Newton Raphson

Ing Yamil Armando Cerquera Rojas [email protected]

Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia 1 de 38

RAÌCES DE ECUACIONES Método Newton Raphson

Ing Yamil Armando Cerquera Rojas – [email protected]

Especialista en Sistemas Universidad Nacional Docente Universidad Surcolombiana

Neiva - Huila

Contenido

Grado de un polinomio ......................................................................... 6 Raíces de un polinomio ......................................................................... 6 Factorización de un polinomio ................................................................ 7 Representación gráfica de las raíces de un polinomio..................................... 7 Raíces Únicas y Múltiples:...................................................................... 9 Teorema fundamental del Álgebra ......................................................... 12 Todo polinomio de grado n tiene n raíces. ................................................ 12 Regla de los signos de Descartes ............................................................ 12 Conjunto de posibles raíces.................................................................. 13 ¿Qué hacer cuando se tenga una raíz?...................................................... 14

Método de Newton-Raphson.................................................................... 15 Definición:...................................................................................... 15 Derivación de la fórmula ..................................................................... 16 Orden de Convergencia....................................................................... 17

Análisis de Convergencia .................................................................. 18 Consideraciones especiales del método de Newton Raphson: .......................... 20 Ejemplo 1: Ecuación polinomial de orden 3 ............................................... 21 Ejemplo 2: Ecuación )ln()( xexf x −= − .................................................. 23

Ejemplo 3: Aplicación en cinemática 23 2)( tttv −= .................................... 25

Ejemplo 4: Función 12)( 23 +−+= xxxxf ............................................. 26

Ejemplo 5: Función )1.2618sin(28.0)7.1114.11sin(21.1)( 9.556.6 otot tetetF ++−= −− .............. 27

Ejemplo 6: función xexxf −= 23)( ......................................................... 30

Ejemplo 7: Función 104)( 23 −+= xxxf ................................................... 31

Ejemplo 8: Función 43)( 23 −−= xxxf .................................................. 32 PRACTICA: Newton-Raphson para ecuaciones no lineales............................... 33 Trabajo de Laboratorio....................................................................... 35 Ejercicios Propuestos ......................................................................... 36 Recursos Bibliograficos ....................................................................... 37 Bibliografia OnLine:........................................................................... 38



ISAAC NEWTON (1642 - 1727)

Físico, matemático, astrónomo y filósofo inglés. La obra en la que desarrolla los principios fundamentales de la mecánica y su teoría de la atracción universal se publicó en 1687 con el título de "Principios matemáticos de la filosofía natural". La mayoría de las personas están familiarizadas en cierto grado con el nombre de Isaac Newton, debido a que su fama universal como descubridor de la ley de la gravedad ha seguido intacta durante los dos siglos y medio que han transcurrido desde su muerte.

Sin embargo, no es tan conocido el hecho de que, entre sus colosales realizaciones, creó virtualmente las ciencias físicas modernas y, en consecuencia, ha tenido una influencia más profunda en la dirección de la vida civilizada que el auge y la decadencia de los imperios. Quienes tienen autoridad para emitir juicios a este respecto, le consideran, unánimemente, uno de los pocos intelectuales supremos que ha producido la raza humana. Newton nació en el seno de una familia campesina, en la aldea de Woolsthorpe, en Inglaterra. Se sabe muy poco sobre sus primeros años y al parecer su vida como estudiante en Cambridge fue poco distinguida. En 1665, una epidemia de peste hizo que las universidades cerraran sus puertas y Newton regresó a su casa, en el campo, donde permaneció hasta 1667. Allí, en dos años de soledad rústica -de los 22 a los 24 años de edad- su ingenio creativo explotó en un torrente de descubrimientos no superados en toda la historia del pensamiento humano:

Las series binomiales para exponentes negativos y fraccionarios; El cálculo diferencial e integral; La gravitación universal como clave para explicar el mecanismo del sistema

solar y La resolución de la luz solar en el espectro visual, por medio de un prisma, con

sus implicaciones para la comprensión de los colores del arco iris y la naturaleza de la luz en general.

En sus últimos años, escribió las siguientes reminiscencias, sobre el periodo milagroso de su juventud: "En esos días, estaba en la mejor edad para los descubrimientos, y las matemáticas y la filosofía (o sea, las ciencias) me interesaron más que nada, desde entonces".



Newton fue siempre un hombre discreto y retraído y, en su mayor parte, se guardó para sí sus descubrimientos monumentales. No tenía interés en publicarlos y la mayor parte de sus grandes obras fueron arrancadas por los ruegos y la persistencia de sus amigos. De todos modos, su capacidad única era tan evidente para su maestro Isaac Barrow quien, en 1669, dimitió su profesorado en favor de su alumno (¡un caso sin precedentes en la vida académica!) y Newton se estableció en Cambridge durante los 27 años siguientes. Sus descubrimientos matemáticos nunca se publicaron realmente en forma conexa y llegaron a conocerse, en forma limitada, casi por accidente, por medio de conversaciones y de las respuestas a preguntas que le hicieron por carta. Consideró sus descubrimientos en matemáticas primordialmente como un instrumento fructífero para el estudio de problemas científicos y como algo que, en sí mismo, tenía relativamente poco interés. Mientras tanto, en Alemania, Leibniz había inventado también el cálculo, de manera independiente; y debido a su constante correspondencia con los Bernoulli y a los trabajos posteriores de Euler, el nuevo análisis se extendió en todo el continente, donde permaneció a la cabeza durante 200 años No se sabe gran cosa sobre la vida de Newton en Cambridge, en los primeros años de su profesorado; pero es seguro que entre sus principales intereses se contaron la óptica y la construcción de telescopios. Experimentó muchas técnicas para esmerilar vidrios (con herramientas diseñadas por él mismo) y hacia 1670 construyó el primer telescopio de reflexión, el antepasado de los grandes instrumentos que se utilizan actualmente en monte Palomar y en todo el mundo. La pertinencia y la simplicidad de su análisis prismático de la luz solar, marcó ese trabajo inicial como uno de los clásicos sin limitaciones de tiempo de las ciencias experimentales. No obstante, eso era sólo el comienzo, puesto que fue penetrando cada vez más en los misterios de la luz y todos sus esfuerzos en ese sentido siguieron dando muestras de un ingenio experimental del más alto orden. Publicó algunos de sus descubrimientos; pero los científicos más destacados de su tiempo los recibieron con tanta estupidez contenciosa, que Newton se retrajo nuevamente en su concha, con una mayor resolución de trabajar, a partir de entonces, para su exclusiva satisfacción. Veinte años después, confió a Leibniz las palabras siguientes: "En cuanto a los fenómenos de los colores... Estoy convencido de haber descubierto la explicación más segura; pero no quiero publicarla en libros, por temor de que los ignorantes inicien disputas y controversias contra mi"



A fines de la década de 1670, Newton tuvo uno de sus lapsos periódicos de desagrado por las ciencias y dirigió sus energías hacia otros cauces. Todavía no había publicado nada sobre dinámica o la gravedad y sus numerosos descubrimientos en esos campos permanecías olvidados sobre su escritorio. Sin embargo, al fin, estimulado y enojado por las pretensiones y las críticas de Robert Hooke y calmado por la intervención diplomática de Edmund Halley, dedicó su atención nuevamente a esos problemas y comenzó a escribir su obra principal, el Principia. Cuando Newton se dedicaba al trabajo científico se parecía a un volcán activo, con largos periodos de inactividad, contrastados, de vez en cuando, por grandes erupciones de una actividad casi sobrehumana. El libro Principia lo escribió en 18 meses de increíble concentración, y cuando se publicó, en 1687, se reconoció inmediatamente que era una de las realizaciones supremas de la mente humana. En esa obra, estableció los principios básicos de la mecánica teórica y la dinámica de los fluidos, aplicó el primer tratamiento matemático al movimiento ondulado, dedujo las leyes de Kepler a partir de la ley de cuadrados inversos de la gravitación y explicó las órbitas de los cometas; calculó las masas de la Tierra, el Sol y los planetas con sus satélites, explicó la forma aplastada de la Tierra y utilizó esta idea para explicar la precesión de los equinoccios, además de que estableció la teoría de las mareas. Estas son tan sólo unas cuantas de las numerosas maravillas de su obra prodigiosa. El Principia es un libro de lectura difícil, porque tiene un estilo de inhumana lejanía que quizá sea el más apropiado para la grandeza del tema. Asimismo contiene densas ecuaciones matemáticas de geometría clásica, poco cultivada en su época y todavía menos en la actualidad. En cuanto a la dinámica y mecánica celeste, logró concluir magníficamente la obra que habían iniciado Copérnico, Kepler y Galileo. Ese triunfo fue tan completo que los trabajos de los principales científicos en esos campos, durante los dos siglos siguientes, fueron poco más que notas calcadas de esta síntesis colosal. También vale la pena recordar que la espectroscopia ha contribuido, más que ninguna otra ciencia, al progreso de los conocimientos astronómicos del universo en general; tuvo su origen en el análisis prismático de la luz del Sol, que realizó Newton. Después de la poderosa erupción de su ingenio que lo llevó a la creación de Principia, Newton volvió a alejarse de las ciencias. En 1696, abandonó Cambridge para ir a Londres, con el fin de convertirse en Warden of the Mint (y posteriormente en Master), y durante el resto de su larga vida, se introdujo un poco en la sociedad e inclusive comenzó a gozar un poco de su posición única, en el pináculo de la fama como científico.



Esos cambios de intereses y de ambiente no se reflejaron en una disminución de su capacidad intelectual inigualable. Por ejemplo, un atardecer, al final de un día de trabajo agotador en la Moneda, se enteró del problema de la braquistócrona de Johann Bernoulli -presentado como un desafío "para los matemáticos más brillantes del mundo"- y lo resolvió esa misma noche, antes de acostarse. La publicación de su obra Opticks, en 1704, fue mucho más importante para la ciencia. En ese libro, reunió y amplió sus trabajos anteriores sobre la luz y los colores.

A Isaac Newton se debe el cálculo de raíces de una función o ecuación por aproximaciones sucesivas usando la tangente.



Polinomios

Un polinomio es una suma de términos llamados monomios. Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre x o y) elevada a un exponente (entero positivo).

Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo:

Monomio (un término): 25x En este caso el coeficiente es 5, la variable es x el exponente 2

Binomio (dos términos): 26 7 −x Trinomio (tres términos): 235 43 xxx −+

En este trabajo se utilizaran polinomios con coeficientes enteros y potencias enteras positivas.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo:

25x Es un polinomio de grado 2

26 7 −x Es de grado 7

235 43 xxx −+ Es de grado 5

2 x4- x3 - x2 ¿De qué grado es?

6 x5 - 4 x2 - 19 x ¿De qué grado es?

3 x15 + x13 - x2 ¿De qué grado es?

13 ¿De qué grado es? Nota cómo se deben escribir los polinomios. Se deben escribir en orden decreciente con respecto al grado de cada término.

Raíces de un polinomio

La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polinomio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.

Por ejemplo el polinomio 12)( 2 −+= xxxf , cuando se iguala a cero y se resuelve se tiene:

0122 =−+ xx Igualando a cero.

0)3)(4( =−+ xx Factorizando.

4−=x Raíz 1 3=x Raíz 2



Puesto que 41 −=x y 32 =x , son soluciones de f(x) entonces 0)4( =−f y 0)3( =f . Se

dice entonces que 41 −=x y 32 =x , son raíces del polinomio 12)( 2 −+= xxxf

Las raíces de 64)( 23 ++−= xxxxf son x = - 1, x = 2 y x = 3 ¿Por qué?

Factorización de un polinomio

El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio. Para poder factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces. Cuando se tengan estas, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma (x-r) donde r es una de las raíces. Esto es, si r1, r2, ... , rn son raíces del polinomio f(x) entonces la factorización de f(x) es: ))...()(()( 21 nrxrxrxxf −−−= Por ejemplo, si

1. 64)( 23 ++−= xxxxf : Como sus raíces son x = - 1, x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como )3)(2)(1()3)(2))(1(()( −−+=−−−−= xxxxxxxf

2. 12)( 2 −+= xxxf : Como sus raíces son x = - 4 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como )3)(4()3))(4(()( −+=−−−= xxxxxf

Representación gráfica de las raíces de un polinomio

Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto se identifica como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas).

Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa la raíz del polinomio graficado.

A continuación se presentan algunas funciones con sus raíces, factores y gráficas:

Descripción Gráfica

Función 12)( 2 −+= xxxf

Raíces - 4 y 3

Factorización )3)(4()( −+= xxxf




Función 64)( 23 ++−= xxxxf

Raíces - 1, 2 y 3

Factorización )3)(2)(1()( −−+= xxxxf

Función 45)( 24 +−= xxxf

Raíces - 2, - 1, 1 y 2

Factorización )2)(1)(2)(1()( −−++= xxxxxf

Función xxxxf 34)( 23 ++=

Raíces ¿Cuáles son?

Factorización f(x) =

Función 652)( 23 +−−= xxxxf

Raíces 1, - 2 y 3

Factorización )3)(2)(1()( −+−= xxxxf



Raíces Únicas y Múltiples: Los polinomios pueden tener raíces únicas en un punto determinado del eje x o raíces que se repiten en un número par o impar veces, es decir una raíz sobre el eje x puede ser la misma par o impar veces. Dicho de otra manera una raíz por ejemplo dos (2) puede ser la misma raíz pero repetida tres (3) veces (impar) o repetida 2 veces (par).

La tabla siguiente muestra la función 4)( 2 −= xxf , y en la gráfica se observa como esta corta el eje x tanto en el punto -2 y 2 de un lado a otro siguiendo la forma de la figura.

Se puede decir que la figura pasa de un lado al otro el eje x en el punto de corte o raíz. Por lo tanto la raíz es única en el valor de menos dos (-2) y única en el valor de dos (2).

Es un polinomio de orden dos por lo tanto solo tendrá dos (2) raíces. En la parte donde se muestra el polinomio factorizado )2)(2()( +−= xxxf se puede observar que si la variable x toma el valor de 2 o toma el valor de -2 la función tomará el valor de cero.


Función 4)( 2 −= xxf

Raíces - 2, 2

Factorización )2)(2()( +−= xxxf

Para el caso del siguiente ejemplo la función 12)( 2 +−= xxxf tiene dos (2) raíces, y si observa la gráfica, esta no corta el eje x en ningún sector. Ahora si observa el valor de uno (1) en el eje x, es un punto donde la función se vuelve cero (0). Se debe considerar al valor de uno (1) como raíz de la función. Lo que pasa es que dicha raíz se repite par veces (para el caso del ejemplo 2 veces), por esta razón la gráfica no corta el eje x, sino que lo toca tangencialmente en el punto raíz y cambia su pendiente. Se puede decir matemáticamente que en el punto raíz, la derivada de la función es igual a cero (0) ó dicho de otra manera en este punto la tangente es igual a cero (0). En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que hace que la función tome el valor de cero (0) es el punto uno (1) sobre el eje x, y



puede ser en el término de la izquierda o en el término de la derecha, es decir dos veces.



Raíces 1, 1

Factorización )1)(1()( −−= xxxf

Para el caso del siguiente ejemplo la función 8126)( 23 ++−= xxxxf tiene 3 raíces, y si observa la gráfica, esta corta el eje x aparentemente en varios puntos cercanos a 2. Ahora si observa el valor de 2 en el eje x, es un punto donde la función se vuelve cero. Se debe considerar al valor de 2 como raíz de la función. Lo que pasa es que dicha raíz se repite impar veces (para el caso del ejemplo 3 veces), por esta razón la gráfica corta el eje x de la forma como se observa en la figura. En el punto de corte sobre el eje x, este y la gráfica son paralelos superpuestos. Se puede decir matemáticamente que en el punto raíz la derivada de la función es igual a cero. En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que hace que la función tome el valor de cero es 1, y puede ser en el término de la izquierda o en el término de la derecha, es decir dos veces.


Función 8126)( 23 ++−= xxxxf

Raíces 2, 2, 2

Factorización )2)(2)(2()( −−−= xxxxf

Para el caso del siguiente ejemplo la función 43)( 23 +−= xxxf tiene 3 raíces, y si observa la gráfica, esta corta el eje x aparentemente en un punto igual a menos uno (-1) y toca tangencialmente dicho eje en un valor igual a uno (1). Ahora si observa el valor de -1 en el eje



x, es un punto donde la función cruza el eje de las x con cierta pendiente, esto indica que ese punto de corte es una raíz única. Ahora en le punto 1 sobre el eje de las x la curva o grafica de la función toca tangencialmente el eje y cambia de pendiente. Esto debe asumirse como una raíz que se repite par veces. Como el polinomio de es orden 3 y ya se sabe de una raíz única se puede decir que dicha raíz es par veces repetida. Se puede decir matemáticamente que en el punto 1 considerado como raíz repetida par veces, la derivada de la función es igual a cero. En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que hace que la función tome el valor de cero es -1, en el término de la izquierda o 1 en los dos términos de la derecha. En el caso de que la raíz 1 se repitiera 4 veces diferenciaría la forma de la gráfica en que la pendiente de esta es mayor o menor al acercarse al eje.



Raíces - 1, 2, 2

Factorización )2)(2)(1()( −−+= xxxxf

En el siguiente ejemplo muestra la combinación de las tres formas que toma la gráfica dependiendo si sus raíces se repiten par o impar veces o son raíces únicas.


Función 288240160248

....10217)(23

456

−++−

−+−=

xxx

xxxxf

Raíces - 1, 2, 2, 2, 6, 6

Factorización 23 )6()2)(1()( −−+= xxxxf

Que análisis de acuerdo con lo mostrado anteriormente le puede realizar a las siguientes funciones.



)1()1)(1()( 2 −−+= xxxxf 45 )6()2)(1()( −−+= xxxxf

)()2)(2()( 3 xxxxf −+= 1)1()1()( 2 ++−= xxxf

1)6()2)(1()( 45 +−−+= xxxxf 1)1()( 2 −−= xxf

)1()1()( 2 −+−= xxxf )1()1)1(()( 22 −+−= xxxf

Teorema fundamental del Álgebra Carl Friedrch Gauss ha sido uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Contribuyó a muchas ramas de las matemáticas. En 1798, ¡ a los 20 años de edad !, Gauss demostró el teorema fundamental del Álgebra que dice lo siguiente:

Todo polinomio de grado n tiene n raíces.

Si se toma una ecuación en términos generales, tal como la ecuación siguiente:

0... 01

12

23

33

32

21

1 =++++++++ −−

−−

−− axaxaxaxaxaxaxa n

nn

nn

nn

n . Se puede decir entornes que es una ecuación de orden n y por tanto tiene n soluciones. Recuerde que en es este apartado sólo se tiene polinomios con coeficientes enteros. Observa la tabla anterior, donde se da la función, las raíces y la gráfica y verifica que efectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces. Una forma en la que se puede interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio, dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces si:

01

12

23

33

32

21

1 ...)( axaxaxaxaxaxaxaxf nn

nn

nn

nn ++++++++= −

−−

−−

− , Se puede decir que:

))...()(()( 21 nrxrxrxxf −−−= Donde r1, r2, ... , rn son las raíces de f(x). La demostración de este teorema queda lejos del objetivo de esta página sin embargo daremos algunas herramientas para encontrar las n raíces.

Regla de los signos de Descartes

Rene Descartes encontró un método para indicar el número de raíces positivas en un polinomio.

Esta regla dice lo siguiente:



"El número de raíces reales positivas (+) de un polinomio )(xf es igual al número de cambios de signo de término a término de )(xf " Hay que recordar que los polinomios se deben escribir en orden decreciente conforme al grado de cada término. Por ejemplo el polinomio f(x)= x2 + x - 12 tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz positiva. g(x)= +x3 - 4 x2 + x + 6 tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas h(x)= +x4 - 5 x2 + 4 tiene dos raíces positivas i(x)= x3 + 4 x2 + 3 x No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene raíces reales positivas. j(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 ¿Cuántas raíces positivas tiene? También puede evaluar la expresión en los valores 1 y -1 teniendo en cuenta solo el signo de cada término de la expresión. En caso de que un término no exista se toma como 0 (positivo). En el ejemplo de la siguiente tabla para el caso de la primera función al evaluar la función en 1, el primer término de la función toma un valor positivo y el segundo toma un valor negativo, por tanto se dice que tiene una raíz positiva en razón a un solo cambio de signo (de positivo a negativo). Como se trata de una ecuación de una recta pues tan solo tiene una raíz. Pero por probar se ha evaluado la función en -1, resultando en ambos términos un signo -, o sea que no hay cambio de signo, indicando con esto que no hay raíces negativas, en la función 1)( −= xxf .

Nro Ecuación Signo Rai_Pos Rai_Neg

1 1)( −= xxf )1(

)1(−−=−

−+=ff 1 0

2 12)( 2 −+= xxxf )1( )1(

−−+=−−++=

ff 1 1

3 652)( 23 +−−= xxxxf ++−−=−+−−+=

)1( )1(

ff 2 1

4 xxxxf 34)( 23 ++= +−+−=−++++=

)1( )1(

ff 0 3

5 45)( 24 +−= xxxf ++−++=−++−++=

)1( )1(

ff 2 2

6 64)( 23 ++−= xxxxf +−−−=−++−+=

)1( )1(

ff 2 1

Conjunto de posibles raíces Existe un método para encontrar un conjunto de números, los cuales pueden ser raíces de un polinomio. La regla que mencionaremos aquí es aplicable sólo para polinomios con el coeficiente de la potencia mayor de x igual a 1. Es decir, si



01

12

23

33

32

21

1 ...)( axaxaxaxaxaxaxaxf nn

nn

nn

nn ++++++++= −

−−

−−

− , se toma a 10 =a . Esto es que sólo se trabaja con polinomios de la siguiente forma:

01

12

23

33

32

21

1 ...)( axaxaxaxaxaxaxxf nn

nn

nn

n ++++++++= −−

−−

−−

El conjunto de posibles raíces de )(xf se forma con los divisores de a0 (del término independiente), hay que considerar estos divisores tanto con signo positivo como con negativo.

La forma en que se puede usar esta información del término independiente es la siguiente, puesto que cualquier elemento de este conjunto puede ser raíz de )(xf hay que evaluar a )(xf en algún valor de este conjunto y si el resultado de la evaluación es cero, entonces ese valor escogido es raíz de )(xf .

En la siguiente tabla se muestran varios polinomios, los divisores del término independiente y las raíces de los polinomios:

Función Divisores del término independiente Raíces

12)( 2 −+= xxxf 1, 2, 3, 4, 6, 12,

-1, -2, -3, -4, -6, -12 - 4 y 3

f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 - 1, 2 y 3

f(x)= x4 - 5 x2 + 4 1, 2, 4, -1, -2, -4 - 2, - 1, 1 y 2

f(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 1, - 2 y 3

¿Qué hacer cuando se tenga una raíz? Con lo visto en los apartados anteriores se tiene las herramientas necesarias para encontrar las n raíces de un polinomio. Recuerde que para encontrar una raíz es necesario saber los divisores del término independiente y evaluar nuestro polinomio en con el valor escogido. Además de haber encontrado una raíz usando el método anterior se ha hallado un factor del polinomio. Se puede estar seguro de que si r es una raíz de f(x) entonces al dividir

)/()( rxxf − tendrá como resultado un polinomio de un grado menor a f(x) y como residuo cero. Así se ha reducido el problema de encontrar n raíces en otro problema, el encontrar sólo n-1 raíces.



Método de Newton-Raphson

Definición: El método de Newton es una extensión directa del método del mismo nombre para buscar ceros de funciones de una variable. La idea es realizar el desarrollo de las series de Taylor de una función alrededor de una estimación de la raíz 0x

....)``()(21)`()()()( 00000 +−+−+= xfxxxfxxxfxf

Truncando la serie a primer orden e igualando 0)( =xf se tiene.

)`()(

0

00 xf

xfxx −=

Este Método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el Método de diferencias divididas para aproximar )`(xf . El Método de Newton-Raphson asume que la función )(xf es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces )(xf tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en ))(,( 00 xfx es una aproximación a la curva de )(xf cerca del punto ))(,( 00 xfx .

En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de )(xf o denominada raíz de f(x).

Figura 1 Modelo general del método de Newton Raphson

Si ha intentado encontrar una raíz de una función complicada algebraicamente alguna vez, usted puede haber tenido alguna dificultad. Usando algunos conceptos básicos de cálculo, se tienen maneras de evaluar raíces de funciones complicadas numéricamente. Normalmente, se usa el método de Newton-Raphson. Este proceso iterativo sigue una pauta fija para aproximar una raíz, considerado la función, su derivada, y un valor x inicial. Usted puede recordar del álgebra que una raíz de una función es un cero de la función. Esto significa que la raíz de una función, se calcula cuando la función se iguala a cero. Se puede

encontrar las raíces de una función simple como 4)( 2 −= xxf simplemente colocando la función igual a cero, y resolviendo:

04)( 2 =−= xxf , de aquí se tiene que 0)2)(2()( =−+= xxxf , para concluir que la igualdad se cumple solo si x = 2 ó x = -2, que son consideradas como raíces de la ecuación.



Figura 2. Gráfica de la función 4)( 2 −= xxf en el intervalo [-3,3]

En el gráfico anterior se observa que el punto 2−=x y 2=x , la curva corta al eje x, considerando estos puntosa como raíz de la función. El Método de Newton Raphson usa un proceso iterativo para encontrar la raíz de una función. La raíz especifica que el proceso localiza un valor que depende del valor x inicial, valor x escogido arbitrariamente.

Se Calcula la primera aproximación, x1, como el cero de la línea tangente en un punto inicial x0 dado. Se calcula la segunda aproximación, x2, como el cero de la línea tangente en la primera aproximación x1. Siguiendo el esquema mostrado más abajo, las primeras dos aproximaciones de raíces usando el Método Newton-Raphson, se buscan con el mismo criterio del Método de la Bisección:

Figura 3

Derivación de la fórmula El Método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, de hecho, el Método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto ))(,( 00 xfx y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el

punto, )( 0xf . La nueva aproximación a la raíz, 1x , se obtiene de la intersección de la función lineal con el eje X de ordenadas.



La ecuación de la recta que pasa por el punto ))(,( 00 xfx y de pendiente )(' 0xf es:

))((')( 000 xxxfxfy −=− De donde, haciendo 0=y y despejando x se obtiene la ecuación de Newton-Raphson

)('/)(1 nnnn xfxfxx −=+

Figura 4

Demostración: Sea 0x la raíz supuesta inicial o valor inicial de las iteraciones y si se aplican funciones trigonométricas al ángulo α de la figura 4 se tiene que )/()()tan( 10 xxxf o −=α , a

partir de esta fórmula se puede decir que: )tan(/)()( 010 αxfxx =− . y despejando 1x se

tendría la fórmula de Newton. La pendiente en 0x esta dada por )(')tan( 0xf=α .

Teniendo en cuenta lo anterior se tendría entonces que: )('/)( 0001 xfxfxx −= . También se puede deducir de teniendo en cuenta que la ecuación de la línea tangente en 0x esta dada por: ))((')( 000 xxxfxfy −=− . La primera aproximación 1x es

obtenida como la raíz de (1). Así )0,( 1x es un punto sobre la ecuación anterior.

De aquí, ))(()(0 0100 ` xxxfxf −=− Despejando, )`(/)( 0001 xfxfxx −=− Finalmente se obtiene: )`(/)( 0001 xfxfxx −= Por construcción similar se obtiene: )('/)(1 nnnn xfxfxx −=+

Donde, nx es una valor para x conocido actualmente, )( nxf representa el valor de la

función evaluada en nx , y )(' nxf es la derivada evaluada en nx , 1+nx representa el próximo valor para x que se está tratando de encontrar como raíz al aplicar el modelo.

Esencialmente, )(' 0xf , la derivada representa dxxf )( , (dx = delta-x) ó 10 xxdx −= . Sin

embargo, el término )`(/)( xfxf representa un valor de xdx ∆= .

xxxf

xfxfxf

∆=∆

=/)()(

)(')(

Orden de Convergencia Sean x0, x1, x2. . . una secuencia que converge a r y sea en = xn - r. Si existe un número m y

una constante C (distinta de cero), tal que: ce

em

n

n =+1lim Cuando ∞→n , Entonces m es

llamado orden de convergencia de la secuencia y C el error asintótico constante. Para m=1,2,3, la convergencia se dice lineal, cuadrática y cúbica respectivamente.



Análisis de Convergencia

Sean 1210 ,,...,,, +nn xxxxx las aproximaciones en sucesivas iteraciones. Sea r el

verdadero valor de la raíz. Si se toma como error en la n-esima iteración a ne .

Entonces el error ne estará dado por: rxe nn −= y en consecuencia rxe nn −= ++ 11

Si se tiene que )('/)(1 nnnn xfxfxx −=+

rxfxfxe nnnn −−=+ )('/)(1

)('/)(1 nnnn xfxfrxe −−=+

)('/)(1 nnnn xfxfee −=+

( ) 1)....('/)()('1 Ecxfxfxfee nnnnn −=+

Ahora, expandiendo )( nn exf − en serie de Taylor se obtiene,

2)2/)(''()(')()( nnnnnn ecfexfxfexf +−=− 2)2/)(''()(')()( nnnn ecfxfexfrf +−=

2)2/)(''()(')(0 nnnn ecfxfexf +−=

2,....)2/)(''()()(' 2 Ececfxfxfe nnnn =−

De las ecuaciones 1 y 2 se obtiene,

)('/)2/)("( 21 nnn xfecfe =+ , 2

1 ))('/)("(21

nnn exfcfe =+

Esto es, 21 nn cee =+ , donde ))('/)("(2

1nxfcfc =

De aquí 2

1 * nn ece <=+ , esto es, 2

1 * rxcrx nn −<=−+

Por lo que Newton-Raphson es un método que converge cuadráticamente, es decir, que el número de cifras decimales correctos se duplica aproximadamente en cada iteración, o el error es aproximadamente proporcional al cuadrado del error anterior. Dos situaciones en las que el Método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el Método no alcanza la convergencia y (b) el Método converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación.

Figura 4 . No convergencia en la que se puede incurrir con el método de newton.



Entre más iteraciones se ejecuten, los xdx ∆= tenderán a ser mas pequeños y por ende tenderán a cero (0) minimizando el valor del error. Para ver cómo trabaja esto, se aplicará el método Newton-Raphson a la función que se trabajó antes, 4)( 2 −= xxf . Abajo se lista los valores que se necesitan conocer para completar el proceso.

4)( 2 −= xxf

xxf 2)(' =

60 =x

Teóricamente, se podría ejecutar un número infinito de iteraciones para encontrar una representación perfecta para la raíz de la función. Sin embargo, éste es un método numérico que se usa para disminuir el trabajo de encontrar la raíz, para que toque hacer de forma manual este proceso. Por consiguiente se asume que el proceso ha trabajado con precisión cuando delta-x (dx) se vuelva menor que 0.1. Este valor de precisión debe ser específico a cada situación.

Tabla. 1

n nx )( nxf )(' nxf 1+nx dx

0 x0 = 6 f(x0 )= 32 f'(x0 )= 12 x1 = 3.33

1 x1 = 3.33 f(x1) = 7.09 f'(x1) = 6.66 x2 = 2.27 1.06

2 x2 = 2.27 f(x2) = 1.15 f'(x2) = 4.54 x3 = 2.01 0.26

3 x3 = 2.01 f(x3) = 0.04 f'(x3) = 4.02 x4 = 2.00 0.01

Interpretando lo mostrado en la tabla 1 así; usando un valor inicial para 60 =x , se

encontró que la raíz de la ecuación 4)( 2 −= xxf es 2=x después de 4 iteraciones

con un dx igual a 0.01. Si se toma un valor inicial diferente para 0x , se puede llegar a la misma raíz, o puede encontrar alguna otra raíz, por ejemplo 2−=x .

Una representación gráfica también puede ser muy útil. En la Figura 5, verá la misma función 4)( 2 −= xxf (mostrado en color azul). El proceso es el mismo descrito anteriormente. En la primera iteración, la línea roja está tangente a la curva en el 0x . La inclinación de la tangente es la derivada en el punto de tangencia, y para la primera iteración es igual a 12. Dividiendo el valor de la función evaluado en el x inicial 32)6( =f por la pendiente de la tangente (12), se encuentra que el (delta-x)

67.2=∆x . Substrayendo esto de seis (6) se encuentra que el nuevo x-valor es igual a 33.31 =x . Otra manera de considerar esto es encontrar la raíz de esta línea tangente.



Figura 5 Primera iteración aplicando el modelo de Newton

Consideraciones especiales del método de Newton Raphson: El método de Newton-Raphson no siempre trabaja. Se encuentra con problemas en varias partes. Primero, considere el ejemplo anterior. Qué pasarían si se escoge un valor x inicial de x=0? Se tendría una "división por cero" error, y no podría proceder. ¿Usted puede considerar también operando el proceso en el f(x de la función) = x 1/3, usando un valor x inicial de x=1. Los valores x convergen? ¿Hace el delta-x la disminución hacia el cero (0)? ¿Así, cómo esto relaciona a la química? Considere la ecuación de Van Der Waals que podrá encontrar en la sección de Leyes de Gases. Asumiendo que se tiene un número fijo de moles de un gas fijo, no bajo las condiciones ideales, que se puede usar el método de Newton-Raphson para resolver para una de las tres variables (la temperatura, presión, o volumen), basado en las otras dos. Para hacer esto, Para esto se necesita usar la ecuación de Van Der Waals, y derivar esta, ambos en seguida.

RTbnV

VanP =−+ ))(( 2

2

02)1( 3

2

2

2=−

+

−+

+

dtdTRb

nV

Van

dtdP

VanP

ndtdV

Como puede observar, la Ecuación de Van Der Waals es bastante compleja. No es posible resolverla algebraicamente, para lo cual se debe usar un método numérico. El método de Newton-Raphson es la manera más fácil y más fidedigna de resolver las ecuaciones, aunque la ecuación y su derivada parecen realmente intimidantes. Dependiendo de las condiciones bajo las que este intentando resolver esta ecuación, algunas de las variables pueden estar cambiando. Así que, puede ser necesario usar derivadas parciales. Para los propósitos de este ejemplo, Se asume que la presión, temperatura, y volumen son las únicas variables cambiantes, y que estos valores son todas las funciones de tiempo. Esto evita el uso de derivadas parciales; se diferencian todas las variables simplemente con respecto al tiempo, como es mostrado anteriormente. Alguna manipulación algebraica de la ecuación y/o su derivada que depende del problema específico a ser resuelto puede necesitarse. Es supuesto que se especifican todas las variables pero uno; esa variable se



usa en la expresión para el "xn+1" que el método de Newton usa. Desarrollando el método de Newton con éxito en esta ecuación daría un valor de esa variable que da una solución que cuando las otras variables se mantienen constantes en los valores que se especificó. Algoritmo:

1. Dada una función 0)( =xf obtener la Primera y Segunda derivada.

2. Elegir un valor inicial 0x . Este valor inicial debe cumplir con el criterio de convergencia:

3. Obtener una nueva aproximación evaluando la fórmula general del método )('/)(1 nnnn xfxfxx −=+

4. Evaluar la aproximación relativa

5. Si 11 /)( ++ − nnn xxx < Tolerancia

(Falso) Repetir el paso 3 y 4 (Verdadero) Entonces 1+nx es la Raíz

Ejemplo 1: Ecuación polinomial de orden 3 Vea a continuación un ejemplo, con la siguiente ecuación: 16)( 3 ++= xxxf

Instrucciones para graficar con MatLab. x=-4:0.1:4; fx=x.^3+x+16; plot(x,fx) grid on

Figura 6. Función 16)( 3 ++= xxxf

n nx )( nxf )(' nxf )('/)( nn xfxf )`()(1 nnnn xfxfxx −=+ 0 2.0000 26.0000 13.0000 2.0000 0.0000 1 0.0000 16.0000 1.0000 16.0000 -16.0000 2 -16.0000 -4096.0000 769.0000 -5.3000 -10.7000 3 -10.7000 -1210.7000 342.8000 -3.5000 -7.1000 4 -7.1142 -355.3900 154.0100 -2.3076 -4.8341 5 -4.8341 -101.7983 71.1049 -1.4317 -3.4024 6 -3.4024 -26.7902 35.7293 -0.7498 -2.6526 7 -2.6526 -5.3171 22.1089 -0.2405 -2.4121 8 -2.4121 -0.4464 18.4548 -0.0242 -2.3879 9 -2.3879 -0.0042 18.1065 -0.0002 -2.3877



Dependiendo del valor de x con el cual se inician las iteraciones se conseguirá el encuentro de la raíz en menos o más iteraciones. Basta con observar la figura 6 y tratar de aplicar el modelo sobre la misma para darse cuenta porque las oscilaciones

n nx )( nxf )(' nxf )('/)( nn xfxf )`()(1 nnnn xfxfxx −=+ 0 4 84 49 1.7143 2.2857 1 2.2857 30.2274 16.6735 1.8129 0.4728 2 0.4728 16.5785 1.6706 9.9234 -9.4506 3 -9.4506 -837.517 268.9410 -3.1141 -6.3365 4 -6.3365 -244.7499 121.4522 -2.0152 -4.3213 5 -4.3213 -69.0136 57.0200 -1.2103 -3.1109 6 -3.1109 -17.2179 30.0335 -0.5733 -2.5376 7 -2.5376 -2.8789 20.3187 -0.1417 -2.3959 8 -2.3959 -0.1500 18.2217 -0.0082 -2.3877 9 -2.3877 -0.0005 18.1035 -0.0000 -2.3877 10 -2.3877 -0.0000 18.1031 -0.0000 -2.3877

Los anteriores cálculos se realizaron haciendo uso del paquete MatLab con el siguiente código. Si desea tener mas cifras significativas puedes cambiar el formato de presentación por el de format long.

format short; x=4; fx=x.^3+x+16; while abs(fx)>0.00001 fx=x.^3+x+16; dfx=3*x^2+1; xn=x-fx/dfx; disp ([x fx dfx fx/dfx xn]); x=xn; end

Si se aplicara el método con lenguaje C y se trabajara un nivel menor de tolerancia los resultados serían los siguientes:

n nx )( nxf 0 2.0000000000e+00 2.600000000e+01 1 -8.8888888889e-01 1.440877915e+01 2 -6.4731525784e+00 -2.617092778e+02 3 -3.3870823116e+00 -2.624479676e+01 4 -2.2910214677e+00 1.683912327e+00 5 -2.4374797174e+00 -9.192959325e-01 6 -2.3661202961e+00 3.870954684e-01 7 -2.3978571056e+00 -1.848609426e-01 8 -2.3830675645e+00 8.346548208e-02 9 -2.3898215161e+00 -3.868219039e-02 10 -2.3867076332e+00 1.771466692e-02 11 -2.3881370715e+00 -8.157247458e-03 12 -2.3874795682e+00 3.746775102e-03 13 -2.3877817246e+00 -1.722963287e-03 14 -2.3876428096e+00 7.918859082e-04 15 -2.3877066628e+00 -3.640455920e-04 16 -2.3876773097e+00 1.673400724e-04 17 -2.3876908026e+00 -7.692484810e-05 18 -2.3876846001e+00 3.536087399e-05



Solución aproximada = -2.387684600090e+00 Con f(P) = 3.536087399171e-05 Número de iteraciones = 18 Tolerancia = 1.000000000000e-05

Ejemplo 2: Raíz de la función 31 5)( xexf x −= −

Encontrar la raíz cerca de 1=x de 31 5)( xexf x −= − iniciando con 10 =x . ¿Cuán exacta es la estimación después de cuatro iteraciones del método de Newton?. Tabule el número de dígitos correctos en cada iteración del método de Newton y observe si se duplican cada vez. (Solución 49404364.0=r )

Solución: Para obtener una solución a 0)( =xf mediante el método de Newton, dada la función diferenciable f y una aproximación inicial 0x , se utiliza el siguiente algoritmo:

En este caso, dada la aproximación inicial 10 =x y las funciones 31 5)( xexf x −= − y 21 15)(' xexf x −= − , para 4=N iteraciones, se tiene la siguiente tabla de los valores

obtenidos:

ix )( ixf )(' ixf 1+ix

0 1.000000 -4.000000 -1.400000 0.714286

1 0.714286 -1.070682 -6.901590 0.559150

2 0.559150 -0.230598 4.046242 0.502159

3 0.502159 -0.025100 -3.174613 0.494222

4 0.494222 -0.000545 -3.060792 0.494043

En este método iterativo debería cumplirse que el número de decimales de exactitud se duplica en cada iteración. Como se puede comprobar en la tabla, esto se cumple para 494000.04 =x con tres decimales exactos, y 484043.05 =x con seis decimales

exactos. La tolerancia alcanzada mediante el método de Newton es de 310−=TOL . Para saber cuántas iteraciones son necesarias para lograr dicha tolerancia mediante el



método de la bisección, con el intervalo [ ]1,714286.0 , hay que encontrar un número

entero N que satisfaga: 312 102

−=<−

≤− TOLxxxx NN

Por tanto, se tiene: 0000.81584.8102*)285714.0( 3 ≈=⇒< −− NN

Se ve pues, que para el método de la bisección se necesitarían, aproximadamente, el doble de iteraciones que para el método de Newton.

Ejemplo 3: Raíz de la función )ln()( xexf x −= −

Usar el Método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de la función

)ln()( xexf x −= − , comenzando con 10 =x y hasta que el error absoluto %1<ae . Solución

En este caso, se tiene que la derivada de la función es: x

exf x 1)(' −−= −

De aquí se tiene que:

i

x

ix

i

i

x

ix

ii

xe

xex

xe

xexxi

i

i

i

1)ln(

1)ln(

1−

−+=

−−

−−=

−

−

−

−

+

Se comienza con 10 =x y se obtiene: 268941421.11)ln(

0

001

0

0=

−

−+=

−

−

xe

xexxx

x

En este caso, el error aproximado es, %19.21%100*268941421.1

1268941421.1=

−=∈a

Ahora con 268941421.11 =x , Se continúa el proceso calculando primero x2, x3 y hasta reducir el error aproximado hasta lo mínimo que se pueda. Se resume los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox. 1.000000000 1.268941421 21.19% 1.309108403 3.06% 1.309799389 0.052%

De lo cual se concluye que 099019514.526 ≈ , la cual es correcta en todos sus dígitos. La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces n-esimas de números reales positivos. Observe que cuando el Método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una forma muy rápida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los Métodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisión la rapidez s lentitud del Método en estudio.



Ejemplo 4: Aplicación en cinemática 23 2)( tttv −=

Aplicación a la cinemática. Una partícula se mueve con una velocidad (en metros/segundo) dada en función del tiempo por medio de la función: 23 2)( tttv −= .

Utilizando el Método de Newton Raphson aproxima el tiempo en el que la partícula alcanza una velocidad de 1m/s, a partir del reposo.

1. Plantea la ecuación a resolver y la fórmula del Método de Newton-Raphson para este caso.

2. Calcula hasta la quinta iteración, considerando la iteración inicial igual a 3. 3. Se puede considerar al valor cero como iteración inicial? Explica. 4. Con la quinta y cuarta iteración calcula el error relativo de la aproximación para la

última iteración, indicando la cantidad de cifras significativas correctas según el error relativo.

Solución

1. La ecuación a resolver se obtiene de igualar a 1 (velocidad que alcanza la partícula) la función de la velocidad, 12)( 23 =−= tttv , y pasar restando al otro lado el 1.

Así, la ecuación quedará así: 12)( 23 −−= tttv

Figura 7 Grafica de la función de velocidad 12)( 23 −−= tttv

Para la realización de la gráfica haciendo uso de MatLab se utiliza el siguiente código.

x=0:0.1:4; fx=x.^3-2*x.^2-1; plot(x,fx) grid on

Para obtener la fórmula del Método de Newton-Raphson en este caso, se deriva la función obteniendo la siguiente ecuación: tttf 43)(' 2 −= , Con la fórmula de Newton



)`()(

1

11

−

−− −=

n

nnn xf

xfxx ; Se obtiene la expresión del Método quedando para este caso así:

nn

nnn

n

nnn tt

ttt

tftf

tt43

12)`()(

2

23

1−

−−−=−=+

2. Para calcular las aproximaciones se utiliza la expresión anterior con 30 =t ,

466667.243

12

020

20

30

01 =−

−−−=

tttt

tt

Continuando con las iteraciones se obtiene:

Iteración it

1 2.466667

2 2.247342

3 2.206900

4 2.205571

5 2.205569 Es decir, aproximadamente a los 2.205569 segundos la partícula alcanza una velocidad de 1m/s.

3. No se puede considerar al cero como iteración inicial, ya que la derivada tttf 43)(' 2 −= evaluada en cero vale cero.

4. Para calcular el error relativo se utiliza la fórmula:

5

5

451 101.0000001.0205569.2

205571.2205569.2 −− ==−

=−

=−

xxxx

xxx

n

nn

De esta forma se puede asegurar que en la quinta iteración las cifras 2.205569 son exactas.

Ejemplo 5: Función 12)( 23 +−+= xxxxf

Utilizar el Método de Newton para aproximar los ceros de: 12)( 23 +−+= xxxxf

Continuar las iteraciones hasta que dos aproximaciones sucesivas difieran en menos de 0,0001.



Figura 8 Gráfica función 12)( 23 +−+= xxxxf

Por la gráfica se observa que hay un único 0 que esta entre -1.5 y -1.

12612

2

23

1−+

+−+−=+

nn

nnnnn xx

xxxxx

n Xn f(Xn) f '(Xn) Ff (Xn) Ff '(Xn)

)`()(1 nnnn xfxfxx −=+

1 -1,2000 0,1840 5,2400 0,0351 -1,2351 2 -1,2351 0,0077 5,6828 0,0014 -1.2338 3 -1.2338 0.00001 5,6653 0,0000 -1.2338

Respuesta: Como las dos aproximaciones sucesivas difieren en menos de 0,0001, la estimación final del cero es 1,2338, obteniendo los valores con el siguiente código para MatLab.

format short; x=-1.2; fx=2*x.^3+x.^2-x+1; while abs(fx>0.00001) fx=2*x.^3+x.^2-x+1; dfx=6*x^2+2*x-1; xn=x-fx/dfx; disp ([x fx dfx fx/dfx xn]); x=xn; end

Ejemplo 6: Función )1.2618sin(28.0)7.1114.11sin(21.1)( 9.556.6 otot tetetF ++−= −−

En la función )1.2618sin(28.0)7.1114.11sin(21.1)( 9.556.6 otot tetetF ++−= −− , t es el tiempo, y el intervalo de interés es para los valores tal que t > 0.

La función seno es oscilatoria, afectada de la función exponencial. Tiende a cero cuando t tiene valores superiores a 1; se lleva tanto sus factores como la función F(t) a dicho valor, con lo cual la grafica de F(t) se confunde con el eje t para 1≥t .



Estas funciones son conocidas como oscilatorias amortiguadas. Si el exponente de e es positivo, al tender t a infinito (∞ ), la función es creciente y tiende rápidamente a infinito (∞ ); esta función se conoce como función oscilatoria no amortiguada.

Ahora se dan algunos valores a t en la función:

format short; t=0:0.2:1; ft=1.21*exp(-6.6*t).*sin(11.4*t-111.7*pi/180)+... 0.28*exp(-55.9*t).*sin(18*t+26.1*pi/180);

t f(t) 0,0 -1.00106744399655 0,2 0.10488140145009 0,4 0.04373517406561 0,6 -0.02270159505605 0,8 0.00477763344408 1,0 -0.00004228104332

Para efectos de la gráfica se puede ejecutar el siguiente código en MatLab.

format short; t=0:0.02:1; ft=1.21*exp(-6.6*t).*sin(11.4*t-111.7*pi/180)+... 0.28*exp(-55.9*t).*sin(18*t+26.1*pi/180); plot(t,ft) grid on

Figura 9. Función )1.2618sin(28.0)7.1114.11sin(21.1)( 9.556.6 otot tetetF ++−= −−

Estos valores señalan la presencia de raíces reales en los intervalos (0.1,0.2), (0.4,0.5), (0.6,0.8) y pudiese inducir que habría otra posiblemente en (0.8,1.0).



Luego pues, se aplica el Método de Newton-Raphson para encontrar las raíces en cada uno de los intervalos.

Utilizando la primera derivada de la función que es:

0)º1.2618sin(652.15)º1.2618cos(04.5

)º7.1114.11sin(986.7)º7.1114.11cos(794.13)(9.559.55

6.66.6

=+−++

−−−=′−−

−−

tete

tetetFtt

tt

Utilizando la fórmula:

)()(

1n

nnn tf

tftt

′−=+

Intervalo (0,0.2)

t1 F(t) F'(t) ea er ep 0,1 -0,45195045 7,84918551 0,15757928 -0,06523934 5,2485353 0,05757928 0,3653988 36,5398801 0,17000929 -0,00450956 4,52093195 0,01243001 0,0731137 7,31137024 0,17100677 -2,9291E-05 4,46220075 0,00099749 0,00583302 0,58330153 0,17101334 -1,2686E-09 4,46181423 6,5643E-06 3,8385E-05 0,0038385 0,17101334 1,2584E-16 4,46181422 2,8432E-10 1,6626E-09 1,6626E-07 0,17101334 -4,7963E-17 4,46181422 2,7756E-17 1,623E-16 1,623E-14 0,17101334 -4,7963E-17 4,46181422 0 0 0 Intervalo (0.4,0.6)

t2 F(t) F'(t) ea er ep 0,5 -0,02552511 -0,24887142 0,39743657 0,04667494 -1,15610121 0,10256343 0,2580624 25,8062397 0,43780928 0,00672327 -0,80750436 0,04037271 0,09221529 9,2215292 0,44613527 0,00033008 -0,72812975 0,00832599 0,01866248 1,86624756 0,44658859 9,8171E-07 -0,72379864 0,00045333 0,00101509 0,10150903 0,44658995 8,7878E-12 -0,72378568 1,3563E-06 3,0371E-06 0,00030371 0,44658995 -3,1234E-17 -0,72378568 1,2141E-11 2,7187E-11 2,7187E-09 0,44658995 2,5156E-17 -0,72378568 5,5511E-17 1,243E-16 1,243E-14 0,44658995 -3,1234E-17 -0,72378568 5,5511E-17 1,243E-16 1,243E-14 0,44658995 2,5156E-17 -0,72378568 5,5511E-17 1,243E-16 1,243E-14 Intervalo (0.6,0.8)

t3 F(t) F'(t) ea er ep 0,7 -0,00298091 0,15126648 0,71970633 -0,00029375 0,12122588 0,01970633 0,02738107 2,73810731 0,72212952 -4,5493E-06 0,11747079 0,00242318 0,00335561 0,33556084 0,72216824 -1,1622E-09 0,11741077 3,8727E-05 5,3627E-05 0,00536265 0,72216825 -6,5918E-17 0,11741076 9,8987E-09 1,3707E-08 1,3707E-06 0,72216825 -1,1033E-17 0,11741076 5,5511E-16 7,6867E-16 7,6867E-14



0,72216825 7,262E-18 0,11741076 1,1102E-16 1,5373E-16 1,5373E-14 0,72216825 -1,1033E-17 0,11741076 1,1102E-16 1,5373E-16 1,5373E-14 Intervalo (0.8,1.0)

t4 F(t) F'(t) ea er ep 0,9 0,00285866 -0,0348708 0,98197861 0,00033146 -0,02298212 0,08197861 0,08348309 8,34830928 0,99640129 2,585E-05 -0,01938429 0,01442268 0,01447477 1,44747656 0,99773482 2,2353E-07 -0,01904904 0,00133353 0,00133656 0,13365611 0,99774655 1,731E-11 -0,01904609 1,1735E-05 1,1761E-05 0,00117612 0,99774656 6,1406E-19 -0,01904609 9,0884E-10 9,1089E-10 9,1089E-08 0,99774656 6,1406E-19 -0,01904609 0 0 0 Entonces se encuentra que las raíces son

t1=0.17101 En el intervalo (0,0.2)

t2=0.44658 En el intervalo (0.4,0.6) t3=0.72216 En el intervalo (0.6,0.8) t4=0.99774 En el intervalo (0.8,1.0)

Tiempos donde la función se vuelve cero.

Ejemplo 7: función xexxf −= 23)( xexxf −= 23)( . Si se grafica la función se tendría lo siguiente.

Figura 10

Se puede observar que la curva corta el eje x en los intervalos [-1,0],[0,1], y [3,4]. También se pudiera graficar las dos curvas por aparte tal como se ilustra en la siguiente grafica. Las raíces corresponderían a los puntos sobre el eje x donde las dos curvas se cortan.



Figura 6

Ejemplo 8: Función 104)( 23 −+= xxxf Encontrar la raíz de la ecuación 104)( 23 −+= xxxf , tomando como aproximación inicial para la raíz el valor de x=1.0 y N=10 (número máximo de iteraciones) y una tolerancia máxima TOL=0.0000001.

104)( 23 −+= xxxf

xxxf 83)`( 2 += La raíz exacta es x=1.36523001. Código Fuente en C //************************************** //Método de Newton-Rapson para aproximar //las raíces de la ecuación f(x)=0 //************************************** #include <stdio.h> #include <math.h> #include <conio.h> #define N 10 //número máximo de iteraciones #define TOL 0.0000001 //tolerancia máxima

double f(double x) //f(x)= 104 23 −+ xx función a aproximar { return (x*x*x + 4*x*x - 10); } double df(double x) //derivada de la función f(x) es f'(x)=3*x^2 + 8.0*x { return (3*x*x + 8*x); } int main(void) { double x, x0; int i; clrscr(); i=1; x0=1.0; //aproximación inicial de la raíz, de f(x)



printf("%d %15.12lf\n", i, x0); while (i<N) { x=x0-f(x0)/df(x0); if (fabs(x-x0)<TOL) { //se alcanzo la tolerancia pedida y no se supero el // Número máximo de iteraciones, esta es la raíz buscada. printf("raiz x = %15.12lf\n", x); getch(); return 0; }; i+=1; x0=x; //muestra las sucesivas aproximaciones de la raíz. printf("%d %15.12lf\n", i, x); } //se alcanzó el número máximo de iteraciones pero no //la tolerancia pedida, el Método fallo. printf("Se alcanzo el numero máximo de iteraciones"); getch(); }

Ejemplo 9: Función 43)( 23 −−= xxxf El siguiente programa en lenguaje C, permite calcular la raíz de la ecuación

43)( 23 −−= xxxf por el método de Newton Raphson. Analice la fórmula que se utiliza con segunda derivada de la función. // Análisis Numérico: Método de Newton_Raphson; Para una función dada #include <stdio.h> #include <math.h> #include <conio.h> // Declaración de Funciones void Lee_Datos(void); double Funcion(double Xi); double Derivada(double Xi); double Segunda(double Xi); double Xo; float Tolera; int Ciclos; // Función principal int main() { double Fx, Fdx, F2dx, Xn; float Error = 1; int Cont = 0; Lee_Datos(); printf("\n==========================================="); printf("\n Ciclo Xo Fx Fdx Xn Error"); printf("\n==========================================="); while (Error > Tolera && Ciclos > Cont) { Fx = Funcion(Xo); Fdx = Derivada(Xo); F2dx = Segunda(Xo); Xn = Xo - (Fx / (Fdx-(F2dx*Fx)/(2*Fdx))); Error = fabs( (Xn - Xo)/Xn ); Cont++; printf("\n%3d%10.4lf%10.4lf%10.4lf%10.4lf%10.4f",Cont,Xo,Fx,Fdx,Xn,Error);



Xo = Xn; } printf("\n==========================================="); if (Ciclos > Cont) printf("\n La raíz de la ecuación es %.5lf ",Xn); else printf("\n\n No converge en %3d Ciclos !!!! Dar nuevos valores",Ciclos); getch(); return 0; } void Lee_Datos(void) { clrscr(); printf("\n Dar el Valor inicial de X -> "); scanf("%lf",&Xo); printf("\n Cual es el error Permitido ->"); scanf("%f",&Tolera); printf("\n Numero de ciclos máximos ->"); scanf("%d",&Ciclos); } double Funcion(double Xo) { return Xo*Xo*Xo-3*Xo*Xo-4; } double Derivada(double Xo) { return 3*Xo*Xo-6*Xo; } double Segunda(double Xo) { return 6*Xo-6; }

PRÀCTICA: Newton-Raphson para ecuaciones no lineales

1 Introducción

Recuerde que el Método de Newton-Raphson consiste en calcular las iteraciones )`(

)(

1

11

−

−− −=

n

nnn xf

xfxx

A partir de un valor inicial 0x . El algoritmo se puede interpretar como la iteración de punto fijo con la función

)`()()(xfxfxxg −=

En esta práctica se estudiará las regiones de convergencia del Método de Newton para una función concreta, así como la influencia de las raíces múltiples en las propiedades de convergencia. Trabajo de laboratorio Escriba una función de MATLAB, llamada fnewton, con el siguiente encabezamiento:

1. function [x,xvect,nit]=fnewton(f,fprima,x0,maxiter,tolerancia) 2. % Implementa el algoritmo de Newton 3. % usando la función puntofijo.m 4. % f = expresión de la función cuyas raíces se buscan 5. % fprima = su derivada 6. % x0 = valor inicial 7. % Como criterios de parada se usan: 8. % maxiter = cantidad max de iteraciones admitidas 9. % tolerancia = margen para error absoluto



10. % En la salida: 11. % x = resultado de la ultima iteración 12. % xvect = vector de los resultados de todas las iteraciones 13. % nit = cantidad de iteraciones realizadas

Emplee la función puntofijo;

function [x,xvect,nit]=puntofijo(g,x0,maxiter,tolerancia) % Implementa la iteración de punto fijo % g = expresión de la función de iteración % x0 = valor inicial % Como criterios de parada se usan: % maxiter = cantidad max de iteraciones admitidas % tolerancia = margen para error absoluto % En la salida: % x = resultado de la ultima iteración % xvect = vector de los resultados de todas las iteraciones % nit = cantidad de iteraciones realizadas nit=0; xvect=x0; x=x0; % Inicializando err=tolerancia+1; % Garantiza al menos 1 ejecución while (nit < maxiter & err > tolerancia), nit=nit+1; xn=g(x); xvect=[xvect;xn]; % Agregue el valor nuevo err=abs(xn-x); % Calcula el error absoluto x=xn; end if nit == maxiter, disp('Alcanzado el máximo de iteraciones admisible') end

14. Pruebe la función creada calculando las dos raíces reales, x=1 y x=-5, de

1082)( 2 −+= xxxf 15. Vamos a estudiar las regiones de convergencia del algoritmo de Newton para la

función f del apartado anterior. Sean I1 e I-5 los conjuntos de R tales que si x(0) N I1 (respectivamente, si x(0) N I-5) entonces el algoritmo converge a la raíz 1 (resp., a -5) en # 200 iteraciones. Asumiendo que I1 e I-5 son intervalos abiertos, estime experimentalmente los extremos de esos intervalos, tomado tolerancia=2 eM(donde eM es el epsilon de la maquina).

16. Vea la influencia de una raíz doble, en la convergencia del Método de Newton,

aplicándolo ahora a la función )1()( −= xxh y 101862)( 23 +−+= xxxxf ,

)()( xfxh Con una raíz doble en x=1 y otra simple en x=-5. Tomando como

valores iniciales 00 =x y 40 −=x , estudie la cantidad de iteraciones que se necesitan para aproximar por medio de fnewton las dos raíces con tolerancia=2 eM para las funciones f y h? Donde se observan las diferencias? Dibuje las graficas de los errores cometidos en las iteraciones correspondientes en la misma escala semilogarítmica (semilogy) para apreciar la convergencia geométrica.

17. Aplique el algoritmo D2 de Aitken para acelerar la convergencia de la sucesión de aproximaciones a la raíz x=1 de h. Dibuje las gráficas de los errores



cometidos en las sucesiones original y acelerada en la misma escala semilogarítmica, y compare la velocidad de convergencia en cada caso. Sugerencia: para implementar la fórmula de Aitken es conveniente utilizar la función diff de MATLAB. Utilice la ayuda para conocer la sintaxis y el objetivo de dicha función.

18. Modifique el Método de Newton para tomar en cuenta la multiplicidad de la raíz,

tal como se indica en el texto:

)`()(

1

11

−

−− −=

n

nnn xf

xfxx

19. donde m es la multiplicidad. Para ello escriba la función newtmod, usando como modelo la función fnewton, pero que acepte como parámetro adicional el valor de m. Aplique esta función con m=2 para hallar la raíz doble de h, y comente el resultado.

Trabajo de Laboratorio Dos elipses pueden tener como máximo 4 puntos de intersección. Se desea encontrar las coordenadas de las intersecciones de las elipses dadas por sus ecuaciones

5)23()2( 22 =+−+− xyx , y 5)23()3(2 22 =+−+− xyx

1. Para obtener una idea grafica de la situación, se dibujan las elipses por medio de la función contour de MATLAB que permite crear curvas de nivel. Se utilizará el formato contour(x,y,Z,[n n]), donde x e y son los vectores de valores xi e yj a lo largo de los ejes correspondientes, Z es la matriz de los valores de la función en los puntos (xi,yj) y n es el nivel que se desea dibujar.

Mas exactamente, con x=linspace(-1,5,1000); y=linspace(-10,10,1000); Se generan los vectores x e y (si no recuerda, busque en la ayuda de MATLAB que hace el comando linspace); con [X,Y]=meshgrid(x,y); se crea el conjunto de pares ordenados (xi,yj) como producto cartesiano, y con Z=(X-2).^2+(Y-3+2*X).^2; se obtiene la matriz Z. Solo queda ejecutar contour(x,y,Z,[5 5]); para dibujar la primera elipse. Ahora se va por la segunda. Antes de dibujarla, no deje de ejecutar la orden hold on para que el nuevo gráfico no borre el anterior (y termine el script con hold off). Tome nota de las posiciones aproximadas de los 4 puntos de intersección.

2. Plantee explícitamente las funciones fk para el sistema de ecuaciones que expresa la intersección de las elipses y halle la matriz Jacobiana.

3. Implemente el algoritmo de Newton-Raphson para este problema en forma de función : function [y,niter] = newt_raph(x0,maxiter,tolerancia), que admita como datos de entrada el valor inicial x0, el máximo de iteraciones admisible maxiter, y el valor de tolerancia para el criterio de parada ||x(k)-x(k-1)|| # tolerancia, (donde ||7 || es la norma euclidea, que MATLAB calcula con norm) y devuelva el



vector Solución y junto con la cantidad de iteraciones empleadas niter. Puede usar como modelo la función puntofijo.

Observación: Recuerde que el sistema lineal Ax=b se resuelve en MATLAB por medio del comando x=A\b.

4. Experimente con diferentes vectores de valores iniciales para encontrar los 4 puntos de intersección.

Ejercicios Propuestos

Resolver las siguientes ecuaciones por el Método Newton-Raphson:

- xexf x +=)( , con error menor a 0.01 - xxxf += )cos()( , con error menor de 0.001 - Use el Método de Newton-Raphson para resolver la ecuación

1032)( 23 +−−= xxxxf , con un valor inicial para x=1.9.

- Halle la raíz de 0)ln(**1.0 2 =− xxx en [1,2] - Halle el valor de PI con cinco cifras decimales exactos. Emplee únicamente

funciones trigonométricas.

- Halle una fórmula iterativa que le permita calcular aa ⇔2/1 , para a>0 - Calcular la raíz de la función xexf x 7182.2)( −= con un error relativo

aproximado al 0.05%.



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Newton Raphson

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