C u r s o : MatemÆtica Módulo N” 07-T medio... · 1 POTENCIAS - RAICES - LOGARITMOS I....

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POTENCIAS - RAICES - LOGARITMOS

I. POTENCIAS

1. Complete las siguientes proposiciones:

a) En una multiplicación de potencias de igual base, los exponentes se ______ y lasbases se _______.

b) En una división de potencias de igual exponente, las bases se ______ y losexponentes se _______.

c) Si b = -3, entonces b2 es igual a ______.

d) Un número entero negativo elevado a un número impar es siempre un número_______.

e) En la multiplicación de potencia de igual exponente, las bases se ______ y losexponentes se ______.

f) El desarrollo de la expresión (x-2 + x2)2 es _______.

2. Con respecto a la función f(x) = 3x, complete los datos pedidos en la siguiente tabla:

Bosqueje el gráfico de la función: f(x)La intersección con el eje y es el punto___________.

El dominio de f es ___________.

El recorrido de f es ___________.

En relación al crecimiento o decrecimiento, estafunción es ___________.

Bosqueje el gráfico de la función: f(-x) La intersección con el eje y es el punto___________.

El dominio de f es ___________.

El recorrido de f es ___________.


y

x

y

x

C u r s o : Matemática

Módulo Nº 07-T

2

Bosqueje el gráfico de la función: -f(x)La intersección con el eje y es el punto____________.

El dominio de f es ____________.

El recorrido de f es ____________.

En relación al crecimiento o decrecimiento, estafunción es _____________.

Bosqueje el gráfico de la función: -f(-x)La intersección con el eje y es el punto____________.



En relación al crecimiento o decrecimiento, estafunción es ____________.

3. Indique si las aseveraciones siguientes son verdaderas (V) o falsas (F):

a) (……) (6 – 3 2)0 = 1

b) (……) 0-3 = 0

c) (……) (-32) = 9

d) (……) (-5)2 = -52

e) (……)

054 = 13

f) (……) (-10 + 23)0 = 1

g) (……) (-42)3 = (-4)6

h) (……) 24 + 24 + 24 = 212

i) (……) –(-4)2 = -16

j) (……)

-12 51 = 15 2

k) (……) 32 : 3-7 = 39

l) (……) 34 64 =184

m) (……) 25 32 = 67

y

x

y

x

3

n) (……)-12 1 =3 6

o) (……) 3-1 + 3-2 = 49

p) (……)324 = 46

q) (……) El signo de (-7)-4 es positivo.

r) (……) Si x3 = y3, entonces necesariamente x = y.

s) (……) Si a4 = b4, entonces necesariamente a = b.

4. Resuelva:

a) 47 + 47 + 47 + 47 =

b) 52 + 52 + 52 + 52 + 52 =

c) Factorice 34 – 37 + 36 =

d) Factorice 2a + 2a – 7 =

e) Factorice 5n – 2 + 5n + 4 + 5n – 4 =

f) Si 3x = 27-1, entonces x =

g) Si 24n = (0,25)2 + 2-4, entonces n =

h) (0,01)4x – 1 = (0,001)1 – 3x, entonces x =

i) Si p = -2, entonces -p2 – p3 – p4 =

Si 3x = 5, entonces

j) 9x =

k) 27-x =

l) 81x =

Si 2x = a y 7x = b, entonces exprese las siguientes potencias en términos dea y b.

m) 4x =

n) 49-x =

o) 14x =

4

p) 28x =

q) 98x =

II. RAICES


a) La potencia123 escrita en forma de raíz equivale a _______.

b) La potencia

259

4escrita en forma de raíz equivale a _______.

c) La potencia-235 escrita en forma de raíz equivale a _______.

d) La potenciapqa escrita en forma de raíz equivale a _______.

e) La raíz cuadrada de 0 es _______.

f) La raíz cuadrada de 361 es _______.

g) La raíz cúbica de -125 es _______.

h) La raíz cúbica de -0,001 es _______.

i) a es un número real, si a es un número _______.

j) a NO es un número real, si a es un número _______.

k) 3 c es un número real si c es un número _______.

l) La expresión 27 4 es igual a _______.

m) La expresión 25 9 es igual a _______.

n) De las 2 preguntas anteriores, se puede deducir que 2x equivale a _______.

o) El gráfico de la función raíz, f(x) = x es una curva de crecimiento _______.

p) Racionalizar una fracción consiste en dejar sin raíz el _______ de la fracción.

q) Solamente se tienen propiedades de raíces para las operaciones __________ y____________.

2. Con respecto a la función f(x) = x , complete la siguiente tabla:

5

Bosqueje el gráfico de la función: f(x)




Bosqueje el gráfico de la función: f(-x)




Bosqueje el gráfico de la función: –f(x)




Bosqueje el gráfico de la función: -f(-x)

El dominio de f es _____________.

El recorrido de f es _____________.



a) (…….) 4 + 4 = 8

b) (…….) 2 3 3 = 3

y

x

y

x

y

x

y

x

6

c) (…….) 10 5 = 5

d) (…….) 3 3 33 7 + 4 7 = 7 14

e) (…….) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 36

f) (…….) 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 = -9 5

g) (…….) 38 · 2 = 64

h) (…….) 3 34 · 16 = 4

i) (…….) 3 67 · 2 = 14

j) (…….) 3 62 · 5 = 500

k) (…….) Para multiplicar raíces de igual índice, se conserva éste y se multiplican lascantidades subradicales entre sí.

l) (…….) Las raíces de distinto índice NO se pueden multiplicar.

m) (…….) Amplificar una raíz es multiplicar el índice y elevar la cantidad subradical porun mismo número entero.

n) (…….) Para racionalizar la expresión 12 + 3

se debe multiplicar por

12 3

o) (…….) El dominio de la función f(x) = x son los números reales positivos y el

cero.

p) (…….) El recorrido de la función f(x) = x 1 son los números reales positivos.

q) (…….) El gráfico de la función f(x) = - x es una curva simétrica con respecto al ejex de la función f(x) = x .

r) (…….) 48 + 30012

= 7

s) (…….) q p amplificada por n queda qn np

t) (…….)n m n + ma = a

u) (…….) b n a =n nb · a

v) (…….)Con respecto al gráfico de g(x) = x + 2 , el gráfico de f(x) = x se debe“trasladar” en forma vertical 2 unidades hacia abajo.

7

4. Resuelva:

a)53 24 · 8 =

b)2 63 55 · 625 =

c)a bb c3 · 81 =

Racionalice:

d)3

5

3 9=

e)

3 211 2

=

f) Encuentre el valor de x en la siguiente ecuación3 22 3x + 17 = 10 .

g) Ordene en forma decreciente: 5 , 3 4 , 43 7 .

h) Ordene en forma creciente: 3 64

, 154

, 2.

i) Ordene en forma decreciente: 2 3 3 4, ,3 2 2 3

j) ¿Cuál es el área de un cubo cuyo volumen es 0,125 cm3?

8

k) ¿Cuál es la medida de la diagonal de un cuadrado de área 48 cm2?

l) Si a la raíz cúbica de un número se le suma el cuadrado de 4, resulta el doble de10, entonces ¿cuál es el número?

III. LOGARITMOS


a) La base de log 4 es ________.

b) Si log3 81 = y, entonces logy 64 = _______

c) Si log5 125 = logx 8, entonces x = _______

d) Usando cambio de base, la expresión 4

4

log 6log 7

, resulta ________.

2. De acuerdo a la función f(x) = log3(x), complete la siguiente tabla:

Bosqueje el gráfico de la función: f(x) La intersección con el eje x es el punto_____________.




Bosqueje el gráfico de la función: f(-x)La intersección con el eje x es el punto__________.

El dominio de f es _____________.

El recorrido de f es _____________.


y

x

y

x

9

Bosqueje el gráfico de la función: -f(x)La intersección con el eje x es el punto____________.




Bosqueje el gráfico de la función: -f(-x)La intersección con el eje x es el punto____________.

El dominio de f es el intervalo _____________.

El recorrido de f es el intervalo ____________.



a) (……) log-2 (-8) = 3

b) (……) log47 + log48 = log4(7·8)

c) (……) El par ordenado (2,4) pertenece a la gráfica de la función f(x) = log2(x).

d) (……) El dominio de la función h(x) = log3x, es el conjunto de los números realespositivos.

e) (……) log39 = log24

f) (……) log35 · log36 = log3(5+6)

g) (……) Si logab = 0, con 0<b<a, entonces b = 1.

h) (……) log47 = 3

3

log 7log 4

i) (……) logab2 = 12

logab

j) (……) loga(x+y) = loga(x) + loga(y)

y

x

y

x

10

k) (……) 3 + log a = log (3a)

l) (……) log 2000n = nlog2 + 3n

m) (……)p q

log 1 · log q = 1

n) (……) log 0,001 + log 100 + log 10 + log 0,01 + log 1 = -2

o) (……) log (x2 – 5x + 6) = log (x - 2) + log (x – 5)

p) (……) log 2 2 log(a + b) + log(a b)a b =

2

4. Resuelva:

Aplicando la definición de logaritmo calcule:

a) log28 + log264 =

b) log20,25 + log381 =

c) 9

1log27

+ 3

1log81

=

d) 3log1 + 2log 0,001 – 3log100 + 5log 1000 =

e) 38

log 16 =

f) 2 3p qlog p + log q =

g) 3a p b a

log ac + log p + log b log c + log1=

Aplicando la definición de logaritmo encuentre el valor de x:

h) 2

log x 1 = 5

i)x( ) 5

log 2 = -1

j) x

log (2x 5) = 2

11

k) x + 1a = b

l)

1log + 2 = 0x

m)5 5

log 3 + log (x + 1) = 2

n) log (x + 1) + log x = log 2

Aplicando propiedades escribir el desarrollo de los siguientes logaritmos:

o) ablogc

p) log(a2 – 2ab + b2)

Para los siguientes ejercicios, considere log2 = a; log3= b y log5=c, y expreseen función de a, b y c los siguientes logaritmos:

q) log 12 =

r) log 75 =

s) log 0,75 =

t) log 56

u) Una persona invierte en un banco $ 500.000 al 4% de interés compuesto anual,¿después de cuántos años el monto acumulado es $ 740.122,14?Datos: log (500.000) 5,7 ; log (740.122,14) 5,9 ; log (1,04) 0,02)

12

v) El nivel de decibeles del sonido (dB) se puede calcular mediante la fórmula D = 10log (I · 1012), donde corresponde I a la intensidad del sonido. Si un sonido de160 dB perfora instantáneamente el tímpano, ¿a qué intensidad del sonidocorresponde?

EJERCICIOS

1. Sean las funciones reales f(x) = x2, g(x)= x3 y h(x)= x4, ¿cuál de las siguientesdesigualdades es verdadera?

A) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo número real.B) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo número real distinto de 0 y 1.C) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real positivo distinto de 1.D) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real negativo distinto de -1.E) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real mayor que 1.

(Fuente: DEMRE 2011)

2. El gráfico que mejor representa la función f(x) = 2 - , con x ≥ 0 es

A) B) C)

D) E)

x

y

2

x

y

2

x

y

2x

y

2

x

y

2

13


3. Si 2 + 3 2 3 = t , entonces el valor de t2 – 2 es

A) 2 3 – 2B) 0C) 2 3D) 2E) -2


4. 1 1 46 + + 5 + + 84 16 25

=

A) 6120

B) 7 6 2 +2 4 5

C) 15120

D) 76 5 + 8 +20

E) Ninguno de los valores anteriores.


5. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable xtoma los valores 0, 1, -1?

I) 2x = -x

II) 2x = |x|

III) 2x = x

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Ninguna de ellas.


14

6. Si pq

< 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 2 2p + q = |p| + |q|

II) 2 2p + q = p + q

III) 2 2p + q > 0

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

(Fuente: DEMRE 2010)7. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I)3

log 19

= -2

II) Si3

log x = -2, entonces x = 3.

III) Six

log 49 = -2, entonces x = 17

.

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III


8. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera(s)?

I) log 1 · log 20 = log 20

II) log 12

· log30 < 0

III) log 4 · log 10 = log 4

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III


15

9. Si n es un número natural mayor que cero, ¿cuál de las siguientes expresiones

algebraicas podría representar el término n-ésimo dela secuencia 5 5 5 5, , ,2 4 8 16

, …?

A)

n + 152

B)

n 152

C) 5 ·

2n12

D)

n52

E) 5 ·

n12

(Fuente: DEMRE 2006)10. Si 9 · 9 = 3x, entonces x =

A) 2B) 3C) 4D) 6E) 27


11. El valor numérico de log(ab) + log

ab

se puede determinar, si:

(1) a = 1.000

(2) b = 100

A) (1) por sí solaB) (2) por si solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional.


16

RESPUESTAS

1.a) Suman / mantienenb) Dividen / mantienenc) 9d) Negativoe) Multiplican / mantienenf) x-4 + 2 + x4

2.

(0,1)

]-,+[

]0,+[

Creciente

(0,1)

]-,+[

]0,+[

Decreciente

(0,-1)

]-, +[

]-, 0[

Decreciente

(0,-1)

]-, +[

]-, 0[

Creciente

y

x

y

x

y

x

y

x

17

3.a) Fb) Fc) Fd) Fe) Vf) Vg) Fh) Fi) Vj) F

k) Vl) Vm) Fn) Vo) Vp) Fq) Vr) Vs) F

4.a) 48

b) 53

c) 34 (1 – 33 + 32)d) 2a – 7 (27 + 1)e) 5n – 4 (52 + 58 + 1)f) -3

g) - 34

h) 517

i) -12

j) 25

k) 1125

l) 625m) a2

n) b-2

o) abp) a2bq) ab2

II. RAICES

1.a) 3

b) 5 8116

c) 3 125

d)q pa

e) 0f) 19g) -5

h) -0,1i) Mayor o igual que ceroj) Negativok) Reall) 3m) 4n) |x|o) Lentop) Denominadorq) División / multiplicación

2.

[0, +[

[0, +[

Creciente

y

x

18

]-, 0]

[0, +[

Decreciente

[0, +[

]-, 0]

Decreciente

]-, 0]

]-, 0]

Creciente

3.a) Fb) Vc) Fd) Fe) Ff) Vg) Vh) Vi) Fj) Vk) V

l) Fm) Vn) Fo) Vp) Fq) Vr) Vs) Vt) Fu) Vv) F

4.

a)15 282

b)6 295

c)2ab

b + 4ac3

d) 35 39

e) 22 + 23

f) 6

g) 3 4 7 , 5 , 3 4

h) 15 3 6,4 4

, 2

i) 4 2 3 3, ,3 3 2 2

j) 1,5 cm2

k) 4 6l) 64

y

x

y

x

y

x

19

III. LOGARITMOS

1.a) 10b) 3c) 2d)

7log 6

2.

(1,0)

]0, +[

]-∞, +[

Creciente

(-1,0)

]-, 0[

]-, +[

Decreciente

(1,0)

]0, +[

]-∞, +[

Decreciente

(-1,0)

]-, 0[

]-, +[

Creciente

y

x

y

x

y

x

y

x

20

3.a) Fb) Vc) Fd) Ve) Vf) Fg) Vh) V

i) Fj) Fk) Fl) Vm) Fn) Vo) Fp) V

4.a) 9b) 2

c) -192

d) 3

e) 49

f) 5g) 5h) 31

i) 112

j) 5k)

blog a – 1

l) 100

m) 223

n) 1

o) 12

log a + 12

log b – log c

p) 2 log (a – b)q) 2a + br) b + 2cs) -2a + bt) -a – b + cu) 10v) 10.000

CLAVES EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. E 5. B 9. E2. C 6. D 10. C3. B 7. C 11. A4. C 8. D -----

DMCAMA-M07T

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