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I.E.

CÁRDENAS CENTRO

MÓDULO DE FÍSICA

CICLO IV

GRADO NOVENO

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TABLA DE CONTENIDO

pág.

1. HERRAMIENTAS DE LA FÍSICA 4 1.1. LA MEDICIÓN EN FÍSICA 4 1.1.1. Notación científica 5 1.1.1.1. Potencias de 10 5 1.1.1.2. Descomposición de números con potencias de 10 5 1.1.2. EL MÉTODO CIENTÍFICO 7 2. MAGNITUDES Y SUS CLASES 7 2.1. MAGNITUDES FUNDAMENTALES 8 2.1.1. Unidades fundamentales 8 2.1.2. Magnitudes derivadas 9 2.2. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES 9 2.2.1. Magnitudes escalares 9 2.2.2. Magnitudes vectoriales 9 2.2.3. Operaciones con vectores 10 2.2.3.1. Suma de vectores 10 2.2.3.2. Producto escalar 11 2.2.3.3. Producto vectorial (x) 11 3. LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN FÍSICA 12 3.1. SISTEMA M.K.S. 12 3.2. SISTEMA C.G.S. 12 3.3. SISTEMA INGLÉS 13 3.4. REPASO SOBRE EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 14 4. VARIACIÓN DE MAGNITUDES FÍSICAS. EL MOVIMIENTO Y SUS CARACTERÍSTICAS 14 4.1. MAGNITUDES DE VARIACIÓN DIRECTA, INVERSA, NUMÉRICA, COMPUESTA 16 4.1.1. Variación directa 16 4.1.2. Variación inversa 18 4.1.3. Variación numérica 19 4.1.4. Variación compuesta 20 4.2. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA CINEMÁTICA 21 4.2.1. Posición 22 4.2.2. Desplazamiento 22 4.2.3. Trayectoria 22 4.2.4. La velocidad 23 4.2.5. Aceleración 24 4.2.6. Deceleraciones 25 4.2.7. Las gráficas cinemáticas 26 4.2.8. Vectores para la cinemática 26 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 28 BIBLIOGRAFÍA 30

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1. HERRAMIENTAS DE LA FÍSICA

Se consideran Ciencias experimentales aquellas que por sus características y, particularmente por el tipo de problemas de los que se ocupan, pueden someter sus afirmaciones o enunciados al juicio de la experimentación. En un sentido científico la experimentación hace alusión a una observación controlada; en otros términos, experimentar es reproducir en el laboratorio el fenómeno en estudio con la posibilidad de variar a voluntad y de forma precisa las condiciones de observación. La Física y la Química constituyen ejemplos de Ciencias experimentales. La historia de ambas disciplinas pone de manifiesto que la experimentación ha desempeñado un doble papel en su desarrollo. Con frecuencia, los experimentos científicos sólo pueden ser entendidos en el marco de una teoría que orienta y dirige al investigador sobre qué es lo que hay que buscar y sobre qué hipótesis deberán ser contrastadas experimentalmente. Pero, en ocasiones, los resultados de los experimentos generan información que sirve de base para una elaboración teórica posterior. Este doble papel de la experimentación como juez y guía del trabajo científico se apoya en la realización de medidas que facilitan una descripción de los fenómenos en términos de cantidad. La medida constituye entonces una operación clave en las ciencias experimentales. 1.1. LA MEDICIÓN EN FÍSICA La física es la ciencia que estudia los procesos de la naturaleza y establece las leyes que los rigen a partir de la observación de los fenómenos utilizando unos pocos principios básicos para aclararlas.

“Una ley física establece una relación entre una observación y una medición a través de una igualdad matemática”

La medición es por tanto una herramienta fundamental para la física en la cual intervienen tres sistemas:

El objeto o fenómeno de interés. (longitud, peso, temperatura, trayectoria, etc.) El aparato o instrumento de medición. (regla, balanza, termómetro, cronómetro, etc.) La unidad o patrón. (escala graduada y normalizada internacionalmente)

Por ejemplo, en el proceso llamado “medición de longitud” intervienen:

1. El objeto cuya longitud se quiere medir. 2. El instrumento, por ejemplo, una regla. 3. La unidad (cierta escala marcada en la misma regla, o en cierta barra patrón). Para definir unívocamente el proceso de medición es necesario dar además el procedimiento, “receta” mediante el cual deben ponerse en interacción el sistema objeto, el aparato de medición y la unidad. En particular, el procedimiento físico correspondiente realizado entre el aparato de medición y la unidad, se denomina “calibración” del aparato. Por ejemplo, la “receta” para medición de longitudes sería: tómese un cierto instrumento llamado regla, en la que están marcadas cierto número de divisiones; hágase coincidir la primera división de la regla con el extremo del objeto cuya longitud se quiere determinar; determínese la división que coincide con el otro extremo del objeto. Por otra parte, realícese el mismo procedimiento con el objeto que se definió como unidad (calibración de la regla).

Cada proceso de medición define lo que se llama una magnitud física. Estas últimas están unívocamente determinadas por el proceso de medición. Por ejemplo, se define como “longitud” aquello que se mide en el proceso descrito como “medición de longitudes”. “Peso” es aquello que se mide con el proceso físico denominado “pesar un cuerpo”. Esto podría parecer trivial; sin embargo, es importante notar que no hay otra forma de definir una magnitud física más que por la descripción del proceso de medición en sí. En otras palabras, el concepto físico primario es el de proceso de medición, y no el de magnitud física.

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El valor de una magnitud dada es independiente del proceso particular de medición, dependiendo sólo de la unidad elegida. Como esta unidad, en principio, es arbitraria y se fija por convención, es necesario añadir un símbolo al valor numérico de una magnitud dada, para indicar cuál unidad ha sido utilizada como comparación.

Por ejemplo, se escribe 1 m, 10 pies, 25 s, etc. Decir que una longitud es 2,5 no tiene sentido físico, si no se indica la unidad de referencia. Cuando cambiamos de unidad, el valor numérico de una misma magnitud cambia.

1.1.1. Notación científica. La notación científica es una herramienta que ocupamos para poder escribir números demasiado pequeños o demasiado grandes con el fin de reducir espacio en su escritura. Por ejemplo, 5.000.000.000.000.000.000.000, es un número bastante grande, por lo que aprenderemos que podemos escribir éste número como 5 x 1021, cuya notación es claramente más eficiente.

1.1.1.1. Potencias de 10. Potencias de 10 Son aquellas potencias que tienen base igual a 10, y exponente entero. Son potencias de la forma:

10n n∀ ∈ℤ Estas potencias cuando el exponente es positivo, nos indica la cantidad de ceros que vamos a poner a la derecha del número 1. De la misma forma para los enteros negativos nos indicará la cantidad de ceros que vamos a poner a la izquierda del 1. Es decir: De esta forma podemos expresar las unidades, decenas, centenas, milésimas, decenas de milésimas, etc… Reemplazando por éstas potencias de 10. Se tiene por ejemplo:

Así podemos ver que este tipo de escritura nos puede ser de mucha utilidad cuando deseemos expresar números excesivamente grandes. Pero también utilizando exponentes negativos podemos obtener el mismo resultado, esta vez con números pequeños. Por ejemplo:

1.1.1.2. Descomposición de números con potencias de 10. También podemos ocupar a las potencias de diez para descomponer números, ya que como cuando lo hacíamos en

enseñanza básica, los números los podemos separar en una suma de unidades, decenas, centenas, etc…, y las potencias de base diez son precisamente eso. Por ejemplo:

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Ahora; llamamos específicamente notación científica cuando escribimos cualquier número representado por un número, con un solo dígito antes de la coma, multiplicado por una potencia de diez. Este dígito es el primero del valor original, por ejemplo:

Escribamos el número 65.300.000 con notación científica, entonces tenemos que escribir un número de un solo dígito antes de la coma que multiplicado por alguna potencia de diez resulte 65.300.000. Dicha potencia de diez resulta tener el exponente igual a la cantidad de espacios que vamos a correr la coma.

Entonces:

RESUELVE

1. Escribe los siguiente valores con notación científica: a) 0,00001= g) 0,000000001001= b) 0,0000000000235= h) 123.200.000= c) 125.230= i ) 998.000.000.000.000.000.000= d) 1.235.300= j ) 0,0000000000000000009= e) 85.325.000.000= f) 0,00000639=

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1.1.2. EL MÉTODO CIENTÍFICO

El método científico es un proceso destinado a explicar fenómenos, establecer relaciones entre los hechos y enunciar leyes que expliquen los fenómenos físicos del mundo y permitan obtener, con estos conocimientos, aplicaciones útiles al hombre. Los científicos emplean el método científico como una forma planificada de trabajar. Sus logros son acumulativos y han llevado a la Humanidad al momento cultural actual. ¡Sin Ciencia no hay Cultura! Los hitos culturales van ligados a descubrimientos científicos: Edad de piedra, bronce,... y espacial. Aunque podemos decir que no hay un sólo método científico o modelo clásico , algunos factores son comunes a todos: una idea brillante del hombre, el trabajo complementario de los científicos y de las ciencias, la verificabilidad, la utilización de herramientas matemáticas, etc. Toda investigación científica se somete siempre a una "prueba de la verdad" que consiste en que sus descubrimientos pueden ser comprobados, mediante experimentación, por cualquier persona y en cualquier lugar, y en que sus hipótesis son revisadas y cambiadas si no se cumplen. Qué es el método científico - Una forma de investigar que nace en el siglo XVII. Podemos decir que el primero en utilizarlo fue Galileo aunque antes que él, Leonardo da Vinci y otros analizaron la realidad con métodos que se aproximaban.

- Un método no dogmático ya que se basa en leyes deducidas por el hombre y no en principios supuestamente revelados. Sus leyes son siempre rechazadas si los hechos contradicen lo que afirman. Su validez la confirma la experiencia diaria de su uso. - Es un método que se construye estableciendo relaciones entre observables y no a partir de certezas absolutas. - Un método que usa las matemáticas como herramienta para establecer una relación entre las variables. - Un método con el que se pueden obtener leyes que constituyen la única manera de adivinar el futuro y conocer el pasado lejano. Podremos saber que le va a suceder a una variable si logramos expresarla en función de “t”. dando valores a “t” sabremos el valor de la variable en el futuro o en el pasado. - Un método que deduce leyes que NO se ajustan al sentido común y hace cosas increíbles como ver a distancia, ir a la luna, etc. Qué NO es el método científico - Un método que establezca leyes inalterables pero que casi nunca se cumplen. - Un método que establezca normas basadas en la fe pero indemostrables. - Un método que logra fórmulas mágicas que se cumplen sólo cuando las invocan, con ritos especiales, seres humanos “elegidos” que de nacimiento tienen extraños poderes.

2. MAGNITUDES Y SUS CLASES

La noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados en forma numérica. En otros

términos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles. La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia son ejemplos de magnitudes físicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones porque

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no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar cuántas veces una persona o un objeto es más bello que otro. La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se trata de aspectos cualitativos porque indican cualidad y no cantidad. En el lenguaje de la física la noción de cantidad se refiere al valor que toma una magnitud dada en un cuerpo o sistema concreto; la longitud de esta mesa, la masa de aquella moneda, el volumen de ese lapicero, son ejemplos de cantidades. Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema físico que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina patrón.

2.1. MAGNITUDES FUNDAMENTALES

En las Ciencias Físicas tanto las leyes como las definiciones relacionan matemáticamente entre sí grupos, por lo general amplios, de magnitudes. Por ello es posible seleccionar un conjunto reducido pero completo de ellas de tal modo que cualquier otra magnitud pueda ser expresada en función de dicho conjunto. Esas pocas magnitudes relacionadas se denominan magnitudes fundamentales, mientras que el resto que pueden expresarse en función de las fundamentales reciben el nombre de magnitudes derivadas. Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentales y se han definido correctamente sus unidades correspondientes, se dispone entonces de un sistema de unidades. La definición de unidades dentro de un sistema se atiene a diferentes criterios. Así la unidad ha de ser constante como corresponde a su función de cantidad de referencia equivalente para las diferentes mediciones, pero también ha de ser reproducible con relativa facilidad en un laboratorio. 2.1.1. Unidades fundamentales.

Unidad de Longitud: El metro (m) es la longitud recorrida por la luz en el vacío durante un período de tiempo de 1/299,792,458 s. Unidad de Masa: El kilogramo (kg) es la masa del prototipo internacional de platino iridiado que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de París. Unidad de Tiempo: El segundo (s) es la duración de 9,192,631,770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles fundamentales del átomo Cesio 133. Unidad de Corriente Eléctrica: El ampere (A) es la intensidad de corriente, la cual al mantenerse entre dos conductores paralelos, rectilíneos, longitud infinita, sección transversal circular despreciable y separados en el vacío por una distancia de un metro, producirá una fuerza entre estos dos conductores igual a 2 × 10 -7 N por cada metro de longitud. Unidad de Temperatura Termodinámica: El Kelvin (K) es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Unidad de Intensidad Luminosa: La candela (cd) es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540 × 10 12 hertz y que tiene una intensidad energética en esta dirección de 1/683 W por estereorradián (sr). Unidad de Cantidad de Sustancia: El mol es la cantidad de materia contenida en un sistema y que tiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12. Cuando es utilizado el mol, deben ser especificadas las entidades elementales y las mismas pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos de tales partículas.

MAGNITUD BASE NOMBRE SÍMBOLO

longitud metro m masa kilogramo kg tiempo segundo s

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corriente eléctrica Ampere A temperatura termodinámica Kelvin K cantidad de sustancia mol mol

intensidad luminosa candela cd

2.1.2. Magnitudes derivadas.

A partir de estas siete unidades de base se establecen las demás unidades de uso práctico, conocidas como unidades derivadas, asociadas a magnitudes tales como velocidad, aceleración, fuerza, presión, energía, tensión, resistencia eléctrica, etc. Ciertas unidades derivadas han recibido unos nombres y símbolos especiales. Estas unidades pueden así mismo ser utilizadas en combinación con otras unidades base o derivadas para expresar unidades de otras cantidades. Estos nombres y símbolos especiales son una forma de expresar unidades de uso frecuente. Coulomb (C): Cantidad de electricidad transportada en un segundo por una corriente de un amperio. Joule (J): Trabajo producido por una fuerza de un newton cuando su punto de aplicación se desplaza la distancia de un metro en la dirección de la fuerza. Newton (N): Es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo, cada segundo. Pascal (Pa): Unidad de presión. Es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton. Volt (V): Unidad de tensión eléctrica, potencial eléctrico, fuerza electromotriz. Es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre esos puntos es igual a 1 watt.

Watt (W): Potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo. Ohm ( O ): Unidad de resistencia eléctrica. Es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor. Weber (Wb): Unidad de flujo magnético, flujo de inducción magnética. Es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme. 2.2. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

2.2.1. Magnitudes escalares. Entre las distintas propiedades medibles puede establecerse una clasificación básica. Un grupo importante de ellas quedan perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un número seguido de la unidad correspondiente. Este tipo de magnitudes reciben el nombre de magnitudes escalares. La longitud, el volumen, la masa, la temperatura, la energía, son sólo algunos ejemplos.

2.2.2. Magnitudes vectoriales. Estas magnitudes precisan para su total definición que se especifique, además de los elementos anteriores, una dirección o una recta de acción y un sentido: son las llamadas magnitudes vectoriales o dirigidas. La fuerza es un ejemplo claro de magnitud vectorial, pues sus efectos al actuar sobre un cuerpo dependerán no sólo de su cantidad, sino también de la línea a lo largo de la cual se ejerza su acción.

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Las cantidades vectoriales requieren el empleo de otros elementos matemáticos diferentes de los números, con mayor capacidad de descripción. Estos elementos matemáticos que pueden representar intensidad, dirección y sentido se denominan vectores. Las magnitudes que se manejan en la vida diaria son, por lo general, escalares. El dependiente de una tienda

de ultramarinos, el comerciante o incluso el contable, manejan masas, precios, volúmenes, etc., y por ello les es suficiente saber operar bien con números. Sin embargo, el físico, y en la medida correspondiente el estudiante de física, al tener que manejar magnitudes vectoriales, ha de operar, además, con vectores.

2.2.3. Operaciones con vectores. Un vector es un segmento de recta orientado en el espacio y se caracteriza por: • su origen o punto de aplicación, O, y su extremo A ; • su dirección, la de la recta que lo contiene; • su sentido, el que indica la flecha; • su módulo, la longitud del segmento OA.

Supongamos que tenemos dos vectores u y v expresados a partir de sus vectores constituyentes, en dos dimensiones para simplificar:

2.2.3.1. Suma de vectores. Se define el vector suma de ambos (w) a otro vector cuyas componentes se calculan sumando las componentes de cada uno de ellos.

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Se puede apreciar según el dibujo que gráficamente esto equivale a colocar un vector a continuación del otro y dibujar el vector desde el origen del primero al final del segundo. 2.2.3.2. Producto escalar (·). El producto escalar de dos vectores u y v que forman un ángulo φ se define como:

De la expresión anterior se observa que el producto escalar de dos vectores no es un vector , es un número (un escalar). Además el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo . Se deducen entonces los siguientes resultados:

Si los vectores están expresados en componentes, en tres dimensiones y aplicando los resultados anteriores se obtiene que:

El producto escalar de dos vectores posee la propiedad conmutativa. 2.2.3.3. Producto vectorial (x). El producto vectorial de dos vectores que forman un ángulo φ es otro vector, de dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores, sentido el que da la regla de la mano derecha y módulo el que se especifica a continuación:

El producto vectorial no posee la propiedad conmutativa , ya que se cumple que:

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Además, se cumple que el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo . Se obtienen entonces las siguientes relaciones:

Si los vectores vienen expresados en componentes el producto vectorial se calcula desarrollando el determinante:

3. LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN FÍSICA

3.1. SISTEMA M.K.S. (metro, kilogramo, segundo)

El nombre del sistema está tomado de las iniciales de sus unidades fundamentales. La unidad de longitud del sistema M.K.S.: METRO: Es una longitud igual a la del metro patrón que se conserva en la Oficina Internacional de pesas y medidas. La unidad de masa es el kilogramo: KILOGRAMO: Es una masa igual a la del kilogramo patrón que se conserva en la Oficina Internacional de pesas y medidas. Un kilogramo (abreviado Kg.) es aproximadamente igual a la masa de un decímetro cúbico de agua destilada a 4 º C. La unidad de tiempo de todos los sistemas de unidades es el segundo.

SEGUNDO: Se define como la 86,400 ava. Parte del día solar medio. Los días tienen diferente duración según las épocas del año y la distancia de la Tierra al Sol. El día solar medio es el promedio de duración de cada uno de los días del año. 3.2. SISTEMA C.G.S. SISTEMA C.G.S. (centímetro, gramo, segundo). El sistema C.G.S. llamado también sistema cegesimal, es usado particularmente en trabajos científicos. Sus unidades son submúltiplos del sistema M.K.S. La unidad de longitud: Es el CENTÍMETRO, o centésima parte del metro. La unidad de masa: Es el GRAMO, o milésima parte del kilogramo. La unidad de tiempo: Es el SEGUNDO.

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Unidad/Sistema C.G.S M.K.S Técnico otros 1 otros 2 Masa g Kg slug Lb

Longitud cm m m pulg pie Tiempo s s s s s

Velocidad cm/s m/s m/s pulg/s pie/s Aceleración cm/s 2 m/s 2 m/s 2 pulg/s 2 pie/s 2

Fuerza dina N Kgf Lbf Presión dina/cm 2 Pa = N/m 2 Kgf/m 2 Lbf/pulg 2 atm o lbf/pie 2 Trabajo ergio (J) Joule B.T.U cal Potencia ergio/s Watt (J/s) H.P C.V cal/s Momento dina.cm N.m Kgf.m Lbf.pulg Lbf.pie

3.3. SISTEMA INGLÉS El sistema inglés de unidades o sistema imperial, es aún usado ampliamente en los Estados Unidos de América y, cada vez en menor medida, en algunos países con tradición británica. Debido a la intensa relación comercial que tiene nuestro país con los EUA, existen aún en México muchos productos fabricados con especificaciones en este sistema. Ejemplos de ello son los productos de madera, tornillería, cables conductores y perfiles metálicos. Algunos instrumentos como los medidores de presión para neumáticos automotrices y otros tipos de manómetros frecuentemente emplean escalas en el sistema inglés.

El Sistema Inglés de unidades son las unidades no-métricas que se utilizan actualmente en los Estados Unidos y en muchos territorios de habla inglesa (como en el Reino Unido ), pero existen discrepancias entre los sistemas de Estados Unidos e Inglaterra. Este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a través de los siglos, y de los intentos de estandarización en Inglaterra . Las unidades mismas tienen sus orígenes en la antigua Roma. Hoy en día, estas unidades están siendo lentamente reemplazadas por el Sistema Internacional de Unidades, aunque en Estados Unidos la inercia

del antiguo sistema y el alto costo de migración ha impedido en gran medida el cambio.

EQUIVALENCIAS DE LAS UNIDADES INGLESAS

LONGITUD 1 milla = 1,609 m 1 yarda = 0.915 m 1 pie = 0.305 m 1 pulgada = 0.0254 m MASA 1 libra = 0.454 Kg. 1 onza = 0.0283 Kg. 1 ton. inglesa = 907 Kg. SUPERFICIE 1 pie 2 = 0.0929m^2 1 pulg 2 . = 0.000645m^2 1 yarda 2 = 0.836m^2 VOLUMEN Y CAPACIDAD 1 yarda 3 = 0.765 m^3 1 pie 3 = 0.0283 m^3 1 pulg 3 . = 0.0000164 m^3 1 galón = 3.785 l.

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3.4. REPASO SOBRE EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Medidas y magnitudes Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. La medida es el número de veces que la magnitud contiene a la unidad. Si queremos medir la longitud de un pasillo en primer lugar debemos elegir la unidad, en este caso la más apropiada sería el metro. El sistema métrico decimal. En el pasado cada país y en algunos casos cada región seguían unidades de medidas diferentes, esta diversidad dificultó las relaciones comerciales entre los pueblos. Para acabar con esas dificultades en 1792 la Academia de Ciencias de París propuso el Sistema Métrico Decimal. Progresivamente fue adoptado por todos los países, a excepción de los de habla inglesa, que

se rigen por el Sistema Inglés o Sistema Imperial Británico. En España su empleo es oficial desde 1849, aunque sobre todo en el ámbito agrario ha coexistido con las medidas tradicionales. El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. El Sistema Métrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes magnitudes: Longitud. Masa. Capacidad. Superficie. Volumen.

4. VARIACIÓN DE MAGNITUDES FÍSICAS. EL MOVIMIENTO Y SUS CARACTERÍSTICAS

Hagámonos una pregunta: ¿Qué cosas se mueven? Un automóvil que viaja hacia la costa; una hoja que, agitada por el viento, cae de un árbol; una pelota que es pateada por un futbolista; un atleta que corre tras una meta; un electrón que vibra en su entorno; la Tierra alrededor del Sol.

Quizás deberíamos preguntarnos ¿hay algo que no se mueva?

Como la respuesta parece obvia (“todo se mueve”) aboquémonos a averiguar ¿qué es movimiento?

Si nos referimos a un objeto que se mueve, diríamos que el objeto tiene movimiento si cambia de posición a través del tiempo.

Entonces, se define el movimiento como un cambio de posición de un cuerpo con respecto a otro cuerpo (donde se sitúa un observador), durante un espacio de tiempo.

El carácter relativo del movimiento

¿Han escuchado hablar de relatividad ? Relatividad es un concepto muy utilizado cuando se intenta describir un movimiento.

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De acuerdo con la anterior definición, para estudiar un movimiento es preciso fijar previamente la posición del observador que contempla dicho movimiento.

En física hablar de un observador equivale a situarlo fijo con respecto al objeto o conjunto de objetos que definen el sistema de referencia. Es posible que un mismo cuerpo esté en reposo para un observador —o visto desde un sistema de referencia determinado— y en movimiento para otro.

De hecho, los movimientos son relativos. Relativos a un sistema de referencia .

El metro se mueve con respecto a la estación

Y un sistema de referencia es algo que suponemos en reposo. Respecto al cual describimos los movimientos.

Así, un pasajero sentado en el interior de un avión que despega estará en reposo respecto del propio avión y en movimiento respecto de la pista de aterrizaje.

Otro ejemplo: una estación de metro es el sistema de referencia para los vagones que se mueven dentro de ella. Si hablamos de un automóvil que se mueve, en realidad estamos usando — sin nombrarlo explícitamente— un sistema de referencia. En este caso sería el suelo, la porción de la superficie de la tierra en donde se desplaza el

automóvil. Mientras una roca permanece en su lugar en el suelo, el automóvil va ocupando sucesivamente distintas posiciones respecto del suelo.

El estado de reposo o de movimiento de un cuerpo no es, por tanto, absoluto o independiente de la situación del observador, sino relativo; es decir, depende del sistema de referencia desde el que se observe.

Pero veamos lo que sucede a los ocupantes del automóvil de nuestro ejemplo.

Vistas desde fuera del automóvil, las personas que van en su interior también se mueven junto al automóvil. Llevan la misma rapidez, la misma velocidad del automóvil.

Vistas desde dentro del automóvil, las personas están en reposo una respecto a la otra. Podríamos darnos cuenta que una no se mueve respecto a otra, permanecen siempre a la misma distancia entre sí. A lo más habrá movimientos pequeños, limitados por el tamaño del interior del automóvil.

Entonces, una persona que va en el automóvil se mueve respecto al suelo con la misma rapidez y velocidad que el automóvil; sin embargo, respecto a otra persona u objeto que está en el interior del mismo, esa persona no tendría movimiento.

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Tomando en cuenta lo anterior, habrá que referirse a un sistema de referencia cuando queramos hablar de que algo se mueve. Habrá que decir, por ejemplo, que “tal cosa se mueve respecto a...”

Ahora bien, en el lenguaje común, cuando no hacemos mención a un sistema de referencia, el sistema de referencia utilizado será la superficie de la Tierra. Es decir, cuando decimos que un automóvil viaja a 60 kilómetros por hora, es respecto a la superficie de la Tierra que el automóvil tiene esa rapidez. La superficie de la Tierra la estamos considerando en reposo.

Estudio de los movimientos

La observación y el estudio de los movimientos se conoce desde tiempos remotos. Los griegos decían “Ignorar el movimiento es ignorar la naturaleza”, y con ello que reflejaban la importancia capital que se le otorgaba al tema.

Luego, científicos y filósofos medievales observaron los movimientos de los cuerpos y especularon sobre sus características. Los propios artilleros de la época manejaron de una forma práctica el tiro de proyectiles de modo que supieron inclinar convenientemente el cañón para conseguir el máximo alcance de la bala. Sin embargo, el estudio propiamente científico del movimiento se inicia con Galileo Galilei . A él se debe una buena parte de los conceptos que se refieren al movimiento.

4.1. MAGNITUDES DE VARIACIÓN DIRECTA, INVERSA, NUMÉ RICA, COMPUESTA

4.1.1. Variación directa.

Constante de proporcionalidad

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número. Si a un valor m1 de la primera magnitud le corresponde un valor m2 de la segunda magnitud, se puede comprobar que el cociente o razón entre estos dos valores es siempre constante. A esta cantidad se le llama constante o razón de proporcionalidad directa.

Los ocupantes del automóvi l ¿se mueven o están en reposo?

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Regla de tres directa

Una forma muy fácil de resolver una actividad de proporcionalidad directa es un procedimiento llamado regla de tres. Consiste en aprovechar la razón o constante de proporcionalidad directa para calcular el cuarto término. Reducción a la unidad Sin embargo la regla de tres se convierte en un procedimiento mecánico, que aunque permite resolver de forma fácil cualquier actividad, no se

razona de forma conveniente su resolución. Otro procedimiento que podemos llamar de reducción a la unidad, consiste en calcular el valor de la segunda magnitud correspondiente a la unidad de la primera. Este valor es el que se ha llamado anteriormente constante de proporcionalidad directa. A partir de aquí es más fácil calcular el valor final de la segunda magnitud.

Ejemplo:

Ejercicio…..

Si 12 bolas de acero iguales tienen un peso de 7200 gramos, ¿cuánto pesarán 50 bolas iguales a las anteriores?

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4.1.2. Variación inversa.

Constante de proporcionalidad

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número. Si a un valor m1 de la primera magnitud le corresponde un valor m2 de la segunda magnitud, se puede comprobar que el producto de estos dos valores es siempre constante. A este producto se le llama constante de proporcionalidad inversa.

Regla de tres inversa

Una forma muy fácil de resolver una actividad de proporcionalidad inversa es un procedimiento llamado regla de tres. Consiste en aprovechar la constante de proporcionalidad inversa para calcular el cuarto término. Reducción a la unidad Sin embargo la regla de tres se convierte en un

procedimiento mecánico, que aunque permite resolver de forma fácil cualquier actividad, no se

razona de forma conveniente su resolución. Otro procedimiento que podemos llamar de reducción a la unidad, consiste en calcular el valor de la segunda magnitud correspondiente a la unidad de la primera. Este valor es el que se ha llamado anteriormente constante de proporcionalidad inversa. A partir de aquí es más fácil calcular el valor final de la segunda magnitud.

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Ejemplo:

Ejercicio…..

6 fotocopiadoras tardan 6 horas en realizar un gran número de copias, ¿cuánto tiempo tardarían 4 fotocpiadoras en realizar el mismo trabajo?

4.1.3. Variación numérica.

Razón entre dos números

Una razón entre dos números a y b es el cociente entre a y b.

Proporción numérica

Una proporción numérica es una igualdad entre dos razones numéricas. En cualquier proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

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a y d se llaman extremos, b y c medios.

Ejemplo:

Ejercicio…..

Calcular el valor de “X” para que las cantidades de agua registradas en un año completo y en un mes en ambas ciudades sean proporcionales.

4.1.4. Variación compuesta.

Una actividad de proporcionalidad compuesta relaciona más de dos magnitudes que pueden ser directa o inversamente proporcionales. Para resolver una actividad de proporcionalidad compuesta se hace de forma ordenada con el procedimiento de reducción a la unidad.

Procedimiento de resolución:

En primer lugar se deja fija la segunda magnitud y se relaciona la primera con la tercera.

En segundo lugar se deja fija la primera magnitud y se relaciona la segunda con la tercera.

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1ª magnitud: número de motores.

2ª magnitud: número de horas.

3ª magnitud: número de litros. Se deja fija la segunda magnitud. La primera y la tercera magnitud son directamente proporcionales. Más motores necesitarán más litros de agua para refrigerarse. Se deja fija la primera magnitud. La segunda y la tercera magnitud son directamente proporcionales. Si funcionan durante más horas necesitarán más litros de agua para refrigerarse.

Ejercicio…..

Tres grifos llenan un depósito de 10 m3 en 5 horas. ¿Cuánto tardarán en llenar un depósito de 8 m3 dos grifos iguales a los anteriores? La primera y la tercera magnitud son inversamente proporcionales. Más grifos tardarán menos tiempo en llenar el depósito. La segunda y la tercera magnitud son directamente proporcionales. Si el depósito es más grande se tardará más tempo en llenarlo.

4.2. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA CINEMÁTICA

Es posible estudiar el movimiento de dos maneras: a) describiéndolo, a partir de ciertas magnitudes físicas, a saber: posición, velocidad y aceleración (cinemática); b) analizando las causas que originan dicho movimiento (dinámica).

En el primer caso se estudia cómo se mueve un cuerpo, mientras que en el segundo se considera el por qué se mueve. La cinemática, entonces, es la parte de la física que estudia cómo se mueven los cuerpos sin pretender explicar las causas que originan dichos movimientos. La dinámica es la rama de la física que se ocupa del movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas.

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El tiempo y el espacio Para hablar de movimiento es imprescindible referirse a dos magnitudes elementales de la física como son el espacio y el tiempo. Íntimamente relacionados, el tiempo (t) permite ordenar los sucesos físicos en una escala que distingue entre pasado, presente y futuro, mientras que el espacio (s) puede verse como un medio abstracto en el que se desplazan los cuerpos. Se describe normalmente mediante tres coordenadas que corresponden a la altura, la anchura y la profundidad.

Ahora bien, al referirnos al movimiento, que sabemos se realiza en un espacio y en un tiempo determinados, es preciso tener en cuenta, además, que éste posee varias características (o condiciones) que lo convierten en tal. Si falta alguna de ellas, el movimiento no se puede realizar. Estas características, condiciones o conceptos involucrados en el movimiento son: Posición, desplazamiento, trayectoria, velocidad, aceleración y deceleración. 4.2.1. Posición. La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x = f(t). 4.2.2. Desplazamiento. Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado ∆x = x' – x en el intervalo de tiempo ∆t = t' – t, medido desde el instante t al instante t'.

4.2.3. Trayectoria. Para simplificar el estudio del movimiento, representaremos a los cuerpos móviles por puntos geométricos, olvidándonos, por el momento, de su forma y tamaño. Se llama trayectoria a la línea que describe el punto que representa al cuerpo en movimiento, conforme va ocupando posiciones sucesivas con el transcurso del tiempo. Una trayectoria puede adoptar diversas formas: rectilínea, curva, parabólica, mixta, etc. La estela que deja en el cielo un avión a reacción o los rieles de una línea de ferrocarril son representaciones aproximadas de esa línea imaginaria que se denomina trayectoria.

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Según sea la forma de su trayectoria los movimientos se clasifican en rectilíneos y curvilíneos (o circulares). Un automóvil que recorra una calle recta describe un movimiento rectilíneo, mientras que cuando tome una curva o dé una vuelta a una plaza circular, describirá un movimiento curvilíneo. Según esta clasificación podemos encontrar: Movimiento rectilíneo uniforme Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Movimiento curvilíneo (o circular) uniforme Movimiento curvilíneo (o circular) uniformemente ac elerado . El movimiento rectilíneo uniforme lo tiene un objeto cuando cambia de posición en el tiempo (movimiento) en una trayectoria que es una línea recta (rectilíneo) y con velocidad constante (uniforme). En la naturaleza existen movimientos que se aproximan bastante al movimiento rectilíneo. Buenos ejemplos son: un hombre o animal caminando regularmente, el movimiento de una gota de agua al final de su caída en un día sin viento, el movimiento de la luz en un medio determinado (homogéneo en cuanto a su densidad), el movimiento del sonido en un medio determinado (homogéneo en cuanto a su densidad). Otros ejemplos, no naturales, podrían ser: el de un automóvil en una carretera recta, aunque en este caso el movimiento rectilíneo uniforme se presenta en tramos. Es muy difícil que —estrictamente hablando— el automóvil se mueva sin modificar en absolutamente nada su velocidad. A pesar de que el movimiento rectilíneo uniforme no es lo más común que existe, su estudio es muy útil pues hay muchos movimientos que pueden aproximarse a este tipo. 4.2.4. La velocidad. La descripción de un movimiento supone el conocer algo más que su trayectoria y su desplazamiento. Una característica que añade una información importante sobre el movimiento es la rapidez. En general, cuando algo cambia con el tiempo se emplea el término de rapidez para describir su ritmo de variación temporal. En cinemática la rapidez con la que se produce un movimiento se denomina velocidad y se define como el espacio que recorre el móvil sobre la trayectoria en la unidad de tiempo.

Velocidad constante. Decir que un cuerpo se mueve con velocidad constante es lo mismo que decir que la rapidez de su movimiento no varía; es decir, que va recorriendo la trayectoria y ganando espacio siempre al mismo ritmo. Los movimientos de los trenes o los de los coches en una autopista se aproximan bastante en algunos tramos a movimientos de velocidad constante. En dos intervalos de tiempo cualesquiera de igual duración el cuerpo cubrirá la misma distancia. El móvil recorre, por tanto, espacios iguales en tiempos iguales, lo cual significa que cuando la velocidad es constante el espacio s que recorre el cuerpo móvil

sobre la trayectoria y el tiempo t que emplea en recorrerlo son magnitudes directamente proporcionales.

Trayectoria de una pelota de golf.

Velocidad constante, sólo en ciertos tramos.

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La unidad de medida de la velocidad es el cociente entre la unidad de medida de espacio o distancia y la unidad de tiempo. En el Sistema Internacional (SI) es el metro/segundo (m/s) o ms–1. Sin embargo, resulta muy frecuente en la vida diaria la utilización de una unidad práctica de velocidad, el kilómetro/hora (km/h),que no corresponde al SI. La relación entre ambas es la que sigue:

o inversamente

Velocidad media. La prensa diaria publica de vez en cuando, la velocidad media de circulación en automóvil característica de las grandes ciudades. Si en Santiago, por ejemplo, se cifra en 20 km/h. ello no significa que los coches se desplacen por las calles siempre a esa velocidad. Tomando como referencia un trayecto de 10 km, el coche puede alcanzar los 60 o incluso los 70 km/h, pero en el trayecto completo ha de frenar y parar a causa de las retenciones, de modo que para cubrir los 10 km del recorrido establecido emplea media hora. La velocidad del coche ha cambiado con el tiempo, pero, en promedio, y a efectos de rapidez el movimiento equivale a otro que se hubiera efectuado a una velocidad constante de 20 km/h. Velocidad instantánea. En general, la velocidad con la que se mueve un coche, un avión o una motocicleta, por ejemplo, varía de un instante a otro. Ello queda reflejado en el movimiento de la aguja de sus respectivos velocímetros. El valor que toma la velocidad en un instante dado recibe el nombre de velocidad instantánea. Aun cuando la noción de instante, al igual que la noción de punto, constituye una abstracción, es posible aproximarse bastante a ella considerándola como un intervalo de tiempo muy pequeño. Así, la lectura del velocímetro se produce en centésimas de segundos y ese tiempo puede ser tomado en el movimiento de un coche como un instante, ya que durante él la velocidad prácticamente no cambia de magnitud. 4.2.5. Aceleración. En los movimientos ordinarios la velocidad no se mantiene constante, sino que varía con el tiempo. En tales casos es posible definir una nueva magnitud que describa la rapidez con la que se producen tales variaciones de la velocidad. Dicha magnitud se denomina aceleración. Se define como lo que varía la velocidad en la unidad de tiempo y representa, por tanto, el ritmo de variación de la velocidad con el tiempo. Una de las características que definen la potencia de un automóvil es su capacidad para ganar velocidad. Por tal motivo, los fabricantes suelen informar de ello al comprador, indicando qué tiempo (en segundos)

Una escalera mecánica, se mueve a velocidad constante.

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tarda el modelo en cuestión en alcanzar los 100 km/h partiendo del reposo. Ese tiempo, que no es propiamente una aceleración, está directamente relacionado con ella, puesto que cuanto mayor sea la rapidez con la que el coche gana velocidad, menor será el tiempo que emplea en pasar de 0 a 100 km/h. Aceleración constante. Un cuerpo que se mueva con aceleración constante irá ganando velocidad con el tiempo de un modo uniforme; es decir, al mismo ritmo. Eso significa que lo que aumenta su velocidad en un intervalo dado de tiempo es igual a lo que aumenta en otro intervalo posterior, siempre y cuando las amplitudes o duraciones de ambos intervalos sean iguales. En otros términos, el móvil gana velocidad en cantidades iguales si los tiempos son iguales y la velocidad resulta, en tales casos, directamente proporcional al tiempo. Del mismo modo que para definir la velocidad es necesario poner la atención en la relación entre espacio y tiempo, para definir la aceleración es preciso pensar sólo en términos de velocidad y tiempo. Aceleración media. La aceleración media representa lo que por término medio varía la velocidad en cada unidad de tiempo. Aun cuando la velocidad de un móvil cambie de un modo irregular, o no uniforme, es posible considerar otro movimiento equivalente al anterior, en lo que a la ganancia de velocidad respecta, que aumente su velocidad lo mismo y en el mismo tiempo, pero sólo que a un ritmo constante. La aceleración de ese movimiento equivalente, pero de aceleración constante es, precisamente, la aceleración media.

Aceleración instantánea. Es la aceleración referida a un intervalo de tiempo lo suficientemente pequeño como para poder considerar despreciable la variación de la velocidad del móvil durante él. Aun cuando los automóviles no disponen de acelerómetro o medidor de aceleración, su fabricación sería relativamente sencilla y permitiría la lectura instantánea de la magnitud aceleración. Que en un momento dado la columna luminosa de un acelerómetro marcase 7 m/s2 significaría que, de mantenerse constante el ritmo de progresión del movimiento leído para ese instante, el automóvil ganaría velocidad a razón de 7 metros por segundo en cada segundo.

4.2.6. Deceleraciones. Aun cuando las variaciones de velocidad consideradas hasta ahora han sido únicamente aumentos, un móvil puede también disminuir su velocidad con el tiempo. En tales casos, los valores de la velocidad posteriores en el tiempo son menores que los anteriores, por lo que su variación es negativa. Esta aceleración negativa es característica de los movimientos de frenado y recibe el nombre de deceleración. La deceleración es un tipo particular de aceleración, por lo que ha de considerarse como tal. Sólo el signo menos indica que está asociada a un movimiento cuya velocidad disminuye con el tiempo.

Aumentos o variaciones de velocidad, resultado de aceleraciones.

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4.2.7. Las gráficas cinemáticas. La representación gráfica de un movimiento y de sus características permite extraer una información valiosa sobre dicho movimiento. La trayectoria es una primera descripción gráfica del movimiento; en ella no se recoge (explícitamente) la variable tiempo, sino que se representan únicamente las posiciones del punto móvil, o, lo que es lo mismo, la relación entre sus coordenadas a lo largo del movimiento. Es, por tanto, una gráfica espacial. Las gráficas en las que se refleja la variación de diferentes magnitudes con respecto al tiempo son gráficas temporales y por sí mismas proporcionan una buena descripción de las características del movimiento considerado. En todas ellas el tiempo t se representa en el eje horizontal o de abscisas y la magnitud cinemática elegida —como el espacio s, la velocidad v o la aceleración a— se representa en el eje vertical o de ordenadas. La variación con respecto al tiempo de cada una de estas magnitudes da lugar a la correspondiente gráfica o diagrama cinemático. 4.2.8. Vectores para la cinemática. Cuando se pretende estudiar un movimiento de la forma más completa posible, es necesario considerar las magnitudes cinemáticas tales como el desplazamiento, la velocidad o la aceleración de modo que recojan los aspectos direccionales del movimiento; es decir, los cambios de orientación del punto móvil en el espacio y sus consecuencias. Para ello se recurre a los vectores, esos elementos matemáticos que permiten describir los aspectos relativos a la dirección y al sentido. El vector velocidad. La velocidad es la variación de la posición de una partícula en una determinada cantidad de tiempo; es decir, es cuánto varió la posición de la partícula en un lapso de tiempo. La velocidad es una magnitud vectorial, por tanto tiene un módulo y una dirección. El módulo define el "tamaño" que tiene la velocidad, mientras que la dirección define hacia donde apunta esa velocidad. Por ejemplo, un automóvil puede tener una velocidad de 90 Km/h con una dirección Norte-Sur. La velocidad suele usarse como sinónimo de rapidez, pero esta última es una magnitud que sólo representa el módulo (medida numérica) de la velocidad. La velocidad entre los instantes t1 y t2 está definida por

La velocidad (V), como dijimos, es una magnitud vectorial y, por tanto, se representa mediante un

vector Los cuatro elementos de este vector son:

En el diagrama, la velocidad (en m/s) en el eje vertical; el tiempo (en seg.) en el eje horizontal.

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• Punto de aplicación. La posición del punto móvil. • Dirección. Recta tangente a la trayectoria. • Sentido. El del movimiento. • Módulo o intensidad. Es el valor numérico: dado por la fórmula

El vector aceleración. El vector aceleración representa la rapidez con la que el vector velocidad de un cuerpo móvil cambia con el tiempo. La aceleración se define como la razón entre el cambio de velocidad y el intervalo en el cual ésta ocurre. Supongamos que en un instante t1 la velocidad del móvil es v1, y en el instante t2 la velocidad del móvil

es v2. Se denomina aceleración entre los instantes t1 y t2 al cociente entre el cambio de velocidad ∆v = v2 – v1 y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, ∆t = t2 – t1.

INVESTIGAR

Movimiento rectilíneo uniforme

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Movimiento curvilíneo (o circular) uniforme

Movimiento curvilíneo (o circular) uniformemente acelerado.

El vector velocidad representa la rapidez con la que cambia la posición del cuerpo en el movimiento cuando se considera ésta como un vector.

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EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS

1. ¿Qué es la física?

a) Es la ciencia que estudia las medidas b) Es la ciencia que estudia los astros c) Es la ciencia que estudia los fenómenos naturales d) Es la ciencia que estudia la composición de la materia

2. ¿Qué es una ciencia auxiliar?

a) Ciencia que compite con otra ciencia b) Ciencia que ayuda a otra ciencia c) Ciencia que explica otra ciencia d) Ciencia que crea otra ciencia

3. ¿Cuál es la ciencia auxiliar de la física?

a) Química b) Biología c) Matemática d) Astronomía

4. ¿Cuál de estos pasos no pertenecen al método cie ntífico?

a) Observación b) Publicación c) Hipótesis d) Experimentación

5.- La rama de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin tomar en cuenta las causas que lo provocan es la__________________________.

6.- La ________________es la relación que existe entre la variación de la velocidad y el tiempo que tarda en hacerlo. 7.- En el MRU la velocidad es________________. 8.- Un __________________es un segmento de recta dirigido. 9.-________________ es el cambio de posición de un cuerpo. 10.- __________________ es un punto mediante el cual se estudia el movimiento de otros cuerpos. 11.- El área que se forma bajo una gráfica (v-t) es igual al valor de la ________________recorrida por el móvil. 12.- En el MRU la velocidad es __________________ proporcional al tiempo. 13.- La _________________es el conjunto de puntos sucesivos por el que pasa un cuerpo en su movimiento. 14.- La distancia es una magnitud ___________________.

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15.- La unidad de velocidad en el SI es _________________. 16.- El desplazamiento es una magnitud _______________________. 17.- _____________son las iniciales de Movimiento Rectilíneo Uniforme. 18.-_________________ es la longitud de la trayectoria recorrida por un móvil. 19.- En el MRU la aceleración tiene un valor igual a________________________.

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BIBLIOGRAFÍA

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