Modulo 1. Area III

8/13/2019 Modulo 1. Area III

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1

SEMANA INGULOS

Es la reunin de dos rayos que tienen el mismoorigen o extremo.

A

BO

Vrtice

Notacin : AOB ; BOA Medida del ngulo : m AOB = ; BOA =

BISECTRIZ DE UN NGULORayo que biseca al ngulo.

B

Bisectrizde

A

OA

CLASIFICACIN DE LOS NGULOSI. NGULO CONVEXO: Cuya medida est

comprendida entre0 < < 90NGULO AGUDO

0 0 < < 90

NGULO RECTO

0

90

= 90

NGULO OBTUSO

0

B

90 < b < 180

NGULO LLANO

180

0 = 180

2. NGULO CNCAVOSe mide ms de:

180 < < 360

+ + + = 360

POR SU POSICIN

NGULOS CONSECUTIVOS O ADYACENTES

B

A

CSon consecutivos si tiene el mismo vrtice, un ladocomn.

NGULOS OPUESTOS POR EL VRTICE

NGULOS COMPLEMENTARIOS

+ = 90Complemento de un ngulo x : CXCX= 90 - x


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2

NGULOS SUPLEMENTARIOS

+ = 180Suplemento de un ngulo x : SX

SX= 180 - x

NOTA: El complemento del suplemento de x : CSX SSX= X CC=

NGULOS DETERMINADOS SOBRE DOSPARALELOS Y UNA SECANTE

L1 y L2 son los paralelosL3 la secante

L1

L3

L2

12

4 3

56

78

NGULOS CORRESPONDIENTES

51 ; 62 73 ; 84

NGULOS ALTERNOS INTERNOS53 ; 64

NGULOS ALTERNOS EXTERNOS71 ; 82 PROPIEDAD:

x

y

+ + = X + YPRACTICA N 011. BOA , COB , DOC , EOD y FOE , sonconsecutivos y FOA llano. OB biseca COA , OEbiseca FOD y EOB mide 112. Halla la medida de

DOC .A) 44 B) 54 C) 64 D) 68 E) 34

2. Desde un punto O es un mismo plano setrazan los rayos OA , OB, OC y OD de modo quese forman los ngulos AOB, BOC, COD y DOAconsecutivos, si se sabe que ngulo AOC = 3AOB

2mBOC = mCODmDOA = 2 mCOD .Halla el valor de mAOB y mBOC.A) 24 Y 48 B) 40 Y 20C) 20 Y 40D) 53 Y 37E) 30 Y 60

3. La suma de los ngulos consecutivos BOA yCOB es 80 ( BOA < COB ) se trazan las bisectrices

ON y OM de dichos ngulos. Calcula el nguloBOC sabiendo que la bisectriz del ngulo MON forma con OB un ngulo de 10.A) 30 B) 60 C) 20 D) 90 E) 10

4. Se tiene los ngulos consecutivos AOB , BOC,

COD y DOE tal que 432 COEmBODmAOCm .Calcula:

m AOB + m COD, si:m BOC + m DOE = 40 ymBOD = 30

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 15

5. En los ngulos adyacentes AOB y BOC, secumple que mBOC = 90; la bisectriz OB delngulo BOC es perpendicular a OA. Calcula lamedida del ngulo formado por la bisectriz del

ngulo AOB y ON.A) 60 B) 96 C) 7130 D) 6730 E) 65

6. El complemento de un ngulo es igual a los 2/5del suplemento del mismo ngulo Calcula cules su valor?.A) 60 B) 30 C) 45 D) 75 E) 90

7. Si: C complemento S suplemento.Siendo: C+ SC+ SSCC4 = 200Calcula: .

A) 10 B) 15 C) 5 D) 20 E) 258. La medida de un ngulo es x, si la diferenciaentre los 5/6 del suplemento de x y elcomplemento de la mitad de la medida de dichongulo excede en x/15 al doble del complementode x.Calcular el suplemento del complemento de x.A) 125 B) 135 C) 145 D) 155 E) 165

9. Un ngulo llano es dividido en cinco ngulosparciales en progresin aritmtica. Calcula el

ngulo menor sabiendo que el cuadrado de sumedida es igual al ngulo mayor.A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 25

10. Se tienen los ngulos consecutivos AOB,BOC, COD, DOE, EOF de tal manera que:m AOD=m


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3

y OM

. Evala la medida del ngulo BOC si la

bisectriz del ngulo NOM determina con OB

unngulo que mide 20.A) 90 B) 40 C) 80 D) 60 E) 70

12. Siendo L1// L2calcula

20L2

L1

A) 100 B) 80 C) 120 D) 60 E) 110

13. Calcular el valor de si 21 //LL

43 //LL

y 56 LL

2 L2

L1

L15

L3

L6

L430

A) 40 B) 15 C) 45 D) 60 E) 30

14. Si: 21 //LL

; toma su mximo valor entero ylas prolongaciones de AB y CD se intersecan.Calcular el valor de x.A) 10

B) 15C) 20D) 25E) 30

15. Si: 21 //LL

; calcular el valor de x si:

+ = 275.

4x

L2L1

x

260-

A) 50 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25

16. Segn el grfico 1 2 3 4L // L y L // L

y

5 6L / / L

. Identifica el valor de x.A) 25B) 40C) 10

D) 30E) 20

17. Si: 1 2L //L

, Identifica el valor de X.A) 150B) 130C) 120D) 160E) 135

18. Si: 1 2L //L

Determina el valor de X.

A) 55 B) 77 C) 67D) 60 E) 35

19. Si: 1 2L //L

, Determina el valor de X.

A) 55 B) 77 C) 36D) 60 E) 72

20. Si: 1 2L //L

, evala el mximo valor entero de

X. Si ) JCR es agudo

A) 55 B) 44 C) 45D) 47 E) 46

TRINGULOS PROPIEDADES BSICASCONCEPTO. Es la figura geomtrica que se obtiene alunir tres puntos no colineales mediante segmentos derecta.


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4

1. ELEMENTOS: Vrtices: A , B y C

Lados: AB , BC y AC

Medida de los ngulos internos: , , Medida de los ngulos externos: X , Y, Z Permetro de la regin triangular ABC:

(2PABC) = a + b + c Semipermetro de la regin triangular:

(PABC) =2

cba

2. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DELTRIANGULO:TEOREMA 1:

TEOREMA 2:

TEOREMA 3:

TEOREMA 4: En todo tringulo al lado de mayorlongitud se le opone el ngulo de mayor medida yviceversa (Propiedades de Correspondencia).

TEOREMA 5: En todo tringulo la longitud de unlado es mayor que la diferencia de laslongitudes de los otros dos y menor que la sumade las mismas (Propiedad de existencia).

Sea : a < b < c

I. ba < c < b + aII. ca < b < c + aIII. cb < a < c + b3. PROPIEDADES ADICIONALES:a)

b)

c)

4. CLASIFICACIN DE TRINGULOS:4.1. SEGN LAS MEDIDAS DE SUS NGULOS:a) Triangulo Rectngulo: Es aquel tringulo que

tiene un ngulo interno que mide 90.

b) Tringulo Acutngulo: Es aquel tringulocuyos ngulos internos son agudos.

c) Tringulo Obtusngulo: Es aquel tringuloque tiene un ngulo interior obtuso.


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5

4.2. SEGN LAS MEDIDAS DE SUS LADOS:a) Tringulo Escaleno: Es aquel tringulo cuyos

lados tienen diferente longitud.

b) Tringulo issceles: Es aquel tringulo quetiene dos lados de igual longitud.

c) Tringulo Equiltero: Es aquel tringulo cuyoslados tienen la misma longitud.

PRACTICA N 02

01. Hallar: x

A) 30 B) 120 C) 140

D) 150 E) 160

02. Hallar el suplemento de x

A) 3+ 2 B) 9032C) 18023

D) 18032 E) 9023

03. Las medidas de los ngulos internos de untringulo son proporcionales a 3, 4 y 5 Hallar elmenor ngulo interno de dicho tringulo

A) 45 B) 60 C) 75D) 30 E) 25

04.En un tringulo de Semipermetro igual a 10m, setiene un punto P interior a dicho tringulo. Marcar elvalor que puede tomar la suma de las distancias desdeP a todos los vrtices del tringulo.A) 10 B) 20 C) 3 D) 5 E) 8

05. Se tiene un tringulo, en el cual uno de susngulos internos mide el triple del otro, y el tercerngulo mide 20 ms que el menor ngulo.Calcular el mayor ngulo interno de dichotringulo.A) 32 B) 52 C) 84 D) 96 E) 90

06. En la figura mostrada, calcular X, si AB = AD yBD = DC.

A) 40 B) 20 C) 30 D) 50 E) 10

07. Se tiene un tringulo en el cual dos de suslados miden 3 y 6, el tercer lado es un nmeroimpar. Calcular el menor valor entero del permetrode la regin triangular.A) 12 B) 14 C) 13 D) 16 E) 11

08. En la figura mostrada, calcular x, si AD = BC y

BD = DC.

A) 10 B) 12 C) 15D) 18 E) 36

09. Segn la figura mostrada, DE biseca alngulo ADC. Calcular x, si adems ED = DC.

A) 80 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

10. Se tiene un tringulo rectngulo ABC (recto enB) en el cual se trazan las cevianas interiores

BEyBD , de tal manera que se cumple lo

siguiente ABDm2ACBm y

EBCm2BACm . Calcular DE, si adems AB= 3 y BC = 4A) 1 B) 0,5 C) 2 D) 3 E) 5

RECUERDA

60

E uiltero


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6

11. Si el tringulo ABC es equiltero y BD = DC.Calcular x.

A) 90 B) 120 C) 150 D) 105 E) 13512. Segn la figura, AB=BC y AD = CE, calcular x.

A) 10 B) 20 C) 30D) 15 E) 25

13. En la figura mostrada,calcular x + y + z

A) 90 B) 180 C) 300 D) 60 E) 120

14. Segn el grfico, AM = AN y PC = NC,calcular x.

A) 15 B) 30 C) 45D) 36 E) 60

15. Sobre el lado AC de un tringulo ABC se ubicael punto M, de tal manera que AB=BM=MC yAC=BC. Calcular m


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7

SEMANA IILNEAS NOTABLES

BISECTRIZ: Es aquella ceviana interior o exteriorque biseca a un ngulo interior o exteriorrespectivamente. Bisectriz Interior: En el ABC BD Bisectriz

interior relativa a AC

Bisectriz Exterior: En el ABC BE : Bisectriz

exterior relativa a AC

PROPIEDADES DE NGULOS DETERMINADOS POR

BISECTRICES:

Angulo determinado por las bisectrices de unngulo interior y un ngulo exterior:

ngulo determinado por las bisectrices de dosngulos interiores:

ngulo determinado por las bisectrices de dosngulos exteriores:

CEVIANA: Es aquel segmento que une un vrticecon un punto cualquiera del lado opuesto o de suprolongacin.

En el ABC:* BD: Ceviana interior relativo a AC

* BE : Ceviana exterior relativo a AC

MEDIANA: Es el segmento que une un vrtice conel punto medio del lado opuesto.

En el ABC: BM : Mediana relativa a AC MEDIATRIZ: Es la recta perpendicular a un lado yque contiene al punto medio de dicho lado.

En el ABC:

L = Mediatriz de AC

ALTURA: Es una ceviana perpendicular al lado alcual es relativa; la posicin de una altura respectoal tringulo depende del tipo de tringulo.

En el ABC: Acutngulo BH : Altura relativa a AC

En el ABC: Rectngulo AB : Altura

relativa a BC

En el ABC: Obtusngulo (>90) BH : Alturarelativa a AC CQ : Altura relativa a AB


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8

PROPIEDADES ADICIONALES

245

ax

2

bax

2

bax

PRACTICA N 031. Segn la figura:

z equivale a:A) 30 B) 40 C) 60D) 80 E) 35

2. Calcular x

A) 20 B) 25 50C) 0 D) 35

3. ABC es un tringulo cuyos ngulos A y Cmiden 80 y 20 respectivamente. Si la bisectrizdel ngulo B intersecta al lado en D, hallarla medida del ngulo ABD.A) 40 B) 37 C) 20D) 80 E) 60

4. Calcular x

A) 60 B) 10 C) 70D) 90 E) 50

5. Del grfico, calcular x

A) 70 B) 80 C) 45D) 60 E) 40

6. Segn la figura: A + B = 200, hallar x

A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

7. Hallar x

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

8. En un ABC la bisectriz interior de A, formacon la exterior de B un ngulo de 18, calcular

la medida del ngulo que forman las bisectricesexteriores de A y C si:mBAC = mBCA + 4A) 36 B) 37 C) 38D) 39 E) 40


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9

9. Dado un tringulo issceles ABC, AB = BC y mB = 40. Se traza la bisectriz interior AD y labisectriz exterior DF del tringulo ADC. CalcularmDFC.A) 10 B) 1630 C) 1230D) 15 E) 1730

10. En un tringulo ACQ se trazan las cevianas

interiores CB y CM tal que M BQ. Si AB = BC,CM = MQ, m BCM = x y el ngulo exterior devrtice C mide 2x, calcular xA) 24 B) 36 C) 32D) 48 E) 28

11. En un tringulo issceles ABC de base AB setraza la ceviana BD tal que AB = AD. Si m ADB= 50 , calcular m ACBA) 25 B) 20 C) 30D) 10 E) 40

12. En un tringulo ABC se traza la bisectrizinterior BP tal que BP = PC. Si mA = 75, calcularmCA) 30 B) 40 C) 35D) 45 E) 50

13. En un tringulo acutngulo ABC se trazan lasalturas AM y BN, y las bisectrices de MBN y MANque se interceptan en T. Hallar mATBA) 135 B) 75 C) 90D) 105 E) 150

14. En un tringulo ABC mA = 2mC. Si laaltura relativa a AC y la bisectriz de ABC forman unngulo de 10, hallar mCA) 30 B) 16 C) 25D) 20 E) 18

15. En la figura calcular xa) 10

b) 30

c) 45

d) 60

e) 75

16. En la figura hallar x A) 60

B) 90

C) 80

D) 40

E) 70

17. Segn el grfico, calcular c +d, si:a + b = 120

a) 180b) 120c) 200d) 240e) 300

18. Calcular x + y + z

A) 150 B) 120 C) 360D) 180 E) 270

19. En un ABC, AB = BC, se traza la altura BH y la mediana AM que se interseca en P.

Si: 2PM y < BPM = 45A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

20. Se tiene un tringulo obtusngulo ABD, obtusoen D, tal que: AB = 18, se traza la bisectriz AM ,M en BD y luego se traza BC AM (C en laprolongacin de AM ). Si: AM = 2MC. Calcular DC.A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 5

CONGRUENCIA DE TRINGULOSI CASO: (ALA).nguloLadonguloPostulado: dos tringulos son congruentes, sipresentan un lado de igual longitud y los ngulosadyacentes a l de igual medida.

Entonces: ABC PQREj: Calcular b

II CASO: (LAL). LadonguloLadoTeorema dos tringulos son congruentes, si estospresentan un ngulo de igual medida y los ladosadyacentes a l de igual longitud

Entonces: ABC PQR

60A

C

B

Q

P R

4

b

45

6

4

45 60


10/80

10

Ej: Si los son congruentes. Calcular b.

III CASO: (LLL). LadoLadoLado

Teorema: Dos tringulos son congruentes, si estospresentan sus tres lados de igual longitud.

Entonces: ABC PQREj: Calcular: a + b

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DETRINGULOS

PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ

Siendo

OP la bisectriz de

AOB se cumple

Ej: Calcular xa) 24b) 7c) 31

d) 17e) 25

PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZSiendo: L mediatriz de AB se cumple:

PROPIEDAD EN EL TRINGULOISSCELES

AlturaMedianaBisectriz

Segmento de mediatrizTEOREMA DE LA BASE MEDIA:

AC//MN 2

ACMN

TEOREMA DE LA MEDIANA QUE CAE EN LAHIPOTENUSA

Esta mediana mide la mitad de la hipotenusa.

PRACTICA N 04

01. En un tringulo ABC, A

= 60; 40

C setraza la bisectriz interior BPy sobre BC se ubicaun punto Q tal que QC = AB. Calcular BP Q.A) 10 B) 20 C) 15D) 18 E) 25

02. En un tringulo ABC, 22 CB y

A = . Se traza la bisectriz interior BP y sobreBC, se ubica un punto Q tal que Q = AB. CalcularBP Q.

2))

2)2)2)

ED

CBA

03. Sobre la hipotenusa AC de un tringulorectngulo se construye exteriormente untringulo rectngulo issceles CAD recto en A. SiAB = 2 y BC = 7. hallar la distancia desde D

hasta BC.A) 8 B) 9 C) 7 D) 5 E) 4

04. Sobre la hipotenusa AC de un tringulorectngulo se construye exteriormente eltringulo rectngulo issceles CAD recto en A. SiAB = C y BC = a. Hallar la distancia desde Dhasta BC

PA = PB OA = OB

P

A

O

B

BH

A M B

EL

CHA

B

2828

4

b 6

4

A

C

B

2

4 P

Q

R

6

7

24

x


11/80

11

3)2)

2))2

)

caEabD

baCcaBca

A

05. En un tringulo ABC se traza la ceviana BE tal que:AB=EC=8. Adems CBE = EBA + C . Hallar

BCA) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

06. En un tringulo ABC, se traza la ceviana BEtal que: AB = EC. Adems CBE = 8x = EBA + C yC = 2x. hallar x

A) 8 B) 9 C) 12 D) 15 E) 10

07. En un tringulo ABC, A = 2 C = 40 sobre ACse toma el punto F tal que AB = FC. Hallar B F C.A) 140 B) 120 C) 110 D) 40 E) 80

08. En un tringulo ABC, A = 2 C , A = 2C = 2.Sobre AC se toma el punto F talque AB = FC.Hallar F B CA) 90- B) 180-C) 180-2 D) 2 E)

09. En la figura B = 150, A C B = 10 AM esbisectriz del A y CM= 4, hallar AB.

A) 4B) 5C) 6D) 7

E) 8

10. En la figura ED = 12 y CD = 5. Hallar AB.A) 13B) 22C) 17D) 19E) 21

11. Calcular x:A) 4B) 8

C) 10D) 16E) 12

12. Calcular :A) 10B) 12C) 15D) 20E) 25

13. Hallar x:A) 70B) 60C) 50D) 40E) 53

14. Calcular .A) 8B) 9C) 10D) 11E) 12

15. Calcular x:

A) 30B) 37C) 22,5D) 18,5E) 53

16. En el grfico, calcule: "x", si : AD = DC.

A

B

CD

45

x

x

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

17. En el grfico, calcule .

30

20

70 10 A) 9 B) 10 C) 15 D) 22,5 E) 30

SEMANA III

POLGONOS

Figura geomtrica formada de la unin de tres oms puntos no colineales y coplanares, mediantesegmentos de recta.

ELEMENTOS:- Vrtices : A, B, C, D, E- Lados : AB, BC, CD, DE, EA- sInteriores : - s Exteriores: 1, 2, 3, 4, 5- Diagonales : AC, AD, BD, BE, CE- Permetro : 2p = a + b + c + d + e

CLASIFICACINI. De acuerdo a su regin:


12/80

12

Polgono convexo Polgono no convexo

II. De acuerdo a su nmero de lados:- Tringulo 3 lados

- Cuadriltero 4 lados- Pentgono 5 lados- Hexgono 6 lados- Heptgono 7 lados- Octgono 8 lados- Nongono 9 lados- Decgono 10 lados- Endecgono 11 lados- Dodecgono 12 lados- Pentadecgono- Icosgono 20 lados

III. De acuerdo a sus ngulos y a sus lados:a. Polgono equiltero: Tienen sus lados de

medidas iguales.

b. Polgono equingulo: Tiene sus ngulosinternos de medidas iguales.

c. Polgono regular: Es aquel polgono equingulo

y equiltero a la vez.

PROPIEDADES

Nmero Total de Diagonales en un Polgono:

2

)3(

nnD

Suma de ngulos Internos en un Polgono

Convexo: )2(180 nSi

ngulo interno:180 (n-2)

in

, se cumple en

polgonos equingulos y regulares. Suma de ngulos Externos en un Polgono

Convexo: 360eS

Nmero Total de Diagonales Medias en un

Polgono2

)1(

nnDM

Nmero de Diagonales Trazadas desde los vPrimeros Vrtices Consecutivos en unPolgono

de n Lados:

2

)2)(1(..

vvvnD nv

Nmero de Diagonales Medias Trazadas desdelos m Primeros Lados Consecutivos en un

Polgono de n Lados: m.nm(m+1)

D = n.m -2

PRACTICA N 0501. Cuntos lados tiene un polgono cuya sumade las medidas de sus ngulos internos yexternos es 3960?A)18 B)20 C)22 D)24 E)32

02. En qu polgono el nmero de diagonalesmedios es el doble del nmero de diagonales dedicho polgono?A) Pentgono B) Hexgono C) HeptgonoD) Octgono E) Decgono

03. Dados los polgonos regulares cuyosnmeros de lados son consecutivos. Calcular elnmero de lados del polgono de mayor ngulocentral si la diferencia entre las medidas de susngulos exteriores es 12.

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

04. Calcular la medida del ngulo interior de unpolgono regular, sabiendo que excede en 20 alo de otro que tiene 3 lados menos.A)110 B)120 C)130 D)140 E)150

05. Calcular el nmero de lados de un polgonosi la suma de las medidas de los ngulosinteriores es el triple de la suma de las medidasde los ngulos exteriores.A)8 B)12 C)16 D)18 E)20

06. En un polgono convexo la diferencia entre elnmero de diagonales y el nmero de ngulosrectos a que equivale la suma de las medidas delos ngulos internos es igual al nmero de ladosde dicho polgono. Calcular su nmero de lados.A)7 B)8 C)12 D)116 E)10

07. Al aumentar en 3 el nmero de lados de unpolgono, el nmero de diagonales se duplica.Calcular la suma de las medidas de los ngulos

internos.A)1260 B)1120 C)1416D)1024 E)1825


13/80

13

08. En un polgono regular al disminuir en 10cada ngulo interior resulta otro polgono regularcuyo nmero de lados es los 2/3 partes delnmero de lados del polgono original. Calcular elnmero de lados de dicho polgono?A)14 B)18 C)19 D)20 E)36

09. Decir cul es el polgono regular en el que se

cumple que al aumentar 30 a su ngulo externose obtiene otro polgono regular en el que sungulo externo sera a su ngulo interior como 1es a 2.A)8 B)10 C)12 D)4 E)16

10. Calcular la medida de un ngulo exterior deun polgono regular si se sabe que: Si al nmerode diagonales se le quita la cantidad de ngulosrectos a que equivale la suma de las medidas delos ngulos internos se obtiene el nmero delados.

A)20 B)25 C)30 D)35 E)45

11. De dos polgonos regulares, uno de ellostiene tres lados menos que el otro, pero el ngulocentral de uno de ellos mide 27 menos que lamedida del ngulo central. Hallar la suma de lasmedidas de los ngulos interiores de dichospolgonos.A)1620 B)1440 C)1080D)900 E)1000

12. El nmero de lados de un polgono regular

excede en 2 al nmero de lados de otro polgonoregular, y la medida del ngulo externo del otropolgono. Hallar la suma del nmero dediagonales de dicho polgono.A)29 B)36 C)27 D)44 E)18

13. Se tiene dos polgonos regulares cuyosnmeros de diagonales se diferencian en 342 ycuyas medidas de sus ngulos centrales estn enla relacin como 2 es a 3. Hallar la diferencia delas medidas de sus ngulos centrales.A)5 B)6 C)12 D)15 E)18

14. Calcular el nmero de lados de un polgonoequingulo sabiendo que la suma de las medidasde siete ngulos internos es igual a 1 134.A) 18 B) 20 C) 22 D) 15 E) 25

15. En qu polgono se cumple que al reducir ala mitad su nmero de lados, el nmero total dediagonales se reduce a la sptima parte?A) Octgono B) Nongono C) PentadecgonoD) Dodecgono E) Decgono

16. En un polgono convexo se sabe que elcociente entre la suma de las medidas de susngulos interiores y exteriores es 8. Calcular elnmero de diagonales de dicho polgono

A) 135 B) 125 C) 120 D) 145 E) 165

17. En un polgono regular ABC....... de n ladosmACE=140. Calcular el nmero de diagonalesA) 153 B) 146 C) 156D) 135 E) 170

18. Calcular el nmero de lados de aquel

polgono en donde el mximo nmero dediagonales es el doble de la suma del nmero delados mas dosA) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

19. Si ABCDEF........ es un polgono regular yBQEP es un rombo; calcular el nmero total dediagonales del polgono regular.

A

B

C

Q

D

E

FP

A) 27 B) 54 C) 35 D) 64 E) 44

20. El nmero de diagonales de un polgonoaumentado en K es igual al nmero dediagonales medias disminuido en 2K, calcule elnmero de lados de dicho polgono.A) 5K B) 4K C) 3K D) 2K E) K

21. Se tiene que en un polgono se cumple queel nmero de diagonales y el nmero dediagonales medias suman 80, calcule el nmerode diagonales del polgono que se forma al unirlos puntos medios de los lados del polgonooriginal.A) 36 B) 20 C) 54 D) 44 E) 35

22. Hallar los nmeros de lados de dospolgonos regulares, cuyo nmero de diagonales,se diferencian en 4 y sus ngulos centrales son

como 5 es a 6.a) 4 y 5 b) 5 y 7 c) 6 y 5 d) 7 y 8 e) 9 y 7

23. En un pentgono equingulo VELIZ.Calcular:

IZ

VZX Si: LIVE A) 0, 5 B) 1, 5 C) 2 D) 1 E) 3

24. En un polgono regular de n lados VELIZ

(Firulays), las prolongaciones de VE y ZI secortan en R. Hallar n si m < ERI = 126. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20


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14

SEMANA IV

CUADRILATEROSDEFINICINEs aquel polgono de cuatro lados. Puede serconvexo o no convexo.

Cuadriltero Convexo: Cuando sus ngulosinteriores son menores de 180.

Cuadriltero No Convexo: Cuando uno de losngulos interiores mide ms de 180.

PARALELOGRAMOSPARALELOGRAMO (Romboide):Es aquel cuadriltero convexo que tiene sus dospares de lados opuestos paralelos.

En la figura, ABCD: romboide.Se cumple 180

ROMBO:

En la figura, ABCD: rombo.

RECTNGULO (cuadrilongo):

.En la figura, ABCD. Rectngulo.

CUADRADO:

TRAPECIOSEs aquel cuadriltero convexo que slo tiene unpar de lados opuestos paralelos.

En la figura, si: AD//BC , CD//AB Clasificacin de Trapecios:Los trapecios se clasifican de acuerdo a la longitudde sus lados laterales en:Trapecio Escaleno: Es aquel trapecio cuyos ladoslaterales tienen diferente longitud.

En la figura, si: AD//BC y AB CD ABCD: trapecio escalenoTrapecio rectngulo

En la figura m


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15

En la figura, MNes la base media del trapecioABCD. Se cumple:

BC//MN 2

bax

Observacin:

Se cumple:

x = y m2

ba

Teorema 2: Segmento que une los puntosmedios de las diagonales

A

B C

P Q

b

a

x

2

bax

Observacin:En la figura, M es punto medio de AC y

BDMH .

Si: x = y d2

ba

PROPIEDADES

1. Suma de ngulos Internos

2. Suma de ngulos exteriores

PRACTICA N 0601. Dado un cuadriltero convexo cualquiera alunir en forma consecutiva los puntos medios delos lados se forma un:A) Cuadrado B) Rectngulo C) RomboD) Paralelogramo E) Trapecio

02. Exteriormente a un cuadrado ABCD, Se

construye el tringulo issceles BCP. SiendoBP=BC. Calcular mAPC.A)15 B)30 C)45 D)53 E)60

03. En un trapecio rectngulo ABCD, siendo lasbases ADyBC , las bisectrices interiores de losngulos C y D se intersectan en E. Si BC=3:CD=4 y AD=5. Entonces la distancia del puntoE al lado AB es:A)1 B)2 C)1,5 C)2,5 E)3

04. En un cuadrado ABCD se prolonga AD hasta un punto E tal que: mACE=98 yCE=20cm. Entonces el permetro de cuadradoes:A)48 B)46 C)44 D)42 E)40

05. En un romboide ABCD se considera lospuntos medios M y N de los lados AD y BC . ACintersecta a BM y DNen P y Q respectivamente.Hallar PQ si:AC=18m.A)3m B)4m C)5m D)6.5m E)6m

06. Calcular la mediana del siguiente trapecio:A) 15.1B) 15.2C) 15.3D) 15.4E) 15.5

07. Si O es centro cuadrado, calcular xA) 1,5B) 2,5C) 3,5D) 4,5

E) 5,5

08. Si BD=8, calcular xA) 1,5B) 2,5C) 3D) 3,5E) 4

09. Si: ABCD es un cuadrado, calcular xA) 2

B) 3C) 4D) 5E) 3,5

= 360

xw

zx + y + z + w = 360

45 53

15m

5m

5 2

xO


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16

10.Calcular A) 30B) 37C) 45D) 53E) 22,5

11. Calcular si ABCD es un trapecio:A) 30

B) 37C) 45D) 53E) 60

12. En un trapecio ABCD de base ADyBC ; tal

que mA=mD; AB=5 y CD=8; calcular mC.A)123 B)133 C)143 D)153 E)160

13. Del trapecio mostrado: calcular .A) 15B) 18.5

C) 22.5D) 26.5E) 30

14. Del trapecio mostrado; calcular x:A) 5B) 4C) 3D) 2E) 1

15.Calcular:

A) 15 B) 18,5 C) 30D) 37 E) 45

16. Calcular

A)15 B)18.5 C)37D)45 E)30

17. Calcular

A)1 B)2 C)1.5 D)2.5 E)3

18. En un trapezoide ABCD (AC>BD) lasdiagonales se interceptan en O. SiendoOC=3AO. Bajo el vrtice D. Se traza una rectaexterior al cuadriltero, calcular la longitud de ladistancia del vrtice B a esta recta; si laslongitudes de las distancias de los vrtices A, D yC a la recta exterior son 12m, 6m y 8mrespectivamente.

A)18m B)14m C)16m D)20m E)15m19. En el interior de un cuadriltero convexo

ABCD se ubica el punto P, tal que APAB ;DPCD ,

m


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17

SEMANA 01ANLISIS DIMENSIONAL Y VECTORESMAGNITUD FSICA.- Es todo Aquello que puede sercuantificado y/o comparado y que representa a algunapropiedad fsica de la materia.

MEDIR. Es comparar dos magnitudes de la mismaespecie donde el ente de comparacin es la unidad demedida.CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDESLas magnitudes fsicas pueden clasificarse de dosformas:1. Por su origen

a) Magnitudes fundamentales.Son aquellas cuyasunidades se han elegido como fundamentales deacuerdo a los convenios internacionales.

b) Magnitudes derivadas. Son aquellas cuyasunidades se forman de una combinacin de lasunidades de las magnitudes fundamentales.

c) Magnitudes auxiliares.No tienen unidad fsica.2. Por su naturaleza.

a) Magnitudes escalares. Estas magnitudes solonecesitan de un nmero real y una unidad demedida para quedar bien definida.

b) Magnitudes vectoriales. Estas magnitudesaparte de tener un nmero y una unidad fsica

necesitan de una direccin y sentido para estarbien definidas.

c) Magnitudes tensoriales. Son aquellas que adiferencia de las vectoriales tienen muchasdirecciones.

SISTEMA DE UNIDADES. Es el conjunto ordenado ycoherente de unidades fijan las magnitudes bsicas ofundamentales y luego se obtienen las magnitudesderivadas.SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.). Esel producto final de la evolucin lgica del antiguosistema mtrico decimal o MKS, que incrementado encuatro unidades se convierte ahora en el sistema legalde unidades de casi todos los pases del mundo.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES (S.I.)MAGNITUD UNIDAD SMBOLO IMENSIN

Longitud Metro m L

Masa Kilogramo Kg M

Tiempo Segundos s T

Intensidadde corriente

Ampere A I

Temperaturatermodinmi

ca

Kelvin K

Intensidadluminosa

Candela cd J

Cantidad desustancia

mol mol N

MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS

1. ANGULOplano Radian rad.2. Angulo slido estereoradin sr.SISTEMA ABSOLUTO. Considera como magnitudesfundamentales a la longitud (L), masa (M), y tiempo (T).ANLISIS DIMENSIONAL. Trata de las relacionesmatemticas de las dimensiones de las magnitudesfsicas.La frmula dimensional o dimensin de una magnitudderivada est representada por un monomio formadopor el producto de los smbolos de las magnitudesfundamentales elevadas a ciertas potencias enteras ofraccionarias, positivos o negativos.As la frmula dimensional de la magnitud derivada X,

tendr la forma. gfedcba NJITMLX X= Smbolo de la magnitud o unidad X.

X = Ecuacin dimensional de X.PROPIEDADES DE LA ECUACIN DIMENSIONAL1. Las ecuaciones dimensionales, cumplen con las

leyes del lgebra; a excepcin de la suma o resta.

a) CBAABC

b) BA

B

A

c) nn AA d) nmn m AA

A y B son dos magnitudes fsicas cualquiera.2. Las ecuaciones dimensionales de los nmeros,

ngulos, funciones trigonomtricas, funcioneslogartmicas, etc. es igual a la unidad. Estasmagnitudes se denominan adimensionales.

12542,0 1360rad2 153Tg37Sen 1100log 3. Las ecuaciones dimensionales de las constantes

numricas son igual a la unidad. 11416,3 1...71,2e 4. Las ecuaciones dimensionales de las constantes

fsicas, es diferente a la unidad.

1gravedadladenaceleracig 5. La ecuacin dimensional de todo exponente y

argumento es igual a la unidad.PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONALToda igualdad matemtica que expresa la relacin entrelas diferentes magnitudes fsicas, deber tenerhomogeneidad dimensional. Es decir, las dimensiones

de cada uno de los trminos deben ser las mismas enambos miembros.

)CBY(DtgAX CBY ZE)CBY(DtgAX


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18

ECUACIONES

DIMENSIONALES BSICAS

1. Velocidad (v = d / t) [v] = ......2. Aceleracin (a = v / t) [a] = ......3. Area (A = b.h) [A] = 4. Volumen (V = b.h.e) [V] = ......5. Fuerza (F = m.a) [F] = ......

6. Densidad (= m / V) [] = ......7. Trabajo (W = F.d) [W] = ......8. Potencia (P = W / t) [P] = ......9. Presin (Pr = F / A) [Pr] = ......10. Perodo( T = t) [T] = ......11. Frecuencia (f = 1 / T) [ f ] = ......12.Velocidad Angular (= / t) [] = ......13.Aceleracin Angular (= / t) [] = ......14.Carga Elctrica (q = I.t) [q] = ......NOTA IMPORTANTE[Calor] = [energa] = [Trabajo] = [Momento]

Peso = Fuerza

PROBLEMITAS1. Halla la ecuacin dimensional de A, si se cumple larelacin:

2

2

V.F

D.AC

Donde: C = Velocidad D = Densidad

F = Fuerza V = Volumen

a) L12T-2 b) L6T-2 c) L6T-4

d) L12T-4 e) L6T-2M-2

2. En la frmula fsica, marca verdadero (V) o falso (F)sabiendo que:

X = Abw. Sec(wt)

* Si [A] = L entonces [x] = L2 ............( )

* Si [t] = T entonces [b] = T-1 ............ ( )* Siempre se cumple que [x] = [A] ........... ( )a) VVF b) FVF c) FFV d) VVV e) FFF

3. Indica las dimensiones de E en la ecuacindimensionalmente correcta.

Q2

VAR

W

AE

3

2

6

Donde: V = Velocidad W = Energa

a) M-2L-2T2 b)MLT c)M2LT d)M2L2T-2 e) ML2T-2

4. Experimentalmente se demuestra que el espaciorecorrido (e) por un cuerpo con M.R.U.V., depende deltiempo empleado (t) y de su aceleracin (a). Determinala frmula fsica para dicho espacio.(Considere K: constante de proporcionalidad numrica)

a) kat b) ka2t c) kat2 d) kat-1 e) ka-1t

5. Segn las reglas del anlisis dimensional podemos

decir:I. El trabajo y la velocidad angular tienen la mismaecuacin dimensional.II. [Sec ] = [tan ]III. La velocidad angular y la frecuencia tienen la mismaecuacin dimensional.

De las proposiciones anteriores son ciertas:a) Solo I y II b) Solo II c) Solo I y IIId) Solo II y III e) Solo III

6. En la siguiente ecuacin homognea. Hallar lasdimensiones de A, B y C.

)CosSen(2C

AB

C

yx

C

Ax 2223

Donde: x = Longitud y = Masaa) L-3, ML-2, M b) ML-1, L3, ML2

c) M-1L, L3, M-1L-2 d) ML-1, L3, ML-2

e) ML, L-3, ML2

7. Dada la ecuacin dimensionalmente correcta.

F = nx. ry. vz

Donde: F = Fuerzan = Viscosidad =r = Radiov = Velocidad

Halla: x + y + z

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -28. En la ecuacin dimensionalmente correcta, halla lasdimensiones de P.

v = Velocidadm = Masaw = Trabajoc = Constante

a) LT-2 b) LT1/2 c) L1/4T-1/4

d) LT1/4 e) L1/4T

9. En la ecuacin dimensionalmente correcta. Halla lasdimensiones de x e y, si A es rea.

zy

Cosy

x

SenzwA

22

a) L ; T b) L2 ; T-1 c) L-1 : L2

d) L-2 ; L-2 e) L-1T-1

10.De las proposiciones siguientes son correctas:I. La ecuacin dimensional de la temperatura es .II. La carga elctrica dimensionalmente es IT.III. La dimensin de la cantidad de sustancia es M.a) Solo I b) Solo III c) Solo I y IIId) Solo I y II e) Solo II y III

12. Halla

z

xy

si la ecuacin:es homognea.

Si: F = Fuerza, g = 9,8 m/s2, m = Masa,d= distancia

a) M b) L c) T d) ML e) MT

13.En el sistema ALFA se considera como unidadesfundamentales a la masa (M), velocidad (V) y el tiempo(T). Determina la ecuacin dimensional de la presin eneste sistema.

a) MVT-1 b) MV-1T-3 c) MVT

d) MVT-3 e) MVT-2

TiempoLongitud

Masa

w

m.vxLog.C.PX

22

)x25(logy

)xmgd()xmz(F


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19

14.La energa E de movimiento lineal P, estnrelacionados por la ecuacin homognea:

E2= AP2 + BC2Donde: C = Velocidad de la luzHalla las dimensiones de A y B.

a) L2M-2; L2M-2 b) L2T-2; L2M2T-2

c) LMT-2; LMT-2 d) L2TM ; L2MT-2

e) L2M2T-2; L2M2T-2

15.En la siguiente expresin dimensionalmentecorrecta:

oKSV

yx

2tanH)g2(

15

8Q

Cules son los valores de x e y.Donde: H = Altura Q = Caudal =

g = AceleracinS = Longitud Vo= Velocidad

a) x = 3/2 ; y = 3/2 b) x = 1/2 ; y = 3/2c) x = 1/2 ; y = 5/2 d) x = 3/2 ; y = 1/2e) x = 5/2 ; y = 1/2

16.Si la ecuacin es dimensionalmente homognea,halla los valores de a y b.

ba23/1 DKgVm

Donde: m = Masa V = Velocidadg = Aceleracin D=Densidad K=Nmero

a) 1/3 ; 1 b) -1/3 ; -1 c) 1 ; -1/3d) 1 ; 1/3 e) 1/3 ; -1/3

17.Halla la ecuacin dimensional de A, si la ecuacindada es homognea (A y B son magnitudes fsicas)

2KFSen2Sen KBA Siendo: F = Fuerza = 30

a) M2L-2T4 b) M2L2T4 c) M-4L-4T8d) Absurdo e) Faltan datos

18. En el SI el OHM es la unidad para la resistenciaelctrica. Las dimensiones para esta unidad son:

a) M2T-2L2I-2 b) M L2T-2I-2 c) ML2T-3I-2

d) M-2L2T-2C-2 e) ML2T-3C-2

19.Relaciona correctamente las magnitudes fsicas de la

columna A con las ecuaciones dimensionales de lacolumna B.Columna A Columna B

A. Calor ( ) ML-3

B. Velocidad Lineal ( ) ML-1T-2

C. Presin Atmosfrica ( ) ML2T-2

D. Densidad ( ) LT-1E. Potencia mecnica.

a) ABCE b) CBDA c) DCAB d) DEBA e) EBCD

20.En la siguiente ecuacin dimensionalmente correcta,para determinar las dimensiones de m.

Y = bn + mn2Datos: I. b = Velocidad II. y = Longituda) El dato I es suficiente b) El dato II es suficientec) Cada uno de los datos en forma independiente essuficiented) Es necesario el dato I y II conjuntamente

e) Faltan datos

21.La fuerza de sustentacin del ala de un avindepende el rea S del ala, de la densidad del aire yde la velocidad V del avin. Halle la suma de losexponentes de S y .

a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 4

ANLISIS VECTORIAL

VECTOR.- Es un segmento de recta orientado que sirvepara representar a las magnitudes Fsicas vectoriales.ELEMENTOS DE UN VECTOR:1. Punto de Aplicacin. Est dado por el origen del

vector.2. Intensidad, Mdulo o Magnitud. Es el valor del

vector, y generalmente, esta dado en escala;ejemplo. 10 m, 15 N.

3. Sentido. Es la orientacin del vector.4. Direccin. Est representada por la lnea de accin

del vector y el ngulo que forma el vector A con

el eje +X.

COMPONENTES RECTANGULARES:AX = A. Cos AY = A. Sen

Mdulo del A : y2

x2 AAA

A = YX A;A

Direccin: tgX

Y

A

A

A = OP = P-0

Asen,cosAA

A,AA yx

VECTOR UNITARIO. Es aquel vector cuyo mdulo es launidad y tiene por misin indicar la direccin y sentido

de un determinado vector.A

Au

A

xuAA

VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES:

)0,1(i

, )0,1(i

, )1,0(j

y )1,0(j

jAiA)AA(A yxy,x

MTODOS GRFICOS PARA SUMAR VECTORES:1. MTODO DEL PARALELOGRAMO:

BAR

Y

PAY

0 AxX

A

A

B

R

tiempo

volumen


20/80

20

MODULO DE LA RESULTANTE:

cosAB2BAR 22

a. R es mximo cuando A y B forman un ngulo de 0

( )

b. R es mnima cuando A y B forman un ngulo de

180( )

c. R = 22 BA cuando A y B forman un ngulo de

90

METODO DEL TRIANGULO

MTODO DEL POLIGONO:

R = A + B + C + D

DIFERENCIA DE VECTORES.

cosAB2BAD 22

LEY DE SENOS.Es muy usual cuando se conocen losngulos internos y por lo menos el mdulo de uno de losvectores. En el triangulo vectorial mostrado se cumpleque:

senC

sen

B

sen

A

PROBLEMITAS

1) En el rectngulo mostrado, determine el mdulo delvector resultante. AB = 3 m y BC = 4 mA) 8 mB) 9 m

C) 10 mD) 11 mE) 12 m

2) Siendo el tringulo ABC equiltero. Calcule elmdulo del vector resultante de dicho sistema. BH= 10 m.A) 50 mB) 60 mC) 70 mD) 80 mE) 90 m

3) Determina el mdulo del vector resultante delsistema mostrado. Si |A |= 10.A) 10B) 20C) 30D) 40E) 50

4) Calcula el mdulo de la resultante del conjunto devectores que se muestra:

A) 1 a

B) 2 C) 3 a

D) 4 a

E) 5 a

5) En el sistema de vectores, determine el mdulo dela resultante, si: AD = 4 .A) 12B) 16C) 18D) 20

E) 22

6) Calcula: |A +B +C |. Si: |A | = 4, |B | = 4, |C | = 8.A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

7) Dos vectores A y B originan una resultante mnimade 3, halle sus mdulos, si cuando forman unngulo de 60, la resultante es 39.

A) 13 y 16 B) 10 y 20 C) 24 y 21D) 5 y 15 E) 15 y 4

8) Si el mdulo de la resultante de 2 vectores es 5 y la

magnitud del primer vector es 43

de la del

B

R = A + BR =

A

0

R

D

C

B

A

C

B

0

A

DE

R = 0

B

0A

BAD

B

C

A

A

B C

D

A C

B

E

D

A

B

CH

a

a/2a/4

a/8a/16

A

B C

D

EF

60 B

A

C


21/80

21

segundo vector. Calcule el mdulo del segundovector, si stos forman un ngulo de 90.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9) Que mdulo tendr el vector resultante del sistemamostrado, sabiendo que cada vector es de mdulo1 cmA) 3

B) 13

C) 26 D) 16

E) 31

10) En el sistema vectorial mostrado cumple que:

|A +B +C | = 0; Si:|A |= 6, |B |= 10, | C |= 14Determine la medida del ngulo .A) 60B) 74C) 75D) 90

E) 12011) En el siguiente sistema vectorial, determine el

mdulo del vector resultante. Cuando: A =

14; B = 50 C = 8 2

A) 40B) 50C) 60D) 70E) 80

12) En el sistema de vectores, determine el mdulo de

la resultante; si: |A | = 20; |B | = 5 2 ; |C | = 10

A) 4 13

B) 3 5

C) 5 13

D) 5 17

E) 85

13) Determine el ngulo para que la resultante delsistema este en el eje x

A) 30B) 37C) 45D) 53E) 60

14) Las fuerzas mostradas tienen resultante nula. Cul

debe ser el valor de , si se sabe que: 56

F

F

1

3

A) 30B) 37C) 45D) 53E) 60

15) Calcule la magnitud de la resultante de lossiguientes vectores:

A) 2

B) 5

C) 2 5

D) 3 5

E) 4 5

16) Siendo MNPQ un rectngulo. Calcule el mdulodel vector resultante. Si MN = 8 y NP = 2

A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) 19

17) Siendo el tringulo equiltero de lado 8 cm. Calculeel mdulo de a

+ b

+ c .A) 8 cmB) 9 cmC) 10 cmD) 14 cmE) 16 cm

18) Que mdulo tendr el vector resultante del sistemamostrado sabiendo que cada vector es de mdulo1cmA) 3

B)13

C) 26 D) 37 E) 41

19) La figura muestra un cuadrado de lado 4 cm, dondeM es punto medio. Determinar el mdulo del vectorresultante.A) 4 cmB) 6 cmC) 8 cmD) 10 cmE) 12 cm

20) Si el lado de la cuadricula es 1 cm, determine elmdulo del vector resultante, en cm:

A) 2B) 4C) 6D) 10E) 18

21) Dados los vectores: | a

| = 5 73 y

| b

| = 3 20. Calcule: | a -2 b

|.A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

60

A

B

C

127

135

A

B

C

37

45

A

B

C

y

x

20

60

53

28

5

y

x

AB

C

D

(-2, 3)

(-4, -1) (-2, -3)

(4, 2)

F1

F3

F2

x

y

a b

c

Q

M N

P

ab

c

B C

A D

M

1 cm

d

c

b

a

1 cm

60 60


22/80

22

22) Los puntos A, B, C y D determinan un cuadrado delado 2 m. Donde M es punto medio del segmentoAB. Determine el mdulo del vector resultante.A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

23) Segn la figura mostrada, halle |A -B |, si:|A | = 12, | B | = 9

A) 14B) 15C) 16D) 17E) 18

24) Determina la direccin del vector resultante delconjunto de vectores mostrados en la figura.

A) 45B) 53C) 60D) 74E) 75

25) Halla si el mdulo de la resultante es nula.

a) 5

b) 8

c) 10

d) 20

e) 30

26) Halla la resultante de dos vectores perpendiculares,si se sabe que al aumentar en 30 dicho ngulo, la

resultante de ellos es 3 , pero si se disminuye en

30 la resultante es 7

a) 2 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1

SEMANA 02

Introduccin:

El movimiento ha sido tema de estudio durante casi todala historia de la humanidad, por ejemplo en la antigedadel hombre observaba el movimiento de los cuerposcelestes, en el siglo XVIII se estudiaba el movimiento delas molculas en un gas, en el siglo XX se estudiaba elmovimiento de los electrones alrededor del ncleoatmico, y en la actualidad se estudia el movimiento

existente en el interior del ncleo. En este captuloestudiaremos el movimiento mecnico pero sinconsiderar las causas, del porqu se origina tal o cualmovimiento mecnico, tan slo lo describiremos; para

ello es necesario establecer elementos y medidas paraque la descripcin de realice en forma objetiva.

Concepto.- Es aquella parte de la mecnica que seencarga de estudiar, el movimiento de los cuerpos sinconsiderar las causas que lo originan o modifican.

El movimientoConsiste en el cambio de posicin que efecta un

cuerpo con respecto a un sistema de referencia al cualse considera fijo. Si un cuerpo permanece en el mismolugar decimos que no se mueve o est en reposo; pero,si cambia de lugar se dice que el cuerpo se mueve.

El movimiento es relativoUn objeto puede estar movindose para un observadorpero no para otro observador. Si cerca de nosotros pasaun automvil, al ver que se aleja diremos que se mueve,pero el piloto ve que el automvil siempre est junto al, luego para el piloto el automvil estar en reposorelativo.

Movimiento Mecnico

Para comprenderlo, examinemos el siguienteacontecimiento: un observador observa a un avin queavanza en lnea recta y desde cierta altura se deja enlibertad a un proyectil.

Para poder examinar lo que acontece, al observador (A)se le debe asociar un sistema de ejes coordenados y unsistema temporal (reloj). A todo este conjunto se ledenomina: Sistema de referencia (S.R.).

Para ubicar al cuerpo en estudio (proyectil), se traza unvector que parte del origen de coordenadas y se dirigehacia el cuerpo; a este vector se le denomina vector

posicin r.

Nota:El vector posicin puede ser expresado de la

siguiente forma: r (x, y) o tambin r xi yj ;donde i, j son los vectores unitarios en la direccin delos ejes coordenados:

Observador Conductor

El camin se mueve con relacin al observador (O);pero est en reposo con respecto al conductor.

Observador

X(m)

Y(m)

r

Reloj

O

CINEMTICA

D

CB

A

M

65 25

AB

45

25

3

10 2 y

x

53

16

10

12

22

22

24312


23/80

23

Examinemos el movimiento del proyectil

0r : Vector posicin inicial

fr : Vector posicin finalEl observador nota que el proyectil cambiacontinuamente de posicin, entonces para l, elproyectil se encuentra en movimiento o experimentamovimiento mecnico.

En conclusin:El movimiento mecnico es un fenmeno que consiste

en el cambio continuo de posicin de un cuerpo conrespecto a un sistema de referencia.Para poder describir el movimiento mecniconecesitamos conocer ciertos conceptos previos:

Elementos del movimiento:Mvil - Sistema de Referencia - Trayectoria

Vector posicin o radio vector r - Desplazamiento

D :Distancia (d) - Espacio Recorrido (e)

Clasificacin del Movimiento:1. De acuerdo a su trayectoria:2. De acuerdo a su rapidez:

Velocidad V : Magnitud vectorial que se define comoel cambio que experimenta el vector de posicin en undeterminado intervalo de tiempo cuyo valor indica elespacio recorrido por unidad de tiempo.

Caractersticas: Ser tangente a la trayectoria en todos los puntos. Definir el sentido de la velocidad. En cinemtica se acostumbra llamar rapidez

al mdulo de la velocidad

Unidades de velocidad:En el S.I.: m/sOtras unidades: km/h , pies/s, cm/s, millas/h, etc.

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME(M.R.U.)Es uno de los movimientos ms simples de la cinemtica,tiene las siguientes caractersticas:a.La trayectoria que describe el mvil es una lnea recta

.

b.La velocidad del mvil es constante ( V : constante)

Una velocidad es constante cuando su mdulo(rapidez) y su direccin no cambian.

V V

* En el movimiento rectilneo uniforme un mvil recorre

distancia iguales en tiempos iguales.

V V V

t t

d dt

dV

MOVIMIENTO RECTILNEOUNIFORMEMENTE VARIADO(M.R.U.V.)Un mvil tendr un movimiento rectilneo uniformementevariado (MRUV) si al desplazarse describe unatrayectoria recta y su rapidez aumenta o disminuyeuniformemente.

* Si la rapidez del mvil est aumentandodiremos que est acelerando su aceleracin y velocidadtienen el mismo sentido.

V

a

* Si la rapidez del mvil est disminuyendodiremos que est desacelerando o retardando. Suaceleracin tiene sentido contrario a la velocidad.

V

a

DEFINICIN: En el MRUV la aceleracin es la variacin

de la velocidad (V) en cada unidad e tiempo.

t

Va

;

t

VVa oF

Para la resolucin de problemas emplearemos lassiguientes frmulas:

1. atVV of 2. t2

VVd of

3. ad2VV2o

2f

4.2

o at2

1tVd

*Cuando el mvil acelera se tomar el signo +.

*Cuando el mvil desacelera se tomar el signo -PROBLEMITAS1) Un motociclista viaja de A a B a una velocidad

uniforme de 55 km/h a las 7 de la maana esta enB que dista 220 km de A. Calcular a que hora partide A.

a) 2 a.m. b) 3 a.m. c) 4 a.m.d) 6 a.m. e) 5 a.m.

2) Del problema anterior; si en el caso que elmotociclista continua su viaje, a que distancia deB estar al medioda.

a) 200 km. b)300 km c) 495 km d) 245 km e) 250

3) Calcular el tiempo que emplear la luz en llegar delsol a la tierra si la distancia que los separa es de150 x 106km.

a)500seg. b)400seg. c)8min.20seg. d)ayc e) 20

Observador

X(m)

Y(m)

0r

fr

Reloj

O

V

V

V


24/80

24

4) Un auto recorre una distancia entre dos ciudadescon 60 km/h de velocidad constante en formarectilnea. Cuando le faltaban 12 km para llegar asu destino sufre un desperfecto que lo obliga adetenerse 4 minutos con qu velocidad constantedeber reanudar el viaje para llegar sin retraso?a) 80 km/h b)100 km/h c) 90 km/hd)120 km/h e) 110

5) Roco esta trabajando durante 4 horas. Si hubieraviajado 1 hora menos con una velocidad mayor en5 km/h, habra recorrido 5 km menos. Cul fue suvelocidad en km/h?a) 20 b) 23 c) 30 d) 21 e) 27

6) Dos mviles A y B parten del mismo punto conM.R.U. el mvil A lo hace 10 seg. Antes a 5 m/s. Siel mvil B emplea slo 5 seg. en alcanzar a A.Cul es la velocidad de B?a) 15m/s b)16m/s c) 20m/s d) 18m/s e)17 m/s

7) Dos mviles separados por 210 m. parten al

encuentro con velocidades de 5 m/s y 8 m/s. Alcabo de que tiempo estarn separados 50 m yalejndose el uno del otro?a) 20 seg b) 10 seg. c)8seg. d)18seg. e)15 seg.

8) Dos mviles separados en 800 metros y avanzanen lnea recta uno al encuentro del otro convelocidades 25 m/s y 15 m/s. Los mviles secruzan y se alejan. Al cabo de cuanto tiempoestarn separados en 1600 m.?

a) 20 seg. b) 40 seg. c) 60 seg. d) 50 seg. e) 45 seg.

9) Un bus sale a las 2:00 pm con una velocidad

constante de 10 km/h, una hora ms tarde sale unsegundo bus del mismo punto y alcanza el primeroa las 8:00 pm. Determina la velocidad del segundobus

a) 6 km/h b) 10 km/h c)12 km/h d) 16 km/h e)18 km/h

10) Dos mviles estn separados por una distanciade 1000 m y se acercan con velocidadesconstantes de mdulos de 20 m/s y 30 m/srespectivamente.Qu tiempo mnimo debetranscurrir para que ambos mviles estnseparados 200m?a) 2s b) 4s c) 8s d) 16s e) 24s

11) En el problema anterior, qu tiempo mximodebe transcurrir para que estn separados 200m?a) 2s b) 4s c) 8s d) 16s e) 24s

12) Un auto realizado un recorrido entre A y B,en el camino de ida mantiene una rapidezconstante de 60 km/h y el camino de regreso lorealiza con una rapidez constante de 90 km/h, si elviaje de ida y vuelta dura en total 10 horas, cules la distancia entre A y B?

a) 180 km b)360km c)450km d)550 km e) 600 km

13) La velocidad de un tren aumenta de 30km/h a60km/h en 5 horas, calcular la aceleracin del tren:

a) 6 km/h2 b) 3 km/h2 c) km/h2 d) 5 km/h2 e) 2 km/h2

14) Cul es la velocidad de un mvil luego de 4segundos si desacelera a razn de 2m/s2, sabiendoque parte con una velocidad de 20m/s?

a) 56 m/s b) 32 m/s c) 40 m/s d) 28 e) 64 m/s

15) Un carro disminuye su velocidad de 36m/s a18m/s en 6s. Calcular la distancia recorrida?

a) 18 m b) 180 m c) 162 m d) 134 m e) 170 m

16) Calcular la distancia que recorre un mvil quetiene una velocidad inicial de 6m/s luego de 2s conuna aceleracin de 4m/s2

a) 22m b) 124m c) 180m d) 20m e) 120m

17) Un mvil recorre la distancia AB de 80m, conuna velocidad en A de 10m/s y al pasar por Bcon una velocidad de 30m/s Cul es laaceleracin del mvil?a) 2m/s2 b) 4m/s2 c)5m/s2 d) 6m/s2 e) 7m/s2

18) Un ciclista tarda 4s en pasar entre dos puntosA y B separados 120m, si su velocidad en B

Es el doble que la velocidad en A, hallar suaceleracina) 1m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 e)5 m/s2

19) Dos mviles parten del reposo en dos direccionesperpendiculares con aceleracin de 6m/s2 y 8m/s2Qu distancia lo separa a cabo de 5s?a) 25m b) 50m c) 75m d) 125m e)100m

20) Dos mviles van uno al encuentro del otro, siambos parten del reposo con aceleraciones de4m/s2 y 8m/s2 Qu distancia los separabainicialmente sabiendo que el encuentro se produce

luego de 2s?a) 4m b) 8m c) 16m d) 20m e) 24m

21) Un mvil parte del reposo. Calcular la distancia querecorre en el sexto segundo de su movimiento conuna aceleracin de 6m/s2constantea) 11m b) 22m c) 33m d) 40 e) 50m

22) Un ciclista se desplaza con una velocidad de90km/s aplica los frenos y empieza a aceleraruniformemente durante 6s hasta detenerse. Hallarla distancia que recorre en ese tiempo.a) 25m b) 30m c) 50m d) 75m e) 100m

23) Un mvil parte del reposo y recorre unatrayectoria rectilnea con M.R.U.V. de tal maneraque durante los dos primeros segundos sedesplaza 16m. determinar la distancia que recorreel mvil durante su noveno segundo de movimientoa) 34m b) 43m c) 86m d) 68m e)34m

24) Dos mviles parten del reposo estandoseparados 180m. y se observa que se encuentran10s despus de tal modo que la relacin de lasdistancias recorridas por los mviles es como 5 a 4.hallar la aceleracin mayor

a) 1,6m/s2

b) 2m/s2

c) 1m/s2

d) 0,8m/s2

e) 1,4m/s2

25) Un mvil parte del reposo y recorre unatrayectoria recta de 270m. La trayectoria fuerecorrida durante los tres primeros segundos, con


25/80

25

una aceleracin constante; luego con la velocidadadquirida hace nula la aceleracin del mvildurante 6s ms, con lo cual completa su recorrido.Hallar la aceleracin del mvil durante el primersegundoa) 12m/s2 b) 18m/s2 c) 24m/s2 d) 36m/s2 e) 0m/s2

26) Un auto se acerca a una mina con unavelocidad de 10m/s y cuando se halla a 350m de la

mina, en esta sucede una explosin, el conductoral or la explosin inmediatamente aplica los frenos

desacelerando el auto a razn de 20m/s2, a qudistancia de la mina se detiene el auto?. En el airela velocidad del sonido es de 340m/s.a) 337,5m b) 327,5m c) 317,5md) 325,5m e) 323,5m

27) Se comete un robo a un banco y los ladroneshuyen en un automvil a velocidad constante de72km/h si despus de 12segundos llegaSuperelectrico al banco. Con qu aceleracin (en

m/s2) debe partir Superelectrico del banco para

alcanzarlos, si los alcanza despus de 4 segundosy parte del reposo?a) 20 b) 72 c) 40 d) 144 e) 60

CADA LIBRESe denomina as al movimiento vertical que ejerce loscuerpos en el vaco, por accin de su propio peso.Leyes:- Todos los cuerpos, independientemente de su masa y

volumen, caen con la misma rapidez en el vaco.- El movimiento natural de cada de un cuerpo es

vertical, rectilneo y uniformemente acelerado.Aceleracin de la gravedad (g):Es aquella aceleracin con la cual caen los cuerpos. Suvalor depende ntegramente del lugar en que se tome.En la superficie terrestre esta aceleracin no esconstante como se cree, esto se debe a que la tierra noes perfectamente esfrica y adems posee superficiesaccidentadas.Algunos valores de g:- En los polos: g = 9,83 m/s2- En el Ecuador: g= 9,79 m/s2Sin embargo, se considera comovalor promedio, el correspondiente allocalizado a 45 latitud norte y alnivel del mar, el valor es: g=9,8m /s2g=32,2 pies/s2. y g=10m/s2previa advertencia.Frmulas:Donde:vf= velocidad finalvo= velocidad inicialt = tiempoh = alturag = aceleracin de la gravedad.Usar:(+) si el cuerpo baja.(-) si el cuerpo sube.

MOVIMIENTO PARABLICOComo su nombre lo indica, es aquel movimiento en elcual la trayectoria es una parbola. Provienengeneralmente de dos movimientos simples (MRU yMRUV). Una aplicacin directa de este movimiento es elproblema del tiro. Si un cuerpo se lanza formando un

determinado ngulo con la horizontal, ste describe unaparbola como trayectoria; la componente vertical de lavelocidad disminuye conforme el cuerpo sube yaumenta conforme el cuerpo cae, en cambio lacomponente horizontal permanece constante.

Principio de independencia de los movimientos:Si un cuerpo tiene un movimiento compuesto, cada unode los movimientos componentes se cumplen como si

los dems no existiesenCaractersticas:- El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.

- La velocidad resultante es tangente a latrayectoria (parbola) y su mdulo se obtiene por:

22oyoxo VVV

- El mdulo de la velocidad de subida es igual almdulo de la velocidad de bajada, en un mismo nivel,y el mdulo de la velocidad de disparo es igual almdulo de la velocidad de llegada.

- Dos proyectiles disparados con la misma velocidadinicial, logran el mismo alcance horizontal cuando los

ngulos de lanzamiento son complementarios.- Si un proyectil es disparado con la misma velocidad

inicial, se logra el mximo alcance cuando el ngulode lanzamiento es de 45.

Frmulas:- La velocidad horizontal es constante:

CosVV oox - La velocidad vertical es variable:

gtSenVV ooy - Espacio (e) horizontal recorrido en t segundos:

CostVe o ..- Altura (h) alcanzada en t segundos:

2

2

1.. gtSentVh o

- Altura mxima:-

- Tiempo para alcanzar la altura mxima:

g

SenVt o

.

- Tiempo de vuelo:

g

SenVt o

.2

- Alcance mximo horizontal alcanzado:

g

SenVL o

2.2

max

PROBLEMITAS1. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con

una velocidad de 20m/s, luego de que tiempo suvelocidad ser de 80m/s. (g=10m/s2)

a) 2s b) 4 c) 6d) 8 e) 10

2. Desde lo alto de un edificio se lanza un cuerpoverticalmente hacia arriba con una velocidad de

gtvv of

t

vvg

of

2

2

1gttvh o

ghvv of 222

tvv

h of

2

g

SenVH o

2

. 22

max


26/80

26

30m/s llegando al piso luego de 8s. hallar la alturadel edificio. (g=010m/s2)a) 20m b) 40 c) 60d) 80 e) 100

3. Un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en elaire 10s, hallar su altura mxima. (g=010m/s2)a) 45m b) 55 c) 75d) 85 e) 125

4. Un cuerpo se lanza hacia arriba desde una altura de100m Qu tiempo demora en llegar a tierra si suvelocidad fue de 40m/s? (g=10m/s2)a) 4seg. b) 20 c) 6d) 7 e) 10

5. Un rbitro de ftbol lanza una moneda hacia arribacon velocidad v la cul toca el csped convelocidad 2v, considerando que la mano del rbitrosuelta la moneda a 1,2m sobre el csped, halle v,en m/s. (g=10m/s2)

a) 3 b) 2 2 c) 2 3

d) 3 2 e) 5

6. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba conuna velocidad de inicial, si luego de 6 seg. suvelocidad es 30m/s hacia arriba, Cul es el valorde Vien m/s?a) 30m/s b) 60m/s c) 90m/sd) 120m/se) 100m/s

7. Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra conuna velocidad de 60m/s. calcular en que posicin seencontrar la piedra, respecto al punto de

lanzamiento.a) 30 b) 225 ( ) c)225 ( )d) 25 () e) absurdo

8. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba ycuando le falta 2 seg para alcanzar su alturamxima, se encuentra a 60m del piso. Cul fue lavelocidad del disparo?a) 30m/s b) 40m/s c) 50m/sd) 55m/s e) 64m/s

9. Tres segundos despus de lanzar un cuerpoverticalmente hacia arriba, se observa que su

velocidad se ha reducido a la cuarta parte. Culser la altura mxima que alcanzar?a) 40 m b) 60 m c) 80 md) 90 e) 100 m

10. Se lanza un mvil con una velocidad de 50 m/s, si alcabo de cierto tiempo ha recorrido 45 m. Hallar lavelocidad en ese instante.a) 30m/s b) 40m/s c) 50m/sd) 20m/s e) 10

11. Un avin vuela a 500 m de altura y con unavelocidad de 360 km/h A qu distancia horizontalde un blanco ubicado en tierra (debe soltar unabomba para no fallar?a) 1km b) 0,5 km c) 200 md) 700 m e) 300 m

12. Un avin que vuela horizontalmente a razn de90m/s deja caer una piedra desde una altura de 720m. Con que velocidad, llega la piedra a la tierra sise desprecia el efecto de amiento del aire?(g=10m/s2)a) 120 m b) 100 m c) 150d) 160 e) 200

13. Un cuerpo es lanzado horizontalmente desde una

altura de 7.2 m con una velocidad inicial de 16m/s.Con que velocidad choca con el piso? (Velocidadvertical)a) 16 m/s b) 18 m/s c) 20 m/sd) 24 m/s e) 30 m/s

14. Un cuerpo que se encuentra cayendo librementechoca con la superficie de la tierra, con unavelocidad de 40 m/s. Determinar el tiempo quetarda en recorrer los ltimos 60 m? (g=10m/s2)a) 1 seg b) 2 seg c) 3 segd) 4 seg e) 5 seg

15. Se lanza una piedra desde la superficie de la tierracon una velocidad inicial de 50 m/s. si despus deun tiempo t la piedra se encuentra acercndose ala tierra con una velocidad de 30 m/s, hallar ta) 4 seg b) 6 seg c) 8 segd) 10 seg e) 12

16. Un avin vuela horizontalmente a 500 m de alturacon una velocidad de 30 m/s. Faltando 250 m parapasar por la vertical levantado sobre un blancosuelta un proyectil. Este caer.a) en el blanco c)antes del blancob) a 40 m del blanco d) a 50 metros del blanco

17. Desde una altura de 100m se deja caer unapartcula y al mismo tiempo desde el piso esproyectada otra partcula verticalmente hacia arriba.Si las dos partculas tienen la misma velocidadcuando se encuentran qu altura (en m) harecorrido la partcula lanzada desde el piso?a) 60 b) 35 c) 50 d) 20 e) 75

18. Un hombre sostiene un trozo de plomo fuera de unaventana a 20m del suelo soltndolo despus, qutiempo tarda el plomo para golpear en el suelo?

(g=10m/s2)

a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s19. Una piedra soltada desde un globo, que baja

verticalmente con una velocidad constante de 20m/s, llega hasta la superficie de la Tierra 4segundos antes que el globo. A qu distancia del

suelo, la piedra fue soltada? 2(g 10 m/s ) .a) 180 m b) 160 m c) 150 md) 140 m e) 120 m

20. Superelctrico sostiene una moneda en la mano,que esta parado sobre una plataforma que sube con

una aceleracin constante de

21, 2 m/s

. Si lanza lamoneda verticalmente hacia arriba con unavelocidad de 22 m/s. Qu tiempo debe esperarpara volver a tener la piedra entre sus manos?a) 2 s b) 3 s c) 4 sd) 5 s e) 6 s


27/80

27

21. En la figura mostrada, determinar con qu velocidadV se debe lanzar la esfera, si debe ingresarhorizontalmente por el canal B. Desprecie la

resistencia del aire 2g 10m / s .

a) 10 3 m/s

b) 20 3 m/s

c) 10 m/s

d) 20 m/s

e) 30 m/s

22. Con una inclinacin de 45 una piedra es lanzada

con 60 2 m/s de velocidad. Para qu tiempo lavelocidad de la piedra tendr una inclinacin de 37

al subir. 2(g 10 m/s ) .a) 1,2 s b) 1,4 s c) 1,5 sd) 1,6 s e) 1,7 s

SEMANA 03

ESTTICAEs una rama de la mecnica, cuyo objetivo es el estudiode las condiciones que debe cumplir un conjunto defuerzas que actan sobre un cuerpo o un sistema rgidopara que este se encuentre en equilibrio mecnico.Equilibrio Mecnico

Un cuerpo se halla en equilibrio cuando se halla enreposo (equilibrio esttico); o en movimiento rectilneouniforme (equilibrio cintico).Equilibrio esttico

V cte; a 0; 0 Equilibrio cintico

V cte; a 0; 0 V 0; a 0; cte FUERZA

Magnitud fsica vectorial bastante utilizada en la estticay dinmica que viene a ser el resultado de la interaccin(la accin mutua de dos cuerpos) de dos o mscuerpos.Una fuerza tiende a desplazar un cuerpo en la direccinde su accin sobre dicho cuerpo. Tambin es todo agente capaz de modificar el

estado de movimiento o reposo de un cuerpo.

La accin de una fuerza sobre un cuerpo producedeformaciones sobre l.Unidades (S.I.) Newton (N) La fuerza se representa por medio de un segmento

dirigido (vector)

F : medida o mdulo de F : direccin de la fuerza

FUERZAS MS USUALES EN MECNICATENSIN O TRACCINSon aquellas fuerzas que aparecen en el interior de loscuerpos (cables, sogas, hilos, cadenas, vigas o barras). Para graficar esta fuerza se debe hacer un corte

imaginario sobre el cuerpo. La tensin se caracteriza por apuntar al punto de

corte.

COMPRESIN. Es aquella fuerza interna que semanifiesta en los cuerpos cuando son comprimidos oaplastados por fuerzas externas Para graficar esta fuerza se debe efectuar un corte

imaginario sobre el cuerpo. La compresin se caracteriza por alejarse del punto

de corte.

FUERZA ELSTICA ( eF ).- Es aquella fuerza externa quese manifiesta en los cuerpos elsticos, cuando sonestirados o comprimidos por fuerzas externas. Estafuerza se opone a las fuerzas externas y trata que el

cuerpo elsticorecupere su longitud original. La fuerzaelstica es directamente proporcional a la deformacinlongitudinal.

T

T

D.C.L.

Polea

C

D.C.L.

C

F

F

x

Se lee

fuerza "F "

lnea de

accin

Resorte sin deformar

eF eF

F F

eFF F

Barra sometida

a Traccin

x

K

M V 0

x 0

Resortesin

deformar

eF

LEY DE HOOKE

eF

Barra sometida

a Compresin

Polea

60A

B

15 m

V


28/80

28

N NK= Constante de elasticidad o rigidez :

m cm

eF Kx

x Elongacin o estiramiento:m cm

FUERZA NORMAL ( NF ).-Es una fuerza externa que seencuentra en el contacto de 2 cuerpos o superficies,surge debido a la presin que un cuerpo ejerce sobreotro. La fuerza normal siempre es perpendicular a la

superficie donde se apoya un cuerpo.

LEYES DE NEWTON: Las leyes de newton constituyenverdaderos pilares de la mecnica, fueron enunciadas

en la famosa obra de NewtonPrincipios matemticos

de la filosofa natural publicada en 1686 y de ellasson conocidas como la 1ra. 2da. y 3ra. Ley de Newton,de acuerdo al orden que aparecen en la obra citada eneste captulo estudiaremos la primera y la tercera leyque nos permiten analizar el equilibrio del cuerpo dentrodel estudio de la esttica; la segunda ley ser estudiadaen el captulo de dinmica.

1era LEY DE NEWTON (LEY DE INERCIA)Todo cuerpo trata de mantener su estado de reposo omovimiento rectilneo a no ser que un agente exterior leobligue a cambiar su estado de reposo.

3eraLEY DE NEWTON (LEY DE ACCIN Y REACCIN)Cuando dos cuerpos "A" y "B" interactan, a laACCINde "A" se opone una REACCIN de "B" en lamisma direccin, con la misma intensidad pero desentido opuesto.

CONDICIONES DE EQUILIBRIOPRIMERA CONDICIN DE EQUILIBRIO MECNICO(para una partcula) Un cuerpo se encuentra enequilibrio cuando la fuerza resultante que acta sobre l,es igual a cero; para esto las fuerzas componentesdeben ser necesariamente coplanares y concurrentes,

esto implica que en cada eje, la sumatoria de fuerzastambin debe ser cero.

Condicin Algebraica

1 2 3 4

X

Y

Z

R F F F FR 0

R 0 R 0R 0

F 0

CONDICIONES GRAFICAS. Se sabe que si laresultante de un sistema de vectores forma un polgonocerrado entonces la resultante es cero.

1 2 3 4F F F F 0 TEOREMA DE LAMY. Si un slido se encuentra en

equilibrio bajo la accin de tres fuerzas coplanares yconcurrentes en un plano el valor de cada una de estasfuerzas es directamente proporcional al seno del nguloque se le opone.

360

1 2 3F F F

sen sen sen

MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE

( F0M ).Siempre que abres una puerta o un grifo o que

ajustes una tuerca con una llave, ejercers una fuerzade giro que produzca un torque. El torque no es lomismo que la fuerza, si quieres que un objeto sedesplace le aplicaras una fuerza, la fuerza tiende aacelerar los objetos. Si quieres que un objeto gire o devueltas le aplicaras un torque, los torques producengiros alrededor de un punto o eje de rotacin.El momento o torque de una fuerza es una magnitudvectorial.Observe!

Al observar los ejemplos grficos y notamos que elmomento de una fuerza (capacidad de producir giro)depende del valor de la fuerza aplicada y la distancia alcentro o eje de giro, luego:

Si se expresa en forma matemtica este fenmeno,podemos representar el momento de fuerza medianteun esquema que nos ayudar a comprender mejor susignificado.

1F

2F3F

4F

1F

2F

3F

4F

1F2F

3F

Fd

O

Eje de giro

Lnea de

accin de F

M rxF

r

P

Bloque

Piso

NF

NF

Bloque

En el eje X: F( ) F( )

En el eje Y: F( ) F( )

Mtodo Prctico

Cabeza hexagonal de un perno

F 10 N5 cm

El perno no gira!

El perno giralentamente!

F 10 N

F 10 N

10 cm

El perno gira!

F 30 NEl perno girarpidamente!

10 cm10 cmPunto

de giro


29/80

29

La distancia del punto O a la lnea de accin de F

es: d rsen El mdulo del Momento de la fuerza F con respecto al

punto O ser: 0M Frsen

Nota: Un mismo momento de fuerza puede ser causadopor una fuerza de mdulo pequeo, cuyo brazo esgrande y por una fuerza de mdulo grande cuyo brazoes pequeo.

Nota curiosa:

El hombre ya tena conocimientos de las propiedadesde la palanca y fue Arqumedes, uno de los sabios dela Grecia antigua, quien enunci la ley del equilibrio dela palanca, tal como hoy se conoce y a l se leatribuye la curiosa frase universal: Dadme un puntode apoyo y mover la tierra segn describe PierreVarignon en su famosa obra Proyecto de una NuevaMecnica.

CONVENCIN DE SIGNOS

SEGUNDA CONDICIN DE EQUILIBRIO. Para que un cuerpo

mantenga su estado de equilibrio, no debe rotar por lotanto, el momento resultante que acta sobre el debeser cero, respecto a cualquier punto (centro de giro).

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RGIDOCuando un grupo de fuerzas externas, estn actuandosobre un cuerpo rgido, es necesario considerar:

1ra. condicin: iF 0 : es

decir: x y zF 0 ; F 0 ; F 0 2da. condicin: 0M = 0

MOMENTO RESULTANTE. Si sobre un cuerpo actanvarias fuerzas externas entonces el momento resultanteser igual a la suma algebraica de los vectores delmomento, generado por cada fuerza externa.

TEOREMA DE VARIGNON. El momento resultante de ungrupo de fuerzas respecto de un punto arbitrario essiempre igual a la suma algebraica de los momentos delas fuerzas componentes respecto del mismo punto.

R 1 2 3 4F = F + F + F + F

El momento de la

resultante es igual a lasuma de los momentosde cada una de lasfuerzas componentes

R iM M R 1 1 2 2 3 3 4 4r F = r F + r F + r F + r F

PROBLEMITAS

1. Hallar la tensin si el peso de la esfera es 100 3 N.

a) 100 N30 b) 150 N

c) 200 N

d) 100 3 N

e) 200 3 N

2. Hallar la tensin en A:

a) 10 N 30 60

b) 20 3 N A Bc) 30 3 N WB = 80 Nd) 40 Ne) 50 N

W

3. En el sistema en equilibrio hallar la reaccin en elpunto A

A m =12 kg37

4. Hallar la tensin en la cuerda A, si el peso delbloque es 15N.

15N

30

A

a) 30n b) 15 3 N c) 15N

d) 60N e) 60 3 N

4F

O4r

3r3F

1F

1r

2F

2r

F

O

d Antihorario

F0M ( )

Momento Positivo

F

O

d Horario

F0M ( )

Momento Negativo

Qu dificil

F

Qu fcil

F

El brazo de palanca es ms corto! El brazo de palanca es ms largo!


30/80

30

5. Hallar la fuerza F que se debe aplicar para que elsistema permanezca en equilibrio. Si sabe que A pesa20N y B pesa 30N

F

B a) 20N b) 50n c) 30N

d) 10N e) 15N

6. Si el sistema est en equilibrio. Hallar

P

40

Pa) 35 b) 45 c) 50d) 70 e) 80

7. Calcular la tensin en la cuerda AB, si cada esferapesa 5N.

A

B

a) 10N b) 15N c) 20Nd) 25N e) 8N

8. Hallar el peso del bloque B para que existaequilibrio, no hay rozamiento. ( )N120W

A

A B

30 37 a) 200N b) 300N c) 150Nd) 100N e) 250N

9. Hallar la tensin en la cuerda AO si el bloque pesa48N y la tensin en la cuerda OB es de 20N

BO

A

a) 28N b) 36N c) 48Nd) 52N e) 64N

10. Calcular el peso de A para el equilibrio. No hayrozamiento

B 20NA

30 a) 20N b) 40N c) 50Nd) 80n e) 10N

11. En la figura las tensiones en las cuerdas A y B son 7N y 24N respectivamente. Hallar el peso del bloque sihay equilibrio.

W

AB

a) 25N b) 8 10 N c) 8 3 Nd) 16N e) 20N

12. Si la figura se encuentra en equilibrio encontrar elvalor de E; W= 300 N

37W F

a) 500N b) 400 N c) 300 Nd) 200 N e) 100N

13. El sistema est en reposo el peso del bloque b es:Kg1m

A (g=10m/s2)

A30Liso

B

a) 5N b) 10N c) 20Nd) 40N e) 25N

14. Hallar la tensin en la cuerda AB, la barra esimponderable.

W

30 60 Liso

A

B

a) W 3 b) W/2 c) W 2 d) W e) 3W

15. Si la barra AB pesa 12N y se encuentra en equilibrioapoyada en superficie lisa, hallar la reaccin en Bsabiendo que en A la reaccin vale 5N.

A

B

a) 10N b) 5N c) 7Nd) 13N e) 17N

16. Si el bloque B pesa 300N, hallar el peso de A paraque el equilibrio (Peso de las poleas es despreciable)


31/80

31

A

B a) 30N b) 150N c) 50N d) 100N e) 200N

17. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio, hallar

el valor de F de tal manera que la reaccin en A seacero.

)N100W(esfera

60

A

F

a) 100n b) 100 3 N c) 200 N d)150 Ne)100 3 /3 N

18. En el siguiente sistema en equilibrio, determinar latensin en la cuerda que pasa por las poleas. (W =

150 3 N)

60

W30

a) 5N b) 70 3 N c) 84 3 N d) 75N e) 200 3 N

19. Una barra uniforme de 200N se muestra en lafigura. Donde estar ubicado el punto de apoyo paraque la barra se mantenga en equilibrio. Hallar x. (longitud de la barra L).

x

200N 300Na) 4/7L b) 2/7L c) 3/5Ld) L/7 e) 2/5L

20. Determinar el momento resultante en la barraingrvida con respecto al punto O.

_10 3N60

2m15N 5m

3m30

Oa) 45 N.m b) 120 c) 165d) 75 e) 85

21. Una barra AB de peso 100N, tal como se muestra, seencuentra en equilibrio. Calcular el peso del bloque.

A

B a) 50N b) 150N c) 200N

d) 250N e) 25N

22. Encontrar la carga Q y la lectura del dinammetro sise sabe que el sistema mostrado est en equilibrio. Labarra es de peso despreciable.

4m 2m

Dinammetro

60N Q a) 60N; 120N b) 60N; 180N

c) 12N; 18N d) 120N; 180Ne) 120N; 90N

23. En el sistema mostrado la barra mide 2Lmetros y esde peso despreciable. Si se cumple que 2Q = 3P,entonces x es igual a:

Q

x

P

a) 4

3

L b) 3

1

L c) 2

1

Ld)

3

2L e) L/3

24. La barra homognea mostrada en la figura seencuentra en reposo y pesa 80N. Calcular la tensin delcable.

53

a) 80N b) 50N c) 40Nd) 30N e) 20N

25. En el siguiente sistema en equilibrio, calcular la

tensin de la cuerda, si la barra uniforme pesa 60 3 N y

el bloque P2 es 30 3 N.

P

60

3a a

a) 75N b) 105N c) 150Nd) 175N e) 180N


32/80

32

26. Los bloques A y B de 2kg y 3kg respectivamenteestn en equilibrio. Determine la deformacin en elresorte de rigidez K 200 N/m . Desprecie el rozamiento

2poleam 1kg ; g 10 m/s

a) 20 cm

b) 10 cm

c) 25 cm

d) 35 cme) 40 cm

27. En la figura se muestra una barra homognea de8kg y 14m de longitud. Determine el momento

resultante (en N.m.) respecto de A. 2g 10 m/s .

a) 100 b) 120 c) 130 d) 140 e) 220 28. Sabiendo que la barra mostrada pasa 120N y latensin en la cuerda horizontal es 90N.a) Cul es la reaccin en el apoyo A?b) Cul es el valor de ?

a)150N; 1 1Tg3

b)150N;1 2

Tg3

c) 180N ;1 1

Tg3

d) 180N ; 1 2Tg

3

e) 160N;1 4

Tg3

29. En la figura se muestra a un joven de 70 kgelevando lentamente a un bloque de 25 kg con ayudadel sistema de poleas, si las poleas son cada una de 1kg. Cunto indica la bscula?. (Considere:

2g 10 m/s ).a)630 N

b)570 N

c)700 N

d)130 N

e)470 N

30. El cilindro homogneo de 8 kg se encuentra enreposo. Determine el mdulo de las reacciones en los

puntos A y B. (Considere: 2g 10 m/s ).

a) 80 3 N y 160

b)40 N y 40 N

c) 40 3 N y 80 N

d)50 N y 30 N

e)40 N y 40 3 N

31. Determine el mayor valor de F, si la cua B est apunto de deslizar Am 15 kg ; Am 15 kg ; Am 15 kg ;

2g 10 m/s .

a) 200 N

b) 300 N

c) 240 N

d) 160 Ne) 50 N

32. Determina F para el equilibrio de la barrahomognea de 80N de peso.

a) 40Nb) 60N

c) 70Nd) 90N

e) 100N

33. En el sistema mostrado la barra uniforme yhomognea pesa 50N y esta sostenida por tres resortesde constantes K1= 10N/cm, K2=16N/cm y K3=5N/cm.Sabiendo que la barra est en equilibrio y que el resorte2 presenta un estiramiento de 5cm. Calcula ladeformacin del resorte N 3.

a) 5 cmb) 1 cm

c) 2 cmd) 3 cm

e) 4 cm

34. La viga de masa m se encuentra en reposo, eldinammetro ideal indica 300 N. Determine el nmerode pescados de 0,2 kg que se encuentra en eseinstante, (Considere masa del platillo de 0,2 kg y

2g 10 m/s ). M: punto medio de la viga.

a) 28

b) 30

c) 32

d) 34

e) 36

35. Se muestra una barra homognea a punto deresbalar, determine el coeficiente de rozamiento entre labarra y la superficie.

a) 1041

b) 1241

c)12

31

d) 1137

e) 1140

A

B

100 N

37 9 m

40 mA

A

Bscula

A

B

60

37

A

BF e 0, 2

Liso

a

3a

F

F

5aK1

K2

K33a

M

Platillo

37

74

dinammetro

37


33/80

33

SEMANA 04

CONCEPTO: Parte de la Mecnica de slidos queestudia el movimiento teniendo en cuenta las causasque lo producen. Las velocidades son pequeas encomparacin a la velocidad de la luz. La velocidad y laaceleracin se miden con respecto a un sistema inercialde referencia.

La propiedad de todo cuerpo, de mantener su reposo omovimiento (mantener su velocidad) recibe el nombrede inercia.Vemos entonces que la ley de la inercia permiteapreciar el movimiento desde un punto de vistatotalmente distinto. Nuestros antepasados pensabanque el movimiento se deba a la accin de algunafuerza, pero hoy sabemos que los objetos puedenseguir movindose por s mismos. Se requiere unafuerza para superar la friccin y para poner los objetosen movimiento en el instante inicial. Una vez que unobjeto se halla en movimiento en un entorno libre defuerzas, seguir movindose en lnea recta por un

tiempo indefinido.

La masa: una medida de la inerciaSi pateas una lata vaca, la lata se mueve con muchafacilidad, en cambio si est llena de arena no lo harcon tanta facilidad, y si est llena de plomo adems dehacerte dao no se mover. Una lata llena de plomotiene ms inercia que una lata llena de arena y esta a suvez tiene ms inercia que una vaca.

Para cuantificar la inercia de los cuerpos introducimosuna magnitud llamada masa (Kg). La cantidad de inerciade un objeto, tanto mayor ser la fuerza necesaria para

cambiar su estado de movimiento.

Ya sabemos que por inercia, todo cuerpo tiende amantener su velocidad, queda pues la pregunta, quincausa los cambios de velocidad en los cuerpos?

Consideremos un pequeo ladrillo que es lanzado sobreuna superficie horizontal spera:

Notamos que el ladrillo despus de recorrer ciertotramo, se detiene ( V 0 ), esto se debe a la fuerza derozamiento cintico (opuesta a la traslacin del ladrillo)que causa la disminucin de su velocidad; pero si elpiso fuese liso, mantendra su velocidad hasta quealguien o algo trate de modificarlo.

Por consiguiente:un cuerpo cambia su velocidaddebido a las fuerzas externas que lo afectan.La conclusin que anteriormente hemos logrado fueplanteada por Isaac Newton en su segunda ley delmovimiento.

La segunda ley de Newtondice:La aceleracin que adquiere un objeto por efecto de unaresultante, es directamente proporcional al mdulo de la

fuerza resultante e inversamente proporcional a la masadel cuerpo.Matemticamente:

RFam

RF ma o tambin F ma Donde:

RF : Fuerza resultante (N)

m : masa (kg)

a : aceleracin del cuerpo (2

m/s )

La aceleracin ( a ) de un cuerpo tiene igual direccinque la fuerza resultante ( RF ) sobre l.

Si sobre el cuerpo hubiera varias aceleraciones y esfactible descomponerlos en los ejes cartesianos,entonces conviene aplicar:

x xF m a y yF m a

z zF m a

Observaciones y Conclusiones

I. En el estudio de la mecnica clsica, donde lavelocidad que alcanzan los cuerpos es pequea encomparacin con la velocidad de la luz, la masa esconstante. Pero en mecnica relativista, donde la

velocidad del cuerpo es prxima a la velocidad de laluz, la masa vara.

Nuestro estudio est enmarcado en la mecnicaclsica; en consecuencia: la masa se consideraconstante.

II. Para que un cuerpo experimente una aceleracin, esnecesario que sobre l exista una fuerza resultante.Si:

RF 0 No existe aceleracin (a 0) RF 0 Existe aceleracin (a 0)

III. Si la fuerza resultante sobre el cuerpo es constante,su aceleracin tambin lo ser; pero, si la fuerzaresultante vara, la aceleracin tambin vara.

Si: RF cte a cte RF cte a cte

10 m/s

V 0

AA

En piso s pero

kf

NF

gFa

En piso liso

NF

gFV cte

m

RF

anF

1F

2F

3F

m

DINMICA


34/80

34

IV. Si hay dos cuerpos interactuando entre s por mediode cuerdas o apoyados uno en el otro, de modo queno hay movimiento relativo entre ellos; entonces: laaceleracin del sistema es la misma para cadacomponente del conjunto. Por ejemplo:

Sistema inercial de referenciaUn sistema inercial es aquel que cumple con las leyesde Newton, lo que significa que un cuerpo sobre el cualno actan fuerzas esta o bien en reposo (velocidad = 0),o bien en movimiento rectilneo uniforme (velocidad =constante y aceleracin = 0).El movimiento uniforme esmovimiento no acelerado,esdecirvelocidad constante.Un caso particular es cuando

la velocidad es cero, decimos que el sistema est enreposo. En cualquiera de estas condiciones el sistemaes un

sistema inercial.Supongamos que nos encontramos dentro de un avin,se mueve con velocidad constante, (sistema inercial)entonces dentro de ste podemos poner en marcha unsistema mecnico, tal como jugar tenis de mesa, obillar, del mismo modo que lo hacemos en la Tierra.Independientemente de la velocidad que tenga el avin,no hay efecto perceptible sobre los objetos, y estosseguirn sujetos a las leyes de la mecnica.

Podemos resumir diciendo que unsistema mecnico esbastante independiente del movimiento uniforme delmarco en el que se encuentra. Por lo tanto siempre queunsistema mecnico se halle dentro de un marco quese mueve con velocidad constante (sistema inercial) elcomportamiento del sistema mecnico obedecer lasleyes de la mecnica.

SISTEMA ACELERADOS

O : Observador inercialO : Observador no inercialPara el observador O el pndulo se encuentran enmovimiento, pero para el observador O el pndulo seencuentra en reposo.

Con cierta certeza podemos decir que un marco de

referencia inercial o sistema inercial, no tiene ningnefecto perceptible sobre los sistemas mecnicos.Galileo y despus Newton haban reconocido estapropiedad de los sistemas inerciales. Las leyes deNewton valen en un sistema conmovimiento uniforme.

Newton se preguntaba si en el universo existe algo quefuera completamente estacionario, a partir de lo cualtodo movimiento pudiera ser reconocido de formaabsoluta. Newton supona que ningn cuerpo deluniverso se hallara realmente en reposo. Este es elprincipio clsico de relatividad, conocido comorelatividad newtoniana.

Relatividad newtonianaLa Fsicanewtoniana se basa en las leyes de Newton.La ms importante es la primera, conocida como ley deinercia. Un marco de referencia inercial dejar de serlosi sobre l acta una fuerza. Por lo tanto un marcoinercial de referencia es un sistema "no acelerado".Dicho de otro modo; un marco inercial se define comoaqul en el cual es vlida la primera ley de Newton. Uncuerpo en reposo no experimenta aceleracin. Por lotanto las leyes de Newton son vlidas en todos losmarcos de referencia inerciales.

La tierra no es un marco de referencia porque debido asu movimiento de translacin alrededor delSol,y a sumovimiento de rotacin alrededor de su propio eje,experimenta aceleraciones. La mejor aproximacin deun marco inercial de referencia es aqul que se muevecon velocidad constante respecto de las estrellasdistantes.No hay un marco de referencia privilegiado. Estosignifica que los resultados de un experimentoefectuado en un marco inercial seran idnticos a losresultados del mismo experimento efectuado en otrocon movimiento relativo. El enunciado formal de estefenmeno se denomina principio de relatividad

newtoniana, o Fsica newtoniana.

Sistema de Referencia no InercialLas leyes de Newton presentan limitaciones cuando elanlisis del fenmeno fsico se realiza desde un S.R.N.I.(sistema acelerado). El criterio de DAlembert, consisteen agregar una fuerza al D.C.L. del cuerpo, para que lasleyes de la mecnica cumplan para dicho observador noinercial.Usualmente denominan a esta fuerza: Fuerza Inercial, yse grafica en direccin opuesta a la que se encuentra elobservador no inercial, respecto de otro inercial (el quepor comodidad puede ser uno fijo a tierra).

El valor de esta fuerza ser: F ' ma F ' : Fuerza inercialm : Masa del cuerpo en anlisisa : Aceleracin del observador

respecto de un S.R.I.

Vectorialmente: F ' m( a) . Observe, el siguienteejemplo el bloque no se mueve:

Fig. 1: Esquema original

B Aa a

mg

R

D.C.L. del bloque "A"

El bloque "A" acelera horizontalmente

O

O '

A B

a

F' ma

N

mgmg

Na

m

Observadorno inercial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Movimiento_no_acelerado&action=edithttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidad_constante&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Tenis_de_mesahttp://es.wikipedia.org/wiki/Billarhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_mec%C3%A1nico&action=edithttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_mec%C3%A1nico&action=edithttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Leyes_de_la_mec%C3%A1nica&action=edithttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_mec%C3%A1nicos&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Galileohttp://es.wikipedia.org/wiki/Newtonhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_inerciales&action=edithttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_inerciales&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Movimiento_uniforme&action=edithttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Movimiento_uniforme&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Newtonhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Principio_cl%C3%A1sico_de_relatividad&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_newtonianahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Solhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Solhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_newtonianahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Principio_cl%C3%A1sico_de_relatividad&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Newtonhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Movimiento_uniforme&action=edithttp://es.wikiped

Modulo 1. Area III

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