Modulo-6 - Simulación, Formulación e Implementación Método ... · sencilla (triángulos o...

Módulo 6 – v2016.1

Simulación, Formulación e Implementación Método Elementos Finitos en Maquinas.

José L. Oliver

Universidad Politécnica Valencia

Ingeniería Mecánica.

Abril 2016

Módulo 6 – Simulación Formulación Implementación MEF – v.2016.1 – Prof. Dr. José L Oliver

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1. INTRODUCCION.

1.1. Presentación. En este módulo se introduce una herramienta fundamental de simulación resistente en máquinas: el Método de los Elementos Finitos. Esta primera toma de contacto con esta herramienta pretende familiarizar al alumno con los conceptos básicos que le han de permitir aplicarla con seguridad en su quehacer profesional. Realizando las actividades prácticas que se proponen el alumno conseguirá dominar los conocimientos fundamentales del método así como facilidad en el uso de una herramienta computacional como es la aplicación informática denominada “Mathematica”, sin cuyo uso sería difícil explicar y entender los conceptos mencionados.

Imagen 6.1. Imagen de Mathematica. En este módulo aprenderemos a realizar simulaciones por elementos finitos de piezas mecánicas sencillas con varios códigos computacionales específicos, así como nos acercaremos a los métodos de cálculo matemático del método mediante la aplicación “Mathematica”, para lo cual aprenderemos a crear funciones de forma y a obtener las matrices de rigidez correspondiente a cualquier elemento finito de tipo triangular y cuadrilátero con cualquier número de nodos, realizando la integración numérica necesaria para asegurar la suficiencia de rango de esas matrices. Antes de entrar en los detalles de la formulación y de la implementación en Mathematica, tendremos ocasión de tomar contacto con diversas aplicaciones informáticas involucradas en el diseño y la simulación como son los programas de CAD y los programas específicos de elementos finitos. Para ello realizaremos un análisis estático lineal de una pieza mecánica simple, asignada a cada alumno por el profesor, diferente para cada uno de ellos, elegida de entre un conjunto amplio de piezas que forman parte de un conocido sistema de construcción modular muy utilizado en ingeniería y como entretenimiento, cual es el sistema Lego Technic en su versión virtual, que hace años forma parte del material utilizado por el autor de este módulo para explicar conceptos de ingeniería mecánica fundamentales de forma amena. Empezaremos hablando, a modo de introducción de los Método de los Elementos Finitos, facilitando un breve resumen del mismo aplicado a la ingeniería mecánica, por ser esta la disciplina del área de conocimiento a la que pertenece el autor.


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1.1.1. ¿Qué puede hacer el Método de los Elementos Finitos por nosotros? El procedimiento tradicional para validar un diseño mecánico es construir un prototipo y someterlo a un test. Si el test revela problemas con el diseño, el diseño debe de modificarse, siendo necesario desarrollar un nuevo prototipo y testearlo nuevamente. Un procedimiento alternativo consiste en utilizar el Método de los Elementos Finitos (MEF), denominado en inglés: “Finite Element Method (FEM)”. La utilización del MEF tiene las siguientes ventajas: (1) Permite simular cómo se comporta el producto en un entorno virtual; (2) Al reducir el número de prototipos que hay que fabricar, se reduce el coste del producto y el tiempo invertido en su desarrollo; y (3) optimiza el diseño.

Imagen 6.2. Test y simulación por el MEF.

1.1.2. Proceso de Análisis por el Método de los Elementos Finitos. Actualmente, teniendo en cuenta la disponibilidad de aplicaciones informáticas que permiten crear modelos virtuales, los denominados programas de CAD (Computer Aided Design), es posible hacer que el proceso de análisis mediante el MEF se pueda realizar íntegramente en el entorno del programa de CAD elegido. Este proceso consta de las siguientes fases: (1) Crear un modelo virtual de la pieza o máquina que pretendemos desarrollar, indicando el tipo de análisis que nos interesa, las condiciones de contorno que hay que considerar y los resultados que pretendemos obtener; (3) Seleccionar el código de elementos finitos que utilizaremos, que puede estar integrado en el entorno del programa de CAD o no; (3) Idealizar la pieza, eliminando aquellos detalles de la misma que no sean relevantes desde un punto de vista de su comportamiento; (4) Crear una malla de elementos finitos en la pieza, es decir subdividirla en subdominios con forma geométrica sencilla (triángulos o cuadriláteros en un modelo plano, tetraedros o cubos en un modelo espacial), incluyendo los datos necesarios del material y de sus condiciones de fabricación; (5) Aplicar las condiciones de contorno (cargas y restricciones) establecidas en la fase 1; (6) Resolver el modelo virtual, con las condiciones establecidas y con el código de elementos finitos seleccionado; y (7) Revisar los resultados y preparar el correspondiente informe.


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Imagen 6.3. Proceso de análisis mediante el MEF.

1.1.3. Ventaja de realizar un Análisis por Elementos Finitos. Si nos centramos en el análisis estructural, un análisis por elementos finitos nos ayudara a comprender la respuesta de una estructura cuando por su complejidad geométrica no tenemos posibilidad de estimar su comportamiento haciendo uso de tablas y ábacos, los denominados “prontuarios”.

Imagen 6.4. Ventaja de realizar un análisis por elementos finitos.

1.2. ¿Qué es el Método de los Elementos Finitos? El Método de los Elementos Finitos es un procedimiento numérico convenientemente acondicionado para su uso en computadores digitales que permite resolver problemas de estructuras, de mecánica de fluidos, de transferencia de calor, entre otros. Para problemas de estática estructural, los detalles del planteamiento por elementos finitos pueden derivarse a partir del funcional energía potencial total. Si nos centramos en uno de los problemas típicos en este campo, el problema de la tensión plana, seguidamente se presenta de forma resumida lo básico de esta formulación.


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La base de esta formulación es la siguiente: (1) Una estructura esta en equilibrio cuando su energía potencial total es mínima; (2) La energía potencial total de la estructura es la diferencia entre su energía de deformación y el trabajo potencial de las fuerzas exteriores aplicadas en ella.


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Debido a la imposibilidad matemática de minimizar ese funcional en dominios con formas geométricas complejas, como el de la figura, los investigadores que desarrollaron el procedimiento tuvieron la idea de llevar a cabo esa minimización en dominios con formas geométricas simples, donde si era posible solucionar este problema. Se denomina MALLA DE ELEMENTOS FINITOS a la que resulta de subdividir la estructura en regiones discretas con formas geométricas simples, denominadas ELEMENTOS. Los puntos donde los elementos se conectan entre ellos se les denominan NODOS. El resultado de este proceso de discretización es que la disminución considerable del tamaño del problema. Antes el dominio estaba formado por un número infinito en puntos, un número infinito de incógnitas, y ahora ha quedado reducido un número finito de ellas, las definidas en los nodos. En la malla de elementos finitos: (1) Los elementos tienen formas geométricas simples, como triángulos y cuadriláteros en problemas planos, y tetraedros y hexaedros en problemas espaciales: (2) Los nodos son las ubicaciones en donde hay que especificar las fuerzas y los desplazamientos, y donde tras solucionar matemáticamente el problema obtendremos los desplazamientos y las fuerzas de reacción desconocidas; y (3) La energía de deformación de la estructura es la suma de las energías de deformación de cada uno de sus elementos.


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Con el fin de evaluar la expresión de la energía de deformación en el elemento, SE SUPONE un CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS en el mismo: (1) Este campo se puede expresar en términos de los desplazamientos nodales; (2) El desplazamiento en cualquier ubicación dentro del elemento se obtiene por interpolación a partir de los desplazamientos nodales; (3) Las funciones de interpolación se denominan FUNCIONES DE FORMA:


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Y (4) el campo de las deformaciones sobre el elemento se obtiene por diferenciación del campo de desplazamientos supuesto, y por lo tanto por diferenciación de las mencionadas funciones de forma:

Utilizando el campo de deformaciones sobre el elemento, la energía de deformación de este es posible expresarla en términos de los desplazamientos nodales y de una matriz que representa la rigidez del elemento, denominada MATRIZ DE RIGIDEZ del mismo:

Todas las entradas de la matriz de rigidez del elemento hay que obtenerlas por INTEGRACION NUMERICA, utilizando las reglas de cuadratura numérica de Gauss. La ECUACION DE EQUILIBRIO se obtiene minimizando la Energía Potencial Total de la estructura: (1) Se define un vector global de desplazamientos nodales que contiene los desplazamientos de cada nodo; (2) La energía de deformación total de la estructura se expresa en términos del vector global de desplazamientos nodales y de una matriz que representa la rigidez de la estructura global, denominada MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL; Y (3) El vector global de desplazamientos nodales se utiliza también para constituir la expresión del trabajo potencial de las fuerzas externas. El proceso de minimización de la energía potencial total de la estructura da como resultado que el problema matemático que hay que resolver ha quedado reducido a un sistema de ecuaciones lineales, cuya expresión matricial es la siguiente:

Que es la que se denomina ECUACION DE EQUILIBRIO, donde aparecen todos los actores mencionados anteriormente: (a) MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL de la estructura, (b) VECTOR GLOBAL DE DESPLAZAMIENTOS NODALES, y (c) VECTOR DE FUERZAS NODALES equivalente a las fuerzas aplicadas sobre la estructura. Para construir la MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL se utilizan las matrices de rigidez de cada elemento, para ello: (1) El tamaño de las matrices de rigidez de cada elemento se incrementa para hacerlo compatible con el vector global de desplazamientos nodales; y (2) Cada una de las entradas de la matriz de rigidez global es suma de las contribuciones de las entradas de cada matriz de rigidez de cada elemento. Una vez la matriz de rigidez global ha sido calculada, la ecuación de equilibrio se particiona, para separar los desplazamientos nodales conocidos de los desplazamientos


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nodales desconocidos, teniendo en cuenta que: (1) En aquellos nodos cuyos desplazamientos son conocidos, las reacciones serán desconocidas; (2) En aquellos nodos cuyos desplazamientos sean desconocidos (la mayoría), las fuerzas exteriores serán conocidas (cero en su mayoría); y (3) Una vez resuelto el sistema de ecuaciones lineales resultado de este proceso de particionado, será posible obtener otros resultandos, como son las tensiones, mucho más útiles desde el punto de vista del diseño.

1.3. Utilidad del Módulo. Todas las razones que motivan la existencia de este módulo parten de la base que la única manera de aprender algo es haciéndolo (Confucio), y que en un curso universitario una forma de provocar este proceso de aprendizaje es proporcionando a cada uno de sus alumnos un modelo similar pero distinto con el que llevar a cabo el proceso. Para ello se ha preparado un material variado, amplio y que se pretende sea de gran ayuda para tomar un primer contacto con las técnicas de diseño y simulación computacionales por elementos finitos. Dada la imposibilidad física y material de disponer de una gran variedad de piezas mecánicas con las que realizar las actividades que se proponen, el pretender realizar esta actividad virtualmente con ayuda de componentes Lego Technic seleccionados supone una solución práctica ingeniosa. La finalidad fundamental que se busca es la familiarización del alumno con las técnicas computaciones de simulación. Los componentes mencionados se consideran adecuados para alcanzar este objetivo. Pero lógicamente para poder abordar la simulación se ha de tener acceso a modelos virtuales de las piezas a analizar, modelos que se han creado en programas de CAD. La selección de este tipo de programas que se realiza contribuye a presentar de forma práctica las herramientas computacionales disponibles desde un punto de vista profesional. Sin embargo, por ser la asignatura de la que forma parte este módulo una asignatura introductoria, orientada a presentar los métodos matemáticos utilizados en la ingeniería, el resto de las actividades propuestas se enmarcan dentro de la línea de presentar y utilizar el programa “Mathematica”, que se considera muy adecuado para poner en práctica algunos conceptos fundamentales sobre el Método de los Elementos Finitos. Conceptos introductorios que deberían desarrollarse en asignaturas posteriores.

1.4. Conocimientos Previos. Dado que la creación de los componentes que se utilizan fue realizada con anterioridad, en las actividades en la que se utilizan no es necesario tener conocimiento previo sobre el uso de programas de CAD. En este módulo, mediante documentos MP4 se muestra de forma simple el proceso de simulación que hay que realizar utilizando uno de esos componentes como modelo, realizando la actividad con diferentes programas de CAD y de Elementos Finitos, todos los cuales se encuentran ya instalados en las aulas informáticas de la Escuela y en las disponibles en el Área de Ingeniera Mecánica del DIMM. Para otra de las actividades se utilizan uno de los programas de CAD, el Solidworks, para crear una pieza sobre la que aplicar por segunda vez una simulación por Elementos Finitos, disponiendo también de un documento MP4 que muestra el proceso completo, aunque cada alumno haya de personalizarlo de forma adecuada. En las actividades que tienen a la aplicación “Mathematica” como protagonista, es necesario utilizar los conceptos que sobre el Método de los Elementos Finitos aplicado al problema de Tensión Plana se proporcionan en las correspondientes secciones de “contenidos” de Poliformat de la asignatura.

1.5. Objetivos. De acuerdo con las finalidades planteadas este módulo de aprendizaje tiene los siguientes objetivos: 1.‐ Facilitar la adquisición de destrezas en el uso de los programas de CAD y/o de Simulación por Elementos Finitos.


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Se parte de la base que el alumno no ha utilizado nunca uno de estos programas, y mediante los documentos MP4 proporcionados se les muestra el camino a seguir para completar las actividades. Es mucho lo que quedaría por hacer una vez finalizadas estas actividades para llegar a controlar adecuadamente cualquiera de las aplicaciones informáticas utilizadas. Supones que en asignaturas posteriores se podrán ampliar los conocimientos y destrezas proporcionadas en esta. 2.‐ Introducir el uso de la aplicación informática “Mathematica”. Dado que el autor de este módulo considera que esta es la aplicación informática de su especialidad más importante y con más futuro de entre las existentes, a lo largo de las actividades que se proponen se pretende permitir la adquisición de destrezas suficientes como para poder desarrollar en asignaturas posteriores relacionadas, el Método de los Elementos Finitos, y en general, poder plantear y resolver cualquiera de los problemas matemáticos que la ingeniería industrial plantea.

1.6. Esquema de Contenidos (#). Los contenidos incluidos en este módulo y la descripción de las actividades prácticas propuestas se muestran esquemáticamente en la siguiente imagen. En primer lugar, tal y como hemos visto, se presenta el METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS, aplicando a un problema clásico cual es el de la TENSION PLANA.

Se plantea la PRIMERA ACTIVIDAD, que consiste en la realización con una pieza seleccionada, de una simulación resistente de la misma, bajo las condiciones de contorno y carga más simples a considerar especificadas “a priori”, utilizando diversas aplicaciones informáticas tanto de tipo CAD como de elementos finitos. Para su realización a cada alumno interesado se le proporciona una pieza diferente, y los documentos MP4 que muestran como realizarla con la pieza tomada como modelo.

La SEGUNDA ACTIVIDAD pretende introducir al alumno en la creación de la geometría virtual de la pieza a analizar. Para ello se proporciona otro documento MP4 que muestra cómo realizarla, pero se propone que la pieza en cuestión este personalizada adecuadamente. Se lleva a cabo un análisis resistente bajo condiciones establecidas por el alumno.


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Para introducir en el uso de la aplicación “Mathematica” y permitir el aprendizaje de conceptos básicos del MEF, en la TERCERA ACTIVIDAD se obtienen las funciones de forma y se implementa el cálculo de la matriz de rigidez de un ELEMENTO de “TRANSICION” RECTANGULAR PLANO, en condiciones de tensión plano, con material elástico lineal, considerando el problema estático. A cada alumno se le proporciona una diferente. Previamente se presentan documentos NB que muestran como realizar las dos partes en que puede subdividirse esta actividad: (1) la obtención de las funciones de forma de un conjunto representativo de elementos cuadriláteros regulares y “serendipitos”; y (2) la implementación computacional del cálculo de la matriz de rigidez de alguno de estos elementos. El desarrollo se realiza con un elemento de “transición” que se toma como modelo.

La CUARTA ACTIVIDAD sirve para complementar la anterior, pero en este caso aplicándola a un ELEMENTO de “TRANSICION” TRIANGULAR PLANO, de nuevo en condiciones de tensión plana, con material elástico lineal, considerando el problema estático. De nuevo se proporcionan previamente documentos NB que muestran como realizar las dos partes en que puede subdividirse esta actividad: (1) la obtención de las funciones de forma de un conjunto representativo de elementos triangulares regulares; y (2) la implementación computacional del cálculo de la matriz de rigidez de alguno de estos elementos. El desarrollo se realiza con un elemento de “transición” que se toma como modelo. El procedimiento resulta en este tipo de elemento notablemente más complicado desde el punto de vista matemático.


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La QUINTA ACTIVIDAD, que está en desarrollo, consiste en resolver una viga en voladizo plana utilizando los elementos de transición desarrollados en las actividades previas. Aporta la novedad de considerar más de un elemento, y por lo tanto tener que realizar el denominado “ensamblado” de ellos. La comprobación de los resultados hay que realizarla con ayuda de la aplicación “Ansys Classic”. Cada alumno ha de utilizar los elementos de “transición” que ha implementado en las actividades previas, siendo el dominio a analizar el mismo para todos. Se proporciona un documento MP4 que muestra cómo crear el modelo de la viga en “Ansys Classic” y como realizar su simulación.

Por último la SEXTA ACTIVIDAD, que también está en desarrollo, conlleva la solución de un problema de tensión plano, utilizando un DOMINIO PLANO genérico, diferente para cada alumno, que ha de virtualizar con la ayuda de Solidworks. Para ello se utilizan los elementos implementados en “Mathematica” disponibles, desarrollados en las secciones que figuran en “contenidos” de Poliformat. La comprobación ha de realizarse simulando el dominio con la aplicación “Ansys Classic”.

Para terminar se resume el contenido del módulo y se indica la forma de evaluar el trabajo del alumno.

1.7. Secuencia de Aprendizaje (#). Se considera que el proceso que ha de seguir un alumno para conseguir los objetivos establecidos es el siguiente: 1.‐ Lectura de contenidos de esta Introducción y de la revisión histórica. Tiempo estimado 15 minutos. Se presenta globalmente los contenidos y actividades a realizar durante el periodo de tiempo que dura la docencia impartida por el Área de Ingeniera Mecánica en esta asignatura. Los contenidos se presentan de forma resumida pero completa. En las secciones correspondientes se tendrá ocasión de profundizar en ellos. 2.‐ Realización de las dos primeras ACTIVIDADES PRACTICAS que se proponen. Tiempo estimado 45 minutos por actividad.


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Teniendo en cuenta que se supone es la primera vez que se toma contacto con las aplicaciones informáticas de CAD, elementos finitos y “Mathematica”, mencionadas en las citadas actividades, es necesario dedicar más tiempo del que un usuario experto dedicaría a la realización de dichas actividades. En la primera de ellas hay que realizar un análisis estático sencillo sobre una pieza ya elaborada con dos de los programas disponibles. Y en la segunda hay que crear con un programa de CAD una pieza sencilla, que se lee con el programa Ansys Classic, se malla con el utilizando diferentes elementos, y por último se leen los datos de las malla generada con el programa “Mathematica”, lo que constituye una primera toma de contacto sencilla con esta aplicación. 3.‐ Presentación formal del “Problema de la Tensión Plana”. Tiempo estimado 20 minutos. Por ser el problema con el que se va a presentar el “Método de los Elementos Finitos” conviene relacionar su presentación con los contenidos de otras asignaturas. En cualquier caso conviene fijarse en los aspectos fundamentales del mismo, sin pretender profundizar demasiado. Por eso se le dedica un tiempo reducido, pero suficiente. 4.‐ Revisión del “Elemento Triangular de Turner”. Tiempo estimado 30 minutos. Dado que una de los objetivos es aprender a implementar elementos finitos para el problema mencionado, en esta sección se presentan al mismo tiempo los conceptos teóricos relacionados y la forma de utilizarlos dentro de la aplicación “Mathematica”. Con ello se pretende aprender a entender el método numérico que subyace debajo de los elementos finitos, y a mejorar en el uso sistemático de la aplicación “Mathematica”. 5.‐ Presentación de la “Representación Isoparamétrica”. Tiempo estimado 10 minutos. Esta constituye una de las ideas fundamentales que han contribuido a la sistematización del método. Pero no deja de ser una idea simple, y por ello el tiempo dedicado a ella es corto. 6.‐ Revisión del “Elemento Cuadrilátero de Irons”. Tiempo estimado 30 minutos. De nuevo en esta sección se presentan al mismo tiempo los conceptos teóricos relacionados y la forma de utilizarlos dentro de la aplicación “Mathematica”. En esta ocasión se presenta y utiliza la idea de la “integración numérica”, fundamental en el planteamiento sistemático del método. 7.‐ Revisión del “Método del Productos de Curvas” para la obtención de las funciones de forma. Tiempo estimado 20 minutos. Esta constituye otra de las ideas que han contribuido a la sistematización del método de los elementos finitos. Se presenta al “Método del Producto de Curvas” aplicándolos a algunos elementos triangulares y cuadriláteros básicos. 8.‐ Implementación de cuadriláteros Isoparamétricos. Tiempo estimado 20 minutos. En base a la lección 23 de Carlos A. Felippa se muestra como llevar a cabo la implementación en “Mathematica” de un cuadrilátero de 4 nodos, presentando la que va a ser la estructura general de la implementación de cualquier elemento de este tipo. 9.‐ Funciones de forma e implementación de Elementos Cuadriláteros Regulares. Tiempo estimado 20 minutos. En base a documentos NB de “Mathematica” se procede a la aplicación del “Método del Producto de Curvas” a la obtención de las funciones de forma de todos los elementos cuadriláteros regulares hasta grado 8, y a la implementación computacional en “Mathematica” de uno de ellos, aplicándolo a dos dominios simples, el rectángulo y el trapecio, para comprobar el efecto de la integración numérica al calcular la matriz de rigidez cuando el dominio no es regular. 10.‐ Funciones de forma e implementación de Elementos Cuadriláteros Serendipitos. Tiempo estimado 30 minutos.


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En base a documentos NB de “Mathematica” se procede a la aplicación del “Método del Producto de Curvas” a la obtención de las funciones de forma de todos los elementos cuadriláteros “Serendipitos” hasta grado 8, y a la implementación computacional en “Mathematica” de uno de ellos, aplicándolo a dos dominios simples, el rectángulo y el trapecio. La obtención de las funciones de forma, al ser estos elementos no regulares, conlleva la utilización de curvas de grado superior a uno, por lo que resulta interesante su revisión. 11.‐ Realización de la TERCERA ACTIVIDAD PRÁCTICA. Tiempo estimado 45 minutos. Se trata de obtener las funciones de forma e implementar con “Mathematica” un elemento cuadrilátero de “transición”, denominado de esta forma por no tener nodos en todos aquellos lugares que los tendría un regular o serendipito de los utilizados en secciones anteriores. El procedimiento que se utiliza para la obtención de las funciones de forma es el “Método del Producto de Curvas” explicado, pero con los matices que requiere su utilización en elementos no regulares, tal y como indica el Prof. Carlos A. Felippa en sus lecciones. Es decir, se distingue entre la obtención de las funciones de forma en nodos no esquina para los que se sigue el procedimiento conocido, y en los nodos esquina, que conlleva la modificación adecuada del procedimiento para conseguir que la suma de todas las funciones de forma sea la unidad. Cada alumno recibe un elemento personalizado con el que realizar la actividad. 12.‐ Implementación de triángulos Isoparamétricos. Tiempo estimado 40 minutos. En base a la lección 24 de Carlos A. Felippa se muestra como llevar a cabo la implementación en “Mathematica” de un triángulo de 10 nodos, presentando la que va a ser la estructura general de la implementación de cualquier elemento de este tipo. Dado que la obtención de las derivadas de las funciones de forma en este tipo de elementos es más complicada, se considera que ha de dedicarse un tiempo suficiente para mostrar los detalles de la misma. 13.‐ Funciones de forma e implementación de Elementos Triangulares Regulares. Tiempo estimado 25 minutos. En base a documentos NB de “Mathematica” se procede a la aplicación del “Método del Producto de Curvas” a la obtención de las funciones de forma de todos los elementos Triangulares regulares hasta grado 8, y a la implementación computacional en “Mathematica” de uno de ellos, aplicándolo a dos dominios simples, el triángulo superparamétrico de lados rectos, y al triangulo “globular” de lados curvos. 14.‐ Realización de la CUARTA ACTIVIDAD PRÁCTICA. Tiempo estimado 45 minutos. Se trata de obtener las funciones de forma e implementar con “Mathematica” un elemento triangular de “transición”, denominado de esta forma por no tener nodos en todos aquellos lugares que los tendría uno regular de los utilizados en secciones anteriores. El procedimiento que se utiliza para la obtención de las funciones de forma es el “Método del Producto de Curvas” explicado, pero con los matices que requiere su utilización en elementos no regulares, tal y como indica el Prof. Carlos A. Felippa en sus lecciones. Es decir, se distingue entre la obtención de las funciones de forma en nodos no esquina para los que se sigue el procedimiento conocido, y en los nodos esquina, que conlleva la modificación adecuada del procedimiento para conseguir que la suma de todas las funciones de forma sea la unidad. Cada alumno recibe tras solicitarlo en elemento personalizado con el que realizar la actividad.


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