Mate para CATV Modulo 1.pdf

TEMARIOTEMARIO

Matemáticas para CATV

Módulo 1

Módulo 3

Módulo 4

•Notación científica•Unidades del SI y del Sistema Inglés para CATV•Logaritmos•El decibel

•Cálculos para el cable coaxial•Relación Portadora a Ruido y Relación Señal a Ruido•Cálculos de ruido y distorsiones•Antenas

•Señales digitales•Transmisión de señales por fibra óptica

Módulo 2•Señales y su representación•Ley de Ohm•Ancho de banda•Modulación

OBJETIVOSOBJETIVOS

Dirigido a:Personal de la industria de la televisión por cable que desea adquirir, reforzar o incrementar sus conocimientos matemáticos.

Objetivos:•Aprender las unidades básicas de medición en un sistema de televisión por cable.

•Conocer las bases matemáticas para los cálculos y las mediciones en televisión por cable.

•Manejar correctamente la nomenclatura y los términos matemáticos empleados en un sistema de televisión por cable.

MÓDULO 1

Pequeños y Grandes números

• En el mundo de la televisión por cable se emplean números muy pequeños y muy grandes.

• En realidad, es difícil entender claramente qué tan pequeñas o grandes pueden ser las cifras. Sin embargo, si pensamos en algún número con el que trabajemos cotidianamente, se puede comprender mejor el concepto.

NOTACINOTACIÓÓN CIENTN CIENTÍÍFICAFICA

Inicio

Grandes y pequeños números

• Por ejemplo…

Númerosgrandes:– La velocidad de la luz en el vacío es de 299,792,458 metros por

segundo (m/s), que usualmente se redondea a 300,000,000 m/s.

– El ancho de banda de un canal de televisión en televisión por cable es de 6,000,000 Hz.

Números pequeños:– El diámetro de una fibra óptica es similar al de un cabello humano y

puede ser de entre 0.000008 m a 0.0006 m dependiendo del tipo de fibra.

– Las señales que viajan por una fibra óptica pueden tener una longitud de onda de 0.000001310 m.


¿Qué es la notación científica?

• Afortunadamente, existen algunas maneras para simplificar y hacer más sencillo el uso de cifras.

• La notación científica es un método de escritura empleado para facilitar la lectura y manejo de pequeños y grandes números.

• Se basa en potencias de 10 y se utiliza generalmente para cifras que tienen muchos dígitos, por ejemplo:

1,000,000 = 1 x 106

300,000,000 = 3 x 108

0.003 = 3 x 10-3

0.000001310 = 1310 x 10-9


• Es decir, para escribir un número en notación científica se reemplazan los ceros o las posiciones que ocupan los dígitos de la cifra, a partir del punto decimal, por potencias de 10. Por ejemplo:

345,000,000 = 345 x 106

O bien,

345,000,000 = 3.45 x 108


Seis posiciones equivale a 10 a la potencia 6

Ocho posiciones equivale a 10 a la potencia 8

• Y para pasar de notación científica al número original simplemente se recorren los lugares que indica la potencia: Ejemplos:

6 x 106 = 6,000,000

3 X 10-5 = 0.00003


Seis posiciones a la derecha

Cinco posiciones a la izquierda

Prefijos

• Para facilitar aún más la escritura de cifras se utilizan prefijos. Cada prefijo indica la potencia a la cual se eleva la base 10.


Prefijo Símbolo Potencias de 10 Número

Tera T 1 x 1012 1,000,000,000,000

Giga G 1 x 109 1,000,000,000

Mega M 1 x 106 1,000,000

kilo k 1 x 103 1,000

mili m 1 x 10-3 0.001

micro μ 1 x 10-6 0.000001

nano n 1 x 10-9 0.000000001

Subm

últip

los

Múl

tiplo

s

Prefijos

Ejemplos:

• 2 km = 2 x 103 m = 2,000 metros

• 74.5 kg = 74 x 103 g = 74,500 gramos

• 1310 nm = 1310 x 10-9 m = 0.000001310 metros

• 64 kbps = 64 x 103 bps = 64,000 bits por segundo

• 6 MHz = 6 x 106 Hz = 6,000,000 Hertz

• 1 mV = 1 x 10-3 V = 0.001 volts


Ejercicios de repaso

Sistema Internacional de Unidades (SI)

• El Sistema Internacional de Unidades ha definido unidades fundamentales para las magnitudes básicas.

UNIDADES DEL SI Y DEL SISTEMA INGLUNIDADES DEL SI Y DEL SISTEMA INGLÉÉSS

Magnitud Unidad básica SímboloLongitud metro m

Masa kilogramo kgTiempo segundo s

Intensidad de corriente eléctrica

ampere A

Temperatura kelvin K

Inicio

Sistema Inglés

• El Sistema Inglés también ha definido unidades para algunas magnitudes básicas. Estas unidades se utilizan en algunos países como EU.


Unidad Símbolo Equivalencia en Sistema Inglés

Equivalencia en Sistema Internacional

Pulgada in - 2.54 cmPie ft 12 in 30.48 cm

Yarda yd 3 ft 91.44 cmMilla mi 1,760 yd 1,609 mOnza oz - 0.028 kgLibra lb 16 oz 0.454 kg

Unidades usadas en CATV

• Existen otras unidades además de las que define el SI y el Sistema Inglés. Las más utilizadas en la televisión por cable son:


¿Con qué unidades se mide?Especificación Sistema

InternacionalSistema Inglés

Longitud del cable coaxial km, m mi, ftin

Ω (ohms)in

Peso del cable por longitud kg/km lbs/kft°F

Diámetro del cable cm, mmImpedancia característica Ω (ohms)Máximo radio de curvatura cm

Temperatura °C

• Para hacer conversiones entre unidades del Sistema Inglés y el Sistema Internacional de unidades, refiérase a la tabla del Sistema Inglés.

• Ejemplo: ¿A cuántos metros equivalen 50 ft?Respuesta: se hace una regla de tres:


m 24.15ft 50 =

m 24.15ft 1

m 0.3048ft 50 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

m 0.3048 ft 1 →m X ft 05 →

• Los logaritmos son la base para comprender los decibeles pero, ¿qué es un logaritmo?, ¿de dónde salen los logaritmos?

• Logaritmo es el exponente o la potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para obtener un número dado. La expresión de logaritmo se define como:

• logb(x) se lee como “logaritmo base b de x”.

¿Qué es un logaritmo?

LOGARITMOSLOGARITMOS

xn blog=

Inicio

• Para comprender mejor la definición de logaritmo , es conveniente repasar las operaciones inversas. Algunos ejemplos de operaciones inversas son:

¿Qué es un logaritmo?


Operación Operación inversaSuma Resta

2 + 2 = 4 4 – 2 = 2Multiplicación División

5 x 8 = 40 40 / 8 = 5Potencia Logaritmo

103 = 1000 log10 (1000) = 3

• El logaritmo es la operación inversa de la función potencia, es decir:

Potencia logaritmo

• El logaritmo más usado en las redes de cable es el logaritmo base 10.

nbx = xlogn b

¿De dónde salen los logaritmos?


=

Ejemplo 1: La potencia se define como:

Sustituyendo en

Su logaritmo es:


10000 10 10 10 1010x 4 =×××==

4)10000(log10 =

nbx =

? x4,n 10,b si ===

xlogn b=

Ejemplosnbx =

Ejemplo 2:

¿Cuál es el logaritmo de 8 en base 2?

EjemplosLOGARITMOSLOGARITMOS

8 2 2 22bx 3n =××===

? x3,n 2,b si =

3)8(log2 =

==

nbx =

?)8(log2 =

Ejercicios de repaso

¿Qué es un decibel?

• Uno de los términos que causan más confusión en la industria del cable es el decibel.

• El decibel (dB) es una medida logarítmica del cociente o relación de dos potencias.

• Equivale a la décima parte de un bel (una unidad de referencia para medir la potencia de una señal). El nombre bel viene del físico Alexander Graham Bell.

• El decibel es una unidad de medida adimensional y relativa(no absoluta), que es utilizada para facilitar el cálculo y poder realizar gráficas en escalas reducidas.

ENTENDIENDO EL DECIBELENTENDIENDO EL DECIBEL

Inicio

¿¿CuCuáántos tipos de decibeles hay?ntos tipos de decibeles hay?


dBdBμμVV

http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://firebirds.com.ar/circulofyh/photogallery/pregunta.jpg&imgrefurl=http://firebirds.com.ar/circulofyh/&h=285&w=287&sz=51&hl=es&start=5&tbnid=NtfkeQCpDMvdzM:&tbnh=114&tbnw=115&prev=/images%3Fq%3Dpregunta%26svnum%3D10%26hl%3Des%26lr%3D

ENTENDIENDO EL DECIBELENTENDIENDO EL DECIBEL¿Cuántos tipos de decibeles hay?

• Existen diferentes tipos de decibeles dependiendo de la aplicación: electrónica, sonido o comunicaciones. Algunos ejemplos son:

• dB: Decibel. Se emplea para medir relaciones entre potencias.• dBmV: Decibeles referidos a 1 milivolt. Se utilizan en la

televisión por cable.• dBm: Decibeles referidos a 1 miliwatt. Usados en cálculos para

redes HFC (Híbridas Fibra Coaxial).• dBSPL: Decibeles referidos a 20 micropascales. Utilizados en

la industria del sonido.

¿Cómo se obtienen los decibeles?

• La ganancia en decibeles de un circuito está dada por:

Donde ‘PSAL’ y ‘PENT’ representan las potencias promedio de salida y de entrada del circuito, respectivamente.

• Ejemplo: si el cociente de dos potencias es igual a 2, su ganancia o pérdida en decibeles será de:

GdB = 10 log 2 = 3.01 dB

ENT

SALdB P

Plog10G =


Nota: Cuando no se especifica la base del logaritmo, se da por entendido que ésta es 10.

ENTENDIENDO EL DECIBELENTENDIENDO EL DECIBEL• ¿Qué pasa cuando la potencia de salida es el doble que la de

entrada?

• ¿Qué pasa cuando la potencia de salida es igual que la de la entrada?

• ¿Qué pasa cuando la potencia de salida es la mitad que la de entrada?

dB 3.01 2 log 10 12 log 10

PP log 10G

ENT

SALdB ====

dB 0 1 log 10 11 log 10

PP log 10G

ENT

SALdB ====

dB 3.01- 5.0 log 10 21 log 10

PP log 10G

ENT

SALdB ====

ENTENDIENDO EL DECIBELENTENDIENDO EL DECIBEL• Un resultado positivo indica ganancia en decibeles. En las

redes de cable los amplificadores son ejemplo de dispositivos que ofrecen ganancia.

• Un resultado negativo indica pérdida en decibeles. En las redes de cable los atenuadores son ejemplo de dispositivos que provocan pérdida.

Gráfica de 10 log (P2/P1)

• En la gráfica de la siguiente diapositiva se aprecia el comportamiento del logaritmo del cociente de dos potencias(P2/P1, donde P2 es la potencia de salida y P1 es la potencia de entrada).


A medida que la potencia de salida disminuye (cuando es menor que la potencia de entrada), la gráfica decrece drásticamente y se acerca al eje vertical.

A medida que la potencia de salida (P2) aumenta en relación a P1, la gráfica no crece linealmente sino que experimenta un crecimiento gradual.

ENTENDIENDO EL DECIBELENTENDIENDO EL DECIBELGráfica de 10 log (P2/P1)

El doble de la potencia equivale a +3 dB

La mitad de la potencia equivale a -3 dB

La misma potencia equivale a 0 dB

4 veces la potencia equivale a +6 dB

Una décima parte de la potencia equivale a -10 dB

P2

P1

10 veces la potencia equivale a +10 dB

El doble de la potencia:

P2 / P1 = 2

dB

A medida que la potencia de salida (P2) aumenta, la gráfica no crece linealmente sino que experimenta un crecimiento gradual.

A medida que la potencia de salida disminuye, la gráfica decrece drásticamente y se acerca al eje vertical.

Algunas reglas para dB y potencias:

• 3 dB equivale al doble de la potencia (P2 = 2P1).

• -3 dB equivale a perder la mitad de la potencia (P2 = ½ P1).

• La misma potencia equivale a 0 dB (P2 = P1).

• 6 dB equivale a cuatro veces la potencia de entrada (P2 = 4P1).

• 10 dB es diez veces la potencia de entrada (P2 = 10P1).


REF

SALdB P

Plog10G =

¿Por qué usar decibeles?

• Los decibeles se utilizan para facilitar las operaciones. En los cálculos para la industria del cable sería muy difícil trabajar con milivolts (mV) en lugar de dBmV (decibeles referidos a un milivolt).

• Ejemplo: en lugar de decir que el nivel de salida de un equipo es de 4 dBmV, se tendría que decir que el nivel es de 0.001585 volts.

• Otra ventaja de los decibeles es que, al no basarse en una escala lineal, permiten realizar gráficas en escalas reducidas.


Decibeles referidos a 1 miliVolt: dBmV


• Es la medida del nivel de la señal en las redes de cable.

• Es una medida referida a 1 miliVolt sobre una impedancia de 75 Ω.

Decibeles referidos a 1 milivolt: dBmVENTENDIENDO EL DECIBELENTENDIENDO EL DECIBEL

REF

SALdB V

Vlog20G =

• En este caso la referencia para los cálculos es 1 milivolt (1 mV)

VREF = 1 mV VSAL = ?

Circuito eléctrico

REF

SALdB P

Plog10G =

mV 1Vlog20dBmV SAL=

• ¿Por qué la fórmula para la ganancia en decibeles referida a voltaje se multiplica por un factor de 20 y no de 10?

• La respuesta se encuentra en la siguiente diapositiva…

Decibeles referidos a 1 milivolt: dBmV


REF

SALdB V

Vlog20G =REF

SALdB P

Plog10G =

• La fórmula de potencia es:

• La ley de Ohm dice:

• Sustituyendo la ecuación 2 en la 1:

RIP 2


= 1. . .

RVI bien, o RIV == 2. . .

3. . . RVP

2

=

RVR

RVR

RVP

2

2

22

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

• Y sustituyendo la ecuación 3 en la fórmula de ganancia en decibeles para las potencias, se tiene:


⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

REF

REF2SAL

SAL2

REF

SALdB

RVRV

log 10PP log 10G

Ω== 75RR REFSAL

∴2

REF

SAL

REF2

SAL2

REF

REF2SAL

SAL2

dB VVlog 10

VVlog 10

RVRV

log 10G ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

• Por propiedades de decibeles:

• Por lo tanto, queda demostrado de dónde se obtiene el factor de 20 en la fórmula de decibeles referidos a 1 mV.



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

REF

SAL

REF

SALdB V

Vlog 20VVlog 10 x 2G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

REF

SALdB V

Vlog 20G

2

REF

SALdB V

Vlog 10G ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

REF

SALdB V

Vlog20G =



Ejemplos con dBmV: ¿A cuántos dBmV equivalen 2 mV?

Para 4 mV:

12dBmV dBmV04.12log(4)2014log20 ≈===mVmVGdB

6dBmV dBmV02.6log(2)2012log20 ≈===mVmVGdB

Escala Lineal

512 mV

256 mV

128 mV

64 mV

32 mV

16 mV

8 mV

4 mV

2 mV

1 mV

Escala Logarítmica

54 dBmV

48 dBmV

42 dBmV

36 dBmV

30 dBmV

24 dBmV

18 dBmV

12 dBmV

6 dBmV

0 dBmV

ENTENDIENDO EL DECIBELENTENDIENDO EL DECIBELOtros ejemplos para dBmV:

Escala Lineal

1 mV

0.5 mV

0.25 mV

0.125 mV

0.0625 mV

0.03125 mV

0.015625 mV

0.0078125 mV

0.00390625 mV

0.001953125 mV

Escala Logarítmica

0 dBmV

-6 dBmV

-12 dBmV

-18 dBmV

-24 dBmV

-30 dBmV

-36 dBmV

-42 dBmV

-48 dBmV

-54 dBmV

ENTENDIENDO EL DECIBELENTENDIENDO EL DECIBELOtros ejemplos para dBmV:

Reglas para dBmV y voltajes:

• 6 dBmV equivale al doble del voltaje (V2 = 2V1).

• -6 dBmV equivale a perder la mitad del voltaje (2V2 = V1).

• El mismo voltaje equivale a 0 dBmV (V2 = V1).

• 12 dBmV equivale a cuatro veces el voltaje de entrada (V2 = 4V1).

• 20 dBmV es diez veces el voltaje (V2 = 20V1).


REF

SALdB V

Vlog20G =

Decibeles referidos a 1 miliwatt: dBm


• Es una medida referenciada a 1 miliwatt (0.001 watts)

• Se utiliza generalmente para cálculos ópticos.

Decibeles referidos a 1 miliwatt: dBmENTENDIENDO EL DECIBELENTENDIENDO EL DECIBEL

• En este caso la referencia para los cálculos es 1 miliwatt (1 mW)

PREF = 1 mW PSAL = ?

Circuito eléctrico

REF

SALdB P

Plog10G =

mW 1Plog10dBm SAL=

Decibeles referidos a 1 microvolt: dBμV


• No es muy frecuente pero en algunas ocasiones se utilizan los decibeles referidos a 1 microvolt (μV):

• Como se puede apreciar en la fórmula, únicamente cambia el voltaje de referencia a 1 microvolt.

• La diferencia entre dBmV y dBμV son 60 dB:

V 1Vlog20VdB SAL

μμ =

VdB 60 a equivale dBmV 0 μEjercicios de repaso

EJERCICIOS DE REPASO

1. Realice las siguientes conversiones:

1,000 MHz = _____________ Hz = ______________ GHz

0.00378 km =_____________ m = _______________ cm

727 µV = ________________ V = ________________ mV

1,550 nm = ______________ m = ________________ μm

EJERCICIOS DE REPASOEJERCICIOS DE REPASO

Ver respuestas

Símbolo Potencias de 10

T 1 x 1012

G 1 x 109

M 1 x 106

k 1 x 103

m 1 x 10-3

μ 1 x 10-6

n 1 x 10-9

Recuerde:

2. Resuelva:

EJERCICIOS DE REPASOEJERCICIOS DE REPASO

=)125(log 5

=)000,100(log 10

=)32(log2

=)10(log10 Ver respuestas

Recuerde:nbx =xlogn b=

3. Si el cociente de dos potencias (PSAL / PENT) es igual a 8, su ganancia o pérdida en decibeles será de:

4. ¿Cuál es la potencia de salida de un circuito si la potencia de entrada es de 2 watts y la pérdida es de 7 dB?

5. ¿Cuál es el nivel en dBmV que se registra en un circuito si el voltaje de salida del mismo es de 0.447 mV? (Recuerde que la referencia es 1mV).

EJERCICIO DE REPASOEJERCICIO DE REPASO

Ver respuestas

REF

SALdB V

Vlog20G =

REF

SALdB P

Plog10G =Recuerde:

RESPUESTAS

1. Realice las siguientes conversiones:

1,000 MHz = 1 GHz

0.00378 km = 378 cm

727 µV = 0.727 mV

1,550 nm = 1.55 µm

378cmmx10378m78.3mx1000378.0km00378.0 -23 ====

0.727mVVx10727.00.000727VV10727x μV 727 -3-6 ====

m55.1mx1055.1m000001550.0mx101550550nm,1 -6-9 μ====

RESPUESTASRESPUESTAS

Volver

1,000 MHz = 1,000 x 106 Hz = 1,000,000,000 Hz = 1 x 109 Hz = 1 GHz

2. Resuelva:


125 5 5 553 =××=3(125)log 5 =

000,100 10 10 10 10 1010 5 =××××=5)000,100(log 10 =

?)125(log 5 =

?)000,100(log 10 =

Volver

?)32(log2 =32222222 5 ==××××

5)32(log2 =

?)10(log10 =10101 =

1)10(log10 =

3. Si el cociente de dos potencias (PSAL / PENT) es igual a 8, su ganancia o pérdida en decibeles será de:

4. ¿Cuál es la potencia de salida de un circuito si la potencia de entrada es de 2 watts y la pérdida es de 7 dB?


dB 9.03log(8)10PPlog10G

ENT

SALdB ===

dB 9.03GdB =

ENT

SALdB P

Plog10G =

:P despejando SAL

( ) ( ) ( ) ( ) watts39.010 210

7- antlog 210G antlog PP 0.7-dB

ENTSAL ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

5. ¿Cuál es el nivel en dBmV que se registra en un circuito si el voltaje de salida del mismo es de 0.447 mV? (Recuerde que la referencia es 1mV).


dBmV71

0.447log20VVlog20G

REF

SALdBmV −===

dBmV7GdBmV −=

Volver

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