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FECHAS DE ENTREGA: SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

1. De la siguiente ecuacin:

Despejando , se tienen las siguientes ecuaciones de la forma :

a) b)

Calcule la raz por el mtodo de punto fijo, tomando en cuenta el criterio y el valor inicial , en ambos casos, y determinar cual ecuacin converge a una raz de

. Solucin

a) De la ecuacin: se obtiene la derivada:

1ra. Iteracin Utilizando el valor inicial , se tienen los siguientes valores:

Como el error aun es relativamente grande se tendr que realizar otra iteracin.

MAT 1105 F

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El resultado del criterio de convergencia est muy cercano a 1 por lo que se puede decir que el mtodo converge a un resultado pero que por el momento ser lentamente. 2da. Iteracin

3ra. Iteracin

Los valores de las prximas iteraciones se muestran en la siguiente tabla:

i xi |g(xi)| |xi - xi-1|

0 1,00000

1 2,46621 1,07682 1,46621

2 3,09552 1,00993 0,62931

3 3,30056 0,99143 0,20503

4 3,36214 0,98613 0,06158

5 3,38020 0,98460 0,01806

6 3,38546 0,98416 0,00526

7 3,38699 0,98403 0,00153

8 3,38744 0,98399 0,00044

9 3,38757 0,98398 0,00013

10 3.38760 0.98398 0.00004

Respuesta: La raz de la ecuacin es la siguiente:

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b) De la ecuacin: se obtiene la derivada:

1ra. Iteracin Utilizando el valor inicial , se tienen los siguientes valores:

Como el error aun es grande se tendr que realizar otra iteracin.

El resultado del criterio de convergencia es mucho ms pequeo a 1 por lo que se podra decir que el mtodo converge muy rpido, pero se tendr que ver otra iteracin. 2da. Iteracin

Respuesta:

El criterio de convergencia , es muy grande y el error aumento desde la anterior iteracin por lo que se dir que:

El mtodo no converge con la ecuacin , y el valor inicial

por lo que no se podr obtener un resultado satisfactorio

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2. La funcin:

Tiene una cantidad infinita de races, graficando en el intervalo [-5,6] se tiene:

a) Se quiere emplear el mtodo de la biseccin para encontrar una solucin aproximada de la primera raz de la ecuacin , en el intervalo [0.1, 0.5], con una exactitud de 10-2.

b) Aproximar mediante el mtodo de Newton-Raphson la raz de , tomando como

valor inicial , con una exactitud de 10-5. Solucin a) Resolviendo por el mtodo de biseccin, primero se grafica la funcin en el intervalo:

Evaluando la funcin en los dos puntos se tiene: ( menor a 0)

( mayor a 0 )

0.5 0.1

0.2

-1

0

-0.2

y

x

0.2 0.3 0.4

Raz

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Se observa que en el intervalo existe una raz de la funcin, cuando un punto es menor que cero y el otro es mayor que cero, por lo que puede proceder a resolver la ecuacin por el mtodo de biseccin: 1ra. Iteracin En primer lugar se divide el intervalo a la mitad y se obtiene un nuevo valor:

Evaluando la funcin en este punto: ( menor a 0 ) Este valor tambin se considera para determinar la exactitud en este mtodo: Como este valor es mayor a la exactitud requerida de 10-2, se deber continuar con un nuevo intervalo en otra iteracin. Comparando con los valores de los extremos: Se obtiene el nuevo intervalo, con el punto medio y el punto externo que tenga el signo opuesto. Con lo que el nuevo intervalo ser: , (es reemplazado con el nuevo valor) (se mantiene)

0.5 0.1

0.2

-1

0

-0.2

y

x

0.2 0.3 0.4

Raz

Nuevo intervalo

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2da. Iteracin

( menor a 0 )

El nuevo intervalo es: , (es reemplazado con el nuevo valor) (se mantiene) 3ra. Iteracin

( menor a 0 )

El nuevo intervalo es:

0.5 0.1

0.2

-1

0

-0.2

y

x

0.2 0.3 0.4

Raz

Nuevo intervalo

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, (es reemplazado con el nuevo valor) (se mantiene) Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla:

i error

1 0.1 0.3 0.5 -0,98987 -0,59673 0,22314 0,59673

2 0,3 0,4 0,5 -0,59673 -0,22901 0,22314 0.22901

3 0,4 0,45 0,5 -0,22901 -0,01150 0,22314 0.01150

4 0,45 0,475 0,5 -0,01150 0,10396 0,22314 0.10396

5 0,45 0,4625 0,475 -0,01150 0,04573 0,10396 0,04573

6 0,45 0,45625 0,4625 -0,01150 0,01698 0,04573 0,01698

7 0,45 0,453125 0,45625 -0,01150 0,00271 0,01698 2.7110-3

Respuesta

Luego de siete iteraciones se obtiene una raz con una exactitud menor al valor requerido:

b) Resolviendo por el mtodo de Newton-Raphson, se utiliza la siguiente formula:

Donde:

1ra. Iteracin Con el valor inicial dado 6, se reemplaza en la ecuacin:

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2da. Iteracin

3ra. Iteracin

4ta. Iteracin

Respuesta

Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:

3. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) Determine la raz real mxima de Solucin

Como la ecuacin es de tercer grado, luego pueden existir 3 races reales o complejas, graficando la funcin se puede ver que las 3 races son reales, y que la raz con valor mximo esta cerca a 3.0.

1

1

-1

0

y

x

Raz real mxima

2 3 4

Otras races

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Se resolver utilizando el mtodo de Newton-Raphson, con el valor inicial . Tomando en cuenta un error admisible de 10-4, por lo que se utilizarn 5 decimales.

Donde:

1ra. Iteracin

3.05000

2da. Iteracin

3ra. Iteracin

Respuesta

Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:

b) Determine la raz positiva mnima de

Solucin Graficando la funcin se puede ver que existen dos races positivas, la raz mnima esta muy cerca al origen, por lo que se tomar como valor inicial.

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Resolviendo por el mtodo de Newton-Raphson, con el valor inicial , y tomando en cuenta un error admisible de 10-5, Por lo que se utilizaran 6 decimales.

Donde:

1ra. Iteracin

2da. Iteracin

3ra. Iteracin

1

1

-1

0

y

x

Raz positiva mxima

2 3 4

Raz positiva mnima

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4ta. Iteracin

Respuesta

Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:

4. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) , por el mtodo de la secante. Solucin

Graficando la funcin: Resolviendo por el mtodo de la secante, se necesitan dos valores iniciales, pero a diferencia del mtodo de biseccin estos puntos no tienen que estar alrededor de la raz, sino que tienen que estar prximos, como en el mtodo de Newton-Raphson. Se utilizarn los siguientes valores iniciales: , . Tomando en cuenta un error admisible de 10-5. La formula que se utilizar en este mtodo es:

5

10

-10

0

y

x Raz

10 15

8 9

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1ra. Iteracin ,

2da. Iteracin

3ra. Iteracin

4ta. Iteracin Respuesta Luego de realizar cuatro iteraciones al evaluar la funcin en , se tiene un valor igual a cero, por lo que se tomar como resultado exacto:

b) , por el mtodo de la falsa posicin Solucin

Resolviendo por el mtodo de Falsa Posicin, se necesitan dos puntos alrededor de la raz de la funcin. En este caso utilizaremos y . Tomando en cuenta un error admisible de 10-5. Graficando la funcin:

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La formula que se utiliza en este mtodo es:

1ra. Iteracin ,

Como el error es mayor que el criterio de exactitud de 10-5, se contina con un nuevo intervalo, de la misma forma que el mtodo de biseccin: Se reemplaza por el valor de . 2da. Iteracin ,

0.5

1

-1

0

y

x

Raz

1.0 1.5

0.7

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Se reemplaza por el valor de . 3ra. Iteracin ,

Se reemplaza por el valor de . Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla:

i error

1 0,5 0,700000 0,673667 -0,606404 0,091947 0,020923 0,020923

2 0,5 0,673667 0,667875 -0,606404 0,020923 0,004642 0,004642

3 0,5 0,667875 0,666600 -0,606404 0,004642 0,001024 0,001024

4 0,5 0,666600 0,666319 -0,606404 0,001024 0,000226 0,000226

5 0,5 0,666319 0,666257 -0,606404 0,000226 0,000050 0,000050

6 0,5 0,666257 0,666243 -0,606404 0,000050 0,000011 0,000011

7 0,5 0,666243 0,666240 -0,606404 0,000011 0,000002 0,000002

Respuesta Luego de siete iteraciones se obtiene una raz con una exactitud menor al valor requerido:

c) , por el mtodo de Newton Raphson.

Solucin

Resolviendo por el mtodo de Newton-Raphson, se utiliza la siguiente ecuacin:

Donde:

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Graficando la funcin. Se utilizar como valor inicial . Con un error admisible de 10-5.

1ra. Iteracin

2da. Iteracin

3ra. Iteracin

4ta. Iteracin

1

20

-20

0

y

x

Raz

2 3

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Respuesta

Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:

5. Resuelva la siguiente ecuacin, utilizando cualquier mtodo:

Encuentre el valor de , si se tiene que: , y un valor de .

Solucin Reemplazando la lo valores de Re y de n en la funcin, se tiene:

Realizando un cambio de variable:

, adems , reemplazando:

Lo que nos da la siguiente funcin:

Resolviendo por el mtodo de punto fijo, ya que el trmino x ya esta despejado en la ecuacin, por lo que se tiene la siguiente formula:

Para determinar el criterio de convergencia se debe hallar la derivada de la funcin :

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Graficando las funciones, donde la raz en este mtodo esta en el punto de interseccin entre y , adems de graficar la derivada de para determinar la convergencia (se puede

ver que cerca de la raz la grfica tiene un valor menor a 1):

De la grfica se puede tomar como valor inicial , y para hallar un resultado se tomar como error admisible 10-6. 1ra. Iteracin

.568038 2da. Iteracin

3ra. Iteracin

-20

-20

0

y

x

20 40 60 -20

-40

Raz

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Los valores de las prximas iteraciones se muestran en la siguiente tabla:

i xi |g(xi)| |xi - xi-1|

0 20,000000

1 20,568038 0,138153 0,568038

2 20,490655 0,134337 0,077382

3 20,501070 0,134845 0,010415

4 20,499666 0,134776 0,001404

5 20,499856 0,134784 0,000189

6 20,499830 0,134784 2.610-5

7 20,499834 0,134784 310-6

8 20,499833 0,134784 510-7

Luego el valor x es igual a:

Volviendo a la variable original:

Respuesta

Nota: Obviamente no puedes imprimir este documento y

entregarlo como practica. Tiene que Ud reescribir en su cuaderno