Métodos

iterativos

Alumno:

Fernando Luz Santiago

Métodos iterativos :

Es un método que va calculando

aproximaciones progresivamente a la

solución de un problema.

A diferencia de los métodos directos, en

los cuales se debe terminar el proceso

para tener la respuesta, en los métodos

iterativos se puede suspender el proceso

al termino de una iteración y se obtiene

una aproximación a la solución.

Método iterativo general

Pasos…

3.- se repite el paso 2 pero usando como semilla la

aproximación obtenida.

2.- ejecuta una serie de cálculos para obtener o

construir una mejor aproximación partiendo de la

aproximación semilla.

1.- Inicia con una solución aproximada (Semilla)

Ejemplo ..Encontrar una raíz a una ecuación

cuadrática

Un método directo para resolverlo es aplicar la fórmula

generalUn método iterativo es el método de Newton que consiste en

usar la fórmula de mejora:

En donde aumenta con respecto al número de

iteraciones que se vallan realizando y, es la

aproximación y el resultado de las iteraciones que se ha

realizado.

En este caso la ecuación anterior queda …

Ecuación

Derivada

Si tomamos como primera aproximación x0 = 3 (para i = 0),

tendremos

Ahora tomamos como aproximación x1 = 2.2 y aplicamos de

nuevo la fórmula

Ventaja y desventajas de los métodos

iterativos Solo calculan aproximaciones al resultado obtenido en los

métodos directos

Se usan cuando no se conoce un método para obtener la

solución exacta

Se utilizan también cuando el método para obtener la solución

exacta requiere mucho tiempo de calculo y cuando el número

de iteraciones es relativamente reducido

Método de Gacobi

Consiste en remplazar en determinada

ecuación ciertos valor es y repetir los

cálculos una determinada cantidad de veces

hasta encontrar la respuesta mas exacta al

sistema de ecuaciones

5x + 2y =1 x=1

x - 4y = 0 y=2

Despegar las variables de la diagonal

Resolver las ecuaciones tomando los

resultados de las iteraciones

Ejemplo

Tomamos los valores de la primera iteración

para realizar la segunda iteración y así

sucesivamente hasta que los valeres de las

iteraciones se repitan.

Como se muestra en la siguiente tabla….

Formula para detener las iteraciones

De la cual solo tomamos los valores mas

grandes excepto cuando los valores de

Xi+1 y

Yi+1 se repitan como es el caso de la

ultima iteración en donde se toma .001

Si sustituimos los valores resaltados en las

ecuaciones de recurrencia, los resultados

que obtendremos serán los mismos, lo que

indica que son los valores

mas exactos

Formulas para calcular los errores

relativos en ecuaciones de 3 x 3

Método de Gauss Seidel Pasos……….

1.- verificar si el sistema es convergente

3.- despejar las incógnitas que se encuentran

en la diagonal

2.-definir valores iniciales

4.- resolver operaciones

5.- Realizar prueba de escritorio

Ejemplo

4x + 2y = 6 x=0

2x + 3y = 5 y=1

Sustituir el resultado en la siguiente

ecuación.

Entonces “y” quedaría …

Realizar la prueba de escritorio (comprobar

si estos resultados satisfacen la solución de

las ecuaciones).

Entonces…

4x + 2y = 6 4(1) + 2(1) = 6

6 = 6

2x + 3y = 5 2(1) + 3(1) = 5

5 = 5

Por lo tanto los resultados obtenidos en la

primera iteración son la solución del

sistema

Ejercicios…

Método de Gacobi

4x + .5y + z = 8

x - 10y + z = -6

-x + y + 5z = 10

Método de Gauss –Seidel

10 x - z = -1

4x + 12y - 4z = 8

4x + 4y + 10z = 4