Métodos de Cálculo II (1)

8/17/2019 Métodos de Cálculo II (1)

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Métodos de Cálculo II


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¿Qué es Estadística?

Bloque I


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¿Por qué estudiar Estadística?

El conocimiento de los métodos estadísticos le ayudará a entender cómose toman las decisiones y le ayudará a comprender mejor de que manerale afectan. A fin de tomar una decisión informada, necesitará poder:

1. Determinar si a información existente es adecuada o si se necesitainformación adicional.

2. Recopilar información adicional, en caso de ser necesaria, de maneraque no proporcione resultados erróneos.

3. Resumir la información en forma útil y organizada.

4. Analizar la información disponible.

5. Sacar conclusiones y hacer deducciones al tiempo que evalúa elriesgo de una conclusión incorrecta


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¿Qué es Estadística?

Es la ciencia de recopilar, organizar, presentar, analizar einterpretar información para ayudar a tomar decisiones másefectivas.


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Estadística Descriptiva: conjunto de métodos para organizar, resumir y

presentar los datos de manera informativa.Existen grandes cantidades de datos sin organizar; como el censo de unapoblación, las ganancias de cada persona, entre otras; para ellos estándisponibles técnicas estadísticas para organizar este tipo de informacióncomo distribución de frecuencias, gráficas, la medidas de tendenciacentral y dispersión.

Estadística Inferencial conjunto de métodos utilizados para determinar algún atributo medible acerca de una población con base en unamuestra.Con ella se descubre algo acerca de la población a partir de una muestra

tomada de ella.• Población. Conjunto de todos los individuos, medidas u objetos de

interés.• Muestra. Una porción o parte representativa de la población de

interés.

Tipos de Estadística


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Tipos de Variables

Tipos de variables

Cualitativas

*Marca de PC

*Estado Civil

*Color de Cabello

Cuantitativas

Discretas

*Hijos en la familia

*Golpes en un hoyo de

Golf

Continuas

*cantidad de impuestosobre el ingreso pagado.

*Peso de un estudiante

*Precipitación pluvialanual en Tampa, FL.


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• Cuando la característica que se estudia es no numérica, se conocecomo variable cualitativa o atributo.

• Cuando la variable estudiada se puede reportar en forma numérica, seconoce como variable cuantitativa. Pueden ser discretas o continuas.

– Las variables discretas solo asumen ciertos valores, y casi siempreexisten “brechas” entre los valores.

– Una variable continua pueden asumir cualquier valor con un rangoespecífico.

Tipos de Variables


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Niveles de Medición

Datos de nivel nominal. Las observaciones de una variable cualitativasólo se pueden clasificar y contar. No existe un orden particular para lasetiquetas.

Ejemplo: El género, en un partido de fútbol ver cuántos espectadores son

hombres y cuántos son mujeres.• Mutuamente excluyente: propiedad de un grupo de categorías por la

que un individuo, medición u objeto se incluye en sólo una categoría.

• Exhaustivo: propiedad de un conjunto de categorías según la cualcada uno de los individuos, mediciones u objetos debe aparecer por lo

menos en una categoría.


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Datos de nivel ordinal. Un ejemplo es: el Departamento de Seguridad

Nacional publica la información acerca del riesgo de actividad terroristapara las autoridades federales, estatales y locales.

Ésta es información de escala ordinal porque sabemos el orden o lasclasificaciones de los niveles de riesgo.

Nivel de riesgo Descripción Color

Bajo

Protegido

Elevado

Alto

Severo

Riesgo bajo de ataques terroristas

Riesgo general de ataques terroristas

Riesgo significativo de ataques terroristas

Riesgo alto de ataques terroristas

Riesgo severo de ataques terroristas

Verde

Azul

Amarillo

Naranja

Rojo



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Datos de nivel de intervalo. Incluye todas las características del nivel

ordinal, pero además, la diferencia entre los valores en un tamañoconstante.

Las propiedades de los datos de nivel intervalo son:

1. Las clasificaciones de los datos son mutuamente excluyentes y

colectivamente exhaustivas.2. Las clasificaciones de los datos están ordenadas de acuerdo con la

cantidad de características que poseen.

3. Las diferencias iguales en la característica están representadas por diferencias iguales en las mediciones.



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Datos de nivel de razón. Tiene todas las características del nivel de

intervalo pero además, el punto 0 es significativo y la razón entre dosnúmeros también. Algunos ejemplos son: salarios, unidades deproducción, peso, cambios en los precios accionarios, entre otros.

Las propiedades de los datos de nivel de razón son:

1. Las clasificaciones de los datos son mutuamente excluyentes ycolectivamente exhaustivas.

2. Las clasificaciones de los datos están ordenadas de acuerdo con lacantidad de las características que poseen.

3. Las diferencias iguales en la característica están representadas por diferencias iguales en los números asignados a las clasificaciones.

4. El punto cero es la ausencia de la característica.



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Niveles demedición

Nominal

Los datos sólo se

clasifican

Números en los

jerseys de los

jugadores.

Marca de auto.

Ordinal

Los datos se

ordenan

Su número de lista

en clase.

Posiciones de los

equipos en la lista

De intervalo

Diferencia

significativa entre

los valores

Temperatura

De razón

Punto 0

significativo y razón

entre valores

Número de

pacientes vistos.

Número de

llamadas realizadas



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Bloque II

Descripción de datos: Distribuciones de frecuencias

y su representación gráfica


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Creación de una Distribución de Frecuencias

“Agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes mostrando elnúmero de observaciones en cada una”

¿Cómo desarrollamos una distribución de frecuencias?

El primer paso es ordenar los datos en una tabla que muestre las clasesy el número de observaciones en cada clase.

Intervalos de clase y puntos medios de clase.

El punto medio es la mitad del camino entre los límites inferiores de dosclases consecutivas. Se calcula sumando los límites inferiores de lasaclases consecutivas y dividiendo el resultado entre 2.


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1413121110987

15

10

5

0

edad

F r e c u e n c

i a

Histograma. Gráfica en la que las clases se marcan en el eje horizontal ylas frecuencias de clases en el eje vertical. Las frecuencias de clases se

representan mediante la altura de las barras y estas últimas se dibujanuna junto a otra.

Ejemplo

En el gráfico se puede observar el número de hijos , de menor edad (7-8años), las de mayor edad (13-14 años); y además que la mayoría de hijos

de los trabajadores están entre los 10 y 12 años.

Representación gráfica


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Es posible construir un histograma a partir de una distribución defrecuencias.

En la siguiente figura se muestra el histograma correspondiente a ladistribución de frecuencias de nivel de nicotina de fumadores.

Distribución de frecuencias de los

niveles de nicotina de los fumadores

Nicotina Frecuencia

0-99

100-199

200-299

300-399

400-499

11

12

14

1

2



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Polígono de frecuencias. Es similar a un histograma. Consiste en

segmentos de línea que conectan los puntos formados por las

intersecciones de los puntos medios de clase y las frecuencias de

clase.

1413121110987

15

10

5

0

edad

F r e c

u e n c

i a



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Otras presentaciones Gráficas de Datos

Gráficas lineales. Son efectivas para la

información de negocios y económica porquemuestran el cambio y las tendencias en unavariable a través del tiempo.

Gráficas de barras. Se puede utilizar pararepresentar cualquiera de los niveles demedición: nominal, ordinal, de intervalo o derazón.

Gráficas circulares o de pastel. Es muy útilsobre todo para ilustrar los datos de nivelnominal.


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Niveles de nicotina en un grupo de fumadores.

1 0 131 173 265 210 44 277 32335 112 477 289 227 103 222 149

313 491 130 234 164 198 17 25387 121 266 290 123 167 250 24548 86 284 1 208 173

Ejemplo


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Distribución de frecuencias de los niveles

de nicotina de los fumadores

Nicotina Frecuencia

0-99

100-199

200-299

300-399

400-499

11

12

14

1

2

Ejemplo


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Distribución de frecuencias de los nivelesde nicotina de los fumadores

Nico t ina Frecuenc ia

0-99

100-199

200-299

300-399

400-499

28%

30%

35%

3%

5%

Ejemplo


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La frecuencia acumulada es la suma de la frecuencia de una clase

con la frecuencia de las clases anteriores en la tabla.Distribución de frecuencias Acumulativas

de los niveles de nicotina de los

fumadores

Nico tina Frecuenc ia

Acumulat iva

Menos de 100

Menos de 200

Menos de 300

Menos de 400

Menos de 500

11

23

37

38

40

Ejemplo


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Bloque III

Descripción de datos: Medidas de ubicación


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Medidas de Tendencia Central

Como su nombre lo indica, una medida de tendencia central es la que

describe un valor central para ubicar la localización del conjunto de datos.Las más utilizadas son la media y la mediana.

Una población es el total de los datos que se desea analizar. Por ejemplo, si se quiere estudiar las alturas de los niños de 5 y 7 años, lapoblación estaría constituida por todos los niños del país entre las

edades referidas.Sin embargo, en muchos casos no se cuenta con información sobre todala población y se procede a analizar una muestra de esta, es decir, unsubconjunto representativo de la población. En el caso anterior lo normales tomar una muestra de niños entre 5 y 7 años. De acuerdo con el

tamaño y características de la población, así deberá ser el tamaño ycaracterísticas de la muestra. En este caso, no resultaría significativotomar 100 niños como representación de todo un país y tampocosignificativo tomar 1000 niños de una misma ciudad.


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La Media de la Población

La media de la población es la suma de todos los valores dividida entre

el número de valores en la población.

ó = ó

ú ó

=

Parámetro. Característica de una población


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Media de una Muestra

Es la suma de todos los valores de la muestra divididos entre el número

total de valores de la muestra.

=

ú

=

Estadístico. Característica de una muestra.

Propiedades de la media aritmética.

1. Cada conjunto de datos de intervalo o de nivel de razón tiene una

media.2. Todos los valores se incluyen al calcular la media.

3. Un conjunto de datos solo tiene una media. La media es única.

4. La suma de las desviaciones de cada valor de la media siempre

será cero.


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Media ponderada. Es un caso especial de la media aritmética. Ocurre

cuando hay varias observaciones del mismo valor.

= + + + ⋯ +

+ + + ⋯ +

Mediana. El punto medio de los valores después de que se ordenandesde el más bajo hasta el más alto o desde el más alto hasta el más

bajo.

Moda. El valor de la observación que aparece con mayor frecuencia.

Media de una Muestra


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Media Geométrica

Es útil para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices otasas de crecimiento.

=

() … ()

La media geométrica siempre va a ser igual o menor que la mediaaritmética.


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Ejemplo:

Determinar a partir de una muestra de 10 fósiles, la altura promedio deun hueso frontal.

Solución:

El conjunto observado es una muestra, asó que se obtiene la mediamuestral al sumar primero los datos representados en el cuadro:

42+27+25…+25= 334

Después se divide entre el número de observaciones(10)334/10=33.4

Por ello se puede indicar que la media, un valor representativo de lamuestra de fósiles, es 33.4 mm, es decir, la altura del hueso frontal

toma valores que varían alrededor de 33.4 mm.

42 27 25 40 33 31 42 34 35 25


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Mediana

La mediana es el valor que está justo en medio de los datos una vez

que han sido ordenados d forma ascendente.

Como es número de datos es par, hay dos valores en medio, losvalores señalados en las posiciones 5 y 6 se suman y se dividen entre2:

=3 3 + 3 4

2 = 33.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

25 25 27 31 33 34 35 40 42 42


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La mediana es 33.5 lo que indica alrededor de qué valor se encuentranlos datos del conjunto.

Desde luego que para datos categóricos no es posible calcular mediani mediana; las únicas cantidades que representan el conjunto dadatos son las frecuencias relativas.

Mediana


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Moda

La moda es el valor más frecuente dentro del conjunto de datos, esdecir, el que tiene mayor frecuencia.

En muchas ocasiones la moda no es única, pues puede existir más de

un valor con la misma frecuencia dentro del conjunto deobservaciones.


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Medidas de Dispersión

Al describir un conjunto de datos se consideran dos aspectosimportantes: uno es la ubicación de los datos mismos, lo cual quedadescrito mediante las medidas de tendencia central, y el otro es laextensión y dispersión de los datos respecto a su centro, lo cual sedetermina con las medidas de dispersión como el rango, la desviaciónestándar y la varianza.


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¿Por qué estudiar la dispersión?

Medidas de dispersión.• El rango se basa en los valores más altos y más bajos en el

conjunto de datos. Es la más sencilla medida. = á á

• Desviación media. La media aritmética de los valores absolutos delas desviaciones de la media aritmética. Mide la cantidad media por la cual los valores en una población o muestra varían.

= | |

Donde: X es el valor de cada observación es la media aritmética de los valores

n es el número de observaciones en la muestra

|| indica el valor absoluto


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Varianza y Desviación Estándar.

Varianza: la media aritmética de las desviaciones cuadradas de la media.Es no negativa y es cero sólo si todas las observaciones son iguales.

• Varianza de población. Se considera primero que la de muestra.

= (−)

Donde: es el símbolo de la varianza de la población.X es el valor de una observación en la población.

es la media aritmética de la población

N el número de observaciones en la población

Desviación estándar de la población : la raíz cuadrada de la varianza.

=


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Varianza muestral.

=

1

Donde: es la varianza de la muestra.

X es el valor de cada observación en la muestra es la media de la muestra

n es el número de observaciones de la muestra.

Desviación estándar de la muestra. Se utiliza como un estimador de la

desviación estándar de la población.

= −

−

Varianza y Desviación Estándar.


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La media y la desviación estándar para datos

agrupados

Media aritmética para datos agrupados.

=

Donde: es la media de la muestra.

M es el punto medio de cada clase.

f es la frecuencia en cada clase.

n es el número total de frecuencias.

Desviación estándar para datos agrupados.

=

−

−

Donde: s es el símbolo para la desviación estándar.

M es el punto medio de la clase

f es la frecuencia de la clase

n es el número de observaciones de la muestra.


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Bloque IV

Descripción de datos: Presentación y exploraciónde datos.


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Diagramas de Puntos

“Agrupa los datos lo menos posible y no perdemos la identidad de una

observación individual.”Para desarrollar un diagrama de puntos simplemente desplegamos unpunto para cada observación a lo largo de una línea numéricahorizontal indicando los posibles valores.


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Gráfica de Tallo y Hojas

“Técnica estadística para presentar un conjunto de datos, cada valor

numérico se divide en dos partes. El (los) digito(s) líder(es) seconvierte(n) en el tallo y los dígitos secundarios son las hojas. Lostallos se colocan a lo largo del eje vertical y los valores de las hojas alo largo del eje horizontal”


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Diagramas de Caja

Un diagrama de caja es una representación gráfica, basada encuartiles, que nos ayuda a ilustrar un conjunto de datos.


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Es una grafica de datos apareados (x, y), con un eje x horizontal y uneje y vertical. Los puntos se obtiene haciendo corresponder loselementos de dos conjuntos. El patrón de los puntos graficados sueleser útil para determinar si hay alguna relación entre las dos variables.

Diagramas de Dispersión


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• Es una grafica en donde se reúnen datos de series de tiempo endiferentes momentos.

• Importancia: Con frecuencia es sumamente importante conocer loscambios en los valores de una población a través del tiempo.

• Están relacionadas con las graficas de control que son muyutilizadas en la industria en general.

Graficas de Series de Tiempo


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Existe una gran variedad entre las que en los últimos años destacan

los pictogramas, que representan datos con el uso de imágenes deobjetos.

Otras gráficas


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Se realizan sobre un mapa donde se resaltan puntos geográficos de

acuerdo a los datos entregados.

Cartogramas:


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Cuartiles, Deciles y Percentiles

Percentiles, Deciles o Cuartiles-Percentil (ejemplo: 25, 50, 75)-Decil (ejemplo: 4, 5, 8)-Cuartil (ejemplo: 1, 2, 3)

Percentil, Decil o Cuartil: corresponde al valor que toma la variable(cuantitativa), cuando los n datos están ordenados de Menor a Mayor

El Percentil va de 1 a 100

El percentil 25 (25/100): es el valor de la variable que reúne al menos el25% de los datos

Ejemplo: Si N=80, el 25% de 80 es 20; por lo tanto, se busca el dato queeste en la posición 20.

Si N=85, el 25% de 85 es 21,25; por lo tanto se busca el dato que este

en la posición 22.


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El Decil va de 1 a 10

El Decil 4 (4/10): es el valor de la variable que reúne al menos el 40% delos datosEjemplo: Si N=80, el 40% de 80 es 32; por lo tanto, se busca el dato queeste en la posición 32.

Si N=85, el 40% de 85 es 34; por lo tanto se busca el dato que

este en la posición 34.

El Cuartil va de 1 a 4

El Cuartil 3 (3/4): es el valor de la variable que reúne al menos el 75% de

los datosEjemplo: Si N=80, el 75% de 80 es 60; por lo tanto, se busca el dato queeste en la posición 60.

Si N=85, el 75% de 85 es 63,75; por lo tanto se busca el datoque este en la posición 64.

Cuartiles, Deciles y Percentiles


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Dispersión Relativa

Medida relativa:

Coeficiente de variación. La razón de la desviación estándar con lamedia aritmética, expresada como un porcentaje.

=

(100)

Sesgo. Otra característica de un conjunto de datos es la forma. Seobservan cuatro formas: simétrica, con sesgo positivo, con sesgo

negativo y bimodal.

En un conjunto de observaciones simétrico, la media y la mediana soniguales y los valores de los datos están dispersos de manera uniforme.Un conjunto de valores tiene sesgo a la derecha o sesgo positivo si hayun solo pico y los valores se extienden hacia la derecha. El sesgo

negativo se extienden hacia la izquierda. Una distribución bimodal tienedos o más picos.


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Bloque V

Estudio de los conceptos de probabilidad


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¿Qué es Probabilidad?

“Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad

(probabilidad o viabilidad) relativa de que ocurra un evento.”

Con frecuencia, una probabilidad se expresa con un decimal, como0.70, 0.27 o 0.50. Sin embargo, se puede dar como una fracción, como7/10, 27/100 o ½. Puede asumir cualquier número de 0 a 1, inclusive.

Cuanto más cerca de 0 esté una probabilidad, más improbable es que elevento suceda. Cuanto más cerca esté de 1, es más seguro queocurra.


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Experimento. Proceso que lleva a la ocurrencia de una y sólo una de

varias observaciones posibles.

Resultado. La consecuencia de un experimento en particular.

Evento. Conjunto de uno o más resultados de un experimento.

¿Qué es Probabilidad?


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Probabilidad subjetiva. Posibilidad de que suceda un evento enparticular que asigna un individuo con base en la información disponible.

Algunos ejemplos son:1. Estimar la probabilidad de que los Patriotas de Nueva Zelanda

jueguen en el Súper Tazón el próximo año.

2. Calcular la probabilidad de que, dentro de dos años, General MotorsCorp. pierda el primer lugar que ocupa en unidades vendidas.

Enfoques para Asignar Probabilidades

Ejemplo:


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Procedimiento Ejemplo de un suceso Espacio Muestral

Tirar un dado Cae un 5 (Suceso simple) {1,2,3,4,5,6}

Tirar dos dados Cae 7 (Suceso no simple) {1-1,1-2,…,6-6}

Ejemplo:

Ejemplo:


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Cuando se tira un dado, el resultado 5 es un suceso simple porque noes posible desglosarse en otros.

Cuando se tiran dos dados, el resultado 7 no es un suceso simple,porque puede desglosarse en eventos mas simples como 3-4 o 6-1.

El resultado 3-4 se considera un evento simple porque 3 y 4 no sonresultados individuales del procedimiento. Cuando se tiran dos dados,existen exactamente 36 resultados que son sucesos simples: 1-1, 1-2,1-3,…., 6-6.

Ejemplo:


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• P denota una probabilidad.

• A, B y C denotan sucesos específicos.

• P(A) denota la probabilidad de que ocurra el suceso A.

Notación de Probabilidades

Probabilidad de un Suceso o Evento


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Hay diferentes formas para definir la probabilidad de un suceso. Seexponen tres enfoques:

• Regla 1: Aproximación de la probabilidad.

Realiza (u observa) un procedimiento un gran numero de veces y cuentalas ocasiones que le suceso A ocurre en realidad. Con base en éstosresultados reales, P(A) se estima de la siguiente manera:

Probabilidad de un Suceso o Evento.

P b bilid d d S E t


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Regla 2: Método clásico de la probabilidad (requiere resultadosigualmente probables).

Supón que un procedimiento dado tiene n sucesos simples distintos,cada uno de los cuales tiene la misma probabilidad de ocurrir. Si el

suceso A puede ocurrir en s de éstas n formas, entonces:


P b bilid d d S E


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• Regla 3: Probabilidades subjetivas.

P(A), la probabilidad del suceso A, se obtiene simplemente suponiendo oestimando su valor con base en el conocimiento de las circunstanciasrelevantes.

Ejemplos de aplicación de las tres reglas.

a) Método de las frecuencias relativas (Regla 1).

Cuando se trata de determinar P (tachuela cae con la punta hacia arriba),debemos repetir muchas veces el procedimiento de lanzar la tachuela y

después calcular el cociente del número de veces que la tachuela caecon la punta hacia arriba entre el numero de lanzamientos.

b) Método Clásico (Regla 2).



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Ley de los grandes Números


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Conforme un procedimiento se repite una y otra vez, la probabilidad defrecuencias relativas (regla 1) de un suceso, tiende a aproximarse a laprobabilidad real.

Los estimados por frecuencias relativas tienden a mejorar si se hacen

mas observaciones. Por ejemplo: es fácil que una encuesta de opiniónentre solo una docena de personas seleccionadas al azar resulte erróneaen gran medida, pero si se aplica a miles de personas seleccionadas alazar, puede acercarse bastante a los valores reales de la población.

Ley de los grandes Números

Ejemplos de resolución de problemas con las 3 reglas


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• Calcular la probabilidad de que un adulto que se seleccionóaleatoriamente haya volado en avión.

Solución: El espacio muestral consiste en dos sucesos simples: lapersona ya voló o no ha volado en avión. Pero estos sucesos no son

igualmente probables, así que no es aplicable la regla 1.Se necesitarían datos de encuestas.

Solución: Una encuesta de Gallup, indica que 855 adultos que seseleccionaron al azar, 710 indicaron que ya volaron en avión.

P (haber volado en avión)=710/855=0.830




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• Planeas apostar al numero 13 en el próximo giro de la ruleta. ¿Cuál

es la probabilidad de que pierdas?

Solución: Una ruleta tiene 38 ranuras distintas y solo una correspondeal numero 13. La ruleta se diseño para que todos lo números seanigualmente probables de resultar, por lo que en éste caso se puede

utilizar el método clásico (regla 2).

P (perdida) = 37/38=0.97




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• ¿Cuál es la probabilidad de que tu automóvil sea impactado por unmeteorito éste año?

Solución:

La regla 1 (Método de frecuencias relativas) no puede emplearse porqueno hay datos históricos de meteoritos que chocan contra automóviles.

Hay 2 posibles resultados: chocar o no chocar, pero no son igualmenteprobables, por lo que no puede aplicarse la regla 2 (método clásico).

Queda la regla 3, por medio de la cual se hace un estimado subjetivo. En

éste caso, todos sabemos que la probabilidad en cuestión es muypequeña, estimemos que sea de 0.000000000001 (una en un billón).

Éste es un estimado subjetivo porque se basa en nuestro conocimientogeneral.


Redondeo de Probabilidades


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Cuando se exprese el valor de una probabilidad , hay que dar la fraccióno el número decimal exactos, o redondear los resultados decimales atres cifras significativas.

Cuando una probabilidad no sea una fracción simple como 2/3 o 5/9, se

expresa como decimal para que el número resulte mas claro.

Ejemplos

La probabilidad de 0.021491 tiene cinco dígitos relevantes por lo cualpuede redondearse a 0.0215.


R d d d P b bilid d


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La probabilidad de 1/3 pude permanecer como una fracción oredondearse a 0.333. No se redondea a 0.3.

La probabilidad de caras en un lanzamiento de monedas es de ½ o0.5. No se representa como 0.500.

La fracción 432/7842 es exacta, pero su valor no es evidente. Seexpresa como 0.0551.



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Ej l


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Si tú apuestas $5 al numero 13 en la ruleta, tu probabilidad de ganar

es de 1/38, en tanto que las posibilidades de pago están dadas por elcasino como 35:1. (Las posibilidades de pago no son iguales a lasposibilidades reales).

Calcula las posibilidades reales en contra del resultado de 13.

¿Cuánta ganancia neta podrías obtener si ganas apostando al 13?

Si el casino solo estuviera funcionando solamente como diversión y lasposibilidades de pago fueran cambiadas para igualar las posibilidadesreales en contra del 13,¿Cuánto ganarías si el resultado fuera 13?

Ejemplo

Algunas reglas para calcular probabilidades


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Reglas de adición.

• Regla especial de adición. Los eventos son mutuamente excluyentes,solo pasa un evento.

= +

• Regla del complemento. Se utiliza para determinar la probabilidad de

que un evento ocurra restando a 1 la probabilidad de que el eventono ocurra.

= 1 ~

• Probabilidad conjunta. Probabilidad que mide la posibilidad de quedos o más eventos sucedan al mismo tiempo.

• Regla general de la adición. =



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Para calcular la probabilidad de que un suceso A ocurra o un suceso Bocurra, se calcula el numero total de formas en que A puede ocurrir y elnumero de formas en que B puede ocurrir, pero de tal forma queningún resultado se cuente mas de una vez.

Ejemplo:

Experimento de Mendel

Los chicharos que se muestran tienen vainas verdes o amarillas yflores moradas o blancas. ¿Cuántos tienen vainas verdes o floresmoradas?



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Donde P ( A y B) denota la probabilidad de que A y B ocurran al mismo

tiempo, como resultado de ensayo o procedimiento.Una forma mas sencilla de entender la formula de la suma es usandoel diagrama de Venn.

Suceso traslapados Sucesos no traslapados


Regla de la Suma


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Regla de la Suma

P (A o B)

Regla de la Suma

¿Son A y B

mutuamenteexcluyentes?

Si

P (A o B) = P (A) + P (B)

No

P (A o B) = P (A) + P (B)- P (A y B)

Los sucesos

mutuamente

excluyentes no pueden

suceder al mismo

tiempo.

No tienen intercepto ni

traslape

Reglas de la multiplicación


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• Independencia. La ocurrencia de un evento no tiene ningún efecto

sobre la probabilidad de la ocurrencia del otro.

• Regla especial de la multiplicación. =

• Regla general de la multiplicación. Para encontrar la probabilidadconjunta de dos eventos cuando éstos no son independientes.

= (|)

Reglas de la multiplicación.

Conteo de Arreglos Ordenados


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Conteo de Arreglos Ordenados

¿Cuántas tomas faltan?

Principio de multiplicación en el conteo


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Supóngase que hay tres caminos a, b y c que van de Aguaclara a

Vistalarga y dos caminos m y n de Vistalarga a Ciudad Sol.¿Cuantas rutas distintas se pueden escoger de Aguaclara a Ciudad Solpasando por Vistalarga?




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Supóngase que un evento H puede ocurrir de h maneras y después deque ha ocurrido, un evento K puede ocurrir de k maneras. Entonces el

número de maneras en las que ambos, H y K pueden ocurrir es hk.

h: Numero de caminos de Agua Clara a Vista Larga: h=3

k: Numero de caminos de Vista Larga a Ciudad Sol: k=2

Numero de maneras que H y K pueden ocurrir:

hk=(3)(2)=6

p p



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El principio de la multiplicación en el conteo se aplica a cualquier número de eventos.

Un club consiste de 4 mujeres y 2 hombres. Planean elegir unpresidente, un vicepresidente y un secretario. ¿De cuantas maneraspueden elegir sus tres dirigentes si el presidente tiene que ser mujer yel vicepresidente hombre?

(4)(2)(4)=32


Permutaciones


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Permutar un conjunto de objetos significa reordenarlos.Una permutación de un conjunto de objetos es un arreglo ordenado deesos objetos.

Ejemplo: Permutaciones de la palabra RIE:

RIE REI

IER IRE

ERI EIR

Permutaciones


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• ¿De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra

FACTOR?

• Piénsese esto como el problema de llenar 6 casilleros.

• ¿De cuantas maneras se puede llenar el cada uno?

• Por el principio de la multiplicación:

(6)(5)(4)(3)(2)(1)=720

Permutaciones

Permutaciones


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¿Qué pasa si deseamos formar palabras código de 3 letras de la palabraFACTOR?

Nuevamente piénsese esto como el problema de llenar 6 casilleros.(6)(5)(4)=120

Considérese el problema general correspondiente. Supóngase que de nobjetos distinguibles se seleccionan r de ellos y se ordenan en hilera. Alarreglo resultante se le llama una permutación de n cosas tomadas de r en r.

El numero de tales permutaciones se denota por el símbolo nP r . Así:

• 6P3 = (6)(5)(4) = 120

• 6P6 = (6)(5)(4)(3)(2)(l) = 720

• 8P2 = (8)(7) = 56 y en general

• nP r = n(n -1 )(n - 2) • • • (n - r + 2)(n - r + 1)

Permutaciones

Permutaciones


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• Obsérvese que nP r es el producto de r enteros positivos c onsecutivosempezando con n y siguiendo hacia abajo. En particular, nP n es el

producto de n enteros positivos consecutivos empezando con n ysiguiendo todo el camino hacia abajo hasta 1, esto es:

nP n = n(n- 1)(n - 2) • • • 3-2-1

• El símbolo n! (se lee n factorial) también se utiliza para este producto. Así:

5P5 = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120

4P4 = 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24

Combinaciones


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¿Cuantos triángulos?

Considérense 6 puntos en el plano, sin que haya tres en la misma recta.Márquense con F, A, C, T, O, R. ¿Cuantos triángulos pueden ser dibujados utilizando estos puntos como vértices?

Conteo de colecciones no ordenadas


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Se aprendió que se podían hacer

6P3 = 6 • 5 • 4 = 120 palabras código con 3 letras de las letras deFACTOR.

No obstante, cada triangulo puede marcarse con 3! = 6 palabras códigodiferentes.

Para encontrar el numero de triángulos se debe por lo tanto dividir elnumero de palabras código entre 3!.


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Notación


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Si , ,el símbolo de combinación se representa:

Notación


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Una buena manera de recordar esto es que se quieren r factores en el

numerador y en el denominador.

En el numerador, se empieza con n y se va bajando; en el denominador se empieza con r y se va bajando.

La respuesta debe ser un entero. Esto significa que el denominador tieneque dividir exactamente al numerador.

Notación

Métodos de Cálculo II (1)

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