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Contenido:

FC-C-F-I: Flujos de caja constantes e infinitosFlujos de caja crecientes e infinitosFlujos de caja constantes y finitosFlujos de caja crecientes y finitosFormulario

MET-BISE: Método de la Bisección

MET-LINK: Método de Link

MET-NR1: Método de Newton Raphson de orden 1



MET-NRA: Método de Newton Raphson ajustado

MET-REGF: Método de la Regla Falsa de Poisson

MET-SECA: Método de la Secante

MET-VONM: Método de Von Mises

MET-WHIT: Método de Whittaker

TIR-INTE: Cálculo de la TIR por Interpolación

VAN TUR-: Cálculo del VAN (Valor Actual Neto)Cálculo de la TUR (Tasa Única de retorno)Cálculo de la TVR (Tasa Verdadera de Retorno)Cálculo del CAE (Costo Anual Equivalente).

CEL: 72488950

2

Antes de querer utilizar cualquier programa debes de asegurarte que este disponible en labiblioteca de programas de la calculadora presionando MENU y luego elegir el icono deprogramas y de esta manera verificar que el programa exista.

Biblioteca deprogramas

Seleccionar elprograma que

quieras usar y luegopresiona EXE

2





2





3

Programa FC-C-F-I

F1: Flujos de caja constantes e infinitos

Sea el siguiente flujo de caja:

0

FCVPN FC

K

Ingresando los datos en la calculadora tenemos:

1 2 3 4 n-1 n

404040404040

…………..

VAN en Flujos D Caja================F1: Const e InfinitosF2: Crec e InfinitosF3: Const y FinitosF4: Crec y FinitosF5: Formulario

Para elegir cualquiera de lasopciones solo presiona la tecla quele corresponde F!, F2, F3, F4 y F5.

-50K= 6 %

Ingresa el valory luego presionaEXE

Ingresa el valory luego presionaEXE

EXE

EXE

4

F2: Flujos de caja crecientes e infinitos


0

FCVAN FC

K g

El procedimiento para ingresar los datos es el mismo que en el caso anterior, a continuaciónmostraremos los resultados obtenidos.

F3: Flujos de caja constantes y finitos


1 2 3 4 n-1 n

404040404040

…………..

-50K= 6 % g = 2 %

1 2 3 4 29 30

404040404040

…………..

-50K= 6 %

KK

KFCFCoVAN

j

j

*)1(

1)1(

5


F4: Flujos de caja crecientes y finitos Sea el siguiente flujo de caja:

0

1 1 1

1

jg

VAN FCj FCK g K g k


1 2 3 4 29 30

404040404040

…………..

-50K= 6 % g = 2 %

6

F5: Formulario

Para poder observar las distintas formulas de estos cuatro tipos de casos se debe presionar la teclaque le corresponde: 1, 2, 3, 4 y 5.

METODOS NUMERICOS

Los métodos numéricos nos permiten calcular polinomios bajo el principio de descartes quenos afirma que cada cambio de signo que exista en un polinomio representa una raíz positivaen el mismo polinomio.

Regla de los signos de Descartes

René Descartes (el mismo del plano cartesiano) encontró un método para indicar el númerode raíces positivas en un polinomio.

Esta regla dice lo siguiente:

"El número de raíces reales positivas de un polinomio f(x) es igual al número de cambios designo de término a término de f(x)"

Hay que recordar que los polinomios los tenemos que escribir en orden decrecienteconforme al grado de cada término.

Por ejemplo el polinomio

f(x)= x2 + x - 12 tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tieneuna raíz positiva.

f(x)= +x3 - 4 x2 + x + 6 tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas

7

Función Raíces Factorización Gráfica

f(x)= x2 + x - 12 - 4 y 3 f(x) = (x + 4) (x - 3)

f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 - 1, 2 y 3 f(x) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)

Programa MET-BISE (calculo de una raíz por el método de la BISECCION)

Antes de comenzar debemos transformar el flujo de caja en un polinomio para poder hallar la raíz yde esta manera hallar la TIR.

Por ejemplo: Sea el siguiente flujo de caja:

Como sabemos que la TIR hace que el VAN sea igual a cero en ese punto la TIR es igual al K(costodel capital) de forma grafica tenemos.

1 2 3 4

1601208040

-150

4321 )1(

160

)1(

120

)1(

80

)1(

40150

KkkkVAN

7


f(x)= x2 + x - 12 - 4 y 3 f(x) = (x + 4) (x - 3)

f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 - 1, 2 y 3 f(x) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)





1 2 3 4

1601208040

-150

n

jj

j

k

FCFCVAN

10 )1(

4321 )1(

160

)1(

120

)1(

80

)1(

40150

KkkkVAN

7


f(x)= x2 + x - 12 - 4 y 3 f(x) = (x + 4) (x - 3)

f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 - 1, 2 y 3 f(x) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)





1 2 3 4

1601208040

-150

8

Por lo tanto:

Si aplicamos un cambio de variable tenemos:

NOTA.- Esta es la función que debemos guardar en la memoria de función de la calculadora. En elmodo RUM se debe copiar la función completa sin omitir nada, y luego presionar las siguientesteclas:

VAN

VAN = 0

VAN > 0

Viabilidad

Inviabilidad

K

FC1 FC2

I0 =FC0

TIR o Eficaciamarginal de

Capital ( TIR = K )

VAN < 0

4321 )1(

160

)1(

120

)1(

80

)1(

401500

TIRTIRTIRTIR

XTIR 1

4321

16012080401500

XXXX

01601208040150 234 XXXX

016128415 234 XXXX

16128415)( 234 XXXXxf

EXEfSTOFMENOPTN /1/////

8

Por lo tanto:



VAN

VAN = 0

VAN > 0

Viabilidad

Inviabilidad

K

FC1 FC2

I0 =FC0


Capital ( TIR = K )

VAN < 0

4321 )1(

160

)1(

120

)1(

80

)1(

401500

TIRTIRTIRTIR

XTIR 1

4321

16012080401500

XXXX

01601208040150 234 XXXX

016128415 234 XXXX

16128415)( 234 XXXXxf


8

Por lo tanto:



VAN

VAN = 0

VAN > 0

Viabilidad

Inviabilidad

K

FC1 FC2

I0 =FC0


Capital ( TIR = K )

VAN < 0

4321 )1(

160

)1(

120

)1(

80

)1(

401500

TIRTIRTIRTIR


9

Pondremos un inicio cero porque queremos hallar solo la raíz positiva y un fin de 5 es decirque esos son los valores que tomara la variable X con intervalos de 1 en 1 y remplazando enla función de f(x) se tendrá la tabla donde se tiene que determinar en donde se encuentra elcambio de signo.

Ingresando el margen de error que si no se especifica cual es, se toma como un margen de error del0.01%, también tenemos que ingresar el limite inferior (X0) y limite superior (X1), es decir en queintervalo se encuentra el cambio de signo en este caso es desde 1 a 2

Luego de estas operaciones podemos ver el orden de los datos para formar la matriz iterativa y susrespectivas formulas

Remplazando el valor de XR en la función f(x) hallaremos la raíz de la primera iteración F(XR) y siesta cumple con la siguiente condición es la raíz buscada en el polinomio

Condición:

Si la condición no se cumple entonces debemos realizar el siguiente procedimiento:

Si el valor de F(XR) es positivo entonces el valor de XR será el nuevo valor de X1

Si el valor de F(XR) es negativo entonces el valor de XR será el nuevo valor de X0

Luego volvemos a realizar los mismos cálculos hasta llegar a la raíz que cumpla con la condición yde esta manera tendremos la tabla iterativa.

Vemos que existe uncambio de signo en el

intervalo de 1 a 2 por lotanto es en ese intervalo

donde se encuentra la raíz

2

10 XXXR

XR

XRXRerror 1

Si se cumple esta condiciónentonces es la raíz que estamosbuscando pero si esta condiciónno se cumple entonces:

10

MATRIZ ITERATIVA

Iteración X0 X1 XR F(XR) Error1 1 2 1,5 10,4375 12 1 1,5 1,25 -14,6914 0,2

13 1.41674804 1.41699218 1.41687011 0.011909710 0.000086154

En la segunda tabla muestra la raíz que se esta buscando la cual se ha realizado en 13 iteraciones yun error de 0.0000861549 por lo que cumple la condición, por lo tanto la raíz encontrada es1.416870117.

SABEMOS que se ha realizado un cambio de variable:

Programa MET-WHIT (calculo de una raíz por el método de la WHITTAKER)

Para hallar la raíz por el método de WHITTAKER se utiliza el mismo criterio que en el ejemploanterior pero con algunas variantes como:

XTIR 1

4169.11 TIR

14169.1 TIR

4169.0TIR

%69.41TIR

Nos pide ingresar el disparo Xi que no esmás que el punto intermedio del intervalodonde se encuentra la raíz es decir el límiteinferior más el límite superior todo divididoentre dos. (X0+X1)/2 = (1+2)/2 = 1.5

Luego todos los pasos son similares a los que yahemos visto en el ejemplo anterior, claro que condiferentes formatos de matrices iterativas y distintasformulas.

11

Los programas: MET-NR1: Método de Newton Raphson de orden 1MET-NR2: Método de Newton Raphson de orden 2MET-NR3: Método de Newton Raphson de orden 3MET-NRA: Método de Newton Raphson ajustado

Estos programas utilizan los mismos criterios del ejemplo anterior por lo cual no son necesariosexplicarlos, pero tomándose en cuenta que son de diferentes formatos de matrices iterativas ydistintas formulas para hallar la raíz.

Programa MET-NR2 (calculo de una raíz por el método de Newton Raphson de orden 2)


NOTA.- Esta es la función que debemos guardar en la memoria de función de la calculadora

1 2 3 4

1601208040

-150

n

jj

j

k

FCFCVAN

10 )1(

16128415)( 234 XXXXxf

12

FORMULAS

MATRIZ ITERATIVA

Iteración Xi FX F/X F//X Xi+1 Error1 1,5 10,4375 139,5 353 1,417356 0,0826442 1,4173556 0,0662761 112,0548 311,5849 1,416737 0,0005953 1,4167637 0,00000003 111,8705 311,2971 1,416766 2,5103E-10

En la segunda tabla muestra la raíz que se esta buscando la cual se ha realizado en 3 iteraciones y unerror de 0.00000000025103 por lo que cumple la condición, por lo tanto la raíz encontrada es1.416763673.

SABEMOS que se ha realizado un cambio de variable:

XF

FXF

XX

FXXFXF

XFFXXX

Xii

ii

/

///

1

//2/

/

1

*2

1

*)(*2

**2

XTIR 1

4168.11 TIR

14168.1 TIR

4168.0TIR

%68.41TIR

13

Programa MET-SECA (calculo de una raíz por el método de la SECANTE)



1 2 3 4

1601208040

-150

n

jj

j

k

FCFCVAN

10 )1(

16128415)( 234 XXXXxf

14

FORMULAS

MATRIZ ITERATIVA

Iteración X0 X1 F(X0) F(X1) X2 Error1 1 2 -25 136 1,1552795 0.84472052 2 1.1552795 136 -19.988201 1,2635213 -0.1082418

7 1,4145601 1.41682426 -0.245660 0.00677815 1,4167635 0.00006077

Programa TIR-INTE (calculo de la TIR por INTERPOLACION)



VAN-

VAN+

VAN

KK1

K2

TIR (+/- 2%)

8.08.0)( 2 XXxf

21

)1(*)0()1(

0112

XXERROR

XFXFXF

XXXX

1 0.8

0.8

16

Programa: VAN TUR-

F1: calculo del VAN (Valor Actual Neto)

Por ejemplo. Sea el siguiente flujo de caja:

CALCULAR====================F1: EL VANF2: LA TURF3: LA TVRF4: EL CAE

Para elegir cualquiera de lasopciones solo presiona la tecla que lecorresponde F!, F2, F3 y F4.

1 2 3 4

1601208040

-150

K= 15 %

1 2 3 4

1601208040

-150

17

VPFCVAN 0

4321 )15.01(

160

)15.01(

120

)15.01(

80

)15.01(

40150

VAN

n

jj

j

k

FCFCVAN

10 )1(

48.9190.7849.6078.34150 VAN

6565693.265150 VAN

18

F2: calculo de la TUR (Tasa Única de Retorno)

Por ejemplo. Sea el siguiente flujo de caja:

1 3 4

160120

-80

40

-150

K= 15 %

2

1 3 4

160120

-80

40

-150

2

19

0 3 2 1 0

1 3 4

160120

-80

40

-150

2

%100*1

t

P

FTUR

20

F3: calculo de la TVR (Tasa Verdadera de Retorno)

1 2 3 4

1601208040

-150

1 2 3 4

1601208040

-100

Proyecto A

Proyecto B

Cuando se tienen dosproyectos con diferentesinversiones y se quiererealizar el cálculo de laTVR (Tasa Verdaderade Retorno) debemosrealizar un ajuste al quetiene menor inversión eneste caso al Proyecto B,en valor a ajustar es ladiferencia de lasinversiones de estosproyectos denominadorecurso excedente (RE).

PyBPyA IIRE 00 50100150 RE

K= 15 %

21

50100150 RE

1 2 3 4

1601208040

-100

Proyecto B

4 3 2 1 0

50

1 2 3 4

160000

-150

/

//

)1(

)1()1(

j

jj

K

FC

KFCKRE

/j

22

160

1 2 3 4

000

-150

01234 )15.1(160)15.1(120)15.1(80)15.1(40)15.1(50

1 2 3 4

000

-150

552.0853125

%100*1

t

P

FTVR

23

F4: calculo del CAE (Costo Anual Equivalente)

Ejemplo.- se pretende elegir entre dos maquinas A y B para el cual contamos con los siguientesdatos, determínese que maquinaria es la mas factibles en base al costo anual equivalente.

Maquina A

Maquina A Maquina BCosto de capital 15% 15%Años de vida 4 2Inversión 4500 2000Costo de operación 500 1000Valor de salvamento 150 300

FRCVACCAE

k

VS

k

kCopIVAC

NjCopk

VSFASCopIVAC

N

j

k

Nk

)1(

))1(1(

,...,2,1)1(

______

0,%

____________

0,%

24

Maquina B

20912046 BA CAECAE Dado que el CAE del la maquina A es

menor al CAE de la maquina B, la maquinamas factible es la maquina A.

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