Modulo potencias raices

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Módulo de auto aprendizaje:

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contenidoscontenidos

1. Potencias1.1 potencias1.2 propiedades de las potencias1.3 ecuaciones exponenciales2. Radicación2.1 raíces2.2 propiedades de las raíces2.3 racionalización2.4 ecuaciones irracionales

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Definición de potencia

Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”de esta forma: na Al “n” se le llama exponente de la potencia

Al “a” se le llama base de la potencia

Las potencias sirven para expresar la multiplicación de un dato que se repite una cierta cantidad de veces

“a” es el número en cuestión,”n” es la cantidad de veces que se multiplica por si mismo.

Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)

Se llama potencia a la mumtiplicación abreviada de un mismo número

Aplicando la definición tenemos:

(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

Calculemos el valor de -34

Observamos que la base de la potencia es 3 ( y no -3) expresándola en forma de producto nos queda:

-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81

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Ahora veamos si entendisteCalculemos el valor de (-2)3

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( ) =−

=−4

4

2

2

Soluciones:

-16

16

Como conclusión se puede decir que cuando un término que es antecedido por un signo negativo se eleva a un exponente impar el término siempre será el mismo que al inicio, en cambio elevado a un número par se logrará el signo contrario al inicial.

Ahora resuelve tú

Potencias con exponente 1Potencias con exponente 1

Es igual a la base de la potencia, es decir:

a1=a ejemplos: 101=10; 31=3Ejercita:• 71=• 221=• 41=• 61=

Soluciones:1)72)223)44)6

En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma si el exponente es 1.

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Potencias con exponente -1Potencias con exponente -1

es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:

a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2

Ejercita:

( )

___3

25)4

___8)3

___3,2)2

___4

2)1

1

1

1

1

=

⋅

==

=

−

−

−

− Soluciones:

2) 2

3) 10/23

4) 1/8

5) 3/10

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Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y sumamos los exponentes, es decir:

an • am = an+m

al revés cuando tenemos una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es decir:

an+m = an • am

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Multiplicación de potencias de igual base

Ejercicio resueltoEjercicio resuelto

Expresemos en forma de potencias: aquí tenemos el producto del término (-1/2) cinco veces (el término se repite 5 veces).En este caso lo que se hace es sumar los exponentes de todos los términos, dejando solo un término.

5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

−=

−

−

−

−

−

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Resuelve estos ejercicios para ver Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta como vas manejando esta

propiedadpropiedad

___)4

___55)3

___)2

___)1

242

4

632

53

=⋅=⋅

=⋅⋅=⋅

−+ yxyx aa

bbb

aa

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Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1)a8

2)b11

3) 55

4)a3x+2y

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Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

División de potencias de igual base• En este caso, mantenemos la base y restamos

los exponentes, es decir:an : am = an-m

al revés cuando tenemos una base con una resta en el exponente la podemos descomponer, es decir:

an-m = an : am

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42626 : xxxx == −

)()()(

)( 232

3

bababa

ba +=+=++ −

En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base, se pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso.

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedadpropiedad

_____:)4

_____5

2:

5

2)3

____)2

____)1

11

54

45

56

6

16

=

=

=⋅⋅

=

−+

−−

xx mm

xx

xx

m

m

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1)m10

2)x2

3) 2/54)m2


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Potencia con exponente 0Potencia con exponente 0

Es igual a 1:

a0=1, 00= no existe

Ejemplos:

50=1

-40=-1

Ejercita:

• 30=___ 3)-20=___

• (1/2)0=___ 4) 10=___

Soluciones:

1)1 3)-1

2)1 4)1

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Potencia con exponente negativoPotencia con exponente negativo

Es la misma propiedad que con exponente a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo el exponente, no queda en 1, sino que en n.

a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9

Ejercitemos:

1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___

2)(-2)-2=___ 4) (22/23)-4=___

Soluciones:

1)-1/4 3)9

2)1/4 4)16

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Potencia de una potencia

Aquí debemos elevar la base a la multiplicación de los exponentes.

(am)n = an • m

En el caso contrario si tenemos una base con exponentes multiplicándose se pueden distribuir.

an • m = (am)n

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• Desarrollemos (a2 :a6)2

Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando las propiedades ya conocidas deberíamos poder llegar a un término.

( )( ) ( )

8841212

4

26

222

6

2 11 −−⋅

⋅

=====

a

aaa

a

a

a

a

a

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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedadesta propiedad

( ) ( )( )( ) ___)4

___9)3

___23)2

___)1

4

325,0

2

1246

3522324

2

6

42

=

=

=⋅

=

−

a

zyx

cbacba

x

ba

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1) (a4b8)/x12

2) 72a2b19c9

3) 3x3y2z4) a3/16


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Potencia de un producto

Elevamos el producto de las bases al exponente común.

an • bn = (ab)n

Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis elevado a un numero, los componentes del paréntesis se pueden separar.

(ab)n = an • bn

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( ) 605353 444 =⋅=⋅

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Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.


( ) ( )

___278)4

___)3

___2)2

___8)1

1414

22

33

=⋅=⋅

=⋅+

=⋅⋅

−− pp ba

qba

ax

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1) (2ax)3

2) [2q(a+b)]2

3) (ab)4p-1

4) 63


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Potencias de 10Potencias de 10

100 = 1 104 = 10000101 = 10 105 = 100000102 = 100 106 = 1000000103 = 1000 107 = 10000000

•Se muestra cuando tenemos 10 elevado a un número cualquiera:

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Notación científicaNotación científica

• Se utiliza para expresar grandes cantidades en números mas pequeños.

• Para poder expresar un numero como notación científica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y luego hacer el producto entre este y una potencia de 10.

• Ej.: - La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3•105 Km./s- El tamaño de una célula: 0,000008 metros = 8•10-6

metros

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Ejercitemos juntos, para aprender Ejercitemos juntos, para aprender esta propiedadesta propiedad

Primero se tiene que dejar lo mas reducido el número que multiplica al 10, no puede ser decimal, ni menos pasarse de 10 unidades, se cuentan los 0, por cada cero será un digito más.

Si es decimal, o sea un número minúsculo, el exponente es negativo y si el número es muy grande, es positivo el exponente.

8

4

108000.000.800

1030003,0

⋅=

⋅= −

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1) 0,0000000065 3)0,00000000000121

2) 123.000.000 4) 567.000.000.000

Soluciones:

1) 6,5 • 10-9 3) 1,21 •10-12

2) 1,23 • 108 4)5,67 • 1011

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Potencia con exponente fraccionarioPotencia con exponente fraccionario

• Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice corresponde a el denominador de la fracción.

nn aa =1

• Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índice como denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en la potencia que se formaría

n mn

m

aa =

3

53 5 aa =

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____161728)4

_____216125)3

_____8164)2

_____25)1

4

1

3

1

3

1

3

1

4

2

2

1

2

1

=−

=−

=+

=Soluciones:

1)5

2)17

3)-1

4)10

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

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Ecuaciones exponencialesEcuaciones exponenciales

• Aquí se trabaja con los exponentes como los elementos de la ecuación

• Lo mas difícil de estas ecuaciones es igualar las bases

• Una ves igualada las bases se aplica la siguiente propiedades y se igualamos exponentes:

mnaa mn =⇒=

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• Ejemplos:a)32x-5=3x-3

2x-5=x-3x=2b)4x+3=82x+9

b)(22)x+3=(23)2x+9

x+3=2x+9

-4x=21x= -4/21

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En el ejemplo b, se igualo para poder hacer la ecuación, cuando ya se igualo esta, se trabaja deforma normal como

una ecuación de primer grado.

13)2

819)1)4(2

52

==

−

−

x

x

1

1

128)4

3244256)3

=

−⋅=

x

xx

Soluciones:

1) x=7/2 3)x=-1

2) x=4 4) x=0/1= no solución en los reales

Resuelve estos ejercicios para ver tu Resuelve estos ejercicios para ver tu aprendizaje, ya queda poco, para terminar aprendizaje, ya queda poco, para terminar

potenciaspotencias

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___)4

11(

___)4

3(

___)1,1(

___10

___)2(

___3

___2

3

6

3

1

3

2

2

=−

=−=−

==−

==

Reforzamientos varios:

___5

2

2

5

5

2

___5

311

___2

1

5

43

___)02,0()02,0(

___2221

___)12()12(

___2222

321

012

3021

22

321

11

3210

=

⋅

⋅

=

=

+

=+

=−+−

=−+

=+++

−−

−−

−−−

−

−−−

−−

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Problema de profundización:Problema de profundización:

Alfredo recibe una carta pidiéndole que participe en una “cadena”, enviándole copia de la misma carta a 3 otras personas, cada una de las cuales debe enviarle un cheque por $1000 a vuelta del correo. Él, a su vez, debe enviar $1000 al remitente de la carta que recibió. Si cada persona que recibe una carta de esta “cadena” procede como indicado, todos harán beneficios. ¿dónde esta la trampa?Descúbrelo a través de tus conocimientos adquiridos.

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RaícesRaíces

Índice de la raíz Operante

Cantidad subradical o radicando

Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:

n a

nn aa1

=Seguir

Propiedades de las raícesPropiedades de las raíces

Raíz de una potencia con exponente igual al índice.• Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el

radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma:

11

)( aaaa n

n

nnn n === //

Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las raíces, veamos la primera:

Al elevar a n la raíz n-enesima de a estamos simplificando el proceso anterior por lo cual el

numero quedaría el numero

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• Veamos unos ejemplos:

=

=

=

===

===

===

5

2

5

2

5

2

5

2

7777

5555

15

5

5

5

1

13

33 3

12

22

xxxx p

pp p

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Aplicando la propiedad, vemos que el índice y el exponente del radicando se deja en forma de potencia, por lo tanto igual numerador y denominador dan como resultado 1, así se dice que se simplifico o elimino la raíz y se convierte en una simple base elevado a 1 lo que da como resultado la misma base, como vemos en los ejemplos.

Ahora te toca a ti trabajar:

=

=

=

=

5 5

3 3

4 4

2

48 .4

23 .3

59 .2

6 .1

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Raíz de un producto:

nnn baba ⋅=⋅

nnn baba ⋅=⋅

Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen,

como se muestra a continuación.

Así también podemos hacer el proceso inverso, donde el producto de dos raíces de igual índice

que puede agrupar en una sola raíz

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6216278278

10100254254

306521612521612527000

632811681161296

3333

3333

4444

==⋅=⋅

==⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅=

=⋅=⋅=⋅=

Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raíz en dos productos de raíces y resolviéndolas por separado, luego se multiplica y se obtiene el resultado correspondiente:

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=⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

=⋅

4 64 74 3

333

2555 .4

842 .3

623 .2

123 .1

ppp

xxx

aa

Trabaja tu:

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1) 62) 6a3) 4x4) 5p4


Seguir

• De la raíz de una fracción o división se puede separar en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.

n

n

n

b

a

b

a =

nn

n

b

a

b

a =

* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se muestra a continuación:

* Pasemos a Raíz de un cuociente:

** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a raíz de un producto

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24111

444111:444

132

262:26

5255

1255:125

62

182:18

33 ===

==

===

==

a

aaa

a

aaa

Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor:

Pero para poder resolver algunos ejercicios no solo debemos dividir, sino también aplicar propiedades de las potencias como es la resta de exponentes

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• Vamos te toca ahora

______6

600

______16

4096

______8

216

______60

240

4

3

3

=

=

=

=Si tienes alguna duda no vaciles en repasar la materia.!!!!

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1) 22) 33) 24) 10Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya

tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

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mnn m aa ⋅=

*

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Bueno aquí simplemente se multiplican los índices y se deja al final una sola raíz con índice igual al producto de los índices. Como se puede ver:

¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz?

Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando, ¿o no?:

1111

3531441531441531441

222

333

12433 4

422

===

===

==

==

⋅

⋅

⋅

⋅

aaa

abbaa b xxx

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____729 .4

____81 .3

____1 .2

____64 .1

4

5 4 3

4

=

=

=

=

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Sigue multiplicando tu los índices y resuelve los siguiente:



1) 22) 13) 34) 13Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya

tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

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Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice como el exponente de la cantidad subradical, por un termino o numero en particular, ejemplo:

pn pn aa⋅ ⋅= 1

yn yxn x aa: :=

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Pasemos a amplificación y simplificación del índice de una raíz:

Resolvamos estos ejercicios:

66 232•3 213•2 3•13

5:10 5:510 5

432434343

5252525

=⋅=⋅=⋅

===⋅

* • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver mas fácilmente, así queda como resultado 5

• En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores, ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se puede resolver como cualquier otro problema.

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• Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificación y simplificación de raíces.

_____

_____4

_____5

_____7

3 4

15 5

2 3

6 2

=

=

=

=

p

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Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

3

3

3

.4

4 .3

55 .2

7 .1

pp

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Factor de una raíz como factor:

* En palabras simples es pasar un número que multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así se pueden aplicar otras operaciones como la suma de raíces de igual índice.

Se da de la siguiente forma:n nn abba ⋅=⋅

** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:

212212288 2 =⋅=

Seguir

Vamos resolvamos:

33 33

2

2

2525250

982727

525220

=⋅=

=⋅=

=⋅=

Seguir

* Se puede ver dos posibilidades:• simplificar una raíz, dejándola mas simple• O realizar una raíz, juntando términos, pero de esta forma queda una raíz muy compleja.

Racionalización de denominadores:• La idea es dejar los denominadores sin expresiones con raíces para poder trabajar mas fácilmente.• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.

2

23

2

23

22

23

22

23

2

3

2

23

4

23

22

23

2

3

3 2

3 3

3 2

3 2

3 2

3 23

3 2

3==

⋅=

⋅⋅=

==⋅

⋅=

En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.

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• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.

• Se presentan los siguiente casos de expresiones:

( ) ( ) ( ) ( ) 3

25

25

25

2525

251

25

122

+=−

+=+⋅−

+⋅=−

( ) ( ) ( ) ( ) 3

25

25

25

2525

251

25

122

−=−

−=−⋅+

−⋅=+

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Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2233

2233

babababa

babababa

++⋅−=−+−⋅+=+

( )( )

( )5

2632

263

263

23

2

23

2 3 23 2

3 23 2

3 23 2

3333

+−⋅=+−+−⋅

+=

+

Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.

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• Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan dos términos para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una suma por diferencia simple:

( )( )[ ] ( )[ ]

( )( )[ ] ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )4

102325

100410810816

102325

1024104

10223253

1024

3253

1024

3253

102325

3253

325

325

325325

3253

325

322

−⋅++−=⋅−+−−⋅++−=

−⋅+−⋅⋅++⋅⋅

+++⋅

=+

++⋅=+−+

++⋅=−+

++=++⋅−+

++⋅=−+

Seguir

Luego de resolver el trinomio, se resolvemos el binomio resultante igual que si fuera suma por diferencia, y así se elimina términos con raíces en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4.

Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:

_____9

13)

_____52

3)2

_____2

2)1

3=

=−

=

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solucionessoluciones

9

81 .3

52- .2

2 .1

3

+


Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

( ) ( )

2 1 2 7

2 2

x− + =

=

/ - 2

2x - 1 = 5 / ()

2x - 1 5

2x - 1 = 25 / +1

2x = 26 / : 2

x = 13

2

8 = x

3 : / 24 =3x

3 - / 27 = 3 +3x

() / 33+3x

6 - / 9 3+3x + 6

() / 3 336

33

3

23

=

=

=++ x

son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical, para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de la raíz, para eliminarla:

Ejemplos:

Ecuaciones irracionales:

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Practiquemos un pocoPractiquemos un poco

53.2 =−x

31.1 −=− xx

5)3(.3 =−− xxx

234.4 2 −=−+ xx

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Soluciones:Soluciones:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,

espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

2

3 x.4

13

25 x.3

28 x.2

2 x5 .1 21

=

=

===x

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Gratificaciones:Gratificaciones:

• Haz pasado todo el modulo, espero que te haya servido, consúltalo cada vez que quieras algún concepto o algún dato especifico.

• A continuación están los links y la bibliografía mas exhaustiva para tu comodidad, para poder profundizar mas aun los temas propuestos en este programa.

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Bibliografía:Bibliografía:

• Libros:- algebra arrayán. potencias páginas 295 a 307 Raíces páginas 307 a 329- Mare nostrum primero medio Potencias páginas 26 a 35- Mare nostrum tercero medio Potencias y raíces páginas 14 a 41- Mare nostrum cuarto medio potencias, exponenciales, funciones páginas 10 a 38- Libro san mateo tercero medio matemático 2005 potencias páginas 15 a 24 Raíces páginas 24 a 31

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Modulo potencias raices

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