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NIVELES DE DESARROLLO DEL PENSAMIENTO

MATEMTICO

Si sabemos cmo aprenden matemtica los nios

Sabremos cmo ensearles En el presente material acadmico procuraremos contestar a interrogantes como las siguientes:

Cules son los niveles del pensamiento matemtico?

Cmo aprenden los nios y nias los conceptos matemticos?

Cul es el proceso metodolgico para ensear matemtica?

Cmo se construye el aprendizaje matemtico?

1. NIVELES DEL PENSAMIENTO MATEMTICO Los nios aprenden matemtica pasando por niveles. Segn Jean Piaget 1896 1980)., los nios hasta los 12 o 13 aos de edad, aprenden los conceptos y relaciones matemticas, pasando por tres niveles de aprendizaje bien diferenciados.

Piaget plantea una secuencia de tres niveles para la construccin del aprendizaje matemtico, tales son: a) Nivel intuitivo concreto.

b) Nivel representativo grfico.

c) Nivel conceptual simblico.

1.1 NIVEL INTUITIVO CONCRETO

1) El conocimiento nace de la accin sobre los objetos. Recordemos que segn Piaget, el conocimiento no se origina en forma exclusiva ni en el sujeto ni en el objeto; sino que surge de la interaccin entre

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CONCRETO GRAFICO SIMBOLICO (Pensamiento (Pensamiento (Pensamiento Concreto) Semiconcreto) Abstracto)

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ambos. Por dicho razn, Piaget est considerado dentro de la corriente de los interaccionistas. Por lo tanto, segn Piaget:

Los conocimientos matemticos se originan en las acciones fsicas y mentales que realizan los alumnos mediante la manipulacin de objetos concretos.

El trmino accin, segn el enfoque piagetiano, se debe entender en sus dos sentidos: a) Como accin fsica, cuando un nio, por ejemplo, manipula un baco para aprender nmeros naturales. b) Como accin mental, cuando una nia, por ejemplo, est concentrada resolviendo problemas aplicando la adicin de nmeros naturales.

2) Los objetos facilitan la construccin del conocimiento Piaget aclara que la actividad motora precede al desarrollo del lenguaje. Por medio de los sentidos los nios aprenden, por ejemplo, que los objetos tienen diferentes formas, colores, tamaos o cantidades. Es as como el concepto de nmero cinco es la propiedad de varios conjuntos de objetos que tienen la misma propiedad comn de tener cinco cosas. A esta propiedad se la representa utilizando los smbolos: 5 o V en numeracin romana, y se leen como cinco, pisqha, five, etc. Por consiguiente, no debemos olvidar que:

El desarrollo del pensamiento del nio y la nia est ntimamente ligado a su experiencia motora y sensorial.

3) Los nios no aprenden slo con meras explicaciones

Como ejemplo analicemos las siguientes situaciones: a) Pablito slo observa un conjunto de bloques lgicos que ya han sido clasificados por su profesora, en la siguiente forma:

5 V

3

Tringulos Cuadrados Crculos Rectngulos

b) En cambio, a Luca se le pide que saque todos los bloques lgicos de la bolsa y luego los clasifique de acuerdo a varios criterios: color, forma, tamao y espesor. Al efectuar la evaluacin se comprobar que Luca ha logrado ms capacidad que Pablito, en la clasificacin de objetos de acuerdo a varios criterios; porque ella particip ms activamente en el proceso de clasificacin, en cambio, Pablito slo estuvo de observador.

Por tanto, no debemos olvidar que:

Los nios y nias no podrn aprender en forma efectiva los conceptos y relaciones matemticas, a partir de las explicaciones verbales del profesor, sino que debe realizar experiencias de manipulacin con materiales concretos.

NIVELES PROCESO METODOLGICO

NIVEL REPRESENTATIVO

GRAFICO

NIVEL CONCEPTUAL

SIMBLICO

NIVEL INTUITIVO

CONCRETO

ACTIVIDADES CON LENGUAJE

SIMBLICO

ACTIVDADES DE REFUERZO Y

APLICACIN

ACTIVIDADES CON MATERIAL

GRAFICO

ACTIVIDADES CON MATERIAL

CONCRETO

ACTIVIDADES SENSORIALES VIVENCIALES

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Por consiguiente, el nivel intuitivo concreto comprende el conjunto de experiencias directas y vivenciales de aprendizaje y la manipulacin de materiales educativos manipula concreto, tales como pueden ser el baco, los bloques lgicos, las regletas de colores, etc. 1.2 NIVEL REPRESENTATIVO GRFICO

Este nivel est referido al conjunto de experiencias de aprendizaje mediante el manejo de material grfico, tales como son los diagramas de Venn, tablas de doble entrada, diagramas sagitales, etc. 1.3 NIVEL CONCEPTUAL SIMBLICO Comprende el conjunto de experiencias de aprendizaje matemtico, mediante el manejo del lenguaje simblico, tales como son las siguientes expresiones matemticas:

5 < 8, 2 + 4 = 6, 9 = 3 32 = 9, etc.

2. PROCESO METODOLGICO DEL APRENDIZAJE MATEMTICO

A partir de los niveles de desarrollo del pensamiento matemtico planteado por Jean Piaget y presentado en forma resumida en las pginas anteriores, es que podemos inducir un conjunto de normas didcticas para la programacin, ejecucin y evaluacin de la construccin de los aprendizajes matemticos por los nias y nias de los niveles de educacin inicial y primaria

Por otra parte, recordemos que una de las caractersticas del aprendizaje

matemtico es su carcter jerrquico, En ese sentido decimos que un aprendizaje es prerrequisito de otro aprendizaje. Esto es, un aprendizaje A es prerrequisito de otro aprendizaje B, si necesariamente antes se debe lograr A para facilitar el logro de B. As por ejemplo, en el aprendizaje de la numeracin, se da la siguiente secuencia:

a) Representa, lee y escribe nmeros naturales del 0 al 9.

b) Compara nmeros naturales del 0 al 9, segn las relaciones >, < y es =

c) Suma nmeros naturales de 0 a 9.

d) Resta nmeros naturales de 0 a 9 Esta naturaleza jerrquica del conocimiento matemtico y los niveles del

desarrollo del pensamiento planteados por Jean Piaget exige la necesidad de programar el conjunto de actividades del aprendizaje matemtico de acuerdo a la siguiente secuencia que en forma figurada la hemos denominado como la Escalera del aprendizaje matemtico, la misma que consta de los siguientes cinco fases:

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1. Actividades sensoriales o vivenciales.

2. Actividades con material concreto.

3. Actividades con material grfico.

4. Actividades con lenguaje simblico.

5. Actividades de refuerzo y aplicacin.

ESCALERA DEL APRENDIZAJE MATEMTICO

2.1 ACTIVIDADES SENSORIALES O VIVENCIALES Se denomina as al conjunto de experiencias directas y situacio9nes de juego en las que los mismos nios o nias participan activamente en acciones ldicas y vivenciales que los conducen al descubrimiento, en su momento inicial, de un nuevo concepto, relacin, operacin o algoritmo matemtico. En esta fase los ni@ juegan movilizando todo su cuerpo, desplazndose, explorando una situacin concreta y enfrentando problemas reales, como iniciacin en el proceso de construccin de un nuevo aprendizaje matemtico. Por ejemplo para iniciar la construccin del concepto de nmero se pueden plantear las siguientes situaciones:

Situacin de exploracin: Todos los ni@ salen al patio a contar las cosas

que puedan encontrar y luego indicar cuntas cosas han visto.

Situacin de juego: Salan al patio a jugar a los tensitos que cambian de

coches de dos, tres y as sucesivamente hasta nueve coches.

Situacin de problema: Traer de una bolsa de juguetes exactamente el

nmero de juguetes que se necesita para repartir a un juguete a cada

compaero de grupos de dos, tres, cuatro, hasta nueve personas.

SENSORIALES O VIVENCIALES

MATERIAL CONCRETO

MATERIAL GRAFICO

L LENGUAJE SIMBOLICO

APLICACION

APRENDIZAJE

MATEMATICO

5

4

3

2

1

6

2.2 ACTIVIDADES CON MATERIAL CONCRETO Esta fase se refiere al conjunto de experiencias de aprendizaje mediante la manipulacin de parte del alumno de una diversidad de materiales concretos, con el propsito de descubrir los conceptos, relaciones, operaciones, propiedades, etc. que estn implicados en la accin con dichos materiales.

b) Los estructurados, diseados y elaborados, tales como los bloques lgicos, bacos, yupana, regletas de colores, material de base diez, etc.

En el manejo de los materiales concretos, es necesario tomar en cuenta las siguientes recomendaciones:

2) La manipulacin de los materiales, guiados por el profesor, facilita a los alumnos el descubrimiento de los conceptos, relaciones y operaciones matemticas; porque como se dice: Lo que se oye se olvida pronto, lo que se ve se puede recordar y lo que se hace se aprende rpidamente.

Por ejemplo, en el proceso de construccin del concepto de nmero, los ni@

cuentan:

Una chapa, una haba, un palito, un maz, una piedrita, etc.

Dos chapas, dos habas, dos palitos, dos maicitos, dos piedritas, etc.

Tres chapas, tres habas, tres palitos, tres maicitos, tres piedritas, etc.

.

.

Nueve chapas, nueva habas, nueve palitos, nueve palitos, etc.

A partir del nmero diez sern ms eficientes los materiales estructurados como el baco, la yupana o los materiales de base diez

1) Es fundamental presentar inicialmente los conceptos y relaciones matemticas a travs de la manipulacin de objetos, mediante juegos libres, luego a travs de juegos estructurados.

MATERIALES CONCRETOS

Se llaman materiales concretos porque los objetos y cosas sobre los que van a actuar y pensar los alumnos, se encuentran fsicamente presentes frente a ellos y por los tanto los pueden manipular, es decir operar con las manos. Hay dos clases de materiales concretos:

a) No estructurados, es decir los recolectados o reciclados, tales como piedritas, palitos, chapitas, semillas de maz, habas, frejol, etc.

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2.3 ACTIVIDADES CON MATERIAL GRAFICO

En esta fase los ni@s hacen dibujos, interpretan grficas, colorean figuras, trazan flechas, completan tablas de doble entrada, observan lminas, interpretan rectas numricas, leen diagramas de Venn, etc. como representaciones de las experiencias realizadas en las fases anteriores.

Aqu es donde se utilizan una serie de materiales educativos grficos, como son

las lminas didcticas, fotografas, diapositivas, fichas de prctica, cuadernos de trabajo, etc.

Por ejemplo, en la construccin del concepto de nmero:

Los alumnos dibujan los nmeros del uno al nueve:

Tres Cinco Seis

Leen los nmeros interpretando los dibujos de los materiales de base

diez: Treinta y tres Doscientos veinticuatro

A continuacin presentamos un conjunto de ejemplos utilizando una variedad de esquemas, como una muestra que caracteriza a la fase de actividades con material grfico.

EJEMPLO 1: Experiencias de aprendizaje con diagramas de Venn:

En cada conjunto escribe el nmero respectivo o dibuja figuritas de acuerdo a su nmero:

EJEMPLO 2: Actividades de aprendizaje con tablas de doble entrada: Resuelve el siguiente problema: Pal y Lus tiene 16 mascotas, entre perros,

gatos y canarios. Lus no tiene gatos, pero tiene igual cantidad de perros que Pal. Pal tiene 9 mascotas en total, 5 canarios y tantos perros como gatos.

9 7

8

a) Primero, completa los datos en los casilleros de la tabla:

Perros

Gatos

Canarios

Totales

Pal

5

9

Lus

0

Totales

16

b) Segundo, observando la tabla contesta a las siguientes preguntas: 1) Cuntos perros y canarios tiene Lus? : . ( )

2) Cuntos perros y gatos tiene Pal? : .. ( )

3) Cuntos perros y gatos tiene Lus? : .. ( )

4) Cuntas mascotas tiene Lus? : ( )

5) Cuntos perros hay en total? : .. ( )

6) Cuntos canarios hay en total? : ( )

EJEMPLO 3: Actividades de aprendizaje con diagramas sagitales:

Dentro del siguiente conjunto de personas se han dibujado algunas flechas. Cada flecha significa es hermano(a) de: Eva Juan Pedro Luis Jos Lucas

a) Completa las flechas que faltan. b) Completa las oraciones que faltan: 1) Luis es hermano de Eva. 5) 2) .. 6) .. 3) 7) .. 4) 8) .. EJEMPLO 4: Actividades de aprendizaje con diagramas en rbol: Aplica en tres formas la propiedad asociativa de la adicin de nmeros naturales:

1) 3 + 5 + 7 = 2) 2 + 3 + 7 = 3) 3 + 3 + 7 = 8 + 7 15 EJEMPLO 5: Actividades de aprendizaje con rectas numricas: Completa el valor de cada cuadradito:

9

- 6

EJEMPLO 6: Experiencias de aprendizaje con diagramas mquinas: Completa el valor de cada cuadradito:

2.4 ACTIVIDADES CON LENGUAJE SIMBOLICO

Esta fase consiste en la utilizacin de smbolos y expresiones del lenguaje matemtico para lograr la generalizacin y abstraccin de las experiencias realizadas en las fases anteriores. Una parte importante del proceso de aprendizaje es la transferencia de representaciones fsicas a smbolos abstractos. La clave de esta transferencia es el entendimiento del aprendizaje implicado; sea un concepto, una relacin, operacin o algoritmo matemtico. Un smbolo puede ser un nmero, una figura, una letra, etc. que se utiliza para designar un objeto matemtico. Algunos smbolos matemticos son los siguientes: 1) Los smbolos: 0, 1, 2, 3, . . ., etc. representan nmeros naturales.

2) Los smbolos: =, , etc. representan relaciones entre nmeros. 3) Los smbolos: +, - , X, : , etc. se denominan operadores. 4) Las letras x, y, z representan variables numricas Combinando smbolos de acuerdo a una sintaxis, se forma las expresiones del lenguaje matemtico. El lenguaje matemtico es un lenguaje formalizado y se caracteriza por ser breve y unvoco. Algunas expresiones del lenguaje matemtico son las siguientes:

2 + 3 = 7 8 5 = 3

3 X 9 = 27 16 : 4 = 4

X + 2 = 3X 3 + 4 > 8 + 4

X = Y Y2 = X A B = {x / x A y X B}

3 + 2 + - =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 + 2 - 4 + 7

: 2 + 8 : 3

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Por consiguiente, las actividades con lenguaje simblico consisten en la utilizacin de los smbolos y expresiones matemticas para los siguientes propsitos: a) Sistematizacin o generalizacin del concepto o relacin matemtica, mediante la utilizacin del lenguaje simblico. Recordemos que los nios necesitan primero realizar acciones fsicas con las cosas, despus con sus representaciones grficas y finalmente con sus smbolos cuantitativos o de relacin, a travs del proceso de abstraccin. b) Necesidad de descontextualizar los conceptos matemticos. Es necesario que el nio comprenda que no siempre podr disponer de materiales concretos o semiconcretos (grficas) para procesar o expresar las ideas cuantitativas que tenga, porque muchas veces se necesitarn de una gran cantidad de objetos que haran demasiado laborioso su trabajo. Por ello es necesario el uso de smbolos para descontextualizar y poder procesar y comunicar las ideas o relaciones numricas.

3 + 2 = 5 c) Desarrollar desde nios la habilidad de traducir el lenguaje natural al lenguaje matemtico y viceversa, el lenguaje matemtico al lenguaje natural o lengua materna. LENGUAJE NATURAL LENGUAJE MATEMATICO

d) Conocimiento del vocabulario matemtico y su traduccin al lenguaje natural. Por ejemplo, la propiedad conmutativa de la adicin se puede expresar en lenguaje matemtica y en el lenguaje natural en la siguiente forma:

a + b = b + a. Se lee como: El orden de los sumandos no cambia la suma.

CONTEXTUALIZAR

DESCONTEXTUALIZAR

TRES MS DOS ES IGUAL

A CINCO 3 + 2 = 5

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e) En sntesis podemos decir que, en la fase de las actividades con lenguaje simblico o lenguaje matemtico se alcanzan los procesos de abstraccin, descontextualizacin, uso de cdigos numricos y relacionales, y por ltimo la formalizacin matemtica. 2.5 ACTIVIDADES DE REFUERZO Y APLICACIN 1) Esta fase comprende un conjunto de actividades que se programan con el propsito de afianzar con nuevos ejercicios y problemas, los conceptos y relaciones matemticas aprendidas en las fases anteriores. 2) Esta es la fase de la transferencia del saber, en otros contextos o situaciones nuevas. Por ejemplo, si el nio aprendi a clasificar bloques lgicos, fcilmente podr clasificar otra clase de objetos: tallitos, palabras, seres vivos, etc. de acuerdo a una serie de criterios. Por esta razn, para lograr el proceso de transferencia, se debe proponer al nio nuevas situaciones, nuevos ejercicios o problemas de aplicacin. 3) Por otra parte, en esta fase se aplica el conocimiento aprendido en la resolucin de situaciones problemticas de la vida real. Por ello, se requiere que el profesor conozca el contexto cultural y fsico donde se desenvuelve el nio en su vida cotidiana.

Para concluir el anlisis de las cinco fases de la escalera del aprendizaje matemtico que acabamos de desarrollar, debemos enfatizar las siguientes aclaraciones: PRIMERO: Estas cinco fases de la escalera del aprendizaje matemtico se deben aplicar en forma recurrente y con criterio flexible, en funcin de las necesidades de aprendizaje del nio y la naturaleza de los contenidos matemticos; porque ninguna tecnologa didctica es un dogma o una receta rgida, esto es, la eficiencia de las reglas didcticas dependen de las realidades concretas donde se aplican, las caractersticas de los nios y de los tipos de contenidos matemticos que se van a procesar. SEGUNDO: En lo posible, se debe considerar actividades para las cinco fases de la escalera del aprendizaje, sobre todo, si los nios van a iniciar con la construccin de un nuevo concepto o relacin matemtica. Esto se da con mucha frecuencia en los primeros grados de educacin primaria. 3. LO QUE SIEMPRE DEBEMOS RECORDAR

Los nios y nias necesitan hacer primero acciones con los

objetos mismos, despus con sus representaciones grficas y

finalmente con sus smbolos.

Aprender exige a los nios actividades que les den

oportunidades de explorar, manipular, ensayar, preguntar,

imaginar, conversar, equivocarse, y volver a intentar.

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Los nios aprenden las cosas mirndolas, tocndolas,

movindolas, saborendolas, etc.

La manipulacin y el juego son pasos necesarios e indispensables

para la adquisicin de nociones lgico matemticas.

El juego es un recurso indispensable en la iniciacin del

aprendizaje de la matemtica.

Cuando los estudiantes entienden un concepto, ellos recordarn

durante ms tiempo y utilizarn para aprender nuevos

conceptos.

Si al profesor le gusta ensear matemtica, al alumno le gusta

aprender y viceversa.