03 metodos iterativos

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 2: MÉTODOS PARA LA

SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES.

TÉCNICAS ITERATIVAS PARA

RESOLVER SISTEMAS LINEALES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Técnicas iterativas: Jacobi, Gauss – Seidel.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 77

2.6.- TÉCNICAS ITERATIVAS PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES.

La segunda parte de este capítulo presenta una alternativa a los métodos de

eliminación, es decir, métodos iterativos. Tales métodos son similares a las técnicas que se

desarrollaron en el capítulo 1 para obtener las raíces de una sola ecuación. Aquellos

métodos consistían en suponer un valor y luego usar un método sistemático para obtener

una aproximación mejorada de la raíz. Como esta parte del manual trata con un problema

similar (obtener los valores que simultáneamente satisfagan un conjunto de ecuaciones).

Entonces se esperaría que tales métodos aproximados fuesen útiles en este contexto.

Una técnica iterativa para resolver un sistema líneal bxA de nn empieza con

una aproximación inicial )0(x a la solución x, y genera una sucesión de vectores

0

)( }{ k

kx

que converge a x. La mayoría de estas técnicas iterativas involucran un proceso que

convierte el sistema bxA en un sistema equivalente de la forma cxTx para alguna

matriz T de nn y un vector c. Ya seleccionado el vector inicial )0(x la sucesión de

vectores de solución aproximadas se genera calculando cxTx para cada ...,3,2,1k

Este tipo de procedimiento nos recuerda a la iteración de punto fijo estudiada en el capítulo

1.

Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver sistemas lineales de

dimensión pequeña ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede

al de las técnicas directas como el método de eliminación Gaussiana. Sin embargo, para

sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, éstas técnicas son eficientes en términos

de almacenamiento en la computadora y del tiempo requerido. Los sistemas de este tipo

surgen frecuentemente en la solución numérica de problemas de valores en la frontera y de

ecuaciones diferenciales parciales.

El enfo que se da con los métodos de Jacobi y de Gauss – Seidel, los cuales emplean

valores iniciales y después iteran para obtener mejores aproximaciones a la solución.

Debido a que el error en el método de Jacobi y de Gauss – Seidel es determinado

por el número de iteraciones, el error de redondeo no es un tema que preocupe a estos

métodos. Aunque, existen ciertos ejemplos donde las técnicas de Jacobi y de Gauss – Seidel



no convergen al resultado correcto. Éstas y algunas otras ventajas y desventajas que se

tienen entre los métodos de eliminación e iterativos se analizarán en las páginas siguientes.

2.7.- NORMAS VECTORIALES.

Una norma es una función que toma valores reales y que proporciona una medida

del tamaño o “longitud” de entidades matemáticas multicomponentes, como los vectores.

Antes de considerar los métodos iterativos para resolver sistemas lineales, es

necesario encontrar un método para medir cuantitativamente la distancia entre vectores en

nR , el conjunto de todos los vectores columna con componentes reales, para poder

determinar cuándo la sucesión de vectores que resulta al usar una técnica iterativa converge

a la solución del sistema. En realidad, esta medida es también necesaria cuando la solución

se obtiene a partir de los métodos directos presentados en secciones anteriores, ya que estos

métodos requieren la realización de un número grande de operaciones aritméticas, y el uso

de aritmética de dígitos finitos lleva solamente a una aproximación de la solución real del

sistema.

Para definir una distancia en nR , usaremos la idea de la norma de un vector.

Como los vectores en nR son vectores columna, es conveniente usar la notación de

transpuesta cuando se represente un vector por medio de sus componentes. Por ejemplo, el

vector

nx

x

x

x2

1

se escribirá generalmente t

nxxxx )...,,( 21 .

Norma de un vector. Definición.

Las normas 2l y l para el vector t

nxxxx )...,,( 21 se definen como

21

1

2

2

n

i

ixx (2.26)

y



ini

xx

1

max (2.27)

La norma 2l se denomina frecuentemente norma Euclideana del vector x ya que representa

a la noción usual de distancia al origen en el caso en el que x esté en RR 1 , 2R ó 3R .

Ejemplo ilustrativo 2.

El vector tx )2,1,1( tienen normas

6411)2()1()1( 222

2x

y

2}2,1,1{max}2,1,1{max

x

Ya que la norma de un vector da una medida de la distancia entre el vector y el

origen, la distancia entre dos vectores se puede definir como la norma de la diferencia de

los vectores.

Distancia entre dos vectores. Definición.

Si t

nxxxx )...,,( 21 e t

nyyyy )...,,( 21 son vectores en nR , las distancias 2l y l entre x e

y se definen como

21

1

2

2

n

i

ii yxx (2.28)

y

iini

yxx

1

max (2.29)

Sucesiones convergentes. Definición.

Se dice que una sucesión

1

)( }{ k

kx de vectores en nR converge a x con respecto a la norma

. si, dado cualquier 0 , existe un entero )(N tal que

xx k )( para toda )(Nk

Teorema.

La sucesión de vectores }{ )(kx converge a x en nR con respecto a la norma

. si y sólo si

i

k

i xxk

)(lim para cada ni ...,,2,1 .



Matriz dominante diagonalmente. Definición.

Una matriz nn de A se llama dominante diagonalmente si

n

ijj

ijii aa1

para cada ni ...,,2,1 (2.30)

Ejercicios propuestos.

18. [BF] Encontrar

x y 2

x para los siguientes vectores:

a) tx ),0,4,3( 23

b) tx )4,3,1,2(

c) tkkkx )2,cos,sen ( para un entero positivo fijo k.

d)

t

kekkk

x

2

2,

2,

1

4 para un entero positivo fijo k.

19. [BF] Demostrar que las sucesiones siguientes son convergentes y encontrar sus límites.

a)

t

kk

ke

kx

2

1)( 2,,

1

b)

t

kk kkkex

2)( 3,

k

1sen ,cos

c)

t

kk kkkk

kekx

2)( ,

cos,

2

d)

t

k kkk

kex k

))12(...531(

1,

1

1,

22

2)(

1

2.8.- MÉTODO ITERATIVO DE JACOBI.

Suponga que se da un conjunto de n ecuaciones:

}{}{][ BXA

Suponga que se limita a un conjunto de ecuaciones de 33 :

E1: 1313212111 bxaxaxa (2.31a)

E2: 2323222121 bxaxaxa (2.31b)



E3: 3333232131 bxaxaxa (2.31c)

Si los elementos de la diagonal ( iia ) no son todos cero, la primera ecuación se puede

resolver para 1x , la segunda para 2x y la tercera para 3x , para obtener

11

31321211

a

xaxabx

(2.32a)

22

32312122

a

xaxabx

(2.32b)

33

23213133

a

xaxabx

(2.32c)

Ahora, se puede empezar el proceso de solución al escoger valores iniciales para los

x. Estos valores se sustituyen en las ecuaciones 2.32, las cuales se utilizan para calcular

nuevos valores 1x , 2x y 3x . Después se regresa a la primera ecuación y se repite todo el

procedimiento hasta que la solución converja suficientemente cerca a los valores

verdaderos.

En general, este método consiste en resolver la i-ésima ecuación de bxA para ix para

obtener, siempre y cuando 0iia , que

n

ijj ii

i

ii

iij

ia

b

a

xax

1

para ni ...,,2,1 (2.33)

y generar cada )(kx de las componentes )1( kx para 1k con

ii

n

ijj

i

k

iij

k

ia

bxa

x

1

)1(

)(

)(

para ni ...,,2,1 (2.34)

Esta técnica usa la ecuación 2.34 para calcular un conjunto de nuevas x con base en un

conjunto de x anteriores. De esta forma, conforme se generan nuevos valores, no se usan en

forma inmediata sino que se retienen para la siguiente iteración.

Se requiere que 0iia para cada ni ...,,2,1 . Si este no es el caso, se puede

realizar un reordenamiento de las ecuaciones para que ninguna 0iia , a menos que el



sistema sea singular. Se sugiere que las ecuaciones sean arregladas de tal manera que iia

sea lo más grande posible para acelerar la convergencia.

Criterio de convergencia para el método de Jacobi.

Observe que el método de Jacobi es similar en esencia a la técnica de iteración de punto fijo

que se usó en el capítulo 1 para obtener las raíces de una sola ecuación. recuerde que la

iteración de punto fijo presenta dos problemas fundamentales: 1. En algunas ocasiones no

es convergente, y 2. Cuando converge, con frecuencia lo hace en forma muy lenta. El

método de Jacobi también puede presentar estas desventajas.

Se ha demostrado que un criterio suficiente pero no necesario para la convergencia

es que el coeficiente diagonal en cada una de las ecuaciones debe ser mayor que la suma

del valor absoluto de los otros coeficientes de la ecuación. La generalización de lo anterior

para n ecuaciones es directa y se expresa como

n

ijj

ijii aa1

(2.35)

Es decir, el método puede funcionar aunque no se satisfaga la ecuación anterior, la

convergencia se garantiza cuando la condición se satisface. A los sistemas que cumplen con

la ecuación anterior se les conoce como diagonalmente dominantes. Por fortuna, en

ingeniería, muchos problemas de importancia práctica satisfacen este requerimiento.

Un criterio posible de paro es iterar hasta que )(

)1()(

k

kk

x

xx sea menor que alguna

tolerancia prescrita 0s . Para este propósito, se puede usar cualquier norma conveniente,

la que más se usa es la norma l .

La convergencia se verifica usando el criterio

sk

kk

kax

xx

100)(

)1()(

, (2.36)

Estimación inicial de la solución en los métodos iterativos.



La estimación inicial debería formar parte del planteamiento del problema. No

obstante, si no se proporciona, una forma simple para obtener los valores iniciales es

suponer que todos son cero.

Algoritmo iterativo de Jacobi.

Para resolver bxA con una aproximación inicial (0)x dada.

ENTRADA el número de ecuaciones e incógnitas n; las componentes jia , i1 , nj

de la matriz A; las componentes ib , ni 1 del término no homogéneo b ; las

componentes iXO , ni 1 de )0(0 xX ; la tolerancia TOL ; el número máximo de

iteraciones N.

SALIDA la solución aproximada 1x ,…, nx o un mensaje de que el número de

iteraciones fue excedido.

Paso 1 Tomar 1k .

Paso 2 Mientras que ( Nk ) seguir los pasos 3 – 6.

Paso 3 Para ni ,,1

tomar ii

i

n

ijj

jji

ia

bXOa

x

,1

Paso 4 Si TOLXx 0 entonces SALIDA ( 1x ,…, nx );

(Procedimiento completado satisfactoriamente)

PARAR.

Paso 5 Tomar 1 kk

Paso 6 Para ni ,,1 tomar ii xX 0 .

Paso 7 SALIDA (“Número máximo de iteraciones excedido”);

(Procedimiento completado sin éxito).

PARAR.

Ejemplo 2.22.

Emplee el método de Jacobi para resolver:



6210 321 xxx

25311 4321 xxxx

11102 4321 xxxx

1583 432 xxx

Use tres iteraciones y calcule el error en la última iteración. Si es necesario, reordene las

ecuaciones para que el sistema converja.

Solución.

La matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones es

8130

11012

31111

02110

la cual es diagonalmente dominante.

Una vez que se verifica que el arreglo corresponde a un sistema diagonalmente dominante

(lo cual garantiza la convergencia), se despeja ix de cada ecuación:

10

26 321

xxx

11

325 4312

xxxx

10

211 4213

xxxx

8

315 324

xxx

Las ecuaciones anteriores se escriben como:

10

26 )1(

3

)1(

2)(

1

kkk xx

x

11

325 )1(

4

)1(

3

)1(

1)(

2

kkkk xxx

x



10

211 )1(

4

)1(

2

)1(

1)(

3

kkkk xxx

x

8

315 )1(

3

)1(

2)(

4

kkk xx

x

Puesto que no se proporciona la estimación inicial en el planteamiento del problema,

tomamos:

0)0(

1 x

0)0(

2 x

0)0(

3 x

0)0(

4 x

Primera iteración ( 1k ):

6.010

)0(2)0(6

10

26 )0(

3

)0(

2)1(

1

xx

x

2727.211

)0(3)0()0(25

11

325 )0(

4

)0(

3

)0(

1)1(

2

xxx

x

1.110

)0()0()0(211

10

211 )0(

4

)0(

2

)0(

1)1(

3

xxx

x

875.18

)0()0(315

8

315 )0(

3

)0(

2)1(

4

xx

x

Segunda iteración ( 2k ):

0473.110

)1.1(2)2727.2(6

10

26 )1(

3

)1(

2)2(

1

xx

x

7159.111

)875.1(3)1.1()6.0(25

11

325 )1(

4

)1(

3

)1(

1)2(

2

xxx

x

8052.010

)875.1()2727.2()6.0(211

10

211 )1(

4

)1(

2

)1(

1)2(

3

xxx

x

8852.08

)1.1()2727.2(315

8

315 )1(

3

)1(

2)2(

4

xx

x

Tercera iteración ( 3k ):



9326.010

)8052.0(2)7159.1(6

10

26 )2(

3

)2(

2)3(

1

xx

x

0533.211

)8852.0(3)8052.0()0473.1(25

11

325 )2(

4

)2(

3

)2(

1)3(

2

xxx

x

0493.110

)8852.0()7159.1()0473.1(211

10

211 )2(

4

)2(

2

)2(

1)3(

3

xxx

x

1309.18

)8052.0()7159.1(315

8

315 )2(

3

)2(

2)3(

4

xx

x

Cálculo del error.

)(

)1()(

, k

kk

kax

xx

)3(

)2()3(

3,x

xxa

}1309.1,0493.1,0533.2,9326.0{max

}8852.01309.1,)8052.0(0493.1,7159.10533.2,0473.19326.0{max3,

a

}1309.1,0493.1,0533.2,9326.0{max

}2457.0,2441.0,3374.0,1147.0{max3, a

0533.2

3374.03, a

1643.03, a

La solución del sistema de ecuaciones planteado aplicando el método de Jacobi con tres

iteraciones es 9326.01 x , 0533.22 x , 0493.13 x y 1309.14 x con un error relativo

porcentual de aproximación de 16.43%.

En la tabla siguiente se resumen los resultados obtenidos en la solución del sistema.

Iteración Inicial 1 2 3

1x 0 0.6000 1.0473 0.9326

2x 0 2.2727 1.7159 2.0533

3x 0 -1.1000 -0.8052 -1.0493



4x 0 1.8750 0.8852 1.1309

Error

1.0000 0.5768 0.1643


20. [BF] Aplique si es posible, el algoritmo de Jacobi para resolver los siguientes sistemas

lineales, usando 0)0( x . Use 210TOL y el número máximo de iteraciones 25N .

a) 042 32 xx b) 910 21 xx

375.0321 xxx 7210 321 xxx

02 321 xxx 6102 32 xx

c) 12 321 xxx d) 32 1 x

0933 321 xxx 5.45.1 21 xx

4533 321 xxx 6.65.03 32 xx

8.022 4321 xxxx

e) 11102 321 xxx f) 024 21 xx

1183 432 xxx 252 321 xxx

6210 321 xxx 324 432 xxx

25311 4321 xxxx 232 43 xx

g) 04 421 xxx

54 5321 xxxx

04 632 xxx

64 541 xxx

24 6542 xxxx

64 653 xxx

21. [CC] El siguiente sistema de ecuaciones se diseña para determinar concentraciones (las

c están en g/m3) en una serie de reactores en serie, como función de la cantidad de masa de

entrada a cada uno de los reactores (el lado derecho está en g/d),



5003217 321 ccc

2002215 321 ccc

302255 321 ccc

Resuelva este problema con el método de Jacobi para %5s .

22. [CC] De los tres sistemas de ecuaciones lineales presentados a continuación, identifique

aquel que no resolvería usando un método iterativo como el de Jacobi. Muestre, usando

cualquier número de iteraciones, que es necesario que su solución no converja. Establezca

claramente su criterio de convergencia (cómo sabe que no converge?)

Sistema 1. Sistema 2. Sistema 3.

1238 321 xxx 854 321 xxx 75 321 xxx

176 31 xx 3322 321 xxx 44 321 xxx

542 321 xxx 12 32 xx 33 321 xxx

23. [WM] Aplique si es posible, el algoritmo de Jacobi para resolver el siguiente sistema

lineales, usando 0)0( x . Use 210TOL y el número máximo de iteraciones 5N .

422 321 xxx

3422 321 xxx

52 321 xxx

Observe lo que ocurre a partir de la tercera iteración.

2.9.- MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS – SEIDEL.

El método de Gauss – Seidel es el método iterativo más comúnmente usado.

Suponga que se da un conjunto de n ecuaciones:

}{}{][ BXA

Suponga que se limita a un conjunto de ecuaciones de 33 :

E1: 1313212111 bxaxaxa (2.31a)

E2: 2323222121 bxaxaxa (2.31b)

E3: 3333232131 bxaxaxa (2.31c)



Si los elementos de la diagonal ( iia ) no son todos cero, la primera ecuación se puede

resolver para 1x , la segunda para 2x y la tercera para 3x , para obtener

11

31321211

a

xaxabx

(2.32a)

22

32312122

a

xaxabx

(2.32b)

33

23213133

a

xaxabx

(2.32c)

Ahora, se puede empezar el proceso de solución al escoger valores iniciales para los

x. Estos valores se sustituyen en la ecuación 2.32a, la cual se utiliza para calcular un nuevo

valor 1x . Después, se sustituye este nuevo valor de 1x . Después, se sustituye este nuevo

valor de 1x junto con el valor previo de 3x en la ecuación 2.32b y se calcula el nuevo valor

de 2x . Este proceso se repite con la ecuación 2.32c para calcular un nuevo valor de 3x .

Después se regresa a la primera ecuación y se repite todo el procedimiento hasta que la

solución converja suficientemente cerca a los valores verdaderos.

Un análisis de la ecuación (2.32) sugiere una posible mejora en el método. En

general, para calcular )(k

ix , se usan las componentes de )1( kx . Como para 1i ,

)(

1

)(

2

)( ...,, k

i

kk

i xxx ya han sido calculadas y supuestamente son mejores aproximaciones a la

solución real 121 ,...,, ixxx que )1(

1

)1(

2

)1( ...,,

k

i

kk

i xxx , parece razonable calcular )(k

ix usando los

valores calculados más recientemente; es decir,

ii

i

n

ij

k

jij

i

j

k

jij

k

ia

bxaxa

x

1

)1(1

1

)(

)( (2.37)

para cada ni ...,,2,1 , en vez de la ecuación (2.34).

Algoritmo iterativo de Gauss - Seidel.

Para resolver bxA con una aproximación inicial (0)x dada.





componentes iXO , ni 1 de )0(0 xX ; la tolerancia TOL ; el número máximo de

iteraciones N.



Paso 1 Para 1k .


Paso 3 Para ni ,,1

tomar ii

i

n

ij

jji

i

j

jji

ia

bXOaxa

x

1

1

1



PARAR.

Paso 5 Tomar 1 kk




PARAR.

Ejemplo 2.23.

Emplee el método de Gauss – Seidel para resolver:

6210 321 xxx

25311 4321 xxxx

11102 4321 xxxx

1583 432 xxx



Use tres iteraciones y calcule el error en la última iteración. Si es necesario, reordene las

ecuaciones para que el sistema converja.

Solución.

La matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones es

8130

11012

31111

02110

la cual es diagonalmente dominante.



10

26 321

xxx

11

325 4312

xxxx

10

211 4213

xxxx

8

315 324

xxx


10

26 )1(

3

)1(

2)(

1

kkk xx

x

11

325 )1(

4

)1(

3

)(

1)(

2

kkkk xxx

x

10

211 )1(

4

)(

2

)(

1)(

3

kkkk xxx

x

8

315 )(

3

)(

2)(

4

kkk xx

x

Obsérvese que la fórmula iterativa para determinar 2x utiliza el 1x recién obtenido y 3x y

4x de la iteración anterior, mientras que para calcular 3x se utilizan los valores de 1x y 2x



obtenidos dentro de la misma iteración y 4x de la iteración anterior, teniéndose finalmente

que para calcular 4x se utilizan los valores 1x , 2x y 3x obtenidos dentro de la misma

iteración que se está desarrollando.

Puesto que no se proporciona la estimación inicial en el planteamiento del problema,

tomamos:

0)0(

1 x

0)0(

2 x

0)0(

3 x

0)0(

4 x


6.010

)0(2)0(6

10

26 )0(

3

)0(

2)1(

1

xx

x

3273.211

)0(3)0()6.0(25

11

325 )0(

4

)0(

3

)1(

1)1(

2

xxx

x

9873.010

)0()3273.2()6.0(211

10

211 )0(

4

)1(

2

)1(

1)1(

3

xxx

x

8789.08

)9873.0()3273.2(315

8

315 )1(

3

)1(

2)1(

4

xx

x


030.110

)9873.0(2)3272.2(6

10

26 )1(

3

)1(

2)2(

1

xx

x

037.211

)8789.0(3)9873.0()030.1(25

11

325 )1(

4

)1(

3

)2(

1)2(

2

xxx

x

014.110

)8789.0()037.2()030.1(211

10

211 )1(

4

)2(

2

)2(

1)2(

3

xxx

x

9844.08

)014.1()037.2(315

8

315 )2(

3

)2(

2)2(

4

xx

x




0065.110

)014.1(2)037.2(6

10

26 )2(

3

)2(

2)3(

1

xx

x

0036.211

)9844.0(3)014.1()0065.1(25

11

325 )2(

4

)2(

3

)3(

1)3(

2

xxx

x

0025.110

)9844.0()0036.2()0065.1(211

10

211 )2(

4

)3(

2

)3(

1)3(

3

xxx

x

9983.08

)0025.1()0036.2(315

8

315 )3(

3

)3(

2)3(

4

xx

x

Cálculo del error.

)(

)1()(

, k

kk

kax

xx

)3(

)2()3(

3,x

xxa

}9983.0,0025.1,0036.2,0065.1{max

}9844.09983.0,)014.1(0025.1,037.20036.2,030.10065.1{max3,

a

}9983.0,0025.1,0036.2,065.1{max

}0014.0,011.0,0334.0,035.0{max3, a

0036.2

035.03, a

0174.03, a

La solución del sistema de ecuaciones planteado aplicando el método de Gauss - Seidel con

tres iteraciones es 0065.11 x , 0036.22 x , 0025.13 x y 9983.04 x con un error

relativo porcentual de aproximación de 1.74%.

En la tabla siguiente se resumen los resultados obtenidos en la solución del sistema.

Iteración Inicial 1 2 3

1x 0 0.6000 1.0302 1.0066

2x 0 2.3273 2.0369 2.0036

3x 0 -0.9873 -1.0145 -1.0025



4x 0 0.8789 0.9843 0.9984

Error

1.0000 0.2112 0.0167

Los resultados de los ejemplos 2.22 y 2.23 parecen implicar que el método de Gauss

– Seidel es superior al método de Jacobi. Este es generalmente el caso, pero no es siempre

cierto. En realidad, hay sistemas lineales para los cuales el método de Jacobi converge y el

método de Gauss – Seidel no y otros para los cuales el método de Gauss – Seidel converge

y el método de Jacobi no.

Si bien es cierto que si la matriz de coeficientes es diagonalmente dominante,

entonces la convergencia está garantizada, también es cierto que es posible que un sistema

que no cumpla con esta condición también converja a la solución del sistema.

Solución del sistema de ecuaciones aplicando el Método Iterativo de Gauss – Seidel

mediante la calculadora.

CASIO fx-570ES PLUS.

Utilizando las variables disponibles en la calculadora y la opción de operaciones

simultáneas, es posible resolver un sistema de ecuaciones aplicando el método de Gauss –

Seidel. En este sentido, una vez realizados los despejes convenientes podemos ingresar

cada ecuación. Las incógnitas del sistema junto con la combinación de teclas en la

calculadora serán:

Ax 1 : ALPHA , (–)

Bx 2 : ALPHA , º ´ ´´

Cx 3 : ALPHA , hyp

Dx 4 : ALPHA , sin

Símbolo de igualdad (=): ALPHA , CALC

Símbolo de operaciones simultáneas (:) : ALPHA , ʃ

Para ingresar las ecuaciones que permiten determinar las incógnitas en cada iteración del

ejemplo 2.23 procedemos de la siguiente manera:

Limpiar la memoria: SHIFT , 9 , 3, = , AC.

Ingresar las ecuaciones iterativas:



A , = , ( , 6 , + , B , – , 2 , C , ) , ÷ , 1 , 0 , : , B , = , ( , 2 , 5 , + , A , + , C, – , 3 , D , ) , ÷ , 1 ,

1, =, C , = , ( , (–) , 1 , 1 , – , 2 , A , + , B, + , D , ) , ÷ , 1 , 0 , : , D , = , ( , 1 , 5 , – , 3 , B , + ,

C , ) , ÷ 8

Al presionar la tecla CALC, la calculadora solicita los valores correspondientes a la

estimación inicial, comenzando con la variable B.

B? R Math

0

Ingresar la estimación inicial de B y presionar la tecla =. El display muestra:

C? R Math

0

Ingresar la estimación inicial de C y presionar la tecla =. El display muestra:

D? R Math

0

Ingresar la estimación inicial de D y presionar la tecla =. El display muestra:

A=(6+B–2C)÷10 R Math

0.6

Este valor es la primera estimación para la incógnita A. Al presionar la tecla = obtenemos:

B=(25+A+C–3D)÷11 R Math

2.327272727

Este valor es la primera estimación para la incógnita B. Al presionar la tecla = obtenemos:

C=(–11–2A+B+D) ÷ R Math

–0.9872727273

Este valor es la primera estimación para la incógnita C. Al presionar la tecla = obtenemos:

D=(15–3B+C) ÷8 R Math

0.8788636364

Este valor es la primera estimación para la incógnita D.

Para obtener los resultados correspondientes a la segunda iteración, presionar la tecla = y la

calculadora solicita el valor de B, presionar = (con esto estamos dejando como B el último

valor calculado) e igual hacemos con C y con D.

Los valores correspondientes a la segunda iteración que obtenemos son:

A=(6+B–2C)÷10 R Math

1.030181818



B=(25+A+C–3D)÷11 R Math

2.036938017

C=(–11–2A+B+D) ÷ R Math

–1.014456198

D=(15–3B+C) ÷8 R Math

0.984341219

Al presionar la tecla = sucesivamente se obtienen las estimaciones de cada una de las

incógnitas de la ecuación en cada iteración.

Ejemplo 2.24.

Emplee el método de Gauss – Seidel para resolver:

12 321 xxx

522 321 xxx

4322 321 xxx

Solución.

No es posible arreglar las ecuaciones de tal manera que la matriz de coeficientes sea

diagonalmente dominante, sin embargo, los arreglos posibles para el sistema de ecuaciones

son:


522 321 xxx 522 321 xxx 4322 321 xxx

4322 321 xxx 12 321 xxx 522 321 xxx

12 321 xxx 4322 321 xxx 12 321 xxx


4322 321 xxx 12 321 xxx 12 321 xxx

12 321 xxx 522 321 xxx 4322 321 xxx



522 321 xxx 4322 321 xxx 522 321 xxx

La matriz de coeficientes de cada sistema es:


211

322

212

322

211

212

211

212

322


212

211

322

322

212

211

212

322

211

Ninguna de las cuales es diagonalmente dominante. Cuando se aplica el método de Gauss -

Seidel a estos sistemas con la estimación inicial tx ]000[)0( se obtiene que el sistema

1 converge a la solución tx ]214[)0( mientras que los sistemas 2, 3, 4, 5 y 6

divergen. No existe una regla general en estos casos.


24. Repetir el ejercicio 20 usando el método de Gauss – Seidel.

25. [CC] El siguiente sistema de ecuaciones se diseña para determinar concentraciones (las

c están en g/m3) en una serie de reactores en serie, como función de la cantidad de masa de

entrada a cada uno de los reactores (el lado derecho está en g/d),

5003217 321 ccc

2002215 321 ccc

302255 321 ccc

Resuelva este problema con el método de Gauss - Seidel para %5s .

26. [CC] Utilice el método de Gauss – Seidel para resolver el sistema tridiagonal siguiente:

14

4

124

210

121

012

3

2

1

x

x

x



%5s

2.10.- MÉTODO DE RELAJACIÓN.

La relajación representa una ligera modificación al método de Gauss – Seidel y ésta

permite mejorar la convergencia. Después de que se calcula cada nuevo valor de x por

medio de la ecuación (2.37) , ese valor se modifica mediante un promedio ponderado de los

resultados de las iteraciones anterior y actual:

)1()()( )1( k

i

k

i

k

i xxx (2.38)

donde es un factor ponderado que tiene un valor entre 0 y 2.

Si 1 , 1 es igual a cero y el resultado no se modifica. Sin embargo, si a se

le asigna un valor entre 0 y 1, el resultado es un promedio ponderado de los resultados

actuales y anteriores. Este tipo de modificación se conoce como subrelajación. Se emplea

comúnmente para hacer que un sistema no convergente, converja o apresure la

convergencia al amortiguar sus oscilaciones.

Para valores de de 1 a 2, se le da una ponderación extra al valor actual. En este

caso hay una suposición implícita de que el nuevo valor se mueve en la dirección correcta

hacia la solución verdadera, pero con una velocidad demasiado lenta. Por lo tanto, se

pretende que la ponderación adicional de mejore la aproximación al llevarla más cerca

de la verdadera. De aquí que este tipo de modificación, al cual se le llama sobrerrelajación,

permite acelerar la convergencia de un sistema que ya es convergente. El método también

se le conoce como sobrerrelajación simultánea o sucesiva, o SOR (Syccessive Over

Relaxation).

La elección de un valor adecuado de es especificado por el problema y se

determina en forma empírica. Para la solución de un solo sistema de ecuaciones, con

frecuencia es innecesaria. No obstante, si el sistema bajo estudio se va a resolver de manera

repetida, la eficiencia que se introduce por una prudente elección de puede ser

importante en extremo. Buenos ejemplos de lo anterior son los sistemas muy grandes de

ecuaciones diferenciales parciales, que frecuentemente se presentan cuando se modelan

variaciones continuas de variables.



Algoritmo métodos de relajación.

Para resolver bxA dados el parámetro y la aproximación inicial (0)x dada.



componentes iXO , ni 1 de )0(0 xX ; el parámetro , la tolerancia TOL ; el número

máximo de iteraciones N.



Paso 1 Tomar 1k .


Paso 3 Para ni ,,1

tomar ii

i

n

ij

jji

i

j

jji

iia

bXOaxa

Xx

1

1

10)1(



PARAR.

Paso 5 Tomar 1 kk




PARAR.

Ejemplo 2.25.

Emplee el método de Gauss – Seidel y Gauss – Seidel con relajación para resolver:

2434 21 xx

3043 321 xxx



244 32 xx

con la estimación inicial tx )1,1,1()0( . Use tres iteraciones y calcule el error en la última

iteración. Si es necesario, reordene las ecuaciones para que el sistema converja.

Solución.

Aplicación del método de Gauss – Seidel.



4

324 21

xx

4

330 312

xxx

4

24 23

xx


4

324 )1(

2)(

1

kk x

x

4

330 )1(

3

)(

1)(

2

kkk xx

x

4

24 )(

2)(

3

kk x

x

La estimación inicial es:

1)0(

1 x

1)0(

2 x

1)0(

3 x


25.54

)1(324

4

324 )0(

2)1(

1

x

x

8125.34

)1()25.5(330

4

330 )0(

3

)1(

1)1(

2

xx

x



046875.54

)8125.3(24

4

24 )1(

2)1(

3

x

x


140625.34

)8125.3(324

4

324 )1(

2)2(

1

x

x

8828125.34

)046875.5()140625.3(330

4

330 )1(

3

)2(

1)2(

2

xx

x

0292969.54

)8828125.3(24

4

24 )2(

2)2(

3

x

x


0878906.34

)8828125.3(324

4

324 )2(

2)3(

1

x

x

9267578.34

)0292969.5()0878906.3(330

4

330 )2(

3

)3(

1)3(

2

xx

x

0183105.54

)9267578.3(24

4

24 )3(

2)3(

3

x

x

Cálculo del error.

)(

)1()(

, k

kk

kax

xx

)3(

)2()3(

3,x

xxa

}0183105.5,9267578.3,0878906.3{max

})0292969.5(0183105.5,8828125.39267578.3,1406250.30878906.3{max3,

a

}0183105.5,9267578.3,0878906.3{max

}0109864.0,0439453.0,0527344.0{max3, a

0183105.5

0527344.03, a

0105084.03, a




tres iteraciones es 0878906.31 x , 9267578.32 x y 0183105.53 x con un error

relativo porcentual de aproximación de 1.05%.

Aplicación del método de Gauss – Seidel con relajación ( 25.1 ).



4

324 21

xx

4

330 312

xxx

4

24 23

xx


4

324 )1(

2)(

1

kk x

x

4

330 )1(

3

)(

1)(

2

kkk xx

x

4

24 )(

2)(

3

kk x

x

Y las fórmulas iterativas para la aplicación del método son:

)1(

1

)(

1

)(

1 )1( kkk xxx

)1(

1

)1(

2)(

1 )25.11(4

32425.1

k

kk x

xx

5.79375.025.0 )1(

2

)1(

1

)(

1 kkk xxx

)1(

2

)(

2

)(

2 )1( kkk xxx

)1(

2

)1(

3

)(

1)(

2 )25.11(4

33025.1

k

kkk x

xxx



375.93125.025.09375.0 )1(

3

)1(

2

)(

1

)(

2 kkkk xxxx

)1(

3

)(

3

)(

3 )1( kkk xxx

)1(

3

)(

2)(

3 )25.11(4

2425.1

k

kk x

xx

5.725.03125.0 )1(

3

)(

2

)(

3 kkk xxx

La estimación inicial es:

1)0(

1 x

1)0(

2 x

1)0(

3 x


5.79375.025.0 )0(

2

)0(

1

)1(

1 xxx

5.7)1(9375.0)1(25.0)1(

1 x

3125.6)1(

1 x

375.93125.025.09375.0 )0(

3

)0(

2

)1(

1

)1(

2 xxxx

375.9)1(3125.0)1(25.0)3125.6(9375.0)1(

2 x

5195313.3)1(

2 x

5.725.03125.0 )0(

3

)1(

2

)1(

3 xxx

5.7)1(25.0)5195313.3(3125.0)1(

3 x

6501465.6)1(

3 x


5.79375.025.0 )1(

2

)1(

1

)2(

1 xxx

5.7)5195313.3(9375.0)3125.6(25.0)2(

1 x



6223145.2)2(

1 x

375.93125.025.09375.0 )1(

3

)1(

2

)2(

1

)2(

2 xxxx

375.9)6501465.6(3125.0)5195313.3(25.0)6223145.2(9375.0)2(

2 x

9585266.3)2(

2 x

5.725.03125.0 )1(

3

)2(

2

)2(

3 xxx

5.7)6501465.6(25.0)9585266.3(3125.0)2(

3 x

6004238.4)2(

3 x


5.79375.025.0 )2(

2

)2(

1

)3(

1 xxx

5.7)9585266.3(9375.0)6223145.2(25.0)3(

1 x

1333027.3)3(

1 x

375.93125.025.09375.0 )2(

3

)2(

2

)3(

1

)3(

2 xxxx

375.9)6004238.4(3125.0)9585266.3(25.0)1333027.3(9375.0)3(

2 x

010264.4)3(

2 x

5.725.03125.0 )2(

3

)3(

2

)3(

3 xxx

5.7)6004238.4(25.0)0102646.4(3125.0)3(

3 x

0966863.5)3(

3 x

Cálculo del error.

)(

)1()(

, k

kk

kax

xx



)3(

)2()3(

3,x

xxa

}0966863.5,0102646.4,1333027.3{max

})6004238.4(0966863.5,9585266.30102646.4,6223145.21333027.3{max3,

a

}0966863.5,0102646.4,1333027.3{max

}4962625.0,051738.0,5109882.0{max3, a

0966863.5

5109882.03, a

1002554.03, a


relajación y tres iteraciones es 1333027.31 x , 0102646.42 x y 0966863.53 x con un

error relativo porcentual de aproximación de 10.02%.


27. [CC] Emplee el método de Gauss – Seidel con relajación para resolver ( 90.0 y

%5s ):

80125 31 xx

24 321 xxx

4586 21 xx

28. [BF] Repetir el ejercicio 20 usando el método SOR con 2.1 .

29. [BF] Resuelva los siguientes sistemas lineales usando el algoritmo SOR con los valores

especificados de y lo mismos valores de TOL y N que en el ejercicio 16.

a) Ejercicio 19b con 5.0 y 1.1

b) Ejercicio 19g con 334.1 , 95.1 y 95.0 .

2.11.- APLICACIONES.

Física.

30. [CC] Considere los vectores

kajiA 32



kjibB 4

kjciC 23

Si el vector A es perpendicular al vector B, así como al vector C. Se sabe también que

2. CB . Utilice cualquiera de los métodos estudiados en este capítulo para encontrar el

valor de las tres incógnitas a, b y c.

31. [CC] Considere los vectores siguientes

kcjbiaA

kjiB 42

kjiC 23

Donde A es un vector incógnita. Si kcjbibaCABA )14()23()5()()(

Use cualquiera de los métodos estudiados en este capítulo para encontrar el valor de las

incógnitas a, b y c.

Matemáticas.

32. [CC] Sea la función )(xf definida en el intervalo ]2,0[ como sigue

21si

10si)(

xdxc

xbxaxf

Determine las constantes a, b, c y d de manera que la función f satisfaga lo siguiente:

a) 1)2()0( ff

b) f es continua en todo el intervalo.

c) 4ba .

Ingeniería Química.

33. [CC] El siguiente sistema de ecuaciones está diseñado para determinar concentraciones

(las c están en g/m3), en una serie de reactores en serie como una función de la cantidad de

masa que entra a cada reactor (el lado derecho se expresa en g/día).

5003217 321 ccc

2002215 321 ccc

302255 321 ccc



a) Utilice cualquier medio a su alcance para determinar la matriz inversa.

b) Use la matriz inversa para determinar las concentraciones.

Ingeniería industrial.

34. [CC] Un ingeniero civil para hacer una construcción requiere 4800, 5810 y 5690 m3 de

arena, de grava fina y de grava gruesa respectivamente, para un proyecto de construcción.

Existen tres minas de las que se pueden extraer los materiales. La composición de estas

canteras es

Arena (%) Grava fina (%) Grava gruesa

(%)

Cantera 1 52 30 18

Cantera 2 20 50 30

Cantera 3 25 20 55

¿Cuántos metros cúbicos se deben extraer de cada mina para satisfacer las necesidades del

ingeniero?

35. [CC] Una compañía electrónica produce transistores, resistores y chips para

computadoras. Cada transistor requiere tres unidades de cobre, una unidad de zinc y dos

unidades de vidrio. Cada resistor requiere tres, dos y una unidades de los tres materiales,

respectivamente, y cada chip para computadora requiere dos, una y dos unidades de estos

materiales, respectivamente. Poniendo esta información en una tabla tenemos:

Cobre Zinc Vidrio

Transistores 3 1 2

Resistores 3 2 1

Chips 2 1 2

El suministro de estos materiales varía de semana a semana, de manera que la compañía

necesita determinar diferentes cantidades de producción cada semana. Por ejemplo, una

semana las cantidades totales de materiales disponibles son 810 unidades de cobre, 410

unidades de zinc y 490 unidades de vidrio.

Establezca un sistema de ecuaciones que modele la producción para encontrar el

número de transistores, resistores y chips de computadora a fabricar esta semana.

36. [JA] Una planta de fertilizantes produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene

25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50%



de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, tiene 75% de nitrato y 25% de

fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de

nitrato y de 3 toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de cada tipo de fertilizante deberá

producir de modo que agote los suministros de ingredientes?

37. [JA] Una compañía de carga transportó tres tipos de flete en su transporte aéreo ligero.

El espacio requerido por cada unidad de los tres tipos de carga eran de 5, 2 y 4 pies cúbicos,

respectivamente. Cada unidad de los tres tipos de carga pesó 2, 3 y 1 kilogramos,

respectivamente, mientras que los valores unitarios de los tres tipos de carga fueron $10,

$40 y $60, respectivamente. Determine el número de unidades de cada tipo de carga

transportada si el valor total de la carga fue de $13500, ocupó 1050 pies cúbicos de espacio

y pesó 550 kilogramos.

38. [JA] Una pequeña compañía constructora ofrece tres tipos de casas. El primer tipo de

casa requiere 3 unidades de concreto, 2 unidades de madera para cancelería y 5 unidades de

madera para estructuras. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 5 y 4, 2, 6 unidades,

respectivamente, de concreto, madera para cancelería y madera para estructuras. Si cada

mes la compañía dispone de 150 unidades de concreto, 100 unidades de madera para

cancelería y 250 unidades de madera para estructuras, calcule el número de diferentes tipos

de casas que la compañía podrá construir al mes si usa todos los materiales que dispone.

39. [JA] Repita el ejercicio 38 si el número de unidades de concreto, madera para

cancelería y madera para estructuras son 100, 80 y 200 respectivamente.

40. [JA] Una empresa elabora tres productos A, B y C, los cuales deben procesarse por tres

máquinas I, II y III. Una unidad de A requiere 3, 1 y 8 horas de procesamiento en las

máquinas, mientras que 1 unidad de B requiere 2, 3, 3 y una unidad de C necesita 2, 4 y 2

horas en las máquinas. Se dispone de las máquinas I, II y III por 800, 1200 y 1300 horas,

respectivamente. ¿Cuántas unidades de cada producto pueden elaborarse usando todo el

tiempo disponible en las máquinas?

41. [JA] En el ejercicio 40, ¿cuántas unidades de A, B y C pueden producirse si se dispone

de las máquinas por 900, 1200 y 1500 horas, respectivamente?



42. [JA] Una empresa produce tres productos A, B y C los que procesa en tres máquinas. El

tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres

máquinas está dado por:

A B C

Máquina I 3 1 2

Máquina II 1 2 4

Máquina III 2 1 1

Se dispone de la máquina I por 850 horas, la II por 1200 horas y la III por 550 horas.

¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el

tiempo disponible de las máquinas?

43. [JA] Un contratista dispone de 5000 horas-hombre de mano de obra para tres proyectos.

Los costos por hora-hombre de los tres proyectos son $8, $10 y $12, respectivamente, y el

costo total es de $53000. Si el número de horas-hombre para el tercer proyecto es igual a la

suma de las horas-hombre requeridas por los dos primeros proyectos, calcule el número de

horas-hombre de que puede disponerse en cada proyecto.

44. [JA] Una persona invierte un total de $25000 en tres diferentes inversiones al 8, 10 y

12%. Los intereses totales al cabo de un año fueron de $2440 y los intereses por las

inversiones al 8 y 12% fueron iguales. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?

45. [JA] Una persona invirtió un total de $20000 en tres inversiones al 6, 8 y 10%. El

ingreso anual total fue de $1624 y el ingreso de la inversión al 10% fue dos veces el ingreso

de la inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada inversión?

Problemas mal condicionados.

Los problemas sin solución única se pueden identificar con relativa facilidad. De cualquier

forma, si uno de estos problemas se trata de resolver, la computadora se detendrá.

Sin embargo, ciertos problemas tienen solución, aunque sus soluciones se vuelven

muy imprecisas debido a severos errores de redondeo. Los problemas de este tipo se llaman

problemas mal condicionados.

La matriz A de un problema mal condicionado tiene las siguientes características:



a) Un ligero cambio en los coeficientes (o elementos de la matriz) provoca cambios

significativos en la solución.

b) Los elementos de la diagonal de la matriz de coeficientes tienden a ser menores que los

elementos que no pertenecen a la diagonal.

c) El resultado de 11)( A es muy distinto de A.

d) 1 AA difiere en grado sumo de la matriz identidad.

e) 111 )( AA difiere más de la matriz identidad que lo que difiere 1 AA .

El pivoteo analizado antes mejora la exactitud de la solución si el problema está más o

menos mal condicionado, pero en el caso de los problemas mal condicionados, el solo uso

del pivoteo no salva la exactitud. El mejor remedio es aumentar la precisión del cálculo.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

2.7.- NORMAS VECTORIALES.

18. a) 4, 5.220153; b) 4, 5.477226; c) k2 , 21

)41( k ; d) 1

4

k,

21

24

42

4

)1(

16

kekkk

19. a) t)0,0,0( ; b) t)3,1,0( ; c) t),0,0( 21 ; d) t)1,1,1(

2.8.- MÉTODO ITERATIVO DE JACOBI.

20. a) No se puede aplicar el método; b) 995550.0)5(

1 x , 957250.0)5(

2 x , 791100.0)5(

3 x

; c) 967688.0)9(

1 x , 984962.1)9(

2 x , 974861.0)9(

3 x ; d) 5.1)5(

1 x , 2)5(

2 x , 2.1)5(

3 x

, 3)5(

4 x ; e) 1.104104)6(

1 x , 2.990696)6(

2 x , 1.020760)6(

3 x , 2.624412)6(

4 x ; f)

0.488371)10(

1 x , 0.984568)10(

2 x , 1.973484)10(

3 x , 1.972614)10(

4 x ; g)

0.994525)10(

1 x , 1.984514)10(

2 x , 0.994525)10(

3 x , 1.989050)10(

4 x , 0.992257)10(

5 x ,

1.989050)10(

6 x .

21. 651513.33)4(

1 c , 578760.18)4(

2 c , 953839.12)4(

3 c .

22. No se debe resolver el sistema 2 aplicando un método iterativo. La matriz de

coeficientes no es dominante diagonalmente.

23. 5.2)5(

1 x , 25.3)5(

2 x , 125.2)5(

3 x . A partir de la tercera iteración se obtiene la

solución exacta del sistema.

2.9.- MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS – SEIDEL.


1 x , 0.957874)4(

2 x , 0.791575)4(

3 x

; c) 988700.0)9(

1 x , 996176.1)9(

2 x , 994959.0)9(

3 x ; d) 5.1)2(

1 x , 2)2(

2 x ,

2.1)2(

3 x , 3)2(

4 x ; e) 1.102895)6(

1 x , 2.995686)6(

2 x , 1.021011)6(

3 x ,

2.626008)6(

4 x ; f) 0.493283)7(

1 x , 0.994251)7(

2 x , 1.993459)7(

3 x , 1.995639)7(

4 x ;

g) 0.998745)8(

1 x , 1.998928)8(

2 x , 0.999543)8(

3 x , 1.999242)8(

4 x , 0.999353)8(

5 x ,

1.999724)8(

6 x .

25. 33.929308)3(

1 c , 18.858685)3(

2 c , 13.360907)3(

3 c .

26. 69)5(

1 x , 5.07)5(

2 x , 25.24)5(

3 x .

2.10.- MÉTODO DE RELAJACIÓN.

27. 2.356800)3(

1 x , 3.894923)3(

2 x , 7.618029)3(

3 x .


1 x , 0.957551)5(

2 x , 0.791456)5(

3 x

; c) El método diverge; d) 5.1)2(

1 x , 2)2(

2 x , 2.1)2(

3 x , 3)2(

4 x ; e) 1.102895)4(

1 x ,

2.995686)4(

2 x , 1.021011)4(

3 x , 2.626008)4(

4 x ; f) 0.493283)7(

1 x , 0.994251)7(

2 x ,

1.993459)7(

3 x , 1.995639)7(

4 x ; g) 1.000611)7(

1 x , 2.000563)7(

2 x , 1.000717)7(

3 x ,

2.000001)7(

4 x , 1.000083)7(

5 x , 1.999940)7(

6 x .



29. a) 5.0 : 0.990010)9(

1 x , 0.948966)9(

2 x , 0.785492)9(

3 x ;

1.1 : 0.995253)4(

1 x , 0.957979)4(

2 x , 0.791627)4(

3 x .

b) 334.1 : 1.001270)7(

1 x , 2.001007)7(

2 x , 1.001211)7(

3 x , 999789.1)7(

4 x ,

999873.0)7(

5 x , 1.999668)7(

6 x ;

95.1 : 1.000878)107(

1 x , 2.001196)107(

2 x , 1.007145)107(

3 x , 998546.1)107(

4 x ,

1.007181)107(

5 x , 1.997021)107(

6 x ;

95.0 : 992175.0)7(

1 x , 992795.1)7(

2 x , 996686.0)7(

3 x , 994909.1)7(

4 x ,

995315.0)7(

5 x , 1.997845)7(

6 x .

2.11.- APLICACIONES.

Ingeniería industrial.

34. Se deben extraer 4011.627907 m3, 7162.790698 m

3 y 5125.581395 m

3 de las canteras

1, 2 y 3 respectivamente.

35. 810233 321 xxx

4102 321 xxx

49022 321 xxx

Se pueden fabricar 100, 110 y 90 transistores, resistores y chips respectivamente.

36. 45/14 ton del tipo A, 65/14 ton del tipo B y 23/14 ton del tipo C,

37. 50, 100 y 150 unidades de tipo I, II y III respectivamente.

38. Si x, y y z denotan, respectivamente, el número de casa de primero, segundo y tercer

tipo que pueden producirse, entonces )0,0,50(),,( zyx , )5,2,42( , )10,4,34( ,

)15,6,26( , )20,8,18( , )25,10,10( , )30,12,2( .

39. No hay solución.



42. 100, 150 y 200 unidades de A, B y C.

43. 1000, 1500 y 2500 horas-hombre para el primer, segundo y tercer proyecto,

respectivamente.

44. $1200 a 6%, $16400 a 8%, $2400 a 10%.

45. $6000 a 6%, $7200 a 10%, $6800 a 8%.



BIBLIOGRAFÍA.

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Economía, 4ª ed., Pearson Educación de México, S.A. de C. V, México, 2002; 842 pp.

CHAPRA, S. C., y CANALE, R. P, Métodos Numéricos para Ingenieros, 4a ed., McGraw-

Hill Interamericana de Editores, S.A. de C.V, México, 2003; 969 pp.

CHAPRA, S. C., y CANALE, R. P, Métodos Numéricos para Ingenieros, 5a ed., McGraw-

Hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V, México, 2007; 969 pp.

FAIRES, J. D., y R. L. BURDEN, Análisis Numérico, 2a ed., Grupo Editorial

Iberoamericana, S.A. de C.V, México, 1985; 721 pp.

FAIRES, J. D., y R. L. BURDEN, Análisis Numérico, 7a ed., International Thomson

Editores, S.A. de C.V, México, 2002; 839 pp.

NAKAMURA, S, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Prentice-Hall

Hispanoamericana, S.A., México, 1992; 570 pp.

03 metodos iterativos

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