Área de Cuadriláteros y Triángulos

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Área de cuadriláteros y triángulos Cuadriláteros Dentro de los cuadriláteros podemos distinguir tres grupos: los paralelogramos, los trapecios y trapezoides. 1) Paralelogramos: son aquellos cuadriláteros que poseen dos pares de lados paralelos. Cuadrados y rectángulos Dibujaremos un cuadrado de 3 cm y colocaremos sobre él centímetros cuadrados. Obtuvimos 9 cm 2 , lo mismo que si multiplicamos lado por lado, de este modo: 3 cm x 3 cm = 9 cm 2 Si llamamos a al lado del cuadrado, podemos concluir que: El área de un cuadrado es a x a = a 2 El área de un rectángulo se calcula de forma semejante, lo único que cambia es que las medidas de los lados son distintas. Al largo, lo denominaremos a, y al ancho, b. Calcularemos el área del siguiente rectángulo con centímetros cuadrados.

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rea de cuadrilteros y tringulosCuadrilteros

Dentro de los cuadrilteros podemos distinguir tres grupos: los paralelogramos, los trapecios y trapezoides.1) Paralelogramos: son aquellos cuadrilteros que poseen dos pares de lados paralelos.Cuadrados y rectngulosDibujaremos un cuadrado de 3 cm y colocaremos sobre l centmetros cuadrados.

Obtuvimos 9 cm2, lo mismo que si multiplicamos lado por lado, de este modo:3 cm x 3 cm = 9 cm2Si llamamos a al lado del cuadrado, podemos concluir que:El rea de un cuadrado es a x a = a2El rea de un rectngulo se calcula de forma semejante, lo nico que cambia es que las medidas de los lados son distintas. Al largo, lo denominaremos a, y al ancho, b. Calcularemos el rea del siguiente rectngulo con centmetros cuadrados.

El rea equivale a 8 cm2.Matemticamente se puede obtener multiplicando largo por ancho.En frmula, el rea de un rectngulo es a x b, donde a es el alto y b, la altura.Rombos y romboidesEstos paralelogramos no tienen ngulos rectos, por lo que en ellos no se puede aplicar la misma frmula. Para calcular su rea, recurriremos a un elemento secundario: la altura, un segmento perpendicular (forma ngulos de 90) que une un lado con su vrtice opuesto.

En el rombo y romboide dibujados, DE corresponde a la altura.Por qu necesitamos la altura para calcular el rea?Trazaremos una paralela a la altura desde C y prolongaremos el lado AB hasta obtener F.Se form un tringulo BFC, congruente con AED y nos qued el rectngulo EFCD.

El rectngulo formado tiene como largo el lado del rombo o romboide, y su ancho es la altura dibujada. Entonces, concluimos que:El rea del rombo o romboide = b x h, donde b es la base y h, la alturaEn resumen, cualquier paralelogramo tiene una sola frmula para calcular su rea, ya que, en el cuadrado y en el rectngulo, un lado es la base y el otro, la altura. Entonces:rea de un paralelogramo = b x h, donde b es la base y h, la alturaVeamos un ejemplo:

Calculemos el rea de un rombo que tiene 4,6 cm por lado y su altura es de 3 cm. Apliquemos la frmula:

rea rombo = b x hrea rombo = 4,6 cm x 3 cmrea rombo = 13,8 cm22) Trapecios: sabemos que los trapecios son cuadrilteros que tienen un par de lados paralelos llamados bases. Sus lados, es decir, los no paralelos, no son perpendiculares a las bases, salvo el trapecio rectngulo que tiene perpendicular uno de ellos. Para el clculo de su rea tambin necesitamos considerar la altura.

Para formar un rectngulo trazamos la paralela a DE desde B y prolongamos DC hasta formar F.

Nos queda el AED CFB y nuestro rectngulo es EBFD.

El rectngulo tiene como largo la mitad de la suma de las bases del trapecio y su ancho es la altura que trazamos. El rea del trapecio se puede calcular aplicando la frmula:

Calculemos el rea de nuestro trapecio:

3) Trapezoides: estos cuadrilteros no poseen lados paralelos.

Para obtener el rea de un trapezoide debemos aprender primero a calcular el rea de un tringulo.Tringulos

El clculo del rea de un tringulo cualquiera, se relaciona con el rea de un romboide:rea de un romboide = base x alturaCmo podemos relacionar tringulo y romboide?Lo haremos a travs del siguiente dibujo:

A nuestro ABC, le trazaremos una paralela al lado AC a partir de B, y una paralela a AB a partir de C.

Se ha formado un romboide donde el ABC es la mitad de l.

Como el es la mitad del romboide obtenemos que el rea deles igual a la mitad del rea del romboide. Entonces:

Calculemos el rea del siguiente tringulo:

Reemplazando los datos en la frmula obtenemos:

Tringulo rectngulo:

Si el es rectngulo, su rea se puede calcular por medio de sus catetos, que son los lados perpendiculares, porque un cateto es la altura del otro.Entonces, la frmula para su clculo sera:

Calculemos el rea del siguiente tringulo rectngulo:

Ahora que ya sabemos como obtener el rea de un tringulo, podremos calcular el rea de un trapezoide:

Consideremos el siguiente trapezoide:

Partiremos dibujando un trazo entre dos vrtices opuestos para as obtener dos tringulos:

El rea del trapezoide ser la suma del rea de ambos tringulos. Como sabemos que el rea de un tringulo es la mitad del producto entre la base y la altura, dibujaremos ahora la altura de ambos tringulos:

El rea del trapezoide ser entonces la siguiente:

Como ya sabemos calcular el rea de tringulos y cuadrilteros podemos obtener el rea de figuras formadas por ambos.

Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a achurarla, es decir, se pinta o raya imitando texturas.

Algunas veces, la parte achurada est formada por la unin de reas de figuras, por lo tanto, hay que descomponerla, luego hacer el clculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el rea total.

Veamos el siguiente ejemplo:Tenemos la siguiente figura

Si te das cuenta, nuestra figura est formada por un rectngulo y un tringulo, por lo tanto, el rea de sta ser la suma del rea de ambas figuras.

Si AB = 8 m; BC = 3 m y la altura del tringulo es 2 m. Cul es el rea de nuestra figura en cm2?

rea del rectngulo = AB x BC = 8 x 3 = 24 m2rea del tringulo = AB x H = 8 x 2 = 16 m2

rea de nuestra figura = 24 m2 + 16 m2 = 40 m2

Ahora que ya tenemos el rea de nuestra figura en m2, debemos buscar su equivalencia en cm2.Recordemos que el cm2 es una unidad de medida ms pequea que el m2, por lo tanto, tendremos que multiplicar por potencias de 100 para obtener nuestro resultado en cm2.

Veamos la siguiente tabla:

40 x 100 = 4 000 dm24 000 x 100 = 400 000 cm2

El rea de nuestra figura es 400 000 cm2.

Otras veces, para obtener el rea achurada, debemos descomponer la figura en figuras conocidas y restar sus reas.

Veamos un ejemplo:Tenemos la siguiente figura

Nuestra figura est formada por un rectngulo y un trapecio. Para obtener el rea achurada, debemos obtener el rea del rectngulo y restarle el rea del trapecio.

Si: AB = 1 200 mm; BC = EF = 600 mm. Cul es el rea de lo achurado en cm2?

rea rectngulo = AB x BC = 1 200 x 600 = 720 000 mm2rea trapecio = ((CD + EF) x BC) / 2 = (( 1 200 + 600) x 600) / 2 = (1 800 x 600) / 2 = 540 000 mm2

Ahora que ya tenemos el rea de ambas figuras, podremos obtener el rea achurada:

rea achurada = rea rectngulo - rea trapecio = 720 000 mm2 - 540 000 mm2 = 180 000 mm2

Busquemos ahora la equivalencia de 180 000 mm2 en cm2. Como el cm2 es una unidad de medida ms grande que el mm2, debemos dividir por una potencia de 100.

Observemos la siguiente figura:

180 000 : 100 = 1 800 cm2

El rea de nuestra figura es de 18 m2.