MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL
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M OVIMIENT O DE UN PROYECT IL FISICA EXPERIMENTAL I
Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino
1
1. OBJETIVO
Establecer una expresión matemática que describe la trayectoria de un móvil,
cuando es disparado horizontalmente desde el extremo de una rampa.
2. FUNDAMENTO TEORICO
Se denomina proyectil a cualquier objeto al que se le da una velocidad inicial y a
continuación sigue una trayectoria determinada por la fuerza gravitacional que
actúa sobre él y por la resistencia de la atmósfera. El camino seguido por un
proyectil se denomina trayectoria.
Consideremos solo trayectorias suficientemente cortas para que la fuerza
gravitacional se pueda considerar constante en magnitud y dirección. El
movimiento se referirá a ejes fijos respecto al a tierra. Esta no es precisamente un
sistema inercial, pero para trayectorias de corto alcance, el error que se comete al
considerarla como tal es muy pequeño. Por último, no se tendrán en cuenta los
efectos de la resistencia del aire; de este modo, nuestros resultados solo serán
exactos par el movimiento en el vacío, de una tierra plana sin rotación. Estas
hipótesis simplificadoras constituyen la base de un modelo idealizado del
problema físico, en el cual se desprecian detalles sin importancia y se centra la
atención en los aspectos más importantes del fenómeno.
M OVIMIENT O DE UN PROYECT IL FISICA EXPERIMENTAL I
Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino
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Como, en este caso idealizado, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su
peso considerado constante en magnitud y dirección, es mejor referir el
movimiento a un sistema de ejes de coordenadas rectangulares. Tomaremos el eje
x horizontal y el eje y vertical. La componente x de la fuerza que actúa sobre el
proyectil es nula, y la componente y es el peso del proyectil. -mg.
𝑎𝑥 = 𝐹𝑥 = 0, 𝑎𝑦 = 𝐹𝑦 = −𝑚𝑔 = −𝑔
o bien: a = -gj
Esto es, la componente horizontal de la aceleración es nula, y la componente
vertical, dirigida hacia abajo, es igual a la de un cuerpo que cae libremente. Puesto
que aceleración nula significa velocidad constante, el movimiento puede definirse
como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y
movimiento vertical con aceleración constante.
La clave para el análisis del movimiento de proyectiles reside en el hecho de que
todas las relaciones vectoriales que se necesitan, incluidas la segunda ley de
Newton y las definiciones de velocidad y aceleración, pueden expresarse por
separado mediante las ecuaciones de las componentes x e y de las cantidades
vectoriales. Además la ecuación vectorial F = ma equivale a las dos ecuaciones de
componentes:
𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 𝑦 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦
De igual forma, cada componente de la velocidad es la variación por unidad de
tiempo de la coordenada correspondiente, y de cada componente de la
aceleración es la variación por unidad de tiempo de la componente de la velocidad
correspondiente. En este aspecto los movimientos en x e y son independientes y
pueden analizarse por separado. El movimiento real es, entonces, la superposición
de estos movimientos separados.
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Supongamos que en el instante t = 0 nuestra partícula está situada en el punto (x0,
y0) y que las componentes de la velocidad son vx y vy. Como ya se ha visto, las
componentes de la aceleración son 𝑎𝑥 = 0 y 𝑎𝑦 = −𝑔. La variación de cada
coordenada con el tiempo es la de un movimiento uniforme acelerado, y pueden
utilizarse directamente sus ecuaciones; sustituyendo 𝑉0𝑥 por 𝑉0 y 0 por 𝑎𝑥 tenemos
para x.
Las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas instantáneas del vector
posición de un proyectil.
x = xo + vox t e-1
y = yo+ voy t - ½ g t2 e-2
Despejando t de la ecuación e-1 y sustituyendo en e-2 obtenemos la ecuación de
la trayectoria del proyectil.
y-yo = voy ( )
oxvxx 0− ( )
20
0
21
xvxx
g−
− e-3
Como el vector velocidad esta dado por →
V = (V0, θ0); por lo tanto sus
componentes son:
V0x = V0 cos θ0 y V0y = V0 sin θ0. Reemplazando en la ecuación e-3 obtenemos la
ecuación e-4.
y-yo = ( ) ( )0
220
000 cos2
1tanθ
θv
xxgxx
−−− e-4
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Las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas instantáneas del vector
posición de un proyectil.
x = xo + vox t e-1
y = yo+ voy t - ½ g t2 e-2
Despeje t de la ecuación e-1 y sustitúyalo en e-2 para demostrar que obtenemos
la ecuación de la trayectoria del proyectil.
y-yo = voy ( )
oxvxx 0− ( )
20
0
21
xvxx
g−
− e-3
Como el vector velocidad esta dado por →
V = (V0, θ0); por lo tanto sus componentes
son:
V0x = V0 cosθ0 y V0y = V0 sin θ0. Sustituyendo los componentes en e-3 obtenemos
e-4.
y-yo = ( ) ( )0
220
000 cos2
1tanθ
θv
xxgxx
−−− e-4
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1 RAMPA ACANALADA
1 HOJA DE PAPEL CARBÓN
1 PRENSA
1 REGLA
1 PLOMADA
1 BOLA DE ACERO
1 HOJA DE PAPEL BLANCO
3. MATERIALES
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4. PROCEDIMIENTO
1. Arme el equipo como se muestra en la figura (1)
2. Coloque a una altura “y”, la rampa acanalada del tablero. Mida con la regla.
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3. Coloque en el tablero la hoja de papel carbón sobre la hoja de papel blanco.
4. Escoja un punto de la rampa acanalada. La bola se soltará desde ese punto.
Ese punto, así escogido, debe ser el mismo para todos los lanzamientos.
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5. Suelte la bola de la regla acanalada. El impacto de esta dejará una marca sobre
el papel blanco. Repita éste paso 5 veces
6. Mida a partir de la plomada la distancia x1 del primer impacto, después la
distancia x2 del segundo impacto, etc. Tome el valor promedio de las
coordenadas “x” de estos puntos
7. Coloque el tablero a otra distancia “y” de la rampa acanalada y repita los pasos
(5) y (6).
8. Repita el ítem (7), 5 veces y complete la tabla I.
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0
v
vv-vv
0
=∫ d
( )∫∫∫ −===t
t 0000
aa av ttdtdtdt
t
v
v( )α
( )β
y (cm) x1 x2 x3 x4 x5 𝐱�
y1 = 33,0 cm 31,50 cm 32,5 cm 31,7 cm 31,6 cm 32,2 cm 31,9 cm
y2 = 41,5 cm 36,0 cm 35,8 cm 35, 5 cm 36, 3 cm 35, 5 cm 35,82 cm
y3 = 43,0 cm 36,6 cm 36,2 cm 36,4 cm 36,0 cm 36,8 cm 36,4 cm
y4 = 44,2 cm 37,6 cm 37,0 cm 37,1 cm 37,75 cm 36,65 cm 37,22 cm
y5 = 46,5 cm 38,7 cm 38,1 cm 37,9 cm 37,4 cm 38,6 cm 38,14 cm
5. CUESTIONARIO
1. Demuestre y justifique la expresión matemática.
La demostración de la expresión matemática se da integrando dicha expresión.
Como dtdva = y como la aceleración es constante, tenemos integrando la
expresión anterior tenemos:
Donde v0 es la velocidad para t = t0. Luego, teniendo en cuenta que:
Reemplazando ( )β en ( )α tenemos lo siguiente:
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( )θ
( )φ
Que nos da la velocidad en función del tiempo. Como dtdrv = sustituimos ( )θ en la
expresión anterior, obteniendo lo siguiente:
( )[ ] ( )∫∫∫∫ −+=−+=t
t
t
t
t
t
r
rdtttdtdtttdr
00000000 avav , donde r0 da la posición en el
tiempo t0. Por lo tanto:
( ) ( )20000 a
21vrr tttt −+−+=
Nos da la posición de la partícula en
cualquier instante. Para nuestro caso
gravedadladenaceleració ga == .
Escogeremos el plano XY coincidente
con el plano definido por v0 y a=g; el
eje Y hacia arriba de modo que
g=→
− jg , y el origen O coincidente
con v0 como se muestra en la figura:
Entonces, descomponiendo a la velocidad en sus componentes rectangulares X e Y tenemos que:
( )0tt −+= avv 0
Cuando la aceleración es constante la trayectoria es una parábola.
→→
+= jiv yx vv 000( )ω
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Donde:
αα senvvvv yx 0000 cos == ,
La ecuación ( )θ puede separarse en sus componentes (si t0 = 0) escribiendo
→→→→→
−
+=+= jjijiv gtvvvv yxyx 00
Ó
Similarmente, la ecuación ( )φ con r0 = 0 y t0 = 0, cuando se separa en sus
componentes, se transforma
Igualando componentes tendremos lo siguiente:
La ecuación de la trayectoria se obtiene eliminando el tiempo t en las ecuaciones obtenidas en la expresión (2)
Reemplazando en la expresión y tenemos:
De ( )ψ dividimos ambas expresiones y tenemos:
gtvvvv yyxx −== 00 ,
jijjijir→→→→→→→
−+=−
+=+= 2
002
00 21
21 gttvtvgttvvyx yxyx
200 2
1 gttvytvx yx −== ,
( )1
( )2
( )ψ
xx v
xttvx0
0 =⇒=
20
2
0
0
2
000
21
21
xx
y
xxy
vxgx
vv
y
vxg
vxvy
−
=
−
=
( )3
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Luego, (4) en (3), obtenemos que:
Finalmente, la expresión que se pide demostrar es la siguiente:
2. ¿Qué tipo de dificultades ha encontrado al realizar ésta
experiencia?
Encontramos las siguientes deficiencias:
Desnivel tanto de la rampa como en la superficie a impactar.
Oscilaciones en la plomada al momento de medir el alcance horizontal
presentado por la bola de acero.
Desajustes producidos por el impacto de la bola de acero desde la rampa.
3. ¿Cuáles cree que han sido las posibles fuentes de error en su experimento?
Los errores más comunes encontrados son:
Estimación diferente ya que no todos observamos con la misma perspectiva.
Desviación de la plataforma por el efecto de cada caída de la esfera.
( )4α
αα
α
αtg
vsenv
vv
vvsenvv
x
y
x
y ==⇒
=
=
coscos 0
0
0
0
00
00
( )( )20
2
cos2 αα
vgxxtgy −=
( ) 22
0
2
2sec x
vgxtgy αα −=
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El desajuste de la rampa por el desgaste natural de la madera.
Desviación de las medidas debido al desvió natural de la plomada.
4. ¿Qué tipo de movimiento tiene el móvil a lo largo del eje x?,
Explique.
Por el uso de la ecuación (1) y (2) desarrolladas anteriormente, deducimos lo
siguiente:
De (1) se obtuvo xx vv 0= ; la cual nos indica que la componente de v en la
dirección X permanece constante, ya que no hay aceleración en dicha
dirección.
De (2) se obtuvo tvx x0= ; la cual nos muestra la ecuación del Movimiento
rectilíneo uniforme.
Por lo tanto, a lo largo del eje X, el movimiento presentado por el móvil es un
Movimiento rectilíneo uniforme.
5. ¿Qué tipo de movimiento tiene el móvil a lo largo del eje y?,
Explique.
Por el uso de la ecuaciones (1) y (2) desarrolladas anteriormente, deducimos que:
De (1) se desprende gtvv yy −= 0 ; la cual nos indica que la componente de
la velocidad v en la dirección Y va variando producto de la gravedad que va
dirigida en el mismo sentido.
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V14..2cm
N.R
Liso
0=ov
De (2) se desprende 20 2
1 gttvy y −= ; la cual nos muestra la ecuación del
movimiento vertical de caída libre. Para nuestro experimento, como la bola
se inicio en una rampa, su velocidad en la vertical será: 00 =yv , lo que
tendríamos lo siguiente:
6. En Lima la aceleración de la gravedad tiene un valor a 9,78
m/s2 con los datos tabulados en la tabla I halle la velocidad
inicial con la cual la bola pasa por el origen de coordenadas.
La velocidad inicial cuando la esfera pase por el origen de coordenadas se
calculara con el principio de la conservación de la energía, considerando las
superficies lisas.
2
21 gty −=
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smvf 67.1=
IF EMEM =
IIFF EPECEPEC +=+
IF EPEC =
mghmv =2
21
ghv =2
21
ghv 22 =
ghv 2=
)142.0)(78.9(2=v
7. ¿En qué punto la bola chocará contra el suelo? ¿Y en qué
tiempo?
Para calcular el tiempo que la bola choca en la superficie usaremos la ecuación del
MRU puesto que en esta dirección no actúa la aceleración de la gravedad y es un
movimiento independiente.
(x,0) (x,y)
Vx=1.67m/s
Vy=0 h
(0,0)
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Para el movimiento horizontal usaremos:
i) 31,9cm = 0,319m, luego:
tve .=
0,319 = 1,67.t
El tiempo es: t = 0,19
Impacto donde la bola choca es: (0,319;0)
ii) 35,82cm = 0,3582m, luego:
tve .=
0,3582= 1,67.t
El tiempo es: t = 0,2
Impacto donde la bola choca es: (0,3582;0)
iii) 36,4cm = 0,364m, luego:
tve .=
0,364 = 1,67.t
El tiempo es: t = 0,22
Impacto donde la bola choca es: (0,364;0)
iv) 37,22m = 0, 3722m, luego:
tve .=
tve .=
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0, 3722= 1,67.t
El tiempo es: t = 0,22 s
Impacto donde la bola choca es: (0, 3722; 0)
v) 38,14cm = 0, 3814m, luego:
tve .=
0, 3814 = 1,67.t
El tiempo es: t = 0,23 s
Impacto donde la bola choca es: (0, 3814; 0)
8. ¿Porqué la ecuación es válida solo si el alcance es
suficientemente pequeño?, Explique.
La ecuación es válida cuando el alcance es
suficientemente pequeño, ya que así se puede
despreciar la curvatura de la tierra, de lo
contrario se produciría no una parábola, sino un
arco de una elipse, tal y cual se muestra en el
gráfico siguiente.
9. ¿Cómo podría cambiar y medir el ángulo?
Para cambiar el ángulo se podría considerar el tipo de lanzamiento realizado al
inicio. En el caso general, el cambio del ángulo se realizará con respecto a la
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Vx=1.67m/s
Vy=0 h
(0,0)
inclinación que se haga con la horizontal. Y su medida se calculará con las
ecuaciones dadas para este tipo de movimiento.
Sin embargo, para nuestro caso la bola de acero inicio su movimiento
horizontalmente, cambiando así el ángulo a 0º y describiendo un movimiento
semiparabolico.
10. Encuentre la ecuación de la trayectoria de la bola
Partiendo de la ecuación general de la expresión matemática:
22
2sec)(tan x
vgxy
o
αα −=
Si consideramos el ángulo 0=α , ya que el movimiento presentado por nuestra esferita es semiparabólico.
La expresión anterior queda reducida de la siguiente manera:
00tan =°
10sec =°
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Vx=1.67m/s
Vy=0 h
V
2
2)1()0( x
vgxy
o
−= 2
2x
vgy
x
−=
….. (I)
Con los datos obtenidos de la velocidad horizontal y la aceleración de la gravedad
podríamos reemplazarlos en la ecuación (I), pero por cuestiones didácticas la
dejaremos tal y como nos quedo para cualquier valor obtenido en la velocidad
inicial.
11. ¿Qué velocidad lleva la bola justo un instante antes de
chocar contra el tablero?
Para calcular la velocidad un instante antes de chocar tendremos que calcular
primero la velocidad vertical con la ecuación de Caída Libre y luego procederemos
a calcular la velocidad como una resultante de la velocidad horizontal y la
velocidad vertical.
gtVV yoyf += → gtVyf =
i) Para un tiempo t = 0.19 entonces: gtVyf =
Vyf = (9.78)(0.19)
smvx /67,1=
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Vyf = 1.86m/s
( )22)( xyf VVV +=
( )22 67.1)86.1( +=V smV 50.2=
ii) Para un tiempo t = 0.21 entonces: gtVyf =
Vyf = (9.78) (0.21)
Vyf = 2.05m/s
( )22)( xyf VVV +=
( )22 67.1)2.05( +=V smV 64.2=
iii) Para un tiempo t = 0.22 entonces: gtVyf =
Vyf = (9.78) (0.22)
Vyf = 2.15m/s
( )22)( xyf VVV +=
( )22 67.1)2.15( +=V smV 72.2=
iv) Para un tiempo t = 0.22 entonces: gtVyf =
Vyf = (9.78)(0.22)
Vyf = 2.15m/s
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( )22)( xyf VVV +=
( )22 67.1)2.15( +=V smV 72.2=
v) Para un tiempo t = 0.23 entonces: gtVyf =
Vyf = (9.78)(0.23)
Vyf = 2.25m/s
( )22)( xyf VVV +=
( )22 67.1)2.25( +=V smV 80.2=
12. ¿Cómo podría cambiar la velocidad inicial de la bola?
Para poder cambiar la velocidad inicial de la bola se necesita soltarla desde un
punto de lanzamiento mayor (mayor altura), puesto que a mayor altura existe
mayor energía potencial gravitatoria almacenada en la esfera que esta esperando
ser liberada para luego convertirse en energía de movimiento (considerando la
fuerza de rozamiento nula).
13. ¿Qué conclusiones pueden obtener de este experimento?
Como conclusiones específicas podemos nombrar:
De la tabla: a mayor altura desde la rampa acanalada del tablero, mayor es el
alcance horizontal.
A mayor punto de lanzamiento, mayor es la velocidad y como consecuencia
su alcance aumenta y viceversa.