Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel … · Unidad 3 Unidad 3 . Modelado y...

Modelado y simulacin en Ingeniera Qumica. Manuel Rodrguez

1


2

Grafos

Un grafo G es un conjunto de vrtices (V) y un conjunto de arcos que unen los vrtices.

1

2

3

4 5

Digrafo: es un grafo en el cual los arcos tienen una direccin. La direccin que marcan indica el flujo de una cantidad.

1

2

3

4 5

3. Estrategia secuencial-modular


3

Matriz de adyacencia o estructural 1 2 3 4 5

1 1

2 1

3 1 1

4 1 1 1 1

5 1 1

1

2

3

4 5

1

2

3

4 5

1 2 3 4 5

1 1

2

3 1 1

4 1 1

5

Matriz simtrica

v. o

rige

n

v. destino

a b c d e

1 -1

2 +1

3 -1 -1

4 +1 -1 +1 -1

5 +1 +1

vrt

ices

arcos

a

b c

d

e

Matriz signos

vrtices

vrt

ices

Indica que vrtices estn unidos

Negativo: salida Positivo: llegada

Son valores lgicos. Booleanos.


4

Identificacin de bucles

Sobre la matriz de adyacencia

1

2

3

4 5

1 2 3 4 5

1 1 1

2 1

3 1 1

4 1

5 1

v. o

rige

n

v. destino

A= A2=

1 2 3 4 5

1 1 1

2 1 1

3 1 1

4 1 1

5 1

A3=

1 2 3 4 5

1 1 1 1

2 1 1

3 1 1 1

4 1 1

5 1 1

A4=

1 2 3 4 5

1 1 1 1

2 1 1 1

3 1 1 1 1

4 1 1 1

5 1 1

conectados en dos pasos

conectados en tres pasos conectados en cuatro pasos

bucles

bucles


5

Poner el digrafo correspondiente

1 2 3 4

5 6

7


6

Diagrama de flujo

Hay bucles en el diagrama?Cuntos?Se pueden identificar de forma automtica? Cul es el mejor orden para resolverlos? Cmo resolver los subsistemas que forman parte de un bucle?


7

Particionado (y ordenacin)

El particionado consiste en la identificacin de los subsistemas que estn interrelacionados. Es decir, que constituyen un bucle y que hay que tratar en su conjunto a la hora de resolver el diagrama de flujo.

Algoritmo de Sargent y Westerberg

1) Seleccionar un vrtice (de forma arbitraria) 2) Trazar un camino desde el vrtice siguiendo un arco no explorado

(formando un conjunto con los vrtices que aparecen) hasta que:

a) Se encuentra un vrtice que no tiene salida (o no va a otra unidad). Borrar el vrtice (y sus arcos incidentes) y ponerlo en cabeza de una lista. Continuar desde el vrtice anterior.

b) Se encuentra un vrtice que ya est en el conjunto de vrtices (bucle). Agrupar todos los vrtices del bucle en un nico conjunto.

3) Si queda algn vrtice repetir otra vez desde el paso uno hasta que no quede ningn vrtice.

Otros algoritmos de particionado que se basan en la matriz de adyacencias: algoritmo de Norman y el algoritmo de Keham y Shacham


8

Ejemplo A

B C D

E F G

Empieza por C

C DFG (sin salida) Lista: G

A

B C D

E F

Sigue con F (sin salida) Lista: F G


9

A

B C D

E

Sigue con D (sin salida) Lista: D F G

Sigue con CE (sin salida)

A

B C

E

Lista: E D F G

A

B C

Sigue con C (sin salida)

y ya igual A y B

Lista: C E D F G

Lista: A B C E D F G Las listas NO son nicas


10

Ejemplo A

B C D

E F

Empieza por C

C DF (sin salida) Lista:F

A

B C D

E

C DABC (agrupo en un BUCLE)


11

E

CDAB CDABE (sin salida)

Lista: E F

CDAB (sin salida) Lista: [CDAB ] E F


12

Ejercicio: Particionar el siguiente diagrama de flujo.

I

IJKLMNL

IJK[LMN]

IJK[LMN]OPK

IJ[KLMNOP]

I

F

FGCDEABC

FG[CDEAB]

FG[CDEAB]F

[FGCDEAB]

[JKLMNOPSQR]

H


13


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 6 912 4 57 81011


14


React. CloracionColumna Resto


15

Procedimiento de resolucin secuencial modular

Qu ocurre si hay un reciclo?


16

Seleccin de variables de corte. (Rasgado)

Para resolver un grupo de unidades que estn interconectadas con algn bucle es necesario dar un valor inicial a una corriente desconocida. Esa corriente es la corriente de rasgado y sobre ella es necesario iterar para obtener el valor final.

corriente de rasgado valor estimado valor calculado

Cmo seleccionar la mejor corriente de rasgado?

Cmo actualizar el valor estimado tras cada iteracin para tener una rpida convergencia?


17

Algoritmo de Barkeley & Motard (nmero mnimo de corrientes)

1) Realizar el grafo dual. Las corrientes son nodos y los equipos que las unen son arcos.

2) Se recorre el grafo. Si una corriente tiene slo una entrada es eliminada del grafo (y sustituida por la entrada).

3) Cuando se llega a un autobucle (autociclo) sta es una corriente de corte. Se elimina del grafo y se vuelve al punto 2) hasta eliminar el grafo.

NOTA: Si se llega a una situacin donde el algoritmo no puede avanzar se escoge una variable de corte y se procede.

Criterios para escoger variables de corte:

Conocer de forma aproximada el valor que va a tener en la solucin. El nmero de variables que tenga dicha corriente. El nmero de equipos a los que entra una corriente etc,...


18

Ejemplo

2 3 6 9

S1

S2 S6

S3 S4 S5

S1 S2

S3 S4 S5

S6

2 2

3

6

6

6

6

9

9

Grafo dual de corrientes

Las corrientes S1, S4 y S6 slo tienen una entrada, luego son eliminadas del grafo.

Proceso


19

S2

S3 S5

2 2

3

6

6

6

6

9

9

S2

S3 S5

S5 es un autociclo, se elimina, junto con las corrientes que entran y salen de el.

S5 es la primera corriente de rasgado.

S2 S3 Se escoge segn algn criterio una de las dos como corriente de corte.

Conjunto final:

{S5,S2}

S2

S2 S2 es la primera corriente de rasgado.


20

Ejercicio. Seleccionar las corrientes de rasgado.


21

K O

L M S

1 4

2

6

7

3

5

8 Grafo del proceso

1 8

2 7

3

5 6 4

K

K

S

S

OO

L

L M

ML

L Conjunto final:

{S1,S2}

Cules son las corrientes de corte?


22

1) Identificar los bucles presentes a) Empezar por una unidad cualquiera hasta que aparezca una repetida b) Cuando aparezca una repetida anotar las corrientes que conforman el bucle

hallado c) Seguir por la corriente anterior a la corriente repetida hasta que vuelva a repetirse

otra unidad d) Continuar hasta que se han recorrido todas las corrientes

2) Escoger la familia de corrientes de rasgado que rompe los bucles una nica vez. a) Escoger un conjunto de corrientes que rasga todos los bucles una nica vez b) Seleccionar una unidad que tenga todas sus salidas en ese conjunto de corrientes c) Reemplazar en ese conjunto de corrientes de rasgado las salidas de esa unidad por

sus entradas d) Repetir hasta que no quedan conjuntos de rasgado nuevos por salir e) Todos los conjuntos de rasgado que han aparecido son equivalentes. Como opcin

definitiva escoger un conjunto con un menor nmero de corrientes.

Algoritmo de Upadyhe y Grens


23

Ejemplo

2 3 6 9

S1

S2 S6

S3 S4 S5

1) Identificar los bucles presentes

2 3 6 9 2

2

6

S3 S4 S5 S1

2 3 6 9 2 S3 S4 S5 S1

2 3 6 9 2 S3 S4 S5 S1

6 S6

S6

S2

Bucle 1: {S3,S4,S5,S1}

Bucle 2: {S5,S6}

Bucle 3: {S3,S4, S2}


24

Corriente Bucle

S1 S2 S3 S4 S5 S6

1 X X X X

2 X X

3 X X X

{S3,S6} 2

{S1,S2,S6} 9

{S2,S5} 6

{S6,S4} 3

{S6,S3}

2) Escoger la familia de corrientes de rasgado que rompe los bucles una nica vez.

El objetivo es rasgar todos los bucles para poder integrar, la idea es que si se escoge un conjunto que rasga ms de una vez un bucle (ej: {S1,S2,S5}), esto implica que la convergencia va a ser ms lenta.


25

Ejercicio. Seleccionar las corrientes de rasgado.

K O

L M S

1 4

2

6

7

3

5

8

Grafo del proceso


26

K O

L M S

1 4

2

6

7

3

5

8

L M S K L 2 7 8 1

O 4

K5

S 6

L 3

Bucle 1: {2,7,8,1} Bucle 2: {1,4,5} Bucle 3: {8,1,4,6} Bucle 4: {2,3}

Corriente Bucle

1 2 3 4 5 6 7 8

1 X X X X

2 X X X

3 X X X X

3 X X

{1,3} {5,8,3} {5,6,7,3} {5,6,2} {4,2} K S M O


27

Realizar el particionado y seleccionar las corrientes de corte mediante los algoritmos de Barkeley y de Upadyhe del siguiente digrafo.


28

Procedimiento de resolucin secuencial modular (con reciclo)

Qu ocurre si hay un diseo de especificacin?


29

Diseo de especificacin Controladores computacionales.

x1

x2? Reciclo

x1? y1 dado

Diseo de especificacin

Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3

Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3

Alguna relacin?


30

x1

x2,guess Reciclo

x1? y1 medido


CC

Set Point

x2,calc

Iteracin implcita

Iteracin explcita

Pueden resolverse por el mtodo de sustitucin sucesiva?

Unidad 3

Unidad 3

Unidad 2

Unidad 2

Unidad 1

Unidad 1


31

x1

x2,guess

Reciclo

x1? y1 dado


CC

Set Point

x2,calc

Iteracin implcita

Iteracin explcita

Conv

y1-ySP

x2,guess- x2,calc h(x)=0; h(x)=

Se puede iterar sobre cualquier corriente

Hay que iterar sobre una corriente determinada

Unidad 1

Unidad 1

Unidad 2

Unidad 2

Unidad 3

Unidad 3


32

Realizar la simulacin del sistema de forma gradual. Utilizar resultados de simulaciones anteriores (ms sencillas) para las nuevas simulacin


33

Matriz de incidencia

Matriz (booleana) que indica qu variables aparecen en qu ecuaciones de un sistema.

Sistema de ecuaciones


4. Estrategia orientada a ecuaciones


34

Grafo bipartito Grafo en el que hay dos conjuntos de vrtices y todos los arcos van de un vrtice del primer conjunto a un vrtice del segundo conjunto.

x2

x3

x1 ec1

ec2

ec3

Se emplea para identificar el conjunto de variables a especificar.


35

ec1 ec2 ec3

Qu implica la presencia de bucles?

Asignacin de variables de salida.

Qu variable se va a calcular con qu ecuacin.

Dado un sistema cuadrado y un conjunto de salida asignado se puede obtener un grafo dirigido.

Se emplea para realizar el particionado del sistema.


36

Grados de libertad e identificacin de un conjunto de variables a especificar (variables de entrada).

Algoritmo de Christensen-Rudd

1) Se emparejan las variables que slo aparecen en una ecuacin o las ecuaciones que slo tienen una variable. Se eliminan los nodos (y sus arcos) del grafo.

2) Se procede as sucesivamente hasta que quedan nodos sin arcos, estos son los grados de libertad.

3) Si se llega a una situacin donde todos los nodos tienen 2 ms arcos, es necesario asignar (de forma arbitraria) una variable a una funcin y proceder a continuacin como en el punto uno.

NOTA: Este algoritmo proporciona una secuencia de resolucin acclica, excepto en el caso del punto 3) que indica la presencia de bucles algebraicos. En ese caso las variables asignadas arbitrariamente seran variables de rasgado que permitiran resolver el sistema de forma acclica. El uso de variables de rasgado en simulaciones orientados a ecuaciones est hoy en desuso (NO en simulacin secuencial-modular!)


37

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

f5

f4

f3

f2

f1

La variable 7 slo aparece en la ec 5



Ejemplo


38

x1

x2

x4

x6

x8

f2

f1 La variable 8 slo aparece en la ec 2


x1 x2 x4

Quedan como grados a especificar:

Ntese que cuando hay varias posibilidades el criterio ha sido arbitrario. Es mejor apoyarse en el conocimiento heurstico del modelo.


39

Descomposicin de Dulmage-Mendelsohn.

En lugar de actuar sobre el grafo bipartito acta sobre la matriz de incidencia.

Descompone la matriz de incidencia en submatrices: Una parte sobredeterminada: indica que hay ms ecuaciones que incgnitas, puede ser alguna redundante,...

Una parte cuadrada: tiene forma de matriz triangular inferior. El subsistema est correctamente especificado y por tanto no aporta grados de libertad.

Una parte infradeterminada: indica que hay ms variables que ecuaciones y que por tanto hay un nmero de grados de libertad que hay que especificar. La forma de proceder es seleccionar uno, volver a realizar la descomposicin de D-M y escoger otra. As hasta que se obtiene nicamente una matriz cuadrada triangular inferior por bloques.


40

Algoritmo de asignacin de variables de salida.

Algoritmo de Steward

Selecciona la fila (columna) con menor nmero de incidencia. En esa fila (columna) selecciona la variable que pertenece a la columna (fila) con menor nmero de incidencia.

Asigna esa variable (fila) a la ecuacin (columna) y se eliminan de la matriz de incidencia.

Asigna la variable 2 con la ecuacin 1




41

Algoritmo de Duff (es una implementacin ms eficiente y que permite detectar singularidad estructural)

Va permutando las filas en funcin de que haya o no un cero en la diagonal de la matriz de incidencia.

Intercambia las filas sin perder las asignaciones realizadas. En caso de no poder obtener una matriz transversal mxima (todos los elementos de la diagonal distintos de cero) el problema presenta una singularidad estructural.


42


43

Singularidad estructural

Cuando no se puede obtener un conjunto de salida la matriz es estructuralmente singular.

Implica que hay un subconjunto de ecuaciones que tiene menos variables que el nmero de ecuaciones del subconjunto.

La especificacin de las variables de entrada puede hacer que un sistema de ecuaciones sea o no estructuralmente singular.


44

Particionado del sistema de ecuaciones y orden de resolucin.

Algoritmo de Tarjan

ec1 ec2 ec3

Ms eficiente que el de Sargent y Westerberg (tambin aplicable). Obtiene una matriz triangular inferior por bloques.

Cada bloque es un sistema de ecuaciones que hay que resolver de forma simultnea.


45

f1 f5 f2 f3 f4

Matriz con variables de salida asignadas. Grafo dirigido

Ejemplo del algoritmo de particionado de Tarjan.

path stack lowlink f1 f2 f3 f5 f4

f1 f2 f3

f4 f5 5)

f1 f2 f3 f5 f4

f1 f2 f3

f4 f5 6)

Selecciona f4 y f5

f1 f2 f3

f1 f2 f3 7)

Selecciona f3

f1 f2 f1 f2

f1 f2 f1 f2

f1 f2 f1 f2

8)

9)

10)

Selecciona f1 y f2

f1 f1

f1 f2 f1 f2

f1 f2 f3

f1 f2 f3

f1 f2 f3 f5 f4

f1 f2 f3

f4 f5

1)

2)

3)

4)

Particionado y orden de resolucin

[f2 f1] f3 [f4 f5]


46

f1 f5 f2 f3 f4 f6

Realizar el particionado del siguiente sistema mediante el algoritmo de Tarjan

x x

x x

x x x

x

x x

x2 x1 x3 x4 x5

f2

f1

f3

f4

f5

Realizar el particionado del siguiente sistema mediante el algoritmo de Tarjan y Duff


47

x x

x x x

x

x x

x x

f2

f1

f3

f4

f5

x x

x x x

x

x x

x x

f2

f1

f3

f4

f5

x x

x x

x x x

x

x x

f2

f1

f3

f4

f5

x x

x x x

x x

x

x x

f2

f1

f3

f4

f5


48

f1 f5 f2 f3 f4 f6

f4 f5 [f1 f2 f3 f6]

f1 f2 f3 f4 f5

f5 f4 f3 f2 f1

f1 f2 f3 f6

f6 f3 f2 f1

f1 f2 f3 f6 f6 f3 f2 f1


49

Ejemplo: cambiador contracorriente.


50


Pasos: 1. Asignar variables de entrada (alg. Christensen-Rudd) 2. Asignar conjunto de salida (alg. Duff) 3. Particionar y definir orden de resolucin (alg. Tarjan)


51

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

k

Q

A

U

F1

F2

F3

F4

T1

T2

T3

T4

dT

A,f5 U,f7 F4,f2;F2,f1;dt,f6

f1

f2

f3

f4

f6

f7

k

Q

U

F1

F2

F3

F4

T1

T2

T3

T4

dT

f1

f2

f3

f4

f6

k

Q

F1

F2

F3

F4

T1

T2

T3

T4

dT

1. Asignar variables de entrada (alg. Christensen-Rudd)


52

f3

f4

k

Q

F1

F3

T1

T2

T3

T4

T4,f4

f3

k

Q

F1

F3

T1

T2

T3

Q,f3

k

F1

F3

T1

T2

T3


53


54

x

x

x

x x

x x x x

x x

x x x x

x

x x x x

x

x x

x

x x

x x x x

x

x x x x

x x x x

x x

x

x x

x

x

x x x x

x x x x

x

x

x x

x x

x

x x x x

x x x x

x

x

x x

x x

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f3

f5

f1

f4

f2

f6

f7

f3

f5

f7

f4

f2

f6

f1

f3

f5

f7

f1

f2

f6

f4

f3

f5

f7

f1

f2

f4

f6

Q A U F2 F4 T4 dT

2. Asignar conjunto de salida (alg. Duff)


55

x

x x x x

x x x x

x

x

x x

x x

f3

f5

f7

f1

f2

f4

f6

Q A U F2 F4 T4 dT


56

3. Particionar y definir orden de resolucin (alg. Tarjan)

x

x x x x

x x x x

x

x

x x

x x

f3

f5

f7

f1

f2

f4

f6

f1 f5 f2 f3 f4 f6 f7

f1 f5 f2 f3 f4 f6 f7


57

Singularidad funcional Singularidad funcional implica que el Jacobiano es singular para cualquier valor de las variables, x. Ejemplo:

La causa de singularidad funcional suele ser un modelo mal construido o con un conjunto de especificaciones mal seleccionado:

O es redundante lo que implica un nmero infinito de soluciones.

O es inconsistente lo que implica que no existe una solucin. En el ejemplo anterior

si k=-9 el sistema es redundante

si k-9 el sistema es inconsistente

Singularidad numrica (o local) El Jacobiano es singular slo para algunos valores de las variables.

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