Unidad didáctica 11: Ecuaciones no lineales...

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Unidad didctica 11: Ecuaciones no lineales. Aproximaciones sucesivas.

Mtodo de Newton-Raphson. Ejercicios.

Israel Caamn ValeraDto. de Matemtica Aplicada y Mtodos Informticos

E.T.S.I. Minas

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NDICE

1. Planteamiento del problema.

6. Ejercicios. Talleres 11-1 y 11-2.

2. Mtodo de la biseccin.

3. Mtodo de aproximaciones sucesivas o del punto fijo.

4. Mtodo de Newton-Raphson.

5. Mtodo de la secante.

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1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Objetivo: Dada una funcin f(x), buscamos determinar, si es posible, algn valor x* para el que se verifique que f(x*)=0, es decir, buscamos hallar alguna raz de la funcin f(x). Estrategia: Todos los mtodos de resolucin de ecuaciones no lineales son iterativos, es decir, generan una sucesin de puntos

que se aproxima a la solucin real del problema.{ }=0nnx Criterios de parada: relacionados con la cercana del valor n-simo a la raz (o con un mximo nmero de iteraciones):

Tipos de mtodos: - De intervalo: basados en el Teorema de Bolzano.

- De punto fijo: basados en el Teorema del punto fijo.

( ) ;

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Parten de un intervalo inicial de bsqueda, [a, b], y van reducindolo sucesivamente mediante la aplicacin del teorema de Bolzano, hasta conseguir la precisin deseada.

Ejemplos. - Mtodo de biseccin o de biparticin.- Mtodo de Regula-Falsi.- Mtodo de Mller.

2. MTODOS DE INTERVALO

Teorema de Bolzano: Sea f(x) una funcin continua en [a, b] con valores de signos opuestos en los extremos, entonces existe un punto c en [a, b] en el cual se anula la funcin.

( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ), 0 , 0F x C a b F a F b c a b F c < =

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2. MTODO DE BISECCIN O BIPARTICIN

PROCESO DE CLCULO

1. Parte de un intervalo [a, b].

HIPTESIS DE PARTIDA

2. Halla el punto medio m1=(a+b)/2.

3. Analiza el signo de f(a) f(m1).

4. Selecciona el intervalo [a, m1] [m1, b] que verifique Bolzano.

CRITERIO DE PARADA

2logb a

n

n de iteraciones

necesarias

nn

abxx

2*

a bm1 m2

m3

f(a)

f(b)

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3. MTODOS DE PUNTO FIJO

Definicin: Sea g(x) una funcin continua en [a, b] y un punto c en [a, b] tal que g(c)=c, entonces c se denomina punto fijo de g(x).

Estos mtodos buscan transformar la funcin f(x) en otra de la forma g(x)=x, de manera que obtener las races de f(x) ser equivalente a calcular los puntos fijos de g(x).

Teorema del punto fijo: Si g(x)C[a, b] y verifica:i) x[a, b] : g(x) [a, b] ii) k [0,1) / x[a, b] : |g(x)| k < 1

entonces la sucesin {xn}, generada mediante la relacin xn=g(xn-1) converge para cualquier valor inicial x0 de [a, b] al punto fijo c de g(x).

contraccin

f(x)

f(x)=0

g(x)

y=x

g(x)=x

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g(x)

3. MTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

PROCESO DE CLCULO1. Poner f(x)=0 de la forma g(x)=x.2. Asegurar que g(x) es una

contraccin en [a, b].3. Evaluar g(x0).

4. Definir el nuevo punto x1=g(x0).

CRITERIO DE PARADA

n de iteraciones

necesarias011

* xxk

kxxn

n

( ) ( )kxx

kn ln1ln01

necesitamos saber k

11* nnn xxk

kxx C 1nn xxacotacin del error

Se genera una sucesin de puntos con la expresin xn=g(xn-1)

a bx0 x1 x2

g(x0)g(x1)g(x2)

x3 x*

y=x

a

b

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Ejemplo 11-1. Hallar, mediante el mtodo de las aproximaciones sucesivas, la raz de la funcin:

( ) [ ]4 en 1, 2xF x x e= En primer lugar, tenemos que reescribir la funcin f(x) de la forma g(x)=x, de manera que g(x) sea una contraccin en [1, 2]:

En los dos primeros casos, g(1) o g(2) se sale del intervalo [1, 2]. En el ltimo caso, vemos si se cumplen las condiciones de la contraccin:

( ) ;=xg ( ) ;' =xg( ) =1g

( ) =2g

i) x[a, b] : g(x) [a, b]

( ) 04 == xexxF ( ) xexg4

=

( ) 04 == xexxF ( ) ( )xxg 4log=( ) 042 == xexxxF x ( ) xxexg = 2

xxe2xx

xx

xex

xexee

=

1

1( ) == xxg 0'

2131.112 1 = e

0405.122 2 = e

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Comprobamos si tambin se cumple la segunda condicin:

Podemos aplicar el mtodo de las aproximaciones sucesivas:

ii) k [0,1) / x[a, b] : |g(x)| k < 1

k xk0 1.0000

Ejemplo extrado del curso de Anlisis Numrico de Csar Menndez, Univ. de Oviedo.

|max(g(x))| < 1

1 1.2131 2 1.2010 3 1.2023 4 1.2022 5 1.2022 6 1.2022

xk2.00001.04051.21261.20111.20231.20221.2022

( )xxexxg = 1' ( ) =xg '';

xexxx

3

2

221 +

( ) 0'' =xg 021 2 =+ xx 21=x [ ]2,1

( ) =1'g ( ) =2'g0 2601.0

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Desarrollar en serie de Taylor el valor de la funcin en la raz f(x*) = f(x0+h) = 0:

4. MTODO DE NEWTON-RAPHSON

IDEA DEL MTODO

sustituyendo en x*

linealizamos el desarrollo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...'''!3

''!2

'0 03

0

2

000 ++++==+ xfhxfhxfhxfhxf

( )( )0

0

' xfxfh = ( )( )0

001 ' xf

xfxx =hxxx += 01*

NOTA: observamos que el mtodo de Newton-Raphson es un caso particular del mtodo de aproximaciones sucesivas, con:

( ) ( )( )xfxfxxg

'=

luego si g(x) es una contraccin en el intervalo de bsqueda, el mtodo asegura la convergencia a la solucin nica.

( )( )1

11 '

=

n

nnn xf

xfxx

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PROCESO DE CLCULO

1. Punto inicial x0.

2. Evaluar f(x0) y f (x0).

3. Definir el nuevo punto x1=x0-f(x0)/f (x0).

Teorema : Si f(x)C2[a, b] y verifica:i) f(a) f(b) < 0ii) x[a, b] : f (x) 0 iii) x[a, b] : f (x) no cambia de signo,

entonces la sucesin {xn}, generada mediante el mtodo de Newton converge para cualquier valor inicial x0 de [a, b] a la raz de f(x).

existencia de raz en [a,b]montona crec./decrec.

conc./conv.

f(x)a bx0x1x2

f(x0)

f(x1)f(x2)

x3 x*

f(x0)

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CRITERIO DE PARADA

si g(x) es una contraccin

( ) y

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Sustituimos valores y escribimos la expresin de la forma f(x)=0,para saber la funcin de la que buscamos la raz:

Calculamos la derivada primera de f(x):

Y por lo tanto, la ecuacin de Newton-Raphson en este caso ser:

( )( )40115400000.150 += ii

( )( ) 0115400000.150 40 =+ ii f(i)

( ) =if '

( )( )

( )( ) ( )

++

++=

411

401

11

401

11

1401115400

115400000.150

kkkk

kk

kk

iiii

iiii

Comprobamos ahora si f(x) cumple las condiciones de convergencia del mtodo:

( )( ) ( )

++ 4140 1401115400 iiii

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( ) 4105558.60001.0 =f( ) 5104460.11 =f

i) f(a)f(b) < 0.

( ) 6104156.40001.0' =f( ) 54001' =f

ii) f (x) 0.

( ) 8102395.10001.0'' =f( ) 108001'' =f

iii) f(x) no cambia de signo.

( ) ( )( ) ( )

++= 4140 1401115400' iiii

if

( ) ( )( ) ( ) ( )

+++

++

= 4241402 141401

4021125400'' iii

iii

if

Luego el mtodo converger a la nica raz para cualquier x0(0, 1]

Una vez comprobadas las condiciones de f(x), calculamos iteraciones:= 03.00i = 0175.01i = 0190.02i = 0191.03i 0191.04 =i

( )( ) ( ]1,0115400000.150)( 40 += iconii

xf


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5. MTODO DE LA SECANTE

PROCESO DE CLCULO

1. Punto inicial x0.

2. Definir el punto x1=x0-f(x0)/f (x0).

Es una variante del mtodo de Newton-Raphson, en la cual se aproxima la derivada de la funcin f(x) por la secante que pasa por dos puntos sucesivos, salvo en la primera iteracin:

3. Aproximar la derivada mediante M=(f (x1)-f (x0))/(x1-x0).

4. Definir el nuevo punto x2=x1-f(x1)/M.

NOTA: No puede ser tratado como un mtodo de punto fijo.

f(x)a bx0x1x2

f(x0)

f(x1)f(x2)

x3 x*

f(x0)

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6. EJERCICIOS. TALLER 11-1

Taller 11-1.

Iter a F(a) b F(b) x(n) f(x(n))1 1.0000 - 2.0000 + 1.5000 +2 1.0000 - 1.5000 + 1.2500 +3 1.0000 - 1.2500 + 1.1250 -4 1.1250 - 1.2500 + 1.1875 -:

10:

1.2012:

-0.0073:

1.2031:

0.0070:

1.2021:

-0.0001

a) Creamos una tabla con los valores obtenidos en cada iteracin del mtodo de la biseccin:

intervalo final: [1.2021 1.2031]

c=(a+b)/2=1.2026

Hallar, mediante el mtodo de las aproximaciones sucesivas, la raz de la funcin:

a) Mediante el mtodo de la biseccin, hasta alcanzar una precisin de 1e-3 o un mximo de 10 iteraciones.

b) Mediante el mtodo de Newton-Raphson, 4 iteraciones tomando como punto inicial x0=1 y despus x0=2.

( ) [ ]4 en 1, 2xF x x e=

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b) Vemos si la funcin cumple las condiciones para aplicar el mtodo de Newton-Raphson:

k xk00 1.0000

xk2.0000

( ) [ ]2,14 enexxf x =( ) 2817.1411 1 == ef( ) 7781.10422 2 == ef

i) f(a)f(b) < 0.

( ) ( ) 4366.5111' 1 =+= ef( ) ( ) 1672.22212' 2 =+= ef

ii) f (x) 0. ( ) ( )xeexexf xxx +=+= 1'

( ) ( ) 1548.8121'' 1 =+= ef( ) ( ) 5562.29222'' 2 =+= ef

iii) f(x) no cambia de signo. ( ) ( ) ( )xeexexf xxx +=++= 21''

Luego el mtodo converger a la nica raz para cualquier x0[1, 2]

01 1.235802 1.203003 1.202204 1.2022

1.51381.26181.2047 1.2022

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Taller 11-2. El coeficiente de friccin, , en una tubera rectilnea de seccin circular, de dimetro D y con rugosidad K, por la que circule un fluido se puede relacionar con el nmero de Reynolds (Re) a travs de la ecuacin de Colebrook:

Se pide determinar el valor del coeficiente de friccin con una precisin de 1e-4 en una de tales tuberas, que tenga un dimetro D=0.3m, con una rugosidad K=0.00025m, y por la que se quiere hacer circular un fluido con un nmero de Reynolds Re=2105.(sugerencias: hacer el cambio de variable x=-1/2 y hacer e ecuacin para determinar la funcin f(x); usar como punto inicial x0=20).

+

=

DK

71.3Re51.2ln2 21

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Buscamos construir la ecuacin f(x)=0 para aplicar Newton-Raphson:

20


21


Inicializamos el mtodo de Newton-Raphson en x0=20:

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Y finalmente obtenemos:

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QU HEMOS VISTO?.

RESUMEN

QU VEREMOS?.

Cmo se definen los mtodos de aproximaciones sucesivas y de Newton-Raphson.

Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones no lineales.

Algunos mtodos para resolver ecuaciones no lineales.

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