ESCUELA:

PONENTE:

BIMESTRE:

CÁLCULO II

CICLO:

CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

II BIMESTRE

Ing. Pablo Ramón

ABRIL – AGOSTO 2007

OBJETIVO GENERAL

Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el CI, las EDO y las Series.

En resumen:Desarrollar la habilidad del razonamiento matemático, para aplicar correctamente las herramientas del Cálculo a la resolución de problemas y construcción de modelos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Utilizar otras técnicas de integración: PP, ST, FP• Conocer y evaluar integrales impropias• Caracterizar y tabular sucesiones• Analizar Series (CV o DV)• Utilizar la serie de Taylor para aproximar funciones

reales• Analizar las series de Fourier

CONTENIDOS

1. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN5.1 Integración por partes 5.2 Integración mediante fracciones parciales5.3 Sustituciones trigonométricas

2. FORMAS INDETERMINADAS6.1 Límites infinitos6.2 Integrales Impropias

1. SERIES7.1 Sucesiones7.2 Series Infinitas (CV, DV)7.3 Convergencia (Criterios)7.4 Serie de Taylor7.5 Series de Fourier

Capítulo 5

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

5.1 INTEGRACIÓN POR PARTES

Método que surge de la formula de la derivada de un producto:

Ejemplo 1:

Nota: Para elegir la función u(x), se sugiere el orden:LOGARÍTMICA, INVERSA TRIGONOMÉTRICA, ALGEBRAICA, EXPONENCIAL

Ejemplo 2:

u = x, du = dxdv = dx, v = xe xe

Ejemplo 3:

dx)xlog(

xv,......dxdv

dxx

1du),.....xlog(u

Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:

Caso Especial: Doble integración por partes

Ejemplo 4:

(1)

(2)

Reemplazando (2) en (1), se tiene:

5.2 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES (PARCIALES)

•Integrar funciones Racionales (cociente de polinomios)•Descomponer una fracción compleja en la suma de dos o más fracciones simples

CASO 1: Funciones de la formaGrado P(x) > Grado Q(x)

Ejemplo:

Donde:

Caso 2: , Grado P(x) < Grado Q(x)

Se hace la descomposición:

Donde constantes reales.

Ejemplo 1:

Igualando numeradores:

Se forma un sistema de ecuaciones lineales:

Resolviendo se obtiene:

Caso 2’: Q(x) tiene raíces repetidas

Entonces:

Ejemplo:

Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.

Caso 2’’: Q(x) tiene raíces complejas distintas.Q(x) posee factores cuadráticos de la forma:

Entonces:

Ejemplo:

Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.

Luego:

Se obtiene:

5.3 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉRICAS

•Integrar funciones Irracionales (Radicales)•Utilizar identidades trigonométricas

Algunos Ejemplos:

Tres casos fundamentales:

a: constante real.

Ejemplo 1: Resolver la integral

tanaau.,.........secau.,.........au

secaua.,.........tanau.,.........ua

cosaua.,.........asenu.,.........ua

2222

2222

2222(1)

(2)

(3)

Ejemplo 2: Resolver la integral

Utilizando la identidad:

Puesto que: =

Capítulo 6

INTEGRALES IMPROPIAS

6.1 LÍMITES INFINITOS

¿Qué significan las siguientes expresiones?

X: toma valores próximos a 2 (der. o izq.)f(x): toma valores positivos muy grandes

X: toma grandesf(x): se aproxima a 5

Gráfica de Límites Infinitos

Algunos Ejemplos

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

6.1 INTEGRALES IMPROPIAS

CASO 1:

CASO 2: f(x) no es acotada en algún punto de [a,b] (tiene asíntotas verticales)

b

a

dx)x(f

b_y_a

b

a

6.1 INTEGRALES IMPROPIAS

CASO 1: INTERVALO NO ACOTADO

b

a

dx)x(f

CASO 2: FUNCIÓN NO ACOTADA

INTEGRALES CONVERGENTES- Si existe el límite

INTEGRALES DIVERGENTES- Si limite es infinito (+/-)

INTEGRALES OSCILANTES- Si no existe limite

NÚMERO FINITO DE SINGULARIDADES

Asíntota = Singularidad

Algunos EjemplosEjemplo 1: Esquematizar la región.

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Capítulo 7 SERIES INFINITAS

7.1 SUCESIONES

Aplicaciones de los naturales en los reales:

a: N R n an

Ejemplo: número e

¡¡¡ Una sucesión converge si tiene límite !!!

Sucesiones MonótonasEjemplo: Analizar la monotonía de la sucesión

nn 2a

creciente_nteestrictame

...aaa

8a

4a

2a

321

3

2

1

verdad.....21

222

22

aa

nn

1nn

1nn

Paso 1 Paso 2

La sucesión es monótona

7.2 SERIES INFINITAS

Sumas parciales

n321n

3213

212

11

a...aaaS

.

.

.

aaaS

aaS

aS

N-ésima suma parcial

¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límitela serie converge !!!

7.3 CONVERGENCIA

EJEMPLOS

Serie armónica divergente

Serie geométrica

PROPIEDADES

CRITERIOS DE CV

Adición:

Producto por escalar:

Criterio del cociente

Criterio de la raíz

Criterio de la INTEGRAL

7.4 SERIE DE TAYLOR

Polinomio de Taylor:

Residuo de Taylor:

La serie de Taylor se rebautizará "serie de Maclaurin" para x = 0

Brook Taylor

ALGUNAS SERIES BÁSICAS de Maclaurin

7.5 SERIE DE FOURIER