modelo de sargent

MACROECONOMÍA AVANZADA

La Teoría Clásica en la Versión de Sargent

Richard Roca

http://www.geocities.com/rhroca

[email protected]

Universidad Nacional Mayor de San Marcos 2005

Richard Roca Macroeconomía Avanzada La Teoría Clásica

La Teoría Clásica en la Versión de Sargent

Richard Roca1 Las conocidas conclusiones más importantes de la teoría clásica o neoclásica son:

• Pleno empleo automático. • Las variables de política económica no afectan el nivel de empleo y producto,

sólo su composición. • Políticas expansivas pueden incrementar el consumo, pero reducen la inversión

(crowding-out) • El dinero es neutral (en un sentido débil) y el desempleo se encuentra en su tasa

natural. Thomas Sargent en el primer capítulo de su ya clásico libro de macroeconomía avanzada: “Macroeconomic Theory” de 1987 presenta una versión más sofisticada de la Teoría Clásica considerando explícitamente la influencia de los mercados de valores además del mercado de bonos, las expectativas y aspectos El modelo describe el funcionamiento de una economía cerrada en el que se produce un solo bien final (Y) por periodo. La producción de bienes finales tiene tres usos:

Consumo: C Inversión Bruta: I + δK Gasto de Gobierno: G

Lo que se resume en la ecuación del lado del gasto: (1) KGICY δ+++= Se consideran tres sectores: Empresas, Familias y Gobierno Empresas: emplean trabajo N, y capital K para producir Y. Gobierno: recauda impuestos T, compra bienes G, emite dinero M y bonos B. Familias: poseen el dinero y los bonos emitidos por el gobierno y las acciones emitidas por las empresas. Asigna sus ingresos entre consumo y ahorro. Ahorra en dinero bonos o acciones Las empresas Gran numero de empresas competitivas: n Cada empresa produce un mismo bien: Yj Todas las empresas tienen la misma función de producción Función de producción instantánea:

1 Profesor de Macroeconomía avanzada de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Correo: [email protected]

2


(2) , ),( jjj NKFY = nj ,..,1=

jY : producción de la j-ésima empresa

jK : capital empleado por la j-ésima empresa

jN : trabajo empleado por la j-esima empresa Supongamos que la función de producción es del tipo neoclásica bien comportada2:

NNN FF >> 0 , , KKK FF >> 0 KNNK FF <> 0 ,

∞=→ NN

F0

lim , , 0lim =∞→ NN

F ∞=→ KK

F0

lim , 0lim =∞→ KK

F .

Homogénea de grado uno en Kj y Nj:

),(),( jjjj NKFNKF λλλ = , 0>λ Por el teorema de Euler en una función homogénea:

jj

jji

j

jjj N

NNKF

KK

NKFY

∂

∂+

∂

∂=

),(),(

Además, como F es una función homogénea lineal:

j

jj

j

jj

KNKF

KNKF

λλλ

∂

∂=

∂

∂ ),(),(

Haciendo jN/1=λ :

)/()1,/,(),(

jj

jj

j

jj

NKNKF

KNKF

∂

∂=

∂

∂

Por lo que el PMK depende solo de la tasa capital-trabajo. Análogamente el PMN depende solo de la tasa capital-trabajo:

)/()1,/,(

)1,/,(),(

jj

jj

j

jjj

j

jj

NKNKF

NK

NKFN

NKF∂

∂−=

∂

∂

Los productos marginales permanecen constantes mientras las relaciones K/N sean constantes: Las PMN y PMK son homogéneas de grado cero respecto a K y N.

2 Las condiciones de Inada garantizan una solución interior en equilibrio con valores positivos y finitos de N y K.

3


Asumamos que en cualquier momento dado del tiempo K permanece fijo. Eso descarta:

regalos de K del extranjero caído del cielo desastres naturales existencia de un mercado perfecto de capitales

Una vez en uso K se convierte en especializado. Si se supone mercados de bienes finales y de trabajo competitivos las empresas deben ser precio aceptantes de salarios (W) y precio del bien final (P) Los beneficios nominales de la empresa típica:

jjjjj PKiWNNKPF )(),( πδ −+−−=Π i : tasa de interés nominal instantánea δ : tasa de depreciación. π : tasa de inflación esperada de los nuevos bienes de capital.

π−i : tasa de interés real esperada. πδ −+i : costo de uso real de un bien de capital físico.

Pi )( πδ −+ : precio de alquiler nominal de mercado del capital Cada firma trata de maximizar beneficios:

0),( =−=∂

Π∂WNKPF

N jjNj

j

(4) PWNKF jjN =

−+

),(

Lo que determina la tasa K/N que es idéntica a todas las empresas pues el salario real es igual para todas las empresas. de (4) se tiene una función de demanda de trabajo:

+−

jdj K

PWN ,

El nivel de empleo ( ) de cada empresa puede ser diferente pues las ( ) no son necesariamente iguales.

jN jK

El tener una misma función de producción y el objetivo de maximizar beneficios en mercados de bienes y trabajos competitivos implica que existe una función de producción agregada

4


∑∑==

==n

jjj

n

jj NKFYY

11),(

Por el teorema de Euler:

[ ]∑∑==

+=n

jjjjKjjjjNj

n

jj KNKFNNKFY

11),(),(

Como los productos marginales dependen solo de los ratios K/N y además dicho ratio es el mismo para todas las empresas los productos marginales del capital y trabajo son los mismos para todas las empresas. Así:

∑∑==

+

=

n

jj

j

jK

n

jj

j

jN K

NK

FNNK

FY11

1,1,

Dado que los ratios Kj/Nj son iguales para las n empresas ellas deben ser iguales la tasa K/N de la economía

KNKFN

NKFY KN

+

= 1,1,

Aplicando el Teorema de Euler se puede escribir como la función de producción agregada: (5) ( )NKFY ,= Notemos que la PMN se iguala al PMNj de cada empresa, mientras que PMK se iguala al PMKj de cada empresa. Eso legitima usar la función de producción agregada (5) y la igualdad:

(6) PWFN =

La Función de Inversión agregada. En caso de haber un mercado de bienes de capital la inversión neta agregada se supone que esta afectado directamente por el exceso del producto marginal del capital sobre el costo real de uso del capital:

(7)

−−+−

=≡π

πδiiFII

dtK )(dK , ( ) 0´ >⋅I

en forma más compacta: (7´) =I , ( )1−qI ( ) 0´ >⋅I

5


donde q es definido como:

(8) 1)(+

−−+−

ππδ

iiFK=q , ( )

−−+−−= δπ ,,, iNKq

donde q es un precio relativo importante que influye sobre la demanda de inversión Si el producto marginal del capital es mayor al costo de usar una maquina más

)( πδ −+> iFK el ingreso total aumenta mas que el costo total por lo que convendrá aumentar el número de maquinas. Al hacerlo q se reduce pues se reduce el producto marginal del capital por la ley de los rendimientos marginales decrecientes. ACTIVOS POSEÍDOS POR LAS FAMILIAS Las familias poseen tres activos: dinero (M), bonos (B) y acciones (V). El Dinero (M) medido en unidades monetarias, es un medio de cambio emitido por el gobierno. Rendimiento nominal: cero Rendimiento real: generalmente no es cero Derivando temporalmente la cantidad real de dinero:

PP

PM

PM

PPMMP

dtPMd &&&&

−=−

= 2

)/(

para que M/P no cambie:

PP

PM

PM &&

= o sea PP

MM &&

=

O sea, para que M/P no cambie es necesario añadir saldos nominales a una tasa igual a la tasa de inflación efectiva ( ). PP /& Al mantenerse una misma cantidad de dinero nominal el poder de compra que se pierde es: . Por lo tanto el rendimiento real del dinero es: − . PP /& PP /& Si la cantidad nominal de dinero no cambia los saldos reales mantenidos pierden poder de compra en por unidad de tiempo. PP /& Pero la gente normalmente no conoce . Supongamos que la gente espera que los precios suban a la tasa

PP /&

π que puede ser diferente de . PP /& El segundo activo que poseen las familias son los bonos de cupón variable emitidos por el gobierno los que pueden considerarse como un depósito de ahorro.

6


Cambios en la tasa de interés alteran el cupón pero deja el valor nominal de los bonos pendientes (B) inalterado. El rendimiento nominal de los bonos por unidad temporal es i por lo que el bono rinde

por periodo. iB El rendimiento real del Bono es π−i . Además, las familias también poseen las acciones que las empresas emiten para financiar sus inversiones. Para simplificar asumamos que las firmas no retienen ganancias ni emiten bonos de tal forma que toda la inversión es financiada emitiendo acciones. Si se asume que no hay un mercado de bienes de capital físico ello implica a descartar que las empresas emitan nuevas acciones pues son la contraparte financiera del capital físico. Un supuesto simplificador adicional es las familias consideren a los bonos y las acciones como activos sustitutos perfectos lo que implica que sus rendimientos esperados se igualen mediante los mecanismos de arbitraje. Cuando difieran dichos rendimientos las familias dejarían los activos de menor rendimiento reduciendo su precio hasta que otra vez se iguales sus rendimientos. De ahí se deduce que la tasa de interés nominal del bono es la tasa de descuento apropiada para el flujo de caja neto esperado de las empresas los cuales son, a su vez, iguales a los dividendos esperados agregados. Los dividendos nominales que pagan las empresas en el momento s por unidad de tiempo: ( ) )()()()()(),()( sKsPsNsWsNsKFsP δ−− El valor nominal de las acciones (V) de las empresas en el instante t:

( )[ ]∫∞

−−−−=t

tsi dsesKsPsNsWsNsKFsPtV )()()()()()(),()()( δ

Asumamos que las familias y las empresas esperan que los precios y los salarios nominales crecen a una tasa igual a la inflación esperada:

)()()( tsetPsP −= π , W )()()( tsetWs −= π

Si se supone que el publico espera que la tasa real de los dividendos no cambie en el tiempo el valor presente se puede expresar como:

7


( )[ ]∫∞

−−−−−=t

tsi dseKtPNtWtNtKFtPtV ))(()()()(),()()( πδ

( )[ ] [ ]∞=

−−−

−−−−= ts

tsiei

KtPNtWtNtKFtPtV ))((

)(1)()()(),()()( π

πδ

( )[ ] [ ]))(())((lim)(

1)()()(),()()( ttiti eei

KtPNtWtNtKFtPtV −−−−∞−− −−−

−−= ππ

πδ

( )[ ] [ ]10lim)(

1)()()(),()()( −−−

−−=π

δi

KtPNtWtNtKFtPtV

lo que equivale a:

πδ

−−−

=i

KtPNtWtYtPtV )()()()()(

Sumando y restando términos de tal forma que no se altere la igualdad:

πππδ

−−−−+−+−−

=i

KtPiKtPitKtPtFtKtPtFKtPNtWtYtPtV KK )()()()()()()()()()()()()()()(

de donde:

[ ] [ ] KtPi

KtPitFi

tKtFNtFtYtPtV KKN )()()()()()()()()()( +−

−+−+

−−−

=π

πδπ

Aplicando la condición de que el producto marginal del trabajo se iguala al salario real y el teorema de Euler al primer término del lado derecho el numerador se hace cero:

[ ]KtP

iitFtV K )(1)()()(

+

−−+−

=π

πδ

que nos dice que el valor nominal de las empresas varia directamente con el exceso del PMK sobre el costo de uso real del capital. Trasladando términos se obtiene el ratio del valor nominal del capital al del valor del stock de capital evaluado al precio de los nuevos bienes de capital (P).

qi

itFKtP

tV K ≡+−

−+−= 1)()(

)()(

ππδ

El ratio obtenido es la famosa q de Tobin que aparece en la ecuación (8) de la función de inversión agregada. Se puede deducir que el ratio dividendo-precio que iguala el ratio ganancia-precio es:

8


πδ−=

−− iV

KPWNPY

que es la tasa de interés real de los bonos y acciones. Si se añade la tasa de apreciación esperada en el valor nominal de las acciones existentes (π ) al ratio ganancia- precio se obtiene el rendimiento nominal de las acciones ( i ). La tasa de crecimiento de V se puede expresar como:

)()(

)()(

)()(

)()(

tqtq

tKtK

tPtP

tVtV &&&&

++=

Si q es constante en el tiempo ( ) el crecimiento del valor nominal de las acciones se explicaría por la tasa de crecimiento del nivel de precios de los bienes de capital y por la inversión neta que incrementa el stock de capital a la tasa ( ).

0=q&

KK /& Las familias asignan su riqueza real (Ω) entre bonos, acciones y dinero. Recordemos que hemos supuesto que los bonos y las acciones son considerados como sustitutos perfectos.

(10) P

MBV ++≡Ω

Supongamos que las familias desean dividir su riqueza entre M por un lado y, B+V por otra parte, como se describe en las siguientes funciones de demanda:

(11) ),,( Ω= YiLP

M d

(12) ),,( Ω=+ YibP

VB dd

Las funciones de demanda de los activos deben cumplir con la condición de que para cualquier valor de i e Y, la riqueza real total (Ω) se asigna entre dichos activos.

(13) Ω≡++

PVBM ddd

Ello implica que las derivadas parciales de (11) y (12) están relacionadas entre sí. Diferenciando la ecuación (11) y sumando el diferencial de la ecuación (12):

Ω+++++=

++ΩΩ dbLdYbLdibL

PVBMd YYii

ddd

)()()(

9


restándole la ecuación (13) a la anterior:

Ω−+++++= ΩΩ dbLdYbLdibL YYii )1()()(0 lo que se cumple solo sí:

YYii bLbL +==+ 0 , y, 1=+ ΩΩ bL Asumamos que se cumplen estas restricciones El equilibrio del portafolio requiere que las familias estén satisfechas con asignación de su riqueza entre dinero por un lado, y, bonos y acciones por otro lado.

PM

PM d

= , P

VBP

VB dd +=

+

Considerando las ecuaciones (10) y (13) juntas implican que una de las anteriores ecuaciones, cualquiera de ellas, es suficiente para describir el portafolio de equilibrio.

Si se escoge PM

PM d

=

Restándole a (13):

PM

PVB dd

−Ω≡+

PVB

PVB dd +

≡+

La demanda de bonos y acciones igual su oferta. Este es un ejemplo de la Ley de Walras: si las funciones de demanda están construidas bajo una restricción de hoja de balance y si los individuos están contentos con sus tenencias de todos los activos menos uno entonces debe estar satisfecho con sus tenencias del último activo también. Siguiendo la tradición escojamos caracterizar el equilibrio de portafolio mediante el equilibrio del mercado monetario.

PM

PM d

=

),,( Ω= YiLPM

Si se asume que 0<iL , y 0>YL 0=ΩL ello implica que b , 0>i 0<Yb y b . Dados i e Y, incrementos de la riqueza llevaran a incrementos de la demanda de acciones o bonos.

1=Ω

10


La condición de equilibrio de portafolio se puede escribir como:

(14) ),(+−

= YiLPM

La demanda real de dinero depende directamente del nivel de producción real por el motivo transaccional. La rentabilidad real de los bonos y acciones menos la rentabilidad real del dinero es igual a la tasa de interés nominal. Cuanto mayor es dicha tasa mayor es la demanda por bonos y acciones, y, menor la demanda real de dinero. Los portafolios de los tres sectores descritos por el modelo se muestran en la siguiente tabla en la cual las empresas no mantienen dinero ni bonos, en tanto que el gobierno no posee capital ni acciones y las familias solo poseen activos:

Gobierno Empresas Familias B

M R.N.Gob.

qPK V V B M

R.N.Fam.

Consolidando el sector privado (familias mas empresas) se tendría:

Gobierno Sector Privado B

M R.N.Gob.

qPK B M

R.N.Priv.

El Gobierno El sector público recolecta impuestos netos de transferencias reales y pagos de intereses (T) por periodo y compra bienes y servicios finales (G) por periodo los cuales, asumamos, no permiten acumular bienes de capital. Para simplificar asumamos que los impuestos netos de transferencias reales e intereses (T) se aplican de manera independiente del nivel de ingreso real y del nivel de precios y que el gobierno fija exógenamente T y G. El pago de intereses, en términos reales, por la deuda publica se representa como PBi /)( π− . Por lo que la restricción presupuestaria se expresa como:

(15) PM

PBTG

&&+=−

Lo cual nos dice que el gobierno puede financiar su déficit fiscal (lado izquierdo) emitiendo bonos o emitiendo dinero (lado derecho).

11


Supóngase que el gobierno conduce directamente las operaciones de mercado abierto que en este modelo son ventas o compras de bonos del gobierno a cambio de dinero del sector privado. Dichas operaciones se representan mediante la siguiente restricción: (16) dBdM −= Lo que quiere decir que cuando el gobierno emite dinero mediante operaciones de mercado abierto el sector privado reduce su saldo acreedor de bonos en el mismo valor nominal. Recuérdese que en el modelo Clásico de Sargent los impuestos son netos de pagos de intereses por lo que serian igual a la recaudación tributaria netos de transferencias menos los pagos de intereses:

(17) PBiTT )(0 π−−=

por lo que la ecuación (15) del déficit fiscal es:

(18) PM

PBT

PBiG

&&+=−−+ 0)( π

Si se asume que G y T son fijados exógenamente ello quiere decir que T0 es ajustada en una cantidad igual a los cambios en los pagos de intereses asociados con los cambios del valor real de los bonos(B/P) en poder del público. Por ejemplo, si el gobierno reduce la emisión primaria sujeto a la restricción (16), aumentando el stock de bonos en manos del público e incrementando el flujo de pagos de intereses reales, se asume que el gobierno simultáneamente sube T0 en una cantidad igual a los pagos adicionales de intereses. Las Familias Las familias toman dos tipos de decisiones:

• Dada su riqueza en un momento del tiempo eligen como asignarla entre diferentes activos como lo muestra la ecuación (14).

• Eligen cuanto aumentar la riqueza, o sea, eligen el nivel de ahorro. El ingreso disponible percibido (YD) es el ingreso que las familias esperan poder consumir o ahorrar. El consumo no permite acumular activos en tanto que el ahorro hace crecer la riqueza en forma de activos financieros. En la versión clásica de Sargent el consumo depende directamente del ingreso real disponible percibido (YD) e inversamente de la tasa de interés real: (19) 0 ,10 ), ,( )( <<<−= −−+ ππ iYD CCiYDCC

12


Donde C es la propensión marginal a consumir. En esto se parece a lo planteado por Keynes.

YD

El consumo más el ahorro de las familias es el ingreso real disponible percibido: YDCS =+ El ingreso real disponible percibido esta compuesto por los salarios reales mas los dividendos (se supone que las empresas no retienen beneficios) menos la recaudación tributaria neta de pagos de transferencias e intereses menos la pérdida de capital del valor real esperado de los activos emitidos por el gobierno mas el aumento del valor real de las acciones menos la emisión real de acciones por parte de las empresas para financiar la inversión. YD = + salarios reales [ ]wN+ dividendos reales [ ]KwNY δ−−

– Impuestos totales netos de pagos de intereses

−−

PBiT )(0 π

– pérdida de capital real esperada de los títulos sobre el gobierno

+ π

PBM

+ incremento real de las acciones [ ]qKKq && + - valor real de emisión de acciones para financiar la inversión [ ]K& por lo tanto:

[ ] [ ] [ ] [KqKKqP

BMPBiTKwNYwNYD &&& −++

+

−

−−−−−+= ππδ )(0 ]

Asumiendo se convierte en: 0=q&

(20) KqP

BMTKYYD &)1( −++

−−−= πδ

Aquí el ingreso disponible es el ingreso que la sociedad espera poder consumir sin cambiar riqueza: Derivando temporalmente (10) obtenemos el cambio efectivo de la riqueza:

qKKqPP

PBM

PBM

&&&&&

& +++

−+

=Ω

El cambio de la riqueza esperada se obtiene reemplazando la inflación efectiva por la esperada, adicionalmente mantengamos q constante:

KqP

BMP

BMe &&&

& ++

−+

=Ω π

13


Por la restricción presupuestaria del gobierno (15): 0)( TPBiG

PBM

−−+=+ π&&

KqP

BMTPBiGe && +

+−−−+=Ω ππ 0)(

Mientras que por las cuentas nacionales: CKKYG −−−= δ&

KqP

BMTPBiCKKYe &&& +

+−−−+−−−=Ω ππδ 0)(

CKqP

BMTKYe −−++

−−−=Ω && )1(πδ

CYDe −=Ω&

por lo que reemplazándolos en la ecuación anterior la riqueza esperada:

YDC e =Ω+ & lo que verifica que el concepto de ingreso disponible corresponde a la tasa a la cual las familias puedan consumir esperando que su riqueza se mantenga intacta ( ). 0=Ωe&

La oferta de Trabajo La oferta de trabajo se supone que esta influido por las decisiones de ocio y consumo de los trabajadores por lo que depende directamente del salario real: (21) )/(

+= PWN S φ

Asumiendo que el mercado se limpia continuamente el nivel de empleo efectivo (N) es igual a la oferta de trabajo: (22) )/(

+= PWN φ

14


EL MODELO COMPLETO

(6) ),( NKFPW

N=

(22) )/(

+= PWN φ

(15) ),( NKFY =

(19)

−−−+

+−−−= πδππδ iIiNKq

PBMTKYCC ,.)1),,,((

(7´) = ( )1),,,( −− δπiNKqII (1) KIGCY δ+++=

(14) ),( YiLPM

=

Donde se tiene 7 variables endógenas: . Las cuales pueden cambiar discontinuamente en el tiempo para satisfacer las ecuaciones del modelo en todo momento. Las variables exógenas son: T

PiICYPWN ,,,,,/,

MKG ,,,, π . Se asume que la inflación esperada, unánimemente, no depende de la inflación efectiva. Además, se asume que el cambio esperado de q es cero. Supongamos que existe un equilibrio inicial. Para linealizar el sistema diferenciemos totalmente las ecuaciones anteriores las cuales se deben interpretar como desviaciones de los valores de equilibrio inicial. (i) dKFdNFdw NKNN += (ii) dwdN wφ= (iii) dNFdKFdY NK +=

(iv) [ ] ππ

πππδ

ππππ dCdiCdIqdiIqdNIqdKIqdIqCP

dPP

BMP

dBdMdP

BMdTdKdYCdC

iiiiNKYD

YD

−−−− −+−+++−+

+

++

−+

−−−=

)1(

(v) πππ dqIdiqIdNqIdKqI iqiqNqKq −−dI −++= (vi) dKdIdGdCdY δ+++=

(vii) dYLdiLP

dPPM

PdM

Yi +=−

15


Se ha supuesto que la tasa de depreciación es constante ( 0=δd ). La derivada del ratio q que aparecen en (iv) y (v) sale de (8):

(8) 1)(+

−−+−

ππδ

iiFK=q ,

[ ] [ ]

2)()()()()(

πππδππ

−−−+−−−−−+

=i

ddiiFiddidNFdKFdq KKNKK

[ ] [ ]

2)()())(1()()(

πππππ

−−−−−−−−+

=i

ddiiqiddidNFdKFdq KNKK

Cancelando )( π−i :

[ ])(

)(π

π−

−−+=

iddiqdNFdKF

dq KNKK

por lo que: 0)(

>−

=πi

FKNNq , 0

)(<

−=

πiFKK

Kq , 0)(

<−−

=− ππ iq

iq

De la ecuación (iv):

[ ] ππ

πππδ


dPP

BMP

dBdMdP

BMdTdKdYCdC

iiiiNKYD

YD

−−−− −+−+++−+

+

++

−+

−−−=

)1(

Usando la restricción de operaciones de mercado abierto: dM+dB=0:

[ ] ππ

πππδ


dPP

BMP

dP

BMdTdKdYCdC

iiiiNKYD

YD

−−−− −+−+++−+

++

−

+−−−=

)1(

0

ππ

ππδ

ππππ dCdiCdCIqdiCIqdNCIqdKCIqdICqP

dPCP

BMdCP

BMdTCdKCdYCdC

iiYDiYDiYDNYDKYD

YDYDYDYDYD

−−−− −+−+++−+

++

+−−−=

)1(

Pasando al lado izquierdo los diferenciales de las endógenas y reagrupando:

πδ

π

ππ

ππ

dCCP

BMCIqdKCIqdTC

dPCP

BMdiCCIqdICqdCdYCdNCIq

iYDYDiYDKYD

YDiYDiYDYDYDN

+

++−−+−=

+−+−−−+−−

−−

−−

)(

)()1(0 2

16


Reagrupando matricialmente:

−−−−

+

−+−−−−−

−−

−

−

−−

dPdidIdCdYdNdw

PMLL

qIqIP

BMCCIqCqCCIqC

F

F

iY

iqNq

YDiiYDYDYDNYD

N

w

NN

2

2

0000001110001000

)()1(10

000010000001000001

π

ππ π

φ

+−

+

++−−+−=

−

−−

PdMdKdG

dqIdKqI

dCCP

BMCIqdKCIqdTC

dKF

dKF

iqKq

iYDYDiYDKYD

K

NK

/

)(

0

δπ

πδ

π

ππ

En las primeras dos filas de la matriz de 7x7 del lado izquierdo se observa que solo aparecen dos variables en las primeras dos ecuaciones señala: dw y dN. Los coeficientes de las demás variables son nulos en dichas ecuaciones. Ello indica que las dos ecuaciones mencionadas forman un subconjunto independiente de ecuaciones que determinan dw y dN. De manera similar las tres primeras ecuaciones forman un subconjunto independiente de ecuaciones que determinan dw, dN y dY independientemente de las demás ecuaciones del modelo. Ello indica que el sistema matricial anterior es recursiva. El modelo Clásico tiene como característica que las variables reales se determinan independientemente de las variables nominales. Las variables reales afectan a las variables nominales pero estas últimas no afectan a las reales. Este hecho es conocido como la “dicotomía clásica”. Sustituyendo (ii) en (i) dKFdwFdw NKwNN += φ

(23) dKFF

dwwNN

NK

φ−=

1

17


01

>−

=wNN

NK

FF

dKdw

φ

Lo que quiere decir que un aumento del stock de capital lleva a un mayor nivel de salarios reales. Sustituyendo en la (ii):

(24) dKFF

dNwNN

NKw

φφ−

=1

01

>−

=wNN

NKw

FF

dKdN

φφ

Lo que quiere decir que un aumento del stock de capital lleva a un mayor nivel de empleo de equilibrio mediante un aumento de la demanda de trabajo. Sustituyendo en la (24) en (iii):

(25) dKFF

FFdY K

wNN

NKwN

+

−=

φφ

1

01

>+−

= KwNN

NKwN FF

FFdKdY

φφ

Lo que quiere decir que un aumento del stock de capital lleva a un mayor nivel de producción de equilibrio pues el PMK es positivo y aumenta el empleo. (23)-(25) muestran que solo cambios en K modifican Y. Es la única exógena que afecta Y, N y w. Si el capital solo puede cambiarse mediante la inversión neta:

IdtdK

=

no habría saltos en K. Por lo que dado la función de producción y la oferta de trabajo la política económica ni las expectativas del publico pueden modificar Y, N, w. Figura 1: PTN, mercado laboral

18


Figura 1. nivel de empleo y producción

Yi

N1 N

NS

Nd

F(K, N)

PMN, w

Y1

w1

N1 N

Las ecuaciones (i)-(iii) determinan la oferta agregada (OA) Las ecuaciones restantes determinan la demanda agregada (DA) que se ajusta para igualarse a la OA. La ecuación (vii) no juega ningún rol

19


Supongamos que inicialmente 0=+ BM . Sustituyendo en (iv), (v) y (vi) y manteniendo constante el capital, la producción y el empleo ( ): 0=== dYdNdK

(iv) [ ] ππ

πππδ


dPP

BMP

dBdMdP

BMdTdKdYCdC

iiiiNKYD

YD

−−−− −+−+++−+

+

++

−+

−−−=

)1(

(v) πππ dqIdiqIdNqIdKqI iqiqNqKq −−dI −++= (vi) dKdIdGdCdY δ+++=

(iv) [ ] ππ

πππδ

ππππ dCdiCdIqdiIqIqIqdIqCP

dPP

ddTCdC

iiiiNKYD

YD

−−−− −+−+++−+

+

−−−−=

)0()0()1(

)0(0)0()0()0(

(v) πππ dqIdiqIqIqI iqiqNqKq −−dI −++ )0()0( = (vi) 00 +++= dGdIdC o sea: (iv) [ ] ππ ππππ dCdiCdIqdiIqdIqCdTCdC iiiiYDYD −−−− −+−+−+−= )1(

(v) πππ dqIdiqI iqiq −− −dI = (vi) dIdGdC ++=0 Sustituyendo (iv) y (v) en (vi) nos da:

( )[ ]

ππ

ππ

ππππ

ππππ

dqIdiqIdGdCdiC

dIqdiIqdqIdiqIqCdTC

iqiqii

iiiqiqYDYD

−−−−

−−−−

−++−+

−+−−+−= )1(0

( )

ππ

ππ

ππππ

ππππ

dqIdiqIdGdCdiC

dCIqdiCIqdqIdiqICqdTC

iqiqii

YDiYDiiqiqYDYD

−−−−

−−−−

−++−+

−+−−+−= )1(0

( )

ππ

ππ

ππππ

ππππ

dqIdiqIdGdCdiC

dCIqdiCIqdqICqdiqICqdTC

iqiqii

YDiYDiiqYDiqYDYD

−−−−

−−−−

−++−+

−+−−−+−= )1()1(0

[ ]

ππππ ππππ

ππππ

dqIdGdCdqICqdCIq

diqICCIqqICqdTC

iqiiqYDYDi

iqiYDiiqYDYD

−−−−

−−−−

−+−−−−

+++−+−=

)1(

)1(0

20


( )[ ]

( )[ ] dGdCqICqCIq

diCCIqqICqdTC

iiqYDYDi

iYDiiqYDYD

+++−+−

+++−+−=

−−−

−−−

ππππ

πππ

1)1(

1)1(0

despejando di:

( )[ ]

( )[ ] dGdCqICqCIqdTC

diCCIqqICq

iiqYDYDiYD

iYDiiqYD

−++−++

=+++−

−−−

−−−

ππππ

πππ

1)1(

1)1(

( ) π

πππ

dCCIqqICq

dGdTCdi

iYDiiqYD

YD ++++−

−=

−−−1)1(

(26) πddGH

dTH

Cdi YD +−=

1

donde: ( ) πππ −−− +++−= iYDiiqYD CCIqqICqH 1)1( es la derivada total de la DA con respecto a la tasa de interés. Además, H debe ser negativa para que el equilibrio del modelo sea dinámicamente estable:

( ) 01)1( <+++−= −−− πππ iYDiiqYD CCIqqICqH

( ) πππ −−− −<++− iYDiiqYD CCIqqICq 1)1(

ππππ −−−− −−<+− iqiYDiiqYD qICCIqqICq )1(

YD

iq

YD

iiiq C

qICC

IqqIq ππππ

−−−− −

−<+− )1(

El lado izquierdo no es otra cosa que la derivada parcial del Ingreso disponible respecto a la tasa de interés nominal:

YD

iq

YD

i

dPddYdT CqI

CC

iYD ππ

π

−−

====

−−

<∂

∂

0

Para que H sea negativa basta que:

YD

i

dPddYdT CC

iYD π

π

−

====

−<

∂∂

0

De (26) se obtiene las siguientes “derivadas parciales de la forma reducida”:

0<=∂∂

HC

Ti YD , 01

>−

=∂∂

HGi , 1=

∂∂πi (26) πddG

HdT

HCdi YD +−=

1

21


Reemplazando (26) y (24) en (v) se obtiene las derivadas parciales de la forma reducida para la inversión neta con respecto a las variables exógenas las que nos dicen que la inversión neta aumenta si se incrementa los impuestos a los ingresos, si cae las compras del gobierno. Cambios en la inflación esperada no afectarían a la inversión neta.

ππ ππ dqIddGH

dTH

CqIdI iqYD

iq −− −

+−=

1

[ ] πππππ dqIqIdGH

qIdTH

CqIdI iqiqiqYD

iq −−−− −+−=1

[ ] πππ ddGH

qIdTH

CqIdI iqYD

iq 01+−= −−

[ ] πππ ddGGiqIdT

TiqIdI iqiq 0+

∂∂

−∂∂

= −−

0>∂∂

=∂∂

− TiqI

TI

iq π , 0<∂∂

=∂∂

− GiqI

GI

iq π , 0=−∂∂

=∂∂

−− ππ ππ iqiq qIiqII

Sustituyendo (26) en (iv) se obtiene las derivadas parciales de la forma reducida para el consumo con respecto a las variables exógenas las que nos dicen que el consumo

(26) πddGH

dTH

Cdi YD +−=

1

(iv) [ ] ππ ππππ dCdiCdIqdiIqdIqCdTCdC iiiiYDYD −−−− −+−+−+−= )1( de donde:

[ ]TiqIqCIqCCC

TC

iqYDiYDiYD ∂∂

−+++−=∂∂

−−− πππ )1(

[ ]GiqIqCIqCC

GC

iqYDiYDi ∂∂

−++=∂∂

−−− πππ )1(

[ ] [ ] 0)1()1( =−++−∂∂

−++=∂∂

−−−−−− ππππππ ππ iqYDiYDiiqYDiYDi qIqCIqCCiqIqCIqCCC

Si q no es mucho menor que 1 entonces: [ ] 0)1( <−++ −−− πππ iqiYDi qIqIqCC

Con lo que: 0<∂∂GC , 0<

∂∂

TC

Donde: i

YDqIqIq iqi ∂∂

=−+ −− ππ )1(

Se esta asumiendo que dichas derivadas satisfacen:

22


πππ

−−− −+>

−iqi

YD

i qIqIqCC

)1(

iYD

CC

YD

i

∂∂

>− −π

Lo que garantiza que: 0<∂∂GC , 0<

∂∂

TC

En esta versión, en la que M+B=0, la tasa de interés se ajusta completamente para igualar la demanda agregada con la oferta agregada. Ante aumentos de las compras del gobierno elevan la tasa de interés la cual a su vez afecta a la inversión neta y al consumo:

↓↓

↑→↑→IC

iG tal que: ICG ∆−∆−=∆

Dado que el Ingreso disponible se consume o ahorra:

YDCS =+

IqKTYCS )1( −+−−=+ δ Sustituyendo la identidad del producto (1) en la anterior:

IqKTKGICCS )1()( −+−−+++=+ δδ

qITGS +−= (27) qIGTS +=+ Lo que nos dice que en el equilibrio el ahorro de la familias mas la recaudación tributaria neta de pagos de intereses se iguala al gasto de gobierno mas la el aumento del stock de capital evaluada a su valor de mercado. La ecuación (27) también se interpreta como que en el equilibrio las “filtraciones” se igualan a las “inyecciones” En la figura 2 en el plano S-I,i se muestra las curva de las inyecciones (G+qI) con pendiente negativa pues la inversión esta inversamente afectada por la tasa de interés, y, la curva de las filtraciones (S+T) con pendiente positiva pues el ahorro esta directamente influido por la tasa de interés.

23


Figura 2. Ahorro, Inversión y tasa de interés

i

S+T

qI+G

i

qI+G, S+T

Como sabemos qI esta inversamente influida por la tasa de interés pues:

0)(<+=

∂∂

−− ππ iqi qqIIqi

qI

0)()),,((),,(<+=

∂−−∂

−− ππππ

iqi qIIqi

iNKqIiNKq

ya que se asume: π−> iq qII En la figura 2 la curva de filtraciones S+T tiene pendiente positiva lo que no necesariamente es cierto: Veamos, el Ahorro:

) ,( π−−= iYDCYDS

π−−∂

∂−

∂∂

=∂∂

iYD Ci

YDCi

YDiS

π−−−∂

∂=

∂∂

iYD CCi

YDiS )1(

Como se ha asumido que i

YDCC

YD

i

∂∂

>− −π ello implica:

ππ

−− −−

−<

∂∂

iYDYD

i CCCC

iS )1(

24


πππ

−−− −+

−<

∂∂

iiYD

i CCCC

iS

YD

i

CC

iS π−−

<∂∂ o lo que es lo mismo )(+<

∂∂

iS

Por lo que dicho supuesto no descarta que S dependa inversamente de la tasa de interés. Tanto las filtraciones como las inyecciones depende del nivel de producción pues la inversión varia con el empleo y S con el producto:

+→→+→→

→TSSYqIGIq

N

Pero, Y es predeterminado antes que i y no cambiara cuando se modifique G o T:

25


Usando la figura 2 se puede mostrar que incrementos de G elevan la tasa de interés:

Figura 2.1 Aumento del Gasto de Gobierno y la tasa de interés

1

2i2

i1

S+T

qI+G1

i

qI+G2

qI+G, S+T

Mientras que aumentos de los impuestos reducen la tas de interés.

Figura 2.2 Aumento de los Impuestos y la tasa de interés

2

1

i2

i1

S+T1

qI+G1

i

S+T2

qI+G, S+T

26


Los anteriores casos se interpretan también como el enfoque de “fondos prestables” de la tasa de iteres pues basta con sustituir el flujo de la restricción presupuestaria (15) en (27):

SqITG =+−

SqIPM

PB

=++&&

demanda de fondos prestables = oferta de fondos prestables

El lado izquierdo es la tasa efectiva de crecimiento de los activos financieros de la economía en términos reales: de los bonos, dinero y las acciones mientras que el lado derecho es la tasa a la cual el público desea aumentar sus activos o ahorro deseado.

Recordando que: qKPV

= dado P: KqP

&&

=V , o sea: qI

PV

=&

. En la anterior:

SPV

PM

PB

=++&&&

Aumentos del gasto de gobierno elevan el déficit fiscal lo que aumenta el lado izquierdo generándose un exceso de demanda de fondos prestables lo que eleva la tasa de interés en una cantidad exacta que reduce el consumo y la inversión en lo mismo que aumenta el gasto de gobierno: Full Crowding Out. ESTABILIDAD DINÁMICA (1) , ( ) ( )[ ]),(1,. NKFKGqIiYDCP −++−+−= δπσ& 0)0( ,0´ => σσ

(14)

−=

PMYiLi ),(β& 0)0( ,0´ => ββ

Requiere que las raíces características ( 21 ,λλ ) del sistema dinámico tengan parte real negativa.

27

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