Modelacion 2 2011 1

SIMULACION

ESTRUCTURA DE LOS MODELOS DE SIMULACIÓN

ESTRUCTURA DE LOS MODELOS DE SIMULACIÓN

• Componentes son las partes constituyentes del sistema.

• Parámetros son cantidades a las cuales se les asignar valores

• Relaciones funcionales: muestran el comportamiento de las variables y parámetros dentro de un componente o entre componentes de un sistema.

• Componentes son las partes constituyentes del sistema.

• Parámetros son cantidades a las cuales se les asignar valores

• Relaciones funcionales: muestran el comportamiento de las variables y parámetros dentro de un componente o entre componentes de un sistema.

• Relaciones determinísticas: son identidades o definiciones que relacionan ciertas variables o parámetros

• Restricciones son limitaciones impuestas a los valores de las variables

• Relaciones determinísticas: son identidades o definiciones que relacionan ciertas variables o parámetros

• Restricciones son limitaciones impuestas a los valores de las variables

LOS MODELOS SE DEBEN A LAS SIGUIENTES CONDICIONES

LOS MODELOS SE DEBEN A LAS SIGUIENTES CONDICIONES

• Complejidad de la interrelación entre factores que definen un sistema.

• Preparación del tomador de decisiones. • Incapacidad de clasificar los hechos relevantes e

irrelevantes y cómo pueden afectarse al implementar decisiones.

• Diseño o modificación de sistemas evaluando diferentes alternativas.

• Menor costo que en sistemas reales la toma de decisiones. • La inexistencia del sistema real. • Implementar sistemas para tomar decisiones genera

grandes atrasos y se incurre en la posibilidad que el sistema implementado sea insatisfactorio.

• Complejidad de la interrelación entre factores que definen un sistema.

• Preparación del tomador de decisiones. • Incapacidad de clasificar los hechos relevantes e

irrelevantes y cómo pueden afectarse al implementar decisiones.

• Diseño o modificación de sistemas evaluando diferentes alternativas.

• Menor costo que en sistemas reales la toma de decisiones. • La inexistencia del sistema real. • Implementar sistemas para tomar decisiones genera

grandes atrasos y se incurre en la posibilidad que el sistema implementado sea insatisfactorio.

CRITERIOS PARA REALIZAR UN MODELO

CRITERIOS PARA REALIZAR UN MODELO

• Fácil de entender por parte del usuario. • Dirigido a metas u objetivos. • No dé respuestas absurdas. • Fácil de controlar y manipular por parte del

usuario. • Completo, en lo referente a asuntos importantes. • Evolutivo, es decir, que debe ser sencillo al

principio y volverse más complejo, de acuerdo con el usuario.

• Fácil de entender por parte del usuario. • Dirigido a metas u objetivos. • No dé respuestas absurdas. • Fácil de controlar y manipular por parte del

usuario. • Completo, en lo referente a asuntos importantes. • Evolutivo, es decir, que debe ser sencillo al

principio y volverse más complejo, de acuerdo con el usuario.

RIESGOS DE LA ELABORACIÓN DE MODELOS

RIESGOS DE LA ELABORACIÓN DE MODELOS

• Primero, no existe garantía alguna de que el tiempo y el trabajo dedicados a establecer el modelo tendrá como resultado algo útil así como beneficios satisfactorios.

• La segunda advertencia se refiere a la tendencia del investigador de defender su representación particular de un problema como la mejor que existe de la realidad.

• Primero, no existe garantía alguna de que el tiempo y el trabajo dedicados a establecer el modelo tendrá como resultado algo útil así como beneficios satisfactorios.

• La segunda advertencia se refiere a la tendencia del investigador de defender su representación particular de un problema como la mejor que existe de la realidad.

• La tercera advertencia es la referente a la utilización del modelo para predecir más allá del intervalo de aplicación sin la debida especificación.

• La tercera advertencia es la referente a la utilización del modelo para predecir más allá del intervalo de aplicación sin la debida especificación.

MODELACION

1.Describir el comportamiento de sistemas.

2.Hipótesis que expliquen el

comportamiento de situaciones problemática.

3.Predecir un comportamiento futuro, es

decir, los efectos que se producirán mediante cambios en el sistema o en su método de operación.

pretende

MODELACION

Estructura de los modelos

•Los componentes son las partes constituyentes del sistema. También se les denomina elementos o subsistemas.

•Las variables son aquellos valores que cambian dentro de la simulación y forman parte de funciones del modelo o de una función objetivo.

Las restricciones son limitaciones impuestas a los valores de las variables o la manera en la cual los recursos pueden asignarse o consumirse.

MODELACION

Características

1. Que sea completo

6. Económico (EL COSTO MÁXIMO DEL MODELO DEBE SER EL MÍNIMO BENEFICIO QUE SE OBTIENE)

2. Adaptabilidad

3. Credibilidad

4. Simplicidad (menor número de parámetros)

5. Factible tanto en Información como en recursos

MODELACION

Modelacion

muestra

La forma en que el sistemaTiene que funcionar

La modelación pretende Propósitos de uso

Estructura demodelos

1. organización de Conocimientos teóricos del

investigador2.acelerar el análisis

3.facilidad de manipular elSistema

4.controlar mas fuentes de variacion

1.describir el comportamiento De sistemas

2.hipotesis que expliquen el Comportamiento de situaciones

Problematicas3.predecir un comportamiento futuro

componentes variables parametros Relaciones funcionales restricciones

Son las partesConstituyentes delSistema , llamadas

subsistemas

Valores que Cambian dentroDe la simulacion

Son cantidadades aLas cuales se

Asignan valores

Muestran el ComportamientoDe las variables yParametros dentroDe un componete

O sistema

Son limitaciones impuestasA los valores de las variables

caracteristicas

1.Que se completo2.Adaptabilidad3.Credibilidad4.Simplicidad5.Economico

MODELACION

los sistemas contienen muchas partes interrelacionadas que deben combinarse. La utilidad de la modelación de sistemas es su capacidad de describir la forma en que se relacionan las partes, es así como se puede ver cuáles son los aspectos positivos o negativos (virtudes o defectos) del sistema.

Modelos predictivos: nos informa del comportamiento de la variable en un futuro.

Modelos evaluativos: mide diferentes alternativas, para compara los resultados de ellas (árboles de decisión).

Modelos de optimización: identifican el optimo global del problema, busca lo mejor de las alternativas posibles (programación matemática)

Modelos predictivos: nos informa del comportamiento de la variable en un futuro.

Modelos evaluativos: mide diferentes alternativas, para compara los resultados de ellas (árboles de decisión).

Modelos de optimización: identifican el optimo global del problema, busca lo mejor de las alternativas posibles (programación matemática)

• Determinista: Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados.

• Estocástico: Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre.

• Determinista: Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados.

• Estocástico: Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre.

• Modelos heurísticos: Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.

• Modelos empíricos: Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.

• Modelos heurísticos: Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.

• Modelos empíricos: Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.

En los modelos estáticos la

variable tiempo no desempeña un papel relevante

En los modelos estáticos la

variable tiempo no desempeña un papel relevante

Modelos dinámicos la variable fundamental, y de

la que depende las restantes variables

relevantes. La variable tiempo se considera como

una variable continua.

Modelos dinámicos la variable fundamental, y de

la que depende las restantes variables

relevantes. La variable tiempo se considera como

una variable continua.

TIPOS

DE

MODELOS

Formular un modelo sencillo e ir agregándole características en consonancia con la dirección de optimización deseada.

Formular un modelo sencillo e ir agregándole características en consonancia con la dirección de optimización deseada.

Evitar crear modelos que tengan restricciones de

igualdad similares.

Evitar crear modelos que tengan restricciones de

igualdad similares.

Distinguir entre las restricciones “hard” y

“soft”.

Distinguir entre las restricciones “hard” y

“soft”.

Evitar definir en un modelo funciones que sean el resultado de

algún procedimiento iterativo.

Evitar definir en un modelo funciones que sean el resultado de

algún procedimiento iterativo.

Tomar con precaución la naturaleza de las

restricciones.

Tomar con precaución la naturaleza de las

restricciones.

No evitar las restricciones de igualdad.

No evitar las restricciones de igualdad.

Usar toda la información para el escalamiento de las variables y de las restricciones del problema.

Usar toda la información para el escalamiento de las variables y de las restricciones del problema.

Verificar todos los datos introducidos en el

problema.

Verificar todos los datos introducidos en el

problema.

• Conceptual: Por una descripción cualitativa bien organizada que permite la medición de sus factores.

• Matemático: Se refiere a una representación numérica por aspectos lógicos y estructurados con aspectos de la ciencia matemática.

FASE DE CONCEPTUALIZACIÓN:

Se representa conceptualmente el problema sin ningún tipo de contradicciones lógicas ni de errores de análisis.

FASE FORMULACIÓN:

Establece de forma clara y correcta las relaciones entre los elementos, de tal forma que sea fácilmente entendible.

FASE DE EVALUACIÓN:

Establece la forma en la que debe ser el procedimiento de resolución a emplear, para poderlo interpretar correctamente.

Análisis del problema

Definición de las variables

Identificación y formulación de las restricciones.

Identificar la función objetivo

MODELO MATEMÁTICOMODELO MATEMÁTICO

MODELO MATEMÁTICOMODELO MATEMÁTICOMODELOS BASADOS EN LA LÓGICA MATEMÁTICA, SE PUEDE

REPRESENTAR USANDO:

• FUNCIONES: Una función es una relación que cumple con una propiedad: a cualquier objeto del conjunto A, solamente se le puede asignar un único objeto del conjunto B.

• RELACIONES: Una relación es la asignación de elementos de un conjunto A con objetos de otro conjunto B.

CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOSCLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

MODELOS PREDICTIVOS: Informa el comportamiento de la variable en un futuro, es decir, lo que debería ser. Están basados en técnicas estadísticas y econométricas, es decir, modelos de previsión.

SEGÚN SU FUNCIÓN:SEGÚN SU FUNCIÓN:

CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOSCLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

Modelo Evaluativo.

Comprobar los resultados, los arboles de decisión.

Modelo Optimización.

Buscar la mejor alternativa posible

El periodo de un péndulo no es propiamente independiente de la amplitud inicial de la oscilación. Esto quiere decir que un péndulo no podría ser utilizado para la construcción de relojes de precisión. Este hecho motivo el problema de encontrar una curva sobre la cual las oscilaciones debidas a la acción de la gravedad fueran Independientes de la posición inicial. Christiann Huygens (1629-1695) llego a demostrar, con argumentos geométricos, que esta curva era una cicloide.

Introducción

Por otra parte, el estudio del péndulo estaba ligado a dos problemas fundamentales de la época: la forma de la Tierra y la verificación de la ley del cuadrado de los inversos de la atracción gravitatoria. Aunque el periodo de oscilación de un péndulo depende de la amplitud de oscilación, con una buena aproximación y para oscilaciones pequeñas, este viene dado por T = 2¼ (L=g)1/2, donde l es la longitud del péndulo y g es la aceleración de la gravedad. De esta forma, si se calculan los distintos valores de g a lo largo de un meridiano de la Tierra y se sabe la relación entre g y la distancia al centro de gravedad, se puede obtener la forma de la Tierra.

Péndulo

También, conocida la forma de la Tierra, se podría utilizar esta formula para verificar la ley de la gravitación universal combinando el hecho de que la Tierra gira y, por tanto, todo cuerpo sobre la superficie experimenta dos fuerzas, una fuerza centrípeta por la rotación que es conocida si se sabe la forma de la Tierra y la fuerza de la gravedad. El valor experimental de g obtenido es una combinación de las dos fuerzas.

Péndulo

Vamos a analizar ahora en detalle la ecuación del péndulo. Supongamos que la masa del péndulo es m y la longitud de la varilla que lo sostiene. Vamos a expresar la posición del péndulo en cada instante t por la función µ(t) que expresa el desplazamiento angular de la masa con respecto a su posición de equilibrio, µ = 0.

Péndulo

Péndulo

Péndulo

• Al moverse el péndulo, la masa describe arcos de circunferencia de radio l y al trasladarse del

Angulo µ1 hasta µ2, la masa ha recorrido la longitud l(µ2 ¡ µ1). Por tanto, el espacio

recorrido por la masa entre el tiempo t1 y el tiempo t2 es l(µ(t2)¡µ(t1)). La velocidad y la

aceleración instantánea serian respectivamente, lµ0(t), lµ00(t).

Péndulo

Péndulo

• La fuerza de la gravedad que actúa sobre la masa cuando esta en la posición µ viene dada por el vector F = (0;¡mg). Descomponiendo este vector en su componente normal y tangencial al movimiento, podemos ver que la fuerza responsable del movimiento es ¡mg sen(µ), ver Figura 6. La componente normal se anula por la ley de acción y reacción. Suponiendo la situación ideal en donde no hay rozamiento de ningún tipo

• y de acuerdo al balance de fuerzas dado por la segunda ley de Newton, tendremos que lo que es equivalente.

Péndulo

• Fuerzas que actúan en el péndulo

Péndulo

Péndulo

• Periodo del péndulo en función del Angulo inicial.

Péndulo

• Péndulo Linealizado

Péndulo Linealizado

• Perfil de la función

Contracción de relojes

• Longitud del arco de F

Contracción de relojes

• Huygens.

Construcción de relojes

• El campo de investigación más activo durante los siglos XVI-XVIII es, sin lugar a duda, el de la astronomía. A partir del establecimiento por Copernico de la teoría heliocéntrica y con la posterior defensa de esta teoría por parte de Galileo, posición que le valió no pocos problemas con la Iglesia, los científicos se centraron en estudiar y deducir las orbitas planetarias. En base a los innumerables datos experimentales del astrónomo Tycho Brahe, principalmente sobre la orbita de Marte, Kepler en sus trabajos Astrónoma Nueva (1609) y La Armonía del Mundo (1619) llego a enunciar sus tres leyes fundamentales sobre el movimiento de los planetas:

• 1. Los planetas se mueven en orbitas elípticas ocupando el Sol uno• de los focos de la elipse.• 2. El área barrida por el radio vector de un planeta en tiempos iguales• es igual.• 3. El cuadrado del periodo de revolución es proporcional al cubo de• los semiejes mayores de la elipse.

Movimiento Planetario

EL PROCESO PARA ELABORAR UN MODELO MATEMÁTICOEL PROCESO PARA ELABORAR UN MODELO MATEMÁTICO

Encontrar un problema del mundo real.

Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática.

Encontrar un problema del mundo real.

Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática.

No todos los datos están dados de antemano.

No hay técnica fijada para resolver el problema.

No se espera como resultado un solo numero.

En la evaluación es mas importante el proceso que el resultado.

No todos los datos están dados de antemano.

No hay técnica fijada para resolver el problema.

No se espera como resultado un solo numero.

En la evaluación es mas importante el proceso que el resultado.

La modelación matemática consiste en el reemplazo del objeto cognitivo por su imagen matemática (modelo matemático) la cual permite estudiar las cualidades del proceso original.

La modelación matemática ha sido utilizada desde que se establecieron las ciencias exactas

La modelación matemática consiste en el reemplazo del objeto cognitivo por su imagen matemática (modelo matemático) la cual permite estudiar las cualidades del proceso original.

La modelación matemática ha sido utilizada desde que se establecieron las ciencias exactas

ESQUEMA DE UN PROCESO DE MODELIZACIÓN MATEMÁTICAESQUEMA DE UN PROCESO DE MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Análisis y valoraciónde la información

Traducciónformalización

Resoluciónmatemática

Interpretacióny coherenciade procesos y resultados

Vuelta reflexivaa la realidad

Análisis y valoraciónde la situación antela nueva información

TraducciónInformalizaciónconcreción

MODELO A CONSTRUIR1. Modelo sencillo con

enfoque optimo.A. la version B. CRECIMIENTO forma exponencial

2. Evitar difinir modelos de funciones que sean resultado de algun procedimiento iterativo.a. procesob. no discontinuidad de una fuente que impide el avance.c. discretizar el problema.

1. Modelo sencillo con enfoque optimo.A. la version B. CRECIMIENTO forma exponencial

2. Evitar difinir modelos de funciones que sean resultado de algun procedimiento iterativo.a. procesob. no discontinuidad de una fuente que impide el avance.c. discretizar el problema.

Tomar precaución la naturaleza de las restricciones.

a. Extraer las propiedades.b. Separar las variables.c. Transformación en el cambio de

las variables en el proceso de optimización.

d. Programacion linealidad.e. Estructura unimodularf. Dificultad• 4. LAS RESTRICCIONES DE

IGUALDAD.• Conjuntos divididos.

Variables independientes, variables dependientes, solucion.

• Ecuacion no lineales

a. Extraer las propiedades.b. Separar las variables.c. Transformación en el cambio de

las variables en el proceso de optimización.

d. Programacion linealidad.e. Estructura unimodularf. Dificultad• 4. LAS RESTRICCIONES DE

IGUALDAD.• Conjuntos divididos.

Variables independientes, variables dependientes, solucion.

• Ecuacion no lineales

HARD ----SOFT

• RESTRICCION HARD.• No es posible violarla• Modelo y procedimiento.• Modelo planificación de

producción, la disponibilidad del espacio de una planta.

• SOFT • Mejorar la funcion• Variables desviacion, para

evaluar un impacto.

• RESTRICCION HARD.• No es posible violarla• Modelo y procedimiento.• Modelo planificación de

producción, la disponibilidad del espacio de una planta.

• SOFT • Mejorar la funcion• Variables desviacion, para

evaluar un impacto.

6. EVITAR CREAR MODELOS QUE TENGAN RESTRICCIONES DE IGUALDAD SIMILARES, ES DECIR

SEAN CASI DEPENDIENTES• DISTORCION DE LOS RESULTADOS• PUNTO FACTIBLE LA INTERSECCION

DE LAS TODAS LAS VARIABLES.

• 7 ESCALAMIENTO DE LAS VARIABLES Y LAS RESTRICCIONES.

• MAGNITUD• 8. VERIFICACION DATOS

INTRODUCIDOS.• 9. MODELIZAR FUNCIONES QUE SEAN

DIFERENCIABLES.• ALGORITMO• 10 MAYOR CANTIDAD POSIBLE

SOBRE LA FUNCION.

•

• DISTORCION DE LOS RESULTADOS• PUNTO FACTIBLE LA INTERSECCION

DE LAS TODAS LAS VARIABLES.

• 7 ESCALAMIENTO DE LAS VARIABLES Y LAS RESTRICCIONES.

• MAGNITUD• 8. VERIFICACION DATOS

INTRODUCIDOS.• 9. MODELIZAR FUNCIONES QUE SEAN

DIFERENCIABLES.• ALGORITMO• 10 MAYOR CANTIDAD POSIBLE

SOBRE LA FUNCION.

•

1 2 3

1 2 3

1 2 3

• Creado por Henry L. Gantt, durante la I Guerra Creado por Henry L. Gantt, durante la I Guerra mundial, para el aseguramiento del suministro mundial, para el aseguramiento del suministro de municiones.de municiones.

• Divide el proyecto en actividades o tareas.Divide el proyecto en actividades o tareas.• Es un modelo gráfico. Es un modelo gráfico. • Representa las diferentes tareas en forma de Representa las diferentes tareas en forma de

barras, sobre las que se marca el estado de barras, sobre las que se marca el estado de realización de las mismas.realización de las mismas.

• En él se observa rápidamente la evolución de las En él se observa rápidamente la evolución de las distintas tareas. distintas tareas.

• No permite conocer las prelaciones entre las No permite conocer las prelaciones entre las diferentes tareas.diferentes tareas.

• Tampoco permite conocer la lógica empleada en los Tampoco permite conocer la lógica empleada en los cálculos de la duración de las tareas.cálculos de la duración de las tareas.

tarea1

tarea 2

tarea 3

tarea 4

tarea 5

finalizada restante

• Creado en 1958 por la USNAVY para el “proyecto polaris”. En el que se debia controlar y coordinar a:

• 250 Contratistas directos.• 9000 Subcontratistas.

• Se basa en la construcción de un gráfico.• Divide el proyecto en actividades o tareas y

sucesos.

• Representación del gráfico:– Las actividades, todas aquellas tareas que para su

realización requieren tiempo y recursos. Se representan por arcos.

– Los sucesos . Marcan los puntos inicial y final de cada una de las actividades del proyecto, no requieren recursos para su realización.

1 2A A12 Actividad

1, 2 Sucesos

Las prelaciones marcan las relaciones entre las diferentes actividades.

• Prelación lineal. Cuando para poder realizar la actividad siguiente (B), debe finalizar la actividad previa (A)

A B1 2 3

Tipos de prelacionesTipos de prelaciones

• Prelaciones convergentes. Cuando para comenzar una actividad deben haber finalizado varias.

1

2

3 4

A

BC


• Prelaciones divergentes. Cuando varias actividades comienzan al finalizar una actividad antecedente.

1 2

1

1

A

B

C


• Prelaciones convergentes-divergentes. Cuando varias actividades (C y D) comienzan al finalizar otras actividades previas (A y B).

1

2

4

5

3

A

B

C

D


• Se crean cuando se presentan a la vez prelaciones lineales y de convergencia o divergencia.

1

2

3 5

64

A

B

C

D

F1

Actividades ficticiasActividades ficticias

• También se utilizan para representar actividades paralelas, cuando entre dos sucesos se desarrollan varias actividades.

1 4

3

2

A

B

F1 C

F2

Actividades ficticiasActividades ficticias

• Para poder comenzar el grafo necesitamos conocer las diferentes relaciones de las actividades del proyecto.Así para un proyecto con las relaciones:

A precede a C, D, EB precede a CC precede a K

D precede a F, GE precede a JF precede a I

G precede a H

Podemos recoger todas las relaciones en una matriz de encadenamientos, donde marcamos que actividades tienen antecedentes en otras.

Actividades Actividades precedentesprecedentes

AA BB CC DD EE FF

AA

BB

CC

DD

EE

FF

Activ

idad

es s

igui

ente

sAc

tivid

ades

sig

uien

tes

También podemos agrupar las relaciones entre las actividades en una tabla de dos columnas o cuadro de prelaciones.

ActividadActividadeses

PrecedenPrecedentestes

AA --

BB --

CC A, BA, B

DD AA

EE AA

FF DD

El grafico comenzará en el suceso inicio del proyecto, del que parten todas las actividades que no tienen antecedentes, y finaliza en el suceso final del proyecto al que llegan todas las actividades que no tienen siguientes.

1

2

4

5

3

A

BC

DE

F

F1

El tiempo que tarda en realizarse una actividad se calcula como media de:

• Tiempo optimista (a). Tiempo mínimo que tardaríamos en ejecutar la actividad si no surge ningún contratiempo.

• Tiempo más probable (m). Tiempo que se emplearía en realizar la actividad en circunstancias normales.

• Tiempo pesimista (b) tiempo máximo de ejecución de la actividad si las circunstancias son desfavorables.

6

b 4m aD

Cálculo de tiemposCálculo de tiempos

Tiempo Early mide el tiempo mínimo necesario para alcanzar un suceso de forma que no se detengan las actividades.Se define según la expresión:tj = máx [ti + tij]

tj tiempo del suceso j

tij tiempo de la actividad i-j


Tiempo Last. Nos indica lo mas tarde que podemos alcanzar un suceso sin perjudicar a la duración total del proyecto.Se obtiene de la expresión:

t*i = min [t*

j-tij]

En la que:• t*

i ,t*j tiempo Last de los sucesos i, j.

• tij tiempo de la actividad entre los sucesos i, j.


Matriz cuadrada de dimensión igual al número de vértices o sucesos.En ella situaremos los elementos de la matriz, que serán los tiempos PERT de las actividades que nacen en los elementos de la fila y finalizan en los de la columna.También formaremos una nueva columna ti donde anotaremos los tiempos Early, y una nueva fila t*

i en la que anotaremos los tiempos Last.

Sobre la matriz anotamos los tiempos PERT.Calculamos los tiempos Early, a partir del suceso 1 (que será 0) como el máximo de sumar al tiempo del suceso de la columna correspondiente y los elementos de la columna adicional ti.

ttii 11 22 33 44 55

11 XX

22 XX

33 XX

44 XX

55 XX

tt**ii

22 33

00 88

7799

330022

331010

1919

Para calcular los tiempos Last nos ayudamos de la fila adicional t*i

partimos del suceso 5 que tendrá un tiempo Last igual al tiempo Early.Para calcular el tiempo Last de cada suceso, se restan los tiempos de la fila correspondiente al suceso de los de la columna adicional y anotaremos el minino de los posibles valores obtenidos.

ttii 11 22 33 44 55

11 XX

22 XX

33 XX

44 XX

55 XX

tt**ii

22 33

00 88

7799

330022

331010

1919

1919101012122200

La importancia de los tiempos Early y Last, aparte de indicarnos la duración total del proyecto nos informan sobre la holgura de cada suceso, es decir el margen de tiempo que puede retrasarse un suceso sin repercutir sobre la duración total del proyecto.Se calculan según la expresión:

Hi = t*i - ti

Así para el ejemplo obtenemos:

De forma que todos los sucesos con holgura igual a cero forman el camino crítico.

SucesosSucesos 11 22 33 44 55

T EarlyT Early 00 22 33 1010 1919

T LastT Last 00 22 1212 1010 1919

HolguraHolgurass

00 00 99 00 00

1

2

4

5

3

A

BC

DE

F

F10/00/0

2/22/2

10/1010/10

19/1919/19

3/123/120/00/0T EarlyT Early T LastT Last

Camino críticoCamino crítico

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Pág.. siguientePág.. siguiente

Fin de la Fin de la PresentaciónPresentación

• Creado en 1960 por el matemático francés Creado en 1960 por el matemático francés Bernard Roy.Bernard Roy.

• También se conoce como método MPMTambién se conoce como método MPM• No ha tenido demasiada difusión fuera de Francia.No ha tenido demasiada difusión fuera de Francia.• Al igual que los otros métodos divide el proyecto Al igual que los otros métodos divide el proyecto

en actividades.en actividades.• En el modelo de Roy las actividades ocupan los En el modelo de Roy las actividades ocupan los

vértices del grafico, mientras que los arcos vértices del grafico, mientras que los arcos muestran las diferentes prelaciones entre las muestran las diferentes prelaciones entre las actividadesactividades

AA

BB

CC

AA CC

DDBB

• El método de ROY únicamente introduce dos El método de ROY únicamente introduce dos actividades ficticias la de inicio del proyecto y actividades ficticias la de inicio del proyecto y la actividad fin del proyecto.la actividad fin del proyecto.

• En caso de coincidir actividades lineales y En caso de coincidir actividades lineales y convergentes, o de actividades paralelas se convergentes, o de actividades paralelas se representará:representará:

AA CC

DDBB

Actividades ficticias

AA

CC

DD

BB

EE

Así para el mismo ejemplo que en el Así para el mismo ejemplo que en el modelo PERT.modelo PERT.

ActividadesActividades PrecedentesPrecedentes

AA --

BB --

CC A, BA, B

DD AA

EE AA

FF DD

AA

BB

EE

DD FF

CC

IniIni finfin

• Se calculan de forma similar al los tiempos Se calculan de forma similar al los tiempos Early y Last del modelo PERT.Early y Last del modelo PERT.

• El tiempo mínimo o lo mas pronto que El tiempo mínimo o lo mas pronto que podemos alcanzar una actividad.podemos alcanzar una actividad.

TTkk = máx [T = máx [Tjj + D + Djj]]

• TTjj tiempo mínimo de la actividad precedente. tiempo mínimo de la actividad precedente.

• DDjj duración de la actividad precedente. duración de la actividad precedente.

• Tiempo máximo representa lo más tarde que Tiempo máximo representa lo más tarde que podemos alcanzar esa actividad sin perjudicar podemos alcanzar esa actividad sin perjudicar la duración total del proyecto.la duración total del proyecto.TT**

kk = min [T = min [T**ll-D-Dkk]]

• TT**ll tiempo máximo de la actividad siguiente. tiempo máximo de la actividad siguiente.

• DDk k duración de la actividad.duración de la actividad.

• Una ventaja del modelo ROY reside en que no Una ventaja del modelo ROY reside en que no necesitamos construir el grafo para calcular los necesitamos construir el grafo para calcular los tiempos.tiempos.

• Se puede iniciar el cálculo de tiempos por medio de Se puede iniciar el cálculo de tiempos por medio de una matriz de encadenamientos en la sustituiremos una matriz de encadenamientos en la sustituiremos la X por la duración de cada actividad.la X por la duración de cada actividad.

• En esta tabla indicaremos las actividades ficticias En esta tabla indicaremos las actividades ficticias inicio y fin del proyecto.inicio y fin del proyecto.

• También introduciremos una fila y una columna También introduciremos una fila y una columna adicionales para anotar en ellas los tiempos máximos adicionales para anotar en ellas los tiempos máximos y mínimos.y mínimos.

IniciInicioo

AA BB CC DD EE FF FinFin TTkk

IniIni

AA

BB

CC

DD

EE

FF

FinFin

TT**kk

XX

XX

XX

XX

XX

XX

XX

00

00

22

22

22

33

88

XX XX XX77 33 99

Para calcular los tiempos mínimos partiremos Para calcular los tiempos mínimos partiremos de la actividad inicio del proyecto ( con de la actividad inicio del proyecto ( con tiempo 0) y calcularemos los tiempos como tiempo 0) y calcularemos los tiempos como suma del tiempo mínimo de la actividad suma del tiempo mínimo de la actividad precedente más el tiempo que dura dicha precedente más el tiempo que dura dicha actividad. Así completaremos la columna Tactividad. Así completaremos la columna Tk.k.

IniciInicioo


IniIni

AA

BB

CC

DD

EE

FF

FinFin

TT**kk

00

00

22

22

22

33

88

00

00

00

33

22

22

1010

77 33 99 1919

Para calcular los tiempos máximos Para calcular los tiempos máximos operaremos de forma similar, comenzando operaremos de forma similar, comenzando por el tiempo de la actividad fin de proyecto por el tiempo de la actividad fin de proyecto (es el mismo que el tiempo mínimo) (es el mismo que el tiempo mínimo) Restaremos el valor que aparezca en la Restaremos el valor que aparezca en la columna en la intersección con la fila fin de columna en la intersección con la fila fin de proyecto.proyecto.

IniciInicioo


IniIni

AA

BB

CC

DD

EE

FF

FinFin

TT**kk

00

00

22

22

22

33

88

00

00

00

33

22

22

1010

77 33 99 1919

1919101016161212 22990000

ActividaActividadd IniIni AA BB CC DD EE FF FinFin

T min.T min. 00 00 00 33 22 22 1010 1919

T máx.T máx. 00 00 99 1212 22 1616 1010 1919

HolguraHolgura 00 00 99 99 00 1414 00 00

• Así para el ejemplo obtenemos:Así para el ejemplo obtenemos:

• De forma que todos los sucesos con holgura igual a De forma que todos los sucesos con holgura igual a cero forman el camino crítico.cero forman el camino crítico.

IniIni

AA

BB CC

EE

DD

FF

FinFin

aa/bb/ccaa/bb/cct min.t min.

duraciónduración

t máx.t máx.

Camino críticoCamino crítico

0/0/00/0/0

0/2/00/2/0

0/3/90/3/9 3/7/123/7/12

19/0/1919/0/19

10/9/1010/9/10

2/8/22/8/2

2/3/162/3/16

Existen prelaciones lineales en Existen prelaciones lineales en las que para realizar la actividad las que para realizar la actividad siguiente debemos esperar siguiente debemos esperar cierta cantidad de tiempo a que cierta cantidad de tiempo a que finalice la actividad precedente, finalice la actividad precedente, o por el contrario basta con que o por el contrario basta con que la actividad precedente este en la actividad precedente este en realización para poder realización para poder comenzar la siguiente, esto se comenzar la siguiente, esto se resuelve fácilmente en el resuelve fácilmente en el método ROY al indicar sobre el método ROY al indicar sobre el arco las unidades de tiempo que arco las unidades de tiempo que debemos esperar desde el inicio debemos esperar desde el inicio de la actividad precedente para de la actividad precedente para comenzar la actividad siguiente. comenzar la actividad siguiente.

Supongamos dos actividades Supongamos dos actividades B y C de forma que para que B y C de forma que para que comience B sólo es comience B sólo es necesario que la actividad A necesario que la actividad A lleve realizándose 1 unidad lleve realizándose 1 unidad de tiempo, y para comenzar de tiempo, y para comenzar C por el contrario debemos C por el contrario debemos esperar que transcurran 5 esperar que transcurran 5 unidades de tiempo. unidades de tiempo.

AA

CC

BB

0/3/-0/3/-

1/-/-1/-/-

5/-/-5/-/-

(1)(1)

55

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Fin de la Fin de la PresentaciónPresentación

• Haga clic en el Botón Microsoft Office y, a continuación, haga clic en Opciones de Excel.

• Haga clic en Complementos y, en el cuadro Administrar, seleccione Complementos de Excel.

• Haga clic en Ir. • En el cuadro Complementos disponibles,

active la casilla de verificación Herramientas para análisis y, a continuación, haga clic en Aceptar.

• Haga clic en el Botón Microsoft Office y, a continuación, haga clic en Opciones de Excel.

• Haga clic en Complementos y, en el cuadro Administrar, seleccione Complementos de Excel.

• Haga clic en Ir. • En el cuadro Complementos disponibles,

active la casilla de verificación Herramientas para análisis y, a continuación, haga clic en Aceptar.

Sugerencia Si Herramientas para análisis no aparece en la lista del cuadro Complementos disponibles, haga clic en Examinar para buscarlo.

Si se le indica que Herramientas para análisis no está instalado actualmente en el equipo, haga clic en Sí para instalarlo.

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Si se le indica que Herramientas para análisis no está instalado actualmente en el equipo, haga clic en Sí para instalarlo.

• Una vez cargado Herramientas para análisis, el comando Análisis de datos estará disponible en el grupo Análisis de la ficha Datos.

• Elegir en análisis de datos la opción regresión y pulsar aceptar

• En la ventana que aparece, elija las opciones:

• Una vez cargado Herramientas para análisis, el comando Análisis de datos estará disponible en el grupo Análisis de la ficha Datos.

• Elegir en análisis de datos la opción regresión y pulsar aceptar

• En la ventana que aparece, elija las opciones:

– Rango Y de entrada, haciendo un barrido de los valores de Y, incluyendo el encabezamiento.

– Rango X de entrada, haciendo un barrido de los valores de todas las variables independientes, incluyendo sus títulos.

– Rótulos

– Rango Y de entrada, haciendo un barrido de los valores de Y, incluyendo el encabezamiento.

– Rango X de entrada, haciendo un barrido de los valores de todas las variables independientes, incluyendo sus títulos.

– Rótulos

–En una hoja nueva–Residuales–Gráfico de residuales–Curva de regresión ajustada

–En una hoja nueva–Residuales–Gráfico de residuales–Curva de regresión ajustada

De la regresión obtenida se establece el modelo, con base en los coeficientes arrojados para cada variable.Evaluar el Modelo Lineal Múltiple teniendo en cuenta los supuestos del mismo :El coeficiente d determinación, R2

El análisis de varianzaLa gráfica de los residuales

De la regresión obtenida se establece el modelo, con base en los coeficientes arrojados para cada variable.Evaluar el Modelo Lineal Múltiple teniendo en cuenta los supuestos del mismo :El coeficiente d determinación, R2

El análisis de varianzaLa gráfica de los residuales

TALLER PARA EJERCICIO PRACTICO DE ESTADISTICA EN EXCEL

• Para Office 2007• Se abre Microsoft Excel• En la barra de Herramientas vamos a la pestaña

de Datos• Al desplegarse esta pestaña buscamos Análisis

de Datos• Se abre una ventana donde buscamos la opción

de Generación de Números Aleatorios y Aceptar.

• Nos despliega otra ventana donde encontramos

5.1) En la casilla que dice Número de Variables, ponemos 15.2) En la casilla que dice Cantidad de Números Aleatorios, ponemos 105.3) En la casilla que dice Distribución, seleccionamos Uniforme5.4) En la casilla que dice Parámetros, ponemos Entre 0 y 1005.5) En la casilla que dice Rango de Salida, escribimos $A$1:$A$105.6) El resto de Opciones de esta ventana las dejamos vacías y NO las seleccionamos.

•En la barra de Herramientas vamos nuevamente a la pestaña de Datos•Al desplegarse esta pestaña buscamos Análisis de Datos•Se abre una ventana donde buscamos la opción de Estadística Descriptiva y Aceptar.•Nos despliega otra ventana donde encontramos

9.1) En la casilla que dice Rango de Entrada, ponemos $A$1:$A$109.2) En la casilla que dice Agrupado por, seleccionamos Columnas9.3) En la casilla que dice Rótulos en la primera fila, la seleccionamos9.4) En la casilla que dice Rango de Salida, ponemos $B$1:$C$169.5) En la casilla que dice Resumen de Estadísticas, la seleccionamos 9.6) En la casilla que dice Nivel de Confianza para la Media, la seleccionamos y ponemos

9.7) El resto de Opciones de esta ventana las dejamos vacías y NO las seleccionamos.10)En los datos que nos sale en la hoja de cálculo debemos cambiar el valor de Moda que es #N/A a 1011)En la barra de Herramientas vamos nuevamente a la pestaña de Datos12)Al desplegarse esta pestaña buscamos Análisis de Datos13)Se abre una ventana donde buscamos la opción de Histograma y Aceptar.14)Nos despliega otra ventana donde encontramos

14.1) En la casilla que dice Rango de Entrada, ponemos $A$1:$A$1014.2) En la casilla que dice Rango de clases, ponemos $C$3:$C$1614.3) En la casilla que dice Rótulos, la seleccionamos14.4) En la casilla que dice Rango de Salida, ponemos $D$1:$F$1614.5) En la casilla que dice Pareto, la seleccionamos 14.6) En la casilla que dice Porcentaje Acumulado, la seleccionamos.14.7) En la casilla que dice Crear Gráfico, la seleccionamos14.8) El resto de Opciones de esta ventana las dejamos vacías y NO

las seleccionamos.

Modelacion 2 2011 1

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