MÉTODOS NUMÉRICOS 2.4 Sistemas de ecuaciones no lineales Gustavo Rocha 2005-2.

MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOS2.4 Sistemas de ecuaciones no lineales2.4 Sistemas de ecuaciones no lineales

Gustavo RochaGustavo Rocha

2005-22005-2

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x*

y*

i 1 i ix u * (x ,y )

i 1 i iy v * (x ,y )

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES

-2

0

2

4

6

8

10

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2x xy 10

2y 3xy 57 (2, 3)

MÉTODO DE PUNTO FIJO ENMÉTODO DE PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1.1. Considera la intersección de dos funciones no lineales Considera la intersección de dos funciones no lineales u(x, y) y v(x,y).u(x, y) y v(x,y).


u(x, y)

v(x, y)

x

y



2.2. La intersección de las curvas u(x, y) y v(x, y) se da La intersección de las curvas u(x, y) y v(x, y) se da cuando u(x, y) - v(x, y) = 0, por lo que u(x, y) = v(x, y).cuando u(x, y) - v(x, y) = 0, por lo que u(x, y) = v(x, y).


u(x, y)

v(x, y)

x

y

x*

y*



2.2. La intersección de las curvas u(x, y) y v(x, y) se da La intersección de las curvas u(x, y) y v(x, y) se da cuando u(x, y) - v(x, y) = 0, por lo que u(x, y) = v(x, y).cuando u(x, y) - v(x, y) = 0, por lo que u(x, y) = v(x, y).

3.3. El punto de intersección de las dos funciones, da El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.entonces el valor exacto de la raíz.

4.4. El método consiste en considerar un valor inicial xEl método consiste en considerar un valor inicial x00, ,

como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(xfunción g(x00), considerando éste como segunda ), considerando éste como segunda

aproximación de la raíz.aproximación de la raíz.

5.5. El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prácticamente con x.prácticamente con x.

MÉTODO DEL PUNTO FIJO ENMÉTODO DEL PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1

x3x2

y3

y2


iteración xi yi e(%) e*(%) e(%) e*(%)

1 1.5 3.5 25.00 16.67

2 2.17944947 2.860505988 8.97 31.18 4.65 22.36

3 1.94053388 3.049550673 2.97 12.31 1.65 6.20

4 2.02045629 2.983404747 1.02 3.96 0.55 2.22

5 1.99302813 3.005704363 0.35 1.38 0.19 0.74

6 2.00238524 2.998054303 0.12 0.47 0.06 0.26

7 1.99918491 3.000665561 0.04 0.16 0.02 0.09

8 2.00027865 2.999772546 0.01 0.05 0.01 0.03

9 1.99990475 3.000077757 0.00 0.02 0.00 0.01

10 2.00003256 2.999973421 0.00 0.01 0.00 0.00

2x xy 10 2y 3xy 57

x = 2 y = 3

MÉTODO DEL PUNTO FIJO ENMÉTODO DEL PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSin embargo, con el método del punto fijo, la convergencia depende Sin embargo, con el método del punto fijo, la convergencia depende de la manera en que se formulen las ecuaciones de recurrencia y de la manera en que se formulen las ecuaciones de recurrencia y de haber elegido valores iniciales lo bastante cercanos a la de haber elegido valores iniciales lo bastante cercanos a la solución. En las dos formulaciones siguientes el método diverge.solución. En las dos formulaciones siguientes el método diverge.


1 1.5 3.5 25.00 16.67

2 1.45578231 5.166666667 27.21 3.04 72.22 32.26

3 0.64724246 5.413376566 67.64 124.92 80.45 4.56


1 1.5 3.5 25.00 16.67

2 2.21428571 -24.375 10.71 32.26 912.50 114.36

3 -0.20910518 429.713648 110.46 1158.93 14223.79 105.67

x = (57 - y)/3y2 y = (10 - x2)/x

x = (10 - x2)/y y = 57 - 3xy2


Sistema de ecuaciones no lineales por el método del punto fijo

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

iteraciones

Co

nverg

en

cia

2x xy 10 2y 3xy 57

x

y

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y


1.1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (xConsiste en elegir las coordenadas de un punto (x11, y, y11) como ) como

aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y

v(x,y) que hacen que éstas se anulen.v(x,y) que hacen que éstas se anulen.


u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1



aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y)

que hacen que éstas se anulen.que hacen que éstas se anulen.

2.2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las

coordenadas (xcoordenadas (x11, y, y11) y localizar los cuatro puntos u(x) y localizar los cuatro puntos u(x11, y), v(x, y), v(x11, y), u(x, y, y), u(x, y11) y ) y

v(x, yv(x, y11).).


u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1v(x, y1)

v(x1, y)

u(x, y1)

u(x1, y)







v(x, yv(x, y11).).

3.3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos

u(xu(x11, y) y u(x, y, y) y u(x, y11) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos ) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos

v(xv(x11, y) y v(x, y, y) y v(x, y11))


u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1v(x, y1)

v(x1, y)

u(x, y1)

u(x1, y)







v(x, yv(x, y11).).

3.3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos

u(xu(x11, y) y u(x, y, y) y u(x, y11) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos ) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos

v(xv(x11, y) y v(x, y, y) y v(x, y11))

4.4. El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda

aproximación (xaproximación (x22, y, y22) del punto de intersección de las dos funciones) del punto de intersección de las dos funciones


u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1

x2

y2


1.1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (xConsiste en elegir las coordenadas de un punto (x11, y, y11) como aproximación ) como aproximación

del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que

éstas se anulen.éstas se anulen.



v(x, yv(x, y11).).

3.3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(xTrazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x11, ,

y) y u(x, yy) y u(x, y11) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x11, y) , y)

y v(x, yy v(x, y11))

4.4. El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda

aproximación (xaproximación (x22, y, y22) del punto de intersección de las dos funciones) del punto de intersección de las dos funciones

5.5. El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto de El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto de

intersección (xintersección (xnn, y, ynn) coincida prácticamente con el valor exacto de la ) coincida prácticamente con el valor exacto de la

intersección entre las dos curvas.intersección entre las dos curvas.


u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1

x2

y2


Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales.funciones no lineales.

Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de una variable variables, para considerar la contribución de más de una variable independiente en la determinación de la raíz.independiente en la determinación de la raíz.

Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuación no lineal:para cada ecuación no lineal:

i ii 1 i i 1 i i 1 i

i ii 1 i i 1 i i 1 i

u uu u (x x ) (y y )

x y

v vv v (x x ) (y y )

x y


Pero uPero ui+1i+1 = v = vi+1i+1 = 0 : = 0 :

Que reescribiendo en el orden conveniente:Que reescribiendo en el orden conveniente:

i i i ii 1 i 1 i i i

i i i ii 1 i 1 i i i

u u u ux y u x y

x y x y

v v v vx y v x y

x y x y

i i i ii i 1 i i 1 i

i i i ii i 1 i i 1 i

u u u uu x x y y 0

x x y y

v v v vv x x y y 0

x x y y


Y cuya solución es:Y cuya solución es:

Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:

i i

i i

u v

x xJ

u v

y y

i ii i

i 1 i

v uu v

y yx x

J

i ii i

i 1 i

u vv u

x xy yJ


iteración xi yi ui vi ux uy vx vy Jacobiano

1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125

2 2.03602882 2.8438751 -0.064374959 -4.756208497 6.915932746 2.036028823 24.26287675 35.74127004 197.7843034

3 1.99870061 3.002288563 -0.004519896 0.04957115 6.999689781 1.998700609 27.04120985 37.00405588 204.9696292

4 1.99999998 2.999999413 -1.28609E-06 -2.21399E-05 6.999999381 1.999999984 26.99998944 36.99999267 204.9999473

5 2 3 0 2.23821E-12 7 2 27 37 205

x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0

x = 2

y = 3

iteración ex(%) ex*(%) ey(%) ey*(%)

1 25 16.67

2 1.8 26.33 5.2 23.07

3 0.06 1.87 0.08 5.28

4 0 0.06 0 0.08

5 0 0 0 0


Sistema de ecuaciones lineales por el método de Newton Raphson

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

1 2 3 4 5 6

convergencia

itera

cio

nes

x

y

2x xy 10 2y 3xy 57

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