Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Sustitución

Dado un sistema de ecuaciones, se despeja una de las incógnitas en alguna de las

ecuaciones del sistema dado y se sustituye en la otra ecuación:

4 124 12

4 3 12 33

6 5 1 4 126 5 1 6 5 1

3despejamos "y" de la primer ecuaciónsustituímos "y" en la segunda ecuación

.

xx y

x y y

x y xx y x

Resolvemos la última ecuación en la que se sustituyó a “y”:

2

3

5738

13

60

3

206

x

x

xx

Reemplazamos el valor obtenido, en la expresión : 23

122

3.4

y

Entonces, el conjunto solución estará expresado por 3

22

;S

Igualación

Dado un sistema de ecuaciones, se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones

y se igualan las expresiones:

3 124 3 12

3 12 5 14

4 65 16 5 1

6

yx y x

y yComo x x

yx y x

Resolvemos la última ecuación escrita:

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

2

7638

4207218

15.4123.6

y

y

yy

yy

Reemplazamos el valor obtenido, en la expresión : 3 2 12 3

4 2

. ( )x

Entonces, el conjunto solución estará expresado por 3

22

;S

Método de Reducción

Si en las ecuaciones de un sistema, son opuestos los coeficientes de una de las

variables, sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones:

2 2 3 4 8 62 3 8

7 142 4 6

2

( )x x y yx y

yx y

y

Sustituímos el valor obtenido, en la expresión :

2 3 2 8 1.x x

Entonces, el conjunto solución estará expresado por 1 2;S

Si en las ecuaciones de un sistema, ninguna de las variables presenta coeficientes

opuestos, podemos multiplicar las ecuaciones por números apropiados:

2

3

3 2 9 6 4 18

6 15 392 5 13

x y x y

x yx y

Sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones, y obtemos:

Sustituímos en cualquiera de las ecuaciones del sistema y obtenemos luego:

Entonces, el conjunto solución estará expresado por 1 3;S

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Método usando determinantes

Utilizamos un ordenamiento especial:

010

754:

yx

yxEj

Ordenamos los coeficientes de las variables de la siguiente forma:

4 5

4 10 1 5 351 10

. .

el símbolo , se llama determinante

Si reemplazamos los números de la primer columna (coeficientes que acompañan a

x) por los términos independientes obtenemos:

705.010.7100

57

x

Luego, 235

70

xx

Si reemplazamos los números de la segunda columna (coeficientes que acompañan a

y) por los términos independientes obtenemos:

4 7

4 0 1 7 71 0

. .y

Luego, 5

1

35

7

y

y

Entonces, el conjunto solución estará expresado por 1

25

;S

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Método Gráfico

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos

incógnitas están asociadas a una función de primer grado (función lineal), cuya

representación gráfica es una recta.

El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste por lo tanto, en

representar ambas rectas en un sistema de ejes cartesianos, y comprobar si se cortan o no. Y

en caso de que se corten, hallar en qué punto del plano sucede.

Hay que tener en cuenta que en el plano, dos rectas pueden tener tres posiciones

relativas entre sí: ser rectas secantes (se cortan en un punto), ser paralelas (no se cortan),

o ser coincidentes (son la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las

coordenadas de éste son el par (x, y) y ese punto del plano es la única solución del sistema,

dado que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del

sistema a la vez. Decimos entonces que el sistema es compatible determinado.

Si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo

cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas),

entonces éste será compatible indeterminado.

Por último, si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común; por lo

que no habrá ningún par de valores que representen a un punto perteneciente a ambas rectas

y entonces será un sistema incompatible, o sin solución.

Es importante aclarar, que es posible analizar la posición que tendrán entre sí dos

rectas previo al gráfico de las mismas, observando y comparando las pendientes de cada

ecuación de la recta.

En conclusión, el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante

el método gráfico se puede resumir en las siguientes fases:

i. Se despeja la incógnita “y” en ambas ecuaciones.

ii. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes cartesianos.

iii. Se pueden dar tres situaciones:

a. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte o intersección

entre las rectas, forman el par (x, y) que es la única solución del sistema. Y es

por lo tanto, un Sistema compatible determinado.

b. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones, que

son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que

coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

c. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Es un Sistema

incompatible

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Veamos a continuación unos ejemplos:

22

12

7

2

3

02

723:1

Rxy

Rxy

yx

yxEj

23

1

3

2

13

1

3

2

264

132:2

Rxy

Rxy

yx

yxEj

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

212

1

12

3

2

1

463

32:3

Rxy

Rxy

yx

yxEj