GEOMETRÍAGEOMETRÍA

Cuadriláteros Cuadriláteros

Es un polígono de cuatro lados.

CUADRILÁTEROSCUADRILÁTEROS

Se clasifican según el número de pares de lados opuestos paralelos.

CUADRILÁTEROS

Paralelogramos Dos pares de lados paralelos

Trapecios

Trapezoides Cero par de

lados paralelos

Cuadrados

Rombos

Romboides

Rectángulos

Trapecios isósceles

Trapecios escalenos

Trapezoides simétricos

Trapezoides asimétricos

Trapecios Rectángulos

Al menos un par de lados

paralelos

Caracterización de los Paralelógramos:

 CuadradoEs aquel paralelógramo que tiene sus cuatro lados de igual medida y sus ángulos interiores todos rectos.

D C

A B

ABCD es un cuadrado:

º90DmCmBmAm

DAmCDmBCmABm Si

Rectángulo: es aquel paralelógramo que tiene sus lados opuestos de igual medida y sus ángulos interiores todos rectos.

D C

A B 90ºDmCmBmAm

BCmADm DCmABm Si

rectángulo un es ABCD

Rombo: es aquel paralelógramo cuyas medidas de sus lados son iguales y sus ángulos interiores opuestos son congruentes.

D

A C

B

DmBm CmAm

DAmCDmBCmABm Si

rombo un es ABCD

Romboide: es aquel paralelógramo que tiene sus pares de lados opuestos de igual medida y sus ángulos interiores opuestos son congruentes.

D C

A B

DmBm CmAm

ABm Si

romboideun es ABCD

BCmADmDCm

D C

A B

DmBm CmAm

DAmCDmBCmABm Si

escaleno trapecio un es ABCD

trapecio) de (condición ABDC //

Trapecio escalenoEs aquel trapecio que tiene sus cuatro lados de distinta medida y sus ángulos Interiores también de distinta medida.

Características de los Trapecios

Trapecio isóscelesEs aquel trapecio cuyos lados no paralelos tienen la misma

medida y los ángulos basales son congruentes.

D C

A B

básales) (ángulos DmCm

BmAm ;ADm Si

isósceles ioun trapec es ABCD

BCm

trapecio)de (condición ABDC

Trapecio rectángulo Es aquel trapecio en el cual uno de los lados no paralelos

forma un ángulo recto con cada lado paralelo.

D C

A B

90º mAm

rectángulo ioun trapec es ABCD

D

║

trapecio)de (condición ABDC║

Características de los Trapezoides

Los trapezoides son aquellos que carecen de los lados opuestos paralelos y se clasifican en:

D

A C

B

DmBm

DCmBCm DAmABm Si

simétrico trapezoide un es ABCD

(un par de ángulos interiores congruentes / m B y D )

Trapezoides simétricosTrapezoides simétricos

Es aquel trapezoide que tiene dos lados consecutivos de igual medida y un par de ángulos interiores congruentes.

Trapezoides asimétricosTrapezoides asimétricos

Son aquellos trapezoides que corresponden a cuadriláteros cualesquiera que no poseen algunas de las características anteriores.

D

A C

B

Suma de ángulos interiores de un cuadriláteroSuma de ángulos interiores de un cuadrilátero

Los cuadriláteros como polígonos de cuatro lados asumen las propiedades de los polígonos, esto es, la suma de los ángulos interiores es 360º.

Propiedades generales de los paralelogramos.Propiedades generales de los paralelogramos.

Propiedad 1: BCAD CDAB ////

D C

A B

Propiedad 2: En todo paralelógramo al trazar una de sus diagonales

se forman dos triángulos congruentes.

D C

A B

CDAABC

diagonalAC

:

Propiedad 3: En los paralelógramos, los lados opuestos tienen

siempre la misma medida.

D C

A B

ADmBCm DCmABm

 Propiedad 4: En todo paralelogramo los ángulos interiores opuestos son siempre congruentes

D C

A B

DmBm CmAm

Propiedad 5: En un paralelogramo, los ángulos interiores

consecutivos son suplementarios.

D C

A B º

º

º

º

180AmDm

180DmCm

180CmBm

180BmAm

 Propiedad 6: En un paralelógramo, al trazar ambas diagonales, éstas se intersectan siempre en un punto (se dimidian).

M

D C

A B

, DMmMBmMCmAMm

MDBAC

Donde M es punto medio.

Propiedad 7: Al trazar una diagonal en un paralelógramo, se

forman ángulos alternos internos.

A B

D C

internos alternos ángulos

ACBmDACm DCAmCABm

diagonalAC

El conjunto de los paralelógramos considera al cuadrado, al rectángulo, al rombo y al romboide; cada uno de estos cuadriláteros cumple las siete propiedades señaladas anteriormente y a su vez, cada uno de ellos, cumple además otras propiedades que le son propias.

Propiedades del CuadradoPropiedades del Cuadrado

Propiedad 1: El cuadrado es equiángulo, cada ángulo interior mide 90º (todos los ángulos interiores son congruentes)

Propiedad 2: El cuadrado es equilátero, esto es sus cuatro lados

tienen la misma medida.

Propiedad 3: Sus diagonales se intersectan en el punto medio formando ángulos rectos, es decir, en un cuadrado las diagonales se bisecan perpendicularmente.

Propiedad 4: Al trazar las diagonales, se forman cuatro triángulos rectángulos congruentes.

Propiedad 5: Cada una de las diagonales del cuadrado es bisectriz de los ángulos interiores opuestos, esto es al trazar ambas diagonales se forman 8 ángulos congruentes de 45º.

 Propiedad 6:La medida de la diagonal de un cuadrado es igual al lado del cuadrado por raíz de dos.

Propiedades del Rectángulo.Propiedades del Rectángulo.

Propiedad 1: El rectángulo es equiángulo, esto es, tiene sus ángulos interiores congruentes, cada uno de ellos es recto.

Propiedad 2: Las diagonales de un rectángulo son siempre congruentes. Esto es, tienen siempre la misma medida.

Propiedad 3: Cada una de las diagonales de un rectángulo forman, en la región interior, dos triángulos congruentes.

Propiedad 4: La diagonal de un rectángulo se establece a través de la aplicación del teorema de Pitágoras.

Propiedades del RomboPropiedades del Rombo

Propiedad 1: El rombo es un paralelógramo equilátero, es decir sus

lados son congruentes.

Propiedad 2: Las diagonales en un rombo se dimidian perpendicularmente, esto es que se intersectan en el punto medio de cada una.

Propiedad 3: Las diagonales de un rombo forman cuatro triángulos congruentes

Propiedad 4: Las diagonales de un rombo son bisectrices de los ángulos interiores.

Propiedades del RomboidePropiedades del Romboide

El romboide es el único paralelógramo que no tiene propiedades especiales, sino que sólo las comunes de todo paralelógramo, por esta razón el romboide es la figura que representa a un paralelógramo.

Cuadro de resumen de las propiedades de los paralelogramos:

PROPIEDADES CUADRADO RECTÁNGULO ROMBO ROMBOIDE

Lados opuestos paralelos 

X X X X

Lados opuestos de igual medida ()

X X X X

Ángulos opuestos de igual medida ()

X X X X

Ángulos consecutivos suplementarios

X X X X

Diagonales forman 2 triángulos congruentes ()

X X X X

Diagonales se dimidian 

X X X X

Ángulos alternos internos congruentes

X X X X

4 ángulos interiores rectos 

X X    

4 lados congruentes 

X   X  

Diagonales congruentes 

X X    

Diagonales perpendiculares 

X   X  

Diagonales son bisectrices 

X   X  

Forman 4 triángulos congruentes X   X  

Trapecios: son aquellos cuadriláteros que tienen solo un par de

lados paralelos

A E B

 

D C

M N

h

CD//AB trapecio,es ABCD

- En un trapecio los lados paralelos son llamados bases del trapecio. En la figura trapecio. del bases las son CD AB

- La altura de un trapecio corresponde a la perpendicular bajada desde un punto de una base a la otra base.

trapecio. del altura la a ecorrespond DE trazo el figura la En

  - Mediana de un trapecio está definida como el trazo que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio. En la figura M y N son los puntos medios de los lados no paralelos, el trazo corresponde a la mediana.

MN

La medida de una mediana en el trapecio queda determinada por la La medida de una mediana en el trapecio queda determinada por la semisuma de las bases.semisuma de las bases.

mediana. la de medida : MN m figura laEn 2

DCmABmMNm

Los ángulos formados en una base son llamados ángulos Los ángulos formados en una base son llamados ángulos básales.básales.

En la figura son ángulos básales:

ABCDAB

DCBADC

Por otra parte es posible señalar que los ángulos interiores, que tienen un lado común no paralelo del trapecio son suplementarios, esto es:

º180ADCmDABm º180ABCmDCBm

A E B

 

D C

M N

h