UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓNEnrique Guzmán y Valle

“Alma Máter del Magisterio Nacional”

FUNDAMENTOS DE LA DIDÁCTICA DE LAS

MATEMÁTICAS

2011

CAPÍTULO I

CONSTRUCCIÓN DE UN CAMPO DE ACCIÓN EPISTEMOLOÓGICO MATEMÁTICO

Introducción

Uno de los desafíos imperantes para la Didáctica de la Matemática es realizar un análisis epistemológico

sobre las situaciones didácticas (Brousseau, 1993) de los diferentes objetos de conocimiento de la

matemática. Lo anterior toma relevancia en Bachelard (1981) al expresar que, “todo conocimiento es una

respuesta a una interrogante: si no ha habido pregunta, no puede existir conocimiento científico. Nada es

porque sí, nada es gratuito, todo se construye”. Por tanto, es imprescindible que la construcción de

conocimiento por parte de un sujeto deba ser entendida como un constante proceso progresivo social del acto

epistémico, y por lo cual todo sujeto accede a la vida cognoscente de aquellos que les rodean (Vygotski,

1996).

En la misma línea, Rico (1997) considera que el estudio epistemológico en Didáctica de la Matemática debe

estar orientado por los siguientes pilares: los obstáculos epistemológicos (Bachelard, 1985) del conocimiento

matemático, por la diversidad de registros de representación semiótica (Duval, 1999) utilizados en cada

sistema conceptual, como también en la fenomenología de los conocimientos implicados y las aplicaciones

de cada bloque de contenidos a la realidad, así como la evolución histórica de cada campo de conocimiento

en pos de un “sentido y re-significado humano” cuando los sujetos se sitúan en interacción, posibilitando así

una zona de desarrollo próximo (Vygotski, 1996).

Aproximación Epistemológica del Conocimiento Matemático

Dado lo anterior, es inevitable que principien la tesis epistemológica, las siguientes preguntas:

¿Epistemológicamente, cómo tiene génesis el conocimiento matemático? ¿Qué obstáculos epistemológicos

tienen génesis entre la articulación del saber docto matemático y la transposición didáctica de éste? ¿Qué

saber matemático es el que se construye y aprende en definitiva? ¿Qué implicancias epistemológicas y

didácticas presupone “el saber matemático de enseñanza”?

Un primer punto de análisis, es que el proceso de construcción matemática en sí, está fuertemente valorada

en el desarrollo de componentes científicos del área que coinciden con una ignorancia cultivada sobre los

diversos principios de la Didáctica de la Matemática (Rico, 1997), tales como: situaciones didácticas, la

transposición didáctica, la vigilancia epistemológica, los campos conceptuales, el contrato didáctico, los

registros de representación semióticos de los conceptos, etc.

Por tanto, una de las características fundamentales o bases del conocimiento matemático, es que estos

conocimientos debieran corresponden a un análisis epistémico a priori antes de ser enseñados. Este proceso

de “creación o reconstrucción” matemática implica una serie de etapas de razonamientos que convergen

conceptualmente de un “saber docto” a un “saber de enseñanza”, logrando una construcción denominada

Transposición Didáctica (Chevallard, 1985).

En consecuencia, la Transposición Didáctica como proceso de génesis de conocimiento, es además una

instancia en que se entrelazan la evaluación histórica de los razonamientos (De Lorenzo, 1977) y la vigilancia

epistemológica (Bechelard, 1985) propia del saber docto matemático a transponer. Logrando de esta manera,

una instancia en que el sujeto “demuestra o argumenta” a partir de criterios de validez “el cambio de registro

semiótico” (Duval, 1999) del constructo matemático analizado, conceptualizado y argumentado como

“significados matemáticos” congruentes.

Así mismo, en tiempos pasados se definía un objeto mediante una “formula” que permitía calcularlo, con lo

cual no se lograba necesariamente una verdadera comprensión de objeto matemático en cuestión, debido al

inminente reduccionismo de la concepción fundamental de la Matemática y de la Didáctica de la Matemática

(Brousseau, 1988; Rodino, 1991; Chevallard,1992). Esta problemática hoy en día, se ha traducido en que un

objeto matemático debe estar “mejor definido” mediante un conjunto de propiedades que “explicite su

conceptualización y comprensión”, es decir, se busca la “relación de las regularidades observadas en la

experiencia por los sujetos cognoscentes, y que son enriquecidas por la diferenciación progresiva que ellos

realizan entre los diferentes “representantes” del “objeto matemático representado” (Duval, 1999), para luego

lograr una recontextualización integrada de su saber sabio y humano.

Al punto, que una de las características esenciales de los conceptos matemáticos es que éstos pueden ser

“representados y definidos” bajo diferentes “formas”, ya sea, mediante un dibujo, mediante diferentes signos

que se constituyen bajo una sintaxis y semántica establecida, o mediante un lenguaje natural de los

estudiantes.

Cabe señalar además que la creación de sistemas semióticos conlleva tres actividades cognitivas inherentes a

toda representación semiótica (Duval, 1999) que permiten tener una orientación sobre los diferentes

obstáculos que tienen los estudiantes. La primera actividad cognitiva es la construcción de un conjunto de

signos como explicitación perceptible del conocimiento matemático aprendido; en segundo lugar está la

actividad cognitiva de “transformar las representaciones” de acuerdo a las reglas propias de cada registro de

representación, de modo que se pueda trabajar al interior de ésta y eventualmente producir otra

representación en el mismo sistema semiótico para lograr más conocimiento en comparación con la

representación inicial. Por último, Duval propone la actividad cognitiva de conversión de un sistema

semiótico a otro, lo cual permitiría al sujeto explicitar y al mismo tiempo comprender significaciones o

propiedades del concepto a desarrollar que al ser trabajadas en un solo “representante o registro de

representación”, se pueden omitir muchos otros conocimientos que permitan la comprensión de éste.

En esta línea epistemológica de cómo entender la “relación” entre “representantes y representado” como

reconstrucción de conocimiento matemático, un ejemplo de diferentes “representantes” pueden ser los del

objeto matemático “intersección de dos curvas” en geometría, que es entendido desde el álgebra en términos

de factores de polinomios y/o soluciones de sistemas de ecuaciones respectivamente, cambiando de esta

forma las nociones geométricas intuitivas (Sierpinska, 1996).

Lo anterior, posiciona a la Transposición Didáctica ipso facto en un análisis epistémico de los registros de

representación semiótica, ya que la comprensión de un concepto matemático se explicita cuando el sujeto

distingue el concepto matemático de sus posibles representaciones y relaciona las unidades significantes de

cada sistema semiótico.

Brousseau (1993) por otra parte se refiere a la Transposición Didáctica como una instancia en donde deben

generarse condiciones de comunicación, que eventualmente permitan mostrar la validez e importancia del

conocimiento a dar a conocer en el aula. Por consiguiente, frente al aumento y evolución continua del

conocimiento, el profesor y/o el estudiante deben “contextualizar este nuevo conocimiento”, y así, lograr

“constituir” una micro-sociedad científica que “recrea y resignifica” la construcción del conocimiento

matemático.

En esta perspectiva, es evidente que hay un carácter dispar, con frecuencia contrapuesto, de las múltiples

respuestas dadas a las cuestiones epistemológicas sobre el conocimiento matemático y su construcción, ya

que hay una pluralidad y complejidad de significados que se construyen a partir de un concepto matemático,

por lo que es imprescindibles fundamentar una investigación epistémica desde una perspectiva que aúna e

integra los conocimientos (Godino, 1996) en cuanto a significados históricos, sociales y conceptuales,

permitiendo de esta manera indagar sobre aquellos aspectos que son propios del aprendizaje de la matemática

y de aquellos cuya naturaleza es irreductiblemente matemática.

En consecuencia, todo reflexión debe interesarse además por profundizar sobre el significado que los

estudiantes construyen al atribuir y relacionar términos y símbolos matemáticos, a los conceptos y

proposiciones, así como explicar la comprensión de un concepto matemático no solamente como una

aprehensión de significados, sino que también explicar su estructura conceptual (Godino, 1996), es decir,

develar cuáles son las relaciones conceptuales que lo constituyen y cuáles estructuras de conocimiento se

generan a partir de éste.

En consecuencia, la preocupación por la resignificación que puedan realizar los profesores en formación o

los estudiantes en el aula de los diferentes conceptos matemáticos, lleva a la reflexión sobre la génesis

personal y cultural del conocimiento y su mutua interdependencia, ya que como plantea Bishop (1999)

educar matemáticamente a las personas es mucho más que enseñarles simplemente algo de matemática. Lo

anterior requiere una conciencia fundamental de la complejidad del conocimiento, ya que no basta

simplemente con “enseñar” matemática: también debemos educar acerca de la matemática y mediante la

matemática. Por consiguiente, la educación matemática debiese ocuparse, esencialmente, de “una manera de

conocer el universo” y no solamente mostrarse como “una manera de hacer”. Esto es lo que impulsa a

observar la construcción de conocimiento matemático desde una perspectiva cultural.

También, el estudio de la Historia de la Matemática constituye una parte trascendental en la construcción de

conocimiento científico. Es universalmente reconocido que el desconocimiento de la experiencia del

desarrollo de la ciencia y la incapacidad para analizarla hace a un “educador” de la Matemática estéril ante

los problemas del futuro (Ríbnikov, 1987).

Todos estos elementos históricos están interrelacionados y se encuentran en desarrollo constante. La

aclaración de cómo ocurre y adónde conduce este desarrollo del conocimiento en un periodo histórico

estudiado, posibilita la comprensión de la Matemática como una actividad humana. Así mismo, la

experiencia muestra que cuando la exposición comienza con el planteamiento preciso de las cuestiones de

principio es más fácil formar una idea global sobre las matemáticas, su estado actual, vías de desarrollo y

sobre el lugar de las matemáticas en el sistema del conocimiento científico.

Naturalmente, la comprensión real del objeto de la Historia de las Matemáticas, como igualmente del objeto

de cualquier otra ciencia, no se logra con el conocimiento de las definiciones correspondientes. Ella se

complementa y se perfecciona en la medida que el contenido real del conocimiento se enriquece a través de

construcciones significativas por parte de los sujetos.

Otro pilar fundamental en la naturaleza del conocimiento matemático a partir de una visión cultural de la

matemática, es la interacción como mediación de los diferentes estudiantes en la construcción de

conocimiento, lo cual puede ser analizado desde la perspectiva de los procesos de metacognición individual y

grupal, logrando así niveles de significatividad en la actividad cognitiva propia y conjunta del sujeto, en la

cual él construye su propio espacio de análisis, conceptualización, argumentación y demostración del

conocimiento aprehendido, en otras palabras, construye su propio Campo de Acción Epistemológico para

conocer e interpretar el contexto que le rodea significativamente.

Eventualmente, este proceso cognoscitivo permite además reconocer las barreras epistemológicas que

dificultan la comprensión de nuevos conocimientos o puntos de vistas (Bachelard, 1990) al realizar

argumentaciones y/o demostraciones en el campo de la matemática.

Para Recio, Hanna y Jahnke (1996) “la demostración es una característica esencial de la matemática y como

tal debería ser un componente clave de la educación matemática”, con lo cual, los estudiantes podrían

comprender las propiedades que caracterizan a los conjuntos numéricos, como para aprendan a descubrir las

diferentes regularidades que constituyen a diferentes conceptos geométricos, algebraicos, aritméticos, etc.

Así, la demostración de teoremas en el marco escolar es muy discutida. Diversos autores, como Recio y

Godino (1996), Battista y Clements (1995), han estudiado las capacidades de los estudiantes de diferentes

niveles educativos para comprender y elaborar demostraciones deductivas. Como consecuencia de esta

revisión, la demostración aparece hoy como un objeto complejo, estrechamente relacionado con otros

elementos validativos, como pueden ser los de “explicación”, “comprobación”, “argumentación”, “prueba”,

etc. El estudio y la comprensión de estas relaciones ayuda a interpretar mejor el significado del “objeto

matemático demostración”, más amplio que el estrictamente deductivo, permitiendo abrir un proceso de

aproximación a la noción de demostración matemática más cercano a las capacidades lógicas de los

estudiantes.

Por tanto, la potencialidad cognoscitiva del sujeto depende de la calidad de la interacción social que tienen

del conocimiento a aprehender comprensivamente (Vygotski, 1996), es decir, la conceptualización de todo

conocimiento matemático debe estar encaminado a la comprensión del medio social y cultural en que vive

cada persona.

En conclusión, y a modo de síntesis de esta aproximación epistemológica sobre el conocimiento matemático,

cabe destacar que en el proceso de construcción matemática debe ser potenciado por un Campo de Acción

Epistemológico que se constituya a partir de los diferentes registros de representación semióticos, los cuales

apoyan las posibles demostraciones y/o argumentaciones del conocimiento matemático; siendo además la

historia de la matemática un referente cultural del conocimiento matemático como prodigio de construcción

humana.

CAPÍTULO IIFUNDAMENTO PSICOLÓGICO PARA EL USO DE LOS RECURSOS DIDÁCTICOS

1. FUNDAMENTO PSICOLÓGICO PARA EL USO DE LOS RECURSOS DIDÁCTICOS

1.1.1 DAVID P. AUSUBEL 1.- Los medios y materiales didácticos son recursos que facilitan el aprendizaje significativo, contiene una intencionalidad al ser portadores de la nueva información.2.- Las condiciones para que un material didáctico sea potencialmente significativo son:

Que contribuyan a despertar el interés del educando, garantizando la relación psicológica de sus experiencias previas con la nueva información.

Que tenga una relación lógica y no arbitraria con la nueva información y el desarrollo de capacidades. Que permitan activar procesos internos y externos como la observación, relacionar, comparar, lanzar

hipótesis, hacer deducciones, resolver situaciones problemáticas (Conflicto cognitivo), para el desarrollo de habilidades.

Que se genere un ambiente agradable para la interacción del alumno con el material didáctico presentado o en la elaboración del mismo por el propio alumno.

Que al presentar un material didáctico se requiere de un previo marco que serían los organizadores previos, es decir una idea general que presente el contenido específico.

Cuando la nueva información ingresa al sujeto por percepción, los materiales, los materiales didácticos sirven de exhibidores, apoyando la explicación del profesor.

En cambio cuando la nueva información ingresa al sujeto por descubrimiento guiado, los materiales didácticos deben provocar en el sujeto el deseo, la intención de actuar sobre ellos, ser exploradores y transformadores.

Recordar que el aprendizaje significativo de representaciones es la base del aprendizaje significativo de conceptos y de proposiciones.

1.1.2 JEAN PIAGET

2. El uso de los recursos didácticos, están relacionados con las etapas de desarrollo del pensamiento del niño Por ejemplo considerando los estadios tenemos:

En la etapa sensorio motor, los materiales didácticos son fundamentales ya que los niños pequeños se informarán de su mundo y construirán nociones a partir sólo de interactuar con los objetos.

En la etapa pre operatoria, los materiales didácticos ayudan a pasar de los esquemas prácticos a las representaciones. Por ejemplo al establecer la relación entre un objeto grande y un pequeño.

En al etapa de las operaciones concretas, los materiales didácticos juega un papel importante en el desarrollo del lenguaje, pues permite que el alumno exprese sus ideas al opinar sobre él o al hacer uso de ellos. Por ejemplo, las figuras geométricas.

En la etapa de operaciones formales, el material didáctico puede tomar formas abstractas, ya que el alumno es capaz de razonar sobre lo real y también sobre lo posible, haciendo razonamientos lógicos y deductivos sobre hipótesis, así como entender y producir enunciados. Ejemplo: Guías de aprendizaje, módulos auto instructivos, etc.

3. Considerando estas etapas elegiremos material concreto, material figurativo o material abstracto, y considerando su secuencia.4. Considerar que el conocimiento no se da en un sujeto pasivo, la interacción con los materiales didácticos

contribuyen en la formación de conceptos en el alumno.5. Considerar también que existen variaciones y asincronías en el ritmo del desarrollo cognitivo que, Piaget

las explica teniendo en cuenta cuatro factores:a) La herencia, la maduración interna.b) La experiencia física, la acción sobre los objetos.c) La transmisión social que el niño haya asimilado.d) El factor de equilibración, entre los otros factores, entre otros descubrimientos o informaciones, en forma

progresiva.

1.1.3 LEV SEMINOVICH VIGOTSKYEl material didáctico por sí solo, no cumple un papel determinante, dado que es utilizado como un medio que permite transmitir un contenido.2.- El material educativo es un producto cultural y como tal cumplirá su cometido en el proceso de enseñanza – aprendizaje, en la medida que el mediador le otorgue la intencionalidad educativa.3.- Los materiales didácticos permitirá al mediador darse cuenta si el alumno contaba con los conocimientos necesarios en la zona de desarrollo real. Así como para detectar su madurez y potencialidades que tiene el alumno para ser desarrolladas hasta llegar a la zona de desarrollo potencial.4.- Los materiales educativos por si solos son inertes, ellos se tornan dinámicos cuando el mediador da la intencionalidad educativa los usa y los pone en contacto con los educandos enseñándole a observar, analizar, deducir y valorar, contribuyendo a la secuencia de la zona de desarrollo próximo.5.- Por lo tanto el desarrollo de las funciones mentales superiores, en sus dos momentos: interpersonal (Nivel social) e intrapersonal (Nivel individual) no sería posible llegar a la interiorización sin los medios y materiales a los que Vigotsky llama herramientas psicológicas.

1.1.4 GUY BROUSSEAU1.- Incluye a los medios y materiales didácticos en las situaciones didácticas en la relación alumno o grupo de alumnos y un sistema educativo (profesor) con el objeto de que los alumnos se apropien de un saber construido o en vías de constitución.2.- Considera al aprendizaje como un fenómeno social muy importante y esencial del proceso didáctico, por tanto es importante considerar este hecho para la elaboración del material didáctico.3.- Los medios y materiales didácticos intervienen en el juego o actividades cognoscitivas de las situaciones didácticas cuyos objetivos son: el actuar (hacer), comunicar (describir y explicar lo que hace) y probar (argumentar y justificar sus por qué), desarrolladas en las situaciones a-didácticas, situaciones didácticas, contrato didáctico y transposición didáctica.Guy Brousseau es profesor de educación matemática de la Universidad de Burdeos, en Francia. Es una de las personalidades francesas en el tema Brousseau busca crear una “teoría” de la educación matemática. Esto es, busca crear, consolidar y relacionar un conjunto de conceptos tales que su utilización permita el estudio de los fenómenos involucrados en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Para lograrlo, Brousseau utiliza una aproximación sistémica: considera la comunicación del conocimiento matemático como un proceso dentro de un sistema, sistema compuesto por una variedad de sub-sistemas que interactuan entre ellos. Dada la complejidad de las interacciones que se dan dentro de este sistema, Brousseau propone la construcción de un modelo de este sistema. Este modelo, conjunto de conceptos organizados, debe: permitir la descripción de aquellos tipos de relaciones humanas pertinentes en el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas; permitir considerar todos los fenómenos pertinentes; ser consistente.Se considera en primera instancia el problema de la génesis y la comunicación del saber matemático. Después se hace un breve análisis de algunos fenómenos de la educación matemática. En seguida, se introducen los conceptos de situación a-didáctica, situación didáctica, contrato didáctico y transposición didáctica. El modelaje de la situación didáctica se efectúa haciendo una similitud con la noción de juego.La comunicación del saber ¿Cómo se comunica el saber matemático? ¿Cuáles son las características de esta comunicación? ¿Cómo influyen estas características en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas?El conocimiento matemático es creado por el individuo dentro de una comunidad científica. La creación del conocimiento se da, en general, dentro de condiciones y contextos particulares y por medio de un proceso “científico” en el que se dan conjeturas, se hacen hipótesis, se prueban ideas, se cometen errores y se falsifican teorías.Sin embargo, una vez que el matemático ha “descubierto” una teoría o un resultado y ha comprobado, para sí mismo, la validez de los mismos, él debe comunicar sus “descubrimientos” a la comunidad científica. No obstante, la comunidad científica no requiere que él describa el proceso por medio del cual él hizo el descubrimiento.Lo que la comunidad científica le exige es una forma de presentación en la cual sea clara la validez y la importancia del resultado.Esta forma de presentación (en general, axiomática) des-contextualiza el conocimiento matemático: desaparece la información acerca de las circunstancias, los problemas y los procesos que dieron lugar al conocimiento. La comunidad científica transforma y amplia este conocimiento y, es este conocimiento transformado y ampliado el que es recibido por el profesor.Lo ideal es que el profesor reciba y vuelva a construir un contexto para este conocimiento, al crear situaciones didácticas que simulen una micro-sociedad científica.

El estudiante vuelve entonces a “crear” el conocimiento dentro de un proceso de “construcción social” en esta supuesta comunidad científica del salón de clase.Una vez que el alumno ha construido por sí mismo su propio conocimiento, él debe eliminar, de nuevo, el contexto dentro del cual lo construyó, de tal forma que este conocimiento pueda ser utilizado y se aproxime al conocimiento cultural de la comunidad matemática.La didáctica “Parecería que para responder a buena parte de las preguntas de la educación matemática es indispensable tener una buena teoría epistemológica y una buena ingeniería didáctica.La didáctica estudia la comunicación del conocimiento y pretende teorizar sobre su objeto de estudio. Sin embargo, ella no podrá satisfacer este reto, a menos que se cumplan las siguientes dos condiciones:Hacer explícitos los fenómenos específicos que parecen ser explicados por los conceptos originales; indicar los métodos de validación que ella utiliza para lograr la explicación.Estas dos condiciones son indispensables para que la educación matemática pueda conocer de manera científica su objeto de estudio y, por lo tanto, para que sea posiblediseñar e implantar acciones de enseñanza controladas.”[Brousseau Guy, 1986, p. 40].

El modelo El modelo que se propone está basado en cuatro conceptos La situación didáctica La situación a-didáctica El contrato didáctico La transposición didáctica

Y en las siguientes hipótesis: El conocimiento se produce dentro del espacio de las asociaciones entre las buenas preguntas y las buenas

respuestas El alumno construye su conocimiento a partir de sus propias experiencias y de sus interacciones con el

entorno como factor de contradicciones, dificultades y desequilibrios (como en la sociedad misma) Sólo se reconoce que se ha adquirido un conocimiento cuando el alumno es capaz de resolver nuevos

problemasEl profesor debe proponer una situación problemática que incite al alumno a actuar al interactuar con el entorno. Mientras que el profesor no interviene, esta es una situación a-didáctica. Sin embargo, para lograr que el alumno construya su conocimiento, es necesario que el profesor aporte a esta situación, sugiriendo formas o métodos para producir la respuesta: respondiendo a partir de conocimientos previos, comprendiendo y construyendo un nuevo conocimiento, aplicando lecciones anteriores, reconociendo las preguntas, adivinando, resolviendo, etcétera. Esta interacción entre el profesor y el alumno acerca de lo que el profesor espera y lo que el alumno debe presentar, construye el contrato didáctico, como el conjunto de reglas de juego y las estrategias de la situación didáctica. Este contrato didáctico implica responsabilidades mutuas entre el profesor y el alumno. La responsabilidad del profesor (además de proponer la situación a-didáctica) es la de resolver los conflictos que se generan en el contrato didáctico, con motivo de las dificultades en la búsqueda de la respuesta por parte del estudiante. Para resolver estos conflictos, el profesor debe transformar el conocimiento cultural a un conocimiento apropiado al contexto de la interacción. Este proceso de adaptación del conocimiento es la transposición didáctica.Desafortunadamente, “no se conocen la condiciones necesarias mínimas para darle sentido a la actividad del alumno, ni suficientes para satisfacer su contrato. El profesor, además de los problemas, debe también dar los medios para resolverlos. Debe entonces hacer como si él supiera cómo, a partir de un cierto conocimiento (enseñado) se fabrican las soluciones a nuevos problemas” (p. 61). Al producirse los conflictos en el contrato didáctico (en la búsqueda de una solución a un problema) el profesor se ve abocado a resolverlos por medio de algoritmos. Este procedimiento, el más común para resolver los conflictos, tiene grandes riesgos: puede darse un deslizamiento en el contrato didáctico, puesto que el algoritmo se convierte en el objeto del conocimiento: el profesor lo presenta y el alumno lo recibe, esperando ser capaz de aplicarlo. En este deslizamiento metamatemático el contrato cambia a una discusión y negociación sobre el algoritmo. “El profesor quisiera enseñarle al alumno a buscar; éste espera que se le den los algoritmos” (p. 62)Algunas paradojas El modelo no es necesariamente coherente. Las características del alumno, el profesor, el conocimiento a adquirir y las situaciones en las que este conocimiento se construye producen “paradojas”: situaciones en las que el proceso no necesariamente sucede como se espera. Algunas de estas paradojas son las siguientes. La obligación del profesor. El profesor tiene la obligación social de enseñar. El alumno se lo exige y el profesor le dice cómo resolver el problema, rompiendo el esquema de adaptación del alumno a una situación problemática en la que él debe construir su conocimiento.La paradoja de la adaptación. En algunos casos hay que aceptar que el conocimiento se

construye por etapas (v.g., la noción de límite), en las que hay aproximación e inexactitud entre el conocimiento aprendido por el alumno y el conocimiento cultural.“El profesor puede escoger entre enseñar un conocimiento formal sin significado o enseñar un conocimiento más o menos falso que habrá que rectificar” (p. 68). Sin embargo, la memorización de conocimientos formales no le permite al alumno ser capaz de aplicar el conocimiento, puesto que éste se ha transmitido por medio de ejercicios que carecen de sentido. Por otra parte, el desarrollo de conocimientos por etapas tiene sus problemas: es difícil cambiar un conocimiento falso que ha sido “bien” adquirido La negación del saber. Si el alumno no tiene el apoyo del profesor (situación a-didáctica), no será capaz de reconocer el nuevo conocimiento cuando ha resuelto un problema.La pérdida de la incertidumbre. Las situaciones problemáticas generan incertidumbre ue produce angustia y placer. La reducción de esta incertidumbre es el propósito de la actividad intelectual. Encontrar el conocimiento hace desaparecer la incertidumbre y elimina la motivación por buscar nuevas respuestas a los problemas.La paradoja del actor. ¿Qué papel debe jugar el profesor? ¿Debería comportarse como matemático y eliminar así la necesidad de situaciones didácticas? O, ¿debe comportarse como un actor activo de una comedia que no está descrita con anterioridad? El profesor debe buscar que el alumno re - produzca el conocimiento. La noción de juego Se busca modelar la interacción entre alumno, profesor y entorno educativo por medio de la aproximación de sistemas a través de la noción de juego. Se va a suponer que la noción de situación se aproxima con la noción de juego. En este juego, el alumno y el profesor son jugadores que toman decisiones. En el juego debe haber alguna sensación de control, pero también debe existir la incertidumbre.El propósito es el de describir los sub - sistemas a partir de las relaciones que estos tienen dentro del juego. En esta descripción, el conocimiento debe aparecer como la solución o como el medio para establecer una estrategia óptima. El modelo debe ser tal que se puedan representar todas las situaciones que puedan ser observadas en la realidad. Situaciones adidácticas y juego La gráfica muestra la función del concepto de juego dentro de la conceptualización de las situaciones a-didácticas y didácticas. El alumno tiene un juego con el entorno a-didáctico. El propósito de este juego es el conocimiento del alumno. Este aprendizaje está regulado (reglas del juego) por el conocimiento cultural y es validado cuando el alumno resuelve problemas reales (carentes de componentes didácticos). Esta validación es también controlada por el conocimiento cultural. El profesor juega dos juegos: como organizador de juegos (es quien propone las situaciones a-didácticas) y como institucionalizador (es quien valida el conocimiento personal del alumno y lo guía en su proceso de descontextualización de este conocimiento – convirtiéndolo en conocimiento cultural). Para que el proceso tenga éxito, el entorno debe, al mismo tiempo, contener los estímulos didácticos para que el alumno establezca una interacción y aproximarse a la realidad, de tal forma que el conocimiento pueda ser descontextualizado. Esta es una dualidad que se juega con el contrato didáctico.Para avanzar en el proceso de modelaje, es necesario clasificar las interacciones sujeto – entorno, las diversas formas de organización del entorno, el funcionamiento del conocimiento y la evolución espontánea de los conocimientos.

Referencias Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.Recherches en Didactique des Mathématiques, 7(2), 33-115.

SITUACIONES DIDÁCTICAS1 Este texto es una trascripción editada de una conferencia impartida por la profesora Jesennia Chavarría, el 25 de marzo del 2006 en un Seminario Teórico2 Las Situaciones Didácticas deben vincularse con el tema de Resolución de Problemas; se verá más adelante que constituye una metodología a la cual acudir para situaciones a-didácticas.

Al referirnos a las Situaciones Didácticas, en principio debemos distinguir dos enfoques: uno, tradicional;

otro, el enfoque planteado por la teoría de Brousseau. Ambos en relación a la enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas. En el primero, tendríamos una relación estudiante-profesor, en la cual, el profesor simplemente

provee (o deposita) los contenidos, instruye al estudiante, quien captura (o engulle) dichos conceptos y los

reproduce tal cual le han sido administrados.

Dentro de este enfoque no se contextualiza el conocimiento, no se tiene un aprendizaje significativo. Paulo

Freire apunta con respecto al enfoque tradicional: “La educación padece de la enfermedad de la narración

que convierte a los alumnos en contenedores que deben ser llenados por el profesor, y cuanto mayor sea la

docilidad del receptáculo para ser llenado, mejores alumnos serán”. Esto con respecto al enfoque tradicional.

Ahora bien, en el enfoque planteado por Brousseau intervienen tres elementos fundamentales: estudiante,

profesor y el medio didáctico. En esta terna, el profesor es quien facilita el medio en el cual el estudiante

construye su conocimiento. Así, Situación Didáctica se refiere al conjunto de interrelaciones entre tres

sujetos: profesor-estudiante- medio didáctico. Dentro de esta dinámica tenemos otra dimensión: la Situación

A- didáctica; la cual, vamos a estudiar dentro del haz de interrelaciones planteado en la Situación Didáctica

Relación: Situación Didáctica/Situación a-didáctica

La Situación A- Didáctica es el proceso en el que, una vez que el estudiante ha recibido (o construido) el

conocimiento, se le plantea un problema fuera de lo que trabajó en la situación didáctica, que debe

afrontar y resolver sin la intervención del La Situación A- Didáctica es el proceso en el que el docente le

plantea al estudiante un problema que asemeje situaciones de la vida real que podrá abordar a través

de sus conocimientos previos, y que le permitirán generar además, hipótesis y conjeturas que asemejan

el trabajo que se realiza en una comunidad científica. En otras palabras, el estudiante se verá en una

micro-comunidad científica resolviendo situaciones sin la intervención directa del docente, con el

propósito posteriormente de institucionalizar el saber adquirido.

La Situación Didáctica, por otra parte, comprende el proceso en el cual el docente proporciona el

medio didáctico en donde el estudiante construye su conocimiento. De lo anterior se deduce

que la situación didáctica engloba las situaciones a-didácticas, de esta forma, Situación Didáctica

consiste en la interrelación de los tres sujetos que la componen.En resumen, la interacción entre los

sujetos de la Situación Didáctica acontece en el medio didáctico que el docente elaboró para que se

lleve a cabo la construcción del conocimiento (situación didáctica) y pueda el estudiante, a su vez,

afrontar aquellos problemas inscritos en esta dinámica sin la participación del docente (situación a-

didáctica).

El Contrato Didáctico

Este constituye el espacio donde se desenvuelven los elementos. El medio no representa por ello una

dimensión pasiva, sino que es “sujeto” dentro de las situaciones didácticas. El docente debe estar

atento a que el medio didáctico reúna las condiciones óptimas de modo que el estudiante pueda

elaborar su conocimiento, el cual validará en una Situación A-Didáctica a posteriori. Así el medio es para

él su lugar de sobrevivencia. Brousseau plantea la Situaciones Didácticas como una forma para

“modelar” el proceso de enseñanza-aprendizaje, de manera tal que este proceso se visualiza como un

juego para el cual el docente y el estudiante han definido o establecido reglas y acciones implícitas.

Dentro de la interrelación: profesor-estudiante-medio didáctico, hay dos conceptos que vienen a

integrarse: la transposición didáctica y el contrato didáctico.

El Contrato Didáctico refiere a la consigna establecida entre profesor y alumno, de esta forma,

comprende el conjunto de comportamientos que el profesor espera del alumno y el conjunto de

comportamientos que el alumno espera del docente. Por ejemplo, en Costa Rica se elaboro un contrato

didáctico muy sensible, el cual consiste en impartir lecciones de una manera sistemática, donde el

estudiante recibe los conceptos y repite los procedimientos. El rechazo a la reelaboración de este

contrato en nuestro país consiste en el temor a salirse del conjunto de reglas ya establecidas para el

profesor y el estudiante. Es decir, las reglas ya están definidas y es cómodo, tanto para el docente como

para el estudiante, trabajar bajo esta consigna, en la cual no acontece una construcción del

conocimiento sino un “suministro bancario” de conocimientos: depósito por parte del profesor /

repetición por parte del estudiante.

EFECTOS QUE ACONTECEN EN LA SITUACIÓN DIDÁCTICA

Dentro de las interacciones que acontecen en la Situación Didáctica, Brousseau identifica algunos

efectos que pueden inhibir o interrumpir la construcción de conocimiento que lleva a cabo el estudiante

dentro del medio didáctico que el profesor elabora. Básicamente, son actitudes que generan efectos

negativos en el proceso enseñanza- aprendizaje, o bien, en la definición del Contrato Didáctico.

Brousseau indica cuatro efectos:

Efecto Topaze

Brousseau lo identifica como aquella circunstancia en donde el estudiante llega a la solución de un

problema, pero no ha sido por sus propios medios, sino porque el profesor asume la resolución del

problema. Éste último ve las dificultades que tiene un grupo para llegar a la resolución de un problema,

por lo cual se ve en la necesidad de indicar cuál es el procedimiento que deben seguir. Con ello no

permite la construcción de conocimiento por parte de los estudiantes.

Efecto Jourdain

Consiste en la actitud que toma el profesor cuando un estudiante da una respuesta que es incorrecta,

no obstante, para no desilusionarlo le dice que “esta bien”, que es la respuesta correcta. Entonces, un

comportamiento banal del alumno es asumido como un conocimiento válido.

Deslizamiento Meta-Cognitivo

Consiste en la actitud de tomar una heurística en la resolución de un problema y asumirla como el

objeto de estudio. Bien se podría ejemplificar con el uso de Diagramas de Venn en la teoría de

conjuntos. Cuando se comenzaron a analizar los diagramas de Venn dejamos de lado lo que es la teoría

de conjuntos, pues se tomaron los primeros como la teoría en sí misma. Ese es un deslizamiento meta

cognitivo.

Uso Abusivo de la Analogía

Sabemos que en la resolución de problemas es importante el uso de la analogía pero no funciona

suplantar el estudio de una noción compleja por un caso análogo. No nos podemos quedar con los

problemas análogos, sino que debemos devolvernos al problema original. De lo contrario, incurrimos en

el uso abusivo de la analogía.

PARADOJAS EN LA SITUACIÓN DIDÁCTICA

Brousseau plantea que cuando la enseñanza acontece como la transmisión al alumno de la

responsabilidad del uso y de la construcción del saber se llega a paradojas. Una es la transmisión de

las situaciones, lo que se refiere, básicamente, al efecto Topaze. El docente desea el aprendizaje del

estudiante y este último desea aprender, por lo cual, el docente sugiere al estudiante la forma de

afrontar los problemas propuestos, acción que impide la construcción de conocimientos y un

aprendizaje significativo. Otra de las paradojas mencionadas es la inadaptación a la exactitud, que

es básicamente banalizar los conocimientos matemáticos. Es un problema incluso de transposición

didáctica en la que el docente decide perder rigor a cambio de que los estudiantes entiendan, o bien,

prefiere rigurosidad con la consecuencia inmediata de la incomprensión por parte de algunos de sus

estudiantes. En otras palabras, debe tomar la decisión en cuanto a transmitir el conocimiento sabio tal y

como se concibe, ó banalizarlo y transponerlo muchas veces, incluso incorrectamente, para que el

estudiante entienda. Esta paradoja se da en dos direcciones tanto del profesor como del estudiante.

Brousseau menciona como otra de las paradojas la inadaptación a una situación ulterior, la cual,

refiere a la situación en la que el estudiante construye de forma adecuada un conocimiento, empero,

éste podría significar un obstáculo didáctico para otro conocimiento ulterior. Entonces, en esta paradoja

el estudiante aprende bien un conocimiento, el cual será un obstáculo didáctico en otro momento.

TIPOS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS

Un ejemplo proporcionado por Brousseau: un docente dio unas botellas con yogurt a un grupo de

estudiantes y quería que dedujeran de ahí el grupo de Klein, entonces los alumnos lo que hicieron fue

dar características de la botella. Y el docente decía que esa era básicamente la definición o propiedades

de la botella de Klein y en realidad nada tenía que ver con el problema original.

La teoría de Brousseau plantea una tipología de situaciones didácticas. Cada una de ellas debería

desembocar en una situación a-didáctica, es decir, en un proceso de confrontación del estudiante ante

un problema dado, en el cual construirá su conocimiento. Dentro de las situaciones didácticas tenemos:

1) La situación acción, que consiste básicamente en que el estudiante trabaje individualmente con un

problema, aplique sus conocimientos previos y desarrolle un determinado saber. Es decir, el estudiante

individualmente interactúa con el medio didáctico, para llegar a la resolución de problemas y a la

adquisición de conocimientos. Dentro de las condiciones que una situación acción debería reunir para

desembocar en una situación a-didáctica tenemos, por ejemplo, la formulación del problema: éste debe

ser del interés del estudiante, además el tipo de pregunta formulada debe ser tal que no tenga Res

puesta inmediata, de modo que represente realmente un problema para el estudiante.

Este comportamiento debe darse sin la intervención del docente. Empero, si bien el proceso se lleva a

cabo sin la intervención del docente, no implica que éste se aísle del proceso. Pues es el docente quien

prepara el medio didáctico, plantea los problemas y enfrenta al estudiante a ese medio didáctico.

2) Ahora bien, la situación de formulación consiste en un trabajo en grupo, donde se requiere la

comunicación de los estudiantes, compartir experiencias en la construcción del conocimiento. Por lo que

en este proceso es importante el control de la comunicación de las ideas.

La situación formulación es básicamente enfrentar a un grupo de estudiantes con un problema dado. En

ese sentido hay un elemento que menciona Brousseau, esto es, la necesidad de que cada integrante del

grupo participe del proceso, es decir, que todos se vean forzados a comunicar las ideas e interactuar

con el medio didáctico.

3) Otro tipo de situación didáctica es la situación de validación, donde, una vez que los estudiantes han

interactuado de forma individual o de forma grupal con el medio didáctico, se pone a juicio de un

interlocutor el producto obtenido de esta interacción. Es decir, se valida lo que se ha trabajado, se

discute con el docente acerca del trabajo realizado para cerciorar si realmente es correcto.

Finalmente, a pesar de no constituir una situación a-didáctica,

La institucionalización del saber, representa una actividad de suma importante en el cierre de una

situación didáctica. En ésta los estudiantes ya han construido su conocimiento y, simplemente, el

docente en este punto retoma lo efectuado hasta el momento y lo formaliza, aporta observaciones y

clarifica conceptos ante los cuales en la situación a-didáctica se tuvo problemas. Es presentar los

resultados, presentar todo en orden, y todo lo que estuvo detrás de la construcción de ese conocimiento

(situaciones didácticas anteriores).

CONCLUSIÓN

¿Cuáles de estas situaciones son las situaciones que ocurren en las aulas costarricenses? ¿Se trabaja

con la situación de acción? ¿Con la de formulación? ¿Se utiliza mayormente la situación de validación o

simplemente se institucionaliza el saber? ¿Simplemente se ofrece el conocimiento acabado a nuestros

estudiantes, las fórmulas, los resultados y en este sentido, los estudiantes no tienen contacto con lo

que es la construcción de este conocimiento, o sea, con todo el proceso anterior? Sería interesante

colocar el asunto desde la perspectiva más general, es decir, ¿qué significan estos conceptos? Aquí se

utilizaron conceptos de situación didáctica, transposición didáctica, contrato didáctico. Pero ¿En qué

contexto se dan? ¿Cuál es el objetivo?

Para dar respuesta a estas preguntas, es necesario tener presente el contexto que generó de alguna

forma esta teoría y para ello debemos remontarnos a la década de los cincuenta del siglo pasado. En los

años cincuentas y sesentas se dio la famosa reforma de la matemáticas modernas. Esta reforma

potenció, entre otras cosas, una priorización de la teoría de conjuntos en todos los niveles de la

educación, podríamos decir que desde el preescolar. Un estudiante no conocía los números reales y, sin

embargo, se encontraba estudiando estructuras algebraicas complicadas. Como conclusión de la época

se obtuvo un fracaso absoluto y un rechazo que empezó a darse desde los sesentas y que en los

setentas se agudizó.

Como consecuencia inmediata de este fracaso, surgieron cuestionamientos importantes:

¿cómo construimos un nuevo mundo en la educación matemática? La primera concepción de un

profesor de matemática, es que un profesor de matemática en primaria y en secundaria era igual a un

matemático. A partir de cierto momento se toma conciencia de que es necesario construir una disciplina

diferente, que albergue a la educación matemática, y es entonces cuando se ve la necesidad de

entender las diferencias entre un matemático y un docente en matemática, y de construir un arsenal

teórico diferente.

Matemática no es Educación Matemática y viceversa, cada una tiene un objeto de estudio

diferente. ¿Cuáles son, sin embargo, los conceptos o sujetos de la educación matemática? Brousseau en

esto es fundamental: él empieza a construir nuevos conceptos y, de alguna forma, a teorizar sobre esta

disciplina. Este autor es un maestro de una escuela periférica en Francia y empieza a trabajar ahí. Estos

conceptos deben entenderse en el seno de un sistema escolar particular. ¿Cómo, entonces, debemos

entender el propósito de Brousseau al crear esta teoría? ¿Por qué surge la necesidad de dar a conocer

este conocimiento? Brousseau no plantea situaciones didácticas para favorecer una enseñanza-

aprendizaje tradicional, su voluntad es crear una teoría que permita explicar las situaciones de aula,

que potencie una adecuada interrelación entre el docente, el estudiante y un saber. En esta dirección,

el propósito finalmente es que el estudiante asuma, integre, comprenda plenamente los conocimientos

y aprenda a enfrentarse a problemas sin una intervención didáctica directa. Esas son las situaciones

que él llama a-didácticas, el objetivo fundamental de una situación didáctica.

En este punto, logramos visualizar como materia fundamental de las situaciones didácticas, la

resolución de problemas. Es decir, hay una conexión bastante estrecha con esta metodología como

estrategia favorecida o privilegiada en la perspectiva de los procesos didácticos; no se desprende del

concepto de situación didáctica, se desprende de la voluntad de Brousseau en relación con la

devolución al estudiante de la responsabilidad de su aprendizaje, a través de las situaciones a-

didácticas.

Toda esta teoría didáctica constituye conceptos que definitivamente han perneado diferentes sistemas

educativos, en especial, desde el sistema que dio le origen, es decir, el francés. Si observáramos el tipo

de textos que usan muchos colegios franceses, por ejemplo, la introducción de un tema se da a partir

de un problema, todos los textos comienzan con un problema que no se ha resuelto con la teoría que se

conoce, sino que va a obligar a construir los conceptos teóricos y, entonces, el problema interviene ahí

de una manera diferente a la que nosotros estamos acostumbrados a ver o a trabajar, en la cual el

problema aparece al final de la teoría.

No obstante, las situaciones didácticas no pueden visualizarse únicamente como una cuestión teórica,

hay muchas experiencias prácticas, y no solamente en Francia; este es uno de los temas básicos en la

discusión mundial. De esta forma, en el caso particular de Costa Rica, éste debe ser un tema para

manipularlo y trabajarlo muy bien, porque tenemos un instrumento que nos sirve, pero que debe

contextualizarse para obtener de él los resultados esperados.

La Teoría de Situaciones Didácticas : un marco para pensar y actuar en la enseñanza de la Matemática

Una teoría – sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática en nuestro caso-queda al mismo

tiempo lejos y cerca de esos ámbitos complejos, las aulas, en los que los docentes deben (intentan, desean,

pelean por) enseñar y los alumnos deben (intentan, desean, se resisten a) aprender. Lejos, porque la teoría no

es un espejo - ¿lamentablemente?- de la realidad; cerca porque ofrece herramientas para pensar sobre la

realidad. Lejos, porque la teoría no provee ni reglas, ni normas, ni prescripciones para actuar; cerca porque

profundiza nuestra comprensión sobre los hechos de las clases, al producir explicaciones que muestran una

amplia zona de matices allí donde antes veíamos un solo color. Lejos, porque en el “terreno” en que ocurre el

encuentro - ¿la batalla?, ¿ transacción? ¿la comunión? - entre alumnos y docentes acerca del saberla

matemático, acontecen hechos que la teoría no contempla; cerca porque la teoría nos deja ver cuestiones

sobre la enseñanza que no nos resultan accesibles aún participando activamente –con todo lo que ello

implica- en el día a día de las aulas. Lejos, porque en el trabajo cotidiano irrumpen imprevistos que se

escapan necesariamente a cualquier predicción teórica; cerca porque la teoría nos permite advertir que

aquello que siempre estuvo ahí, que es así, es el resultado de decisiones de los hombres y no un ordenamiento

– lógico o caprichoso, no importa- de la naturaleza.

Una teoría es un recorte, un modelo que intencionalmente selecciona algunos de los aspectos del proceso que

se quiere estudiar; por eso carece de sentido atribuirle desajustes con respecto a la realidad: no se pretende

atrapar todo, no se anuncia lo que va a ocurrir, no se garantiza que las cosas vayan a transitar de la mejor

manera posible.

Una teoría no es una cuestión de nombres. Los nombres – los conceptos que en realidad se nombran de una

cierta manera- se vuelven herramientas cuando permiten conocer nuevos asuntos que no están identificados

fuera de la teoría. Los nombres – los conceptos- cobran sentido además cuando se relacionan unos con otros

formando un cuerpo estructurado. Cuando se usan para “aplicar” nuevas palabras a aquello que ya

conocíamos, no aportan nada productivo. Lo que importa es ampliar –modificar- nuestra perspectiva de la

enseñanza y el aprendizaje. Actuar mejor a partir de ello, no es una consecuencia inmediata. Entre el saber

teórico y la práctica hay personas y hay instituciones, hay creencias, responsabilidades, exigencias, lealtades

y traiciones, ideologías... Todo ello, condiciona la escena que efectivamente sucede en las clases.

Guy Brousseau (1986, 1988 a, 1988 b, 1995, 1998, 1999), propone un modelo desde el cual pensar la

enseñanza como un proceso centrado en la producción de los conocimientos matemáticos en el ámbito

escolar. Producir conocimientos supone tanto establecer nuevas relaciones, como transformar y reorganizar

otras. Concebir la clase como un ámbito de producción, supone ya tomas de posición: respecto del

aprendizaje, de la enseñanza, del conocimiento matemático, de la relación entre el conocimiento matemático

que habita en la escuela y el que se produce fuera de ella.

Brosseau toma las hipótesis centrales de la epistemología genética de Jean Piaget como marco para modelizar

la producción de conocimientos. Sostiene al mismo tiempo que el conocimiento matemático se va

constituyendo esencialmente a partir de reconocer, abordar y resolver problemas que son generados a su vez

por otros problemas. Concibe además la matemática como un conjunto organizado de saberes producidos por

la cultura.

La concepción constructivista lleva a Brousseau a postular que el sujeto produce conocimiento como

resultado de la adaptación a un “medio” resistente con el que interactúa: “El alumno aprende adaptándose a

un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la

sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son

la prueba del aprendizaje” (1986).

A la vez, Brousseau postula que para todo conocimiento (matemático) es posible construir una situación

fundamental, que puede comunicarse sin apelar a dicho conocimiento y para la cual éste determina la

estrategia óptima (1988 a).

La concepción de la matemática como un producto de la cultura permite concebir la diferencia entre el

conocimiento que se produce en una situación particular y el saber estructurado y organizado a partir de

sucesivas interpelaciones, generalizaciones, puestas a punto, interrelaciones y descontextualizaciones de las

elaboraciones que son producto de situaciones específicas. Resulta entonces que n se puede acceder al sabero

matemático si no se dispone de los medios para insertar las relaciones producidas en la resolución de un

problema específico, en una construcción teórica que abarque dichas relaciones. En términos de Brousseau:

“un medio sin intenciones didácticas es claramente insuficiente para inducir en el alumno todos los

conocimientos culturales que se desea que él adquiera” (1986).

Los elementos centrales de la teoría quedan esbozados a partir de estas tres hipótesis generales.

El modelo de Guy Brousseau describe el proceso de producción de conocimiento se matemáticos en una

clase a partir de dos tipos de interacciones básicas: a) la interacción del alumno con una problemática que

ofrece resistencias y retroacciones que operan sobre los conocimientos matemáticos puestos en juego, y, b) la

interacción del docente con el alumno a propósito de la interacción del alumno con la problemática

matemática.

A partir de ellos postula la necesidad de un “medio” pensado y sostenido con una intencionalidad didáctica.

Las interacciones entre alumno y medio se describen a partir del concepto teórico de situación adidáctica, que

modeliza una actividad de producción de conocimiento por parte del alumno, de manera independiente de la

mediación docente. El sujeto entra ene interacción con una problemática, poniendo en juego sus propios

conocimientos, pero también modificándolos, rechazándolos o produciendo otros nuevos, a partir de las

interpretaciones que hace sobre los resultados de sus acciones (retroacciones del medio).

El concepto de medio incluye entonces tanto una problemática matemática inicial que el sujeto enfrenta,

como un conjunto de relaciones, esencialmente también matemáticas, que se van modificando a medida que

el sujeto produce conocimientos en el transcurso de la situación, transformando en consecuencia la realidad

con la que interactúa. Las interacciones entre docente y alumno a propósito de la interacción del alumno con

el medio se describen y se explican a través de la noción de contrato didáctico. Esta herramienta teórica da

cuenta de las elaboraciones con respecto a un conocimiento matemático en particular, que se producen

cuando cada uno de los interlocutores de la relación didáctica interpreta las intenciones y las expectativas –

explícitas e implícitas- del otro, en el proceso de comunicación. Cuando el docente dice, o gesticula, o

sugiere, a raíz de una intervención del alumno referida al asunto matemático que se está tratando, además de

lo dicho explícitamente, juega una intención que muchas veces se expresa entre líneas. El alumno –

justamente porque es alumno- trata de descifrar los implícitos: supone, infiere, se pregunta – y se responde-

qué quiso de decirle el docente con sus gestos. Todo eso interviene en la conceptualización que el alumno

logre alcanzar. De alguna manera, el concepto de contrato didáctico nos permite tomar conciencia de que una

parte de las ideas matemáticas de los alumnos son producto de inferencias que, por provenir de lo que el

docente expresa pero no necesariamente dice, escapan generalmente a su control. Volveremos sobre estas

cuestiones.

Brousseau señala que la necesidad teórica de un “medio” está dada por el hecho de que la relación didáctica

va a extinguirse y el alumno, en el futuro, deberá hacer frente a situaciones desprovistas de intenciones

didácticas (1986). A esto nosotros agregaríamos que un proceso de aprendizaje basado principalmente en

interacciones con el docente, sin la confrontación del alumno con una porción de la “realidad” 5 que puede

conocerse –y por lo tanto modificarse- a través de las herramientas que ofrece la matemática, deja muy poco

espacio para que el alumno confronte sus anticipaciones con las respuestas de la “realidad” con la que

interactúa, y aprenda en esa confrontación a controlarla por un lado y a reconocer el alcance de las relaciones

utilizadas, por otro. Sin las interacciones con un medio se desdibuja, desde nuestro punto de vista, tanto el

papel de los conceptos

Aprendizaje y enseñanza: Teoría de Situaciones Didácticas

La teoría que estamos describiendo, en su formulación global, incorpora también una visión propia del

aprendizaje matemático, aunque pueden identificarse planteamientos similares sobre aspectos parciales en

otras teorías. Se adopta una perspectiva piagetiana, en el sentido de que se postula que todo conocimiento se

construye por interacción constante entre el sujeto y el objeto, pero se distingue de otras teorías

constructivistas por su modo de afrontar las relaciones entre el alumno y el saber. Los contenidos son el

substrato sobre el cual se va a desarrollar la jerarquización de estructuras mentales.

Pero además, el punto de vista didáctico imprime otro sentido al estudio de las relaciones entre los

dos subsistemas (alumno - saber). El problema principal de investigación es el estudio de las

condiciones en las cuales se constituye el saber pero con el fin de su optimización, de su control y

de su reproducción en situaciones escolares. Esto obliga a conceder una importancia particular al

objeto de la interacción entre los dos subsistemas, que es precisamente la situación - problema y la

gestión por el profesor de esta interacción.

Como indica Balachef (1990a) se está reconociendo en los trabajos sobre Psicología de la

Educación Matemática la importancia crucial que presentan las relaciones entre los aspectos

situacionales, el contexto y la cultura y las conductas cognitivas de los alumnos. Esta dimensión

situacional, que subyace - explícitamente o no - en cualquier estudio sobre procesos de enseñanza,

raramente es considerada como objeto de investigación por sí misma. Pensamos que la Teoría de

Situaciones Didácticas de G. Brousseau es una iniciativa en este sentido.

Una situación didáctica es un conjunto de relaciones explícita y/o implícitamente establecidas

entre un alumno o un grupo de alumnos, algún entorno (incluyendo instrumentos o materiales) y el

profesor con un fin de permitir a los alumnos aprender - esto es, reconstruir - algún conocimiento.

Las situaciones son específicas del mismo.

Para que el alumno "construya" el conocimiento, es necesario que se interese personalmente por la

resolución del problema planteado en la situación didáctica. En este caso se dice que se ha

conseguido la devolución de la situación al alumno.

El proceso de resolución del problema planteado se compara a un juego de estrategia o a un

proceso de toma de decisiones. Existen diferentes estrategias, pero sólo algunas de ellas conducen

a la solución del problema y a la construcción por el alumno del conocimiento necesario para

hallar dicha solución. Este conocimiento es lo que se puede ganar, lo que está en juego, ("enjeu")

en la situación. De este modo, la teoría de situaciones es una teoría de aprendizaje constructiva en

la que el aprendizaje se produce mediante la resolución de problemas. Como teoría de resolución

de problemas, asigna un papel crucial al resolutor. Comparada, por ejemplo a la Teoría del

Procesamiemto de la Información que asimila el proceso de resolución con el funcionamiento de

un ordenador, asigna al resolutor el papel de un decisor que desea hallar la estrategia ganadora y

tiene la posibilidad de modificar su estrategia inicial una vez iniciado el proceso de solución.

Los obstáculos y sus tipos

El aprendizaje por adaptación al medio, implica necesariamente rupturas cognitivas,

acomodaciones, cambio de modelos implícitos (concepciones), de lenguajes, de sistemas

cognitivos. Si se obliga a un alumno o a un grupo a una progresión paso a paso, el mismo

principio de adaptación puede contrariar el rechazo, necesario, de un conocimiento inadecuado.

Las ideas transitorias resisten y persisten. Estas rupturas pueden ser previstas por el estudio directo

de las situaciones y por el indirecto de los comportamientos de los alumnos (Brousseau, 1983).

Un obstáculo es una concepción que ha sido en principio eficiente para resolver algún tipo de

problemas pero que falla cuando se aplica a otro. Debido a su éxito previo se resiste a ser

modificado o a ser rechazado: viene a ser una barrera para un aprendizaje posterior. Se revela por

medio de los errores específicos que son constantes y resistentes. Para superar tales obstáculos se

precisan situaciones didácticas diseñadas para hacer

a los alumnos conscientes de la necesidad de cambiar sus concepciones para ayudarles en

conseguirlo.

Brousseau (1983) da las siguientes características de los obstáculos:

- un obstáculo es un conocimiento, no una falta de conocimiento;

- el alumno utiliza este conocimiento para producir respuestas adaptadas en un cierto contexto que

encuentra con frecuencia;

- cuando se usa este conocimiento fuera de este contexto genera respuestas incorrectas. Una

respuesta universal exigiría un punto de vista diferente;

- el alumno resiste a las contradicciones que el obstáculo le produce y al establecimiento de un

conocimiento mejor. Es indispensable identificarlo e incorporar su rechazo en el nuevo saber;

- después de haber notado su inexactitud, continúa manifestándolo, de forma esporádica.

Observamos que, frente a la teoría psicológica que atribuye los errores de los alumnos a causas de

tipo cognitivo, se admite aquí la posibilidad de que tales errores puedan ser debidos a causas

epistemológicas y didácticas, por lo que la determinación de este tipo de causas proporciona una

primera vía de solución.

Relación con el saber: Relatividad del conocimiento respecto de las instituciones

Desde una perspectiva antropológica, la Didáctica de la Matemática sería el estudio del Hombre -

las sociedades humanas - aprendiendo y enseñando matemáticas. Para Chevallard (1989) el objeto

principal de estudio de la Didáctica de la Matemática está contituido por los diferentes tipos de

sistemas didácticos - formados por los subsistemas: enseñantes, alumnos y saber enseñado - que

existan actualmente o que puedan ser creados, por ejemplo, mediante la organización de un tipo

especial de enseñanza.

La problemática del estudio puede ser formulada, globalmente y a grandes rasgos, con la ayuda

del concepto de relación con el saber (rapport au savoir) (institucional y personal). Para este autor,

22

dado un objeto conceptual, "saber" o "conocer" dicho objeto no es un concepto absoluto, sino que

depende de la institución en que se encuentra el sujeto. Así la expresión "sabe probabilidad",

referida a una persona dada, puede ser cierta si nos referimos a las probabilidades estudiadas en la

escuela y falsa si nos referimos al mundo académico, e incluso en éste habría que diferenciar si

nos referimos al conocimiento necesario para la enseñanza en los primeros cursos de una carrera

técnica o al que sería preciso para realizar investigación teórica sobre Cálculo de Probabilidades.

Hay que distinguir pues entre relación institucional (saber referido al objeto conceptual, que se

considera aceptable dentro de una institución) y relación personal (conocimiento sobre el objeto de

una persona dada) que puede estar o no en coincidencia con el institucional para la institución de

la que forma parte. Sobre estos conceptos, se plantean dos preguntas fundamentales:

(1) ¿Cuáles son las condiciones que aseguran la viabilidad didáctica de tal elemento del saber y de

tal relación institucional y personal a este elemento del saber?

(2) ¿Cuáles son las restricciones que pueden impedir satisfacer estas condiciones?

El problema central de la Didáctica es para este autor el estudio de la relación institucional con el

saber, de sus condiciones y de sus efectos. El estudio de la relación personal es en la práctica

fundamental, pero epistemológicamente secundario.

Este programa, sin embargo, no puede tener éxito sin una toma en consideración del conjunto de

condicionantes (cognitivos, culturales, sociales, inconscientes, fisiológicos, etc.) del alumno, que

juegan o pueden jugar un papel en la formación de su relación personal con el objeto de saber en

cuestión.

CAPITULO III

IVES CHEVALLARD

1.-. Considera la terna enseñante, saber y aprendiz, en cuya interrelación se incluye a los medios y materiales

didácticos.

2.- Su preocupación radica en las modificaciones que sufre el saber sabio al realizarse la transposición

didáctica y lograrse el saber enseñado. Por tanto es importante tener presente al elaborar los materiales

didácticos cuidar el rigor matemático.

23

LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

Del saber sabio al saber enseñado

¿POR QUÉ LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA?

24

Ese tema -la transposición didáctica-, que era entonces un tema nuevo, tuvo un poder de seducción indudable.

Seducción no desprovista de ambigüedad sin duda, y en muchos casos afectada por ambivalencias. El destino

epistemológico del concepto ha trazado hasta aquí itinerarios múltiples pero ordinarios. Fue objeto de

exposiciones de seminarios y, sobre todo de un cierto número de trabajos que presentaban análisis didácticos

precisos: ése era su origen; ése es, de hecho, su justo lugar. Lo que es aún más notable es que el concepto se

difundió más allá de la comunidad de didactas de las matemáticas: lo reencontramos hoy en didáctica de la física

o incluso entre quienes cumplen una función de intervención en el sistema de educación. Pero más allá de las

modalidades de la recepción del concepto, es necesario preguntarse sobre las condiciones de su instalación en

los discursos y de su puesta en funcionamiento en la práctica. Para ello conviene partir de muy lejos: de la

posibilidad misma de la existencia de una ciencia que llamamos la didáctica de las matemáticas. Toda ciencia

debe asumir, como primera condición, pretenderse ciencia de un objeto, de un objeto real, cuya existencia es

independiente de la mirada que lo transformará en un objeto de conocimiento Es la posición materialista

mínima. En ese mismo movimiento, es preciso suponer en ese objeto un determinismo propio, “una necesidad

que la ciencia querrá descubrir”. Pero eso - que vale tanto para el psicoanálisis, por ejemplo, como para la física-

no es obvio cuando nos encontramos con ese “objeto” que pretendemos tan particular, como el sistema didáctico

o, más ampliamente, el sistema de enseñanza. Lejos de considerarlo espontáneamente como dotado de un

determinismo específico que se trataría entonces de desentrañar, no le concedemos comúnmente sino una

voluntad débil, enteramente sometida a nuestro libre arbitrio de sujetos deseantes. Y en lo que de él se nos

resiste queremos ver el simple efecto de la mala voluntad de algunos malos sujetos (los docentes,

dramáticamente conformistas, la administración, insoportablemente burocrática, los “sucesivos gobiernos”, el

ministro, etc.). Cualquiera sea el fundamento sociohistórico de una actitud tan unánime (que el investigador no

puede contentarse con condenar simplemente porque le molesta, puesto que en ese caso incurriría en la misma

falta que pretendería denunciar), es preciso advertir, sin embargo, que en este sentido nos encontramos en una

situación verdaderamente precientífica. Ha sido necesario, como muestra L. Althusser, esperar a Montesquieu

para que empezáramos a tomar en serio -epistemológicamente- el sistema político, es decir, para que le

reconociéramos la consistencia de una necesidad decisiva, para que abriéramos los ojos a la existencia de un

“espíritu” de las Leyes, que manifiesta su eficacia más allá de nuestras razonables prescripciones, nuestros

ridículos voluntarismos, nuestro vano sentimiento de poderío doctrinario sobre la cosa pública. Y a pesar de eso,

¿hay necesidad de recordarlo? Toda una parte del siglo XVIII vivió en la duradera ilusión de que podían existir

“déspotas ilustrados”, personajes imaginarios, si los hubo, hasta que Federico y Catalina*** se encargaron de

demostrar hasta qué punto esta expectativa era irreal. 25

1. ¿QUÉ ES LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA?

26

2. ¿EXISTE LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA? O LA VIGILANCIA

EPISTEMOLÓGICA

2.1. ¿Existe la transposición didáctica? ¿El objeto de enseñanza es verdaderamente diferente del

objeto de saber al que le responde?

2.2. Podemos considerar la existencia de una transposición didáctica, como proceso de

conjunto, como situaciones de creaciones didácticas de objetos (de saber y de enseñanza a la vez)

que se hacen “necesarias” por las exigencias del funcionamiento didáctico.

2.3. Entre los muchos ejemplos de ese tipo de creaciones mencionemos el “gran coseno”

(Cos) y el “gran seno” (Sen), los números complejos como matrices cuadradas de orden 2, en el

segundo ciclo de la enseñanza secundaria; la noción de operador-máquina, en la enseñanza

primaria. (Aunque sólo se consideren estos ejemplos, se observa que tales creaciones ad hoc del

sistema de enseñanza pueden correr muy diversa suerte.)

2.4. Delimitando el saber enseñado según conjuntos más vastos, podemos comprender casi

1.1. Todo proyecto social de enseñanza y de aprendizaje se constituye dialécticamente con la

identificación y la designación de contenidos de saberes como contenidos a enseñar.

1.2. Los contenidos de saberes designados como aquellos a enseñar (explícitamente: en los

programas; implícitamente: por la tradición, evolutiva, de la interpretación de los programas), en general

preexisten al movimiento que los designa como tales. Sin embargo, algunas veces (y por lo menos más a

menudo de lo que se podría creer) son verdaderas creaciones didácticas, suscitadas por las “necesidades de

la enseñanza”. (Así ocurrió, por ejemplo, en la enseñanza secundaria francesa, con el “gran coseno” y el

“gran seno”).

1.3. Un contenido de saber que ha sido designado como saber a enseñar, sufre a partir de entonces un

conjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos de

enseñanza. El “trabajo” que transforma de un objeto de saber a enseñar en un objeto de enseñanza, es

denominado la transposición didáctica.

1.4. La transformación de un contenido de saber preciso en una versión didáctica de ese objeto de

saber puede denominarse más apropiadamente “transposición didáctica stricto sensu”. Pero el estudio

científico del proceso de transposición didáctica (que es una dimensión fundamental de la didáctica de las

matemáticas) supone tener en cuenta la transposición didáctica sensu lato, representada por el esquema

®objeto de saber ® objeto a enseñar ® objeto ® de enseñanza

en el que el primer eslabón marca el paso de lo implícito a lo explícito, de la práctica a la teoría, de lo

preconstruido a lo construido.

1.5. Veamos un ejemplo que realiza el movimiento representado por el esquema de la transposición

27

como una caricatura el efecto de la transposición didáctica, en las situaciones en las que se

produce una verdadera sustitución didáctica de objeto. Sobre ese tema, Michel Verret escribe lo

siguiente:

2.5. En lo que respecta a la enseñanza de las matemáticas, tenemos (en el siglo XVII) el

testimonio - sin duda algo singular- del propio Descartes: sobre ese tema, puede consultarse, por

ejemplo, a Mesnard (1966) (especialmente pp. 6-7 y 89-91).

2.6. En el período contemporáneo, evidentemente hay que mencionar la reforma de las

matemáticas modernas, que se proyecta a partir de los años cincuenta y va a realizar, en el curso

de los años setenta, una sustitución de objeto de una amplitud quizás nunca igualada. Sobre esta

cuestión, es posible remitirse, por ejemplo, a los análisis de Chevallard 1980b.

2.7. Esa sustitución didáctica ha provocado un gran número de creaciones didácticas de

objetos. Así, en el paso de la teoría de conjuntos de los matemáticos a la teoría de conjuntos de la

escuela primaria, surgieron diversos objetos por las exigencias de la transposición didáctica: los

“diagramas de Venn” constituyen en este sentido un ejemplo sorprendente, sobre el que puede

leerse una apreciación desarrollada en Freudenthal (1993) pp. 332-335 y 341-350.

2.8. En lo que precede, la existencia de la transposición didáctica es explicada a través de

algunos de sus efectos más espectaculares (creaciones de objetos) o por medio de sus inadecuadas

disfunciones (sustituciones “patológicas” de objetos).

2.9. Pero existe otra manera de plantear el problema de la existencia de la transposición

didáctica:

una manera de plantear ese problema que participa del principio de vigilancia epistemológica, que

el didacta debe observar constantemente.

2.10. Así, cuando el docente diga: “Hoy, les he mostrado a2 - b2”, el didacta se preguntará:

“¿Cuál es este objeto de enseñanza que el docente rotula como “a2 - b2”? ¿Qué relación entabla

con el objeto matemático al que implícitamente refiere?” Allí donde el enseñante ve la identidad

del fin (el objeto designado como enseñable) y de los medios (el objeto de la enseñanza, tal como

lo ha moldeado la transposición didáctica), el didacta plantea la cuestión de la adecuación: ¿no hay

acaso conversión de objeto? Y en ese caso, ¿cuál?

2.11. La duda sistemática al respecto (“¿Se trata efectivamente del objeto cuya enseñanza se

proyectaba?'') es la señal y la condición de la ruptura epistemológica que permite al didacta

deshacerse de las evidencias y de la transparencia del universo de enseñanza que él vive en tanto

que enseñante (o al menos, en tanto el alumno que ha sido). Puesta en cuestión sistemática que lo

arranca de la ilusión de la transparencia.

28

2.12. Descubrimos entonces que, del objeto de saber al objeto de enseñanza, la distancia es,

con mucha frecuencia, inmensa. A propósito de la noción de ecuación paramétrica, véase por

ejemplo Schneider (1979); y para “a2 - b2”, véase Tonnelle (1979).

3. ¿ES BUENA O MALA LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA?

3.1. El ejercicio del principio de vigilancia en la transposición didáctica es una de las condiciones

que determinan la posibilidad de un análisis científico del sistema didáctico.

3.2. Pero al mismo tiempo, ese principio lleva dentro de sí el límite de receptibilidad, por parte del

sistema de enseñanza y sus agentes (en primerísimo lugar, los docentes), de los análisis que dicho

principio

permite producir.

3.3. En efecto, su eficacia particular consiste en iluminar la diferencia allí donde se halla negada

por

el docente; en cuestionar la identidad espontáneamente supuesta, para hacer aparecer la

inadecuación cuya

evidencia enmascara.

3.4. El docente no percibe espontáneamente la transposición -por lo menos no le concede especial

atención:

“El docente en su clase, el que elabora los programas, el que hace los manuales, cada

uno

en su ámbito, instituyen una norma didáctica que tiende a constituir un objeto de enseñanza

como

distinto del objeto al que da lugar. De ese modo, ejercen su normatividad, sin asumir la

responsabilidad -epistemológica- de este poder creador de normas. Si esperan, a veces, la

aprobación o el rechazo del especialista, sitúan esa apreciación como algo exterior a su

proyecto, y

ajeno a su lógica interna. Esta apreciación es considerada posteriormente o puede acompañar

a

dicha lógica, pero raramente se integra en ella, por imposibilidad de tomarla en cuenta en sus

29

implicaciones epistemológicas. Posee valor estético o moral, interviene en la recepción social

del

proyecto. No informa de ello a la estructura ni a los contenidos sino de una manera mimética

y en

un intento de acreditarlos frente a los poderes institucionalmente investidos.”

(Chevallard, 1978, pp. 4-5).

3.5. En el caso de que reconozca los hechos de transposición didáctica, creación o sustitución de

objetos, el enseñante tendrá la horrible sensación de que lo encontraron con las manos en la masa.

El análisis -salvaje o intencional- de la transposición didáctica es fácilmente vivido como

descubrimiento de lo que estaba oculto, y de lo que había permanecido oculto lo hacía porque era

culpable. Culpable, en este caso, en relación con la “verdad matemática”. Culpable ante el ojo del

Maestro, el matemático.

3.6. De allí que se observe una verdadera resistencia al análisis didáctico, parecida a esa

“resistencia al psicoanálisis” que, según Freud, es causada por la vejación psicológica que

engendra el rechazo (a ver, admitir, aceptar) o incluso las formas más diversas del reconocimiento

culpabilizado.

3.7. Es verdad que el didacta -o cualquier otro- puede ponerse a revolver, a descubrir, con un

fervor sádico; introducir la sospecha de la mirada policial; escandalizar y obtener cierto placer en

hacerlo. Hay una manera de utilizar el análisis didáctico que es negativa y estéril: consiste en jugar

a atemorizar (¡incluso a atemorizarse!). Para el didacta, ésa es una de las muchas maneras de no

llevar a cabo la ruptura necesaria, de ahorrarse el doloroso trabajo que debería llevarlo más allá del

bien y del mal.

3.8. Este uso negativo del análisis didáctico pretendería legitimarse como un uso crítico. El

que lo lleva a cabo, se instalaría entonces en una posición desde la que resulta fácil la objeción,

pero sus “luces no servirían para nada, excepto para cegar a su “víctima”: el profesor.

3.9. El uso “crítico”, incluso autocrítico, del análisis de la transposición didáctica es una

primera reacción, sin duda inevitable, frente al reconocimiento de la existencia de la transposición

didáctica. Para una ilustración más completa, veáse Verret 1975, pp. 182-190.

3.10. Según esa primera reacción, la transposición dídáctica es percibida como algo malo:

pecado irredimible de todo proyecto de enseñanza o, en el mejor de los casos, mal necesario.

3.11. En esa perspectiva, el valor de una transposición didáctica se podría comparar con el

reparo de la construcción histórica, en el seno de la comunidad matemática, del objeto de saber

cuya enseñanza sería, por ese medio, alcanzada. La construcción o la presentación didácticas de

30

los saberes sería una versión más o menos degradada de su génesis histórica y de su estatuto actual

(sin que hagamos referencia aquí a un hipotético isomorfismo de las génesis histórica y didáctica:

esto requeriría un trabajo adicional, más preciso). Frente a la epistemología “natural”, la

enseñanza propondría, de facto, una epistemología “artificial”, de menor valor.

3.12. Las nociones que preceden pueden permitir que se conciba el paso de una reacción

pesimista ante la transposición didáctica (concebida por ejemplo como mal necesario), a una

actitud optimista y dinámica, dispuesta a la búsqueda de una “buena” transposición didáctica.

3.13. Una actitud tal impone en principio al enseñante una cierta reserva deontológica, en virtud

de su mismo optimismo: puesto que puede existir, para tal objeto de saber, una buena

transposición didáctica, debemos en principio abstenernos de enseñar temas, incluso

“interesantes” (desde el punto de vista del enseñante), para los cuales no se dispondría (o no

todavía) de una transposición didáctica satisfactoria.

3.14. Esa consideración se halla bien expresada en la fina observación que citamos, perteneciente

a sir Richard Livingstone (The future of Education, 1941): “Se reconoce al buen maestro por el

número de temas valiosos que se abstiene de enseñar”*.

3.15. En sentido inverso y correlativamente, de la misma concepción se desprende la exigencia de

buscar buenas transposiciones de los saberes correspondientes a las demandas didácticas de la

sociedad.

3.16. Una línea de investigación que, a mi criterio, posee sobre todo la virtud de ser un “modelo

mental” por oposición al cual definirse, consistiría en intentar delimitar ventajosamente

(particularmente gracias a ciertas economías retrospectivas) la génesis sociohistórica del saber

designado para ser enseñado.

Teniendo en cuenta los logros actuales, sería posible constituir una epistemología artificial como

resumen mejorado –es decir, dejando de lado los callejones sin salida, los fracasos, pero

redesplegando toda la riqueza de desarrollos fecundos y a veces olvidados- de la construcción

histórica del saber.

3.17. Otra línea de investigación consiste en dar cuenta de la especificidad del proyecto de

construcción didáctica de los saberes, de su heterogeneidad a priori respecto de las prácticas

académicas de los saberes, de su irreductibilidad inmediata a las génesis sociohistóricas

correspondientes.

3.18. En esta hipótesis, que funda la necesidad y la legitimidad de la didáctica de las matemáticas

como campo científico, el estudio de la transposición didáctica supone el análisis de las

31

condiciones y de los marcos en los que ésta se lleva cabo. Existencialmente, esta perspectiva es la

de un optimismo moderado...

4. “OBJETOS DE SABER” Y OTROS OBJETOS

4.1. Es preciso dialectizar un poco las “definiciones” introducidas en el capítulo 1. Un

“objeto de saber” sólo llega a la existencia como tal, en el campo de conciencia de los agentes del

sistema de enseñanza, cuando su inserción en el sistema de los “objetos a enseñar” se presenta

como útil para la economía del sistema didáctico (por ejemplo, porque permitiría remediar la

obsolescencia interna o externa.

4.2. Esto no significa decir que un objeto de saber sólo se identifica y designa como objeto a

enseñar a partir del momento en que el problema didáctico de su transposición en objeto de

enseñanza estuviera (potencialmente) resuelto: el trabajo de la transposición didáctica es un

trabajo que se confirma después de la introducción didáctica del objeto de saber.

4.3. ¿Qué es un “objeto de saber”? Para el profesor de matemáticas, ciertamente hay que

incluir dentro de esta categoría las “nociones matemáticas”: por ejemplo, la adición, el círculo, la

derivación, las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes, etc.

4.4. No hay que olvidar que los “ejemplos” precedentes están dados a través de rótulos que

“tienen sentido” en la comunidad de los docentes de un mismo nivel del curso escolar. El

problema del análisis epistemológico y del análisis didáctico de lo que contienen esos rótulos está

planteado.

4.5. Junto a las “nociones matemáticas” designadas arriba se ubican nociones que podemos

llamar “paramatemáticas”: por ejemplo la noción de parámetro, la noción de ecuación, la noción

de demostración.

4.6. Las nociones paramatemáticas son nociones-herramienta de la actividad matemática:

“normalmente” no son objetos de estudio para el matemático. Las nociones matemáticas son

objetos de estudio (se estudia la noción de número, la noción de grupo, etc.) y herramientas de

estudio (¡en principio!).

4.7. Obviamente, no hay estanqueidad absoluta entre los dos campos: la noción de ecuación,

la noción de demostración son actualmente objetos matemáticos en lógica matemática. Por lo

tanto, la distinción debe referirse siempre a una práctica precisa de enseñanza (nivel en el plan de

estudios, lugar, tiempo, sector de las matemáticas, etc.).

4.8. Las nociones paramatemáticas son generalmente preconstruidas (por mostración). Las

nociones matemáticas son, más a menudo de lo que imaginamos, preconstruidas: es el caso, en el

32

primer ciclo de la enseñanza secundaria francesa actual, de la noción de polinomio (para esta

cuestión, véase Tonelle, 1979).

4.9. Sin embargo, en general, las nociones matemáticas son construidas. Su construcción

adopta la forma: -ya sea de una definición, en sentido estricto: “el círculo de centro O y radio

R es el conjunto de

puntos M del plano tales que OM = R”;

-ya sea de una “construcción”, seguida de operaciones del género: tómese Q, tómense las

series de Cauchy de Q, muéstrese que forman un anillo conmutativo y unitario, tómense las series

de Cauchy tendientes a 0, muéstrese que forman un ideal del anillo precedente, obténgase el

cociente del anillo por el ideal, muéstrese que es un cuerpo. La construcción se realiza por una

“mostración”: un número real, es un elemento de ese cuerpo.

4.10. Excepto una construcción (que es a veces una definición), las nociones matemáticas

poseen propiedades (“el cuerpo de los reales es tal que la ecuación x2 = 2 tiene al menos una

solución”). Tienen también ocasiones de uso (“para resolver la ecuación 2x = 8, tómese el

logaritmo x log 2 = log 8, lo que conduce a una ecuación de primer grado en x que sabemos

resolver”).

4.11. En relación con los objetos de saber que son las nociones matemáticas, el docente

espera que el alumno sepa (eventualmente):

-proporcionar la definición (o reconstruirla);

-proporcionar las propiedades (“principales”), demostrarlas;

-reconocer un cierto número de ocasiones de uso;

-etc.

4.12. Solamente esos objetos de saber son en sentido estricto (candidatos para ser) objetos de

enseñanza. Las nociones paramatemáticas, por ejemplo, no constituyen el objeto de una

enseñanza: son objetos de saber “auxiliares”, necesarios para la enseñanza (y el aprendizaje) de los

objetos matemáticos propiamente dichos. Deben ser “aprendidos” (o mejor “conocidos”), pero no

son “enseñados” (según el plan de enseñanza de las nociones matemáticas).

4.13. Solamente las nociones matemáticas constituyen el objeto de una evaluación directa. El

docente pedirá al alumno, por ejemplo, “resolver la ecuación x2 - 8x + 9 = 0”. Las nociones

paramatemáticas son normativamente consideradas como excluidas de la evaluación directa.

Cuando el alumno que no sepa responder a la consigna: “Resolver y discutir la ecuación x2 - lx +

(l + 1) = 0”, el profesor podrá concluir que el alumno “no comprendió la noción de parámetro”. En

otro nivel, dirá por ejemplo que el alumno “no comprendió la noción de demostración”. El docente

33

de matemáticas que en una fiesta mundana encuentra un invitado que le diga: “¡Ah, usted es profe

de matemáticas! Nunca comprendí por qué ax2 + bx + c igual a cero”; podrá concluir que esa

persona “no coniprendió la noción de ecuación”...

4.14. Las nociones paramatemáticas (y a fortiori, las nociones matemáticas) son objetos de

los cuales el docente toma conciencia, a los que da un nombre (“parámetro”, “ecuación”,

“demostración”, etc.):

en resumen, objetos que entran en su campo de percepción didáctica.

4.15. Existe un estrato más profundo de “nociones”, movilizadas implícitamente por el

contrato didáctico. Para ellas, he propuesto el calificativo de “protomatemáticas”.

4.16. En 4.11. mencionamos como desempeño del alumno esperada por el profesor, el

reconocimiento de ciertas ocasiones de uso de las nociones matemáticas consideradas como

herramientas de la actividad matemática. Por ejemplo, en el cuarto curso, el profesor esperará que

ante la consigna:

“Factorice 4x2 - 36y2”

el alumno se dé cuenta de que debe aplicar el esquema de factorización a2 - b2 = (a + b) (a - b);

pero ante la

consigna:

“Factorice 4x2 -36x”

el alumno deberá reconocer una factorización “simple” (que se han estudiado antes, con ayuda de

una sola

distributividad, antes del estudio de las “identidades notables”):

4x2 - 36x = 4x (x - 9).

4.17. El desempeño del alumno puede considerarse muestra de una competencia o capacidad

“subyacente” y “general”.

4.18. En la enseñanza “habitual”, esta interpretación, como indicamos en 4.13., será

formulada sobre todo negativamente: en relación con el alumno que fracasa casi sistemáticamente

en las factorizaciones y en cuya dificultad para reconocer la situación de factorización presentada

(para seguir el ejemplo presentado arriba), el profesor sitúa la causa del fracaso; así se terminará

afirmando que carece de la capacidad para reconocer las “formas” de expresión algebraicas.

4.19. Hay que notar, de todos modos, que en raras ocasiones, los docentes utilizan

explícitamente la “capacidad de reconocimiento” de sus alumnos: en cuarto curso muchos

profesores, con el propósito de preparar a sus alumnos para la factorización, los entrenan para

“reconocer los cuadrados”, por ejemplo. 4.20. La identificación de las “capacidades” por

34

parte del docente (de la capacidad de “reconocimiento”, por ejemplo) se mantiene generalmente

como “subliminal”, salvo cuando se diagnostican negativamente, como ya se dijo. Contrariamente,

se consideran positivamente según ciertos puntos de vista sobre el proyecto social de enseñanza,

los cuales son distintos los de los del enseñante stricto sensu.

4.21. Por encima del acto de enseñanza, también está el punto de vista de la organización del

acto de enseñanza según las normas de la pedagogía por objetivos. Esta se ocupa precisamente de

definir las “capacidades” que el alumno debe poder aplicar exitosamente en relación con tal o cual

enseñanza.

4.22. Es así que, para tomar aquí un solo ejemplo, el National Council of Teachers (en abril

de 1980), presentando sus Recommendations for School Mathematics of the 1980s y considerando

como primera recomendación el hecho de que “la resolución de problemas constituye el foco de

las matemáticas escolares en los años ochenta”, se considera obligado a precisar que:

“Los programas escolares de matemáticas deben proporcionar experiencia a los alumnos en

las aplicaciones de las matemáticas, en la selección y adecuación de estrategias a situaciones

concretas. Los alumnos deben aprender a

-formular preguntas claves;

-analizar y conceptualizar problemas;

-definir el problema y el objetivo;

-descubrir pautas y similaridades;

-buscar los datos apropiados;

-experimentar;

-transferir habilidades y estrategias a nuevas situaciones;

-utilizar sus conocimientos de base para aplicar las matemáticas.”

La “capacidad de reconocimiento” está aquí formulada explícitamente: “Descubrir pautas y

similaridades”.*

4.23. Por debajo del acto de enseñanza, o paralelo a éste, se encuentra el punto de vista,

constituido previamente al de la pedagogía por objetivos, de la orientación escolar; su técnica de

los tests debe permitir evaluar la competencia (“aptitudes”, en el antigrio vocabulario;

“capacidades”, en el actual), a través de la evaluación del desempeño.

4.24. Es por eso que numerosos tests suponen la utilización de la capacidad de

“reconocimiento”, es decir, del manejo de la díaléctica semejanza/diferencia: véase el Documento

N° 1.

35

4.25. Numerosas “capacidades” así identificadas quedan fuera del universo del docente,

especialmente porque no pueden, como tales (es decir, en su generalidad), constituir el objeto de

una enseñanza. El docente puede entrenar a sus alumnos para reconocer (por ejemplo) una

diferencia de dos cuadrados; sin embargo no existe una enseñanza cuyo objeto sea “la dialéctica

semejanza/diferencia”. Se puede concebir una enseñanza de ese tipo, pero su objetivo no sería la

adquisición de esa capacidad. Nos enseñaría, por ejemplo las condiciones históricas de emergencia

y de racionalización de la dialéctica semejanza/diferencia en el pensamiento occidental, a través

del desarrollo de la estadística, etc. En general, si esas capacidades, su adquisición y desarrollo

pueden ser eventualmente designados como objetivos de enseñanza, éstas no pueden, empero,

considerarse parte del conjunto de los objetos de enseñanza.

4.26. De todos modos, el ejercicio de tales capacidades no se realiza en la enseñanza sino en

contextos de situación específicos. O, al menos, sólo puede ser objeto de un reconocimiento (por

parte del profesor, por parte del alumno) en esos contextos. Ese reconocimiento está sometido al

filtro de percepción definido por el contrato didáctico y su jerarquía de valores. Para el docente es

“interesante” que el alumno sepa reconocer una diferencia de dos cuadrados; le parecerá

“matemáticamente carente de interés” que también sepa distinguir el conejo intruso dentro de una

serie de aves1 (por supuesto, hay allí un problema de “nivel”, pero hay tests análogos mucho

menos evidentes, incluso para un adulto...).

4.27. La utilización de las “capacidades” debe pasar, efectivamente, por el filtro del contrato

didáctico. De ese modo, el alumno que ante la consigna:

“Factorice 4x2 - 36x”

respondiera:

“4x2 - 36x = 4x2 - 2 (2 . 9) x + 92 - 92

= (2x – 9)2 - 92 = (2x - 9 + 9) (2x - 9 - 9)

= 2x (2x – 18)”

daría una respuesta “falsa” (por dos razones: 1. No ha hecho lo que se esperaba de él; 2. La

respuesta “justa”

es 4x (x - 9). De ese modo, habría demostrado:

-una capacidad poco ordinaria (si es un alumno de cuarto curso) para reconocer formas

algebraicas;

-una incapacidad para reconocer el tipo de situación-problema al cual se le ha enfrentado (su

comportamiento de respuesta es no pertinente en relación con el contrato didáctico tan

pacientemente elaborado por el docente).

36

4.28. Se trata de ese género de obstáculo que he denominado “dificultad protomatemática”.

Una dificultad de ese tipo puede surgir de la falta de dominio de una capacidad requerida por el

contrato didáctico para su buen entendimiento. El dominio en cuestión sería entonces un

prerrequisito del contrato didáctico. Su utilización pertinente, en última instancia, sigue estando de

todos modos sujeto a las cláusulas del contrato.

4.29. Las nociones protomatemáticas, por ejemplo la noción de “pattern”, se sitúan en un

nivel implícito más profundo (para el docente, para el alumno). Ese carácter implícito se expresa

en el contrato didáctico por el hecho de que estas nociones son obvias -salvo, precisamente,

cuando se produce dificultad protomatemática y ruptura del contrato.

4.30. Nociones matemáticas, nociones paramatemáticas, nociones protomatemáticas

constituyen estratos cada vez más profundos del funcionamiento didáctico del saber. Su

consideración diferencial es necesaria para el análisis didáctico: por eso el análisis de la

transposición didáctica de cualquier noción matemática (por ejemplo la identidad a2 - b2 = (a + b)

(a - b)) supone la consideración de nociones paramatemáticas (por ejemplo, las nociones de

factorización y de simplificación), las que a su vez deben ser consideradas a la luz de ciertas

nociones protomatemáticas da noción de “patrón”, de “simplicidad”, etc.).

4.31. A veces es posible llevar una noción de un nivel dado a un nivel superior de

explicitación. Es así como (tal cual se ha dicho ya), las nociones paramatemáticas de ecuación o

de demostración pueden ser objeto de definiciones precisas en lógica matemática. Es así también

como cualquier noción protomatemática puede volverse una noción paramatemática, aflorando a

la superficie del discurso didáctico explícito. Por ejemplo, en el estudio de las “identidades

notables”, ciertos manuales y ciertos profesores, introducen una “fórmula” paramatemática

correspondiente al “patrón” protomatemático.

4.32. Pero hay que destacar especialmente que, en relación con las ambiciones del análisis

didáctico, ese proceso de explicitación reduce el “sentido” didáctico de los objetos que transforma

y que, por tanto, si puede arrojar luz sobre su significación, es principalmente mostrando que ésta

no se reduce, en el sistema didactico, a lo que puede condensarse en el discurso didáctico o

matemático.

4.33. La noción paramatemática de “factorización”, tal como funciona en la enseñanza de

álgebra en el primer ciclo del secundario, no puede adecuarse a una noción matemática strictu

sensu (véase Tonelle

1979, capítulo 4, parágrafos 4.1.2). Esta noción sólo tiene sentido en el marco, sobredeterminado e

indeterminado a la vez (según una observación más general de P. Bourdieu), del código por el cual

37

se diseña una cierta lógica práctica. Y, como señala también Bourdieu, “la practica no implica -o

excluye- el dominio de la lógica que en ella se expresa”.

“Cuanto más distante es la forma escolar del contenido cuya enseñanza procura, más

probable es esta conversión de objeto. La historia nos proporciona al menos dos grandes ejemplos

de ello: la transformación de la literatura y de la magia adivinatoria en sus figuras escolares en la

escuela confuciana, la transformación de la metafísica cristiana en filosofía escolar en la

Universidad Escolástica, transposiciones de las que encontramos un equivalente en la enseñanza

secundaria francesa en el siglo XVII, con la sustitución de la enseñanza del latín escolar por la

enseñanza del latín clásico; en el siglo XIX, con la sustitución de la enseñanza del espiritualismo

universitario por la enseñanza de la filosofía a secas.” (Verret, 1975, pp. 177-178).38

Transposición didáctica

La relatividad del saber a la institución en que se presenta lleva al concepto de transposición

didáctica, (Chevallard, 1985), el cual se refiere a la adaptación del conocimiento matemático para

transformarlo en conocimiento para ser enseñado.

En una primera fase de la transposición se pasa del saber matemático al saber a enseñar. Se pasa

de la descripción de los empleos de la noción a la descripción de la misma noción y la economía

que supone para la organización del saber. La constitución de un texto para fines didácticos,

reduce así la dialéctica, esencial al funcionamiento del concepto, de los problemas y los útiles

matemáticos. Hay una descontextualización del concepto. También se asiste a un fenómeno de

deshistorización, por el cual el saber toma el aspecto de una realidad ahistórica, intemporal, que se

impone por si misma, que, no teniendo productor, no puede ser contestada en su origen, utilidad o

pertinencia.

Una vez realizada la introducción del concepto, el funcionamiento didáctico va, progresivamente,

a apoderarse de él para hacer "algo", que no tiene por qué tener relación con los móviles de

quienes han concebido el programa. Su inmersión en el saber enseñado va a permitir finalmente su

recontextualización. Pero ésta no conseguirá, en general, sobre todo en los primeros niveles de

enseñanza, ni reconstituir el modo de existencia original de la noción, ni llenar todas y únicamente

las funciones para las cuales se había decidido introducirlo.

Por ejemplo, y refiriéndonos el tema de la Probabilidad condicional, es frecuente en los textos de

Bachillerato encontrar un nuevo concepto relacionado con ella que es inexistente en el Cálculo de

Probabilidades a nivel académico. Nos referimos al denominado "suceso condicionado", del que

pueden verse en numerosos textos definiciones similares a la siguiente:

"Al suceso consistente en que se cumpla B habiéndose cumplido A, se le llama suceso B

condicionado a la verificación del suceso A y se escribe B/A"

Sin embargo, el álgebra de sucesos es siempre isomorfa a un álgebra de conjuntos y las únicas

operaciones posibles en un álgebra de conjuntos son la usuales de unión, intersección y diferencia.

El estudio de la transposición didáctica se preocupa, entre otras cuestiones, de detectar y analizar

esta clase de diferencias y hallar las causas por las cuales se han producido, con objeto de

subsanarlas y evitar que la enseñanza transmita significados inadecuados sobre los objetos

matemáticos.

Otras nociones teóricas

Además de las nociones anteriores, otros conceptos teóricos de interés son los siguientes:

39

Contrato didáctico

El contrato didáctico es un conjunto de reglas - con frecuencia no enunciadas explícitamente - que

organizan las relaciones entre el contenido enseñado, los alumnos y el profesor dentro de la clase

de matemáticas (Brousseau, 1986).

Como ejemplo de este fenómeno se suele citar la investigación de Stella Baruk referida a la

contestación de una amplia muestra de alumnos al problema denominado"la edad del capitán". Un

enunciado típico de este problema es el siguiente:

Un barco mide 37 metros de largo y 5 de ancho. ¿Cuál es la edad del capitán?

Preguntados sobre este problema, la mayoría de los niños en los primeros años escolares responde

que 42 o 32 años. Si se cambia el enunciado, incluyendo otros datos o variando los números se da

como respuesta un valor que pueda obtenerse mediante operaciones aritméticas con los datos del

enunciado. Son muy pocos los casos de niños que contestan que no tiene sentido la pregunta.

El interés de esta noción se debe a que muchos estudiantes responden a una cuestión, no según un

razonamiento matemático esperado, sino como consecuencia de un proceso de decodificación de

las convenciones didácticas implícitas. Los estudios sobre el contrato didáctico y sus relaciones

con los procesos de aprendizaje son esenciales ya que lo que está en juego es el significado real

del conocimiento construido por los alumnos.

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BIBLIOGRAFÍA

• Bachelard, G. La formación del Espíritu Científico. Editorial Agros. Buenos Aires, Argentina. 1990.

• Bishop, A. Enculturación Matemática. Temas de Educación Paidós. 1999.

• Brousseau, G. Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en didactiquedes mathématiques, volumen 7. 1993.

• Chevallard, Ives; Bosch, Mariana; Gascón, Joseph. Estudiar Matemáticas: El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Editorial Orsori.

• Chevallard, I. La Transposición Didáctica. Editorial Aique. 1985.

• Duval, Raymond. Semiosis y pensamiento humano: registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Universidad del Valle, Instituto de Educación Pedagógica. Meter Lang. S.A. Editions scientifiques européennes, Francia. 1999.

• Ríbnikov, K. Historia de la Matemática. Editorial Mir, Moscú. 1987

• Rico, Luis. “La educación matemática en la enseñanza secundaria”. Editorial H. España. 1997.

• Sierpinska, Anna. Razonamiento analítico versus razonamiento sintético, cómo un problema de comunicación se convierte en un problema de significado. Investigación y Didáctica de las Matemáticas. CIDE, Madrid, España, 1996.

• Vergnaud, Gerard. Aprendizajes y Didácticas ¿Qué hay de nuevo?. Editorial Argentina, 1997.

Vygotski. L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Grijalbo Mondadori, Barcelona. 1996.

41

EL CONCEPTO DE FORMACIÓN EN EL PENSAMIENTO DE

GASTÓN BACHELARD

Dr. Roberto Castillo Rojas

La palabra formación debe su origen a la teoría de materia y forma de Aristóteles. La

teoría tiene que ver con una explicación de la totalidad de lo real, entendida como síntesis entre

materia y forma, donde la materia sería aquello de lo cual están hechas las cosas, y la forma sería

el contorno de esa materia que la hace existir propiamente hablando. Forma es siempre lo que

modela una materia y la hace aparecer como cosa o como fenómeno perceptible. El tomar forma

de la materia es lo que hace que la cosa sea, que propiamente exista y, que a la vez sea perceptible

y cognoscible. El cambio, problema que siempre inquietó a los griegos antiguos, se explica así

como el pasar de una forma a otra de las cosas. La realidad entera está siempre en proceso de

transformación, es decir, en proceso de cambio de una forma a otra. Este concepto de la

Antigüedad Clásica, primariamente ontológico, se revierte sobre el sujeto y deviene antropológico

con sentido fuertemente pedagógico. El sujeto, es también explicado como síntesis entre materia y

forma, donde materia es cuerpo, pasión, instinto que por la fuerza de una forma de carácter

racional, deviene humano. De modo que la vida del ser humano entendida desde el punto de vista

pedagógico es ante todo el adquirir la forma racional construida por la cultura. He aquí el concepto

de formación que ha dominado en Occidente hasta nuestros días.

Es así cómo la Antigüedad nos lega el pleno significado de Paideia, donde el formarse es

sobre todo un proceso socio-racional, a partir del cual el sujeto informe primario adquiere las

formas racionales que le permiten alcanzar su madurez racional, o en palabras de Platón: la

sofrosine o, sabiduría, que no es otra cosa que el equilibrio de las tres almas que constituyen el ser

de la persona humana: la vegetativa, la irascible y la racional. La imagen del ser humano sabio es

entonces, aquel que ha logrado dominar racionalmente su alma vegetativa, lugar de todos sus

impulsos bajos de nutrición y reproducción. Esta imagen del ser humano, racional, dueño de sí

mismo o, asceta de la vida como lo denomina Max Scheler o, en términos freudianos: reprimido,

se constituye en el paradigma de lo que debe entenderse como formación en la tradición

Occidental.

De ahí las diatribas que el temprano Nietzsche dirige a Sócrates, por ser causa, según él, de

la aniquilación del ser humano. Formación, tal como la ha entendido Occidente, a partir de

Sócrates, es la negación de la existencia temporal humana, de la vida misma, en cuanto es alienada

de sus propios impulsos y por la ilusión de la no-vida de ultratumba. Dice Nietzsche: “…

42

comprobamos también una “ilusión” profundamente significativa, encarnada por primera vez en la

persona de Sócrates; esta inquebrantable convicción de que el pensamiento, por el hilo de Ariadna

de la causalidad, puede penetrar hasta los más recónditos abismos del ser, y tiene el poder no sólo

de conocer, sino también de “reformar” la existencia. Esta noble ilusión metafísica es el instinto

propio de la ciencia, que la conduce sin cesar a sus límites naturales, en los cuales tiene que

transformarse en arte, fin real hacia el cual tiende este instinto” (Nietzsche, F.: 1980, 91).

Propone así una nueva moral, de la misma manera que la obra de arte es síntesis entre el espíritu

dionisíaco, o el conjunto de sus impulsos primitivos y el espíritu apolíneo, o el conjunto de las

formas racio-culturales. El ser humano ha de entenderse entonces, de modo integral: sus impulsos

de vida deben aparecer en su existencia sin la acción negadora de la razón represiva.

Este concepto de formación está íntimamente relacionado con la epistemología, con el

conocimiento. El afán de conocer es sobre todo el intento de alcanzar la verdad y la verdad es de

carácter racional. La racionalidad es el entramado íntimo del mundo y la constitución esencial de

la subjetividad. El ser es igual al pensar, y es Hegel quien pone en movimiento dialéctico la

anterior aseveración parmenídea.

Nietzsche, uno de los pensadores de la sospecha según expresión de Paul Ricoeur, pone

precisamente en sospecha la razón occidental, y ante la predicción hegeliana de la muerte del arte,

propone la actividad artística como sustitutiva de la ciencia, hija primigenia de la razón. En la

Gaya Ciencia propone: “Nosotros que no encerramos en nuestra conciencia más que las huellas de

las últimas escenas de reconciliación, los definitivos arreglos de cuentas de este largo proceso, nos

figuramos por consiguiente, que “intelligere” es alguna cosa conciliatoria, justa, buena; algo

esencialmente opuesto a los instintos, mientras que en realidad no es más que una cierta relación

de los instintos entre sí. Durante largo tiempo se ha considerado al pensamiento conciente como el

pensamiento por excelencia; sólo ahora comenzamos a entrever la verdad, es decir, que la mayor

parte de nuestra actividad intelectual se realiza de una manera inconsciente y sin que nos demos

cuenta; pero yo creo que esos impulsos que luchan entre sí sabrán muy bien hacerse perceptibles y

hacerse daño ‘recíprocamente’.” (Nietzsche, F.: 2003, 333). He aquí planteado de manera muy

clara el concepto del inconsciente, antes de su formulación científica por parte de Sigmund Freud.

Los sueños, esa vía principal de manifestación del inconsciente se convierte en un poderoso

destructor del abismo entre los humanos; no obstante no queda claro, si es lo suficientemente

poderoso como para que nos acerque a la realidad, parece más bien que los sueños, la ficción

parteros del arte nos alejan de la presencia de la verdad.

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El concepto de formación tal como se había venido planteando en la tradición Occidental

recibe su golpe de gracia por parte de Nietzsche. Formación ya no es adquirir la forma racio-

cultural, que suprime, reprime lo inconsciente, obscuro e impulsivo, sino una forma que integra a

la existencia los impulsos vitales negados primariamente. Este es el verdadero significado del

legado de la teoría de Nietzsche sobre el super hombre y la muerte de Dios; es la recuperación de

la dimensión mundana y vital del ser humano, a través del pensamiento metafórico del arte.

Gastón Bachelard, pensador de quien nos ocupamos en esta conferencia, despliega su

acción de pensamiento entre las dos dimensiones del ser del hombre: la científica y la de la

imaginación creadora. Bachelard, profesor de Historia de las Ciencias en la Sorbona de París,

cátedra que hereda de Abel Rey, se mueve, en un primer momento, en el mundo de la filosofía de

la ciencia y de la historia de la ciencia; su preocupación central, en un primer momento es la del

científico que quiere acercarse a la verdad, mediante sucesivas rectificaciones y purificaciones del

sujeto. La filosofía del no, El racionalismo aplicado, La formación del espíritu científico, El nuevo

espíritu científico son los títulos de sus obras que dan cuenta de una epistemología crítica, que

desconfía tanto del hecho puro como de las concepciones trascendentales del sujeto cognoscente.

Son obras que expresan un pensamiento crítico, revolucionario. La noción de obstáculo

epistemológico, de comunidad científica son aportes indudables a la epistemología del siglo XX, a

pesar que tiene que compartir el mérito de su formulación con Thomas Kuhn. Sin embargo, las

nociones de ambos no son idénticas.

Para Bachelard, el fenómeno científico es una construcción del sujeto, la cual se lleva a

cabo en una confrontación dialéctica de los hechos percibidos con las concepciones racionales con

pretensiones apriorísticas. El conocimiento científico se construye a golpe de continuas

transformaciones del sujeto generadas en su encuentro con lo real. De manera que la acción del

sujeto habrá de comprenderse como una negación constante de sus impulsos más pertinaces.

Bachelard se alza contra la tradición realista clásica que considera al objeto como una

substancia, en el sentido aristotélico del término, que ve la acción del conocimiento como una

mera adecuación de la razón a la racionalidad inmanente del mundo y contra el racionalismo

ingenuo que considera el conocimiento como el resultado, al contrario del realismo, de la

adecuación del mundo a los conceptos trancendentales del sujeto absoluto. Bachelard quiere

encontrar el equilibrio entre estas dos tendencias.

Su preocupación primera, como la de cualquier científico, es la de encontrar el equilibrio

entre las fuerzas vitales del sujeto y la opacidad del objeto. Pero, ¿cómo lograr ese equilibrio si

habría que reconocer que esas fuerzas vitales son precisamente las enemigas del conocimiento

44

científico? ¿Cómo resuelve Bachelard esta contradicción? La respuesta a esta pregunta está

íntimamente ligada al concepto de formación. Ciertamente la formación del sujeto coincide con el

encuentro con la verdad científica. No obstante formación aquí significa más bien deconstrucción

del sujeto; más que formarse el sujeto debe más bien de-formarse, de-construirse a sí mismo para

encontrar la verdad. Veamos cómo se plantea la cuestión en el pensamiento del mismo Bachelard.

La imaginación empieza a inquietar al profesor de Historia de las Ciencias de la Sorbona.

Imaginar, en un primer momento aparece, en el sentido aristotélico del término, como la facultad

de reproducir las imágenes de la percepción, función aparentemente pasiva; y en un segundo

momento resurge como facultad primera del espíritu humano, facultad espontánea, de manera que

toda imagen deja de ser una cosa para transformarse en una actividad pura del espíritu. Sin

embargo, esta actividad nos sumerge dentro del mundo de los sueños atávicos del sujeto, en el

mundo del inconsciente, trasfondo de donde surgen constantemente todos nuestros traumas

primigenios. Es Freud quien descubre la ligazón secreta entre la imaginación y el inconsciente:

imaginar es construir la imagen ficticia, sustitutiva del impulso frustrado. El arte sería así, el

cumplimiento en ficción de las frustraciones profundas de una sociedad que nos roba nuestra

vitalidad, nuestra vida personal, para convertirla en energía cultural. He aquí, en síntesis la tesis

que Freud expone magistralmente en su ensayo de 1930: El malestar en la Cultura. No vivimos

entonces, el goce directo del objeto del deseo, sino indirectamente la creación imaginaria de un

objeto ficticio, vaporoso, que emerge en el arte. De este modo, el arte es el irreal sublimado de

nuestros instintos. La imagen poética arraigada en los más profundos impulsos vitales del ser

humano se constituye en un obstáculo para el pleno desarrollo del conocimiento.

Dentro de la teoría del conocimiento, la imagen ha sido generalmente considerada, sea

como contenido inerte del pensamiento puro o como obstáculo epistemológico. En los dos casos,

es considerada como un ente formal demasiado ligado o a la percepción, o a la ficción. O es una

sombra del mundo sensible, mera silueta borrosa del ser, o producto subjetivo que da cuenta de la

tendencia de evasión de lo real del sujeto.

En Bachelard, la ambigüedad de la imaginación se mantiene en su pensamiento con

insistencia. De un lado es obstáculo para el conocimiento racional y de otro, si es bien empleada,

es decir después del pensamiento y no antes, podrá constituirse en un instrumento poderoso del

conocimiento científico. Cuando Bachelard nos habla del concepto de formación, en un primer

momento, está cerca de la tradición occidental filosófico-racional. No obstante, reconoce en la

imaginación la espontaneidad que Kant había reconocido a la razón y Husserl a la conciencia. Y

en este caso, imaginar en tanto y cuanto facultad mayor del espíritu humano, constituye la función

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específica humana que produce tanto el saber científico como la representación artística. La

imaginación no es la capacidad de reproducir la realidad, sino de crearla. Constituye lo que Sartre

había denominado la función de lo irreal, tan necesaria como la función de lo real para mantener el

equilibrio del psiquismo humano. Formar, no sería entonces, sólo adquirir la forma racio-cultural,

sino reconocer lo que la tradición le había negado al ser humano: su fuerza vital. En última

instancia, conocer necesita tanto de la capacidad de acercarse a lo real, sin prejuicios, como la

capacidad de alejarse de lo real, mediante la imaginación.

François Pire, crítico del pensamiento de Bachelard, dice en su obra De la imaginación

poética en la obra de Bachelard (1967) que el acercamiento del autor al problema de lo

imaginario se lleva a cabo en tres perspectivas distintas: la perspectiva anulada, la deteminista y la

maravillada. Estas tres perspectivas resuelven de manera cronológica, la ambigüedad sobre el

abordaje bachelardiano a lo imaginario.

La primera perspectiva, la anulada, es la perspectiva que tiene aun a la imaginación como

“maestra de error y de falsedad” en el decir de Santa Teresa. A esta perspectiva corresponden

aquellas obras donde el autor trata de conocer cuáles son los obstáculos del conocimiento objetivo,

donde el empleo del psicoanálisis juega un papel decisivo. El psicoanálisis freudiano le sirve para

descubrir detrás de la sublimación científica, los deseos no confesados que pueblan todavía las

construcciones racionales de la ciencia y que constituye precisamente el obstáculo epistemológico.

En la segunda, la determinista, el autor trata de conocer el origen de las imágenes que

aparecen con demasiada frecuencia en las construcciones científicas; su mirada racional descubre

las huellas persistentes de la presencia poética en el cuerpo mismo de la ciencia. Su búsqueda, su

acecho constante de las imágenes subjetivas, lo convierten, por algún descuido, en presa de una

imaginación poética. Bachelard, de historiador de las ciencias, se convierte en fenomenólogo de lo

imaginario. Y lleva una vida doble, amante de la ciencia crítica, depurada de los obstáculos

epistemológicos y, a la vez apasionado de las imágenes poéticas, lo que le vale que Granger,

profesor de filosofía de ciencias en la Universida de Aix-en-Provence, le denomine Janus Bifrons,

ese monstruo mitológico que poseía dos cabezas (Granger, G.: 1984). Frente a la ciencia, el

psicoanálisis llega a ser un método de explicación de “… una sublimación del conocimiento

científico” (Bachelard, G.: 1939). El psicoanális es un instrumento poderoso de purificación de los

conceptos de la ciencia. Sin embargo, desde la perspectiva maravillada, desde la perspectiva del

arte, el psicoanálisis no hace más que dar una explicación exterior y aleatoria que no alcanza la

esencia del fenómeno imaginario.

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Es así que la última etapa del pensamiento de nuestro autor, la maravillada, intenta

encontrar, como Nietszche lo había hecho ya, la emergencia primera de las imágenes poéticas.

Estas etapas explicarían las contradicciones de un pensamiento que se rehace, luchando contra las

convicciones ciegas, contra la identificación de la verdad con la razón matemática y contra el

prejuicio filosófico occidental contra el arte, inaugurado por Platón y culminado por Hegel.

En su libro La formación del espíritu científico Bachelard aborda la tarea de descubrir la

presencia de lo irracional que anida aún en las grandes construcciones científicas contemporáneas.

El psicoanálisis aparece como una herramienta necesaria para el epistemólogo, para limpiar el

edificio de la ciencia de prejuicios, imágenes y convicciones subjetivas.

La historia de la ciencia está llena de ejemplos de lo anterior. En la historia de ciencia no

existe la evolución lineal hacia delante, sino continuas rectificaciones y cambios radicales de

dirección. La ciencia avanza en el reconocimiento de sus errores. La historia de la alquimia es un

buen ejemplo de lo anterior. La alquimia se deconstruye, en el buen sentido de la palabra, a través

de la búsqueda de una quimera, de un sueño, donde la escala subjetiva de perfección es tomada

como medida objetiva. Nos dice Bachelard: “La naturaleza por el alquimista está animada por un

finalismo inmaterial. Si nada interrumpe los esfuerzos normales de todo metal, la naturaleza hará

oro (…). El oro es el gran futuro mineral, es la esperanza suprema de la materia, el fruto de largos

esfuerzos del reino de la solidez íntima (…). El oro es pues estimado alquímicamente en un juicio

de valor substancial y de valor cósmico.” (Bachelard, G.: 1980)

Es así cómo la visón metafórica de una finalidad material del universo ha condicionado la

experimentación y la observación. De acuerdo con esta visión mitopoiética, el universo entero

estaría animado por un movimiento interno de perfección geológica, donde el oro, el metal más

noble, se constituye en el fin natural de todas las cosas. La piedra filosofal contiene el secreto de la

transformación universal y su posesión.

La alquimia no es más que un ejemplo del poder de la ensoñación que no ha cesado de

actuar en el pensamiento objetivo hasta nuestros días. El origen de la ensoñación radica en un

inconsciente del espíritu científico. Dice Bachelard: “Estamos tentados a excusar todas estas

creencias ingenuas, porque las tomamos como simples metáforas. Olvidamos que ellas han

correspondido, en un primer momento, a realidades psicológicas. No obstante, las metáforas no

están completamente desrealizadas, desconcretizadas. Queda un poco de lo concreto en ciertas

definiciones sanamente abstractas” (Bachelard, G.: 1981).

La experiencia científica desde que el sujeto está comprometido con ella, se convierte en

una experiencia íntima. Así como el alquimista encuentra en el mundo la confirmación de la

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aspiraciones morales de su ser íntimo, el científico contemporáneo no está exento de teñir lo real

de sus sueños y prejuicios. El mundo así, está lleno de símbolos cuya raíz no es otra cosa que el

inconsciente humano, símbolos que nos hablan de una valoración absoluta del universo.

Parece entonces que aún es necesario acechar las metáforas que pueblan las construcciones

científicas. La metáfora es sinónimo de subjetividad, de sueño y de irracionalidad. La metáfora

tendría pues, una función negativa para el desarrollo correcto del pensamiento abstracto, se

refieren siempre a un mundo oscuro. Por esto el epistemólogo debe estar “al acecho de las razones

irrazonadas” (Bachelard, G.: 1965, 45). He aquí entonces el sentido pleno de obstáculo

epistemológico: es la presencia de una condensación vital y subjetiva que se traduce en metáfora,

en vicio inconsciente que desvía la razón de la corrección del conocimiento científico.

Hay hasta aquí un abordaje del problema epistemológico desde una perspectiva

psicoanalítica. Pero, ¿no sería tal pretensión una forma de confundir campos del conocimiento

perfectamente delimitados como son los de la lógica y los de la psicología? Lo que Bachelard

pretende no es extender el dominio de un campo del saber a otro distinto, sino más bien de

inaugurar un nuevo campo interdisciplinario que tiene como objeto precisamente la formación del

espíritu científico.

Es en este sentido que podemos afirmar que el esfuerzo bachelardiano debe ser

comprendido dentro del cuadro de una fenomenología de la formación del espíritu científico y no

dentro del cuadro de la epistemología. ¿Por qué colocamos tal esfuerzo bajo el signo de la

fenomenología? Damos a esta palabra un sentido hegeliano, en su significación del recorrido del

espíritu subjetivo hacia la razón universal; tal esfuerzo bachelardiano nos lleva desde las etapas

primeras del espíritu, aún dominado por el mito, por la ilusión antropomórfica, hasta la

consecución de la ciencia objetiva. Tal recorrido debe ser comprendido desde su doble

significación ontogenética y filogenética. En el primer sentido, es el individuo que debe recorrer

ese camino que lo lleva de la opinión hacia la objetividad, en un abandono de sus creencias y

valores más íntimos hacia una racionalidad crítica. En el segundo sentido, el espíritu objetivo

recorre su camino hacia la constitución de la ciencia contra la opinión y como producto de una

comunidad científica históricamente situada.

Al respecto nos dice Bachelard: “La ciencia en su necesidad de acabamiento como en su

principio, se opone absolutamente a la opinión. Si por alguna causa legitima la opinión, es por

otras razones distintas a las que fundan la opinión, de manera que la opinión está siempre

equivocada. La opinión piensa mal, no piensa del todo, traduce las necesidades en conocimiento.

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Cuando designan los objetos por su utilidad, ella se prohíbe a ella misma conocerlos. No se puede

fundamentar nada sobre la opinión; es necesario destruirla” (Bachelard, G.: 1965, 55).

Los diversos momentos del devenir del espíritu científico están constituidos por momentos

de inmovilidad, producidos por la subjetividad que se encierra en sí misma. No es sino por el

movimiento de autocrítica racional de las sucesivas la rectificaciones que el espíritu recobra su

movilidad hacia la objetividad. El error aparece por causa de la terquedad del espíritu subjetivo de

querer representarse el universo mediante la imaginación. La realidad así, nos afirma Bachelard,

no es más que un simple reflejo del yo, es la sublimación de deseos reprimidos. De modo que el

mundo sería mi deseo, mi pasión sublimada, pero nunca mi representación objetiva. El estudio de

la lenta evolución histórica del espíritu hacia la objetividad, contra los obstáculos subjetivos y la

evolución del espíritu individual que lucha también contra los demonios de la imaginación, son los

temas que recorren su libros dedicados al nuevo espíritu científico. Podríamos decir que el libro

La formación del espíritu científico tiene una vertiente netamente pedagógica. Formación es ahí la

lucha contra el narcisismo natural del espíritu, contra la fuerte atracción que el espíritu manifiesta

hacia las convicciones primeras. Lucha que caracteriza justamente el proceso de humanización del

espíritu entendido a la manera tradicional como el proceso de racionalización creciente.

Subjetividad, es entendida en el texto mencionado precedentemente, como una especie de

ego encerrado en sí mismo, dominado por el narcisismo puro. El sujeto que quiere contemplar el

mundo no hace más que observar su reflejo en el espejo del mundo, el azogue mundano no hace

más que devolverle sus impulsiones, sus convicciones y deseos, disfrazados de objetividad. El

espíritu precientífico así como el primer momento del espíritu científico es la conciencia ingenua,

la conciencia que no se ve ella misma como objeto. Es por ello que este momento aparece como

“una coherencia subjetiva y no como una cohesión objetiva” (Bachelard, G.: 1981, 127). Para

romper esta autocomplacencia, el sujeto debe volverse sobre sí, plantearse como objeto y separar

el conocimiento objetivo del subjetivo; debe distinguir lo que es impulsión de la experiencia

efectiva, debe depurar el enunciado científico, en fin, discernir la racionalidad de la imaginación.

¿Cómo se resuelve el problema de la ambigüedad de una historia del espíritu científico que

lucha contra las tendencias vitales del ser y la reintegración de estas fuerzas en la existencia

humana? Bachelard reconoce que la ciencia y el arte son opuestos, pero complementarios. De

manera que podemos pensar que el científico debe enfrentar sus metáforas restituyéndolas a su

universo opuesto y gozarlas ahí, sin confundirlas con los conceptos. Y lo mismo debe hacer el

poeta: no confundir sus imágenes con expresiones científicas del mundo. La ciencia nos restituye

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una dimensión de lo real y el arte nos restituye la dimensión de la comunicación profunda del ser

humano con las cosas y los otros.

Por otro lado, el espíritu científico contemporáneo ha provocado, para Bachelard, un

cambio radical en el sujeto. “La ciencia contemporánea –nos dice Bachelard– crea una nueva

naturaleza, en el hombre y fuera del hombre. Jamás la creatividad del espíritu, ha estado tan

manifiesta, más activa. Por la multiplicación y profundización de valores de racionalidad, el

destino intelectual de la ciencia se acelera. Llega a ser, incluso a corto plazo, imprevisible. El

racionalismo de la ciencia es una filosofía abierta” (Bachelard, G.: 1957, 1234).

El espíritu objetivo ha alcanzado su estado actual desde el momento que ha rectificado sus

errores. La ciencia no es una ilusión. La historia de la ciencia es la historia de las aproximaciones

sucesivas del espíritu a lo real. Pero, ¿qué significa esa segunda naturaleza que viene incluso a

colocarse más allá de la experiencia misma creando una especie de supra racionalidad? Primero, la

ciencia contemporánea concibe lo real como una relación y no como objeto. Esta concepción se

deriva de una fenomenotécnica, según la cual el cuerpo de la ciencia no sólo es social, sino creado.

Este supra-racionalismo es, en palabras del autor, “un kantismo de segunda aproximación”

(Bachelard, G.:1981:102), en el sentido de que la transformación de las categorías tradicionales de

la ciencia significan también el cambio de la experiencia. El método es aquí la fuente de la

objetividad. “La fuente primera de la objetividad no es el objeto, es el método objetivo, -no es el

contenido, es el continente-, no es el término final de la aproximación, es el método de

aproximación. Los valores de certeza están ligados a la preparación experimental más que a los

resultados de la experiencia” (Bachelard, G.: 1937, 140).

La objetividad aparece ligada inexorablemente a la preparación experimental más que al

objeto mismo. El objeto en sí mismo jamás podrá ser fuente de conocimiento. Todo ser humano

que quiera comprender la ciencia debe hacer abandono de las categorías racionales universales,

tanto como de la confianza ingenua en las percepciones.

El problema científico contemporáneo se plantea de manera muy distinta a sus etapas

anteriores. No se trata ahora de un sujeto transcendental que construye el saber a partir de ideas

universales, ni de un sujeto pasivo que recibe los datos del mundo a través de la percepción. El

desarrollo de la ciencia contemporánea supera la consideración del problema epistemológico en

tales términos, pues el objeto no es un dato, es sobre todo una realización; es el resultado de un

programa de acción.

En este sentido, la relación prima sobre el ser. En el plan racional, las ideas no constituyen

relaciones constantes ni invariables en el tiempo; son estructuras que se rectifican y que cambian

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de acuerdo con las exigencias históricas. Es así que el objeto existe en el marco de las ideas y las

ideas existen como el resultado de sucesivas rectificaciones, producidas por los cambios de

paradigma científicos.

Es por lo anterior que para el nuevo espíritu científico, “no existe razón absoluta. El

racionalismo es funcional. Es diverso y vivo” (Bachelard,G.1981:32). La razón tiene una

estructura variable desde el momento que tiene una historia que está signada por un desarrollo

complejo y creciente (Bachelard, G.: 1981, 29), pues para la razón, pensar lo real significa intentar

pensarlo desde diversas perspectivas, diversidad que va a permitirle “crear científicamente

fenómenos completos” (1981, 17).

Para el científico contemporáneo, conocer la realidad es sobre todo llevarla a cabo.

Conocer no es sinónimo de contemplar la realidad mediante la estructura de las ideas; conocer es

realizar el objeto del conocimiento; conocer es participar en el acto de creación, es llegar a ser

“amo así del eterno recomienzo de las cosas” (1981, 36). Así, el concepto de realidad es superado

por la noción de realización. Ser es igual a “hacer”, donde hacer tiene un carácter colectivo,

histórico y fenomenotécnico, en el sentido que lo explicaremos inmediatamente.

Lo real en la ciencia contemporánea es una construcción racional, construcción que está

íntimamente ligada al instrumento científico, de aquí la noción introducida más arriba:

fenomenotécnica. “Un concepto llega a ser científico en la misma proporción que llega a ser

técnico, donde es acompañado por un técnica de realización” (Bachelard, G.: 1985, 61). No es

posible hablar de objeto de la ciencia, sin referirse, por un lado, al operador matemático, y por el

otro al complejo técnico que hace aparecer el objeto.

Es así que el método científico no se distingue pues de su objeto. Método es sinónimo de

técnica de realización: el objeto científico se construye a partir de una teoría que busca siempre su

realización, tanto mediante la ecuación matemática como por el conjunto de aparatos técnicos. De

modo que el instrumento de la ciencia debe concebirse como una prolongación del espíritu. Detrás

de cada instrumento existe el conocimiento interdisciplinario más acabado de la humanidad.

No podemos comprender el concepto de fenomenotécnia sin referirnos a la noción de

ciudad (comunidad?) científica. El sabio contemporáneo no trabaja sólo, pertenece a la conciencia

colectiva de su época. Fuera de esta conciencia social, no es posible construir la ciencia.

Afirmación que nos hace pensar en la noción de “noosfera” teilhardiana: en esa capa que se alza

sobre la vida, se colocaría una sobre-realidad de carácter espiritual. Supra-realidad que no

solamente abrazaría los hechos, sino que también el conjunto de realizaciones racionales del

espíritu científico. Un dominio donde la “... fenomenología es reemplazada por la

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fenomenotécnica, donde la naturaleza es más bien producida que dada” (Bachelard, G.1939:12).

“El sujeto colectivo es pues contemporáneo del segundo tiempo del ser, de una refundición del ser,

de un sobre crecimiento del ser” (Bachelard, G.: 1970, 93).

Es así que se habla en la ciencia física contemporánea de un sobre-objeto, el cual sería el

producto una “razón polémica”, de una razón que sabe criticar el conjunto de sus imágenes

primeras, que retiene tan sólo aquello que resiste el proceso de destrucción racional de las

imágenes; “el sobre objeto es exactamente la no imagen” (Bachelard, G.: 1981,140). Es mediante

este proceso de destrucción que la razón llega a descubrir las leyes orgánicas de lo real. Pero al

mismo tiempo que el sujeto descubre las leyes, debe someterlas a sus condiciones de aplicación.

Toda ley y todo concepto deben ser estudiados en sus condiciones de aplicación. Es así, que el

método del nuevo espíritu científico se reconoce como un proceso de aproximaciones sucesivas a

lo real.

La razón no tiene su fundamento ni en las intuiciones, ni en las evidencias primeras. No se

funda ni en la experiencia ciega, ni en las categorías racionales inmutables. “Es el futuro –como lo

señala Hyppolite- la dimensión temporal de la inteligibilidad” (Hyppolite, J.: 1954, 59). Habría

una suerte de ensoñación de la razón, aquella que busca su fundamento más allá del “pensamiento

instituido”.

Habría de este modo una especie de unión entre esa razón histórica, colectiva y esa

imaginación poética; la una se desplaza en el tiempo rectificándose continuamente y

desprendiéndose, mediante el psicoanálisis de las condensaciones afectivas del sujeto y de las

percepciones primeras. Una razón, finalmente creadora, en el verdadero sentido de la palabra, que

crea su objeto mediante la adhesión a esa síntesis entre el ser y el comprender. Y la otra, la

imaginación, se alza también contra la cotidianeidad, contra el hecho monocorde y produce la vida

nueva.

Para terminar, acerquémonos a esta noción de potencia creadora de imágenes, puesto que

ella constituye la noción central de una teoría de lo imaginario. Es una potencia enteramente

subjetiva que se define fundamentalmente por llevar a cabo la función de lo irreal. Función tan

importante para la cultura humana como la función de lo real. Por causa de la función de lo irreal,

el espíritu se separa del mundo cotidiano y construye un mundo de una validez distinta a la de la

ciencia. La función de lo real es una función de adaptación y la función de lo irreal es creación y

ruptura de la cadena de hechos mundanos. Es por ésta que la conciencia descubre que sus

creaciones, sus imágenes, paradójicamente adquieren una consistencia ontológica. No son simples

reflejos de los objetos reales; nacen de la profundidad onírica del espíritu humano.

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Las imágenes nacen pues, de un proceso de sublimación pura, de una sublimación que no

sublima nada, de una sublimación que no compensa los deseos reprimidos. Por la sublimación

pura –contrapsicoanálisis- las imágenes son la apertura de un mundo y no el símbolo de un mundo

oculto y obscuro. Las imágenes son el producto de una conciencia autónoma, que no está bajo la

dependencia ni de los instintos ni de la percepción; son creaciones libres que sólo hacen referencia

al mundo que ellas inauguran.

Y si entendemos la función del imaginario como la función mayor del espíritu humano, de

alguna manera la ciencia y el arte son posibles por su intermediación. Es la imaginación, entonces,

la facultad que forma al ser humano. Por un lado ha de entenderse como la capacidad de

trascender lo real, de ir más allá del dato de la percepción y que, por lo tanto, le permite al ser

humano alzarse más allá del simple dato para alcanzar la noción y la teoría de lo real. Y por el

otro, le permite crear la imagen nueva, la imagen que “deforma” lo real para ponerlo en relación

con la subjetividad. La una nos posibilita alcanzar niveles mayores de corrección de conocimiento,

que a su vez forman al ser humano en la verdad y lo alejan de la superstición, la creencia ciega y

el mito. La otra, le permite al ser humano construir los mundos ficticios que le acercan a una

realidad distinta a la científica, pero tan válida como ésta.

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