Metodos Numericos Métodos Iterativos para Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales.pdf

INSTITUTO TECNOLGICO DE COSTA RICAESCUELA DE INGENIERA ELECTRNICA

LICENCIATURA EN INGENIERA ELECTRNICA

CM-3201 MTODOS NUMRICOSProfesor: Ing. Marvin Hernndez

GAUSS-SEIDEL, JACOBI, RELAJACIN YCONVERGENCIA

I Semestre 2004

Mtodos Iterativos para Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales

Introduccin

Los mtodos numricos se dividen en dos categoras generales: mtodos exactos y aproximados. Los primeros, como su nombre lo indica, buscan dar resultados exactos. No obstante, como estnafectados por errores de redondeo, algunas veces dan resultados imprecisos. La magnitud del error de redondeo vara en cada sistema y depende de varios factores, tales como las dimensionesdel sistema, su condicin y el hecho de s la matriz de coeficientes es dispersa o densa. Adems, la precisin de la computadora afectar el error de redondeo.

Se recomienda una estrategia de pivoteo en todo programa de computadora que realicemtodos de eliminacin exactos. Esa estrategia minimiza el error de redondeo y evita problemascomo el de la divisin entre cero. Los algoritmos basados en la descomposicin LU son losmtodos que se eligen debido a su eficiencia y flexibilidad.

La tabla 1 ofrece un resumen de las ventajas y desventajas en la solucin de ecuacionesalgebraicas lineales simultneas. Dos mtodos (el grfico y la regla de Cramer) estn limitados apocas ecuaciones(< 3), de modo que tienen escasa utilidad para resolver problemas prcticos. Sinembargo, dichas tcnicas son herramientas didcticas tiles para entender el comportamiento delos sistemas lineales en general.

Aunque los mtodos de eliminacin tienen gran utilidad, el uso de toda la matriz de loscoeficientes puede ser limitante cuando se trate con sistemas dispersos muy grandes. Esto sedebe a que gran parte de la memoria de la computadora se dedicara a guardar ceros que notienen significado. Para sistemas bandeados, hay tcnicas para realizar mtodos de eliminacinsin tener que guardar todos los coeficientes de la matriz.

Jacobi, Gauss-Seidel, Relajacin Pagina de 33 2

MTODO ESTABILIDAD PRECISINRANGO DE

APLICACINCOMPLEJIDAD DE

LA PROGRAMACIN COMENTARIOSGRFICO --- Pobre Limitado --- Puede tomar ms

tiempo que el mtodo numrico

Regla de Cramer --- Afectado por errores de redondeo

Limitado --- Excesiva complejidad de clculo para ms de tres ecuaciones

Eliminacin de Gauss (con pivoteo parcial)

--- Afectado por errores de redondeo

General Moderada

Descomposicin LU --- Afectado por errores de redondeo

General Moderada Mtodo de eliminacin preferido; permite el clculo de la matriz

inversaGauss_Seidel Puede no converger si

no es diagonalmente dominante

EXCELENTE Apropiado solo para sistemas

diagonalmente dominantes

FCIL

TABLA No. 1: Comparacin de las caractersticas de diversos mtodos alternativos para encontrar soluciones de ecuaciones algebraicas lineales simultneas

La tcnica aproximada por conocer como mtodo de Gauss-Seidel, difiere de las tcnicasexactas porque emplea un esquema iterativo para obtener, progresivamente, estimaciones mscercanas a la solucin. El efecto del error de redondeo es un punto discutible en el mtodo deGauss-Seidel, ya que se pueden continuar las iteraciones hasta que se obtenga la precisindeseada. Adems, se pueden desarrollar versiones del mtodo de Gauss-Seidel para utilizar demanera eficiente los requerimientos de almacenaje en computadora con sistemas dispersos. Enconsecuencia, la tcnica de Gauss-Seidel es til para grandes sistemas de ecuaciones, donde losrequerimientos de almacenaje podran llevar a problemas significativos con las tcnicas exactas

Aplicaciones

Las tcnicas iterativas se emplean rara vez para resolver sistemas lineales de dimensin pequeaya que el tiempo requerido para lograr una precisin suficiente excede al de las tcnicas directascomo el mtodo de eliminacin Gaussiana. Sin embargo, para sistemas grandes con un granporcentaje de ceros, estas tcnicas son suficientes en trminos de almacenamiento en lacomputadora y del tiempo requerido.

Los mtodos de este tipo surgen frecuentemente en los sistemas con ecuaciones diferenciales,donde encontraramos aplicaciones en todas las ramas de la ingeniera, as como en las CienciasSociales y la Economa. Estos mtodos son tiles en la prediccin del clima, donde el volumende variables amerita el uso de extensas matrices.

Justificacin

Una forma de entender el uso de los mtodos numricos y su utilidad es precisamentecomparndolos con los mtodos directos, esta comparacin se realiza en trminos de operacionesrealizadas, tales como sumas, restas, divisiones y multiplicaciones. Por tanto el entendimiento deesto conlleva a su uso prctico. Las siguientes tablas muestran las diferencias en clculo de losmtodos directos de Gauss y Gauss-Jordan.

Tabla 2: Total de operaciones en el mtodo de Eliminacin de Gauss

NMultiplicaciones/Divisiones

3/3 23 nnn Sumas / restas

6/532 23 nnn 3 17 11

10 430 375

50 44150 42875

100 343300 338250


Tabla 3: Total de operaciones en el mtodo de Eliminacin de Gauss-Jordan

nMultiplicaciones/Divisiones

2/2 23 nnn Sumas / restas

2/3 nn 3 21 12

10 895 495

50 64975 62475

100 509950 499950

Tabla 4: Operaciones por iteracin en los mtodos Iterativos

n

Multiplicaciones-Divisiones

12 2 n*por iteracin

Sumas / restas

1nn

*por iteracin

3 17 12

10 199 90

50 4999 2450

100 19999 9900

De la Tabla 4 podemos notar que n 50 los mtodos iterativos empezaran a ser ms efectivos que los mtodos directos. Ntese, tambin que los clculos en esta tabla corresponden a una iteracin por tanto para que el mtodo sea efectivo, dos aspectos deben ser tomados en consideracin

1. La precisin requerida de los resultados

2. De la aproximacin inicial que se escoja.


Marco Conceptual

Antes de considerar los mtodos iterativos para resolver sistemas lineales, es necesario encontrarun mtodo para medir cuantitativamente la distancia entre vectores, para poder determinarcuando la sucesin de vectores que resulta al usar una tcnica iterativa converge a la solucin.

Norma vectorial: esta se define como la suma de las magnitudes de los componentes de un vectorcolumna de dimensin n con componentes reales, esta definicin en notacin matemtica seescribe como:

x =

xn

xxx

.

.

.321

y la norma de x seria || x || = 2/11

2 n

i ix

Esta definicin de norma es til cuando se quiere saber la magnitud de las componentes de unvector. Pero cuando esta se aplica a los mtodos numricos es mejor utilizar el concepto denorma infinita, la cual es til como criterio de paro para una aproximacin. Esta se define comosigue:

ixnix 1max

Una tcnica iterativa para resolver un sistema lineal Ax = b de n x n empieza con unaaproximacin inicial x(k) a la solucin x, y genera una sucesin de vectores { x(k)}k = 0 hasta que selogre la aproximacin requerida, que en trminos de vectores se expresa como, { x(k)}k = .

La mayora de estas tcnicas iterativas involucran un proceso que convierte el sistema Ax = b en un sistema equivalente de la forma x = Tx + b. Seleccionado un vector inicial x (0) lasucesin de vectores de solucin aproximada se genera calculando.

x(k) = T x(k - 1) + c (1) *

*el factor k solamente se utiliza para denotar el conteo de las iteraciones

Cabe destacar la similitud de esta ecuacin con la x = g(x), que se utilizaba para el mtodoiterativo del punto fijo. Dado esta similitud, posteriormente se analizar la convergencia de estemtodo.

Como se mencion anteriormente estos mtodos se aplican en los sistemas con gran cantidad deceros, a la matriz resultante se le conoce como matriz esparcida.


Considere el circuito de la figura 1 como ejemplo de este tipo de matriz.

FIGURA 1: Circuito elctrico con solucin de matriz esparcida

0470150120742000230003382

*156001031

vfvevdvcvbvfvevdvcvbvfvevdvcvbvfvevdvcvb

Vvfvevdvcvb

Convirtindolo a la forma matricial se obtiene lo que se denomina una matriz esparcida.

470150121742002310033826001031

f

e

d

c

b

fedcb

vvvvv

vvvvv


a b c

d

e d f

Mtodos Iterativos

Estos son mtodos para los cuales se da una aproximacin al sistema de ecuaciones lineales y seobtiene una solucin para este sistema.

A diferencia de los mtodos directos, los mtodos iterativos podran no producir una solucinsatisfactoria, an cuando el determinante de los coeficientes de la matriz no sea cero.

Entonces, para que estas tcnicas funcionen se deben tener ciertas condiciones.

El conjunto de ecuaciones debe tener una diagonal dominante. Esta es una condicinnecesaria pero no suficiente. Un sistema de ecuaciones se considera Diagonal Dominantecuando se cumple

n

ijj

jiii aa1

,, (2)

Es decir, Una condicin suficiente para que se tenga una solucin es que el valor absolutode los coeficientes de la diagonal en cualquier ecuacin debe ser mayor que la suma delvalor absoluto de los otros coeficientes en esa ecuacin.

Mtodo de Jacobi

Es un mtodo de sustitucin simultneo, denominado desplazamiento simultneo, el cual tien suorigen en mtodo iterativo de Punto Fijo. En el mtodo de Jacobi el orden de operacin de lasecuaciones es irrelevante dado que el mtodo las trata en forma independiente, de all su nombrecomo mtodo de desplazamiento simultneos, no obstante, se debe mantener la diagonaldominante en el sistema.

Este mtodo se puede ilustrar usando las siguientes ecuaciones.

1313212111 bxaxaxa

2323222121 bxaxaxa

3333232131 bxaxaxa (3)

El mtodo comienza despejando las ecuaciones anteriores (3) para x1, x2 y x3 respectivamente eintroduciendo el ndice k que indicar el nmero de iteraciones, entonces,

11

)(313

)(2121)1(

1 axaxabx

kkk


22

)(323

)(1212)1(

2 axaxabx

kkk

33

)(232

)(1313)1(

3 axaxabx

kkk (4)

Adems se requiere de un vector inicial xk = (x1 (k), x2 (k), x3 (k)) el cual representa la primeraaproximacin de la solucin del sistema, con lo que se produce xk+1.

El proceso se contina hasta que | xk+1 xk |

33

23213133 a

xaxabx

Para la primera iteracin el valor de X1, X2 y X3 a sustituir en cada una se asumir como cero.Entonces para X1,

41176,2917

030250017

32500

1

1

321

11

31321211

x

x

xxx

axaxabx

para X2,

52381,921

020520021

25200

2

2

312

22

32312122

x

x

xxx

axaxab

x

para X3,

36364,122

05053022

5530

3

3

213

33

23213133

x

x

xxx

axaxabx

Entonces en la primera iteracin

36364,152381,941176,29

3

2

1

xxx

Para calcular los nuevos valores de la segunda iteracin se utilizarn los resultados de X1, X2 yX3 obtenidos en la primera iteracin. Entonces para X1,


77285,3017

36364,1352381,9250017

32500

1

1

321

11

31321211

x

x

xxx

axaxab

x

para X2,

65648,1621

36364,1241176,29520021

25200

2

2

312

22

32312122

x

x

xxx

axaxab

x

para X3,

21263,1022

52381,9541176,2953022

5530

3

3

213

33

23213133

x

x

xxx

axaxabx

Por tanto en la segunda iteracin

21263,1065648,1677285,30

3

2

1

xxx

Una vez obtenidos estos resultados se deben calcular el error aproximado porcentual para cadauno, para ello se utilizar la siguiente frmula:


%100 nuevor

anteriorr

nuevor

a xxx

Para X2,

Para X3,

Dado que en dos de las incgnitas el error aproximado porcentual es mayor a un 5% se debehacer una nueva iteracin. Se contina realizando el mismo procedimiento con los nuevosvalores de X obtenidos hasta que los errores aproximados porcentuales en las tres incgnitas seanmenores que el 5%. El resultado de estas iteraciones se presenta en la Tabla 5.

Tabla 5: Resultados de las iteraciones por el mtodo de Jacobidel ejemplo 1 (ejercicio 11.8 pp. 321)

Iteracin x1 x2 X3 a x1 a x2 a x30 0,00000 0,00000 0,00000

1 29,41176 9,52381 1,36364

2 30,77285 16,65648 10,21263 4,423% 42,822% 86,648%

3 33,17358 17,82331 12,14303 7,237% 6,547% 15,897%

4 33,65151 18,57876 12,95384 1,420% 4,066% 6,259%

5 33,88347 18,76977 13,23415 0,685% 1,018% 2,118%

Se resaltan los datos donde los errores obtenidos son menores que 5%, se logra un erroraproximado porcentual menor en las tres incgnitas hasta la quinta iteracin. Por lo tanto losresultados aproximados que cumplen con la condicin establecida son:


%5%423,4

%10077285,30

41176,2977285,30

%100

1

1

1

111

ax

ax

nuevo

anteriornuevo

ax xxx

%5%822,42

%10065648,16

52381,965648,16

%100

2

2

2

222

ax

ax

nuevo

anteriornuevo

ax xxx

%5%648,86

%10021263,10

36364,121263,10

%100

3

3

3

333

ax

ax

nuevo

anteriornuevo

ax xxx

23415,13

76977,18

88347,33

3

2

1

x

x

x

Si sustituimos estos valores en las ecuaciones originales para verificar los resultados obtenemosque:

17 *(33,88347) 2 *(18,76977) 3 *(13,23415) = 498,77703

-5 *(33,88347) + 21 *(18,76977) 2 *(13,23415) = 198,27957

-5 *(33,88347) 5 *(18,76977) + 22 *(13,23415) = 27,88513

Al calcular los porcentajes de error de estos resultados se obtiene lo siguiente:

0,88%%10030

27,88513-30 Error

0,10%%100200

198,27957-200 Error

0,03%%100500

498,77703-500 Error

EC3

EC2

EC1

De acuerdo con estos datos se puede observar que los resultados obtenidos son una aproximacinmuy buena de los valores verdaderos.


Mtodo de Gauss-Seidel

Este mtodo en general converge ms rpidamente que el mtodo de Jacobi, sin embargopresenta las mismas debilidades del mtodo de Jacobi.

El mtodo de Gauss-Siedel supone que una mejor aproximacin a la solucin se obtienesustituyendo los valores parciales obtenidos, lo cual se puede comprobar en la prctica.

Utilizando las ecuaciones vistas en (3)

1313212111 bxaxaxa

2323222121 bxaxaxa

3333232131 bxaxaxa (3)

Y despejando para x1, x2 y x3 de las ecuaciones (6) y adicionando los valores ya obtenidos, estase puede expresar como:

11

)(313

)(2121)1(

1 axaxabx

kkk

22

)(323

)1(1212)1(

2 axaxabx

kkk

33

)1(232

)1(1313)1(

3 axaxabx

kkk

(7)

Comparando las ecuaciones (4) y (7) se observa que el valor de x1 no se asume sino se calculacon los valores asumidos de x2 y x3.

Posteriormente el valor de x1 obtenido y x3 asumido, se usan para calcular x2. Finalmente elnuevo valor de x3 es el resultado de los valores calculados x1 y x2.

La ecuacin iterativa de este mtodo nos lleva a:

)1(

1,

)(1

1,i

ii

(k)i - - b a

1 kjn

ijji

kj

i

jji xaxax (8)

Ejemplo 2 (Ejercicio 11.7 Pg. 320)


Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones por el Mtodo de Gauss-Seidel:

17 X1 2 X2 3 X3 = 500

-5 X1 + 21 X2 2 X3 = 200

-5 X1 5 X2 + 22 X3 = 30

Resuelva este problema para un a = 5%Si lo pasamos al formato de una matriz y su vector de resultados, obtenemos lo siguiente:

Las siguientes frmulas las utilizamos para encontrar X1, X2 y X3 en cada una de las iteraciones.

11

31321211 a

xaxabx

22

32312122 a

xaxabx

33

23213133 a

xaxabx

Para calcular el primer valor de X1, se asumirn X2 y X3 con valores cero. Entonces para X1,

41176,2917

030250017

32500

1

1

321

11

31321211

x

x

xxx

axaxabx

para calcular el valor de X2, se utilizar el valor encontrado de X1 y el valor de X3 se asumircomo cero.


30200500

225522153217

3

2

1

xxx

52661,1621

0241176,29520021

25200

2

2

312

22

32312122

x

x

xxx

axaxab

x

para calcular el valor de X3, se utilizar el valor encontrado de X1 y X2 en los pasos anteriores.

80418,1122

52661,16541176,2953022

5530

3

3

213

33

23213133

x

x

xxx

axaxabx


Para la segunda iteracin, en el clculo de X1 el valor de X2 y X3 sern los calculados anteriormente. Entonces para X1,

43916,3317

80418,11352661,16250017

32500

1

1

321

11

31321211

x

x

xxx

axaxab

x


80418,11

52661,16

41176,29

3

2

1

x

x

x

para X2 se utiliza el valor de X3 de la primera iteracin y el de X1 de la segunda iteracin,

60972,1821

80418,11243916,33520021

25200

2

2

312

22

32312122

x

x

xxx

axaxab

x

para X3 se utiliza el valor de X1 y X2 calculados en la segunda iteracin,

19293,1322

60972,18543916,3353022

5530

3

3

213

33

23213133

x

x

xxx

axaxabx

Entonces en la segunda iteracin

19293,13

60972,18

43916,33

3

2

1

x

x

x

Una vez obtenidos estos resultados, se debe calcular el error aproximado porcentual para cadauno de los resultados, para ello utilizamos la siguiente frmula:

Para X1,


%100 nuevor

anteriorr

nuevor

a xxx

%5%04,12

%10043916,33

41176,2943916,33

%100

1

1

1

111

ax

ax

nuevo

anteriornuevo

ax xxx

Para X2,

Para X3,

Dado que en las tres incgnitas el error aproximado porcentual es mayor a un 5% se debe haceruna nueva iteracin. Se contina realizando el mismo procedimiento con los nuevos valores deX obtenidos hasta que los errores aproximados porcentuales en las tres incgnitas sean menoresque el 5%.

El resultado de estas iteraciones siguiendo el mismo procedimiento, se presenta en la tabla 6

Tabla 6: Resultados de las iteraciones por el mtodo de Gauss_Seideldel ejemplo 2 (ejercicio 11.7 pp. 320)

Iteracin x1 x2 x3 a x1 a x2 a x30 0,00000

1 29,41176 16,52661 11,80418

2 33,43916 18,60972 13,19293 12,044% 11,194% 10,526%

3 33,92931 18,85869 13,36091 1,445% 1,320% 1,257%

Se resaltan los datos donde los errores obtenidos son menores que 5%, se logra un erroraproximado porcentual menor en las tres incgnitas en la tercera iteracin. Por lo tanto losresultados aproximados que cumplen con la condicin establecida son:

36091,13

85869,18

92931,33

3

2

1

x

x

x


%5%194,11

%10060972,18

52661,1660972,18

%100

2

2

2

222

ax

ax

nuevo

anteriornuevo

ax xxx

%5%526,10

%10019293,13

80418,1119293,13

%100

3

3

3

333

ax

ax

nuevo

anteriornuevo

ax xxx


17 *(33,92931) 2 *(18,85869) 3 *(13,36091) = 498,99813

-5 *(33,92931) + 21 *(18,85869) 2 *(13,36091) = 199,66404

-5 *(33,92931) 5 *(18,85869) + 22 *(13,36091) = 30,00000


0,00%%10030

30-30 Error

0,17%%100200

199,66404-200 Error

0,20%%100500

498,99813-500 Error

EC3

EC2

EC1



Convergencia

El mtodo Gauss-Seidel, al igual que la tcnica de iteracin de punto fijo, puede tambinpresentar dos problemas fundamentales: 1. en algunas ocasiones no es convergente. 2. Cuandoconverge, con frecuencia lo hace en forma muy lenta.

El criterio de convergencia se puede desarrollar al recordar que las condiciones suficientes parala convergencia de dos ecuaciones no lineales u(x, y) y v(x, y), son:

1

xv

xu

, y consecuentemente 1

yv

yu

En consecuencia, si el valor absoluto de g(x) 1, los errores crecen. Tambin se debe tener en cuentaque si la derivada es positiva, los errores sern positivos; por otra parte si la derivada esnegativa, entonces los errores oscilaran.

Este criterio de convergencia se aplica tambin a las ecuaciones lineales que se resuelven con elmtodo de Gauss-Seidel. Por tanto, al aplicar este criterio sobre las ecuaciones de Gauss-Seidel yevaluando con respecto a cada una de las incgnitas, obtenemos la expresin siguiente:

122

21 aa

, e igualmente 111

12 aa

En otras palabras, el valor absoluto de las pendientes en la ecuacin, deben ser menor que launidad para asegurar la convergencia. Adicionalmente podemos reformular la ecuacin anteriorde la siguiente forma:

2122 aa , e igualmente 1211 aa

Esto es, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para cadaregln de ecuaciones. La generalizacin del criterio anterior para un sistema de n ecuaciones, esdirecta y puede ser expresada como:

n

jjiii aa

1,


Mtodo Gauss Seidel con relajacin

El mtodo de Gauss-Seidel con relajacin es muy similar al mtodo de Gauss-Siedel excepto que este usa un factor de escala para reducir el error de aproximacin.Considrese el siguiente conjunto de ecuaciones

n

jija

1xj = bi , i = 1, 2, , n

Por el mtodo de Gauss-Seidel, de (8).

)1(

1,

)(1

1,i

ii

(k)i - - b a

1 kjn

ijji

kj

i

jji xaxax

Debe notarse que para cada clculo de xi, de las variables con ndice menor que i tienen el ndicek, mientras que las variables con ndice mayor que i tienen el ndice (k-1). La ecuacin para elmtodo de relajacin se basa en la siguiente relacin:

)(kix = )1( kix + ( )(kix - )1( kix )

)(kix = )1( kix +

)1(

1

)1(1

1

)(1 ki

n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

xxaxaba

El trmino entre llaves

)1(

1

)1(1

1

)(1 ki

n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

xxaxaba es justo la diferencia entre las

variables de la previa y presente iteracin segn el mtodo de Gauss-Siedel

)1(

1

)1(1

1

)(1 ki

n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

xxaxaba

= [ )(kix )1( kix ]Gauss-Seidel

Esta diferencia es esencialmente el error que se aproxima a cero para esta iteracin.

El mtodo de relajacin obtiene un nuevo valor estimado multiplicando esta diferencia por un factor de escala y sumndolo al valor previo. La ecuacin puede ser escrita de la siguiente forma:

)(kix = (1 )

)1( kix +

n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

xaxaba 1

)1(1

1

)(

Este mtodo permite mejorar la convergencia ya que despus de que se calcula cada nuevo valor de x, este se modifica mediante un promedio ponderado de los resultados anterior y actual.


anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1(

donde es un factor ponderado que tiene un valor entre 0 y 2.

Si =1 el resultado no se modifica y la ecuacin se transforma en la ecuacin para Gauss-Siedel, cuando < 1 el mtodo es conocido como sub-relajacin el cual se emplea para hacer que un sistema no convergente converja o apresure la convergencia al amortiguar las oscilaciones.

Cuando > 1 es conocido como sobre-relajacin, se utiliza cuando la convergencia se mueve en la direccin correcta hacia la solucin verdadera, pero con una velocidad demasiado lenta. Por lo tanto se pretende que con la ponderacin mejore la aproximacin al llevarla ms cerca de la verdadera.

La eleccin de se especifica de forma emprica, generalmente este mtodo no se utiliza para lasolucin de un solo sistema de ecuaciones. Es ms usual cuando un sistema en estudio se deberesolver de manera repetitiva, una buena seleccin de ayudar a mejorar significativamente laeficiencia del mtodo.

Ejemplo 3 (Ejercicio 11.9 Pg. 321) Emplee el mtodo de Gauss-Seidel con relajacin para resolver (=0.90 y a = 5%):-5 X1 + 12 X3 = 80

4 X1 1 X2 1 X3 = - 2

6 X1 + 8 X2 = 45

Si es necesario reordene las ecuaciones para que el sistema converja:

Si lo pasamos al formato de una matriz y su vector de resultados, obtenemos lo siguiente:

Verificando el criterio de convergencia mediante la siguiente ecuacin:

n

ijj

jiii aa1

,,


452

80

86114

125

3

2

1

xxx

Resolviendo esta ecuacin para un sistema de 3 x 3 obtenemos lo siguiente:

323133

232122

131211

aaa

aaa

aaa

Convergencia: Esto quiere decir que el elemento diagonal debe ser mayor al elemento fuera dela diagonal para cada fila. Por tanto reorganizamos el sistema de la siguiente forma

Por lo tanto se puede asegurar la convergencia con este arreglo.

Las siguientes frmulas las utilizamos para encontrar X1, X2 y X3 en cada una de las iteraciones.

11

31321211 a

xaxabx

22

32312122 a

xaxabx

33

23213133 a

xaxabx

anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1(

Para calcular el primer valor de X1, se asumirn X2 y X3 con valores cero. Entonces para X1,

50000,04

010124

112

1

1

321

11

31321211

x

x

xxx

axaxab

x


8045

2

12586

114

3

2

1

xxx

512

68

114

para calcular el valor de X2, se utilizar solamente el valor encontrado de X1, dado que a23 escero.

00000,68

)50000,0(6458645

2

2

12

22

32312122

x

x

xx

axaxabx

para calcular el valor de X3, se utilizar solamente el valor encontrado de X1, dado que a32 escero.

45833,612

)50000,0(58012

580

3

3

13

33

23213133

x

x

xx

axaxabx


Para la segunda iteracin, en el clculo de X1 el valor de X2 y X3 sern los calculados en laprimera iteracin, seguidamente se le aplicar la ponderacin con el factor . Entonces para X1,

61458,24

45833,610000,6124

112

1

1

321

11

31321211

x

x

xxx

axaxab

x

aplicando la ponderacin

30313,2

)50000,0()9,01(61458,29,0

)1(

1

1

111

nuevo

nuevo

anteriornuevonuevo

x

x

xxx


45833,600000,650000,0

3

2

1

xxx

para X2 se utiliza solamente el valor de X1 de la segunda iteracin, dado que a23 es cero.

89766,38

)30313,2(6458645

2

2

12

22

32312122

x

x

xx

axaxabx


10789,4

)00000,6()9,01(89766,39,0

)1(

1

1

222

nuevo

nuevo

anteriornuevonuevo

x

x

xxx

para X3 se utiliza solamente el valor de X1 calculado en la segunda iteracin, dado que a32 escero.

62630,712

)30313,2(58012

580

3

3

13

33

23213133

x

x

xx

axaxabx


50951,7

)45833,6()9,01(62630,79,0

)1(

3

3

333

nuevo

nuevo

anteriornuevonuevo

x

x

xxx

Entonces en la segunda iteracin

50951,710789,430313,2

3

2

1

xxx


Una vez obtenidos estos resultados, se debe calcular el error aproximado porcentual para cadauno de los resultados, para ello utilizamos la siguiente frmula:

Para X1,

Para X2,

Para X3,

Dado que en las tres incgnitas el error aproximado porcentual es mayor a un 5% se debe haceruna nueva iteracin. Se contina realizando el mismo procedimiento con los nuevos valores deX obtenidos hasta que los errores aproximados porcentuales en las tres incgnitas sean menoresque el 5%.


%100 nuevor

anteriorr

nuevor

a xxx

%5%71,121

%10030313,2

)50000,0(30313,2

%100

1

1

1

111

ax

ax

nuevo

anteriornuevo

ax xxx

%5%06,46

%10010789,4

00000,610789,4

%100

2

2

2

222

ax

ax

nuevo

anteriornuevo

ax xxx

%5%00,14

%10050951,7

45833,650951,7

%100

3

3

3

333

ax

ax

nuevo

anteriornuevo

ax xxx

El resultado de estas iteraciones siguiendo el mismo procedimiento, se presenta en la Tabla 7.

Tabla 7: Resultados de las iteraciones por el mtodo de Gauss_Seidel con Relajacincon un =0.9 del ejemplo 3 (ejercicio 11.9 pp. 321)

Iteracin x1 x2 x3 a x1 a x2 a x30 0,00000 0,00000 0,00000

1 -0,50000 6,00000 6,45833

2 2,30313 4,10789 7,50951 121,71% 46,06% 14,00%

3 2,39423 3,85719 7,64879 3,81% 6,50% 1,82%

4 2,37827 3,84289 7,65673 0,67% 0,37% 0,10%

Se resaltan los datos donde los errores obtenidos son menores que 5%, se logra un erroraproximado porcentual menor en las tres incgnitas en la cuarta iteracin. Por lo tanto losresultados aproximados que cumplen con la condicin establecida son:

65673,784289,337827,2

3

2

1

xxx


17 *(2,37827) 2 *(3,84289) 3 *(7,65673) = -1,98655

-5 *(2,37827) + 21 *(3,84289) 2 *(7,65673) = 45,01271

-5 *(2,37827) 5 *(3,84289) + 22 *(7,65673) = 79,98941


0,01%%10080

79,98941-80 Error

0,03%%10045

45,01271-45 Error

0,67%%1002-

(-1,98655)-2- Error

EC3

EC2

EC1



Si graficamos la convergencia de los datos por el mtodo de Gauss-Seidel sencillo y el que poseerelajacin se puede observar lo siguiente:

Como se puede ver el mtodo con relajacin amortigua las oscilaciones en los resultados hacia laconvergencia.


Ejercicios adicionalesSiguiendo los mismos procedimientos se resolvieron las ecuaciones del ejercicio 11.1 de lapgina 320 por el mtodo de Jacobi, el de Gauss-Seidel y el de Gauss-Seidel con relajacin, conel fin de poder comparar los tres mtodos. Se busca un error aproximado menor o igual al 5%.

Sistema tridiagonal del ejercicio 11.1

2 X1 1 X2 = 124

-1 X1 + 2 X2 1 X3 = 4

1 X2 + 2 X3 = 14

Si lo pasamos al formato de una matriz y su vector de resultados, obtenemos lo siguiente:

A continuacin se presentan los resultados obtenidos utilizando Excel.

Ejemplo 4Por el Mtodo de JacobiFrmulas:

Resultados obtenidos:

Iteracin X1 x2 x3 a x1 a x2 a x30 0,00000 0,00000 0,00000

1 62,00000 2,00000 7,00000

2 63,00000 36,50000 8,00000 1,587% 94,521% 12,500%

3 80,25000 37,50000 25,25000 21,495% 2,667% 68,317%

4 80,75000 54,75000 25,75000 0,619% 31,507% 1,942%

5 89,37500 55,25000 34,37500 9,650% 0,905% 25,091%

6 89,62500 63,87500 34,62500 0,279% 13,503% 0,722%

7 93,93750 64,12500 38,93750 4,591% 0,390% 11,075%

8 94,06250 68,43750 39,06250 0,133% 6,301% 0,320%

9 96,21875 68,56250 41,21875 2,241% 0,182% 5,231%


144

124

21121

12

3

2

1

xxx

%100 nuevor

anteriorr

nuevor

a xxx

33

23213133 a

xaxabx 11

31321211 a

xaxabx 22

32312122 a

xaxabx

10 96,28125 70,71875 41,28125 0,065% 3,049% 0,151%

En amarillo se resaltan los resultados que indican un error aproximado menor o igual al 5%, estoes oscilante, hasta la dcima iteracin se consigue un error aproximado en las tres incgnitas quesatisfaga el criterio de paro planteado.

Por lo tanto los resultados aproximados que cumplen con la condicin establecida son:

28125,4171875,7028125,96

3

2

1

xxx

Ejemplo 5Por el Mtodo de Gauss-SeidelFrmulas:


Iteracin x1 x2 x3 a x1 a x2 a x30 0,00000

1 62,00000 33,00000 23,50000

2 78,50000 53,00000 33,50000 21,019% 37,736% 29,851%

3 88,50000 63,00000 38,50000 11,299% 15,873% 12,987%

4 93,50000 68,00000 41,00000 5,348% 7,353% 6,098%

5 96,00000 70,50000 42,25000 2,604% 3,546% 2,959%

En amarillo se resaltan los resultados que indican un error aproximado menor o igual al 5%, seconsigue en la quinta iteracin un error aproximado en las tres incgnitas que satisfaga el criteriode paro planteado.


25000,4250000,7000000,96

3

2

1

xxx


%100 nuevor

anteriorr

nuevor

a xxx

33

23213133 a

xaxabx 11

31321211 a

xaxabx 22

32312122 a

xaxabx

Como se puede observar el resultado se obtuvo en la mitad de las iteraciones que se requirieroncon el mtodo de Jacobi.

Ejemplo 6Por el Mtodo de Gauss-Seidel con relajacin

Con = 1,20

Frmulas:


Iteracin x1 x2 x3 a x1 a x2 a x3

0 0,00000 0,00000 0,00000

1 62,00000 33,00000 23,50000

2 81,80000 58,98000 39,08800 24,205% 44,049% 39,879%

3 93,42800 70,11360 42,65056 12,446% 15,879% 8,353%

4 97,78256 72,63715 43,45218 4,453% 3,474% 1,845%

En amarillo se resaltan los resultados que indican un error aproximado menor o igual al 5%, seconsigue en la cuarta iteracin un error aproximado en las tres incgnitas que satisfaga el criteriode paro planteado.


45218,4363715,7278256,97

3

2

1

xxx

Como se observa el resultado se obtuvo en una iteracin menos que cuando se utiliz el mtodosin relajacin.


%100 nuevor

anteriorr

nuevor

a xxx

33

23213133 a

xaxabx 11

31321211 a

xaxabx 22

32312122 a

xaxabx

anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1(

Haciendo un resumen de los resultados obtenidos en la siguiente tabla:

Incgnita Valoresverdaderos IteracionesValores aproximados Errores verdaderos

Jacobi Seidel C/Relaj Jacobi Seidel C/RelajX1 98,5 10 96,281 96,000 97,783 2,25% 2,54% 0,73%

X2 73,0 5 70,719 70,500 72,637 3,13% 3,42% 0,50%

X3 43,5 4 41,281 42,250 43,452 5,10% 2,87% 0,11%

Se puede observar entonces que el mtodo de Jacobi es el que utiliza una mayor cantidad deiteraciones y que adems tiene errores mayores con respecto al valor verdadero.

En el caso de Seidel los errores son medianos, pero la cantidad de las iteraciones en muchomenor que en el caso de Jacobi.

Para el caso en el que se utiliza Gauss-Seidel con relajacin se obtienen valores ms cercanos alos verdaderos con una cantidad de iteraciones menor. Sin embargo el inconveniente radica en laeleccin del valor de para lo cual no hay un criterio establecido, ms que la experiencia.

Observando esto grficamente en cada una de las variables:


En modo grfico se observa que para las tres incgnitas con mtodo de Jacobi losresultados son ms oscilantes y convergen de forma ms lenta.

Por el Mtodo de Gauss-Seidel se da una convergencia relativamente rpida.

Si al Mtodo de Gauss-Seidel le aplicamos relajacin la convergencia es mucho msrpida hacia los valores verdaderos.

SntesisLa tcnica aproximada por conocer como mtodo de Gauss-Seidel, difiere de las tcnicas

exactas porque emplea un esquema iterativo para obtener, progresivamente, estimaciones mscercanas a la solucin. El efecto del error de redondeo es un punto discutible en el mtodo deGauss-Seidel, ya que se pueden continuar las iteraciones hasta que se obtenga la precisindeseada. Adems, se pueden desarrollar versiones del mtodo de Gauss-Seidel para utilizar demanera eficiente los requerimientos de almacenaje en computadora con sistemas dispersos. Enconsecuencia, la tcnica de Gauss-Seidel es til para grandes sistemas de ecuaciones, donde losrequerimientos de almacenaje podran llevar a problemas significativos con las tcnicas exactas.

La desventaja del mtodo de Gauss-Seidel es que no siempre converge o algunas vecesconverge de manera lenta a la solucin verdadera. Es confiable slo para aquellos sistemas queson diagonalmente dominantes. Sin embargo, los mtodos de relajacin contrarrestan talesdesventajas. Adems, como muchos sistemas de ecuaciones algebraicas lineales surgen desistemas fsicos que presentan dominancia diagonal, el mtodo de Gauss-Seidel tiene granutilidad para resolver problemas de ingeniera.

En resumen, varios factores sern relevantes en la eleccin de una tcnica para un problemaen particular que involucre ecuaciones algebraicas lineales. No obstante, como se mencionantes, el tamao y la densidad del sistema son factores particularmente importantes en ladeterminacin de su eleccin.

La figura 2 se emplea para resumir los algoritmos para solucionar ecuaciones algebraicas linealesy proporciona una visin general, que ser de gran ayuda para revisar y aclarar las principalesdiferencias entre los mtodos.

Figura 2: Resumen de pasos de los mtodos iterativos Jacobi,


Primera iteracin

Segunda iteracin

Gauss-Seidel Iterativo de Jacobi

anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1( Gauss-Seidel con relajacin

anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1( Gauss-Seidel con relajacin

Desplazamientosimultneo

Desplazamientosuccesivo

Gauss_Seidel sin y con relajacin

BIBLIOGRAFA

Steven Chapra, Raymond Canale. Mtodos numricos para ingenieros, cuarta edicin, 2003.pp 301-313, 320-321, 344-346.

The Jacobi Method, marzo 2004. (disponible enhttp:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node12.html)

The Gauss_Seidel Method, marzo 2004. (disponible enhttp:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node14.html)

The Successive Overrelaxation Method, marzo 2004. (disponible enhttp:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node15.html)


GAUSS-SEIDEL, JACOBI, RELAJACIN Y CONVERGENCIAConvergencia

Ejemplo 4Por el Mtodo de JacobiEjemplo 5Por el Mtodo de Gauss-SeidelEjemplo 6Por el Mtodo de Gauss-Seidel con relajacin

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