punto A), hasta situarse en (A) sobre (R).

    La proyeccin vertical a' por estar en el eje de giro tampoco se desplaza, la proyeccin horizontal a describe un arco de circunferencia de centro h' y radio el alejamiento de a, hasta situarse en (a), pie de la perpendicular trazada por (A) a la lnea de tierra.

    El procedimiento para abatir una recta de perfil conocidas sus trazas, h-h' y v' -v, sera el siguiente, Fig. 48.

    I \ I

    \ \ . I . I v v' v'

    (R)

    \ \ \ Q' -"'*') _~A) a , --'1\) a

    I . I . . I \(R) \~R) b' (B) _L_ 'ea) \(h) h' ) \. (h) I h' (a) h' (a) (b) . (h)

    v v v , I , , I I

    ," , \. I \ /'~ I I

    \ I I / I a ~ I a I a ., I I \ / / ji / ..... "'/ ,/ , , b - /

    / / /

    ,'~ h " /

    h ,

    h

    Figura 48 Figura 49 Figura 50

  • .j

    , ;

    31

    1.- Con centro en h' y radio h-h' se describe un arco en sentido contrario al de las agujas del reloj hasta cortar a la lnea de tierra en (h).

    22.- Se une (h) con v' y se obtiene la recta abatida (R).

    Si se conoce la proyeccin horizontal a del punto A, Fig. 48, Y se quiere hallar la proyeccin vertical a', habra que describir un arco de centro h' y radio h'-a en sentido contrario al de las agujas del reloj hasta cortar a la lnea de tierra en (a). Desde aqu se traza una perpendicular a la lnea de tierra hasta cortar a (R) en (A) y por (A) se traza una paralela a la lnea de tierra hasta cortar a la proyeccin vertical de la recta v' -h' en a', proyeccin vertical del punto A.

    Si la proyeccin conocida es a' y se quiere hallar la proyeccin horizontal a, Fig. 49, habr que dibujar por a' una paralela a la lnea de tierra hasta cortar a (R) en (A). Por (A) dibujar una perpendicular a la lnea de tierra hasta cortarla en (a), y despus trazar un arco de centro en h', radio h'-(a), en el sentido de las agujas del reloj (contrario al de abatimiento) hasta cortar a la proyeccin horizontal de la recta v-h en a, proyeccin horizontal de A.

    Si se conocen las proyecciones de dos puntos, a' -a y b' -b, de una recta de perfil y se quieren determinar las trazas de la recta, el procedimiento a seguir sera el siguiente, Fig. 50:

    12.- Abatir A. Se dibuja un arco de centro en la interseccin de la lnea de tierra con la recta que une las proyecciones de los dos puntos, radio el alejamiento de a, en sentido contrario al de las agujas del reloj hasta cortar a la lnea de tierra en (a). Por (a) se dibuja una perpendicular a la lnea de tierra y por a' una paralela a la lnea de tierra hasta que se corten en (A).

    22 ._ . Abatir B siguiendo pasos anlogos a los anteriores hasta obtener (B).

    32.- Se une (A) con (B) hasta cortar a la lnea de tierra en (h) y a la lnea de referencia de las proyecciones de los . puntos en v', cuya proyeccin horizontal es v en la lnea de tierra. v' -ves la traza vertical de la recta.

    42.- Se dibuja un arco de circunferencia de centro en la nterseccin de la lnea de tierra con las proyecciones de la recta, radio la distancia hasta (h), sobre la lnea de tierra, y sentido el de tas agujas del reloj (para desabatir), hasta cortar a la proyeccin horizontal de la recta a-b en h, cuya proyeccin vertical es h' en la lnea de tierra. h-h' es la traza horizontal de la recta.

    En la Fig. 51 se ha dibujado una recta S de perfil, con su porcin entre trazas situada en el segundo cuadrante, y se ha abatido sobre el plano vertical de proyeccin girando el plano de perfil 90 en sentido contrario al de las agujas del reloj, alrededor del eje vertical v' oh' hasta hacerlo coincidir con el plano V.

  • I I

    /c/.L~ __ ~_9' ----t---,. / Af---./-- e' // /' '1 (SI .I" / -.JL- ~jlv'7--_ _ ___ _ -}"

    ("f.; h' , . I

    , (e)

    .,/

    H

    Figura 51

    32

    h --

    Figura 52

    En la Fig. 52 se ha abatido la recta y se ha hallado la proyeccin vertical e' del punto C, supuestas conocidas las trazas, h-h', v'-v, y la proyeccin horizontal c.

    Con centro en h' y radio h' -h se ha dibujado un arco en sentido contrario al de las agujas del reloj hasta cortar a la lnea de tierra en (h). Se ha unido (h) con v', es la recta abatida (S). Con centro en h' y radio h'-c se ha dibujado otro arco, en el mismo sentido, hasta cortar a la lnea de tierra en (e). Por (c) se ha dibujado una perpendicular a la lnea de tierra hasta cortar a (S) en (C), y desde ese punto se dibujado una paralela a la lnea de tierra hasta cortar a la proyeccin vertical de la recta v' -h' en c', proyeccin vertical del punto C.

    En la Fig. 53 se ha representado una recta de perfil T con su porcin entre trazas en el tercer cuadrante, la recta abatida (T) y las proyecciones de un punto D de la recta.

    En la Fig. 54 se ha dibujado una recta U con su porcin entre trazas en el tercer cuadrante, la recta abatida (U) y las proyecciones de un punto E de la misma.

    En ambos casos el sentido de giro seguido ha sido el contrario al de las agujas del reloj, corno en las Figs. 48 y 52, de forma que la parte anterior del plano de perfil que las contiene se pliegue hacia la derecha.

    Obsrvese las diferencias entre las partes vistas y ocultas de las rectas de perfil representadas en las Figs. 48, 52, 53 Y 54.

    /

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    I I I __ ,,!h

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    c~,\ - -4d' . 1 \1

    . 1

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    Figura 53

    ,

    2.5. Representacin de. planos: Trazas

    y

    1 11 I I ~/, /J

    o,!,.._/ l. .'r---+;,/

    I "".,/ h _-r

    /CU) y'

    /

    Figura 54

    33

    Un plano puede estar definido por tres puntos, por una recta y un punto, por dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan.

    La forma mas habitual de representar un plano en Didrica es mediante dos rectas que se cortan, particularmente cuando esas rectas son las intersecciones del plano con los planos de proyeccin V y H.

    --------" '\..

    Figura 55

  • 34

    En la Fig. 55 se ha dibujado un plano P (transparente) que corta al plano V segn la recta AB y al plano H segn la recta eD. AB y eD son las trazas del plano P son los planos V y H respectivamente, ambas rectas se cortan en un mismo punto E de la lnea de tierra.

    Una vez hecho el abatimiento del plano V sobre el plano H para poder hacer la representacin sobre el papel del dibujo, Fig. 56, la recta AB queda definida por su proyeccin vertical a'-b' y por su proyeccin horizontal a-b, coincidente con la linea de tierra. La recta eD queda definida por su proyeccin vertical c'-d', coincidente con la lnea de tierra, y por su proyeccin horizontal codo Ambas rectas se cortan en el punto e' -e de la lnea de tierra.

    I ",.

    , '" , / Y,

    ,; b

    Figura 56 Figura 57

    , \ ,.~t( <

    Figura 58

    Para simplificar el dibujo, Fig. 57, esas rectas o trazas, exceptuando la lnea de tierra, se nombran con dos letras maysculas iguales, acentuada la traza vertical P', y sin acentuar la traza horizontal P, de trazo continuo en la parte correspondiente al primer cuadrante, contndose en un mismo punto de la lnea de tierra.

    En necesario tener presente que la traza vertical P' es una recta contenida en el plano V, de proyecciones r' -r, con la proyeccin horizontal r coincidente con la lnea de tierra, y que la traza horizontal P es una recta contenida en el plano H, de proyecciones s'-s, con la proyeccin vertical s' coincidente con la lnea de tierra, Fig. 58.

    Un punto situado en la traza vertical P' del plano, Figs. 55 y 56, como A, tiene su proyeccin vertical a' sobre P' y la proyeccin horizontal a en la lnea de tierra. Un punto situado en la traza horizontal P del plano, como e, tiene su proyeccin horizontal c sobre P y la proyeccin vertical c' en la lnea de tierra.

  • o

    j , , )

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    1 ,

    )

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    /

    35

    2.6. Planos en posiciones particulares

    En los apartados siguientes se comentan corno son las trazas de determinados planos que ocupan posiciones particulares con respecto a los planos de proyeccin y que son de uso frecuente.

    2.6.1. Planos horizontales Son planos paralelos al plano horizontal de proyeccin. Solo tienen una traza, P' con el plano V, paralela a la lnea de tierra, Fig. 59.

    v

    p'

    Figura 59

    2.6.2. Planos frontales

    Son planos paralelos al plano vertical de proyeccin. Solo tienen una traza, P con el plano H, paralela a la lnea de tierra, Fig. 60. "

    p

    H

    Figura 60

  • 36

    2.6.3. Planos verticales

    Son planos perpendiculares al plano H. La traza vertical P' es perpendicular a la lnea de tierra, la traza horizontal P puede formar cualquier ngulo con la linea de tierra, Fig. 61.

    H

    VI

    I

    Figura 61

    p'

    p

    Un plano vertical tambin se denomina plano proyectante sobre el plano H, pues cualquier punto del plano tiene su proyeccin horizontal sobre la traza horizontal P.

    2.6.4. Planos de canto

    Son planos perpendiculares al plano V. La traza horizontal P es perpendicular a la lnea de tierra, la traza vertical P' puede formar cualquier ngulo con la linea de tierra, figura 62.

    V

    p'

    H p

    Figura 62

    Un plano de canto tambin se denomina plano proyectante sobre el plano V, pues cualquier punto del plano tiene su proyeccin vertical sobre la traza vertical P'.

  • . :;

    / /

    37

    2.6.5. Planos de perfil

    Son planos perpendiculares a la lnea de tierra. Sus dos trazas P' y P estn en prolongacin y son perpendiculares a la lnea de tierra, Fig. 63.

    v

    p'

    p

    Figura 63

    2.6.6. Planos paralelos a la lnea de tierra

    Las trazas vertical y horizontal son paralelas a la lnea de tierra, Fig. 64.

    p'

    p

    Figura 64

    2.6.7. Planos lnea de tierra-punto

    Los planos que pasan por la lnea de tierra tienen sus trazas confundidas con la propia lnea de tierra, Fig. 65 .

    /

    Figura 65

    r' I I

    I I r

  • 38

    Para dibujarlos se recurre a representar un punto cualquiera del plano, por ejemplo A, ya ambos lados de la lnea que une las proyecciones vertical a' y horizontal a, por debajo de la lnea de tierra, se colocan dos pequeos trazos para indicar que se trata de un plano lnea de tierra - punto.

    2.6.8. Planos.perpendiculares al primer bisector

    Los planos perpendiculares al primer bisector tienen las trazas vertical y horizontal simtricas con relacin a la lnea de tierra.

    v p

    Figura 66

    El plano representado en la Fig. 66 contiene a la recta AB perpendicular a primer bisector y , -por consiguiente, es perpendicular a primer bisector.

    Las distancias AQ y BQ son iguales, los ngulos AMQ y BMQ son iguales, por lo que las dos trazas P' y P forman el mismo ngulo con la lnea de tierra.

    2.6.9. Planos perpendiculares al segundo bisector

    Los planos perpendiculares al segundo bisector tienen las trazas vertical y horizontal coincidentes.

    H

    Figura 67

    El plano representado en la Fig. 67 contiene a la recta CD perpendicular al segundo bisector y, por consiguiente, es perpendicular al segundo bisector.

    Las distancias CL y DL son iguales, los ngulos CNL y DNL son iguales, por lo que las dos trazas P' y P quedan en prolongacin en el dibujo didrico.

  • )

    )

    j

    39

    2.7. Rectas contenidas en un plano

    Una recta est contenida en un plano cuando sus trazas estn situadas sobre las trazas correspondientes del plano, Fig. 68.

    Figura 68

    p'

    , v'

    r'

    r

    p

    Dado un plano P-P', si se quiere situar en l una recta, deber elegirse la traza vertical de la recta v' -v sobre P' y la traza horizontal h-h' sobre la traza P. Uniendo v' con h' se obtiene la proyeccin vertical r' de la recta y uniendo h con v se obtiene la proyeccin horizontal r.

    Entre las rectas que pueden estar contenidas en un plano existen algunas de uso bastante frecuente que se describen en los apartados siguientes.

    2.7.1. Rectas horizontales de un plano

    Son rectas contenidas en un plano y paralelas al plano horizontal de proyeccin, Fig. 69.

    p'

    Figura 69

    Tienen una sola traza, v' -v, situada sobre la traza vertical del plano. La proyeccin vertical r' es paralela a la lnea de tierra y la proyeccin horizontal r es paralela a la traza horizontal P.

  • 40

    2.7.2. Rectas frontales de un plano

    Son rectas contenidas en un plano y paralelas al plano vertical de proyeccin, Fig. 70.

    p'

    h

    Figura 70

    Tienen una sola traza, h-h', situada sobre la traza horizontal del plano. La proyeccin vertical r' es paralela a la traza vertical P' y la proyeccin horizontal r es paralela a la lnea de tierra.

    2.7.3. Rectas de perfil en un plano

    Son rectas situadas en un plano que adems estn contenidas en un plano de perfil, Fig. 71.

    Las proyecciones r' y r son perpendiculares a la lnea de tierra y la trazas estn situadas sobre las trazas correspondientes del plano, v' -v sobre P' y h-h' sobre P.

    /

  • .

    , j

    .;

    41

    2.7.4. Lnea de mxima pendiente

    Lnea de mxima pendiente de un plano es toda recta del plano que forma con el plano horizontal de proyeccin el mayor ngulo posible. Sera el camino que seguiran las gotas de agua al resbalar por el plano.

    Las lneas de mxima pendiente de un plano son perpendiculares a las horizontales del plano y, por consiguiente, tambin son perpendiculares a la traza horizontal P, Fig. 72 .

    p

    Figura 72

    La proyeccin horizontal r es perpendicular a la traza P, la proyeccin vertical resulta de unir h' con v'.

    Una lnea de mxima pendiente define completamente al plano que la contiene pues la traza horizontal P ha de pasar por h y ser perpendicular a r y la traza vertical P' ha de pasar por v' y por el punto de encuentro de la traza horizontal P con la lnea de tierra.

    El ngulo que forma la lnea de mxima pendiente con el plano H es el ngulo del diedro formado por los plano P y H, Fig. 73.

    v

    p

    Figura 73

    I I

    I

    ~:J:--rEr-""'(v') ... R)

  • 42

    Para hallar dicho ngulo se abate el tringulo rectngulo h v v' alrededor de hv sobre el plano H, para los cual se dibuja por v una perpendicular a la proyeccin horizontal r de la recta, y sobre ella se lleva la cota del punto v-v, obteniendo (v'). Uniendo (v') con h se tiene la recta abatida (R) sobre el plano H y se puede medir el ngulo a que forma con su proyeccin horizontal r.

    Una aplicacin prctica, en Geologa y Minera, de la lineas de mxima pendiente consiste en medir buzamientos de capas de terrenos.

    La.> dos observaciones geomtricas que definen una capa o estrato, (paraleleppedo en el que una dimensin es mucho ms pequea que las otras dos), son la direccin o rumbo y el buzamiento, inclinacin o pendiente.

    Direccin es la orientacin, referida al Norte, de una lnea horizontal trazada sobre el plano. Forma un ngulo recto con el buzamiento.

    Buzamiento es el ngulo y direccin de la lnea de la lnea de mxima pendiente, medidos a partir de cualquier superficie horizontal.

    La.> direcciones de rumbo y buzamiento se determinan en el campo por medio de una brjula y se expresan generalmente en ngulos de 0 a 360 con relacin al Norte verdadero, en el sentido de las agujas del reloj. El ngulo de buzamiento se mide por medio de clinmetros o de un pndulo, que al medir el ngulo con respecto a la vertical proporciona un ngulo complementario al de buzamiento.

    -;-200 - - - "71 /1

    / Figura 74 . .

    La Fig. 74 repres~a una capa, en perspectiva caballera, de direccin N-50 - E, la direccin de cuafquiera de las horizontales del plano superior, (techo), de la capa y buzamiento 20 al SE, valor del ngulo Ct y sentido que seguira el agua al resbalar por el techo de la capa hacia el Sureste.

  • , J

    )

    )

    /

    43

    2.7.5. Lnea de mxima inclinacin

    Lnea de mxima inclinacin de un plano es toda recta del plano que forma con el plano vertical de proyeccin el mayor ngulo posible.

    Las lnea de mxima inclinacin de un plano son perpendiculares a las frontales del plano y, por consiguiente, tambin son perpendiculares a la traza vertical P', Fig. 75.

    r'

    H

    Figura 75

    La proyeccin vertical r' es perpendicular a la traza P', la proyeccin horizontal resulta de unir h con v.

    Una lnea de mxima inclinacin define completamente al plano que la contiene pues la traza vertical P' ha de pasar por v' y ser perpendicular a r' y la traza horizontal P ha de pasar por h y por el punto de encuentro de la traza vertical P' con la lnea de tierra.

    El ngulo que forma la lnea de mxima inclinacin con el plano V es el ngulo del diedro formado por los plano P y V, Fig. 76.

    p'

    H

    Figura 76

  • 44

    Para hallar dicho ngulo se abate el tringulo rectngulo v'h'h alrededor de v'h' sobre el plano V, para lo cual se dibuja por h' una perpendicular a la proyeccin vertical r' de la recta, y sobre ella se lleva el alejamiento del punto h-h', obteniendo (h). Uniendo (h) con v' se tiene la recta abatida (R) sobre el plano V y se puede medir el ngulo B que forma con su proyeccin vertical r'.

    2.8. Punto situado en un plano

    Un punto est situado en un plano si sus proyecciones se encuentran sobre las proyecciones correspondientes de una recta cualquiera del plano.

    P R' v' 3 v p' a'

    h', ti .... -

    hz h, d Q

    Figura 77

    En la Fig. 77 se han dibujado:

    Un punto a'-a en un plano P'-P mediante una horizontal p'-p del plano. Un punto b'-b en un plano Q'-Q mediante una frontal q'-q del plano. Un punto c'-c en un plano R'-R, paralelo a la lnea de tierra mediante una recta cualquiera r' -r del plano. Un punto d'-d en un plano S'-S, perpendicular al segundo bisector, mediante una recta cualquiera s' -s del plano.

    2.9. Planos no definidos por sus trazas

    En el apartado 2.5 se ha explicado la representacin de planos en el Sistema Didrico utilizando sus trazas, como caso particular de plano definido por dos rectas que se cortan. Tambin se ha visto que las trazas de un plano son los lugares geomtricos de las trazas de todas las rectas contenidas en el plano.

    Aprovechando esta propiedad, en.los apartados siguientes se aborda la manera de hallar las trazas de un plano cuando dicho plano viene definido por dos rectas que se cortan, por dos rectas paralelas,por una recta y un punto o por tres puntos. Tambin se indica una forma de proceder cuando las trazas de las rectas se salen de los lmites de papel.

    I

  • , ,

    )

    -,

    4S

    2.9.1. Plano definido por dos rectas que se cortan

    Se quiere hallar las trazas del plano definido por dos rectas, r' -r y s' -s, que se cortan en un punto a' -a, Fig. 78.

    ~'

    o'

    Si l'

    I l

    Figura 78 Figura 79

    Para ello, tal como se muestra en la Fig. 79, se determina en primer lugar las trazas de ambas rectas con los planos de proyeccin, v',-v, y h,-h'" de la recta r'-r y, V'2-V2 Y h2-h'" de la recta s'-s, de forma anloga a como se ha hecho en el apartado 2.3. (Fig. 30) .

    . Uniendo v" y V'2 se tiene la traza vertical P' del plano y uniendo h, y h, se tiene la traza horizontal P del plano, comprobando que ambas trazas se cortan en un mismo punto 1'-1 de la lnea de tierra.

    Si las dos rectas no tienen su porcin entre trazas en el primer cuadrante la construccin es semejante. Basta hallar las trazas de ambas rectas y unir h, con h2 para tener la traza horizontal del plano, y unir v', con v' 2 para tener la traza vertical.

    2.9.2. Plano definido por dos rectas paralelas

    Se quiere hallar las trazas del plano que contiene a dos rectas paralelas r' -r y s' -s, Fig. 80.

    Para ello se prolongan las proyecciones de ambas rectas y se determinan sus trazas, v' ,-v, y h,-h'" de la recta r'-r y, V'2-V2 Y h,-h'2, de la recta 5'-5. Fig. 81.

  • 46

    La traza vertical P' del plano pasar por v', y por v' y la traza horizontal P pasar con h" por h y por el punto de interseccin de la traza P' con la lnea de tierra.

    p'

    .'

    Yz

    p

    Figura 80 Figura 81

    2.9.3. Plano definido por una recta y un punto

    Dada una recta r' -r y un punto a' -a exterior a ella, Fig. 82, si se quiere hallar las trazas del plano definido por ambos, basta unir el punto a' -a con un punto cualquiera, b' -b, de la recta, con lo cual el problema queda reducido a determinar las trazas del plano definido por dos rectas, la dada r' -r, y la nueva, a' -b, a-b, que se cortan en b' -b.

    El caso est resuelto en la Fig. 83 siguiendo pasos semejantes a los utilizados en le apartado 2.9.1.

    r'

    a' y , ,

    ~ I , , ba

    Figura 82

    \ Figura 83

  • ,

    , ,

    , "

    )

    ) , ,

    ;

    "

    j

    )

    )

    47

    2.9.4. Plano definido por tres puntos

    Sean a' -a, b' -b Y c' -c tres puntos dados, Fig. 84. Se quiere hallar las trazas del plano que los contiene.

    ti Y

    f I I I I e' I I I I f I I I I I I I

    b I b I a I I I I I I I I

    be

    h.

    Figura 84 Figura 85

    Se elige uno cualquiera de esos puntos, por ejemplo a' -a, y se une con los otros dos, Fig. 85, con lo que al igual que en el caso anterior se trata de hallar el plano definido por dos rectas, r' -r y s' -s, que se cortan en a' -a, y se resuelve de igual manera a como se ha hecho en el apartado 2.9.1.

    2.9.5. Horizontales y frontales de un plano no definido por sus trazas

    Habr casos en que no todas las trazas de las dos rectas que definen un plano queden dentro de los lmites del papel del dibujo y no puedan utilizarse para hallar las trazas del plano.

    En este supuesto se podr determinar la direccin de las horizontales y de las frontales del plano que contiene a las rectas y con ello las direcciones de las trazas del plano, lo cual puede ser til para la resolucin de determinados problemas.

    Si se conoce al menos una traza horizontal y otra traza vertical, de las rectas dadas o de otras rectas del plano, se pueden dibujar por ellas paralelas a las horizontales y a las frontales para conocer la ubicacin de las trazas del plano.

  • 48

    Figura 86

    En la Fig. 86 se conocen las proyecciones de dos rectas r' -r y s' -s que se cortan en a' -a. se ha dibujado una paralela a la lnea de tierra, por encima de ella, t', que corta a r' en c', cuya proyeccin horizontal situada sobre r es c, y corta a s' en d', cuya proyeccin horizontal situada sobre s es d. Uniendo c con d se tiene la proyeccin horizontal t de la recta l' -t, que es una horizontal del plano.

    Tambin se ha dibujado una paralela a la lnea de tierra, por debajo de ella, q, que corta a r en e, cuya proyeccin vertical situada sobre r' es e', y corta a s en f, cuya proyeccin vertical situada sobre r' es f. Uniendo e' con f se tiene la proyeccin vertical q' de la recta q' -q, que es una frontal del plano cuya traza horizontal es h3-h' 3'

    Si por h"

    o por h3, de dibuja una paralela a t, sta ser la traza horizontal P del plano, y si por V'2 se dibuja una paralela a q', sta ser la traza vertical P' del plano que contiene a las rectas.

    Siguiendo un proceso similar al anteriormente descrito, en la Fig. 87 se ha dibujado una horizontal l' -t de un plano definido por dos rectas paralelas r' -r y s' -s.

    r' s'

    e' "

    r

    Figura 87

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    )

    .;"

    .,

    .-' ,

    49

    2.10. Planos pasando por una recta

    Para que un plano pase por una recta, Fig. 88, basta con que la traza vertical del plano pase por v', la traza horizontal del plano pase por h y que las dos trazas se corten en un mismo punto de la lnea de tierra. Los dos planos, P' -P y Q ' -Q, de la figura cumplen esas condiciones.

    p'

    v p'

    H

    Figura 88

    As pues, por una recta pasan infinitos planos, algunos de los cuales, como los representados en las figuras siguientes, ofrecen ciertas particularidades. De todos ellos los de mayor inters son los proyectantes, pues se utilizarn en desarrollos posteriores.

    El plano de la Fig. 89 es paralelo a la lnea de tierra y contiene a la recta R. P' pasa por v', P pasa por h y ambas trazas cortan a la lnea de tierra en un punto impropio.

    v

    p'

    H

    P h

    Figura 89

  • 50

    El plano de la Fig. 90 es un plano vertical, proyectante de la recta R sobre el plano horizontal de proyeccin. La traza P' es perpendicular a la lnea de tierra y la traza P coincide con la proyeccin horizontal r de la recta.

    y p' p'

    v' v

    ~ h' v

    H P

    h

    Figura 90

    El plano de la Fig. 91 es un plano de canto, proyectante de la recta sobre el plano vertical de proyeccin. La traza P' coincide con la proyeccin vertical r' de la recta y la traza P es perpendicular a la lnea de tierra.

    y

    p

    Figura 91

  • ,

    ) , " , ;

    .. '

    51

    El plano de la Fig. 92 tiene a la recta r'-r como lnea de mxima pendiente. La traza P es perpendicular a r.

    v

    p'

    H

    p

    Figura 92

    El plano de la Fig. 93 tiene a la recta r'-r como lnea de mxima inclinacin. La traza P' es perpendicular a r'.

    v p'

    H

    Figura 93

  • 52

    2.11. Interseccin de planos

    La interseccin de dos planos es una recta que queda definida cuando se conocen dos de sus puntos.

    Esos dos puntos de determinan ayudndose de dos planos auxiliares, mas sencillos en cuanto a posicin, y cuyas intersecciones sean ms fciles de hallar.

    Sean P y Q dos planos situados de cualquier modo en el espacio, Fig. 94, cuya recta de interseccin se quiere determinar, y sean My N dos planos auxiliares convenientemente elegidos.

    Figura 94

    El plano M corta al plano P segn la recta R y al plano Q segn la recta R,; las rectas R y R2 se cortan en un punto A El plano N corta al plano P segn la recta S y al plano Q segn la recta S2; las rectas S y S2 se cortan en un punto B.

    A Y B son dos puntos de la recta de interseccin del plano P con el plano Q, unindolos se obtiene la interseccin buscada.

    Generalmente se usan como planos auxiliares los planos de proyeccin V y H, cuyas intersecciones con los planos dados son las trazas de esos planos, o planos paralelos a los de proyeccin que cortan a los planos dados segn rectas horizontales o frontales.

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    53

    En los apartados siguientes se explican varios procedimientos para hallar las proyecciones didricas de intersecciones de planos, tanto en el caso general como en algunos casos particulares.

    2.11.1. Interseccin de dos planos cualesquiera

    Sean P'-P y Q'-Q las trazas de los dos planos cuya recta de interseccin se quiere hallar. Fig. 96.

    ~ ~ v o' o'

    A::o'

    r', r.

    r'

    r,:: s rZ=s2 b' e

    " r

    Q

    Figura 95 Figura 96

    Haciendo un pequeo esquema de la disposicin de ambos planos en el espacio, Fig. 95, se observa que la recta de interseccin R de ambos planos pasa por los puntos A y B de interseccin de las trazas verticales y de las trazas horizontales, respectivamente, de ambos planos. .

    Volviendo a las proyecciones didricas, Fig. 96, se va a obtener la recta de interseccin aplicando el mtodo general, indicado anteriormente, que ha sido esquematizado en la Fig.94.

    Como primer plano auxiliar se toma el plano vertical de proyeccin. El plano V corta al plano P'-P segn una recta r"-r,, cuya proyeccin vertical r', coincide con P' y cuya proyeccin horizontal r 1 coincide con la lnea de tierra. El plano V corta al plano Q'-Q segn una recta r'2-r2' cuya proyeccin vertical r'2 coincide con Q' y cuya proyeccin horizontal r2 coincide con la lnea de tierra. Las rectas r\-r y r' 2-r2 se cortan en el punto a'-a. El punto a'-a es un punto de la recta de interseccin de los planos P'-P y Q'-Q.

  • 54

    Como segundo plano auxiliar se toma el plano horizontal de proyeccin. El plano H corta al plano P' -P segn una recta s'-s" cuya proyeccin vertical s' coincide con la lnea de tierra. El plano H corta al plano Q' -Q segn una recta s' 2-~' cuya proyeccin horizontal ~ coincide con Q y cuya proyeccin vertical s' 2 coincide con la lnea de tierra. Las rectas s' ,-s, y S' 2-S2 se cortan en el punto b' -b. El punto b' -b es otro punto de la recta de interseccin de los planos P'-P y Q'-Q.

    Conocidas las proyecciones a' -a y b' -b de dos puntos de la recta de interseccin, nada ms hay que unirlas para tener las proyecciones r' -r de la recta. Uniendo a' con b' se tiene la proyeccin vertical r', y uniendo a con b se tiene la proyeccin horizontal r de la recta de interseccin de ambos planos.

    2.11.2. Interseccin de un plano cualquiera con un plano de perfil

    Se quiere hallar la interseccin del plano P' -P con el plano horizontal H'. Fig. 98.

    H' 1 v' r'

    v

    H

    p

    Figura 97 Figura 98

    La recta de interseccin por pertenecer al plano horizontal H', tendr que ser horizontal y como adems ha de estar contenida en el plano P'-P, ser una recta horizontal del plano P'-P, Fig. 97. As pues solo hace falta encontrar un punto de la recta de interseccin por el cual dibujar una paralela a la lnea de tierra en proyeccin vertical y en proyeccin horizontal una paralela a la traza P.

    Para ello se utiliza como plano auxiliar el plano vertical de proyeccin. El plano V corta al plano P'-P segn una recta r',-r" cuya proyeccin vertical r', coincide con P' y cuya proyeccin horizontal r, coincide con la lnea de tierra. El plano V corta al plano horizontal cuya traza vertical es H', paralela a la lnea de tierra, segn una recta r'2-r2, paralela a la lnea de tierra, cuya proyeccin vertical r' 2 coincide con la traza H' y cuya proyeccin horizontal r2 coincide con la lnea de tierra.

  • 55

    Las dos rectas, r',-r, Y r'2-r2 se cortan en el punto v-v, punto de la recta de interseccin de los planos P'-P y H". Como la recta de interseccin ha de ser una horizontal del plano P'-P, bastar dibujar con v una paralela r' a la linea de tierra y por v una paralela r a la traza P. La horizontal r'-r, cuya traza es el punto v -v, es la recta de interseccin del plano P'-P con el plano H,,:

    Si se hubiese continuado con el mtodo general para hallar otro punto de la recta de interseccin, como segundo plano auxiliar se hubiese utilizado el plano horizontal de proyeccin. El plano H corta al plano P'-P segn una recta S',-S" cuya proyeccin horizontal s, coincide con P y cuya proyeccin vertical s" coincide con la linea de tierra. El plano H es paralelo al plano H'" lo corta segn una recta impropia S'2-S2' cuya proyeccin horizontal estn indeterminada, pero est contenida en el plano H, por lo que su proyeccin vertical s' 2 coincide con la linea de tierra.

    Las dos rectas S"-S, Y S'2-S2 se cortan en un punto impropio, o infinitamente alejado, h'.-b.. , que por pertenecer a la recta S"-S, tendr su proyeccin vertical sobre s'" coincidente con la linea de tierra, e infinitamente alejada, y su proyeccin horizontal sobre s,, coincidente con P, e infinitamente alejada.

    Por consiguiente habra que unir v' con el punto impropio de la linea de tierra, y v con el punto impropio de la traza P, o lo que es lo mismo, dibujar por v' una paralela a la lnea de tierra y por v una paralela a la traza P, con lo cual el resultado es el mismo, la recta horizontal r'-r.

    2.11.3. Interseccin de un plano cualquiera con un plano frontal

    La recta de interseccin de un plano P'-P definido por sus trazas con un plano frontal F es una recta frontal, pues ha de estar contenida en el plano F, y como ha de pertenecer al plano P'-P, tiene que ser una recta frontal del plano P'-P, Fig. 99.

    v p'

    F

    h'

    / /

    / F /

    h F r

    H p h

    S,

    p

    Figura 99

  • 56

    De forma anloga al caso anterior, solo hace falta conocer un punto h'-h de la recta de interseccin, dibujar por h' una paralela a P' y por h una paralela a la linea de tierra para tener las proyecciones r' -r de la recta de interseccin.

    Para hallar ese punto h' -h se utiliza como plano auxiliar el plano horizontal de proyeccin. El plano H corta al plano P'-P segn una recta S"-S1' cuya proyeccin horizontal S1 coincide con P y cuya proyeccin vertical s' 1 coincide con la linea de tierra. El plano H corta al planto frontal cuya traza horizontal es F, paralela a la linea de tierra, segn una recta s' 2-S2, paralela a la lnea de tierra, cuya proyeccin horizontal S2 coincide con la traza F y cuya proyeccin vertical S'2 coincide con la linea de tierra. Las rectas S'-S1 Y S'[S2 se cortan en el punto h'-h.

    Una vez determinado h'-h, como la recta de interseccin ha de ser frontal, por h' se dibuja una paralela r' a P' y por h una paralela r a la linea de tierra. La recta r'-r es la recta de interseccin del plano P'-P con el plano frontal F.

    Si se hubiese utilizado como segundo plano auxiliar, para hallar otro punto de la interseccin, el plano vertical de proyeccin, se obtendria un punto impropio, v'.=vo , cuya proyeccin vertical estara sobre la traza P', infinitamente alejada, y cuya proyeccin horizontal estara sobre la linea de tierra, tambin infinitamente alejada. El resultado que se obtendria al unir ese punto impropio con el punto h' -h seria la propia recta frontal r'-r.

    2.11.4. Interseccin de dos planos cuyas trazas horizontales son paralelas

    La recta de interseccin de dos planos P'-P y Q'-Q cuyas trazas horizontales son paralelas es una recta horizontal r' -r que pasa por el punto v' -v de interseccin de las trazas verticales P' y Q', Fig. 100.

    v v' " p'

    v

    p e r

    H

    Figura 100

  • -,

    "'\ ..

    57

    Segn se ha explicado en el caso general de interseccin de planos, (apartado 2.11.1, Fig. 96), un punto de la recta de interseccin es el de encuentro de las trazas verticales P' y Q', en este caso el punto v' -v, y otro punto de la recta de interseccin es el de encuentro de las trazas horizontales P y Q , que por ser paralelas es un punto impropio.

    Por consiguiente hay que unir v' con el punto impropio de la lnea de tierra, y v con el punto impropio de las trazas P y Q, o lo que es lo mismo dibujar por v' una paralela a la lnea de tierra y dibujar por v una paralela a las trazas P y Q.

    De forma semejante se puede comprobar que la recta de interseccin de dos planos cuyas trazas verticales son paralelas es una recta frontal que pasa por el punto de interseccin de las trazas horizontales de ambos planos.

    2.11.5. Interseccin de dos planos cuyas trazas se cortan fuera del dibujo

    Se quiere hallar la recta de interseccin de dos planos P' -P y Q ' -Q cuya trazas verticales se cortan fuera de los lmites del papel del dibujo, Fig. 101.

    , I , , , , 'v'

    Q

    r

    h

    Figura 101

    Utilizando como primer plano auxiliar el plano horizontal de proyeccin se obtiene el punto h' -h, donde se cortan las trazas horizontales P y Q, como un punto de la recta de interseccin de ambos planos, tal como se ha descrito en el caso general.

    Si se utiliza como segundo plano auxiliar un plano horizontal cualquiera H'" este plano corta al plano P'-P segn una recta horizontal S'2-S" (segn se ha explicado en el apartado 2.11.2, Fig. 98). Las rectas s"-s, y 5'2-S2 se cortan en el punto m'-m.

  • 58

    Los puntos h'-h y m'-m son dos puntos de la recta de interseccin de los planos P'-P y Q' -Q, uniendo h' con m' se tiene la proyeccin vertical r' de la recta de interseccin y uniendo h con m se tiene la proyeccin horizontal r.

    Si las trazas que se cortan fuera de los lmites del papel del dibujo son las horizontales, Fig. 102, la recta de interseccin se obtendra de forma semejante utilizando como planos auxiliares el plano vertical de proyeccin, que proporciona un punto v-v, y un plano frontal cualquiera F.

    F s,

    p

    Figura 102

    La recta de interseccin del plano F con el plano P' -P es la frontal s'.-s y con el plano Q'-Q es la frontal S'2-S2' Ambas rectas se cortan en el punto n'-n.

    Uniendo v con n' y v con n se tienen las proyecciones, vertical r' y horizontal r, de la recta de interseccin de los planos P'-P y Q'-Q.

    2.11.6. Interseccin de un plano definido por sus trazas con un plano lnea de. tierra-punto

    Se quiere hallar la recta de interseccin del piano P'-P con el plano lnea de tierra-punto M, Fig. 103.

  • ~,

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    J ~ ,;:

    J ) , ~,

    )

    o,

    "1

    3

    )

    59

    p'

    m'

    - ,-

    I Q

    , I I

    m

    p

    Figura 103

    El punto a'-a que est situado en la interseccin de las trazas P'-P del plano con la lnea de tierra, por pertenecer a la vez a ambos planos, es un punto de la recta de interseccin. Solo queda por determinar otro punto para que unindolo con a'-a se obtengan las proyecciones de la recta.

    Para hallar ese segundo punto se utiliza un plano auxiliar horizontal H' 1 que pase por el punto m'-m. El plano H' corta al plano P'-P segn una recta horizontal S'1-S1' cuya proyeccin vertical s' 1 es paralela a la lnea de tierra y coincide con H', y cuya proyeccin horizontal S1 pasa por V1 Y es paralela a la traza P. El plano H' 1 corta al plano lnea de tierra-punto m'-m, segn una recta S'2- S2' paralela a la lnea de tierra, cuya proyeccin vertical s' 2 pasa por m' y coincide con H' y s', y cuya proyeccin horizontal S2 pasa por m. Las rectas S'-S1 Y s' 2-S2 se cortan en proyeccin horizontal en b, cuya proyeccin vertical en b' .

    Uniendo a' con b' se tiene la proyeccin vertical r' de la recta de interseccin, y uniendo a con b se tiene la proyeccin horizontal r.

  • 60

    2.11.7. Interseccin de un plano con el segundo bisector

    Se quiere hallar la recta de interseccin de un plano definido por sus trazas P'-P con el segundo bisector representado por la lnea de tierra y el punto n' -o, situado en el segundo cuadrante con igual cota que alejamiento, Fig. 104.

    p'

    \:=r \ . . $'z :Sz 5', H, n':n b=b v,

    --r-~~---- I t 1\....... : : o' ........ I

    a v,

    \ \ s,

    n \ \ p

    Figura 104

    El punto a' -a de corte de las trazas P' -P del plano con la lnea de tierra pertenece al segundo bisector, por tanto es un punto de la recta de interseccin de ambos planos. Solo hace falta hallar otro punto de esa recta, al igual que en el apartado anterior (Fig. 103).

    Se toma como plano auxiliar un plano horizontal H' que pase por el punto n'-n. El plano H' corta al plano P'-P segn una recta horizontal s'-s" cuya proyeccin vertical s', coincide con H', y cuya proyeccin horizontal s, pasa por v, y es paralela a la traza P. El plano H', corta al segundo bisector segn una recta s' 2-S" paralela a la lnea de tierra, cuyas dos proyecciones S'2 Y S2 coinciden con H', y con s',. Las rectas s',-s, y S'2-S2 se cortan en b'-b, que es. otro punto de la recta de interseccin del plano P'-P con el segundo bisector.

    Uruendo b' con a' y b con a se tienen las proyecciones r' y r de la recta de interseccin. Ambas proyecciones son coincidentes por ser una recta conteruda en el segundo bisector.

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    )

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    . ,

    61

    2.11.8. Interseccin de dos planos paralelos a la lnea de tierra

    La recta de interseccin de dos planos, P' -P y Q' -Q, paralelos a la lnea de tierra es una recta paralela a la lnea de tierra, Fig. 105.