Modulo Noveno

7/23/2019 Modulo Noveno

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GRADO NOVENO Pgina 1de 149

TABLA DE CONTENIDO

UNIDAD I: NUMEROS REALES

Nmeros reales

Algunos nmeros irracionales imor!an!es

In!er"alos

Racionali#aci$n

RelacionesConce!o %e &unci$n

UNIDAD II: &UNCIONES' ECUACIONES LINEALES ( CUADRATICAS

&unci$n lineal

&unci$n E)onencial * Logar+!mica

Sis!emas %e Ecuaciones Lineales

Sis!emas %e Ecuaciones Cua%r,!icas

UNIDAD III: NUMEROS COM-LE.OS' SUCESIONES ( -ROGRESIONES

Nmeros Imaginarios * Comle/os

Oeraciones en!re nmeros imaginarios

Oeraciones en!re nmeros comle/os


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Sucesiones

-rogresiones

Uni%a% IV: GEOMETRIA ( NOCIONES DE TRIGONOMETRIA

Geome!r+a

0reas %e &iguras -lanas

Volmenes Geom1!ricos

Nociones %e Trigonome!r+a

Teorema %e T2ales

Ra#ones Trigonom1!ricas


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-ENSAMIENTO NUMERICO

( VARACIONAL

DESEMPEO U!ili#a nmeros reales en sus %i3eren!es reresen!aciones

* en %i"ersos con!e)!os * cons!ru*e e)resionesalge4raicas e5ui"alen!es a una e)resi$n %a%a6

INDICADORES DE DESEMPEO

U!ili#o los nmeros reales en sus %i3eren!es

reresen!aciones e i%en!i3ico los nmeros irracionales6

In!erre!a el conce!o %e in!er"alo * resuel"e ecuaciones

con "alor a4solu!o lan!ean%o e)resiones

reresen!a!i"as6

I%en!i3ica una relaci$n * conoce las carac!er+s!icas

rinciales %e una 3unci$n6


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APARICION DE LOS NUMEROS REALESDes%e los !iemos remo!os los 2umanos ara con!ar o4/e!os u!ili#aron los nmeros6Es!os son los nmeros na!urales 5ue se reresen!an or la le!ra N La can!i%a% %enmeros na!urales es in3ini!a6 El termino numero na!urales aarece or rimera "e# en

789 en !2e me!2o% o3 incremen!s %e ;illian Emerson6Muc2o m,s !ar%e' ro4a4lemen!e como consecuencia %e las relaciones comerciales *los r1s!amos' se in!ro%u/eron el cero * los nmeros nega!i"os' 5ue /un!o con elcon/un!o %e los nmeros na!urales 3ormaron los en!eros 5ue se sim4oli#a


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e 3orman los nmeros reales' se reresen!an or R ' la can!i%a% %e nmeros reales esin3ini!a ero 2a* m,s nmeros reales 5ue na!urales6El !ermino numero reales 3ue u!ili#a%o or Descar!es en 7986La resoluci$n %e ecuaciones %el !io )J ' lan!eo el mismo ro4lema el mismo

ro4lemas 5ue se les resen!o a los i!ag$ricos' no e)is!e ningn numero' %e los 5ue2emos "is!o' 5ue cumlan con es!a con%ici$n' or lo 5ue 3ue necesario lan!ear o!ro!io %e nmeros 5ue llamamos Complejos* se reresen!a or C6

TENIENDO COMO BASE EL TETO ANTERIOR CONTESTAR LAS SIGUIENTES -REGUNTAS76 Como se crearon los nmeros en!eros' cual es su s+m4olo * %e %on%e ro"iene

el s+m4olo6 Los in%ios como %enomina4an el cero FHu1 signi3ica6 Hue ala4ra %io origen al cas!ellano cero * ci3ra F-or 5uienesK6 Los ma!em,!icos %e los siglos VI * VII cuan%o consi%era4an una soluci$n

como imosi4le6 Hue son los nmeros racionales * como se sim4oli#an96 Cu,les 3ueron los rimeros nmeros irracionales86 Hue son los nmeros !rascen%en!es6 Huien uso el !ermino nmeros reales * en 5u1 3ec2a6 -or5u1 se crearon los nmeros comle/os * como se reresen!an676 Cuan!as roosiciones !iene la lec!ura

CON LA A(UDA DEL DOCENTE REALI


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La resues!a a es!e ro4lema es!, relaciona%o con el nmero conoci%o 6 Es!a

griega reresen!a la ra#$n en!re el er+me!ro %e la circun3erencia * el %i,me!ro

Es m,s conoci%a la siguien!e e)resi$n:-er+me!ro r %on%e r es el ra%io %e la

circun3erencia6-ara 2allar el "alor %e consi%eramos una secuencia

%e ol+gonos regulares inscri!os en una circun3erencia6

TRIANGULO ( PE0GONO CUADRADO ( OCT0GONO


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-ENT0GONO PE-T0GONO

NON0GONO DEC0GONOEn!re ma*or sea el numero %e la%os %el ol+gono inscri!o' su er+me!ro es m,s r$)imo

al %e la circun3erencia6 -o%r+a consi%erarse la circun3erencia como un ol+gono conin3ini!o numero %e la%os6La siguien!e !a4la mues!ra los "alores aro)ima%os %e la ra#$n en!re el er+me!ro * el%o4le %el ra%io %e "alor uno o %i,me!ro6

Numero %e la%os K 9

-er+me!ro '7 '9 '8 9 9'7-er+me!ro so4re el

%o4le %el ra%io' ' ' ' '9

El "alor aro)ima%o %el nmero

Si con!inuamos el roceso o4!en%r+amos un "alor %e ca%a "e# mas reciso'

lamen!a4lemen!e es!e roce%imien!o no !iene 3in' %e mo%o 5ue no sa4remos cuales el"alor e)ac!o %e sin em4argo consi%eremos con una 4uena aro)imaci$n el

numero


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'7K79

El "alor %e e:Aun5ue e)is!en in3ini%a%es %e nmero irracionales' el numero conoci%o como e es mu*

imor!an!e en la ma!em,!icas6 Su %escu4rimien!o 3ue os!erior al nmero 6 Se

escogi$ la le!ra e en memoria %el ma!em,!ico sui#o Leonar% Euler ?788 Q 78@ * seconoce como =numero Euler> 6 La %emos!raci$n %e su irracionali%a% 3ue %a%a en 78or C2arles Permi!e6Pa* una 3ormula sencilla ara calcular su "alor:

e

En %on%e el s+m4olo Se conoce como 3ac!orial * reresen!a el ro%uc!o %el numero

en!ero or su an!ecesor 2as!a el uno6

E/emlo: ))7 9

9 9))K)))7 8

o!ra manera %e reresen!ar el numero e es:e ?7 J @n cuan%o n es mu* gran%e

Veamos la siguien!e !a4la:n 7 K 7 7 7 7

e ?7 J

@n

' '8

'KK

'9 ' '8 '879

'877

El numero e !iene muc2as alicaciones en el camo %el c,lculo * el an,lisis6 Uno %esus usos se %a en los logari!mos6 Los logari!mos m,s u!ili#a%os !iene 4ase 7?logari!mos "ulgares@ * 4ase e ?logari!mos na!urales@6Los logari!mos na!urales o neerianos son mu* u!ili#a%os * su no!aci$n es Ln 5ue eslogees %ecir' logari!mo en 4ase e6

Nmero ,ureo

El nmero ureoo %e oro ?!am4i1n llama%o nmero plateado' razn extrema y media'7razn urea' razn

dorada' media urea' proporcin urea* divina proporcin@ reresen!a%o or la le!ra griega ?3i@?en

minscula@ o ?3i@?en ma*scula@' en 2onor al escul!or griego &i%ias'es unnmero irracional:
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Fidiashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Fidiashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo#cite_note-0


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Se !ra!a %e un nmero alge4raicoirracional ?%ecimal in3ini!o no eri$%ico@ 5ue oseemuc2as roie%a%es in!eresan!es * 5ue 3ue %escu4ier!o en la an!ige%a%' no como=uni%a%> sino como relaci$n o roorci$n en!re segmen!os %e rec!as6 Es!a roorci$n se

encuen!ra !an!o en algunas 3iguras geom1!ricas como en la na!urale#a6 -ue%e 2allarseen elemen!os ar5ui!ec!urales' en las ner"a%uras %e las 2o/as %e algunos ,r4oles' elgrosor %e las ramas' el caara#$n %e un caracol' e!c6

Asimismo' se a!ri4u*e un car,c!er es!1!ico esecial a los o4/e!os 5ue siguen la ra#$n,urea' as+ como una imor!ancia m+s!ica6 A lo largo %e la 2is!oria' se le 2a a!ri4ui%oimor!ancia en %i"ersas o4ras %e ar5ui!ec!ura* o!ras ar!es' aun5ue algunos %e es!oscasos 2an si%o o4/e!a4les ara las ma!em,!icas * la ar5ueolog+a6

76 Escri4e en ca%a casilla a cual %e los con/un!os num1ricos er!enecen ca%a

nmero6 N < H I C

Q

6 Resuel"e ca%a una %e las ecuaciones * %i a 5ue con/un!o num1rico er!enece6a6 ) J 7 46 ) 7c6 ) J K %6 ) e6 ) 736 ) Q76 Consul!a:a6 FHu1 carac!er+s!ica !iene un nmero irracional

46 Escri4e !res numero irracionales con una aro)imaci$n %e 7 ci3ras %ecimalesK6 Comle!a la siguien!e !a4la 5ue relaciona ra%io * er+me!ro6

?- r@

Ra%io ?cm@ '9 ' ' 'K 7' 78' K' '7 -er+me!ro
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Misticismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Arquitecturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Artehttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Misticismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Arquitecturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Arte


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6 Palla el "alor %e e ara n K' ara n 9 * n 896 Pallar los siguien!es nmeros 3ac!orialesa6 46 K c6 7 %6 e6

86 Consul!a cual es el nmero aureo * %e %on%e ro"iene6

INTERVALOS

Definicin: se llama intervaloen la Rec!a Real' a !o%o subconjunto%e la mismacomprendido entre dos puntos fijos llamados extremos6

E/emlo %e In!er"alo: [ ]b,aI= ' %on%e aes el extremo inferior del intervalo* bes elextremo superior del mismo' a%em,s ba< 6OBSE!"#$O%ES 5ue con"iene recor%ar:

ba< se lee =a menor &ue b>' es una desi'ualdad estricta6 ab> se lee =b mayor &ue a>' es una desi'ualdad estricta6Como ue%es o4ser"ar' lo mismo se ue%e leer %e %os 3ormas %is!in!as' *a 5ue si aes menor 5ue ben!onces es 5ue bes ma*or 5ue a' lo cual nos recuer%a 5ue !o%a%esigual%a%' a ( b' al igual 5ue !o%a igual%a%' en ma!em,!icas se ue%e leer en %ossen!i%os' %e i#5uier%a a %erec2a' =a 4' a menor 5ue 4> o %e %erec2a a i#5uier%a' =4 a' 4 ma*or 5ue a>6 En cual5uier caso el v)rtice del n'ulo siempre apunta almenor de los nmeros6

ba se lee =a menor o i'ual &ue b> * si cam4iamos el sen!i%o %e la lec!uraleer+amos ab ' =b mayor o i'ual &ue a>' son desi'ualdades no estrictas6 Comoue%es o4ser"ar' el "1r!ice %el ,ngulo sigue aun!an%o al menor %e los nmeros6

Si abyba ' entoncesno 5ue%a m,s reme%io 5ue concluir&uea * b6Cuan%o a * 4 no son iguales onemos ba 6+ropiedad transitiva' si ba * cb ' en!onces ca ' %ic2o lo mismo %e o!ro mo%o'

cbaademsy,cacbybasi

dbcaentoncesd,cybaSi ++ 6Si se multiplican los dos miembros de una desi'ualdad por un mismo nmero,

positivo, la desi'ualdad no var-a cbca0cybasi >

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desi'ualdad por un mismonmero ne'ativo, cambiael sentidode la desi'ualdad' as+' si

cbca0cyba


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a b

a b

ab

Semiabierto or la i!"#ierda

ab

Semiabierto or la derec$a


#lases de intervalos: "bierto: es a&uel en el &ue los extremos no forman parte del mismo' es

%ecir' !o%os los un!os %e la rec!a comren%i%os en!re los e)!remos 3orman

ar!e %el in!er"alo' sal"o los roios e)!remos6En o!ras ala4ras ( ) }{ b%a&%b,aI


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Definicin:una %e3inici$n oco acer!a%a ser+a la %e 5ue es el nmero sin el signo' erosi 5ueremos ser recisos %e4er+amos %ecir 5ue es el propio nmero, si )ste espositivo, o el opuesto del nmero, si )ste es ne'ativo6

As', tendr'amos "#e(

)%,0%0%si%

0%si%%

=

O!ra %e3inici$n al!erna!i"a ser+a*

%% =' !oman%o solo el signo osi!i"o %e la ra+#6

7@ Resol"er las siguien!es ecuaciones en "alor a4solu!o:

a@+% =

4@-.%* =+

c@11/% =

%@

*

.%=

e@

*

.

1-%*=

3@

%

.%=

+

2@%.%* =

i@%.%* =+

l@**.%1* =

@ Escri4ir las siguien!es %esigual%a%es me%ian!e in!er"alos a4ier!os' cerra%os osemia4ier!os' in%ican%o el %i,me!ro o la anc2ura %el mismo en ca%a caso:

a@ *

%

4@%

+

c@ 11%11


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@ Escri4ir como una %esigual%a% en "alor a4solu!o los siguien!es in!er"alos:

a@ +%


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"#$O%"/$0"#$1% DE "D$#"/ES

Cuan%o !enemos 3racciones con ra%icales en el %enomina%or con"iene o4!ener3racciones e5ui"alen!es ero que no tengan radicales en el denominador6 A es!e

roceso es a lo 5ue se llama racionali#aci$n %e ra%icales %e los %enomina%ores6Segn el !io %e ra%ical o la 3orma %e la e)resi$n 5ue aarece en el %enomina%or' elroceso es %i3eren!e6Se ue%en %ar "arios casos:

1 Si el denominador contiene un solo trmino formado por una sola razcuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por lamisma raz cuadrada.

-or e/emlo' si 5ueremos racionali#ar el %enomina%or %e la 3racci$n

.

* '

mul!ilicaremos numera%or * %enomina%or or *

*

. . * . * . *

** *) * *= = =

O!ro e/emlo6 Racionali#ar

*

1

Si an!es %e racionali#ar e)!raemos los 3ac!ores 5ue se ue%an en el ra%ical %el%enomina%or' !enemos:

*

* * *

1 **)= =

A2ora 4as!a mul!ilicar numera%or * %enomina%or or * ara eliminar la ra+# %el%enomina%or:

* * ) * *

)* * * *= = =

Tam4i1n se ue%e %irec!amen!e mul!ilicar numera%or * %enomina%or or 1

* * ) 1 * ./ ./

1 -1 1) 1= = =

( a2ora e)!raemos 3ac!ores %e la ra+# %el numera%or * simli3icamos6


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./ *) *)

- - - = = =

' como "emos %a el mismo resul!a%o6

2 Si el denominador de la fraccin contiene dos trminos en uno de los

cuales o en los dos hay una raz cuadrada, se multiplica numerador ydenominador por el conugado del denominador. ! sea si es una suma semultiplica por la resta, y "ice"ersa.

-or e/emlo

+

. ' mul!ilicamos numera%or * %enomina%or or . +

( )( ) ( )

+ . +

. . .

+=

+

En el %enomina%or siemre "a a aarecer un ro%uc!o %e una suma or una %i3erencia'

o sea una e)resi$n %el !io ( ) ( )

* *a b a b a b

+ =

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )* *

+ . + . + . + . +

. *. . . .

+ + + += = = =

+


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$ntroduccin y relaciones y funciones entre conjuntos

Siemre 2emos u!ili#a%o en nues!ro lengua/e %iario relaciones en!re o4/e!os' ersonas'nmeros' !ales como: ser %el mismo color 5ue' ser a%res %e' ser menor 5ue' e!c6Pa4lan%o en !1rminos generales' en !o%o es!u%io * esecialmen!e en la ma!em,!ica sees!a4lece relaciones en!re %is!in!os en!es' lo cual %a la oor!uni%a% %e %escu4rir *anali#ar lo 5ue !ienen en comn o %i3eren!e6

Como en la ma!em,!ica una %e las 3unciones 3un%amen!ales es la relaci$n' en!oncesnos %e%icaremos en esa uni%a% a los es!u%ios %e las relaciones en!re con/un!os * las3unciones en ar!icular6

+areja ordenada o par ordenado

76 un ar es un con/un!o 5ue !iene %os elemen!os or e/emlo ? a ' 4 @ es un ar'como se sa4e los elemen!os %el con/un!o

6 un ar %e elemen!os a' 4 %e los cuales a se %esigna como el rimer elemen!o *4 como el segun%o se llama un ar or%ena%o * se %eno!a ?a'4@ 6

6 %os ares or%ena%os ? a ' 4 @ * ? c ' % @ son iguales si solamen!e si !ieneniguales sus rimeros elemen!os' es %ecir: si solamen!e si a c * 4 % ore/emlo: ? ' K @ ? ' K @ ? ' 8 @ W ? 8 ' @ *

? ' @ ? ' @ mien!ras 5ue ? 7' ) @ ? * ' @ si solamen!e si 7 * 'e ' ) 6

K6 En una coor%ena%a o are/a no se cumle la le* conmu!a!i"a or e/emlo ?a'4@ W?4'a@ ' *a reresen!an un un!o %i3eren!e en el lano6

6 o!ra 3orma %e reresen!ar ar!es or%ena%as en un lano car!esiano' as+:

Q se escogen %os rec!as eren%iculares6Q So4re la 2ori#on!al se si!a el rimer elemen!o * so4re la "er!ical si!a el

segun%o elemen!o6Q Se !ra#an rec!as aralelas a las rec!as %a%as or los un!os in%ica%os' la

in!ersecci$n %e es!as rec!as reresen!a el ar6 As+' la reresen!aci$n %el ar? a ' 4 @ en el rimer cua%ran!e es:


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b 2 a , b 3

a

+OD4#5O #"5ES$"%O96 se llama producto cartesiano%el con/un!o A or el con/un!o B' el con/un!o cu*oselemen!os son los ares or%ena%os %e rimera X comonen!e en A * segun%ocomonen!e en B

86 el ro%uc!o car!esiano %e %os con/un!os ?en ese or%en @ se in%ica or A B *

sim4$licamen!e se escri4e : A B Y a ' 4 Z X a A [ 4 BZ

6 e/emlo7 Realisa el ro%uc!o A ) B si A Y 7 ' ' Z * B Y7' K Z

A B Y ? 7 ' 7 @ ' ? 7 ' K @ ' ? ' 7 @ ' ? ' K @ ' ? ' 7 @ ' ? ' K @ Z

E/"#$O%ES y +OD4#5O #"5ES$"%O

6 Una relaci$n R %e A en B es un su4con/un!o %el ro%uc!o car!esiano AB6


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76 el con/un!o A se llama con/un!o %e ar!i%a %e la relaci$n o 3uen!e * el con/un!o B sellama con/un!o %e llega%a %e la relaci$n o me!a6

776 el %ominio %e R es el con/un!o con3orma%o or los rimeros elemen!os %e los ares

or%ena%os 5ue es!,n en R * el recorri%o %e R es el con/un!o 3orma %o or los segun%oselemen!o %e los ares 5ue es!,n en R6

76 E.EM-LO7: Sean A ? ' @ * B ? 7 ' @

A B Y ?' 7@' ? '@' ?'7@'?'@Z

Pallar !o%as las relaciones 5ue se ue%en 3ormar %e A en B 6Soluci$n: lo 5ue se i%e es 2allar !o%os los su4con/un!os %e A B6como A B !iene Kelemen!os' en!onces %e4e !ener K 79 su4con/un!os6 En la siguien!e !a4la sereresen!a a es!os su4con/un!os6

Subconjuntos con 6

elementos

Subconjuntos con 7

elemento

Subconjuntos con 8

elementos

Subconjuntoscon 9

elementos

Subconjunto con elemento

Y Z

Y?8'7@ZY?8,@Z

Y?9'7@ZY?9'@Z

Y?8'7@'?8'@ZY?8,7@'?9'7@ZY?8'7@?9'@Z

Y?8'@'?9'@ZY?9'7@'?9'@Z

Y?8'7@'?8'@'?9'7@Z

Y?8'7@'?8'@'?9'@Z

Y?8'7@'?9'7@'

?9'@ZY?8'@'?9'7@'

?9'@Z

Y?8'7@'?8'@'?9'7@'

?9'@Z

Ca%a uno %e es!os su4con/un!os es una relaci$n %e A en B6 el %ominio %e ca%a una %ees!as relaciones es A ? los nmeros 5ue aarecen en negrilla en ca%a are/a or%ena%a@* el recorri%o es B6


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Sean: A Y 7'''K''9Z BY 'K'9'Z CY 7'''8 Z DY'' Z & Y ''ZGY K''9'8'Z PY ''8 Z

76 Pallar las relaciones A B ' A C ' A D ' A A * en ella i%en!i3icar con color loselemen!os %el %ominio6

6 Tam4i1n %e!ermine los siguien!es ro%uc!os car!esianos:

76 A &

6 A G

6 C D

K6 B D

6 D D

96 C G

86 A P

6 G P

6 D B

76& P

En la relaci$n 5ue cumle las siguien!es con%iciones:

76 !o%o elemen!o %e A TIENE UNA imagen %e B6 ca%a elemen!o %e A !iene UNA ( SOLO una imagen %e B


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una 3unci$n 3 %e ) se sim4oli#a as+:

36 ) ( ( & ?)@

ara %e!erminar una 3unci$n %e %e4en %e!erminar:

76 coiar la 3unci$n %a%a6 %arla "alor a la "aria4le ) los 5ue us!e% 5uiera6 oerar los %i3eren!es nmeros /un!o a las oeraciones in%ica%asK6 coiarlo en una !a4la llama%a 3a4ulaci$n6 3ormar los un!os96 colocarlos en el lano car!esiano86 3inalmen!e unir !ales un!os * as+ 3ormar la gra3ica

ACONTINUACION RE-ITA LOS -ASOS ANTERIORMENTE INDICADOS EN LASSIGUIENTES &UNCIONES:

76 ( J9

Q Q7 7 (

6 ( K \

Q Q7 7

(6 ( J

Q Q7 7 (

K6 (Q) Q

Q Q7 7

(

6 ( QK) J9

Q Q7 7 (


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Gra3icar !o%as las 3uncione en el siguien!e lano car!esiano' con la a*u%a %e una regla%i"i%a el lano car!esiano en cen!+me!ros6

9 \ Hue nom4re reci4e es!e !io %e 3unciones


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DESEMPEO

I%en!i3icar las carac!er+s!icas %e una 3unci$n en el con/un!o %e los nmerosreales * resol"er sis!emas lineales * cua%r,!icos6

INDICADORES DE DESEMPEO

I%en!i3icar una 3unci$n lineal' e)onencial * logar+!mica gra3icarla enel lano car!esiano6

I%en!i3ico %i3eren!es m1!o%os ara solucionar sis!emas %e ecuacioneslineales6

I%en!i3ica la ecuaci$n cua%r,!ica inmersa en si!uaciones %a%as * lasresuel"e6


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Las 3unciones 5ue se reresen!an me%ian!e rec!as son las lineales6 Su e)resi$ngeneral es:

bmxy +=Don%e m es la en%ien!e %e la rec!a' es %ecir' un "alor 5ue in%ica la "ariaci$n %e la yor ca%a uni%a% 5ue aumen!a la x6 La reresen!aci$n gr,3ica %e la 3unci$n f' es unarec!a cu*a en%ien!e es el coe3icien!e %exe in!erce!a al e/e yen el un!o b

Tam4i1n se reresen!an me%ian!e rec!as las 3unciones cons!an!es' * 6 Son 3unciones

lineales con en%ien!e cero6

Un con/un!o %e ecuaciones lineales se llama =Sis!ema %e Ecuaciones Lineales> %on%ees!,n los sis!emas %e ) los cuales son %e %os ecuaciones * %os inc$gni!as o lossis!emas %e ecuaciones %e ) 5ue son los %e !res ecuaciones * !res inc$gni!as6

+endiente de una recta 2m3;

La en%ien!e %e una rec!a 5ue asa or el origen 20,03=P * cual5uier o!ro un!o %ellano' se ue%e calcular alican%o la %e3inici$n %e en%ien!e ara %ic2os un!os6

E


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E


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K6 Calcula el "alor %e las en%ien!es %e las rec!as 5ue asan or el origen ( )0,00=P

* or el un!o %a%o a con!inuaci$n:

6 Se comra cier!a mercanc+a a cr1%i!o6 Se a4ona el ] %e cuo!a inicial * elsal%o se aga en cuo!as %el ] mensual6

a6 Pa# una gra3ica %el orcen!a/e aga%o %e la mercanc+a con!ra !iemo46 FEn 5ue un!o cor!a la rec!a al e/e "er!icalc6 FCual es la en%ien!e %e la rec!a

96

De las siguien!es gr,3icas' encuen!ra la en%ien!e %e ca%a rec!a:


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Ecuaci$n e)onencial

Una ecuacin exponencial es a5uella ecuacin en la 5ue la

inc'nitaaarece en el exponente 6

-ara resolver una ecuacin exponencial "amos a !ener en

cuen!a:

7

Las propiedades de las potencias 6

a6 * 7 ^

a7 * a

am > a n * am ? n

am : a n * am @ n

2am3n * am > n


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an > b n * 2a > b3 n

an b n * 2a b3 n

-ara so luc iona runa ecuaci$n e)onencia l "amos a !ener en cuen!alos ! res un!os an!er iores * las roie%a%es6

Ejemplos

7 Solucionar las s igu ien!es ecuaciones e)onencialesa6

46

c6

Solucin

a6 ) \ 7 Alican%o ?@ !enemos 5ue) \ 7 Dese/an%o ) !enemos) J 7) )

46 Alican%o la roie%a%

!enemos

4 alican%o ?@ !enemos

Eliminan%o %enomina%ores !enemos

?) Q @ ?) Q 7@ reali#an%o el ro%uc!o in%ica%o


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) \ 9 9) \ agruan%o !1rminos seme/an!es) \ 9) Q J 9 re%ucien%o !1rminosQK) %ese/an%o ))

c6

&ac!ori#an%o !enemos

Dese/an%o ) !enemos

) 6

) reemla#amos) alican%o ?@)

76 Solucionar las siguien!es ecuaciones e)onenciales

a.

b.

c .

%6


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e6

36

A4%#$O% E+O%E%#$"/;En !1rminos generales' una 3unci$n es e)onencial si se e)resa %e la 3orma

xaxf =23 Sien%o a* ) reales6

La e)resi$n 3unci$n e)onencial se reser"a ara la in"ersa%e la 3unci$n logari!mona!uralo' %ic2o en o!ros !1rminos' ara el caso en 5ue a e6 Con esa %e3inici$n' su%ominio es R' ero se ue%e amliar al cuero %e los comle/os6

Es!a 3unci$n se no!a e): R _ RJ`

Don%e ees la 4ase %e los logari!mos na!urales6* e) ) ) ln * ?con * @

La imor!ancia %e las 3unciones e)onenciales en ma!em,!ica * ciencias ra%icarincialmen!e %e las roie%a%es %e su %eri"a%a6

Es %ecir' exes su roia %eri"a%a6 Es la nica 3unci$n con esa roie%a% ?sin !omar encuen!a la mul!ilicaci$n %e la 3unci$n e)onencial or una cons!an!e@6 O!ras 3ormas %ee)resar lo an!erior:

La en%ien!e%el gr,3ico en cual5uier un!o es la al!ura %e la 3unci$n en ese un!o6La ra#$n %e aumen!o %e la 3unci$n enxes igual al "alor %e la 3unci$n enx6La 3unci$n es soluci$n %e la ecuaci$n %i3erencial y y6

Definicin formalLa 3unci$n e)onencial exue%e ser %e3ini%a %e %i"ersas maneras e5ui"alen!es en!res+' como una serie in3ini!a6 En ar!icular ue%e ser %e3ini%a como una serie %e o!encias
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_ehttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_ehttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias


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Ejemplo:

Ta4ular * gra3icar las siguien!e 3unci$n

a6 &?)@ )


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A4%#$O% /OC"$5=$#"Se llama 3unci$n logar+!mica a la 3unci$n real %e "aria4le real La 3unci$n logar+!mica esuna alicaci$n 4i*ec!i"a %e3ini%a %e R`Jen R :

La 3unci$n logar+!mica solo es!, %e3ini%a so4re los nmeros osi!i"os6

Los nmeros nega!i"os * el cero no !ienen logari!mo' la 3unci$n logar+!mica %e 4ase aes la rec+roca %e la 3unci$n e)onencial %e 4ase a6

Las 3unciones logar+!micas m,s usuales son la %e 4ase 7 * la %e 4ase e = 2718281...

Se 2allan or me%io %e la 3$rmula: yxaa yx ==

La funcin lo'ar-tmica en 4ase a es la funcin inversa de la exponencialen 4ase a6


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-roie%a%es %e las 3unciones logar+!micasDominio:

Recorri%o:

Es con! inua6Los un!os ?7' @ * ?a' 7@ er!enecen a la gr,3 ica 6Es in*e c! i"a ?ninguna imagen !iene m,s %e un original@6Crecien!e s i a76

Decrecien!e si a76

Las gr,3ica %e la funcin lo'ar-tmica es sim)tr ica ?resec!o a la 4isec!ri# %el7er* ercua%ran!e@ %e la gr,3ica de la funcin exponencial ' *a 5ue son 3uncionesrecirocas o in"ersas en!re s+6


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34/149


76 Reali#ar un men!e3ac!o conce!ual ara ca%a una %e las 3unciones66 Consul!a las roie%a%es %e los logari!mos * reali#a un cua%ro comara!i"o

so4re las roie%a%es %e la o!enciaci$n * logari!maci$n6

6 Gra3icar las siguien!es 3uncionesa6 (

7X79 7X 7XK 7X K 79(

46 (

7X79 7X 7XK 7X K 79(

c; Y = f(x) = lnx

6 68 6 6 7 K (

%6 (

Q Q Q7 7 (

e6 ( )

Q Q Q7 7 (


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RECORDEMOS

E#4"#$O%ES /$%E"/ES DE +$=E C"DO #O% 4%" $%#OC%$5"

-ara la soluci$n %e ecuaciones %e rimer gra%o !ener en cuen!a los siguien!es asos:

7 uitar par)ntesis;

8 uitar denominadores;

9 "'r upar l os t )r mi nos en # en un miembro y l os t )r mi nos

independientes en el otro;

educir los t)rminos semejantes;

F Despejar la inc'nita;


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76 Solucionar las siguien!es ecuaciones:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.


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j.

6 Solucionar los siguien!es ro4lemas ?-LANTEA LAS ECUACIONESRES-ECTIVAS ( SOLUCIONALA' VERI&ICA TU RES-UESTA@


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ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

DEA$%$#$O%: Se llama sis!ema %e ecuaciones a un con/un!o 3orma%o or m,s %e una

ecuaci$n6 Los sis!emas se %eno!an %e acuer%o con sus %imensiones6 Si un sis!ema %em ecuaciones con n inc$gni!as el sis!ema se llama %e %imensiones m ) n6

=)todo Crfico;

Un sis!ema %e ecuaciones lineales con %os inc$gni!asx* yes %e la 3orma:Las gr,3icas correson%ien!es a ca%a una %e las ecuaciones' son l+neas rec!as6

Al !ra#ar es!as %os l+neas rec!as en el mismo lano %e coor%ena%as car!esianas se

-ue%en resen!ar las siguien!es si!uaciones:


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Una ecuaci$n lineal con %os inc$gni!as reresen!a una rec!a en el lanoxy' %e mo%o5ue un sis!ema %e %os ecuaciones ermi!e una reresen!aci$n gr,3ica como %os rec!asen el lano xy' sien%o la soluci$n al sis!ema el un!o %e in!ersecci$n %e es!as %osrec!as6

E/emlo:

es!as %os rec!as se cor!an en el un!o 3REALI5AN6O LA TA78LA9ION RESPE9TIVA :;RA


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Ejemplo; Resol"er gr,3icamen!e el sis!ema %e ecuaciones lineales:

*..

-

=+ =+ yxyx

Solucin; Se !ra#an las gr,3icas %e las %os ecuaciones en un mismo lano car!esiano *encon!ramos las coor%ena%as %el un!o %e in!ersecci$n' si e)is!e6 Las rec!as sein!ersecan en el un!o ?'K@6 Luego: la soluci$n %el sis!ema es el ar %e or%ena%o ?'K@ox * y K6

Cuan%o se resuel"e gr,3icamen!e un sis!ema %e %os ecuaciones lineales en %os"aria4les' al !ra#ar las rec!as en el mismo lano se resen!an !res casos:

76 Las %os rec!as se in!ersecan en un un!o' cuan%o es!o ocurre' el sis!ema se %ice5ue es consis!en!e * !iene una nica soluci$n' el un!o %e in!ersecci$n6

6 Las %os rec!as son aralelas: como las rec!as no se in!ersec!an' el sis!ema no !ienesoluci$n * se %ice 5ue es inconsis!en!e6


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6 Las ecuaciones son 3ormas %i3eren!es %e e)resar la misma rec!a6 El sis!ema esconsis!en!e * !iene un numero in3ini!o %e soluciones6 El sis!ema !am4i1n se %ice 5uees %een%ien!e6

76 Reali#ar un men!e3ac!o conce!ual so4re el m1!o%o gr,3ico6

6 Resuel"e gr,3icamen!e ca%a sis!ema %e ecuaciones lineales6 Clasi3ica ca%a sis!emacomo consis!en!e' consis!en!e %een%ien!e o inconsis!en!e:

a; 1*

=+=

yx

yx

b; //

+-

==

yx

yx

c;.

*

1

0+*/

+=

=

yx

yx

d; 10*

.

==

yx

xy

e; **-

+

=+=yx

yx

f;*

*

.

/*.

=

=+

yx

yx

=)todo de sustitucin;

-ara resol"er un sis!ema %e %os ecuaciones con %os inc$gni!as or el m1!o%o %esus!i!uci$n se roce%e %e la siguien!e 3orma:

Se %ese/a en una %e las ecuaciones' alguna %e las "aria4les6

Se reemla#a en la o!ra ecuaci$n la e)resi$n %ese/a%a'

Se resuel"e la ecuaci$n ara la "aria4le 5ue 5ue%$6

Ejemplo; Resol"er or el m1!o%o %e sus!i!uci$n el sis!ema %e ecuaciones:

*+

1+*

=+=

yx

yx

Solucin: En la ecuaci$n %ese/amos *: xy ++=

Reemla#amos es!a e)resi$n en la ecuaci$n 7:


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*

+1/

*-+*1

+-*1*

+2+3*

+*

==

==+

=+=

x

x

xx

xx

xx

yx

Sus!i!uimos ) en cual5uiera %e las ecuaciones:

1

+

+

+2*3

+

=+=

=+=+

=+

y

y

y

y

yx

-or !an!o ?'Q7@ es la soluci$n %el sis!ema original6

76 Reali#ar un %iagrama %e Euler Venn so4re el m1!o%o %e sus!i!uci$n6


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6 Resuel"e los siguien!es e/ercicios sus!i!uci$n:


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=)todo de $'ualacin

-ara resol"er un sis!ema %e %os ecuaciones con %os inc$gni!as or el m1!o%o %eigualaci$n se roce%e %e la siguien!e 3orma:

Se %ese/a en las %os ecuaciones la misma "aria4le6

Se alica la roie%a% !ransi!i"a %e la igual%a%6 Si ax= * bx= ba=

Se o4!iene una ecuaci$n con una sola inc$gni!a6

Se resuel"e la ecuaci$n6

Ejemplo 7; Resol"er or igualaci$n el siguien!e sis!ema %e ecuaciones:

*0

10

=+=+yx

yx

Solucin:

xx

y

xy

*

*0

*0

10

=

==

luego'xx *

*010 =

10

10

*0*

=

=

x

xx

Reemla#an%o en ) J * 7


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/0

1010

10

10

=

+=

=+

y

y

y

Luego'

/0,

10

es la soluci$n %el sis!ema6

76 Resol"er los siguien!es e/ercicios alican%o el m1!o%o %eigualaci$n:


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=)todo de educcin o eliminacin;

Si es necesario' se mul!ilica ca%a ecuaci$n or una cons!an!e' %e manera 5ue los

coe3icien!es en una %e las "aria4les sean iguales ero con un signo con!rario6

Se suman las %os ecuaciones resul!an!es6

Se %ese/a la "aria4le 5ue 5ue%$ * se calcula su "alor6

El "alor %e la "aria4le se reemla#a en cual5uiera %e las %os ecuaciones * se

calcula el "alor %e la "aria4le 5ue 2a4+a si%o surimi%a inicialmen!e6

Ejemplo 7; Resol"er or re%ucci$n el sis!ema:

**0.

11*

=+=+

yx

yx

Solucin:

*

/

*0.

1*

213*0.

1*

===

=+

=+=+

x

x

yx

yx

yx

yx

Reemla!ando en 1(

10

1**

1*

==+=+

y

y

yx

Luego ?'7@ es la soluci$n %el

sis!ema


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76 Resuel"e los siguien!es e/ercicios alican%o el m1!o%o %e re%ucci$n:

Regla %e CramerLa Regla %e Cramer es un m1!o%o %e ,lge4ra lineal ara resol"er sis!emas %eecuaciones6 Su 4ase !e$rica no es !an sencilla como los m1!o%os "is!os 2as!a a2ora *emlea el c,lculo %e %e!erminan!es%e ma!rices ma!em,!icas'* %a lugar a una 3ormaoera!i"a sencilla * 3,cil %e recor%ar' esecialmen!e en el caso %e %os ecuaciones con%os inc$gni!as6

A5u+ s$lo "eremos su 3orma %e uso ara resol"er %os ecuaciones con %os inc$gni!as'sin en!rar a %iscu!ir el origen %e es!e m1!o%o6 -rimero "eremos un caso general * luegoresol"eremos un e/emlo6

-ar!ien%o %e un sis!ema general %e %os ecuaciones con %os inc$gni!as:

La ma!ri# %e los coe3icien!es %e las inc$gni!as son una !a4la %e ` en la 5ue se

encuen!ran los coe3icien!es %e las inc$gni!as' or%ena%os or 3ilas * columnas6 En larimera 3ila los %e la rimera ecuaci$n * en la segun%a' los %e la segun%a ecuaci$n6 Enla rimera columna los %e la rimera inc$gni!a * en la segun%a' los %e la segun%ainc$gni!a6
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramerhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramerhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)


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El coe3icien!e %e una inc$gni!a en una ecuaci$n ocua una 3ila * columna %e!ermina%asel cam4io en el or%en %en!ro %e la ma!ri# suone la mo%i3icaci$n %el sis!ema %eecuaciones' las ma!rices se reresen!an en!re ar1n!esis' como en el e/emlo:

El %e!erminan!e %e una ma!ri# es una oeraci$n so4re esa ma!ri# 5ue %a comoresul!a%o un escalar E' 5ue %een%e %e los !1rminos %e la ma!ri# * el lugar %on%e es!1nsi!ua%os:

En el caso %e una ma!ri# %e `' !enemos 5ue el "alor %el %e!erminan!e es el ro%uc!o%e los !1rminos %e la %iagonal rincial menos el ro%uc!o %e los %e la %iagonal

secun%aria:

Es!a regla !an sencilla no se cumle en ma!rices %e ma*or %imensi$n * ara su calculo2a* 5ue !ener cier!os conocimien!os %e ,lge4ra lineal6

-ar!ien%o %e !o%o es!o !enemos 5ue la Regla %e Cramer %ice 5ue' en un sis!ema %eecuaciones lineales' el "alor %e ca%a inc$gni!a es la relaci$n 5ue e)is!e en!re el%e!erminan!e %e la ma!ri# %e los coe3icien!es %e las inc$gni!as' %on%e se 2a sus!i!ui%o la

columna %e la inc$gni!a a resol"er or la columna %e !1rminos in%een%ien!es' en!re el%e!erminan!e %e la ma!ri# %e los coe3icien!es %e las inc$gni!as6

As+ si ar!imos %el sis!ema:

Ten%remos 5ue las inc$gni!as "al%r,n:

Desarrollan%o los %e!erminan!es !en%remos las oeraciones a reali#ar ara calcular lax:


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* ara el calculo %e la y:

Pa* 5ue sealar 5ue si el %e!erminan!e %e los coe3icien!es %e las inc$gni!as "ale cero:

el sis!ema es incoma!i4le o coma!i4le in%e!ermina%o' * s$lo ser, coma!i4le%e!ermina%o si es!e %e!erminan!e es %is!in!o %e cero6

Como e/emlo "amos a resol"er el sis!ema:

Calculamos rimero la x:

* a2ora calculamos la y:

Con lo 5ue !enemos la soluci$n al sis!ema 5ue' na!uralmen!e' es:


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76 Soluciona los siguien!es sis!emas alican%o la regla %e Cramer

a6

=+=

1*

yx

yx

4@

==xy

yx

/

1*

c@

+==yx

yx

*

.*

%6

==+./

1*

yx

yx

e@

=+

=

1**

/.yx

yx

3@

==+

*+1*

.*

yx

yx

g6

=

=+

1/*

.

ba

ba

2@

=

=

*

.

**.

yx

yx

7@

=+

=

.

.

yx

yx

PROBLEMAS CON ECUACIONES DE DOS

INCOGNITASSolucin de +roblemas;-ara resol"er ro4lemas 5ue con%ucen al lan!eamien!o %e %os ecuaciones linealescon %os inc$gni!as' ue%es !ener en cuen!a las siguien!es sugerencias:

Leer 4ien el enuncia%o 2as!a 5ue se en!ien%a6

U!ili#ar los s+m4olos )' * ara reresen!ar las can!i%a%es %esconoci%as6

Usar las e)resiones alge4raicas ara !ra%ucir el enuncia%o %el ro4lema6

Cons!ruir las ecuaciones %el ro4lema6

Resol"er el sis!ema

De !o%as 3ormas' si 2a* algo 5ue a*u%a en cual5uier caso a lle"ar a 4uen uer!o laresoluci$n %e un ro4lema es el or%en6 -or ello' 2a* 5ue ser me!$%ico * 2a4i!uarse aroce%er %e un mo%o or%ena%o siguien%o unas cuan!as 3ases en el %esarrollo %e %ic2a

resoluci$n6

Las cua!ro 3ases 5ue 2a4r, 5ue seguir ara resol"er un ro4lema son:

1. Comprender el problema. 2. Plantear el problema.


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Leer detenidamente el en#nciado)

>acer #n gr?ico o #n es"#ema "#e

re?le@e las condiciones del roblema)

Identi?icar los datos conocidos y lasincgnitas)

Pensar en las condiciones del roblema yconcebir #n lan de accin,

Elegir las oeraciones y anotar el orden en"#e debes reali!arlas)

E%resar las condiciones del roblemamediante ec#aciones)

3. Resolver el problema.

ResolBer las oeraciones en el ordenestablecido)

ResolBer las ec#aciones o sistemasres#ltantes de la ?ase *)

Aseg#rarse de reali!ar correctamentelas oeraciones, las ec#aciones y los

sistemas)

4. Comprobar la solucin.

9omrobar si $ay ms de #na sol#cin)

9omrobar "#e la sol#cin obtenidaBeri?ica la ec#acin o el sistema)

9omrobar "#e las sol#ciones son acordescon el en#nciado y "#e se c#mlen las

condiciones de Cste)


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Ejemplo: La suma %e %os nmeros es K8 * su %i3erencia es 76FCu,les son losnmeros6Solucin;


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76 Resuel"a los siguien!es ro4lemas alican%o el m1!o%o %e sus!i!uci$n6

a6 La suma %e %os nmeros es 7K * su %i3erencia es 6 FCu,les son los nmeros

46 La suma %e las e%a%es %e %os ersonas es aos * el !rile %e la e%a% %el menor

es igual al %o4le %e la e%a% %el ma*or6 FCu,n!os aos !iene ca%a ersona

c6 Dos ,ngulos son sulemen!arios ?la suma %e sus amli!u%es es 7b@ * el !rile %e

la %i3erencia %e los %os e5ui"ale a 7 "eces el ,ngulo menor6 FCu,n!o mi%e ca%a

,ngulo

%6 La suma %e %os nmeros consecu!i"os es 6 FCu,les son los nmeros

e6 El er+me!ro %e un rec!,ngulo es 7 * el %o4le %e la al!ura e)ce%e a la 4ase en 6

Calcula las %imensiones %el rec!,ngulo6

6 Resuel"a los siguien!es ro4lemas alican%o el m1!o%o %e igualaci$n6

a6 Si la suma %e %os nmeros es * uno %e los nmeros es )' FC$mo sim4oli#as elo!ro nmero6

46 Si el %o4le %e cier!a can!i%a% es

.

%e )' FC$mo sim4oli#as la mi!a% %e es!acan!i%a%6

c6 La suma %e %os nmeros es 7K * su %i3erencia es 6 FCu,les son los nmeros

6 Solucionar los siguien!es ro4lemas alican%o el m1!o%o %e re%uccion:

a6 Al4er!o !iene 7 aos mas 5ue Ber!a6 Si el %o4le %e la e%a% %e Ber!a e)ce%e en

aos a la e%a% %e Al4er!o' 2alla am4as e%a%es6

46 La suma %e las %os ci3ras %e un numero es 7K6 Al in!ercam4iar las ci3ras %e las

%ecenas con el %e las uni%a%es' el numero se aumen!a en 76 Pa*a 1l nmero

original6

c6 La suma %e %os nmeros es 7 * su %i3erencia es 6 FCu,les son los nmeros6

K6 Solucionar los siguien!es ro4lemas alican%o la regla %e cramer:


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a6 En un 4arco "ia/an K asa/eros en!re 2om4res * mu/eres6 El nmero %e 2om4res esel !rile 5ue el %e mu/eres6 FCu,n!os 2om4res * cu,n!as mu/eres 2a*6

46 Al4er!o !iene !rile %e e%a% 5ue su Luc+a6 Si Al4er!o !u"iese aos menos * Luc+a aos m,s' los %os !en%r+an la misma e%a%6 FCu,n!os aos !iene ca%a uno6

c6 Palla las %imensiones %e una arcela rec!angular sa4ien%o 5ue es m m,s larga 5ueanc2a * 5ue el er+me!ro es K m6

%6 En!re An!onio * Carmen !ienen 7 6Si Carmen le %a 7'8 en!onces An!onio !iene el%o4le 5ue ella6 FCu,n!os euros !iene ca%a uno6

e6 Dos ilos %e eras * !res %e man#anas cues!an 8' 6 Cinco ilos %e eras * cua!ro %eman#anas cues!an 7' 6 FCu,n!o cues!a el ilo %e man#anas F( el ilo %e eras6

6 Solucionar los ro4lemas %el alge4ra %e Bal%or agina 8 * ?or cual5uierm1!o%o@


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Algunos 3en$menos %e la na!urale#a * relaciones %e !io geom1!rico resen!an unarelaci$n %e "ariaci$n 5ue no es lineal6 -or e/emlo la relaci$n en!re la longi!u% %el la%o%e un cua%ra%o * el ,rea %el mismo6

Se ue%e ensar en la 3unci$n %e3ini%a %e los reales en los reales !al 5ue a !o%o "alor%e ) le correson%a su cua%ra%o6

*

(

xx

f

La cur"a 5ue se o4!iene al reresen!ar la 3unci$n cua%r,!ica*xy= ' reci4e el nom4re

%e ar,4ola Hue se i%en!i3ica "isualmen!e or 5ue %isone %e %os ramas sim1!ricas ale/e *' con un un!o m+nimo' en es!e caso es el origen %el sis!ema %e coor%ena%ascar!esianas6

-ara "alores ) la cur"a es %ecrecien!e' * ara "alores la cur"a es crecien!e6

En la na!urale#a la 3unci$n cua%r,!ica es!a resen!e en el mo"imien!o %e un cuero 5uese lan#a 2ori#on!almen!e %es%e cier!a al!ura o %es%e la suer3icie 3orman%o un ,nguloso4re la 2ori#on!al6

El "1r!ice %e la ar,4ola' 5ue es el un!o%on%e cam4ia %e crecimien!o a%ecrecimien!o' se encuen!ra en el origen%el sis!ema %e coor%ena%as car!esianas6

Cuan%o a' la ar,4ola a4re 2acia a4a/o6

Desplazamiento de la parbola;


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El e/e %e sime!r+a %e la ar,4ola se ue%e%esla#ar 2ori#on!almen!e6 En es!e caso la

3unci$n !oma la 3orma:*23 hxy =

El "1r!ice se %esla#a "er!icalmen!e6 Enes!e caso la 3unci$n !oma la 3orma:

caxy += *

La 3unci$n cua%r,!ica comle!a se ue%e escri4ir cbxaxy ++=*

Ejemplo: Encon!rar gr,3icamen!e los ceros %e la 3unci$n cua%r,!ica 1** += xxy

Solucin:


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Q9 Q QK Q K 9* 7 Q9

76 Reali#ar un men!e3ac!o conce!ual so4re ecuaciones cua%r,!icas6

6 En las siguien!es ar,4olasencuen!ra el un!o %e in!ersecci$n %e la cur"a con el e/e 2ori#on!al6

6 Encuen!ra los =ceros> %e la 3unci$ncua%r,!ica reresen!a%a en las siguien!es ar,4olas6


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#lasificacin y solucin de ecuaciones de se'undo 'rado con una inc'nita

La ecuaci$n arece comlica%a ero en reali%a% es una ecuaci$n

%e rimer gra%o con una "aria4le' *a 5ue se ue%e !rans3ormar en es!a ecuaci$ne5ui"alen!e: 8xQ7

Pemos resuel!o muc2as ecuaciones %e es!e !io * 2emos "is!o 5ue siemre !ienen unasoluci$n6 Des%e el un!o %e "is!a ma!em,!ico' 2emos resuel!o esencialmen!e elro4lema %e solucionar ecuaciones %e rimer gra%o con una "aria4le6

En es!e aar!a%o consi%eraremos el siguien!e !io %e ecuaciones olinomiales' 5ue

reci4en el nom4re %e ecuaciones %e segun%o gra%o o ecuaciones cua%r,!icas6 Unaecuaci$n cua%r,!ica con una "aria4le es cual5uier ecuaci$n 5ue se ue%a escri4ir %e la3orma: ' %on%exes una "aria4le' en !an!o 5ue a, b *cson cons!an!es6

Nos re3eriremos a es!a 3orma como la 3orma general %e la ecuaci$n cua%r,!ica6

7; a-z #uadrada

Un !io m,s sencillo %e ecuaci$n cua%r,!ica' or su soluci$n' correson%e a la 3ormaesecial en 5ue 3al!a el !1rmino con la "aria4le %e rimer gra%o o sea cuan%o es!, en lasiguien!e 3orma:

El m1!o%o %e soluci$n aro"ec2a %irec!amen!e la %e3inici$n %e ra+# cua%ra%a6 Elroceso se ilus!ra en el siguien!e e/emlo:

Ejemplo 7

Resuel"e or me%io %e la ra+# cua%ra%a

SO/4#$1%:

Ejemplo 8

xxx =+ *23

1

*

1

0*

=++ cbxax

0*

=+cax

0*

=x

**

0

*

*

=

=

=

=

x

x

x


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SO/4#$1%:

Ejemplo 9


SO/4#$1%:

8; AactorizacinSi los coe3icien!es a' b * c%e la ecuaci$n cua%r,!ica son !ales 5ue la

e)resi$n ue%e escri4irse como el ro%uc!o %e %os 3ac!ores %e rimer

gra%o con coe3icien!es en!eros' %ic2a ecuaci$n cua%r,!ica o%r, resol"erse r,i%a *3,cilmen!e6 El m1!o%o %e resoluci$n or 3ac!ori#aci$n se 4asa en la siguien!e roie%a%%e los nmeros reales:

Si a* bson nmeros reales' en!onces:ab si * solo si a o b ?o am4os "alen cero@

Es!a roie%a% se %emues!ra con 3acili%a%: si a ' 2emos conclui%o6 Si a W 'mul!ilicamos am4os miem4ros %e ab or 7Xa' ara o4!ener: b 6Ejemplo 7

0* * =x

*

*

*

*

0*

*

*

*

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

0*+ * =+x

ix

x

x

x

1-

-

*+

0*+

*

*

*

==

=

=

=+

0*

=++ cbxax

0*

=++ cbxax


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Resuel"e or 3ac!ori#aci$n

SO/4#$1%:

Ejemplo 8


SO/4#$1%:

Ejemplo 9


SO/4#$1%:El olinomio no se ue%e 3ac!ori#ar con coe3icien!es en!eros or !an!o'%e4e %e usarse o!ro m1!o%o ara encon!rar la soluci$n6

9; #ompletando el trinomio cuadrado perfecto

El m1!o%o %e comleci$n %el cua%ra%o se 4asa en el roceso %e !rans3ormar lacua%r,!ica general ara 5ue 5ue%e as+: 6 Don%eA* son

cons!an!es6 Es!a l!ima ecuaci$n se ue%e resol"er 3,cilmen!e or me%io %e la ra+#cua%ra%a' como se e)lic$ en la secci$n an!erior6 As+:

01.**

=+ xx

( )( )

.o

0.o0

0.01.*

*

===+=

=+ =+

xx

xx

xxxx

xx * * =

( )( )

*

o0

0*o0

0*

0**

*

*

==

=====

xx

x-x

xx

xxxx

0,* *

=+ xx

0*

=++ cbxax ( ) BAx =+ *

( )

BAx

BAx

BAx

=

=+

=+ *


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La resoluci$n %e ecuaciones cua%r,!icas or el m1!o%o %e comleci$n %el cua%ra%o seilus!ra me/or con e/emlos

Ejemplo 9

Resuel"e or el m1!o%o %e comleci$n %el cua%ra%o

SO/4#$1%:Sumamos a am4os miem4ros %e la ecuaci$n ara eliminar Q %el

miem4ro i#5uier%o6-ara comle!ar el cua%ra%o %el miem4ro i#5uier%o' sumamos el

cua%ra%o %el coe3icien!e %ex,en am4os miem4ros %e la ecuaci$n6&ac!ori#amos el miem4ro i#5uier%o6

Resol"emos or me%io %e la ra+# cua%ra%a6

Ejemplo

Resuel"e or el m1!o%o %e comleci$n %el cua%ra%o

SO/4#$1%:

O4ser"a 5ue el coe3icien!e %e )

no es 76 En !al caso' %i"i%imos!o%os los !1rminos en!re el coe3icien!e rincial * roseguimos como en el e/emloan!erior6

; Aormula cuadrtica

-ara o4!ener la 3ormula ara resol"er ecuaciones %e segun%o gra%o' !omamos laecuaci$n general * resol"emos arax' en 3unci$n %e los coe3icien!es a,

( )

*

.1

*

.1

1*

1*

*

*

=

=

+=+

x

x

xx

*

10*

*

101

*

.1

=

=

=

x

x

x

0** =+ xx

0** =+ xx

** =+ xx

*--* +=++ xx

( ) 11 * =+x

11

11

=

=+

x

x

0/* * = xx

0/* * = xx

*

*

0*

*

*

*

=

=

xx

xx

0*

=++ cbxax


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b * c' or el m1!o%o %e comleci$n %el cua%ra%o %e es!a manera o4!enemos una3$rmula 5ue o%remos memori#ar * u!ili#ar siemre 5ue se cono#ca el "alor %e a, b * c6

-ara eme#ar 2aremos igual a 7 el coe3icien!e rincial6 -ara ello' mul!ilicamos or

7Xaam4os miem4ros %e la ecuaci$n6 Hue%a as+:

Sumamos !c"a a am4os miem4ros %e la ecuaci$n ara surimir c"a %el miem4roi#5uier%o6

A2ora comle!amos el cua%ro %el miem4ro i#5uier%o ara ello' sumamos a ca%a

miem4ro %el cua%ra%o %e la mi!a% %el coe3icien!e %ex

Luego 3ac!ori#amos el miem4ro i#5uier%o %e la ecuaci$n * la resol"emos or me%io %ela ra+# cua%ra%a6

O4!enemos es!o: a

acbbx

*

/* =

Es!, l!ima ecuaci$n se llama 3$rmula cua%r,!ica6 Es necesario memori#arla *emlearla ara resol"er ecuaciones cua%r,!icas' cuan%o no %an resul!a%o m1!o%os m,ssencillos6 O4ser"a 5ue b2#$acreci4e el nom4re %e %iscriminan!e * nos roorciona lasiguien!e in3ormaci$n !il resec!o %e las ra+ces:

b8 @ ac

0* =++a

c

a

bx

a

c

a

bx =+*

a

c

a

b

a

b

a

bx =++

*

*

*

**

//

*

*

*

*

*

*

*

**

/

/

*

/

/

*

/

/

*

/

/

*

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

acb

a

b

x

a

acb

a

bx

=

=

=+

=

+


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ax8 ? bx ? c * 6

-osi!i"o

Dos soluciones realesCeroUna soluci$n realNega!i"oDos soluciones comle/as

Ejemplo 7

Resuel"e or la 3$rmula cua%r,!ica

SO/4#$1%:ano!amos la 3$rmula cua%r,!ica e i%en!i3icamos a' 4QK * cQ6

Sus!i!uimos la 3$rmula * simli3icamos6

Ejemplo 8

Resuel"e or la 3$rmula cua%r,!ica

SO/4#$1%: escri4imos en la 3orma general e i%en!i3icamos a 7' 4 Q9

* c 77

0/* * = xx

a

acbbx

*

/* =

( ) ( ) ( )( )

( )

/

/0/

/

*/1/

**

*/// *

=

+=

=

x

x

x

*

10*

/

10*/

=

=

x

x

xx 11*

=+

011* =+ xx


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Sus!i!uimos la 3$rmula * simli3icamos6

76 Realice un cua%ro comara!i"o' en!re la alicaci$n %e 3ac!ori#aci$n * 3ormulageneral ara 3unciones cua%r,!icas6

6 Resuel"e or me%io %e la ra+# cua%ra%aa6

46

c6

%6

6 Resuel"e or el m1!o%o %e 3ac!ori#aci$n * gra3i5ue lassiguien!es ecuaciones

a

acbbx

*

/* =

( ) ( ) ( ) ( )

( )

*

*

**

*

*

//

1*

111/*

ix

ix

x

x

x

=

=

=

=

=


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K6 Resuel"e las siguien!es 3unciones cua%r,!icas alican%o la 3ormula general:

Resuel"e or 3ac!ori#aci$n' si es osi4le

a)

b)

c)

8 Soluciona las siguien!es ecuaciones alican%o el m1!o%o 5ue mas con"enga:

a6

46

c6

%6

e6


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3 6

g6 )

J ?8 d )@

26 8) J 7) d

i 6 d) J K) d 8

/ 6 9) d) J7 6

l 6

m6

n6


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DESEMPEO


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In!erre!a el conce!o %e nmero comle/o * lo u!ili#a ara la soluci$n%e algunas ecuaciones cua%r,!icas' a%em,s i%en!i3ica * reresen!alos !1rminos %e una sucesi$n * su clasi3icaci$n6

INDICADORES DE DESEMPEO I%en!i3ica 5ue es un nmero imaginario * reali#a oeraciones en!re

ellos6

I%en!i3ica 5ue es un nmero comle/o * reali#a oeraciones en!reellos6

Reconoce 5ue es una sucesi$n * una rogresi$n' clasi3ica *%e!ermina el !1rmino general6


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NMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS

NUMEROS IMAGINARIOSA lo largo %e nues!ros es!u%ios %e los sis!emas num1ricos 2emos encon!ra%o 5ue ca%a"e# 5ue %eseamos resol"er ecuaciones m,s comle/as' el con/un!o num1rico en el cualse lan!ea ecuaciones es limi!a%o * la soluci$n no cae %en!ro %e %ic2o con/un!o6

As+ aso con los nmeros na!urales' 3ue necesario amliar los nmeros a los nmerosen!eros ara resol"er ecuaciones %e la 3orma a % x = b en el cual a 46 las ecuacionesmul!ilica!i"as en los en!eros no !o%as !ienen soluci$n en es!e con/un!o' 3ue necesarioamliar a los nmeros racionales ara encon!rar la soluci$n a las ecuaciones %e la3orma ax = b.En 3orma similar al !ra!ar %e resol"er ecuaciones en los nmeros racionalesencon!ramos 5ue ecuaciones %e la 3orma ) ' no !iene soluci$n en los racionalesor5ue ) no es un numero racional6 Nues!ro nue"o con/un!o 3ue el %e los

nmeros reales6Con la ecuaci$n ) J 7 en el con/un!o %e los nmeros reales suce%e algo similar6 Lasecuaciones %e la 3orma )J a no !ienen soluci$n' cuan%o a ues ) Qa %e%on%e ) 6

Como no e)is!e un numero real 5ue al ele"arlo al cua%ra%o no %e c$mo resul!a%o unnumero nega!i"o' es necesario e)!en%er el con/un!o %e los nmeros reales %e !al

manera 5ue es!a ecuaci$n !enga soluci$n6De3inimos como i la soluci$n %e )J 7 es or lo !an!o 5ue ) iDe igual manera la soluci$n %e la ecuaci$n )J K !iene or soluci$n )

como en!onces i es un numero imaginario6

O-ERACIONES ENTRE NUMEROS IMAGINARIOSLas oeraciones en!re nmeros imaginarios son las mismas oeraciones en!re nmerosreales6

A%ici$n * sus!racci$n %e nmeros imaginariosLos nmeros imaginarios se suman con el roce%imien!o %e re%ucci$n %e !1rminosseme/an!es:E/emlo:Pallar la suma %e:

a6 7i con i46 Q7i con 7Ki


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c6 i con \ KiSoluci$n:

a6 7i J i 7i46 Q7i J 7Ki Qi

c6 i J ?QKi@ i \ Ki Qi-ro%uc!o %e nmeros imaginariosEn la mul!ilicaci$n %e nmeros imaginarios %e4emos !ener en cuen!a el ro%uc!o %eo!encias %e igual 4ase * encon!rar los "alores %e la o!encia %e i6Las o!encias %e i son: 7' Q7' i' Qi

i i

Q7

i i) i Q7 )i Qi iK i)i Q7)Q77

-rimera o!encia Segun%a o!encia Tercera o!encia Cuar!a o!encia

Las o!encias %e i ma*ores 5ue cua!ro !oman uno %e los "alores *a conoci%os %e laso!encias menores o igual 5ue K6 i iK) i 7 ) i iE/emloPallar los siguien!es ro%uc!os

a6 9i) i

46 7i) Ki

Soluci$na6 ?9)@?i) i@ 7??Q7@?Qi@@ reemla#amos segn la !a4la *a "is!a

7?Qi@ Q7i46 ?7)K@?i) i@ KiK K?i) i@ K??Q7@?Q7@@ K?7@ K

La i%ea es reemla#ar la con la a*u%a %e la !a4la' 5ue son los "alores *a conoci%os6Cocien!e en!re nmeros imaginariosSe alica el cocien!e %e o!encias %e igual 4ase * se escri4e la o!encia %e i 5ueresul!a segn los cua!ro "alores conoci%os6

E/emloPallar los siguien!es cocien!es

a6 46 c6

Soluci$n:a6 ? K@?iKQ@ i ?Q7@ Q


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46 ?7 K@?iQ9@ iQ %e4emos con"er!ir el e)onen!e en osi!i"o6

reemla#an%o segn la !a4lai Q i

Q

c6 iQ9 iQ7

O4ser"aciones La suma o %i3erencia %e %os nmeros imaginarios es o!ro numero imaginario6

Siemre * cuan%o no sean oues!os a%i!i"os6 El ro%uc!o o cocien!e %e nmeros imaginarios ue%e ser un numero real o un

numero imaginario6

76 Pallar la soluci$n %e las siguien!es ecuaciones e)resan%o las can!i%a%esimaginarias6

a6 )J 7 46 )J c6 )J 7 %6 )J 7 e6 )J K 36 )J 7 6 Reali#ar las siguien!es sumas %e nmeros imaginariosa6 i J 7i J i46 Q7i J i \ 9ic6 8i J 7i \ i%6 7i \ Ki J 9i

e6 78i J 9iJ 7i36 Qi \ Ki \ i \ 77ig6 Qi J Ki \ 7i J 8i26 8i \ i \ 9i \ 7ii6 Ki \ i J 8i \ 7i


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6 Reali#a las siguien!es mul!ilicaciones %e nmeros imaginariosa6 8i ) 7i

46 Qi) Kic6 7i ) i

%6 i ) 8ie6 i ) ?Ki \ i@36 7i ) 7i ) ?Qi@g6 i ) i )i

26 i ) ?Q7i@i6 i) 7i

K6 Reali#ar las siguien!es oeracionesa6 ?Qi J 8i@ ) ?i J 8i@46 ?QKi \ i@ ) ?Q7i J 79i@c6 ?Qi J 7i@ ) ?8i J i@%6 ?Ki J 7i@ ) ?Q78i Q 7@

e6 ?Ki J 7i@ ) ?Qi Qi@6 Encuen!ra el "alor el "alor %e las o!encias nega!i"as %e i:a6 iQ7 46 iQ c6 iQ %6 iQK e6 iQ 36 iQ9

NUMEROS COM-LE.OSUn nmero comle/o es una e)resi$n 5ue cons!a %e un nmero real suma%o a unnmero imaginario6E/emlos:

a6 J 7i46 Q9 J 8ic6 K \ i

En general los nmeros comle/os son %e la 3orma a % b&%on%e a * 4 son nmerosreales e i es el imaginario * el con/un!o 5ue los con!iene es C6a J 4i es un numero comle/o * J 4i !am4i1n es un numero comle/o6El suma%o real %el nmero comle/o se llama ar!e real' * el !ermino 5ue con!iene a la ise llama ar!e imaginaria6

En el numero 9 J i la ar!e real es 9 * la ar!e imaginaria es i6

IGUALDAD DE NUMEROS COM-LE.OSDos nmeros comle/os son iguales si sus resec!i"as ar!es reales * ar!esimaginarias son iguales en!re si:

a J 4i c J %i si * solo si a c * 4i %iE/emloSi los nmeros comle/os m J ?n Q 7@i * K \ i son iguales' encon!rar el "alor %e m * nSoluci$n


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-or %e3inici$n las ar!es reales %e4en ser iguales en!oncesm Km

Igual con las ar!es imaginarian \ 7 Qn Q J 7n Q7n

CON.UGADO DE UN NUMERO COM-LE.OEl con/uga%o %e un nmero comle/o es o!ro nmero

comle/o 5ue !iene igual la ar!e real ero la ar!eimaginaria es el oues!o a%i!i"o6El con/uga%o %e a % b&es a ! b& * se %eno!a con una ra*aarri4a %el numero comle/o

= a ! b&

E/emloPallar el con/uga%o %e los siguien!es nmeros comle/os

a6 7 J Ki46 Q9 J i

c6 7 \ i%6 Q \ 7iSoluci$n:

a6 7 \ Ki

46 Q9 \ i

c6 7 J i

%6 Q J 7i

ORDEN DE LOS NUMEROS COM-LE.OS-ara o%er es!a4lecer un or%en en cual5uier con/un!o %e4emos es!ar en caaci%a% %e%eci%ir cuan%o un nmero es ma*or 5ue o!ro6 En!re %os nmeros comle/os' no


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o%emos %eci%ir cuan%o un nmero es ma*or' or ello se %ice 5ue el con/un!o %enmeros comle/o no es!, or%ena%o6


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O-ERACIONES CON NUMEROS COM-LE.OSA%ici$n * sus!racci$n con nmeros comle/osLa a%ici$n * la sus!racci$n con nmeros comle/os se reali#a %e i%1n!ica 3orma a la %ere%ucci$n %e !1rminos seme/an!es' 4as!a sumar resec!i"amen!e sus ar!es reales e

imaginarias6Se conmu!an los !1rminos * se re%ucen !1rminos seme/an!es' asi6?a J 4i@ J ?c J %i@ ?a J c@ J ?4 J %@i

E/emlos:a6 ? J i@ J ?9 \ i@46 ?Q Q7i @ J ? J 7i@

Soluci$n:a6 ? J 9@ J ? Q @I J ?Qi@ \ i46 ?QJ@ J ?Q7 J7@i J i ic6

-ro%uc!o %e nmeros comle/os

-ara reali#ar el ro%uc!o en!re nmeros comle/os se alica la roie%a% %is!ri4u!i"a %ela mul!ilicaci$n resec!o a la a%ici$n * sus!racci$n6E/emlo:Mul!ilicar ?8 \ 9i@ ) ? \ i@Soluci$nSe mul!ilica ca%a uno %e los !1rminos %el rimer 3ac!or or los !1rminos %el segun%o3ac!or' as+:?8 \ 9i@ ) ? \ i@ 8 ) ? \ i@ \ 9i? \ i@ 7 \ 9i \ 7i J Kise reali#o el ro%uc!o resec!i"o * %e4emos !ener en cuen!a 5ue i Q7 luego !enemos' 7 \ 9i \ 7i J K?Q7@ 7 \ 9i Q7Q QK Re%ucimos !emimos seme/an!es Q \ 7i?8 \ 9i@ ) ? \ i@ Q Q7iEn general si a % b& y c % '&son nmeros comle/os el ro%uc!o

(a % b&) x (c % '&) = (ac # b') % (a' # bc)&Di"isi$n %e nmeros comle/os-ara reali#ar la %i"isi$n en!re nmeros comle/os se escri4e la %i"isi$n como uncocien!e in%ica%o luego se mul!ilica numera%or * %enomina%or or el con/uga%o %el%enomina%or6E/emloE3ec!uar ?K J i@ ? \ i@

Soluci$n:Se escri4e la %i"isi$n en 3orma %e3racci$n

?K J i@ ? \ i@


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Se mul!ilica numera%or *%enomina%or or el con/uga%o %el%enomina%or

Se e3ec!a el ro%uc!o

Se o4ser"a 5ue en el %enomina%or laar!e imaginaria %esaareci$ *a 5ueal mul!ilicar un comle/o or sucon/uga%o es!e %a un nmero real6

1) Al sumar un nmero real con un numero imaginario a 5ue con/un!o er!enecees!e nue"o nmero6

*) E)lica la ra#$n ma!em,!ica %el surgimien!o %e los nmeros en!eros' racionales'reales * comle/o6

) De!ermina la ar!e real * la ar!e imaginaria %e los siguien!es nmeroscomle/os6

a) 7 Jib) Q J ic) i J d) 9i Q7e) 8 \ i36 Q i

g6

K6 Anali#a las siguien!es a3irmaciones * %e!ermina si son 3alsas o "er%a%era */us!i3+calas con un e/emlo6

a6 To%o nmero real es comle/o46 To%o nmero imaginario es comle/o

c6 Algunos nmeros reales son imaginarios%6 Algunos nmeros comle/os son realese6 El cero no es comle/o36 El ro%uc!o %e un numero real * un imaginario es un numero comle/og6 Es lo mismo J 9i 5ue 9i J or la roie%a% conmu!a!i"a6 Pallar el "alor %e ) e * %e manera 5ue cumla la igual%a%6a6 77) J *i \ 7i


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46 ) J *i Q7 Q

c6 9) J 8*i QK \ ? J *@i

%6 K) J *i Q7 Q

e6 ?) Q 7@ J*i Q7 \ K9i96 Pallar el con/uga%o %e:a6 \ i 46 Q7 J i c6 7 \ Ki %6 Q7 \ 79ie6 Q7 \ i 36 9 g6 Qi 26 Q

86 Reson%e * /us!i3ica con un e/emlo:a6 FCu,l es el con/uga%o %el con/uga%o %e m J ni46 FDos comle/os %is!in!os ue%en !ener el mismo con/uga%o' E)licac6 FEl con/uga%o %e un nmero comle/o ue%e ser el mismo nmero%6 FTo%o nmero comle/o !iene con/uga%oe6 FAl in!ercam4iar la ar!e real con la imaginaria se o4!iene el con/uga%o36 F-ue%es encon!rar un su4con/un!o %e C 5ue es!e or%ena%o6 Reali#a el men!e3ac!o %el con/un!o %e los nmeros C66 Reali#a las siguien!es sumas %e nmeros comle/os6a6 ?9 J i@ J ?9 J i@ 46 ?Q7 J i@ J ?7 J i@c6 ?Q \ i@ J ?Q 8 J i @ %6 ?7 J 7i@ J ?Q \ K8i@

e6 ?8 J i@ J ? J 79i@ 36 ? J i@ J ?QK Q @

g6 ? @ J ? @ g6 ? @ J ?Q

@

76 Reali#a los siguien!es ro%uc!os6a6 ? \ i@ ) ?7 J i@ 46 ? J Ki@ ) ?9 \ 9i@ c6 ?8 \ Ki@ ) ? \ i@


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%6 ? J i@ ) ? @ e6 ? @ )

@

36 @ ) ?Q 7 @ g6 ?' @

) ?Q' \ 'i@ 26 ? Q i@ )?Q Q i@776 FCu,l es el resul!a%o %e mul!ilicar un numero comle/o or su con/uga%o6 Da

un e/emlo %e %os nmeros comle/os cu*o ro%uc!o sean un nmero real' un

nmero imaginario * cero676Reali#ar los siguien!es cocien!es

a6 46 c6 %6

e6 36 g6 e6


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E+/O"%DO E% E/ =4%DO DE /"S ="5E="5$#"S

Las siguien!es 2is!orias es!,n relaciona%as con el mane/o %e can!i%a%es 5ueinicialmen!e son e5ueas' ero 5ue %e4i%o a la 3orma como crecen llegan a !omar"alores e)!rema%amen!e gran%es' las cuales ilus!ran el mane/o %e las sucesiones *rogresiones6


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Si cier!o %+a a2orra al %+a siguien!e' el %o4le al !ercer %+a el %o4le %e loa2orra%o el segun%o %+a' * as+ sucesi"amen!e'F Cuan!o a2orraras el %1cimo %+a6

Un millonario 5ue !enia 3ama %e un gran comercian!e encon!r$ un %+a a un 2om4re %easec!o mu* comn 5ue al sa4er %e su ri5ue#a se acerco ara roonerle un negocio6El millonario lo escuc2a' sin o%er ocul!ar la %escon3ian#a 5ue le ro%uc+a6

Sin em4argo 2icieron el siguien!e !ra!o6 Ca%a %+a %uran!e un mes' le !raigo cien milesos6 Claro 5ue no "o* a 2acerlo gra!is6

El rimer %+a us!e% %e4e en!regarme un eso6 FUn eso -regun!o asom4ra%o el

millonario6 Un eso Q con!es!$ el 2om4re6 -or los segun%os cien mil esos' us!e%agara %os esos' or los !erceros cua!ro esos' or los cua!ro oc2o' or los 5uin!os%iecis1is * as+ sucesi"amen!e %uran!e !o%o un mes Ca%a %+a us!e% me agara el %o4le%e lo an!erior6

A los sie!e %+as %e 2a4er eme#a%o el negocio nues!ro millonario 2a4+a co4ra%o *ase!ecien!os mil esos * aga%o la +n3ima suma %e:

7 J J K J J 79 J J 9K 78

Con los %+as la alegr+a %el millonario no %uro muc2o' ues ron!o eme#$ a

comren%er 5ue es!e 2om4re no era ningn !on!o * 5ue el negocio 5ue 2a4+aconcer!a%o no era !an "en!a/oso como 1l ensa4a en un comien#o Sin em4argo' noo%+a romer las reglas ues el mismo 2a4+a ela4ora%o el con!ra!o6

Al 3inal %el mes' el millonario es!a4a arruina%o6

76 Calcula el %inero 5ue reci4i$ el %esconoci%o en el %+a 7 \ 7 * 76

6 Calcula el %inero 5ue reci4i$ el millonario en los %+as 7 \ 7 * 76


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6 Comara los agos reali#a%os or el millonario * la can!i%a% reci4i%a or el 2om4re%esconoci%o a ar!ir %el %+a 6 FHu1 suce%e a ar!ir %el %+a 2as!a el %+a

K6 Ela4ore una carica!ura 5ue ilus!re es!a 2is!oria * re%ac!a un 3inal ara ella6

Un arreglo %e un con/un!o %e n elemen!os' en un or%en %e3ini%o' ro%uce un con/un!oor%ena%o llama%o sucesi$n6

Son sucesiones reales:

a@,)))

n,))),,,

*

11,

1

4

1

3

1

la le* carac!er+s!ica se enunciar+a as+: es una sucesi$n 3orma%a orlos nmeros in"ersos %e los nmeros na!urales6

4@ ,)))n,))),,,, 4321 a5u+ la le* ser+a: ra+ces cua%ra%as %e los nmeros na!urales


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c@,)))

n

n,))),,,

13

4

2

3

3

2

2

1

+ La le* ser+a: Una sucesi$n 3orma%a or 3racciones cu*onumera%or es la serie %e los nmeros na!urales * el %enomina%or es igual alnumera%or m,s una uni%a%6

Conoci%a la le* %e 3ormaci$n' se ue%e %e!erminar cual5uier !1rmino %e la sucesi$n en3unci$n %el lugar 5ue ocue6

Una sucesi$n' cuan%o !iene un nmero %e!ermina%o %e !1rminos' como or e/emlo la

sucesi$n: 32

5

186

3

21 ,,,,,

3orma%a or es!os seis nmeros' no necesariamen!e !iene 5ue!ener una le* %e 3ormaci$n *a 5ue !o%os sus !1rminos es!,n er3ec!amen!e %e3ini%os alconocerlos !o%os6

5$+OS DE S4#ES$O%ES

Sucesiones con"ergen!es

Las sucesiones conver'entes son las suces iones 5ue ! ienen l -mite

finito

6

L+mi !e

L+mi !e 7

Sucesiones %i"ergen!es


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Las sucesiones diver'entes s on la s su ce si on es 5 ue no ! ienen

l -mite f inito 6

L+mi !e f

Sucesiones osci lan!es

Las sucesiones osci lantes no son conver'entes ni diver'entes6

Sus !1rminos al !ernan %e ma*or a menor o " ice"ersa6

7' ' ' '' ' 8' 6 6 6

Sucesiones al !erna%as

Las sucesiones alternadas son a5uel las 5ue alternan los si'nos %e

sus !1rminos6 -ue%en ser:

Con"ergen!es

7' d7' 6' d6' 6' d6' 67' d67' 6 6

Tan!os los !1rminos ares como los imares ! ienen %e l +mi !e 6


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Di"ergen!es

7' 7' ' K' ' ' K' 79' ' ' 6 6 6

Tan!os los !1rminos ares como los imares ! ien%en %e l +mi !e Jf6

Osci lan!es

d7' ' d' K 'd' 6 6 6 ' ?d7@ n n

Sucesiones mon$!onas

Sucesiones es!r ic!amen!e crecien!es

S e % ic e 5 ue u na sucesin es estr ictamente creciente si cada

t)rmino es mayor o i'ual &ue el anterior6

an ? 7 G a n

' ' ' 77' 7K' 78'6 6 6

77 6 6 6

Sucesiones crecien!es


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Se %ice 5ue una sucesin es creciente s i cada t)rmino es

mayor o i'ual &ue el anterior6

an ? 7 H a n

' ' K' K' ' ' 6 6 6

K K K 6 6 6

Sucesiones es!r ic!amen!e %ecrecien!es

Se % ice 5ue una sucesin es estr ictamente decreciente si cada

t)rmino de la sucesin es menor &ue el anterior;

an ? 7 ( a n

7' 7X' 7X' 7XK' 7X' 7X9' 6 6 6

7X 7 7X 7X 7XK 7X 6 6 6

Sucesiones %ecrecien!es

Se % ice 5ue una sucesin es estr ictamente decreciente si cada

t)rmino de la sucesin es menor o i'ual &ue el anterior;

an ? 7 I a n

Sucesiones cons!an!es


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S e % ic e 5 u e u na sucesin es constante si todos su t)rminos

son i'uales, a n* J;

an * a n ? 7

' ' ' ' 6 6 6

5K=$%O CE%E"/ O 5E=$%O %@KS$=O

En las sucesiones es!u%ia%as an!es' los !1rminos 11

+nn

,n,n reresen!an %e 3orma

sim4$lica a la le* %e 3ormaci$n %e ca%a sucesi$n' se reresen!an or a n* se llaman

!1rmino general %e la sucesi$n6

A ar!ir %el !1rmino general ue%e calcularse cual5uier !1rmino %an%o "alores a n6 El"alor %e n correson%e con el lugar 5ue ocua el !1rmino en la sucesi$n6

-or e/emlo: De!erminar los !res rimeros !1rminos * el 5ue ocua el lugar 7' en una

sucesi$n cu*o !1rmino general es: an 1nn *

+

-ara n 7' *1

11

1a

*

1 =+=

-ara n ' /

1**a*

* =+=

-ara n /-

1

a

*

=+=

Para n 4 10 11

100

110

10a

*

10 =+=

76 Realice un Men!e3ac!o conce!ual so4re sucesiones6


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6 Calcule 1l !ermino in%ica%o en ca%a una %e las siguien!es sucesiones:

a6*

nnan += calcula a

46 n

nan

1* =

calcula a

c6( )

n

n

n

nna

*1=

calcula .a%6

1* = nna calcula 1*a

e611 += nna calcula 1.a

36 1* +=

n

nan

calcula *1a

g6 *

1

++=

n

nan

calcula 1a 26 1

1* +

=n

ancalcula 1-a

6 Palla los K rimeros !1rminos %e ca%a sucesi$n:

a6 1

2

= nna n

46 22

12

++= nna n


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c6 nna n = 3

%6 1

*

=

n

nan

e6n

na = 36 */ +

=n

nan

K6 Es!a4lece cuales %e las siguien!es sucesiones son 3ini!as:

a6 D2131 nan += /n

46 D nan= .


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c6 7' ' 8' 9K' 7'666

%6 ',))),,,

5

6

4

5

3

4

2

3

e6,))),,,

5

4

4

3

3

2

2

1

36 7',))),,,,, 3

3

8

3

72

3

5

3

4

g6 *

.,*,

*

,1,

*

1 26 ''K''9'h

Una rogresi$n ar i !m1! ica es una sucesi$n %e nmeros !ales 5ue ca%auno %e el los ?sal"o el r imero@ es igual a l an!er ior m,s un nmero 3 i /ol lama%o %i 3erencia 5ue se reresen!a or %6

' ' Q' Q8' Q7' 666 Q Q

Q Q QQ8 Q ?Q@ QQ7 Q ?Q8@ Q% Q6

5)rmino 'eneral de una pro'resin aritm)tica


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76 Si conocemos el 7 e r!1rmino6

a n a 7 J ?n Q 7@ ^ %

Ejemplo

' ' Q' Q8' Q7' 66an J ?nQ7@ ?Q@ Qn J Qn J 7

6 Si conocemos el "alor 5ue ocua cual5uier o!ro!1 rm in o %e la rogresi$n6

a n a J ?n Q @ ^ %

EjemploaK Q8 * % Qan Q8J ?n Q K@ ^ ?Q@ Q8 Qn J Qn J 7

$nterpolacin de t)rminos en una pro'resin aritm)tica

In!erolar me%ios %i 3erenciales o ar i !m1! icos en!re %os nmeros' escons!rui r una rogresi$n ar i !m1! ica 5ue !enga or e)!remos los nmeros%a%os6

Sean los e)!r emos a * 4 ' * el nmero %e me% io s a in!erolar m6

Ejemplo

In!erolar !res me%ios ari!m1!icos en!re * Q76

' ' Q ' Q8 ' Q76

Suma de n t)rminos consecutivos de una pro'resin aritm)tica

a7 -rimer !ermino


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an ul!imo !erminon can!i%a% %e !1rminos a sumar

EjemploCalcular la suma %e los rimeros !1rminos %e larogresi$n : ' ' Q' Q8' Q7' 666

7; Reali#ar el men!e3ac!o * el %iagrama %e Euler Venn ara rogresiones6


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8; Es!a4lece cuales %e las siguien!es sucesiones son rogresiones ari!m1!icas:

a6 7'''K''h46 6' 6' 6' h

c6 7'KX' X9' ' 8X'h%6 7 ' ' ' 7' 78'he6 \K' ' K' ' 7'h

9; Pallar el "alor % ara ca%a una %e las siguien!es rogresiones ari!m1!icas:

a6 77''''K8 46 '''Q7'QK

c6 \''7'K %6 \'Q7'Q7'Q8'Q

e6 '79'8'Q

36 .

/,

.

,

.

*-,

.

**,

; Encuen!re la suma in%ica%a %e ca%a rogresi$n ari!m1!ica6


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a6 { }D1* n 2allar la suma %e los rimeros !1rminos6

46 ''7''Q7'Q'Q'h' 1S

c6 Pallar la suma %e los rimeros nmeros na!urales ares6

%6 '8''77'h' 1*S

e6 \'Q7'9'7'h' 10S

F; Solucionar las siguien!es si!uaciones

a6 cuar !o !1rmino %e una rogresi$n ar i !m1! ica es 7' * e l se)!o es796 Escr i4 i r la rogresi$n6

46 Escr i4 i r ! res me%ios ar i !m1! icos en! re * 6c 6 In !ero lar ! res me%ios ar i!m1!icos en!re * Q76


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%6 El r imer !1rmino %e una rogres i$n ari !m1!ica es Q7 ' * e l%ecimo5uin!o es 86 la suma %e los 5uince r imeros !1rminos6

e6 Pal lar la suma %e los 5uince r imeros ml! i los %e 63 6 Pal lar la suma %e los 5u ince r imeros nmeros aca4a%os en 6

g6 Pal lar la suma %e los 5uince r imeros nmeros ares ma*ores 5ue6L; Escri4e en !u cua%erno el !1rmino 5ue ocua el lugar en las siguien!es

sucesiones:

a6 ' 78' 7K' 77' ' 6666

46 Q' Q' ' 7' 7' 6666

c6 Q77' Q' Q' QKK' 6666

M; Si a7 * % en una rogresi$n ari!m1!ica' Fcu,n!o "ale a76


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Una rogres i$n geom1! r ica es una suces i$n en la 5ue ca%a !1rmino

se o4! iene m ul !i l ican%o a l an! er io r una can !i %a% 3 i/ a r ' l lama%a

ra#$n6

Ejemplo: Si !enemos la sucesi$n: ' 9' 7' K' K' 6 6 6

9 X

7 X 9

K X 7

K X K

r 6

T1rmino general %e una rogresi$n geom1!r ica


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7; Si conocemos el 7 e r!1rmino6

an* a7> rn@7

Ejemplo

' 9' 7' K' K' 6 6

a n ^ n Q 7 ^ n ^ Q 7 29N83 > 8 n

8; Si conocemos e l "a lor 5ue ocua cual5u ier o ! ro !1rmino

%e la rogresi$n6

an* aJ> rn@J

Ejemplo

a K K' K * r6

a n a K ^ rn Q K

a n K^ n Q K ?KX79@^ n ?X@ ^ n

In!erolaci$n %e !1rminos en una rogresi$n geom1!r ica


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In !ero lar me%ios geom1! r icos o roorc ionales en! re %os nmeros'es cons! ru i r una rogres i$n geom1! r ica 5ue !enga or e)! remos losnmeros %a%os6Sean los extremos a y b ' * el nmero %e medios a in!erolarm 6

Ejemplo:In!erolar ! res me%ios geom1!r icos en!re * K6

9, 9' 7' K , K ;

Suma %e n !1rminos consecu! i"os %e una rogresi$n geom1!r ica

Ejemplo

Calcular la suma %e los r imeros !1rminos %e la rogres i$n : ' 9 '7' K' K' 6 6 6

Suma %e los !1rminos %e una rogresi$n geom1!r ica %ecrecien!e

EjemploC al cu la r l a s um a % e l os ! 1r mi no s % e l a ro gr es i$ n g eo m1 !r ic a%ecrecien!e i l imi !a%a:


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a6 \'Q9'Q7'QK 46 'K''79

c6 'Q''Q

%6 *

1,*,11,*,

*

1,/,

/

1

6 Calcula el !ermino in%ica%o en ca%a una %e las siguien!es rogresionesgeom1!ricas:

46 1-a con * =a ' *-

=r

K6 Encuen!ra los !res rimeros !1rminos %e las siguien!es rogresiones geom1!ricas

si se sa4e 5ue:

a6 1a en: Q'Q7' *

1

46 10a en: ''K


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c6 10*=a ' =r

%6 .

*=a

' .=r

6 Coia en !u cua%erno las siguien!es rogresiones ari!m1!icas * calcula su

!1rmino general:

T1rminos a7 % an' 8' 77' 7' 666

Q7' Q' Q9' Q' 666

7' ' 9' ' 666

9' 9' 9' 9' 666

7' ' QK' Q77' 666

7' 7' 7K' 666

96 Calcula los !1rminos generales %e ca%a una %e las siguien!es sucesiones :

a@ 7' Q7' Q' Q' Q8'6664@ ' ' ' 77' 7K'666c@ Q8' Q' Q' Q7' 7'66

86 In!erolar cinco me%ios ari!m1!icos en!re los nmeros * KK6


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Ela4ora un !e)!o e)lica!i"o so4re el siguien!e men!e3ac!o6


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DESEMPEO

Reconoce * alica los !eoremas %e !2ales * i!agoras las i%en!i%a%es!rigonome!ricas * su alicaci$n a la solucion %e !riangulos6

INDICADORES DE DESEMPEO.

Pace con/e!uras * "eri3ica roie%a%es %e congruencias * seme/an#as en!re3iguras 4i%imensionales * en!re o4/e!os !ri%imensionales en la soluci$n %ero4lemas6

Alica el !eorema %e T2ales ara 2allar la longi!u% %e los segmen!os%e!ermina%os or una rec!a secan!e6

Palla un la%o %esconoci%o %e un !ri,ngulo rec!,ngulo or me%io %el !eorema %e-i!,goras6

Palla los ca!e!os * las ra#ones !rigonom1!ricas %e cual5uier ,ngulo agu%o6


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Una 3ormaci$n ma!em,!ica ele"a%a * amlia es' ca%a "e# m,s' un comonen!eesencial %e la 3ormaci$n uni"ersal %el 2om4re6 Del con!eni%o * %e la 3ormaci$nma!em,!ica %een%e' en gran me%i%a' c$mo llegar,n a "encerse las !areas lan!ea%asa la ciencia * la !1cnica6

La geome!r+a /uega un ael imor!an!e * or esa ra#$n' ocua *a un lugar %e3ini!i"o enla ensean#a %e la ma!em,!ica en la e%ucaci$n general oli!1cnica * la4oral6

La geome!r+a se origina en las an!iguas ci"ili#aciones egicias * 4a4il$nicas comogenuina ciencia e)erimen!al so4re la 4ase %e re5uerimien!os %e la Ar5ui!ec!ura'la As!ronom+a *' ar!icularmen!e' %e las me%iciones %e las !ierras 5ue 3recuen!emen!ese 2ac+an necesarias %esu1s %e las creci%as eri$%icas %e los gran%es r+os6 Losresul!a%os se %a4an a conocer sin 3un%amen!aci$n' como rece!as6

En el siglo VII a6n6e los conocimien!os geom1!ricos se e)!en%ieron 2as!a Grecia6 All+ lageome!r+a alcan#$ un 3lorecimien!o con los no!a4les ge$me!ras griegos T2ales %eMile!o ?alre%e%or %e 9 a6n6e@' -i!,goras ?alre%e%or %e a6n6e@' -la!$n ?alre%e%or %eK a6n6e@' Eu%o)io ?alre%e%or %e K a6n6e@' Eucli%es ?alre%e%or %e

a6n6e@' Ar5u+me%es ?alre%e%or %e a6n6e@' Per$n %e Ale/an%r+a ?alre%e%or %e 7a6n6e@6

El mun%o %e la geome!r+a nos o3rece %i"ersos elemen!os ara anali#ar * cons!ruiresacios6 El ensamien!o geom1!rico nos 4rin%a los elemen!os' las carac!er+s!icas' *los ins!rumen!os ara %isoner * mane/ar 3iguras *a sean lanas o "olum1!ricas en elmun%o 5ue nos ro%ea6

Po* con el %esarrollo %el mun%o mo%erno' el %i4u/o es ie#a cla"e en los ro*ec!os %econs!rucci$n %e !o%os los elemen!os 5ue el 2om4re u!ili#a en la in%us!ria'

comunicaciones' el comercio' la ciencia * la in"es!igaci$n6

As+ como el lengua/e escri!o !iene sus s+m4olos * su gram,!ica' el %i4u/o !am4i1ncuen!a con elemen!os' reglas ara su ela4oraci$n * con"enios uni"ersales 5ue lo 2acenin!ernacionali#ar6


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El ,rea es la magni!u% geom1!rica 5ue e)resa la e)!ensi$n %e un cuero en %os%imensiones: largo * anc2o6 -ara suer3icies lanas el conce!o es in!ui!i"o * no

re5uiere in!ro%ucir !1cnicas %e geome!r+a %i3erenciala"an#a%as6Sin em4argo' ara o%er %e3inir el ,rea %e una suer3icie en general' 5ue es unconce!o m1!rico' se !iene 5ue 2a4er %e3ini%o un !ensor m1!ricoso4re la suer3icie encues!i$n' cuan%o la suer3icie es!, %en!ro %e un esacio eucl+%eo' la suer3icie 2ere%auna es!ruc!ura m1!rica na!ural in%uci%a or la m1!rica eucl+%ea6

5$%C4/O

El !ri,ngulo es un ol+gono3orma%o or !res la%os * !res

,ngulos6La suma %e sus !res ,ngulos siemre es 7 gra%os6-ara calcular el ,rease emlea la siguien!e 3ormula:

A ?4 ^ 2@ X

?Es %ecir' la base?4@ mul!ilica%o or la altura?2@* %i"i%i%o en!re %os@

#4"D"DO

El cua%ra%o es un pol-'ono5ue !iene los cua!ro la%os * loscua!ro,ngulos iguales6 Los cua!ro ,ngulos son rec!os6

La suma %e los cua!ro ,ngulos es 9 gra%os6

-ara 2allar el rea se u!ili#a la siguien!e 3ormula:

A l ^l

?Es %ecir' el ,rea es igual al "alor %e un la%o ? l @ mul!ilica%o or si mismo6 @E#5%C4/O

El rec!,ngulo es un pol-'ono%e K la%os' 5ue son iguales %os a%os6Los ,ngulos %e un rec!,ngulo son !o%os iguales * rec!os6

Suman en !o!al 9 gra%os6
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficieshttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/base.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/altura.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficieshttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/base.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/altura.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.html


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-ara 2allar el rea%e un rec!,ngulo se u!ili#a la siguien!e 3ormula:

A a ^ 4

?Es %ecir' el ,rea es igual a mul!ilicar el "alor %e la 4ase ?a@ or el "alor %e la al!ura?4@6@

O=BO

El rom4o es un pol-'ono5ue !iene los cua!ro la%os iguales* los ,ngulos son iguales %os a %os6 ? Dos ,ngulos sonagu%os * los o!ros %os o4!usos@-ara 2allar el rease u!ili#a la 3ormula siguien!e:

A ?D ^ %@ X ?Es %ecir' el ,rea es igual al ro%uc!o %e la dia'onalma*or?D@ or la %iagonal menor ?%@ * el resul!a%o se %i"i%e en!re

%os@

5"+E#$O

El !raecio es un pol-'ono5ue !iene K la%os' %e ellos' %osson aralelos6Los cua!ro ,ngulos son %is!in!os %e j6 La suma %e los K,ngulos es 9 gra%os6El rease 2alla con la siguien!e 3ormula:

A ?B J 4@ ^ 2 X

?Es %ecir' el ,rea es igual a la suma %e las %os 4ases ?B * 4@' mul!ilica%o or la altura?2@ * %i"i%i%o en!re %os6@+""/E/OC"=O

El aralelogramo es un pol-'ono5ue !iene K la%os' 5ueson iguales * aralelos' %e %os en %os6Los ,ngulos son %is!in!os %e j6 La suma %e los K

n'ulos es de 9L6 'rados;El rease 2alla con la 3ormula siguien!e6
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/diagonal.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/altura1.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/area.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/diagonal.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/poligono.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-0

Modulo Noveno

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