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MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO

INSTITUTO RUBIANO

MATEMÁTICA

TRIMESTRE: PRIMERO

TRIGONOMETRÍA Y

GEOMETRÍA ANALÍTICA

GRADO: 11°

NOMBRES DE LOS PROFESORES:

HERNÁN CASTILLO

HERNÁN VERGARA

ERASMO FRANCO

ORIEL GONZÁLEZ R.

AGOSTO 2020

1

ÍNDICE DE CONTENIDO

Guía # 1. Identidades Trigonométricas

Básicas……………………………………………………………… Pág. 4

Guía # 2. Gráfica de Funciones

Trigonométricas…………………………………………………… Pág. 13

Guía # 3. La línea recta. El plano cartesiano, distancia entre dos

puntos y gráfica de una función lineal…………………………… Pág. 28

Guía #4. La línea recta. Pendiente y ecuación punto pendiente de

una recta…………………………………………………………… Pág. 40

Evaluación ………………………………………………………… Pág. 47

Bibliografía ……………………………………………………… Pág. 47

2

PRESENTACIÓN

OBJETIVOS GENERALES

❖ Proporcionar al estudiante una guía que le permita adquirir las destrezas y habilidades

matemáticas necesarias para desarrollar e internalizar los aprendizajes de un currículo

priorizado en tiempos de pandemia, propios para los contenidos de 11° bachillerato.

❖ Desarrollar las competencias básicas del estudiante:

▪ COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA

✓ Dialoga, escucha, habla y conversa sobre los diferentes temas a estudiar.

✓ Genera ideas, hipótesis, supuestos e interrogantes sobre diferentes

conceptos a desarrollar.

▪ SOCIAL Y CIUDADANA

✓ Coopera y convive en la realización de problemas en equipo.

▪ LÓGICO MATEMÁTICA

✓ Pone en práctica procesos de razonamientos que llevan a la solución

correcta de problemas

▪ MATEMÁTICA

✓ Se expresa y comunica adecuadamente en lenguaje matemático.

✓ Aplica estrategias de resolución de problemas a situaciones cotidianas.

Querido alumno, la siguiente guía matemática tiene la intención de

brindarle una ayuda para el desarrollo del contenido priorizado de

Matemática de 11° de Bachiller, en estos tiempos, para que pueda

continuar con el proceso de aprendizaje necesario para niveles superiores.

La guía ha sido estructurada con diversos ejercicios resueltos y algunos

propuestos para cubrir las áreas de Trigonometría y Geometría Analítica.

3

✓ Pone en práctica procesos de razonamiento que llevan a la obtención de

información o a la solución de problemas.

▪ APRENDER A APRENDER.

✓ Adquiere confianza en sí mismo y gusto por aprender las matemáticas.

▪ AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL.

✓ Organiza apropiadamente el tiempo para poder cumplir con sus

asignaciones escolares.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

❖ Definir las identidades trigonométricas básicas.

❖ Aplicar las identidades trigonométricas básicas en la solución de problemas más

complejos.

❖ Analizar la gráfica de las funciones trigonométricas.

❖ Determinar correctamente el periodo, la amplitud y el desface en las funciones seno y

coseno.

❖ Realizar un repaso sobre el plano cartesiano, cómo determinar las coordenadas de un

punto y cómo localizar puntos en el plano.

❖ Calcular la distancia entre dos puntos y trazar la gráfica de una ecuación lineal.

❖ Estudiar la ecuación para calcular la pendiente de una línea recta.

❖ Determinar la ecuación de una línea recta dada su pendiente y un punto de la recta.

INDICADORES DE LOGROS

❖ Identifica sin dificultad las identidades trigonométricas básicas.

❖ Aplica con seguridad las identidades básicas en la solución de problemas más complejos.

❖ Identifica con seguridad la gráfica de las funciones seno y coseno.

❖ Construye la gráfica de las funciones seno y coseno, determinando su periodo, amplitud

y desface.

❖ Reconoce el plano cartesiano y sus características.

❖ Calcula la distancia entre dos puntos y las coordenadas del punto medio de un segmento.

❖ Traza la gráfica de una ecuación lineal.

❖ Calcula correctamente la pendiente de una línea recta, que pasa por dos puntos.

❖ Halla con seguridad la ecuación de una línea recta, dada su pendiente y un punto.

4

GUÍA #1

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

BÁSICAS

Las identidades trigonométricas, son expresiones equivalentes que tienen el mismo valor para

cualquier ángulo. En muchos problemas de aplicaciones trigonométricas es necesario

reemplazar una expresión por otra equivalente que nos facilite llegar a la solución del

problema, esto es, aplicando las identidades trigonométricas.

A continuación, presentamos una lista de las identidades trigonométricas básicas:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS:

𝐬𝐞𝐧 𝜽 =𝟏

𝐜𝐬𝐜 𝜽 𝒚 𝐜𝐬𝐜 𝜽 =

𝟏

𝐬𝐞𝐧 𝜽 ; 𝐬𝐞𝐧 𝜽 ≠ 𝟎

𝒄𝒐𝒔 𝜽 =𝟏

𝐬𝐞𝐜 𝜽 𝒚 𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝜽 ; 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ≠ 𝟎

𝒕𝒂𝒏 𝜽 =𝟏

𝐜𝐨𝐭 𝜽 𝒚 𝐜𝐨𝐭 𝜽 =

𝟏

𝐭𝐚𝐧 𝜽 ; 𝐭𝐚𝐧 𝜽 ≠ 𝟎

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE COCIENTE:

𝒕𝒂𝒏 𝜽 =𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝒄𝒐𝒔 𝜽 ; 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ≠ 𝟎

𝒄𝒐𝒕 𝜽 =𝒄𝒐𝒔 𝜽

𝒔𝒆𝒏 𝜽 ; 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ≠ 𝟎

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PITAGÓRICAS:

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏

𝒕𝒂𝒏𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽

𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽

5

Ejemplos resueltos:

A) Aplicando las identidades recíprocas y de cocientes:

1. Determinar el valor de la función csc ∝ Si 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =5

13 .

Solución:

Por la identidad 𝐜𝐬𝐜 𝜽 =𝟏

𝐬𝐞𝐧 𝜽 tenemos:

𝐜𝐬𝐜 𝜶 =𝟏

𝐬𝐞𝐧 𝜶 reemplazando

=1

(5

13) de donde

csc 𝛼 =13

5

Como son funciones recíprocas tenemos:

𝑠𝑒𝑛 𝛼 =5

13 ⇒ csc 𝛼 =

13

5

Observación:

Toda división de fracciones se convierte en el producto del dividendo por

el inverso del divisor, es decir:

(

𝒂

𝒃)

(𝒄

𝒅)

= (𝒂

𝒃) (

𝒅

𝒄)

2. Determinar el valor de la función cos ∝ Si 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =5

4

Solución:

Por la identidad 𝐜𝐨𝐬 𝜽 =𝟏

𝐬𝐞𝐜 𝜽 tenemos:

cos 𝛼 =1

sec 𝛼 reemplazando

=1

(5

4) de donde

cos 𝛼 =4

5

Como son funciones recíprocas tenemos: 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =5

4 ⇒ cos 𝛼 =

4

5

6

3. Determinar el valor de tan 𝛼 si cot 𝛼 =8

7 .

Solución:

Aplicando la identidad tan 𝛼 =1

cot 𝛼 tenemos que son funciones recíprocas,

luego el valor de la función tangente es el inverso de la función cotangente, tal como

se pudo apreciar para los ejemplos anteriores, es decir:

𝑐𝑜𝑡 𝛼 =8

7 ⇒ tan 𝛼 =

7

8

4. Calcular el valor de las razones trigonométricas csc 𝜃 , sec 𝜃 , tan 𝜃 𝑦 cot 𝜃

si:

cos 𝜃 =1

3 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

−2√2

3

Solución:

Aplicando las identidades recíprocas tenemos:

a) Por 𝐜𝐬𝐜 𝜽 =𝟏

𝐬𝐞𝐧 𝜽 ; tenemos

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =−2√2

3 ⇒ csc 𝜃 =

−3

2√2

b) Por 𝐬𝐞𝐜 𝜽 =𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝜽 ; tenemos

cos 𝜃 =1

3 ⇒ sec 𝜃 = 3

Aplicando las identidades de cociente tenemos:

c) Por tan 𝜃 =𝑠𝑒𝑛 𝜃

cos 𝜃 : tenemos

tan 𝜃 =𝑠𝑒𝑛 𝜃

cos 𝜃

tan 𝜃 =(

−2√2

3)

(1

3)

multiplicando

= (−2√2

3) (

3

1) simplificando

=−2√2

1

7

tan 𝜃 = −2√2

d) Por cot 𝜃 =cos 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 ; tenemos

cot 𝜃 =cos 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃

=(

1

3)

(−2√2

3) multiplicando

= (1

3) (

−3

2√2) simplificando

cot 𝜃 =−1

2√2

Observación:

También se pudo buscar el valor de la cotangente por la recíproca de la tangente, es

decir:

cot 𝜃 =1

tan 𝜃

tan 𝜃 = −2√2 ⇒ cot 𝜃 =−1

2√2

5. Expresa en términos de seno y coseno la siguiente expresión trigonométrica,

aplicando las identidades recíprocas y de cociente.

tan 𝑥 (csc 𝑥)

Solución:

Debemos aplicar las identidades básicas:


cos 𝜃 𝑦 csc 𝜃 =

1

𝑠𝑒𝑛 𝜃

Como se indica:

tan 𝑥 (csc 𝑥) = (𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos 𝑥) (

1

𝑠𝑒𝑛 𝑥) simplifica

=1

cos 𝜃

8



cos 𝑥 (sec 𝑥)

csc 𝑥(2sen 𝑥)

Solución:


sec 𝜃 =1

cos 𝜃 𝑦 csc 𝜃 =

1

𝑠𝑒𝑛 𝜃

Es decir:

cos 𝑥 (sec 𝑥)

csc 𝑥(2sen 𝑥) = [

cos 𝑥(1

cos 𝑥)

(1

𝑠𝑒𝑛 𝑥)

] (2𝑠𝑒𝑛 𝑥)

= [(1)](𝑠𝑒𝑛 𝑥)(2𝑠𝑒𝑛 𝑥)

= 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥



tan 𝑥 (cot 𝑥)

sec 𝑥+ 2 cos 𝑥

Solución:



cos 𝜃 , cot 𝜃 =

cos 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑦 sec 𝜃 =

1

𝑐𝑜𝑠 𝜃

Así tenemos:

Tan 𝑥 (cot 𝑥)

sec 𝑥+ 2 cos 𝑥

=(

𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos 𝑥) (

cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥)

1

𝑐𝑜𝑠 𝑥

+ 2 cos 𝑥 simplifica

= (1) (cos 𝑥

1) + 2 cos 𝑥

= cos 𝑥 + 2 cos 𝑥

= 3 cos 𝑥

9

B. Aplicando las identidades pitagóricas:

8. Determina el valor de 𝑠𝑒𝑛 𝑥 utilizando las identidades pitagóricas si:

cos 𝑥 =8

17

Solución:

Debemos utilizar la identidad:

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏

De donde:

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = ±√1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 Luego:

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = ±√1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 reemplazando

= ±√1 − (8

17)

2

= ±√1 −64

289

= ±√289−64

289

= ±√225

289

= ±15

17

9. Determina el valor de 𝑡𝑎𝑛 𝑥 utilizando las identidades pitagóricas si:

sen 𝑥 =2

3

Solución:

Debemos utilizar la identidad:

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏 y 𝒕𝒂𝒏 𝜽 =𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝒄𝒐𝒔 𝜽

De donde:

Debemos buscar primero cos 𝑥 :

10

𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ±√1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 Luego:

𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ±√1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

= ±√1 − (2

3)

2

= ±√1 −4

9

= ±√9−4

9

= ±√5

9

= ±√5

3

Ahora podemos buscar 𝑡𝑎𝑛 𝑥 como se indica:

Como la función coseno tiene 2 soluciones van a ver dos soluciones para la

tangente, es decir:

a) Para cos 𝑥 =√5

3

𝑡𝑎𝑛 𝑥 =𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒄𝒐𝒔 𝒙

=(

𝟐

𝟑)

(√𝟓

𝟑) convertir a producto

= (𝟐

𝟑) (

𝟑

√𝟓) simplificar

=2

√5 racionalizar

=2√5

5

b) Para cos 𝑥 = −√5

3

11

𝑡𝑎𝑛 𝑥 =𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒄𝒐𝒔 𝒙

=(

𝟐

𝟑)

(−√𝟓

𝟑) convertir a producto

= (𝟐

𝟑) (−

𝟑

√𝟓) simplificar

= −2

√5 racionalizar

= −2√5

5

Nota: Es importante recordar que cuando se despeja para extraer una raíz cuadrada se

deben considerar dos soluciones, tal como se ha visto para las identidades pitagóricas,

de los ejemplos anteriores.

PRÁCTICA #1

I PARTE. Determina el valor de la función indicada, según el valor dado en la tabla.

1) cos 𝜃 =−3

5 ⇒ sec 𝜃 = _________

2) cot 𝜃 =−1

√8 ⇒ tan 𝜃 = _________

3) csc 𝜃 = 2 ⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = __________

4) sec 𝜃 =8

7 ⇒ cos 𝜃 =________

5) tan 𝜃 = √5 ⇒ cot 𝜃 = __________

12

II PARTE. Calcula el valor de las funciones trigonométricas indicadas según los valores

indicados.

1. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =−2√2

3 𝑦 cos 𝜃 =

1

3

a. sec 𝜃 = __________ c. csc 𝜃 = ___________ b. tan 𝜃 = __________ d. cot 𝜃 = ___________

2. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =√17

17 𝑦 cos 𝜃 =

4√17

17

c. sec 𝜃 = __________ c. csc 𝜃 = ___________ d. tan 𝜃 = __________ d. cot 𝜃 = ___________

3. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =−3

5 𝑦 cos 𝜃 =

4

5

a. sec 𝜃 = __________ c. csc 𝜃 = ___________ b. tan 𝜃 = __________ d. cot 𝜃 = ___________

III PARTE. Aplicando las identidades trigonométricas convierte cada expresión en otra

equivalente.

1. (𝑠𝑒𝑛2𝑥)(sec 𝑥)(cos 𝑥)=

2. tan 𝑥 (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) =

3. (𝑠𝑒𝑛2𝑥)(𝑐𝑜𝑡2𝑥) =

4. (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥)2=

ACTIVIDAD FORMATIVA PARA ENTREGAR

➢ DEBE RESOLVER LA PRÁCTICA #1

14

GUÍA # 2

GRÁFICA DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

Ahora nos ocupa estudiar el comportamiento de las funciones trigonométricas seno y

coseno y su importancia. El estudio del comportamiento de las funciones trigonométricas

cobra mayor importancia cuando lo relacionamos con experiencias que tengan que ver con

el movimiento circular uniforme y las ondas mecánicas, en electricidad y campos

magnéticos.

Nos interesa resaltar el comportamiento gráfico de las funciones seno y coseno en

cuanto a su periodicidad, amplitud y desface se refiere, como se presenta a continuación.

Gráfica de la función seno

Para un estudio más práctico de la gráfica de esta función, consideraremos un sistema de

coordenadas (plano cartesiano) XY, donde las medidas sobre el eje x se darán por el ángulo

𝒙 medido en radianes, y sobre el eje y el valor del 𝒔𝒆𝒏 𝒙 para dicho ángulo 𝒙, además

consideraremos una circunferencia unitaria (de radio 1)

Construyamos una tabla de valores haciendo variar el ángulo 𝒙 entre 0 𝑦 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

(o lo que es equivalente entre 0° 𝑦 360°) y calculemos los valores de 𝒚 por 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝒙, como

se indica en la siguiente tabla:

𝒙 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 𝒙 240° 270° 300° 330° 360°

𝒙 0 𝜋

6

𝜋

3

𝜋

2

2𝜋

3

5𝜋

6

𝜋 7𝜋

6 𝒙

4𝜋

3

3𝜋

2

5𝜋

3

11𝜋

6 2𝜋

𝒚 0 0,5 0,9 1 0,9 0,5 0 −0,5 𝒚 −0,9 −1 -0,9 -0,5 0

Para calcular los valores de 𝒚 reemplazamos los valores de 𝒙 (en radianes) en la función

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 , como se indica a continuación:

Si 𝒙 = 𝟎 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝟎

= 𝟎

Uso de la calculadora:

La calculadora debe estar en modo Rad (radianes)

𝑠𝑖𝑛 0 = 0

Si 𝒙 =𝝅

𝟔 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏

𝝅

𝟔

≈ 𝟎, 𝟓

15



𝑠𝑖𝑛 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 6 = 0,5000

Si 𝒙 =𝝅

𝟑 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏

𝝅

𝟑

≈ 𝟎, 𝟗



𝑠𝑖𝑛 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 3 = 0,8660

Si 𝒙 =𝝅

𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏

𝝅

𝟐

= 𝟏



𝑠𝑖𝑛 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 2 = 1

Si 𝒙 =𝟐𝝅


𝟐𝝅

𝟑

≈ 𝟎, 𝟗



𝑠𝑖𝑛 2 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 3 = 0,8660

Si 𝒙 =𝟓𝝅


𝟓𝝅

𝟔

≈ 𝟎, 𝟓



𝑠𝑖𝑛 5 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 6 = 0,5000

Si 𝒙 = 𝝅 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝝅

= 𝟎


16


𝑠𝑖𝑛 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 = 0

Si 𝒙 =𝟕𝝅


𝟕𝝅

𝟔

≈ −𝟎, 𝟓



𝑠𝑖𝑛 7 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 6 = −0,5000

Si 𝒙 =𝟒𝝅


𝟒𝝅

𝟑

≈ −𝟎, 𝟗



𝑠𝑖𝑛 4 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 3 = −0.8660

Si 𝒙 =𝟑𝝅

𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏

𝟑𝝅

𝟐

≈ −𝟏



𝑠𝑖𝑛 3 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 2 = −1

Si 𝒙 =𝟓𝝅


𝟓𝝅

𝟑

≈ −𝟎, 𝟗



𝑠𝑖𝑛 5 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 3 = −0,8660

Si 𝒙 =𝟏𝟏𝝅


𝟏𝟏𝝅

𝟔

≈ −𝟎, 𝟓



17

𝑠𝑖𝑛 11 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 6 = −0,5000

Si 𝒙 = 𝟐𝝅 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅

≈ 𝟎, 𝟓



𝑠𝑖𝑛 2 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 = 0

Ahora localizamos los puntos encontrados en la tabla sobre un plano coordenado y se unen

estos puntos con una curva suave (lisa) para obtener la gráfica de la función 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙.

Como se indica:

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙

Observaciones:

• De manera similar se puede evaluar la función para valores de 𝒙 a lo largo de todo el

eje X.

• Esta curva tiene un valor máximo de 𝟏 y un valor mínimo de −𝟏. (Amplitud).

• Antes de 𝟎 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔 y después de 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔, se observa que la curva tiene el

mismo comportamiento. (Período).

• Entre cada período tiene forma de S acostada.

Gráfica de la función coseno

18

De manera similar a la gráfica del seno Podemos trazar la gráfica de la función coseno,

tal como se indica a continuación.

Construyamos una tabla de valores haciendo variar el ángulo 𝒙 entre 0 𝑦 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

(o lo que es equivalente entre 0° 𝑦 360°) y calculemos los valores de 𝒚 por 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙, como

se indica en la siguiente tabla:

𝒙 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 𝒙 240° 270° 300° 330° 360°

𝒙 0 𝜋

6

𝜋

3

𝜋

2

2𝜋

3

5𝜋

6

𝜋 7𝜋

6 𝒙

4𝜋

3

3𝜋

2

5𝜋

3

11𝜋

6 2𝜋

𝒚 1 0,9 0,5 0 −0,5 −0,9 −1 −0,9 𝒚 −0,5 0 0,5 0,9 1

Para calcular los valores de 𝒚 reemplazamos los valores de 𝒙 (en radianes) en la función

𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 , como se indica a continuación:

Si 𝒙 = 𝟎 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝟎

= 𝟏



𝑐𝑜𝑠 0 = 1

Si 𝒙 =𝝅

𝟔 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔

𝝅

𝟔

≈ 𝟎, 𝟗



𝑐𝑜𝑠 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 6 = 0,8660

Si 𝒙 =𝝅

𝟑 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔

𝝅

𝟑

≈ 𝟎, 𝟓



𝑐𝑜𝑠 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 3 = 0,5000

Si 𝒙 =𝝅

𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔

𝝅

𝟐

= 𝟎



𝑐𝑜𝑠 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 2 = 0

19

Si 𝒙 =𝟐𝝅


𝟐𝝅

𝟑

≈ −𝟎, 𝟓



𝑐𝑜𝑠 2 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 3 = −0,5

Si 𝒙 =𝟓𝝅


𝟓𝝅

𝟔

≈ −𝟎, 𝟗



𝑐𝑜𝑠 5 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 6 = −0,8660

Si 𝒙 = 𝝅 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝝅

= −𝟏



𝑐𝑜𝑠 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 = −1

Si 𝒙 =𝟕𝝅


𝟕𝝅

𝟔

≈ −𝟎, 𝟗



𝑐𝑜𝑠 7 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 6 = −0,8660

Si 𝒙 =𝟒𝝅


𝟒𝝅

𝟑

≈ −𝟎, 𝟓



𝑐𝑜𝑠 4 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 3 = −0.5000

20

Si 𝒙 =𝟑𝝅

𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔

𝟑𝝅

𝟐

= 𝟎



𝑐𝑜𝑠 3 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 2 = 0

Si 𝒙 =𝟓𝝅


𝟓𝝅

𝟑

≈ 𝟎, 𝟓



𝑐𝑜𝑠 5 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 3 = 0,5000

Si 𝒙 =𝟏𝟏𝝅


𝟏𝟏𝝅

𝟔

≈ 𝟎, 𝟗



𝑐𝑜𝑠 11 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 6 = 0,8660

Si 𝒙 = 𝟐𝝅 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅

= 𝟏



𝑐𝑜𝑠 2 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝜋 = 1

Ahora localizamos los puntos encontrados en la tabla sobre un plano coordenado y se unen

estos puntos con una curva suave (lisa) para obtener la gráfica de la función 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙.

Como se indica:

21

𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙

Observaciones:

• De manera similar se pueden obtener los valores de la función para valores de 𝒙 a lo

largo de todo el eje X.

• Esta curva tiene un valor máximo de 𝟏 y un valor mínimo de −𝟏. (Amplitud).

• Antes de 𝟎 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔 y después de 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔, se observa que la curva tiene el

mismo comportamiento. (Período).

• Entre cada período tiene forma de V .

Comparación de las funciones seno y coseno

Como veremos en la siguiente gráfica las funciones 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 y 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 son

funciones que tienen un comportamiento períodico, cada 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔 𝒐 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝟑𝟔𝟎° , su

primer período va de 𝟎 𝒂 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔 (𝑷 = 𝟐𝝅), además 𝒚 varía entre −1 𝑦 1 por lo que

se dice que tienen una amplitud de 1 (𝑨 = 𝟏).

22

Comportamiento del período (P) , el desface (D) y de la amplitud (A) de las funciones seno

y coseno.

Nos ocupa analisar los efectos que se producen en la gráfica de las funciones 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 y 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 al agregarle algunos valores numéricos a su estructura, es decir:

1. Si multiplicamos el ángulo por un valor cualquera 𝒃.

Tenemos: 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒃𝒙 y 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒃𝒙

Ejemplo si 𝒃 = 𝟐 , tenemos 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 y 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙.

Gráfica:

Observese que al multiplicar el ángulo por 2 se afecta el período, ahora el período se

reduce a 𝑷 = 𝝅, es decir:

𝑃 =2𝜋

2= 𝜋

esto nos lleva a deducir que si al ángulo de las funciones 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 o 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 lo

multiplicamos por un

número cualquiera 𝒃, el período (P) quedaría dado por:

𝑷 =𝟐𝝅

𝒃

2. Si al ángulo le sumamos un valor numérico cualquiera c.

23

Ahora temenos:

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙 + 𝒄) o 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒄)

Ejemplo: Si 𝒄 = 𝟒 temenos:

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙 + 𝟒) o 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝟒)

Gráfica:

Ahora se puede observer que al sumarle 4 unidades al ángulo, las curvas se mueven o

desplazan hacia la izquierda, de donde se tiene el desface 𝑫 = −𝟒, es decir:

𝐷: 𝑥 + 4 = 0 entonces, 𝑥 = −4

En términos generales podemos afirmar que si al ángulo lo multiplicamos por un número b

y le sumamos una cantidad c, es decir:

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 (𝒃𝒙 + 𝒄) o 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒃𝒙 + 𝒄)

el desface (D) queda determinado por:

𝑫 =−𝒄

𝒃

3. Si multiplicamos la función por un valor numérico 𝒂.

Así temenos:

𝒚 = 𝒂𝒔𝒆𝒏 𝒙 y 𝒚 = 𝐚𝐜𝐨𝐬 𝒙

Ejemplo: Si 𝒂 = 𝟑 tenemos:

𝒚 = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 y 𝒚 = 𝟑𝐜𝐨𝐬 𝒙

Gráfica:

24

Se puede obrservar en la gráfica que al multiplicar la ecuación por 𝟑, varía la

amplitud (A) de de la curva, es decir:

𝑨 = 𝟑

Donde la amplitud se obtiene por la diferencia entre el máximo valor que toma 𝒚

(3) con el valor mínimo que puede tomar 𝒚 (-3) , dividido entre 2 tal como se indica:

𝐴 =3−(−3)

2

=3+3

2

=6

2

𝐴 = 3

En términos generales si 𝒎 es el máximo valor que puede tomar la variable 𝒚 y 𝒏

es el mínimo valor que puede tomar 𝒚 , temenos que la amplitud va a estar dada por;

𝑨 =𝒎 − 𝒏

𝟐= |𝒂|

En la siguiente tabla se presenta la ecuación general de las funciones seno y coseno y

cómo están dados el período (P), el desface (D) y la amlitud (A).

TABLA DE FÓRMULAS

Función

𝒚= 𝒂𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙+ 𝒄)

𝒚= 𝒂𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙+ 𝒄)

Período

𝑷 =𝟐𝝅

𝒃

𝑷 =𝟐𝝅

𝒃

Desface

𝑫 =−𝒄

𝒃

𝑫 =−𝒄

𝒃

25

Amplitud 𝑨 = |𝒂|

𝑨 = |𝒂|

Ejemplos resueltos

1. Determinar el período, desface, amplitud y gráfica de la función:

𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 − 𝜋)

Solución:

Primero identificamos cada uno de los valores con la ecuación general

𝒚 = 𝒂 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙 + 𝒄), donde tenemos:

𝒂 = 𝟑 , 𝒃 = 𝟐 𝑦 𝒄 = −𝝅 , ahora aplicamos las formulas para calcular los elementos

deseados, es decir:

Período: Desface:

𝑷 =𝟐𝝅

𝒃 𝑫 =

−𝒄

𝒃

=𝟐𝝅

𝟐 =

−(−𝝅)

𝟐

𝑷 = 𝝅 𝑫 =𝝅

𝟐

Amplitud:

𝑨 = |𝒂|

= |𝟑|

𝑨 = 𝟑

Gráfica:

26

2. Determinar el período, desface, amplitud y gráfica de la función:

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥 + 2𝜋)

Solución:

Primero identificamos cada uno de los valores con la ecuación general

𝒚 = 𝒂𝒔 𝒆𝒏(𝒃𝒙 + 𝒄), donde temenos:

𝒂 = 𝟏 , 𝒃 = 𝟒 𝑦 𝒄 = 𝟐𝝅 , ahora aplicamos las formulas para calcular los elementos

deseados, es decir:

Período: Desface:

𝑷 =𝟐𝝅

𝒃 𝑫 =

−𝒄

𝒃

=𝟐𝝅

𝟒 =

−(𝟐𝝅)

𝟒

𝑷 =𝝅

𝟐 =

−(𝟐𝝅)

𝟒

𝑫 =−𝝅

𝟐

Amplitud:

𝑨 = |𝒂|

= |𝟏|

𝑨 = 𝟏

Gráfica:

27

PRÁCTICA #2

I. Encuentre la amplitud (A), el período (P) y el desplazamiento de fase (D) en las

siguientes funciones trigonométricas.

1.) 𝑦 = −4 𝑠𝑒𝑛 (3

2𝑥 − 𝜋)

2.) 𝑦 = 6 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑥 − 2)

3.) 𝑦 =2

3 𝑠𝑒𝑛 (6𝑥 + 3𝜋)

4.) 𝑦 = −7 sen (𝜋

3𝑥 +

4

3)

5.) 𝑦 = −2 𝑐𝑜𝑠 3𝜋𝑥

6.) 𝑦 = 3 tan (4𝑥 − 2)

7.) 𝑦 = csc (𝑥 −𝜋

2)

II. Grafique las siguientes funciones.

1.) 𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑥

2.) 𝑦 = 4 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

3.) 𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 2𝑥

4.) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥 + 2𝜋)

28

GUÍA # 3 LA LÍNEA RECTA. EL PLANO CARTESIANO,

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Repaso:

Conceptos que debemos repasar y recordar para poder trabajar con los entes geométricos

que vamos a estudiar:

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano o de coordenadas rectangulares es un sistema de referencia que nos

permite conocer la ubicación de cualquier punto sobre el plano (hallar sus coordenadas),

así como también representar cualquier punto sobre el plano (ubicar un punto sobre el

plano).

El plano cartesiano está formado por dos ejes ortogonales o rectas de referencia

perpendiculares, a los cuales llamaremos eje de las abscisas o eje X y eje de las ordenadas

o eje Y. Sobre cada eje coordenado se establece una escala única de medidas, asignando el

número cero (0) al punto de intersección u origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro

partes llamadas cuadrantes.

Escala de medidas:

29

¿Cómo determinar las coordenadas de un punto?

Para determinar las coordenadas de un punto P sobre el plano cartesiano, trazamos las

proyecciones ortogonales o perpendiculares, a partir del punto hacia cada uno de los ejes

coordenados, ubicando dónde corta a cada eje y se escriben estos valores como una pareja

ordenada, donde la primera componente o abscisa es el valor en X y la segunda

componente u ordenada es el valor en Y, es decir; 𝑃(𝑥, 𝑦)

Ejemplos de puntos en el plano y sus coordenadas:

¿Cómo ubicar un punto en el plano?

Para localizar un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) en el plano cartesiano, primero ubicamos el valor de la

primera componente sobre el eje X y luego el valor de la segunda componente sobre el eje

30

Y, se trazan las proyecciones ortogonales a los ejes sobre estos puntos y donde se cortan estas

proyecciones es la localización del punto 𝑃.

Ejemplos: Localizar los siguientes puntos en el plano cartesiano: 𝐴(1,4) , 𝐵(−3,1) ,𝐶(−5, −2) , 𝐷(2, −3)

PRÁCTICA # 3.A

I PARTE. Determine las coordenadas de cada punto en el plano cartesiano.

31

II PARTE. Localizar los siguientes puntos sobre el plano cartesiano.

A(3,7), B(0,5), C(-1,7), D(2,-6), E(-4,-5), F(-3,0),

G(0,0), H(-1,1), I(3,-3), J(3,0), K(0,-5), L(-3,3),

M(1,-6), N(-1,6), P(4,-4)

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano:

Para deducir la ecuación de la distancia 𝑑 entre dos puntos dados cualesquiera del

plano cartesiano, aplicamos el teorema de Pitágoras. Para ello consideramos

𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) dos puntos dados cualesquiera sobre el plano, tracemos una recta

perpendicular al eje Y que pase por 𝑃1 y una recta perpendicular al eje X que pase por 𝑃2 y

llamemos E al punto donde se cortan estas rectas, como se indica en la siguiente gráfica:

Ahora por lo ya estudiado de distancia lineal entre dos puntos sabemos que:

La longitud del segmento que va del punto 𝑃1 al punto 𝐸 está dada por;

𝑃1𝐸 = 𝑥2 − 𝑥1

De igual forma la longitud del segmento que va del punto 𝐸 al punto 𝑃2 está dada por;

𝐸𝑃2 = 𝑦2 − 𝑦1

Además, por el teorema de Pitágoras tenemos;

𝑑2 = (𝑃1𝑃2)2 = (𝑃1𝐸)2 + (𝐸𝑃2)2

= (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

De donde,

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 Esta ecuación o relación nos permite determinar la longitud entre dos puntos

cualesquiera sobre el plano coordenado rectangular, sin considerar la dirección o sentido, ya

que 𝑑 siempre es positiva, luego la siguiente expresión también es válida:

𝒅 = √(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐)𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟐)𝟐

Ejemplo 1: Calcular la distancia entre los puntos 𝑃1(−2,3) 𝑦 𝑃2(4, −1).

32

Solución:

Para determinar la distancia entre los dos puntos aplicamos la ecuación:

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 Luego reemplazamos las coordenadas de cada punto en la ecuación como se indica;

𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2

𝑃1(−2,3) 𝑦 𝑃2(4, −1)

𝑑 = √(4 − [−2])2 + (−1 − 3)2

= √(4 + 2)2 + (−4)2

= √62 + 16

= √36 + 16

𝑑 = √52

Ejemplo 2: Calcular la distancia entre los puntos A(3,4) y B(-3,-1).

Solución:

En este caso podemos escoger cualquiera de los dos puntos como 𝑃1y el otro como 𝑃2,

es decir:

𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2

𝐴(3,4) 𝑦 𝐵(−3, −1)

Luego:

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

33

𝑑 = √(−3 − 3)2 + (−1 − 4)2

= √(−6)2 + (−5)2

= √36 + 25

𝑑 = √61

Ejemplo 3: Demuestre que los puntos A(3,3), B(−3, −3 ) y C(−3√3 ,3√3) son los vértices

de un triángulo equilátero.

Solución:

Probar que es un triángulo equilátero, corresponde a mostrar que los tres lados son

iguales como se indica en la gráfica.

𝑑𝐴𝐵 = 𝑑1 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

= √(−3 − 3)2 + (−3 − 3)2

= √(−6)2 + (−6)2

= √2(−6)2

= √72

𝑑𝐴𝐵 = 𝑑1 = 6√2

𝑑𝐵𝐶 = 𝑑2 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

= √(−3√3 − [−3])2

+ (3√3 − [−3])2

= √(−3√3 + 3)2

+ (3√3 + 3)2

= √(27 − 6√3 + 9) + (27 + 6√3 + 9)

= √27 − 6√3 + 9 + 27 + 6√3 + 9

= √72

𝑑𝐵𝐶 = 𝑑2 = 6√2

𝑑𝐶𝐴 = 𝑑3 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

= √(−3√3 − 3)2

+ (3√3 − 3)2

34

= √(3√3 + 3)2

+ (3√3 − 3)2

= √(27 + 6√3 + 9) + (27 − 6√3 + 9)

= √27 + 6√3 + 9 + 27 − 6√3 + 9

= √72

𝑑𝐶𝐴 = 𝑑3 = 6√2

Como los tres lados tienen la misma medida, es decir, 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑3 = 6√2 , se prueba que

es un triángulo equilátero.

Punto medio de un segmento de recta

Para deducir la ecuación o fórmula del punto medio de un segmento rectilíneo hacemos

el siguiente planteamiento. Sean 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) los puntos extremos de un segmento

de recta y sea 𝑀(𝑥, 𝑦) el punto sobre el segmento que se encuentre a igual distancia de

𝑃1 𝑦 𝑃2, como se muestra en la gráfica.

Como M es el punto medio, se cumple;

𝑃1𝑀 = 𝑀𝑃2 de donde,

𝑃1𝑀

𝑀𝑃2= 1 luego:

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥= 1 ;

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦= 1

𝑥 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥 ; 𝑦 − 𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦

𝑥 + 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑦 + 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2

2𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 ; 2𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2

𝑥 =𝑥1+𝑥2

2 ; 𝑦 =

𝑦1+𝑦2

2

Así tenemos que las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos

𝑃1 𝑦 𝑃2 están dadas por:

𝑴(𝒙, 𝒚) = (𝒙𝟏+𝒙𝟐

𝟐,

𝒚𝟏+𝒚𝟐

𝟐)

Ejemplo 1: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos

𝐴(−3,2) 𝑦 𝐵(5, −4)

35

Solución:

Podemos considerar a cualquiera de los dos puntos como 𝑃1 y el otro como 𝑃2, para

aplicar las ecuaciones del punto medio.

Los cálculos se pueden realizar buscando cada componente u ordenada por separado o

también como par ordenado, es decir:

Aplicando;

𝑥 =𝑥1+𝑥2

2 ; 𝑦 =

𝑦1+𝑦2

2

=−3+5

2 =

2−4

2

=2

2 =

−2

2

𝑥 = 1 𝑦 = −1

De donde 𝑀(1, −1)

También se pudo realizar así:

𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1+𝑦2

2)

= (−3+5

2,

2−4

2)

= (2

2,

−2

2)

𝑀(𝑥, 𝑦) = (1, −1)

Ejemplo 2: Calcular las coordenadas del punto medio del segmento que va de 𝑆(−3, −4) a

𝑇(4, − − 1).

36

Solución:

Aplicamos:

𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1+𝑦2

2)

= (−3+4

2,

−4−1

2)

= (1

2,

−5

2)

𝑀(𝑥, 𝑦) = (1

2, −2

1

2)

Gráfica de una línea recta.

Toda ecuación lineal o de primer grado con dos incógnitas 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎, donde

A,B y C son números reales, nos representa una línea recta, para trazar su gráfica sobre

un plano coordenado o cartesiano, seguimos los siguientes pasos:

Paso 1:

Primero se despeja en la ecuación la variable 𝒚 (𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) en

términos de la variable 𝒙 (𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒), es decir:

𝒚 =−𝑨𝒙−𝑪

𝒃 ó 𝒚 = −

𝑨𝒙

𝑩−

𝑪

𝑩

Paso 2:

Se construye una tabla de valores, dándole valores arbitrarios o al azar a la variable 𝒙.

(Asignar de tres a cinco valores, ya que dos puntos definen una recta)

X A B C D

Y

Para obtener el valor correspondiente de 𝒚, se reemplaza el valor asignado a 𝒙 en la

ecuación despejada y se resuelven las operaciones indicadas.

Paso 3:

37

Localizar estos puntos sobre el plano y trazar la recta que pasa por ellos.

Ejemplo 1: Trazar la gráfica de la ecuación 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0.

Solución:

Despejamos la variable 𝒚:

2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0

3𝑦 = 6 − 2𝑥

𝑦 =6−2𝑥

3

Tabla de valores:

Para 𝑥 = −3 ; 𝑦 =6−2𝑥

3

=6−2(−3)

3

=6+6

3

=12

3

= 4

Para 𝑥 = 0 ; 𝑦 =6−2𝑥

3

=6−2(0)

3

=6−0

3

=6

3

= 2

Para 𝑥 = 1 ; 𝑦 =6−2𝑥

3

=6−2(1)

3

=6−2

3

=4

3

Para 𝑥 = 3 ; 𝑦 =6−2𝑥

3

=6−2(3)

3

=6−6

3

=0

3

= 0

X -3 0 1 3

Y 4 2 4/3 0

38

Gráfica:

Ejemplo 2: Graficar la ecuación 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0

Solución:

Despejamos 𝑦:

2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0

2𝑥 + 5 = 𝑦 ó

𝑦 = 2𝑥 + 5

Tabla de valores:

Para 𝑥 = −2 ; 𝑦 = 2𝑥 + 5

= 2(−2) + 5

= −4 + 5

= 1

Para 𝑥 = −1 ; 𝑦 = 2𝑥 + 5

= 2(−1) + 5

= −2 + 5

= 3

Para 𝑥 = 0 ; 𝑦 = 2𝑥 + 5

= 2(0) + 5

= 0 + 5

= 5

Para 𝑥 = 1 ; 𝑦 = 2𝑥 + 5

= 2(1) + 5

= 2 + 5

= 7

Gráfica:

X -2 -1 0 1

Y 1 3 5 7

39

PRÁCTICA # 3.B

I PARTE. Hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos:

𝒅 = √(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐)𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟐)𝟐

1) 𝑃(4,5) 𝑦 𝑄(2,1)

2) 𝑃(2,0) 𝑦 𝑄(0, −2 )

3) 𝑃(4,0) 𝑦 𝑄(1,3 )

II PARTE. Calcular las coordenadas del punto medio del segmento que une los putos P y Q.

𝑴(𝒙, 𝒚) = (𝒙𝟏+𝒙𝟐

𝟐,

𝒚𝟏+𝒚𝟐

𝟐)

1) 𝑃(4,5) 𝑦 𝑄(2,1)

2) 𝑃(2,0) 𝑦 𝑄(0, −2 )

3) 𝑃(4,0) 𝑦 𝑄(1,3 )

III PARTE. Graficar las siguientes ecuaciones:

1) 𝑥 − 𝑦 + 7 = 0 2) 𝑥 + 𝑦 − 7 = 0

3) 𝑥 − 3𝑦 − 3 = 0 4) 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0


RESOLVER LOS PROBLEMAS DE LA PRÁCTICA #3.Ay #3.B

40

GUÍA #4

ECUACIONES DE LA LÍNEA RECTA

LA LÍNEA RECTA

En esta sección nos interesa el estudio de la línea recta, no solo como el ente geométrico

determinado por dos puntos, sino también como una ecuación algebraica que le represente,

es decir desde el punto de vista de la geometría analítica.

Pendiente de una recta:

Llamamos ángulo de inclinación de una recta, al ángulo formado por la parte positiva

del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. Para la mayor parte de los

problemas de geometría analítica, se emplea más la tangente del ángulo de inclinación que

el ángulo mismo.

La pendiente de una recta (o coeficiente angular de una recta) generalmente se designa

por la letra 𝒎 y represente a la tangente de su ángulo de inclinación.

Definición: (Pendiente de una recta)

Si 𝒍 es una recta no paralela al eje Y y 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) dos puntos diferentes

cualesquiera de la recta 𝒍, entonces se define el valor de la pendiente o inclinación 𝒎 de 𝒍

por:

𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏 , 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐

Si ∆𝑥= 𝑥2 − 𝑥1 y ∆𝑦= 𝑦2 − 𝑦1, tenemos:

𝒎 =𝚫𝒚

𝚫𝒙

Observación:

• Si la recta es paralela al eje Y la pendiente no está definida.

• Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, es decir;

𝒍𝟏‖𝒍𝟐 ⇔ 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐

41

• Dos rectas perpendiculares tienen pendientes negativamente recíprocas (o

inversas negativas), es decir;

𝒍𝟏 ⊥ 𝒍𝟐 ⇔ 𝒎𝟏𝒎𝟐 = −𝟏 ó 𝒎𝟏 =−𝟏

𝒎𝟐

En el siguiente gráfico se describe cuando una recta tiene pendiente positiva y cuando

es negativa:

Ejemplo 1: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝐴(2,1) 𝑦 𝐵(4,7).

Solución:

Podemos considerar cualquiera de los puntos como 𝑃1 y el otro como 𝑃2, es decir;

𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2

𝐴(2,1) 𝑦 𝐵(4,7)

Para calcular la inclinación o pendiente de la recta aplicamos la ecuación:

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

=𝟕−𝟏

𝟒−𝟐

42

=𝟔

𝟐

𝒎 = 𝟑

Ejemplo 2: Trazar la recta que pasa por 𝐴(−1,4) 𝑦 𝐵(3,2)

Solución:

Para calcular la pendiente aplicamos:

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

=𝟐−𝟒

𝟑−(−𝟏)

=−𝟐

𝟑+𝟏

=−𝟐

𝟒

𝒎 = −𝟏

𝟐

Gráfica:

43

PRÁCTICA #4.A

Calcular la pendiente de la recta 𝑙 que pasa por los A y B indicados en cada caso y trazar su

gráfica.

1) 𝐴(−3,8) 𝑦 𝐵(−2,16) 2) 𝐴(7, −1) 𝑦 𝐵(−4,9)

3) 𝐴(3,7) 𝑦 𝐵(2,9) 4) 𝐴(5, −2) 𝑦 𝐵(3,6)

5) 𝐴(5,4) 𝑦 𝐵(−1,2) 6) 𝐴(−5, −2) 𝑦 𝐵(6,2)

7) 𝐴(5,3) 𝑦 𝐵(−2,3) 8) 𝐴(5,0) 𝑦 𝐵(−3,2)

9) 𝐴(−1,2) 𝑦 𝐵(−1,5) 10) 𝐴(0, −4) 𝑦 𝐵(8,3)

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

Definición: (Línea recta)

Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que todos dos puntos

cualesquiera distintos 𝑷𝟏(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) 𝒚 𝑷𝟐(𝒙𝟐, 𝒚𝟐) del lugar geométrico, el valor de la

pendiente 𝒎 dado por la ecuación:

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏 ; 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐

Resulta siempre constante.

Ecuación de la recta Punto-Pendiente:

Esta ecuación se caracteriza porque para determinar la ecuación de la recta utilizamos

las coordenadas de un punto de la recta y el valor de la pendiente.

Definición:

Sea 𝒍 una recta que pasa por el punto 𝑷𝟏(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y que tiene una pendiente 𝒎. La

trayectoria de un punto 𝑷(𝒙, 𝒚) que se mueve en forma tal que la pendiente de 𝑷𝑷𝟏

sea siempre 𝒎 , contiene a todos los puntos de 𝒍 excepto a 𝑷𝟏. Entonces la ecuación de

esta trayectoria es:

𝒎 =𝒚−𝒚𝟏

𝒙−𝒙𝟏

Que se puede escribir de la forma:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) Punto-pendiente

44

Ejemplos resueltos:

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (−1,2) y tiene pendiente 2.

Solución: 𝑥𝟏 𝑦𝟏

Tenemos 𝑃1(−1,2) 𝑦 𝑚 = 2

Aplicamos la ecuación:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

𝑦 − 2 = (2)(𝑥 − (−1))

𝑦 − 2 = (2)(𝑥 + 1) multiplicando

𝑦 − 2 = 2𝑥 + 2 trasponiendo términos

2𝑥 − 𝑦 + 2 + 2 = 0

2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0

Para la gráfica cabe recordar que la pendiente es el cambio en y entre el cambio en x, es

decir:

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏=

∆𝒚

∆𝒙

45

2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por

(3, −1) y tiene pendiente 𝑚 = −2

3.

Solución: 𝑥𝟏 𝑦𝟏

Tenemos 𝑃1(3, −1) 𝑦 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥−

2

3

Aplicamos la ecuación:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

𝑦 − (−1) = (−2

3) (𝑥 − 3)

𝑦 + 1 = (−2

3) (𝑥 − 3)

(3)(𝑦 + 1) = (−2)(𝑥 − 3)

3𝑦 + 3 = −2𝑥 + 6

2𝑥 + 3𝑦 + 3 − 6 = 0

2𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0

Observación:

El signo en la pendiente se puede asignar al numerador o al denominador, es

decir, a ∆𝒙 ó 𝐚 ∆𝒚, como se muestra en la gráfica y se obtiene el mismo resultado.

46

PRÁCTICA #4.B

Determinar la ecuación de la recta que: (Trazar la gráfica)

1. Pasa por 𝑃(1,2) y tiene pendiente 5.

2. Pasa por 𝑃(−4,1) y tiene pendiente 2

3.

3. Pasa por 𝑃(−2, −4) y tiene pendiente −3

7.

4. Pasa por 𝑃(3, −4) y tiene pendiente 2.

5. Pasa por 𝑃(2, −5) y tiene pendiente −2.

6. Pasa por 𝑃(−2,1) y tiene pendiente −5.

7. Pasa por 𝑃(1,2) y tiene pendiente −1

2.

8. Pasa por 𝑃(−4,3) y tiene pendiente 1

2.

9. Pasa por 𝑃(5, −4) y tiene pendiente −3.

10. Pasa por 𝑃 (−1

3,

2

5) y tiene pendiente

1

3.


DEBE RESOLVER DE LA PRÁCTICA #4.A y #4.B, LOS 5 PRIMEROS

PROBLEMAS.

47

EVALUACIÓN

DIMENSIONES

RÚBRICA ANALÍTICA

PUNTOS

DE EVALUACIÓN

NIVELES DE LOGROS

SOBRESALIENTE

4

LOGRADO

3

ACEPTABLE

2

EN PROCESO

1

Conceptos

Matemáticos

La explicación demuestra completo entendimiento del concepto matemático

usado para resolver los problemas.

La explicación

demuestra entendimiento sustancial del concepto matemático usado para resolver los problemas.

La explicación

demuestra algún entendimiento del concepto matemático necesario para resolver los problemas.

La explicación demuestra un

entendimiento muy limitado de los conceptos subyacentes necesarios para resolver problemas o no está escrita.

Terminología

Matemática y

Notación

La terminología y notación correctas fueron siempre usadas haciendo fácil de entender lo que fue hecho.

La terminología y notación correctas fueron, por lo general, usadas haciendo fácil de entender lo que fue hecho.

La terminología y notación correctas fueron usadas, pero algunas veces no es fácil entender lo que fue hecho.

Hay poco uso o

mucho uso inapropiado de la terminología y la notación.

Razonamiento

Matemático

Usa razonamiento matemático complejo y refinado.

Usa razonamiento

matemático efectivo.

Alguna evidencia de razonamiento matemático.

Poca evidencia de razonamiento matemático.

Orden y

Organización

El trabajo es presentado de una manera ordenada,

clara y organizada que es fácil de leer.

El trabajo es presentado de una manera ordenada y organizada que es, por lo general, fácil de leer.

El trabajo es presentado en una manera organizada,

pero puede ser difícil de leer.

El trabajo se ve descuidado y desorganizado. Es difícil saber qué información está relacionada.

Estrategia y

procedimientos

Por lo general, usa una estrategia

eficiente y efectiva para resolver problemas.

Por lo general, usa una estrategia efectiva para resolver problemas.

Algunas veces usa una estrategia efectiva para resolver problemas, pero no lo hace consistentemente.

Raramente usa una estrategia efectiva para resolver problemas.

TOTAL DE

PUNTOS

BIBLIOGRAFÍA

✓ MATEMÁTICA 11 ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA

ANALÍTICA. DIANAL. DE LAJÓN. RICARDO LAJÓN P.

✓ MATEMÁTICA 11, SERIE SER COMPETENTES. SANTILLANA.

APUNTES DE LOS PROFESORES: HERNÁN CASTILLO, HERNÁN VERGARA,

ERASMO FRANCO Y ORIEL GONZÁLEZ R.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE … 11 mo...También se pudo buscar el valor de la cotangente...

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