Unidad I : Derivadas parciales

Esta unidad esta inserta dentro de una unidad mayor que corresponde a Funciones de

Varias Variables. Es decir de funciones con más de un valor de entrada. El propósito de esta

unidad es aprender a derivarlas e interpretar dichas derivadas a objeto de solucionar

problemas de máximos y/o mínimos.

Objetivos :

� Resolver correctamente las derivadas parciales de una función de dos o más

variables.

� Determinar las derivadas parciales de segundo orden o de orden superior de una

función de dos o más variables.

� Usar correctamente el método para derivadas implícitas.

� Obtener las derivadas parciales usando el método de la regla de la cadena.

� Plantear y resolver correctamente problemas de máximos y/o mínimos que se

manifiestan en un problema cotidiano.

� Analizar y resolver correctamente problemas de máximos y/o mínimos restringidos

con uso de multiplicadores de Lagrange.

� Aplicación técnica del Método de Mínimos Cuadrados.

DERIVADAS PARCIALES - Funciones de dos variables Una función f de dos variables independientes x e y es una regla que asigna a cada par ordenado ( x , y ), en un conjunto dado D (el dominio de f), exactamente un número real denotado por f ( x , y ). Ejemplo

Sea yx

yxyxf

−+

=53

),(2

a) Dominio de f La expresión f ( x , y ) puede calcularse para todos los pares ordenados ( x , y ) con x – y ≠ 0 , es decir , x ≠ y . Geométricamente, es el conjunto de todos los puntos del plano x y , excepto aquellos que están sobre la recta y = x .

b) ( ) ( )

( ) 3

7

21

103

21

2513)2,1(

2

−=+−=

−−−⋅+=−f

La gráfica de una función de dos variables f ( x , y ) es el conjunto de todas las ternas ( x , y , z ) tales que ( x , y ) está en el dominio de f y z = f ( x , y ) . Para dibujar tales gráficas, se debe construir un sistema tridimensional de coordenadas. Para elaborar la gráfica de una función f ( x , y ) de dos variables independientes x e y , es habitual introducir la letra z para indicar la variable independiente y escribir z = f ( x , y ) . En general, su gráfica será una superficie en un espacio tridimensional (cono, paraboloide, elipsoide, hiperboloide, superficie de silla, etc.).

- Derivadas Parciales En muchos problemas relacionados con funciones de dos variables, el objetivo es hallar la razón de cambio de la función respecto a una de sus variables cuando la otra se mantiene constante; es decir, derivar la función respecto a la variable particular en cuestión mientras se mantiene fija la otra variable. El proceso se conoce como derivación parcial y la derivada resultante se denomina derivada parcial de la función. Definición Supóngase que ),( yxfz = . La derivada parcial de f respecto de x se denota mediante:

x

z

∂∂

o ),( yxf x o simplemente xf

y es la función obtenida mediante derivación de f respecto de x , si y permanece constante.

Z Y X

La derivada parcial de f respecto de y se denota como:

y

z

∂∂

o ),( yxf y o simplemente yf

y es la función obtenida mediante derivación de f respecto de y , si x se mantiene constante. Del mismo modo se puede definir:

),.....,,,( 321 nxxxxfz = una función en “n” variables

nx

z

x

z

x

z

x

z

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

,......,,,321

- Derivadas parciales de primer orden No se requieren nuevas reglas para el cálculo de derivadas parciales. Para calcular xf ,

simplemente se deriva f respecto de la única variable x , suponiendo que y es constante. Para

calcular yf , se deriva f respecto de y , suponiendo que x es constante.

Ejemplos

Encontraremos yx fyf

1) 3322 423),( yxxyyxyxf +−= .

322 1226 yxyxyfx

fx +−==

∂∂

232 1243 yxxyxf

y

fy +−==

∂∂

2) x

yxyxyxf

3

22),( 22 ++= . Antes de derivar arreglaremos la función como:

122

3

22),( −++= yxxyxyxf

2

2

3

222

x

yyxf

x

fx −−==

∂∂

x

xyfy

fy 3

24 +==

∂∂

3) xyxeyxf 2),( −=

( ) ( ) xyxyxyx exyyexef

x

f 222 122 −−− +−=−+==∂∂

xyxy

y exxxefy

f 222 22 −− −=⋅−⋅==∂∂

4) ( ) yxeyxLnyxf ++= 22),(

yxyxx e

xexy

yxf

x

f ++ +=⋅+⋅==∂∂ 22

22

222

1

yxyx

y ey

exyx

fy

f ++ +=⋅+⋅==∂∂ 222

2

11

1

5) Un fabricante produce mensualmente dos tipos de productos, los cuales a etiquetado como x e y. Se sabe además que la función de utilidad está dada por la expresión:

65323 325 yxxyyx ++ . a) Determine la utilidad cuando la producción es de x = 20 e y = 50 (en miles de unidades). b) Encuentre la función que describe la utilidad marginal. c) ¿Cuál es la utilidad marginal para una producción de x = 5 e y = 6 (miles de unidades). Solución:

a) 65323 325),( yxxyyxyxU ++=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1765323 105,1502035020250205)50,20( •≈++=U

b) ( ) ( )[ ] ',, yxUyxU m =

552364322 1861015215 yxxyyxUyxyyxU yx ++=++=

( ) 552364322 1861015215 yxxyyxyxyyxUUtotalU yxm +++++=+=

c) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )552364322 6518656651065156265156,5 +++++=totalU m

512.930.874= 6) Supóngase que la función demanda de harina en cierta comunidad está dada por

21

211 52

10500),( p

pppD −

++=

mientras que la demanda correspondiente de pan está dada por

3

72400),(

21212 +

+−=p

pppD

donde 1p es el precio en pesos de un kilo de harina y 2p es el precio de una barra de pan. Determine si la harina y el pan son artículos sustitutos, complementarios o ninguno de los dos. Solución: Encontramos que

02051

2

2

1 ⟨−=∂∂

⟨−=∂∂

p

Dy

p

D

Como ambas derivadas parciales son negativas para todo 1p y 2p , se deduce que la harina y el pan son artículos complementarios. Si sucede que

001

2

2

1 ⟩∂∂

⟩∂∂

p

Dy

p

D se dice que los artículos son sustitutos.

APLICACIÓN EN ECONOMÍA

- Modelo de Producción Cobb- Douglas Un modelo de producción que frecuentemente se ha utilizado en negocios y economía es la función de producción de Cobb-Douglas : P ( x, y ) = Axa y1-a , A > 0 y 0 < a < 1, Donde P es el número de unidades producidas con x unidades de mano de obra e y unidades de capital. El capital es el costo de maquinaria, edificios, herramientas y otros rubros. Las derivadas parciales,

P Py

x y

∂ ∂∂ ∂

se llaman, respectivamente, la productividad marginal de mano de obra y la productividad marginal de capital. Ejemplo Nº 1 : Una empresa , de fabricación de automóviles, tiene la siguiente forma de producción para uno de sus productos : P ( x, y ) = 50x3

2

y 31

. a.- Hallar la producción de 125 unidades de mano de obra y 64 de unidades de capital. b.- Hallar las productividades marginales. c.- Evaluar la productividad marginal en x = 125 e y = 64 a.- P ( 125, 64 ) = 50 ( 125 )3

2

( 64 ) 31

50 ( 25 ) ( 4 ) = 5,000 unidades.

b.- 50P

x

∂ =∂

3

2 x 3

1− y 31

= 3

1

31

3

100

x

y , ó

3

100

x

y 31

;

P

y

∂∂

= 50

3

1 x 3

2

y - 3

2

= 3

2

32

3

50

y

x , ó

y

x

3

503

2

.

c.- P

x

∂∂ )64,125(

= =3

1

31

)125(3

)64(100

)5(3

)4(100 = 26

3

2 ;

(125,64)

P

y

∂∂

= 24

126

)16(3

)25(50

)64(3

)125(503

2

32

== ;

Supongamos que la cantidad de capital invertido es fijo en 64. Entonces, si la cantidad de mano de obra cambia por una unidad desde 125, la producción cambiará aproximadamente en 27 unidades. Supongamos que la cantidad de mano de obra se mantiene fijo en 125. Entonces, si la cantidad de capital invertido cambia por una unidad desde 64, la producción cambiará casi en 26 unidades. La función de producción Cobb-Douglas es consistente con la ley de disminución de los retornos. Es decir, si un valor de entrada ( de mano de obra o capital ) se mantiene fijo, mientras el otro aumenta hacia el infinito, entonces la producción a la postre crecerá a una razón decreciente. Con tales funciones, así mismo se puede dar la situación en que si es posible cierto nivel máximo de producción, entonces los gastos de mayor mano de obra, por ejemplo, no imposibiliten obtener ese máximo nivel de producción.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Una fábrica tiene la siguiente función para su producto : P (x, y ) = 1,800x621.0 y 379.0 , Donde p es el número de unidades producidas con x unidades de mano de obra e y unidades de capital. a.- Hallar la producción de 2,500 unidades de mano de obra y 1,700 unidades de capital. b.- Hallar las productividades marginales. c.- Interpretar los resultados de las productividades marginales del literal b. d.- Evaluar las productividades marginales en : x = 2,500 e y = 1,700. 2.- Un fabricante de calzado de vestir tiene la siguiente función de producción para uno de sus productos : P ( x, y ) = 2,400x5

2

y 53

, Donde P es el número de unidades producidas con x unidades de mano de obra e y unidades de capital. a.- Hallar la producción a partir de 32 unidades de mano de obra y 1,024 unidades de capital. b.- Hallar las productividades marginales. c.- Interpretar los resultados de las productividades marginales encontradas en la letra b. d.- Evaluar las productividades marginales en x = 32 e y = 1,024. - Derivadas parciales de segundo orden Las derivadas parciales pueden derivarse a su vez. Las funciones resultantes se denominan derivadas parciales de segundo orden. Si ),( yxfz = , la derivada parcial de xf respecto de x es

( )

∂∂

∂∂=

∂∂=

x

z

xx

zoff xxxx 2

2

La derivada parcial de xf respecto de y es

( )

∂∂

∂∂=

∂∂∂=

x

z

yxy

zoff yxyx

2

La derivada parcial de yf respecto de x es

( )

∂∂

∂∂=

∂∂∂=

y

z

xyx

zoff

xyxy

2

La derivada parcial de yf respecto de y es

( )

∂∂

∂∂=

∂∂=

y

z

yy

zoff

yyyy 2

2

Observación:

Las derivadas parciales yxf y xyf algunas veces se denominan derivadas

parciales cruzadas de segundo orden de f , es decir xyyx ff =

Ejemplos: 1) Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la función

125),( 23 +++= xxyxyyxf

Solución:

xxyf

yyf

xyxyf

yyf

f

yyf

yy

xy

y

yx

xx

x

106

103

103

103

0

25

2

2

2

23

+=

+=

+=

+=

=++=

2) Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la función

323 3),( yxeyxf yx += +

Solución:

3333 66 xyeyxyyef yxyx

x +⋅=+⋅= ++

223223 99 yxexyxxef yxyx

y +⋅=+⋅= ++

332333 660 yeyyyyeef yxyxyx

xx +⋅=+⋅⋅+⋅= +++

233233 18181 xyexyexyyxeef yxyxyxyx

yx +⋅+=+⋅⋅+⋅= ++++

233233 18181 xyexyexyxyeef yxyxyxyx

xy +⋅+=+⋅⋅+⋅= ++++

yxexyxxxeef yxyxyxyy

232233 18180 +⋅=+⋅⋅+⋅= +++

3) Para ( )yxyLnyyxf 52),( 2 +⋅= . Encuentre ( )1,3−yxf

Solución:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

81

8

56

2012

5132

1201341,3

52

204

52

4208

52

22524

52

2

52

22

52

1520

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

32

2

2

−=−=+−−=

+−⋅⋅−⋅+−⋅⋅=−

++

=+

−+=

+⋅−+⋅

=

+=

+=⋅⋅

+++⋅=

yx

yx

x

f

xy

yxy

xy

xyyxy

xy

yxxyyf

xy

y

yxy

yyy

yxyyxyLnf

- Ecuaciones que involucran el uso de derivadas parciales Ejemplos:

1) ( ) 0., =⋅+⋅= yxx

y

fyfxqueDemuestreeyxfSi

Solución:

221

x

yeyxef x

y

x

y

x ⋅−=⋅⋅−⋅= −

x

e

xef

x

y

x

y

y =⋅= 1

0:2

=⋅+⋅−=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅ x

y

x

yx

y

x

y

yx ex

ye

x

y

x

ey

x

yexfyfxEntonces

2) Sea la función 1223),( 223 −+−= yyxxyxf . Demuestre que:

03222

22

2

2

=∂∂⋅+

∂∂∂⋅+

∂∂⋅

y

fy

xy

f

x

f

Solución:

( ) ( ) ( )

00

012121212

04362662

6466

4363

2

2

2

2

2

22

==+−−=⋅+−⋅+−⋅

−=∂∂

∂=∂∂−=

∂∂

+=∂∂−=

∂∂

yxyx

yxyx

Entonces

xxy

f

y

fyx

x

f

yxy

fxyx

x

f

3) Para xzzyyxzyxU 222),,( ++= . Demuestre que:

( )2zyxUUU zyx ++=++

Solución:

( )( )

( ) ( )22

2222

2222

222

222

222

222

zyxzyx

zyxyzxzxyzyx

zyxxzyyzxzxy

Entonces

xzyUyzxUzxyU zyx

++=++

++=+++++

++=+++++

+=+=+=

4) La altura de un cono circular, mide 100 cm. y disminuye 10 cm./por segundo, si el radio de la base mide 50 cm. y aumenta 5 cm. por segundo. ¿Cuál es la rapidez de cambio del volumen?. Solución:

33

1 2 == ππ hrV

( )

( ) ( )

segundoporcm

t

v

rhrrhrt

v

t

h

t

rr

h

vhr

r

v

/000.25

000.75000.505033

10100503

3

10100,50

3

10

3

1010

3

15

3

2

1053

1

3

2

3

2

22

2

−=

−=⋅⋅−⋅⋅⋅=∂∂

−=−⋅

+⋅

=∂∂

−=∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂

ππππ

ππ

5) Un fabricante produce y vende 2 artículos distintos , denominados x e y . Si en la

producción del artículo x gasta U$ 5 por unidad y en la producción del artículo y U$ 6 por unidad; además tiene costos fijos de U$ 15.000. Si por cada artículo x logra ingresos de U$ 11 y por cada artículo y U$ 10. Determine como varia la utilidad respecto al tiempo si se sabe que en la producción del artículo x usa 252 +− tt horas de trabajo y en la

producción del artículo y usa 4

322 +

−t

t horas de trabajo.

Solución:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )22

2

22

2

22

2

22

2

4

322483012

4

8624526

4

862

4

3224252

46

000.1546,

65000.151011,

,,,

+

++−+−=

+

++−⋅+−⋅=

+

++−=+

−⋅−+⋅=−=

==−+=

++−+=−=

t

ttt

t

ttt

dt

dU

t

tt

t

ttt

dt

dyt

dt

dx

dydx

yxyxU

yxyxyxU

yxCyxIyxU

- Regla de derivación en cadena para las derivadas parciales

a) Regla de la cadena: una variable independiente.

Sea ),( yxfw = una función diferenciable de x y de y . Si )()( thyetgx == son funciones derivables de t , entonces w es función derivable de t , con:

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw

∂∂+

∂∂=

En general, sea ),........,,,( 321 nxxxxfw = se tiene:

dt

dx

x

w

dt

dx

x

w

dt

dx

x

w

dt

dx

x

w

dt

dw n

n∂∂++

∂∂+

∂∂+

∂∂= ..........3

3

2

2

1

1

Ejemplos: 1) Sea yxxyyxyxf 3222 223),( +−=

153 2 −+= ttx ( )226 −= ty . 0=tcuandodt

dfHallar

Solución:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1522912610

2438512224216245063296

206121241441650641642416

,41,0

261224656626

26126262

56

246

626

32222

32222

32

222

−=−−=

−+−=−−++++−−=

−−+−−−++−+−−=

=−==

−+−+++−=

−=⋅−=∂∂

+=∂∂

+−=

+−=

dt

df

deciresyexentoncestSi

txxyyxtyxyxydt

df

ttt

y

tt

x

xxyyxf

yxyxyf

y

x

2) Sea xyx

eyxf xy −+= + 1),( 1

dt

dfEncontrar

tytx .

134

2=−=

Solución:

xy

xex

xxy

xey

f

xy

y

xey

yxyx

yex

f

yx

yx

yx

yx

2

2

1

2

1

2

11

1

1

21

21

−=

⋅−⋅=∂∂

−−=

⋅−−⋅=∂∂

+

+

+

+

31

21

3

2

24

2

1

24

txy

xex

xy

y

xey

dt

df

tt

y

t

x

yxyx ⋅

−+⋅

−−=

−=∂∂=

∂∂

++

b) Regla de la cadena: dos variables independientes. Sea ),( yxfw = , función diferenciable de x e y . Si ),(),( tshyetsgx == y

Existen las derivadas parciales tysytxsx ∂∂∂∂∂∂∂∂ ,,, , entonces sw ∂∂ y

tw ∂∂ existen también y vienen dadas por:

t

y

y

w

t

x

x

w

t

w

s

y

y

w

s

x

x

w

s

w

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

Ejemplo: Usar la regla de la cadena para calcular paratwysw ∂∂∂∂

tsyetsxdondexyw =+== 222

Solución:

ts

ys

s

xx

y

wy

x

w 1;2;2;2 =

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂

( )

t

ts

t

ts

t

s

quedatsxtsyssustituimot

xys

txsy

s

y

y

w

s

x

x

w

s

w

Entonces

22222

22

26224

;2

41

222

+=++

⋅=

+==+=

⋅+⋅=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

Análogamente manteniendo s constante se obtiene

( )

( ) ( ) 222

22

2

;222

222

tsxtsyssustituimot

stst

t

s

t

sxty

t

y

y

w

t

x

x

w

t

w

+==

−+⋅+

⋅=

−⋅+⋅=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

2

32

2

232

2

22

22224

224

t

sst

t

stsst

t

stss

−=−−=

+−=

- Derivada Parcial Implícita

Aplicaremos la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función dada en forma implícita . Si x e y están relacionadas por la ecuación ( ) 0, =yxF , donde suponemos que

( )xfy = es una función derivable de x , para hallar dxdy , veremos que la regla de la cadena proporciona una alternativa conveniente. Si consideramos la función dada por

( ) ( ))(,, xfxFyxFw ==

por teorema anterior (regla de la cadena: una variable independiente), nos permite escribir

( ) ( )dx

dyyxF

dx

dxyxF

dx

dwyx ,, +=

Como ( ) 0, == yxFw para todo x en el dominio de f, sabemos que 0=dxdw así que

( ) ( ) 0,, =+dx

dyyxF

dx

dxyxF yx

Pues bien, si ( ) 0, ≠yxFy , basta recordar que 1=dxdy para concluir que

( )( )

dy

dfdx

df

dx

dycomoescribesetambién

yxF

yxF

dx

dy

y

x−

=−=,

,

Si la ecuación ( ) 0,, =zyxF define implícitamente a z como función diferenciable de x e y, entonces

( )( )

( )( ) ( ) 0,,,

,,

,,

,,

,,≠== zyxF

zyxF

zyxF

dy

dzy

zyxF

zyxF

dx

dzz

z

y

z

x

Ejemplo:

1) Hallar dxdy , dado que 045 223 =+−−+ xyyy

Solución:

( ) ( )523

2

523

2

5232

45),(

22

2

223

−+=

−+−−=

−+=−=

+−−+=

yy

x

yy

x

dx

dy

yydy

dfx

dx

df

xyyyyxf

2) ( )dx

dyEncontrar

x

yxy

xyxfSea .

12

4,

2

2

++−=

Solución:

x

yx

x

yy

x

x

yx

x

yy

xdx

dy

x

yx

dy

df

x

yy

xdx

df

22

12

8

22

12

8

22

12

8

2

2

32

2

3

2

2

3

+−

+++=

+−

+−−−

−=

+−=

+−−−=

3) ( ) 5323,, 3222 −++−= yzzyxzxzyxfSea Solución:

yzx

zyx

yzx

zyx

dy

dz

yzx

xzxy

yzx

xyxz

dx

dz

yzxdz

dfzyx

dy

dfxyxz

dx

df

363

32

363

32

363

62

363

26

3633226

22

2

22

2

22

2

22

2

2222

++−=

+++−−=

++−=

++−−=

++=+−=−=

- La Diferencial Total La diferencial de una función ),( yxfz = se define por

dyy

zdx

x

zdz ⋅

∂∂+⋅

∂∂=

Los términos y

z

x

z

∂∂

∂∂

, se llaman a veces diferenciales parciales de z respecto a x e y

Entonces la suma de estas diferenciales parciales se denomina diferencial total de la función w. En general, la diferencial total de una función

).,,.........,,( 321 nxxxxfz =

se define por la suma de todas sus diferenciales parciales

nn

dxx

zdx

x

zdx

x

zdx

x

zdz

∂∂++

∂∂+

∂∂+

∂∂= ..........3

32

21

1

Ejemplos:

1) Sea 13),( 22 ++−= yy

xyxyxf

Solución:

yyy

xxx

yxydf

yy

xxf

yxyf yx

∂⋅

+++∂⋅

−=

++=−=

231

6

231

6

22

22

2) ( )xy

yxyxyxfzSea

2322 2

3),(++−== . Encontraremos dz

Solución:

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) yxy

xyyxyx

x

yyxxdz

xy

xyyxy

xy

xxyyxy

y

f

xy

xyxxyyxy

xy

yxxxyyyyx

y

f

x

yyxx

x

f

xy

yxyxyyxx

xy

yxyxyxyx

x

f

∂⋅

−+⋅−−+∂⋅

−−⋅=

−+⋅−−=−+⋅−−=∂∂

−−+⋅−−=+⋅−⋅+−⋅−=∂∂

−−⋅=∂∂

−−+−⋅=+⋅−⋅+⋅−=∂∂

2

2222

2222

2

2222

2

22222

2

222222

2

2222

2222

2

3222

2

2222

21818

218

218

2218

2229

18

2218

2229

2) El costo total de una compañía, en miles de dólares, está dado por :

( ) ( )154,,, 2 +−++= wLnzyxwzyxC , donde x US$ se invierten en mano de obra, y US$ para materia prima, z US$ para publicidad y w US$ en maquinaria.

a) Hallar la función del costo marginal. b) Calcular el costo marginal para x=3 , y=2 , z=0 , w=10.

Punto de silla x y z

Solución:

( ) ( )

( ) wzyxCb

ww

zyxx

ww

zyxxinalmCostoa

wdw

dC

dz

dC

dy

dCx

dx

dC

wLnzyxwzyxC

∂⋅+∂+∂⋅+∂⋅=

∂⋅+

+∂+∂⋅+∂⋅=

∂⋅+

+∂⋅+∂⋅+∂⋅=

+====

+−++=

11

152410,0,2,3)

1

158

1

1158arg)

1

1158

154,,, 2

- Optimización de funciones de varias variables o Aplicación de derivadas parciales al cálculo de máximos o mínimos

Sea ( )nxxxxf ,..........,,, 321 una función de n variables, con n derivadas parciales de la

forma nicondx

df

i

.,,.........3,2,1= , la solución del sistema de ecuaciones 0=idx

df

corresponde a los puntos críticos y extremos relativos, es decir, los posibles máximos y/o mínimos de la función ( )nxxxxf ,..........,,, 321 .

Un punto crítico que no es ni máximo relativo ni mínimo relativo se denomina punto de

silla.

Ejemplo: Encontremos el (o los) puntos críticos de la superficie:

( ) yxxyyxyxf −++−= 3263, 22

Solución:

01212

0326

=−+−=

=++=

xydy

df

yxdx

df

ahora procedemos a resolver el sistema de ecuaciones que se forma con

01212

0326

=−+−=++

xy

yx

la(s) solución(es) de este sistema es(son) los puntos críticos, en este caso:

19

3.

38

17 −=−= yex ; es decir:

−−19

3,

38

17

- Criterio de las segundas derivadas

El siguiente procedimiento incluye las derivadas parciales de segundo orden que pueden utilizarse para determinar si un punto crítico dado es un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de silla. Siendo ),( yxfz = con derivadas parciales yx fyf ; se obtienen entonces las

derivadas parciales de segundo orden yyxyyxxx ffff ;;; . Supóngase que ( )ba, es un

punto crítico de la función ),( yxfz = . Sea

[ ]2yxyyxxxyyxyyxx fffffff −⋅=⋅−⋅=∆

Si 0⟨∆ , entonces f tiene un punto de silla en ( )ba, . Si 0⟩∆ , y 0⟨xxf , entonces f tiene un máximo relativo en ( )ba, .

Si 0⟩∆ , y 0⟩xxf , entonces f tiene un mínimo relativo en ( )ba, .

Si 0=∆ , y 0⟨xxf , el criterio no es concluyente y f puede tener un extremo relativo o

un punto de silla en ( )ba, . Ejemplos:

1) Hallar los puntos críticos de la función ( ) 22, yxyxf += y clasifíquelos como máximo relativo, mínimo relativo o punto de silla.

Solución: ( )0,0000202 críticopuntoyexyfxf yx ⇒==⇒====

0;0;2;2 ==== yxxyyyxx ffff por lo tanto se tiene que:

[ ] 404022 22 =−=−⋅=−⋅=∆ xyyyxx fff ; entonces 0⟩∆

Por tanto, f tiene un extremo relativo en ( )0,0 . Además, como 02 ⟩=xxf

Se deduce que el extremo relativo en ( )0,0 es un mínimo relativo. En la figura se incluye la gráfica de f como referencia:

z y Mínimo relativo x

2) ( )3

1366, 23 −+++−= yxyxyxyxf

Solución:

( )

Mínimounesf

enevaluarquetenemos

mínimoomáximoposiblei

Evaluamosxx

fffxf

yxyxdondede

yxf

yxf

xx

yyyxxyxx

y

x

⇒⟩=⋅=

⟩=−⋅=

∆

∆−=−−⋅=∆

=−=−==

=⇒=∧=⇒=

=++−==+−=

2

27,503056

2

27,5

,024365122

27,5)

:.3612626

2;6;6;62

31

2

275:

0326

0663

2

2

silladepuntounesii

⇒⟨−=−⋅=

∆2

3,102436112

2

3,1)

3) Una firma produce dos tipos de radios, una que vende a US$ 17 y otra que vende a

US$ 21. Los ingresos totales de la venta de “x” miles de radios de US$ 17 e “y” miles de radios de US$ 21 cada una, está dado por: ( ) yxyxI 2117, += La compañía determina que el costo total, en miles de dólares, para la producción de

ambos modelos, está dado por: ( ) 32511244, 22 −+−+−= yxyxyxyxC Hallar la cantidad de cada modelo que se deben producir y vender con el fin de maximizar las utilidades. Solución: Utilidad = Ingresos – Costos

[ ]

( )

[ ] [ ]( )

( ) ( )

( ) ( )

000.77$

21$000.517$000.6

:

5,6085,68

)(

5,6,0165,6

5,6

161632448:

4448

5,6

56:

0444

04828

3424428),(

325112442117),(

325112442117),(

22

22

22

22

USdeseriautilidadLa

USdeyUSde

oproduciendobtieneseutilidadmáximaLa

máximounesU

UenóUenEvaluamos

mínimounomáximounesentonces

enEvaluamos

UUUenosreemplazam

UUUU

mínimoómáximoposibleeles

yextienesedondede

yxU

yxU

yyxyxxyxU

yxyxyxyxyxU

yxyxyxyxyxU

xx

yyxx

xyxyxx

yyyxxyxx

y

x

⇒⟨−=−=

⟩=∆∆

=−=−−⋅−=−⋅=∆

−===−=∴

==

=−+−==+−=

+−−+−=+−+−+−+=−+−+−−+=

4) Una compañía que produce un único producto, encuentra que su utilidad, en millones de pesos, es una función dada por:

( ) 300244835, 22 ++−+−−= ammamamaP donde “a” es la cantidad invertida en publicidad, en millones de pesos, y “m” el número de artículos vendidos en miles. Hallar el valor máximo de P y los valores de a y m para los cuales se alcanza este. Solución:

( )

[ ]( )

( ) ( )( ) ( )

artículosvender

debenseypublicidadeninvertirdebese

máximounesP

mínimounomáximounes

enEvaluamos

PPPP

myaobtienesesistemaesteresolverAl

amP

maP

aa

mmmaamaa

m

a

000.1

000.000.5$

1,50101,510

1,5,0561,556

1,5

564602610

62210

1,515:

0246

024810

2

∴⇒⟨−=−=

∴⟩=∆

=−=−−⋅−=∆

−===−=⇒==

=+−−==++−=

5) Un supermercado vende dos marcas de jugo de naranjas: una marca local, que obtiene a

un costo de 30 pesos por lata, y una marca nacional, muy conocida, que obtiene a un costo de 40 pesos la lata. El administrador calcula que si la marca local se vende a x pesos la lata y la marca nacional se vende a y pesos la lata, cada día venderá aproximadamente

yx 4570 +− latas de la marca local y yx 7680 −+ latas de la marca nacional. ¿Qué precio debería fijar el tendero a cada marca para maximizar las utilidades obtenidas de la venta del jugo? Solución: Utilidad total = (Utilidad venta marca local) + (Utilidad venta marca nacional) La utilidad diaria total está dada por la función:

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) [ ] ( ) ( ) 40101410,

:101410

:,

55,53

5553:

02401410

0201010

300.5240720105

768040457030,

22

22

=−−⋅−=−⋅=∆

=−=−=

==

=+−==−+−=

−+−−+−=

−+−++−−=

xyyyxx

xyyyxx

y

x

fffyx

obtienesefff

parcialesderivadassegundaslasdecriterioelaplicandoLuego

fdecríticopuntoúnicoelesquededuceSe

yexobtenemossistemaesteoresolviend

yxf

yxf

yyxxyx

yxyyxxyxf

y puesto que ( ) 04055,53 ⟩=∆ y ( ) 01055,53 ⟨−=xxf

se deduce que f tiene un máximo en ( )55,53 . Es decir , el administrador del supermercado puede maximizar la utilidad vendiendo la marca de jugo local a 53 pesos la lata y la marca nacional a 55 pesos la lata.

6) Un planificador de Kansas Inc. traza una cuadrícula en un mapa y determina que los clientes más importantes de esta empresa se encuentran en: ( ) ( ) ( )0,80,0,5,1 CyBA , donde las unidades están en kilómetros . ¿ En qué punto

( )yxW , debería estar ubicada la bodega para minimizar la suma de las distancias de W a A , B y C , según lo indica la figura:

Solución: El punto ( )yxW , donde se minimiza la suma de las distancias es el mismo punto que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias; por ejemplo:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]44 844 7648476444 8444 76CaWBaWAaW

yxyxyxyxS 222222 851, +−+++−+−=

(Al trabajar con los cuadrados de las distancias, se eliminan las raíces cuadradas y se pueden efectuar los cálculos con más facilidad). Para minimizar S, se comienza calculando las derivadas parciales:

( ) ( )( ) 1062252

18682212

−=++−=−=−++−=

yyyyS

xxxxS

y

x

Entonces 00 == yx SyS cuando:

0106

0186

=−=−

y

x ⇒

3

53 == yex

Como :,0,6,6 obtieneseSSS yxyyxx ===

[ ] 0360362 ⟩=−=−⋅=∆ yxyyxx SSS

y 063

5,3 ⟩=

xxS . Luego la suma de los cuadrados se minimiza y se representa en el

punto

3

5,3W

- Optimización restringida: Método de los Multiplicadores de Lagrange En muchos problemas, una función de dos variables debe optimizarse sujeta a una restricción

o condición en las variables. La técnica utilizada, anteriormente, para resolver este problema implicaba reducirlo a un problema de una sola variable, resolver la ecuación de restricción para una de las variables y luego sustituir la expresión resultante en la función que debía optimizarse, lo que con frecuencia es difícil o incluso imposible de realizar en la práctica. En esta sección, se estudiará una técnica mucho más versátil denominada método de los multiplicadores de Lagrange, en el cual la introducción de una tercera variable (el multiplicador) permite resolver problemas de optimización restringida sin tener que resolver la ecuación de restricción para una de las variables.

y A(1,5) W(x,y) x B(0,0) C(8,0)

Específicamente, este método utiliza el hecho de que cualquier extremo relativo de la función ( )yxf , sujeto a la restricción ( ) kyxg =, debe ocurrir en un punto crítico ( )ba, de la

función. ( ) ( ) ( )[ ]kyxgyxfyxF −−= ,,, λ

donde λ es una nueva variable (el multiplicador de Lagrange). Para hallar los puntos críticos

de F , calcule las derivadas parciales.

( )kgFgfFgfF yyyxxx −−=−=−= λλλ ,,

y resuelva simultáneamente las ecuaciones 00,0 === λFyFF yx de la siguiente

manera:

( ) kgogF

gfogfF

gfogfF

x

yyyyy

xxxxx

==−−=

==−===−=

0

0

0

λλλλλ

Por último, calcule ( )baf , en cada punto crítico ( )ba, de F . Ejemplos:

1) Sean las funciones

( )( )( ) yxyxV

litrosyxV

xyxyxf

2

2

,

500,

2016,

=

=+=

Solución:

( )[ ]kyxgyxyx −→=−⇒= ,0500500 22 λ ( ) ( ) ( )[ ]kyxgyxfyxF −−= ,,, λ

( ) ( )5002016, 22 −−+= yxxyxyxF λ

022032 =−+= xyyxfx λ

020 2 =−= xxf y λ

05002 =−= yxfλ

de la segunda ecuación se tiene:

( )

x

x

xxxx

=

==−∧=⇒=−

λ

λλλ

20

20

0200020

sustituimos en la tercera ecuación, para despejar y:

4

5

400

5000500

4000500

20 22

2

2 λλλλ

==⇒=−

⇒=−

yy

sustituimos x e y en la primera ecuación:

( )

( ) ( )( ) 5049,108,6

5006,252016,

:,,

9,1085,106,254

5

8,678,66,25

20:

6,256,2525

64025

640

025640

05025640

04

5202

4

520

2032

22

232

23

3

3332

2

22

22

=⋅==

−−+=

≈==

≈==

=⇒=⇒=⇒=

=−

=−+

=

⋅

⋅−

⋅+

⋅

yxV

yxxyxyxF

tieneseentoncesAsí

y

xEntonces

λλλλλ

λλ

λλλ

λλ

λλλ

2) Se va a construir un joyero. El material de la parte inferior cuesta US$ 1 la pulgada

cuadrada, el de los lados cuesta US$ 2 la pulgada cuadrada, el de la parte superior o tapa cuesta US$ 5 la pulgada cuadrada. Si el volumen total es 96 pulgadas3 , ¿qué dimensiones minimizarán el costo total de construcción?. Solución:

Sea x la profundidad de la caja, y el largo y z el ancho, como se indica en la figura adjunta. Entonces el volumen de la caja es xyzV = y el costo total de construcción está dado por

( )

87644 844 7648476

↑↑↑

++−+++=

TapaLadoserior

Parte

zxyxzyzyxzxyzyC

inf

44652221

Se desea minimizar ( ) zxyxzyzyxzxyzyC 44652221 ++−+++= sujeta

a 96== xyzV . Las ecuaciones de Lagrange son:

( )( )( )yxxyoVC

zxxzoVC

zyzyoVC

zz

yy

xx

λλλλλλ

=+=

=+==+=

46

46

44

y 96=zyx .Despejando λ en cada una de las primeras tres ecuaciones se obtiene:

λ=+=+=+yx

xy

zx

xy

zy

zy 464644

z x y

Al multiplicar cruzado por cada ecuación se obtiene

zxzyxyxzyx

zyxzyzyxyx

zyxzyzxzyx

22

22

22

4646

4644

4644

+=++=++=+

que pueden simplificarse restando primero los términos comunes zyx de ambos miembros de cada ecuación

zyyx

zyyx

zyzx

22

22

22

64

64

64

===

y luego dividiendo entre 2z en ambos miembros de la primera ecuación, entre 2y en la

segunda y entre 2x en la tercera para obtener

zy

xzyquemaneradezx

yx

443

264

64

=

===

=

Por último, al sustituir estas expresiones en la ecuación de restricción 96=zyx , se obtiene que

( ) 463

2

6216

969

4

963

2

3

2

3

3

===

==

=

=

zyentonces

xox

x

xxx

Luego el costo mínimo ocurre cuando el joyero tiene 6 pulgadas de altura y base cuadrada de 4 pulgadas de lado.

2) Un consumidor tiene US$ 600 para invertir en dos artículos: el primero de ellos cuesta

US$ 20 la unidad y el segundo, US$ 30 la unidad. Suponga que la utilidad obtenida por el consumidor de las x unidades del primer artículo y de las y unidades del segundo artículo

está dada por la función de utilidad de Cobb-Douglas ( ) 4.06.010, yxyxU = . ¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar la utilidad? Solución: El costo total es: yx 3020 + (donde x es unidades del primer artículo e y del segundo).

El objetivo es maximizar la utilidad ( )yxU , sujeta a la restricción de presupuesto: 6003020 =+ yx .

Las tres ecuaciones de Lagrange son:

6003020304206 6,06,04,04,0 =+== −− yxyxyx λλ

De las primeras dos ecuaciones se obtiene:

xyoxy

yxyx

yxyx

9

449

49

30

4

20

6

6,06,04,04,0

6,06,04,04,0

==

=

==

−−

−−

λ

Al sustituir esto en la tercera ecuación, se obtiene:

6009

43020 =

+ xx

de lo cual se deduce que: ( ) 8189

418 === yex

Es decir, para maximizar la utilidad, el consumidor debería comprar 18 unidades del primer artículo y 8 unidades del segundo.

3) A un editor se le han asignado US$ 60.000 para invertir en desarrollo y promoción de un

nuevo libro. Se estima que si se invierten x miles de dólares en desarrollo e y miles de

dólares en promoción, se venderán aproximadamente ( ) yxyxf 2320, = ejemplares del libro. ¿Cuánto dinero debería asignar el editor a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas?. Solución:

El objetivo es maximizar la función ( ) yxyxf 2320, = sujeta a la restricción

( ) 60, =yxg , donde ( ) yxyxg +=, . Las ecuaciones de Lagrange correspondientes son

602030 2321 =+== yxxyx λλ

De las primeras dos ecuaciones se obtiene 2321 2030 xyx =

Como el valor máximo de f claramente no ocurre cuando x=0 , puede suponer que x≠0 y

dividir ambos miembros de esta ecuación entre 2130x para obtener xy3

2=

Al sustituir esta expresión en la tercera ecuación, se obtiene

603

560

3

2 ==+ xoxx

de lo cual se deduce que

( ) 24363

236 === yyx

Es decir para maximizar las ventas, el editor debería invertir US$ 36.000 en desarrollo y US$ 24.000 en promoción. Si esto se logra, se venderán aproximadamente

( ) 680.10324,36 =f ejemplares del libro

y Curva óptima de indiferencia ( ) CyxU =,

20 (18,8) Curva de presupuesto 60030520 =+x 30 x

- Importancia del multiplicador de Lagrange

La mayor parte de los problemas de optimización restringida pueden resolverse por el método de los multiplicadores de Lagrange sin obtener un valor numérico para el multiplicador λ de Lagrange. Sin embargo, en algunos problemas se puede calcular λ . Esto se debe a que λ tiene la siguiente interpretación útil.

Ejemplo: Suponga que al editor del ejemplo anterior se le asignan US$ 61.000 en lugar de US$ 60.000 para invertir en desarrollo y promoción de un nuevo libro. Estime cómo afectarán los US$ 1.000 adicionales el nivel máximo de ventas. Solución: En el ejemplo anterior se resolvieron las tres ecuaciones de Lagrange

602030 2321 =+== yxxyx λλ

para hallar que el valor máximo M de f(x,y) sujeto a la restricción 60=+ yx ocurrió cuando

x=36 e y=24 . Para hallar λ , sustituya estos valores de x e y en la primera o la segunda ecuación de Lagrange. Al utilizar la segunda ecuación, se obtiene

( ) 320.43620 23 =⋅=λ

lo cual significa que las ventas máximas se incrementarán aproximadamente en 4.320 ejemplares (de 103.680 a 108.000) si el presupuesto aumenta de US$ 60.000 a US$ 61.000.

y Nivel óptimo de ventas ( ) 680.103, =yxf

60 (36,24) Recta de presupuesto 60=+ yx

60 x

Multiplicador de Lagrange * Suponga que M es el valor máximo (o mínimo) de ( )yxf ,

sujeto a la restricción ( ) kyxg =, . El multiplicador λ de Lagrange es la razón de cambio de M respecto de k. Es decir:

dk

dM=λ

Por lo tanto, λ ≈ cambio en M resultante de un aumento de 1 unidad en k.

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS En el proceso de analizar un fenómeno particular se obtiene el conjunto de datos representados en la figura A . Los puntos parecen estar aproximadamente en línea recta, pero ¿ cuál recta ?. En otras palabras, dada una colección de puntos ( x1, y1 ), (x2, y2 ),..., ( xn, yn ), ¿ cuál recta y = mx + b “ se ajusta mejor” a los datos ? Figura A

Figura B :

Uno de los procedimientos utilizados con mayor frecuencia para determinar la recta del mejor ajuste es calcular la suma de cuadrados S de las distancias verticales desde el punto de los datos hasta la recta y = mx + b ( véase la figura B ). La suma S será una función de dos variables m ( pendiente ) y b ( intersección del eje y ), y se obtiene la recta del mejor ajuste utilizando los procedimientos de optimización de esta sección para minimizar la función S(m, b). A continuación se da un ejemplo. Hallar la ecuación de la recta más cercana a los tres puntos ( 1, 1 ), ( 2, 3 ) y ( 4, 3 ). Como se indica en la figura C, la suma de los cuadrados de las distancias verticales desde los tres puntos dados hasta la recta y = mx + b es : d 21 + d 22 + d 23 = ( m + b - 1 )2 + ( 2m + b - 3 )2 + ( 4m + b - 3 )2

Esta suma depende de los coeficientes m y b que definen la recta, de modo que la suma puede considerarse una función S ( m, b ) de dos variables m y b. Por tanto, el objetivo es hallar los valores de m y b que minimizan la función : S ( m, b ) = ( m + b - 1 )2 + ( 2m + b - 3 )2 + ( 4m + b - 3 )2

Esto se logra igualando a cero las derivadas parciales S

S

∂∂

y b

S

∂∂

para obtener :

m

S

∂∂

= 2 ( m + b - 1 ) + 4 ( 2m + b - 3 ) + 8 ( 4m + b - 3 ) = 42m + 14b - 38 = 0

Figura C :.

Minimización de la suma de cuadrados d 2

1 + d 22 + d 23

Como b

S

∂∂

= 2 (m b - 1 ) + 2 ( 2m b - 3 ) + 2 ( 4m + b - 3 ) = 14m 6b - 14 = 0

procediendo a formar un sistema de ecuaciones : 21m + 7b = 19

7m + 3b = 7 para m y b se obtiene :

m = 7

4 ; b = 1

Por otra parte : Smm = 42 Smb = 14 Sbb = 6

Además: ∆ = Smm - S2

mb = (42 ) ( 6 ) - ( 14 )2 = 56 Entonces ∆ > 0 y Smm > 0, y el criterio de las segundas derivadas parciales indica

que el punto

1,

7

4 corresponde a un mínimo relativo. En consecuencia, la recta que mejor se

ajusta a los tres puntos dados tiene la ecuación : y = 7

4x + 1.

El procedimiento puede generalizarse para hallar la recta del mejor ajuste y = mx + b para un conjunto arbitrario de datos (x1, y1 ), (x2, y2 ),..., ( xn , yn ). Específicamente se minimizaría la función suma de cuadrados S ( m, b ) = ( mx1 + b - y1 )

2 + . . . + ( mxn + b - yn )2

Puede demostrarse que el mínimo ocurre cuando

m = ( )∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−22 xxn

yxxyn

b = ( )∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

−

−22

2

xxn

xyxyx

donde, por simplicidad, se han eliminado los índices en las sumas. Por ejemplo,

222

21

1

22 ... n

n

jj xxxxx +++== ∑∑

=

Un ejecutivo del Centro de Estadística de la Universidad de Las Américas recopiló promedios de notas( P.N) obtenidos por estudiantes de educación media y universitaria del año 2004. P.N Enseñanza media 5.5 5.3 4.5 6.0 5.7 6.2 4.0 5.9 P.N Universitarias 3.7 4.2 5.1 4.7 4.1 5.1 3.0 3.8 Halle la ecuación de la recta de mínimos cuadrados para estos datos y utilícela para pronosticar el promedio de calificaciones de un estudiante universitario cuyo promedio de calificaciones de educación media es 5.72 Sea x el promedio de calificaciones en enseñanza media y y el promedio de calificaciones universitarias. Ordene los cálculos de la siguiente manera :

x y xy x 2 5.5 3,7 20,35 30,25 5.3 4,2 22,26 28,09 4.5 5,1 22.95 20,25 6,0 4,7 28.2 36,0 5,7 4,1 23,37 32,49 6,2 5,1 31,62 38,44 4,0 3,0 12,0 16,0 5,9 3,8 22,42 34,81

∑ 43,1 ∑ 33,7 ∑ 183,17 ∑ 236,33

Utilice la fórmula de mínimos cuadrados con n = 8 para obtener

m = 2

8 (183,17 ) 43,1 (33.7 )0,39

8 (236,33) (43.1)

⋅ − ⋅⋅ −

�

y

b =2

236,33 (33,7 ) 43,1 (183,17 )2,1

8 (236,33) (43,1)

⋅ − ⋅⋅ −

�

Por tanto, la ecuación de la recta de los mínimos cuadrados es Y = 0.39 x + 2,1 Para pronosticar el promedio de notas ( P.N ) de un estudiante de enseñanza superior cuyo P.N en enseñanza media es 5.72, sustituimos x = 5.72 en la ecuación de la recta de mínimos cuadrados es decir, Y = 0.39 ( 5,72 ) + 2,1 = 4,33 Lo cual indica que el promedio de calificaciones del estudiante de educación superior puede ser aproximadamente 4,3. Figura D

Figura D recta de mínimos cuadrados para los promedios de calificaciones ( P.N ) en la educación media y la superior.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Las ventas de celulares en la ciudad de Santiago han experimentado un crecimiento sostenido durante los últimos 5 años. En relación a la venta de celulares bajo el concepto de contrato en alguno de los planes ofrecidos se puede observar la siguiente relación:

Año Número de contratos

1999 ( 1 ) 56 2000 ( 2 ) 78 2001 ( 3 ) 140 2002 ( 4 ) 230 2003 ( 5 ) 350

� El número de contratos está expresado en miles

a) Hallar la recta de regresión lineal y = m x + b b) Utilizando la recta de regresión hallada pronostique la venta de celulares para el año 2004 y 2005.

2.- En la cátedra del curso MAT 163 en la UDLA ( tomando en consideración todos los Campus de Santiago ) se ha realizado un estudio que pretende pronosticar las calificaciones del examen final de los estudiantes con base de las evaluaciones obtenidas en las dos primeras cátedras . Se determinó una ecuación tomando en consideración las notas obtenidas por cuatro estudiantes ( escogidos aleatoriamente ) que tomaron el mismo curso con el mismo profesor del semestre anterior.

Notas ( promedio de cátedras

1 y 2) Notas en el examen final

3,4 4,2 4,5 5,2 3,8 3,9 5,7 5,4

a) Hallar la recta de regresión lineal y = m x + b b) Utilizando la recta de regresión hallada pronostique la nota a obtener por un alumno

que obtuvo como promedio en las cátedras 1 y 2 un 4,8. 3.- De acuerdo al mejoramiento en la calidad de vida de las personas en nuestro país se ha ido incrementando el promedio de vida de las personas. Si se sabe que la expectativa de vida de las mujeres ha tenido el siguiente comportamiento,

Año Expectativa de vida ( en años ) 1960 ( 1 ) 62,3 1970 ( 2 ) 64,8 1980 ( 3 ) 69,1 1990 ( 4 ) 73 2000 ( 5 ) 76

a) Hallar la recta de regresión lineal y = m x + b c) Utilizando la recta de regresión hallada pronostique la expectativa de vida para una mujer en el año 2005 y 2020.

Unidad II : Integral indefinida

Concluido el estudio respecto de derivadas para funciones lineales o bien para funciones en

dos o más variables, resulta pertinente plantearse la siguiente pregunta ¿ será posible

determinar un procedimiento a través del cual se pueda recuperar una función dada la

derivada de dicha función?. Es precisamente motivo de esta unidad abordar el

procedimiento de “ antiderivación “ o “ Integración “.

Objetivos :

� Determinar la constante de integración..

� Aplicar correctamente los diferentes métodos de integración para resolver el

problema de hallar la función “ Antiderivada”.

� Interpretar correctamente las tablas de integración a fin de resolver una integral.

� Aplicar la integral indefinida para resolver problemas en economía , administración,

ciencias biológicas, agronomía, etc..

INTEGRAL INDEFINIDA

Introducción La palabra integrar tiene dos acepciones en el cálculo. La acepción más fundamental y

profunda coincide al mismo tiempo con la acepción corriente de la palabra; se usa, pues, para indicar total de algo, o bien suma de partes.

La segunda significación que tiene en matemática la palabra integrar es la de encontrar una función conociendo su derivada.

Las dos clases de integración se llaman, respectivamente, definida e indefinida, y la conexión entre las dos está dada por un teorema, llamado el teorema fundamental del cálculo integral.

Antidiferenciación o Antiderivación Ya conocemos las operaciones inversas (la adición – la sustracción; la multiplicación – la

división; elevar a una potencia – extraer una raíz). En esta sección desarrollaremos la operación inversa de la diferenciación; la antidiferenciación.

Definición Una función F se llama antiderivada de una función f , en un intervalo I, si

( ) ( )xfxF =' para todo valor de x en I. Ejemplos:

1) Si ( ) ( ) 23

3

2xxFxxf =⇒= ya que:

( ) xxxxF ==⋅= − 2112

3

2

3

3

2'

2) Si ( ) ( )x

xFx

xf11

2=⇒−= ya que:

( )2

211 11'

xxxxF −=−=⋅−= −−−

3) Si ( ) ( ) xxxxFxxxf +−=⇒+−= 232 123 ya que:

( ) 123123' 2111213 +−=⋅+⋅−⋅= −−− xxxxxxF

4) Si F se define como ( ) 54 23 +−= xxxF entonces ( ) xxxf 212' 2 −= . Así, si f es la

función definida por ( ) xxxf 212 2 −= decimos que f es la derivada de F y que F es una

antiderivada de f. Si G es la función definida por ( ) 174 23 −−= xxxG entonces G

también es una antiderivada de f , ya que ( ) xxxG 212 2' −= . En realidad, cualquier

función cuyo valor esté dado por Cxx +− 234 , donde C es cualquier constante, es una antiderivada de f.

Generalizando se tiene que: ( ) ( )1

1

+=⇒=

+

n

xxFxxfSi

nn

Teorema

Si f y g son dos funciones tales que ( ) ( )xgxf '' = para todos los valores de x

en el intervalo I, entonces existe una constante k tal que ( ) ( ) kxgxf += para todas las x en I

Teorema Si F es una antiderivada particular de f en un intervalo I, entonces toda antiderivada de f en I está dada por ( ) CxF + donde C es una constante arbitraria y cualquier antiderivada de f en I se puede obtener a partir de ( ) CxF + asignando valores particulares a C.

Cálculo de la constante C

Ejemplos:

1) El costo marginal está dado por la función ( ) xxxCm −= 3 , hallar la función de costo

total, suponiendo que los costos fijos son de US$ 312. Solución:

Si ( ) xxxCm −= 3 , entonces el Costo Total será la antiderivada de el Costo Marginal, es

decir: ( ) ( ) 3122424

2424

+−=⇒+−= xxxCC

xxxC TT

2) Una curva pasa por el punto ( 2,1 ) y en cada punto (x , y ) la tangente a la curva tiene una pendiente igual a 2 2.x + Hallar la ecuación de la curva. Solución

La condición de la pendiente puede expresarse como,

2 22, : ( 2)dy

x o sea dy x dxdx

= + = + . Luego, y = 3

23

xx+ ÷ C

La condición complementaria es y = 1 cuando x = 2. Luego en la solución general se obtiene:

1 = 32 17

2 23 3

C C−+ • + ⇒ =

31 172

3 3y x x∴ = + − es la curva buscada.

3) Una compañía determina que la razón a la cual cambia la cantidad de demanda del consumidor respecto al precio, está dada por la función de demanda marginal

( )2

000.4

ppDm =

Hallar la función de demanda , si se sabe que los consumidores demandarán 1.003 unidades aproximadamente, cuando el precio es US$ 4 por unidad.

Solución:

( ) ( ) 22

000.4000.4 −⋅=⇔= ppDp

pD mm

( )

( )

( ) 003.2000.4

003.2

000.1003.1

003.1000.1

003.1000.4

003.14

000.4

1000.4

1

+−=∴

=⇔+=⇔

=+−⇔

=+−⇔=

+−=−

⋅=−

ppD

C

C

C

Cp

D

Cp

ppD

4) Si ( ) 4' 2 −= xxf y ( ) 70 =F . Hallar ( )xF Solución:

( ) ( )

( )

( ) 743

77043

00

7043

3

3

3

+−=∴

=⇒=+⋅−=

=+−=

xx

xF

CCF

entoncesFdondeCxx

xF

5) En un ejercicio de memoria la razón de memorización está dada por:

( ) 2' 0, 2 0,003m t t t= −

donde ( )tm es el número de palabras en español memorizadas en t minutos.

a) Hallar la función si se sabe que ( ) 00 =m .

b) ¿Cuántas palabras se memorizan en 8 minutos? Solución:

a) ( ) Ctt

tm +⋅−⋅=3

003,02

2,032

( )

( ) 32

32

32

001,01,0

0

00001,001,0

0001,01,000

tttm

C

C

Cttm

−=∴=⇔

=+⋅−⋅⇔=+−⇔=

b) ( ) 9,58001,081,08 32 =⋅−⋅=m en 8 minutos se han memorizado aproximadamente 6 palabras.

6) Si ( ) ( ) ( )1;2113

2623' 234 −=∧+−+−= fhallarfxxxxxf

Solución:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

11

30

231

3

12

2

1

5

330

2311

3

1121

2

11

5

31:

30

23

3

12

2

1

5

330

23

13

12

2

1

5

32

213

12

2

1

5

3

2113

1121

2

11

5

31

3

12

2

1

5

3

123

2

36

42

53

2345

2345

2345

2345

2345

−=+−−−−−=

+−+−−−+−−−=−

++−+−=∴

=

−+−+−=

=++−+−

=++−+−=

++−+−=

+⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=

fEntonces

xxxxxxf

C

C

C

Cf

Cxxxxxxf

Cxxxxx

xf

7) Ecuación del Movimiento Rectilíneo. Supongamos que una partícula, que se mueve en línea recta, tiene en el instante 0t la posición 0x y la ecuación v = 0 .v Resumiendo, las

“condiciones iniciales” son: 0 0 0, ,t t x x v v= = =

Supongamos, además, que la aceleración está dada como función del tiempo en la forma:

i) 2

2( ) ,

d xf t

dt= o , en notación diferencial

( ) ( )x t dt f t dt′′ =

ii) Integrando ambos miembros de ( 2 ) ( o sea, buscando antiderivadas) , se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )v x t x t dt f t dt F t C′ ′′= = = = +∫ ∫

iii) donde F ( t ) es una antiderivada de f ( t ) ( nótese que ( )x t′ es una antiderivada de

( )x t′′ y las dos constantes de integración se han reunido en una sola). Para determinar C,

hacemos uso de las condiciones iniciales poniendo 0 0,t t y v v= = de donde

0 0 0 0( ) ( )v F t C C v F t= + ⇒ = −

Luego, v ( t ) = F ( t ) - F ( t0 ) + 0v

iv) Como, v ( t ) = ( ) ,d

x tdt

poniendo en notación diferencial e integrado ambos

miembros :

x ( t ) = 0 0( ) ( ( ) ( ) )x t dt F t F t v dt′ = − +∫ ∫

= 0 0( ) ( )F t dt F t dt v dt− +∫ ∫ ∫

= 0 0 1( ) ( )F t dt F t t v t C− • + • +∫

donde C1 es una nueva constante de integración que puede ser determinada sustituyendo

t = 0 0,t x x= en la última ecuación.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a razón de

3

44 5t+ personas por mes. Si la población actual es de 12.000 habitantes ¿ Cuál será la población dentro de 9 meses ?. 2.- Un fabricante descubrió que el costo marginal es ( 7q + 3 ) dólares por unidad cuando se producen q unidades. El costo total ( incluidos los gastos indirectos ) de producir la primera unidad es US $ 140. ¿ Cuál es el costo total de producir las primeras 10 unidades? 3.- Si la utilidad marginal de cierta compañía es ( 150 – 3q ) dólares la unidad cuando se producen q unidades. Si la utilidad de la compañía es US $ 700 cuando se producen 10 unidades ¿ Cuál es la utilidad máxima posible de la compañía ?

4.- Suponga que la función consumo para cierto país es c ( x ) , donde x es el ingreso nacional disponible. Entonces la propensión marginal a consumir es c ‘( x ). Considerando que :

c ‘ ( x ) = 0,7 + 0,3 x y el consumo es 12 mil millones de dólares cuando x = 0. Determine c ( x ).

5.- Un comerciante recibe un cargamento de 18.000 kilos de semilla de trigo que se

consumirán a razón constante de 200 kilos por semana. Si el costo de almacenar las semillas es de $2 por kilo a la semana , ¿ Cuánto tendrá que pagar el comerciante en costos de almacenamiento durante las próximas 20 semanas ?

6.- Un fabricante estima que el ingreso marginal es 100 q13

− dólares por unidad cuando el

nivel de producción es q unidades, y el costo marginal es de 0,3 q dólares por unidad . Si la utilidad del fabricante es de US $ 600 cuando el nivel de producción es 15 unidades. ¿ cuál es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción es de 28 unidades ?

7.- Una compañía halla que la razón a la cual cambia la cantidad de demanda del consumidor, respecto al precio, está dada por la función de demanda marginal.

DM(p) = 2

000.4

ρ

Halle la función de demanda si se sabe que los consumidores demandan 1.006 unidades

cuando el precio es US $ 5 por unidad.

8.- La razón a la cual cambia la eficiencia E de un operario (expresado en porcentaje), respecto al tiempo t está dado por:

tdt

dE1030−=

donde t es el número de horas que el operario ha estado trabajando. Halle E(t), dado que la eficiencia del operario después de trabajar 2 horas es del 72%. es

decir E(2)=72 9.- Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes, sujetas a las “condiciones iniciales”

que se indican :

a) dy = 2

31; 21

x dxy

x=

+cuando x = 2.

b) dx = ( 2t + 3 ) dt′′ ; x = 5 cuando t = 1.

c) 2

22

; 1 2d x dx

t x ydt dt

= − = − = cuando t = 0.

d) 2

32

2

d ux

dx

−= ; u = 2 cuando x = 1 y u = -4 cuando x = 9.

10.- Encuentre la ecuación de la curva que pasa por el punto ( - 1 , 4 ) si la ecuación de la

tangente a la curva en dicho punto es 3x + y - 1 = 0 y 2

21

d yx

dx= − en

cualquier punto ( x , y ) de la curva.. 11.- Encuentre la ecuación de la curva y = f ( x ) si f ( 5 ) = -3 es un mínimo relativo de f y ( ) 4 .ff x x D′′ = ∀ ∈

12.- Si una curva con ecuación y = f ( x ) pasa por los puntos ( 2 , 2 ) y ( 1 , -4 ) y además, 2

,( ) ff x x x D′′ = ∀ ∈ encuentre la pendiente de la curva en el punto ( 1 , - 4 )

13.- Un carro se mueve con aceleración dada por :

2

2 20,016 ( 6,0) .

d x piest

dt s = −

Si v = 11.0 2 2

2.0pies pies

v xs s

= .

cuando t = 1,0 [ ] , :s encuentre

a) la velocidad v y la posición x en función de t, b) la velocidad mínima del carro y su posición 10 [ ] .s después dealcanzar la velocidad mínima

14.- A un volante (rueda) que gira con velocidad angular constante w

0 se aplica en el

instante el t0 = 0 , un freno que le produce una aceleración angular negativa constante

igual a -k barrido por el volante desde el instante 0t hasta el instante 1t en que se

detiene.

15.- Hallar la ecuación de la curva en la que el ángulo que forma el radio polar y la tangente, en cada punto, es igual a la mitad del ángulo polar.

16.- Un móvil parte del origen de un sistema x , y de coordenadas cartesianas y después de t segundos la componente xv de su velocidad está dada por 2 4t − y la componente

vy por 4t Encontrar :

a) La Posición del móvil después de t segundo. b) La ecuación cartesiana de la trayectoria.

17.- Hallar la ecuación de la curva y = f ( x ) sabiendo que es tangente a la recta y = 2x en el punto ( 1 , 2 ) y ( ) 2 .ff x x D′′ = ∀ ∈

18.- La velocidad con que sale el agua por un orificio situado a h metros bajo la superficie es

v = 0,6 2 .m

g hs

Calcular el tiempo que tardará en vaciarse un depósito cilíndrico

de 1,5 metros de altura y 30 centímetros de radio a través de un orificio de 2 ,0 centímetros de diámetro, situado en el fondo del depósito.

19.- Si ( ) cos ,f x sen ax bx′′ = − encuentre f ( x ) tal que f (0) = a2

.

20.- Hallar la ecuación de la curva y = f ( x ) tal que : la porción de la recta tangente comprendida entre los ejes coordenados quede dimidiada por el punto de tangencia y, además, pase por el punto ( e , e ) .

RESPUESTAS ( 9 al 20 )

9.- y = 2 31 1 3 1162 6 2

x x x− − +

10.- y = 2x2 20 47x− + 11.- 4.

12.- v ( t ) = 0,008t2t - 0,096t + 11,088

x ( t ) = 1

6 0• 016t3 - 0,048t2 + 11,088t -

127,128,

3

vmin = 10,8 , (16) 7,27pies

xs

≈ −

13.- 20

1

1,

2

w

Kθ =

14.- r = c ( 1 - cos θ )

15.- x = 3 214 , 2

3t t y t− = ,

16.- 72x2 3 248 576 0y y y− + + =

17.- f ( x ) = x2 1+ ,

18.- t = 680 [ ]1,5 ,s

19.- f ( x ) = - 2

1

asena x +

2

1

b cos bx + cx + a2

2

1, c

b− ∈ IR.

20.- f ( x ) = 2

.e

x

La Integral Indefinida

Si ( )xF es una función que, en un intervalo I, admite como derivada ( )xf , se dice que

( )xF es una función primitiva o la integral indefinida de ( )xf ; y en vez de escribir

( ) ( )dxxfxFd = se escribe ( ) ( )∫= dxxfxF

donde el signo ∫ , que se lee “integral”, es la deformación de una S mayúscula, inicial de

la voz “suma”. La operación de integración (indefinida) aparece así como la inversa de la operación de diferenciación.

Si ( )xF es función primitiva de ( )xf , también lo es ( ) CxF + , siendo C una constante

arbitraria. Por estar determinada la función primitiva de ( )xf en menos de una constante aditiva arbitraria, es por lo que justamente se llama integral indefinida. En lo que sigue se sobreentenderá siempre tal constante arbitraria.

Por lo tanto, el símbolo ∫ denota la operación de antidiferenciación y se escribe

CxFdxxf +=∫ )()(

Integrales Indefinidas inmediatas

Las fórmulas que siguen ayudan a reducir la dificultad en el cálculo de integrales indefinidas

[ ][ ]

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1

1) 2) ( ) ( )

3) ( ) ( ) ( ) ( )

4) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( ) ....... ( )

5) ; 1 6)1

7) 8)

9

n n n n

nn

xx x x

dx x C k f x dx k f x dx

f x f x dx f x dx f x dx

k f x k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x

x dxx dx C n Ln x C

n x

aa dx C e dx e C

Ln a

+

= + ⋅ =

+ = +

+ + + = + + +

= + ≠ − = ++

= + = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

32) 10) 2

3

dxx dx x C x C

x= + = +∫ ∫

Ejemplos

( )

2 1 32

6 1 56

6 5

51 1 54 44 414 4

2 2

1)2 1 3

12)

6 1 5 5

4 43)

1 5 5 514 4

34) 3 5 3 5 3 5 3 5 5

2 2

x xx dx C C

dx x xx dx c C C

x x

x x x x xx dx x dx C C C C

x xx dx x dx dx x dx dx x C x C

+

− + −−

+

= + = ++

= = + = + = − +− + −

= = + = + = + = ++

− = + − = − = ⋅ − ⋅ + = − +

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

( ) ( )

4 3 2 4 3 2

5 4 3 25 4 3 2

3 31 1 112 2 2 2 2

3 51 11 12 2 2 2 52

5) 5 8 9 2 7 5 8 9 2 7

5 8 9 2 7 2 3 75 4 3 2

16)

23 1 5 1 511 2 22 2

x x x x dx x dx x dx x dx xdx dx

x x x xx C x x x x x C

x x dx x x x dx x x dx x dx x dxx

x x x xC C x

− −−

+ − +

− + − + = − + − +

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + + = − + − + +

+ = + = + = +

= + + = + + =− ++

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

1 52

2

5 12 2 3 32 43 3

4 4 43 3 3

5 51 5 23 33 3 31 3 33

22 2

5

22

5

5 7 17) 5 7 5 7 5 7

5 133

3 21 21 215 7 3 3 3 3

5

x C x x C

x x x C

p p p pdp dp dp p dp p dp C

p p p

p p C p C p C p p Cp pp

−−

−

+ + = + +

= + +

+ = + = + = + + −

= + − + = − + = − + = − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- ∫ .5 dxx 2.- .2 3 dxx∫ −

3.- dxx2

3

4∫ 4.- ∫ 3 dxx

5.- ∫ .6 dxx 6.- dxx∫

2

7.- .83 2

dxx

a∫ 8.-

145 .a x dx∫

9.- ∫ 35x

dx 10.- 3 .xe dx∫

11.- dxLnx 86 3∫ . 12.- ∫ −−

.1 2

dxx

aLn

13.- ∫ xdx35 14.- ∫xxdl3

15.- ∫ − dxx )1(3

5 2 16.- ∫ +− dxxx )124( 23

17.-∫ − dxx 2)21( 18.- ∫ + dxx

x )1

2(

19.- dxxxx )( 4 33 2 ++∫ 20.- ∫ − dxxx 2)23(

21.- ∫ +− dxxxx

)53(1 2 22.- ∫ dxex4

23.-∫ − dxxex )24( 24.- ∫ +− dxxx

xx

)31

2(3 3

2

1.- Integración por sustitución o por cambio de variable

A veces una función diferencial f ( x ) dx no es fácilmente integrable, pero puede volverse tal mediante un cambio de variable. Se dice entonces que la integración se hace por sustitución o por cambio de variable. Para reconocer cuál es la sustitución que debe efectuarse no pueden darse reglas generales, dependiendo el buen resultado del método, del criterio y de la práctica que se posee. Ejemplos:

.1 2∫ − x

dxx

Haciendo 1 - x ,2 u= resulta - 2x dx = du

o también x dx = - .2

du

Si se reemplaza en la integral dada, se obtiene

.121

2

2cxcu

u

du

x

dxx +−−=+−=−=− ∫∫

Integrales de la forma

∫ + dxbxa m)(

se resuelve fácilmente con este método.

Haciendo ( a + bx ) = u, de donde dx = ,b

du

reemplazando se tiene

∫ ∫ ++

==++

,1

11)(

1

cm

u

bduu

bdxbxa

mmm

es decir

∫ ++

+=++

.)1(

)()(

1

cmb

bxadxbxa

mm

Esta fórmula vale para cualquier valor de m exceptuado m = - 1 en que se procederá así :

,1

)( 1 cuLnbbu

du

bxa

dxdxbxa +==

+=+∫ ∫ ∫

−

o sea

cbxaLnb

++ )(1

Calcular

∫ −− 653 2 xx

dx

resulta

( )∫∫ ∫ =−−−

=−−

=− 23

1

23

1

653 3625

65

3522 x

dx

xx

dx

xx

dx

= ( ) ( )∫

−−2

36972

653

1

x

dx

Hecho x - .,6

5dudxdondedeu ==

y k=36

97

se tiene

( )( )∫ +

+−

−−=+

+−=

−c

x

xLnc

ku

kuLn

kku

du

36976

65

3697

65

369722

6

1

.3.2

1

3

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- ∫ − 22 sa

ds 2.- dxx 3

3

25∫

+

3.- 4a x dx+∫ 4.- 1(12 3 )x dx−−∫ .

5.- ∫ +.

43

22x

xdx 6.- ∫ − 23

4

x

dx

7.- .)2( 32 dxxx∫ − 8.- 23 4x x dx−∫

9.- ∫ −+.

xx ee

dx 10.- ∫ + 34x

dx dx

11.- ∫ dxx

Lnx 12.- ∫ dx

x

Lnx 15)(

13.- ∫ +132 xx dx 14.- ∫ +dt

t

t4 3

2

2

15.- ∫ −−

dxxx

x3/12 )6(

3 16.- ∫ − dxxx 2415

17.- ∫ 4)(Lnxx

dx 18.-

3 4

4

. ( 8)

8

t ln tdt

t

++∫

19.- ∫ dxx

e x

20.- ∫ dxe

xx3

2.- Integración por partes Sea una función y = u ⋅ v en que u y v son funciones de x. Aplicando reglas conocidas se tiene, y’ = uv’ + vu’ ⇒ dy = u . dv + v . du. Integrando ambos miembros y teniendo en cuenta que la integral de la diferencial de una función es la misma función, resulta :

∫ ∫ ∫+= ,.. duvdvudy

uv = ∫ ∫+ ,.. duvdvu ∫ ∫−= .... duvvudvu

La última fórmula lleva el cálculo de una integral ∫ dvu. al de otra integral ∫ duv. que

podrá ser más simple o a veces inmediata. Se comprende entonces la ventaja que puede reportar su aplicación en los casos en que, naturalmente, sea posible. Este método de integración recibe el nombre de integración por partes y puede enunciarse:

la integral ∫ dvu. del producto de una función por la diferencial de otra función de la misma

variable, es igual a la función (u ) por la integral ( )∫ = vdv de la diferencial, menos la integral

de la integral obtenida ( v ) por la diferencial ( du ) de la primera función.

Cómo utilizar la integración por partes para integrar un producto

Paso 1. Seleccione uno de los factores del producto para integrarlo; el otro se deriva. El factor seleccionado para integrarlo debe ser fácil de integrar; el otro debe quedar simplificado al derivarse.

Paso 2. Integre el factor señalado y multiplíquelo por el otro factor.

Paso 3. Derive el factor señalado, multiplíquelo por el factor integrado del paso 2 y reste la integral de este producto del resultado del paso 2

Paso 4. Complete el procedimiento calculando la nueva integral formada por el paso 3. Sume la constante de integración C sólo al final. Ejemplos: 1.- Calcular la integral .ln x dx∫

Esta integral es del tipo ∫ ..dvu Considerando

ln x = u de donde ,1

dudxx

=

dx = dv de donde x = v, y aplicando la fórmula de la integración por partes se tiene :

1

. . .ln x dx x ln x x dx x lnx x cx

= − = − +∫ ∫

2.- Calcular la integral 2xxe dx∫ .

En este caso, ambos factores x y e2x son fáciles de integrar. También ambos son fáciles de derivar, pero el proceso de derivación simplifica x mientras deja a 2xe esencialmente igual. Esto indica que la integración por partes debería intentarse con

G ( x ) = 2xe y f ( x ) = x

Entonces, G ( x ) = 21

2xe y ( ) 1f x′ =

Así, 2 22

1 1( ) (1)

2 2x x

x

D Idx e x e dx

xe = −

∫ ∫

= 2 21 1

2 2x xxe e dx− ∫

= 2 2 21 1 1 1

2 4 2 2x x xxe e c x e c

− + = − +

3.- Calcular la integral 5 .x x dx+∫

De nuevo, ambos factores del producto son fáciles de integrar y de derivar. Sin embargo, el

factor x se simplifica mediante derivación, mientras que la derivada de 5x + es aún más

complicada que 5x + . Esto indica que la integración por partes debe, intentarse con

( ) 5g x x= + y ( )f x x=

Entonces, 3

22

( ) ( 5)3

G x x= + y ( ) 1f x′ =

y así 5

D I

x x +∫ dx = 3 3

2 22 2

( 5) ( 5)3 3

x x x dx+ − +∫

= ( )52

52

2 4( 5) 5

3 15x x x C+ − + +

Algunas integrales pueden calcularse mediante sustitución o mediante integración por partes. Por ejemplo, puede hallarse sustituyendo de la siguiente manera:

Sea u = x + 5. Luego du = dx y x = u - 5, y

3 1

2 25 ( 5) ( 5 )x x dx u u du u u du+ = − = −∫ ∫ ∫

= 5

25 3

2 2

325 2 10

( 5) ( 5)5 2 3 2 5 3

u uC x x C− + = + − + +

Esta forma de la integral no es igual a la que aparece en el ejemplo anterior. Para demostrar que las dos formas son equivalentes puede expresarse como

3 5 3

2 2 22 4 2 4

( 5) ( 5) ( 5) ( 5)3 15 3 15

x xx x x x

+ − + = + − +

= ( x + 5 )3 3

2 22 4 2 10

( 5) ( 5)3 3 5 3

xx x

− = + + −

= 5 3

2 22 10

( 5) ( 5)5 3

x x+ − + + C

4.- Calcular la integral xa dx∫

1x x Ina x Inaa dx e dx e I n a dx

I n a= = =∫ ∫ ∫

1,ue du con u x In a

In a=

= 1 1 x

u x I na ae C e C C

I n a I n a I n a+ = + = +

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- ∫ dxex x5.5 2.- ∫ dxex x2.

3.- ∫ dxLnxx .2 4.- ∫

− dxex x.

5.- ∫ + dxxx 4. 6.- 23 xx e dx∫

7.- ,n a xx e dx n IN∈∫ 8.- ln ( )x dx∫

( )9. lnx x dx− ∫

3.- Integración por Fracciones Parciales

Dado que una función racional es un cuociente de dos polinomios. Tomando 1 como denominador de ese cuociente, vemos que los propios polinomios están incluidos entre las funciones racionales. Como sabemos , las funciones racionales sencillas

2x + 1, 2 2

1 1, ,

1

xy

x x x +

tienen las siguientes integrales:

2 212

1, , ln , ln ( 1) ,x x x y x

x+ − +

El propósito de esta sección es describir un procedimiento sistemático para calcular la integral de cualquier función racional, y encontraremos que esta integral siempre puede expresarse en

términos de polinomios, funciones racionales, y logaritmos. La idea básica es descomponer una función racional dada en una suma de fracciones más sencillas llamadas ( fracciones simples ) que puedan integrarse mediante métodos discutidos con anterioridad. Una función racional se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador. En otro caso, se dice que es impropia. Por ejemplo,

2

2 2

2

( 1) ( 2) ( 9)

x xy

x x x x

+− + −

son propias, mientras que

4 3 2

4 2

2 3 2 4

1 4

x x x xy

x x

− + −− +

son impropias. Si tenemos que integrar una función racional impropia, es esencial comenzar realizando la división para encontrar un resto cuyo grado es menor que el del denominador. Se ilustra con la segunda función racional impropia que se ha mencionado. La división da 2x - 3 x 2 4+ 2x3 23 2 4x x− + − 2x3 + 8x

-3x2 6 4x− −

-3x2 - 12 - 6x + 8 Esto significa que la función racional en cuestión puede escribirse en la forma

3 2

2 2

2 3 2 4 6 82 3 .

4 4

x x x xx

x x

− + − − += − ++ +

( 1 )

Aplicando este proceso, cualquier función racional impropia P ( x ) / Q ( x ) puede expresarse como suma de un polinomio y una función racional propia,

( ) ( )

,( ) ( )

P x R xpolinomio

Q x Q x= + ( 2 )

donde el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x). En el caso particular (1), esta descomposición por medio de la división nos permite llevar a cabo la integración con bastante facilidad, escribiendo

3 22

2 2 2

2 3 2 43 6 8

4 4 4

x x x x dx dxdx x x

x x x

− + − = − − ++ + +∫ ∫ ∫

= 2 2 13 3ln ( 4) 4 .2

xx x x tg c− − − + + +

En el caso general (2), estas observaciones nos dicen que podemos restringir nuestra atención a las funciones racionales propias, dado que la integración de los polinomios es siempre fácil. Esta restricción es no sólo conveniente, sino también necesaria, porque la discusión siguiente se aplica solamente a las funciones racionales propias. En álgebra elemental aprendíamos cómo reducir las fracciones a denominador común. Debemos aprender ahora cómo invertir este proceso y descomponer una fracción dada en una suma de fracciones con denominadores más sencillos. Este procedimiento se llama descomposición en fracciones simples. Ejemplos:

1. 3 2 3( 3) 2( 1) 5 7

1 3 ( 1) ( 3) ( 1) ( 3)

x x x

x x x x x x

+ + − ++ = =− + − + − +

( 3 ) En el proceso inverso comenzamos con el segundo miembro (3) como nuestra función racional dada y buscamos constantes A y B tales que

5 7

( 1)( 3) 1 3

x A B

x x x x

+ = +− + − +

. ( 4 )

(Para comprender el método, finjamos por un momento que no sabemos que A = 3 y B = 2 .) Si quitamos denominadores en (4) multiplicando todo por (x - 1) (x + 3), obtenemos 5x + 7 = A(x + 3) + B(x - 1) ( 5 ) o 5x + 7 = (A + B)x + (3 A - B). ( 6 ) Dado que (6) debe ser una identidad en x , podemos hallar A y B identificando los coeficientes de las potencias correspondientes de x. Esto da un sistema de dos ecuaciones en las dos incógnitas A y B.

A + B = 5 3A - B = 7, cuya solución es A = 3, B = 2. Hay otro camino adecuado para hallar A y B, usando (5) directamente. Dado que (5) debe verificarse para todo x , debe verificarse en particular para x = 1 (lo que elimina B) y para x = -3 (lo que elimina A). Brevemente,

x = 1 : 5 + 7 = A(1 + 3) + 0 4A = 12, A = 3; x = -3 : -15 + 7 = 0 + B(-3 - 1), -4B = -8, B = 2. Este método es más rápido de lo que parece, y puede llevarse a cabo por inspección. Sea cual sea el método que usemos para hallar A y B, (4) se convierte en

5 7 3 2

,( 1)( 3) 1 3

x

x x x x

+ = +− + − +

y ésta es la descomposición en fracciones simples de la función racional del primer miembro. Por supuesto, el objetivo de esta descomposición es permitirnos integrar la función dada,

5 7 3 2

( 1)( 3) 1 3

xdx dx

x x x x

+ = + − + − + ∫ ∫

= 3 ln (x - 1) + 2 ln (x + 3) + c. El tipo de desarrollo usado en (4) funciona de la misma manera en circunstancias más generales, como sigue : Sea P(x) / Q (x) una función racional propia cuyo denominador Q(x) es un polinomio de grado n. Si Q(x) puede factorizarse completamente en factores lineales distintos x - r1 2, ,...., ,nx r x r− − entonces existen n constantes 1 2, ,..., nA A A tales que

1 2

1 2

( )...

( )n

n

P x A A A

Q x x r x r x r= + + +

− − −. ( 7 )

Las constantes en los numeradores pueden determinarse por cualquiera de los métodos sugeridos en el ejemplo 1; y cuando se hace esto, la descomposición en fracciones simples (7) proporciona una manera fácil de integrar la función racional dada.

2. 2

3

6 14 20

4

x xdx

x x

+ −−∫

Factorizamos el denominador escribiendo x3 24 ( 4) ( 2)( 2).x x x x x x− = − = + − De acuerdo con esto, tenemos una descomposición de la forma

2 2

3

6 14 20 6 14 20

4 ( 2)( 2) 2 2

x x x x A B C

x x x x x x x x

+ − + −= = + +− + − + −

( 8 )

para ciertas constantes A, B, C. Para hallar estas constantes quitamos denominadores en (8), lo que da

26 14 20 ( 2)( 2) ( 2) ( 2).x x A x x Bx x Cx x+ − = + − + − + + Tomando x = 0, -2, 2 (éste es el segundo método del ejemplo 1), vemos fácilmente que A = 5, B = -3, C = 4, de modo que (8) se convierte en

2

3

6 14 20 5 3 4.

4 2 2

x x

x x x x x

+ − = − +− + −

Tenemos, por tanto,2

3

6 14 205ln 3ln ( 2) 4ln ( 2) .

4

x xdx x x x c

x x

+ − = − + + − +−∫

En esta teoría, todo polinomio Q(x) con coeficientes reales puede factorizarse completamente en factores reales lineales y cuadráticos, algunos de los cuales pueden aparecer repetidos. En la práctica, esta factorización es difícil de llevar a cabo para polinomios de grado mayor o igual que 3, excepto en casos especiales. No obstante, supongamos que ya se ha hecho esto, y veamos cómo debe alterarse la descomposición (7) para tener en cuenta las circunstancias más generales que puedan surgir. Si un factor lineal x - r aparece con multiplicidad m, entonces el término correspondiente A/(x - r) en la descomposición (7) puede sustituirse por una suma de la forma

1 22

... .( ) ( )

mm

B B B

x r x r x r+ + +

− − −

Un factor cuadrático 2x bx c+ + de multiplicidad 1 da lugar a un único término

2

,ax b

x bx c

++ +

y si este factor cuadrático aparece con multiplicidad m, entonces da lugar a una suma de la forma

1 1 2 22 2 2 2

... .( ) ( )

m mm

A x B A x B A x B

x bx c x bx c x bx c

+ + ++ + ++ + + + + +

Ésta es toda la historia, y la teoría garantiza que toda función racional propia puede descomponerse como suma de fracciones simples en la forma descrita antes. 3.- Hallar

3 2

4 2

3 4 3 2x x xdx

x x

− − +−∫

Solución: tenemos

3 2 3 2

4 2 2

3 4 3 2 3 4 3 2

( 1)( 1)

x x x x x x

x x x x x

− − + − − +=− + −

= 2

.1 1

A B C D

x x x x+ + +

+ −

Quitando denominadores llegamos a la identidad 3 2 2 23 4 3 2 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1).x x x Ax x x B x x Cx x Dx x− − + = + − + + − + − + + haciendo ahora : x = 0: 2 = -B, B = -2; x = 1: -2 = 2D, D = -1; x = -1: -2 = -2C, C = 1. Identificando los coeficientes de 3x obtenemos 3 = A + C + D, de modo que A = 3. Nuestra descomposición en fracciones simples es , por tanto,

3 2

4 2 2

3 4 3 2 3 2 1 1,

1 1

x x x

x x x x x x

− − + = − + −− + −

De modo que

3 2

4 2

3 4 3 2 2ln ln ( 1) ln ( 1) .

x x xdx x x x c

x x x

− − + = + + + − − +−∫

4.- 3 2

4

2 2 1.

1

x x xdx

x

+ + −−∫

Solución Tenemos

3 2 3 2

4 2

2 2 1 2 2 1

1 ( 1)( 1)( 1)

x x x x x x

x x x x

+ + − + + −=− + − +

= 2

,1 1 1

A B Cx D

x x x

++ ++ − +

de modo que 3 2 2 2 2 22 2 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1).x x x A x x B x x Cx x D x+ + − = − + + + + + − + − Ponemos ahora

x = 1: 4 = 4B, B = 1;

x = -1: -4 = -4A, A = 1;

x = 0: -1 = -A + B - D D = 1.

Identificando los coeficientes de 3x obtenemos

2 = A + B + C, de modo que C = 0.

Por tanto, nuestra descomposición en fracciones simples es

3 2

4 2

2 2 1 1 1 1,

1 1 1 1

x x x

x x x x

+ + − = + +− + − +

y así

3 2

14

2 2 1ln ( 1) ln ( 1) .

1

x x xdx x x tg x c

x−+ + − = + + − + +

−∫

Como comentario final, señalaremos que todas las fracciones simples que pueden surgir tienen la forma

2

, 1,2,3,...( ) ( )n n

A Ax Bo n

x r x bx c

+ =− + +

Las funciones del primer tipo pueden integrarse usando la sustitución u = x - r, y es claro que los resultados son siempre logaritmos o funciones racionales. Una función del segundo tipo en la que el polinomio cuadrático 2x + bx + c no tiene factores lineales reales, es decir, en la que las raíces de 2 0x bx c+ + = son imaginarias, puede integrarse completando el cuadrado y haciendo una sustitución adecuada. Cuando se hace esto, obtenemos integrales de la forma

2 2

,( )n

u du

u k+∫ 2 2

,( )n

du

u k+∫

La primera de éstas es 2 21ln ( )

2u k+ si n = 1, y (u2 2 1) nk −+ / 2(1 - n) si n > 1.

Cuando n = 1, la segunda integral se calcula mediante la fórmula

12 2

1.

du utg

u k k k−=

+∫

El caso n > 1 puede reducirse al caso n = 1 mediante la aplicación repetida de la fórmula de reducción

2 2 2 2 2 1 2 2 2 1

1 2 3.

( ) 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) ( )n n n

du u n du

u k k n u k k n u k− −

−= • ++ − + − +∫ ∫

Damos esta fórmula complicada con el único objetivo de mostrar que las únicas funciones que surgen a partir del procedimiento de reducción indicado son funciones racionales y tangentes inversas. La fórmula puede comprobarse mediante derivación, o puede obtenerse mediante los métodos de la sección siguiente

La discusión muestra que la integral de toda función racional puede expresarse en términos de polinomios, funciones racionales, logaritmos y tangentes inversas. El trabajo detallado puede ser muy laborioso, pero al menos el camino que debe seguirse es claramente visible.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Expresar cada una de las funciones racionales impropias como suma de un polinomio y una función racional propia, e integrarlas:

a. 2

;1

x

x − b.

3

;3 2

x

x + c.

3

2;

1

x

x +

d. 3

;2

x

x

++

e. 2

2

1.

1

x

x

−+

2.- Hallar cada una de las siguientes integrales.

a. 12 17

( 1)( 2)

xdx

x x

−− −∫ b.

2

14 12

2 2

xdx

x x

−− −∫ .

c. 2

10 2

5

xdx

x x

−+∫ d.

2

2 21

7

xdx

x x

+−∫ .

e. 2

3 2

9 24 6

5 6

x xdx

x x x

− +− +∫ f.

2

3 2

46 48

5 24

x xdx

x x x

+ −+ −∫ .

g. 2

3

16 3 7x xdx

x x

+ −−∫ h.

2

3 2

4 11 117

10 39

x xdx

x x x

+ −+ −∫ .

i. 2

3 2

6 9 9

3

x xdx

x x

− +∫ j.

2

3 2

4 5 3

2

x xdx

x x x

− − −+ +∫ .

k. 2

3

4 2 4

4

x xdx

x x

+ ++∫ l.

2

3 2

3 4.

2 2

x xdx

x x x

− ++ +∫

m. 4

2 4

xdx

x +∫ n. 4 2

2 2

3 4 5.

( 1) ( 1)

x x xdx

x x

+ − +− +∫

o. 2

2

2

( 1)

x xdx

x

++∫ p.

2

.2

xdx

x +∫

q. 1

.1

xdx

x

+−∫ r.

2 1.

2

xdx

x

++∫

Unidad III : Integral definida

En esta unidad será posible observar que es posible utilizar la integración para hallar el área

bajo una curva sobre un intervalo cerrado, con el fin de determinar la acumulación de una

cantidad en un intervalo y para calcular el valor promedio de una función.

Objetivos :

� Aplicar el teorema fundamental del cálculo para determinar el valor de una integral

definida..

� Interpretar un problema de aplicación que amerite el uso de integrales definidas.

� Aplicación de la integral definida a problemas de Economía y Administración

� Aplicación de la integral definida en el cálculo de probabilidades.

y f(x) a b x

INTEGRAL DEFINIDA

- Diferencial del área bajo la curva Consideremos la función continua ( )xφ , y sea

( )xy φ= la ecuación de la curva AB. Sea CD una coordenada fija, MP una ordenada variable, y u la medida del área CMPD . Cuando x toma un incremento pequeño x∆ , u toma un incremento

u∆ ( = área MNQP ) . Completando los rectángulos MNRP y MNQS , vemos que Área MNRP < área MNQP < área MNQS o sea , xNQuxMP ∆⋅⟨∆⟨∆⋅ ; y

dividiendo por x∆ , NQx

uMP ⟨

∆∆

⟨

- Área bajo una curva Si f(x) es continua y 0)( ≥xf en el intervalo bxa ≤≤ , entonces la región bajo la curva

)(xfy = en bxa ≤≤ tiene como área ∫b

a

dxxf )(

S O P R

- Integral Definida Sea f(x) una función continua en [ ]ba, y derivable en ] [ba, con antiderivada F(x), se define la Integral Definida como:

∫b

a

dxxf )(

- Propiedades de la integral definida Si f(x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración bxa ≤≤ :

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) bcacuandodxxfdxxfdxxf

dxxgdxxfdxxgxf

teconsunacsiendodxxfcdxxfc

abdxxfdxxf

dxxf

b

a

b

c

c

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

a

b

b

a

a

a

⟨⟨=+−

±=±−

⋅=⋅−

⟩−=−

=−

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

∫∫

∫

.5

.4

tan,.3

.2

0.1

- El teorema fundamental del cálculo

Si la función f(x) es continua en el intervalo bxa ≤≤ , entonces

( ) ( )aFbFdxxfb

a

−=∫ )(

donde F(x) es cualquier antiderivada de f(x) en bxa ≤≤ Cuando se aplique el teorema fundamental del cálculo, se utilizará la notación:

( ) ( ) ( ) ( )aFbFxFxfb

a

b

a

−==∫

Ejemplo Aplicando el teorema fundamental del cálculo hallaremos el área de la región bajo la recta 23 +−= xy sobre el intervalo 42 ≤≤ x Solución:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] 224682446824

222

2342

2

43

22

323

22

4

2

4

2

2

=−−−++=++−++=

+⋅+−

+⋅+=

++=+= ∫

CCCC

CC

Cxx

dxxA

Observación: Se observa en el ejemplo anterior que la constante de integración C se elimina en el paso del cálculo. Esto se cumple para toda integral definida. Por tanto, en todos los cálculos que se realicen con la integral definida, simplemente se eliminará la constante de integración C. Ejemplos:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4,2909

226

9

2

9

112

9

132

1

3

9

12

1

3

3

12

3

1

3

2

3

1

3

1

31

331

1.1

33333333

3333

1

3

1

3

1

32

223

3

1

32

≈⋅−⋅=

−⋅−

−⋅=

−⋅=

−⋅⋅=

⋅==⋅=−

=⇒=⇒−=

−−

∫∫∫

∫

x

xuduu

duudxxx

dxxdu

dxxduxu

nsustitucióusamosdxxx

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

EXISTENO

LnLnLnLnxLnxLn

x

dx

x

dxdx

xx

parcialesfraccionesencióndescomposiusamosdxx

x

=

−−−+−=−

++−=

++

−=

++

−=

−−−

∫∫∫

∫

−−−

−

310

197

10

119

10

191

10

11

2

4

510

195

10

11

)5(10

19

)5(10

11

)5(10

19

)5(10

11

25

43.2

4

2

4

2

4

2

4

22

( )

( )

( ) ( )5

4

51155

5

1

5

1

5

1

262615

1

5

.3

e

e

eeeeee

eexdxeexdxex

evdxedvdxduxuSea

partespormétodousamosdxex

xxxxx

xx

x

+−=+−=−⋅−−−⋅−=

−⋅−=

+⋅−=⋅

−=⇒==⇒=

⋅−

−−−−

−−−−−

−−

−

∫∫

∫

( ) ( )∫ +−1

0

32 18.4 nsustitucióusamosdxxx

( ) ( ) ( )

( ) 151161

24

:,

151160

11418

21

41

0

3

421

0

41

0

32

2

=−==

=−=+===+

=⇒+=

∫

∫ ∫

uduu

dedirectocalculoalprocederpuedeseTambién

xuduudxxx

dxxduxuSea

−.5 Hallaremos el área de la región acotada por la curva 342 −+−= xxy y el eje x

( )( ) ( )( ) 01313342 =−−−⇒−−−=−+−= xxxxxxy las intersecciones con el eje x de la curva son: ( ) ( )0,30,1 y

Por tanto: ( )1

3

323

134 23

3

1

2

−+−=−+−= ∫ xxxdxxxÁrea

( )3

432

3

19189 =

−+−−−+−=

Observación: Cuando el área queda bajo el eje x , debe anteponerse un menos (-) a la integral, para así dejarla positiva.

∫∫∫∫ +−=

++=d

c

c

b

b

a

d

a

dxxfdxxfdxxfxf

AAAtotalÁrea

)()()()(

321

y

342 −+−= xxy

1 3 x

y A2 A1

a b c d x

A3

Ejemplo

Calcular el área bajo la curva de la función 3xy = en el intervalo [ ]1,1− Solución:

( ) ( )

04

1

4

1

4

1

4

1

1

1

4

4441

1

3 =−=

−−

=

−

=∫

−

xdxx

Gráficamente:

04

1

4

1

0

1

41

0

4

441

0

30

1

31

1

3 =+−=

+

−

−=+−= ∫∫∫

−−

xxdxxdxxdxx

Problemas:

1.- Hallar el valor promedio de 2)( xxf = en el intervalo [ ]2,0 Solución:

( )

3

4

3

8

02

1)(

1

1,04

4,

2:

0;0;1)(

3

8

3

0

3

2

0

2

3)(

2

2

3332

0

22

0

=⋅

−

=⋅

−

=

=

−−

===→→=

=−=

==

∫

∫∫

b

a

dxxfab

promedioÁrea

a

bac

a

bVérticedonde

cbaparábolaxxf

xdxxdxxf

y f(x)=x3

1 -1 1 x -1

Gráficamente: 2.- Un estudiante universitario desarrolla una moto que se considera cumplirá los estándares

para el control de emisiones. La razón de emisión está dada por la función: 22)( ttE = , donde E(t) corresponde a las emisiones en miles de millones de partículas contaminantes por año , en el tiempo t en años. La razón de emisión de un motor

convencional está dada por 9)( 2 += ttC

a) ¿En qué punto del tiempo las razones de emisiones serán iguales?. b) ¿Cuál es la reducción en emisiones, producto de utilizar el motor creado por el

estudiante?. Solución:

( )

( )

( ) ( ) ( ) 18

0

3

399929)

min18)3()3(

min3

33992)

9,0

9;0;19)(

0,0

0;0;22)(

33

0

23

0

3

0

23

0

22

222

2

2

=

−=−=−=−+

==

=⇒±=⇒=⇒+=

===→+=

===→=

∫∫∫∫t

tdttdtdttdtttb

antescontapartículasdemillonesmilCE

mismoloancontaañoslosa

ttttta

puntoelenestávérticecuyo

arribahaciaabiertaparábolaunarepresentacbattC

puntoelenestávérticecuyo

arribahaciaabiertaparábolaunarepresentacbattE

y f(x)=x2 1 0 2 x

Gráficamente:

3.- Considera la gráfica de las curvas:

02 32 =−+= yexxxy

[ ] [ ]

( )[ ] ( )[ ]

12

37

12

325

3

8

12

54

3

84

4

1

3

11000

0

2

4322

1

0

4322

22

0220

432432

2

0

32

0

22

0

0

1

30

1

20

1

2

0

320

1

32

2

0

0

1

21

=+=+=

−++

−−++−−=

−+⋅+

−

+−⋅−=

−+++−−=

−−++−+−=

=−+−=+=

∫∫∫∫∫∫

∫∫

∫∫

−−−

−

−

xxxxxx

dxxdxxdxxdxxdxxdxx

xxxxxx

rectacurvacurvarectaAAATOTAL

y E(t)=2t 2

C(t)=t2+9

18 9

0 3 t

y A 2 -1 0 2 x A 1

- Área entre dos curvas En algunos problemas prácticos se debe calcular el área entre dos curvas. Suponga que

)(xf y )(xg son funciones no negativas y que )()( xgxf ≥ en el intervalo bxa ≤≤ , y si R es la región acotada por las gráficas de f y g y las rectas verticales ax = y bx = , entonces:

Gráficamente:

Ejemplos:

1.- Hallar el área de la región acotada por las curvas 23 xyexy == Solución: Primero se trazan las curvas Ahora, encontramos los puntos de intersección, resolviendo las ecuaciones simultaneas de las dos curvas:

( )

( ) ( )1,10,0:secint10

010 22323

ysonciónerdepuntosxyxluego

xxxxxx

⇒===−⇒=−⇒=

y f(x) R g(x) x

[ ]∫ −=b

a

dxxgxfRdeÁrea )()(

y y = x2 1

1 x y = x3

( )12

1

0

1

4

1

3

1 431

0

32 =

−=−= ∫ xxdxxxÁrea

2.- Hallar el área de la región acotada por la recta xy 4= y la curva 23 3xxy +=

( )( )

( ) ( ) ( )

( )[ ]

( )[ ]

75,324

332

:cot

4

3

0

1

4

1234

32

4

0

24

143

16,4;4,1;0,0:secint

,4;1;0:

04104343

21

3421

0

232

2340

4

231

2323

=+=+=

=

−−=+−=

=−

−+=−+=

−−−===

=+−⇒=−+⇒=+

∫

∫−

AAA

escurvalayrectalaporadaatotaláreaEl

xxxdxxxxA

xxxdxxxxA

soncióner

depuntoslosentoncesxxxtienesedondede

xxxxxxxxx

- Aplicaciones a la economía * Cantidad de un Flujo de Ingreso

Si se invierten “p” dólares a un n% capitalizado continuamente, se tendrá: t

n

eP⋅

⋅ 100

dólares, “t” años después: ∫⋅

⋅t

tm

eP0

100

y y = 4x (1,4) (0,0) x y = x3+ 3x2 (-4,-16)

Ejemplo: El dinero se transfiere continuamente a una razón constante de US$ 1200 por año. La cuenta gana intereses a razón anual de 8% capitalizado continuamente. ¿Cuánto habrá en la cuenta al cabo de 2 años? Solución: Valor futuro del flujo de ingresos:

( ) ( )

( ) 66,2602$000.15000.151000.15

0

2

08,0

120012001200

16,016,016,0

08,016,02

0

2

0

08,016,0208,0

USeee

eedteedte ttt

=+−=−−=

−==⋅=

−

−−−∫ ∫

Ejemplo: Determinar la cantidad de flujo monetario continuo cuando se invierten US$ 1.000 por año, a un interés compuesto en forma continua del 8% por un periodo de 15 años. Solución:

( ) [ ]

[ ] 001.29$US1e500.12

ee500.120

15e

08,0

1000dte1000dte1000

1508,0

008,01508,0t08,015

0

15

0

t08,0t08,0

=−

=−===⋅

⋅

⋅⋅∫ ∫

Ejemplo: ¿Cuál debe ser la inversión , para que la cantidad de flujo monetario continuo durante 20 años a una tasa de interés compuesto en forma continua del 8% sea 10.000 dólares? Solución:

[ ] [ ]38,202P

953,3

800p800953,3p

08,0000.101ep000.10ee08,0

p

0

20e

08,0

1p000.10dtep000.10dtep

2008,0008,02008,0

08,020

0

t08,020

0

t08,0

=⇔=⇔=⋅

⇔⋅=−⇔=−

⋅⋅⇔=⇔=⋅

⋅⋅⋅

∫∫

Ejemplo: La gerencia de una cadena nacional, está vendiendo una franquicia de 5 años Para operar un nuevo punto de venta. La experiencia anterior en sitios semejantes indica que dentro de t años la franquicia generará una utilidad a razón de ttf 490000.14)( += dólares al año . Si la tasa de interés anual predominante permanece fija durante los próximos 5 años, 7 % capitalizado continuamente , ¿ cuál es el valor presente de la franquicia?. Solución: Valor presente de la franquicia:

( ) ( )

4847648476 ↑↑

−−−−

−−−

=+=+=

+=+=

∫∫∫∫

∫∫∫

partesporsustpor

USdtetdtedtetdte

dtetdtetdtetf

tt

ttt

.

49,929.63$490000.14490000.14

490000.14490000.14)(

5

0

07,05

0

07,05

0

07,05

0

07,0

5

0

07,05

0

07,05

0

07,0

* Cambio Neto ( ) ( )aQbQCN −= en Q(x ) cuando x varía desde x = a hasta x = b , pero como Q(x) es la antiderivada de Q’(x) , se tiene:

( ) ( ) ( )dxxQaQbQCNb

a∫=−= '

Ejemplo:

En cierta fábrica, el costo marginal es ( )243 −q dólares por unidad cuando el nivel de producción es q unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación, si el nivel de producción sube de 6 a 10 unidades?. Solución: C(q) el costo total de producir q unidades, entonces el Costo Marginal es:

( )243 −= qdq

dC

y el incremento en el costo, si la producción aumenta de 6 a 10 unidades, está dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 208$8216464106

10443610 333

10

6

2 USqdqqCC =−=−−−=−=−=− ∫

* Exceso de Utilidad Neta Supóngase que dentro de t años dos planes de inversión generarán la utilidad ( )tP1 y

( )tP2 respectivamente, y que las respectivas tasas de rentabilidad, ( )tP'1 y ( )tP'

2

satisfacen ( ) ( )tPtP '1

'2 ≥ durante los primeros N años ( )Nt ≤≤0 . Entonces:

( ) ( ) ( )tPtPtE 12 −=

representa el exceso de utilidad del Plan 2 sobre el Plan1 en el tiempo t y el exceso de utilidad neta ( ) ( )0ENENE −= durante el periodo Nt ≤≤0 está dado por la integral definida

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ −==−=NN

dttPtPdttEENENE0

'1

'2

0

'0

Ejemplo: Supóngase que dentro de t años una inversión generará utilidad a razón de

( ) 2'1 50 ttP += cientos de dólares al año, mientras una segunda inversión generará

utilidad a razón de ( ) ttP 5200'2 += cientos de dólares al año.

a) ¿Durante cuántos años la tasa de rentabilidad de la segunda inversión excederá la de

la primera?.

y (dólares al año) y = P’

2 y = P’

1 t (años)

b) Calcule el exceso de utilidad neta durante el periodo determinado en a). Solución:

a) La tasa de rentabilidad de la segunda supera la de la primera hasta

( ) ( )

( )( ))10trechazase(años15t

010t15t

0150t5t

t5200t50

tPtP

2

2

'2

'1

−===+−

=−−

+=+

=

b) El exceso de utilidad neta durante el periodo 15t0 ≤≤ está dado por la integral

definida

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ).750.168$US:decires;dólaresdecientos50,687.1

0

15t

3

1t

2

5150dttt5150

dtt50t5200dttPtPEN

15

0

322

15

0

15

0

2'1

'2

=

=

−+=−+=

+−+=−=

∫

∫ ∫

* Ganancias netas producidas por equipos industriales Las ganancias netas generadas por una máquina industrial durante cierto periodo es la diferencia entre el ingreso total generado por la máquina y el costo total de operación y mantenimiento de aquella.

y (cientos de dólares) y = P2(t) = 200 + 5t 200 US$ 168.750 y = P1(t) = 50 + t2 50 0 15 t (años)

El exceso de utilidad neta es la región entre las dos curvas

Ejemplo: Suponga que cuando una máquina tiene t años, genera ingresos a razón de:

2' t20000.5)t(R −= dólares al año y que los costos de operación y de mantenimiento

relacionados con la máquina se acumulan a razón de 2' t10000.2)t(C += dólares al año,

a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la rentabilidad de la máquina comience a disminuir?.

b) Calcule las ganancias netas generadas por la máquina durante el periodo Determinado en a) .

Solución: a) )t(C)t(R)t(P −= (utilidad después de t años)

)t(C)t(R)t(P ''' −= (tasa de rentabilidad)

( ) ( )

2

22

t30000.3

t10000.2t20000.5

−=

+−−=

La rentabilidad comienza a disminuir cuando:

años10t100t

0t30000.3

0)t(P

2

2

'

=⇒=

=−

=

( ) 000.20$USdtt30000.3dt)t(P)0(P)10(PEN)b10

0

210

0

' =−==−= ∫∫

* Valor Presente Acumulado

∫ − dteP ktT0

El valor presente P0 de una cantidad P vencido en t años después, se halla solucionando la

siguiente ecuación para P0 :

P tke0 = P

P kttk

Pee

P −==0

Así entonces, el valor presente P0 de un monto P vencido t años después a una tasa de interés

compuesto en forma continua k, está dado por P .0

ktPe−=

Observe que esto se puede interpretar como un decrecimiento exponencial del futuro, respecto al presente. Ejemplo: Hallar el valor presente de $200,000 vencidos en 25 años a un interés compuesto en forma continua del 8.7%. Solución: Se reemplaza $200,000 para P, 0.87 para k, y 25 para t en la ecuación de valor presente: P0 = 200,000e )25(087.0− ≈ $22,721.63.

Así, el valor presente es $22, 721.63. Supongamos que se aplica flujo monetario continuo a una inversión a la tasa constante de P dólares por año, desde este momento hasta un tiempo T en el futuro. Si transcurre un tiempo infinitesimal dt, P • dt dólares serán acumulados. El valor presente de esa cantidad es ( P • dt )e kt− , donde k es la tasa actual de interés compuesto en forma continua. La acumulación de todos los valores presentes está dada por la integral

∫ − dtPe ktT0

la cual se conoce como valor presente acumulado. La evaluación de esta integral da

0

0( )

T kt kT kPPe dt e e

k− − − •= −

−∫ = ).1( kTek

P −−

* Excedente de Consumidores y Productores Excedente de los consumidores Si se venden 0q unidades de un artículo a 0p la

unidad y si )q(Dp = es la función de demanda de los consumidores del artículo, entonces:

( )

( )00

q

0

00

qpdq)q(D.C.E

unidadesq

enconsumidor

delrealGasto

unidadesqporpagara

dispuestostanesesconsumidor

losquetotalCantidad

consumidordelExcedente

0

⋅−=

−

=

∫

Excedente de los productores Si se venden 0q unidades de un artículo a 0p la

unidad y si )q(Sp = es la función de oferta de los productores del artículo, entonces:

( )

( ) ∫−⋅=

−

=

0q

000

00

dq)q(Sqp.P.E

unidadesqofrecense

cuandorecibensproductore

losquetotalCantidad

unidadesq

enconsumidor

delrealGasto

productordelExcedente

Ejemplo: Hallar el excedente del consumidor para la función de demanda

( ) 3,5)( 2 =−= xparaxxD

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) unidades

xxx

dxdxxdxx

dxxxdxx

entoncesqp

xD

2712025053

032535

3

3

12

0

3

252

10

3122510

122510345

:34

4253)3(

23

23

233

0

3

0

3

0

2

3

0

23

0

2

22

=−

⋅+⋅−−

⋅+⋅−=

−

+−=−+−=

−+−=⋅−−

=⇒==−=−==

∫∫∫

∫∫

Ejemplo:

Hallar el excedente del productor para 3)( 2 ++= xxxS cuando 3=x

Solución:

( )

( ) ( )

unidadesxxx

dxdxxdxxdxxxPE

qpxS

2

450

2

0

3

09

2

9

3

2745

0

3

323

45

3453315

31515333)3(

23

3

0

3

0

3

0

23

0

2

2

=

++−

++−=

++−=

++−=++−⋅=

=∧=⇒=++==

∫∫∫∫

Ejemplo: Un fabricante de llantas calcula que los mayoristas comprarán (demandarán) q miles de llantas radiales cuando el precio sea

90q1,0)q(Dp 2 +−== dólares la unidad, y el mismo número de llantas se suministrarán cuando el precio sea

50qq2,0)q(Sp 2 ++== dólares por llanta.

a) Halle el precio de equilibrio ( donde la oferta iguala a la de manda) y la cantidad suministrada y demandada a ese precio.

b) Determine el excedente de los consumidores y de los productores al precio de equilibrio.

Solución:

( )

( )( )000.10,80:equilibriodePunto

llantapordólares8090101,0py

33,13qrechazar10q040qq3,0

50qq2,090q1,0)a

2

2

22

=+−=

−==⇒=−+

++=+−

( ) ( )

( ) ( )330.183$US33,18367,616800

0

10

q502

q

3

q2,0800dq50qq2,01080PE

670.66$US67,6680067,866

800

0

10

q903

q1,01080dq90q1,0CE

10qy80p)b

10

0

232

310

0

2

00

==−=

++−=++−⋅=

==−=

−

+−=⋅−+−=

==

∫

∫

Otras Aplicaciones

* Valor medio de una función El valor medio ( V M ) de la función continua f(x) en el intervalo bxa ≤≤ está dado por la integral definida

∫−=

b

a

dxxfab

MV )(1

p (dólares por unidad) 0,2 q2+q+50 (oferta) 90

E C →→→→ 80

E P →→→→ 50 - 0,1q2+90 (demanda) 10 30 q (unidades)

Ejemplo: Un investigador calcula que t horas después de medianoche , durante un periodo típico de 24 horas, la temperatura en cierta ciudad del norte está dada por

( ) 240133

23)( 2 ≤≤−−= tttC

grados Celsius. ¿ Cuál es la temperatura media en la ciudad entre las 6:00 a. m. y las 4:00 p. m.?. Solución: De 6:00 a.m. a 4:00 p.m. corresponde a t = 6 y t = 16 , respectivamente, entonces se desea calcular el promedio de temperatura C(t) para 166 ≤≤ t , dado por:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)º6,22(º22,5

1369

2631316

9

2163

10

1

6

16

139

23

10

1

133

23

616

1

333

16

6

2

FCelcius

tt

dttMT

−≈

−−⋅−

−−⋅=

−−=

−−−

= ∫

* Supervivencia y Renovación Una función de supervivencia da la fracción de los individuos de un grupo o población que permanecerán en el grupo durante un periodo especificado. La función de renovación da la razón a la cual llegan los nuevos miembros, y el objetivo es predecir el tamaño del grupo en algún momento futuro. Ejemplo: En un pueblo se instalará una nueva clínica mental. Las estadísticas provenientes

de instalaciones semejantes sugieren que la fracción de pacientes que seguirán recibiendo tratamiento en la clínica t meses después de su visita inicial está dada por la función

20)( tetf −= . La clínica acepta inicialmente 300 personas para tratamiento y planea aceptar nuevos pacientes a razón de 10 por mes. Aproximadamente ¿cuántas personas recibirán tratamiento en la clínica dentro de 15 meses?.

Solución: f ( 15 ) es la fracción de pacientes cuyo tratamiento continuará durante al menos 15

meses, se deduce que de los 300 pacientes actuales, sólo 300 f ( 15 ) seguirán recibiendo tratamiento dentro de 15 meses. Además, dentro de 15 meses, habrán transcurrido aproximadamente 15 – t meses.

Como 20)( tetf −= , se tiene: ( ) 20432015432015 )15()15( tt eeetfyeef ⋅==−== −−−−−

( ) 24,2471200300

0

1520030010300

4343

20434315

0

204343

=−+=

+=+=

−−

−−−− ∫

ee

eeedteeeP tt

Es decir , dentro de 15 meses la clínica tendrá aproximadamente 247 pacientes en tratamiento.

* Curvas de Lorentz Una herramienta para medir desigualdades en la distribución de la

riqueza es la curva de Lorentz. Una curva de Lorentz típica se muestra en la figura adjunta, donde la función )(xL mide la proporción de ingreso nacional anual recibida por el 100 x % más bajo de la población para 10 ≤≤ x . Por ejemplo en el punto

( )19.0,4.0 en la curva representa el hecho de que las familias con el 40% de los ingresos más bajos reciben 19% del ingreso total de la nación.

La recta y = x representa el caso ideal (igualdad completa en la distribución del ingreso).

Este ideal nunca se realiza en la práctica, una curva de Lorentz generalmente queda por debajo de la recta y = x . R1 representa la desviación de la distribución real de la igualdad completa.

Índice de Gini (o índice de desigualdad de ingreso): Si )(xLy = es la ecuación de una curva de Lorentz, entonces la desigualdad en la distribución de riqueza correspondiente se mide mediante el índice de Gini, cuya fórmula está dada por

[ ]∫ −=1

0

)(2 dxxLxGiniÍndice

Ejemplo: Una agencia gubernamental determina que las curvas de Lorentz para la

distribución del ingreso de los odontólogos y contratistas en cierta ciudad están dadas por las funciones

( ) ( ) xxxLyxxL 2,08,0 22

7,11 +==

respectivamente. ¿Para cuál profesión es más justa la distribución del ingreso?

y (Porcentaje de ingreso) 1 y = x R1 y = L(x)

0 1 x (Porcentaje de familias)

Solución: Los índices de Gini respectivos son

( )

( )[ ] 2667,0

0

1

28,0

38,022,08,02

2593,0

0

1

7,2222

231

0

22

7,221

0

7,11

=

⋅+

⋅−⋅=+−=

=

−⋅=−=

∫

∫

xxdxxxxG

xxdxxxG

Luego, en esta ciudad, los ingresos de los odontólogos se distribuyen de forma más homogénea que los de los contratistas.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. - Determine la cantidad de dinero acumulada en una cuenta de ahorros después de 3 años, con una inversión inicial de $10.000 a una tasa de interés compuesto en forma continua del 9 %.

2. - Hallar la cantidad de flujo monetario continuo en la cual se invierten US $ 1.000 por año a un interés compuesto en forma continua del 10% durante 20 años.

3. - Hallar la cantidad de flujo monetario continuo en la cual se invierten $ 300.000 por año a un

interés compuesto en forma continua del 7,5%, durante 40 años. 4 - ¿ Cuál debe ser la inversión para que la cantidad de flujo monetario continuo durante 20 años

a una tasa de interés compuesto en forma continua del 8,5%, sea de $ 500.000? 5 - ¿ Cuál debe ser la inversión inicial para que la cantidad de flujo monetario continuo durante

30 años a una tasa de interés compuesto en forma continua del 9%, sea de US $ 40.000? 6. - Un padre previniendo los gastos que le ocasionará su hijo al ingresar a la universidad, sabe

que necesitará US $ 50.000 para costear los gastos que le ocasionará este propósito. Si el ingreso a la universidad se producirá a los 18 años estimativamente. Si el interés en forma continua es del 8,5 % ¿ Cuál debe ser la inversión inicial?

7. - Después del nacimiento de su hijo, un padre desea hacer una inversión inicial P0 que

crecerá a US $ 60.000 cuando aquel cumpla 20 años. El interés compuesto en forma continua es del 10% ¿ cuál debe ser la inversión inicial?

8. - Un empresario desea hacer una inversión inicial x con el propósito que se convierta en $50.000.000 al cabo de 12 años. El interés compuesto en forma continua es del 12,5% ¿ cuál debe ser la inversión inicial para lograr este capital al cabo del periodo estimado?

9. - Hallar el valor presente de $ 70.000 vencidos 8 años después si están sometidos a un interés

compuesto en forma continua del 8,8%. 10. -Determinar el valor presente de US $ 12.500 vencidos 16 años después a un interés

compuesto en forma continua del 7,4%. 11. - Hallar el valor presente acumulado de una inversión durante un periodo de 10 años si hay

un flujo monetario continuo de $ 5.800 por año y la tasa de interés compuesto en forma continua es del 9%.

12. - Don Guillermo Morales acepta el cargo de Director de un colegio a la edad de 50 años.

Supone que la jubilación a los 65 años le reportará un sueldo anual de $ 850.000 que se paga en un flujo monetario continuo, ¿ cuál es el valor presente acumulado de su cargo? La tasa actual de interés compuesto en forma continua es del 4,5%.

13. - Un estudiante de Ingeniería Comercial abandona la universidad aceptando el cargo de

Vendedor de una multitienda a la edad de 24 años.. Supone que una vez completado el periodo de trabajo que le permita jubilarse, a los 65 años, recibirá un sueldo de $ 430.000 que se paga en flujo monetario continuo. ¿ cuál es el valor presente acumulado de su cargo?. La tasa actual de interés compuesto en forma continua es del 6%.

14. - En el año 1998 el consumo mundial de Cobre era de 214.000.000 de toneladas y la

demanda de cobre comenzó a crecer exponencialmente a una razón del 12% por año. Si la demanda continua aumentando a esta razón ¿ Cuántas toneladas de cobre se consumirán en el mundo entre el año 1998 y 2004?.

15. - En el año 1995 el consumo mundial de gas natural era de 65.000 miles de millones de

metros cúbicos, y la demanda de gas natural comenzó a crecer exponencialmente a razón de un 4% por año. Si la demanda de gas natural continua creciendo a esta razón. ¿ cuántos metros cúbicos de gas natural consumirá el mundo desde el año 1995 hasta el año 2020?.

16. - Las reservas mundiales de cobre son de 47.000.000.000 toneladas. Si la demanda por cobre

crece exponencialmente a una razón del 6,75% al año y de no descubrirse nuevas reservas ¿ Cuándo se agotarán las reservas mundiales de Cobre?. 17. - El cobalto tiene una razón de decrecimiento radiactivo de 0,0063% por año. Suponga que

se libera cobalto en la atmósfera durante 60 años a la razón de 2,5 Kilos por año. ¿ Cuál es la cantidad total de cobalto acumulado en la atmósfera?.

18. - El valor de reventa de un inmueble decrece durante un periodo de 10 años a una razón que

cambia con el tiempo. Cuando el inmueble tiene y años, la razón a la cual cambia su valor es de 310 ( x – 15) miles de pesos al año. ¿ en cuánto se deprecia el inmueble durante el tercer año?.

19. - Los administradores de Fantasilandia determinan que t horas después de abrir las puertas a

las 10:00 a.m. los visitantes ingresarán al parque a razón de ( ) ( )2 35 2 3 70 3 1t t− + + +

personas por cada hora ¿ Cuántas personas entrarán al Parque Fantasilandia entre la hora de apertura y las 14:00 horas?.

20. - Un fabricante ha encargado un estudio para determinar en forma real una función que le

permita determinar los costos totales en los cuales incurre. Si el informe determina que el

costo marginal es ( )215 3 2q− millones de pesos la unidad cuando produce q unidades.

¿ en cuánto aumentará el costo total de fabricación, si el nivel de producción sube de 20 a 50 unidades?.

21. - En Venezuela el pozo petrolero “ Caracas “ produce 500 barriles de petróleo crudo al

mes y se sabe que se agotará en tres años. En la actualidad el precio del petróleo crudo es de US $ 45 dólares el barril y se espera que aumente a razón constante de 5 centavos por barril al mes. Si el petróleo se vende una vez extraído ¿ cuál será el ingreso total obtenido en el pozo a futuro ?.

22. - Un campesino que sembró trigo estima que dentro de t días la cosecha crecerá a razón de

21,3 0,75 5t t+ + sacos al día. ¿ en cuánto aumentará el valor de la cosecha durante los próximos 10 días, si el precio en el mercado permanece fijo a $ 12.000 el saco?

23. - La demanda de calculadoras crece exponencialmente a razón de un 3,5% anual. Si la

demanda actual es de 42.000 unidades al año y si el precio permanece fijo a $ 21.900 la unidad ¿ Cuánto ingreso se logrará recaudar por la venta del producto durante los próximos 3 años ?.

24. - Después de t horas un operario puede producir 0,25175 tt e−⋅ unidades por hora. Si un

operario se incorpora a trabajar a las 8:00 a.m ¿ Cuántas unidades produce produce entre las 10:00 a.m y las 15:00 p.m ?

25.- Si dentro de t años un plan de inversión generará utilidades a razón de ( )' 2

1 200 2P t t= +

millones de pesos al año y por otra parte un segundo plan de inversión lo hará a razón de

( )'2 300 2P t t= + millones de pesos al año, determine :

a) ¿ En el plazo de cuántos años será más rentable el segundo plan ?

b) El exceso de utilidad haciendo el supuesto que se invierte en el segundo plan durante el periodo hallado en el punto anterior.

26.- Un máquina industrial que tiene t años, genera ingresos a razón de ( )' 27.200 9R t t= −

cientos de pesos al año y que los costos de operación y de mantenimiento se acumulan a razón de

( )' 25.345 15C t t= + cientos de pesos al año, determine :

a) ¿ Durante cuántos años la rentabilidad de la máquina se mantiene aumentando? b) Las ganancias netas generadas por la máquina durante el tiempo determinando en el

periodo obtenido en el literal a)

27.- Transcurridas t horas un empleado de una fábrica textil produce ( ) ( )2

1 80 3 2 1Q t t= − −

unidades por hora de un producto, en tanto un segundo empleado que desempeña la misma función lo hace a razón de ( )2 80 6Q t t= − unidades por hora del mismo producto, determine :

a) Considerando que ambos empleados comienzan su labor a las 8:00 horas ¿ quién

produce mayor cantidad de unidades? ¿ Cuántas unidades más produce el que más produce ?

b) Interpretando la gráfica que ocurre al plasmar ambas curvas en un mismo gráfico, determine el área entre ambas curvas.

28.- Las Damas de Verde realizan anualmente una campaña para reunir fondos para ayudar a las

personas que padecen de leucemia. Este año la recaudación de fondos para esta campaña se recibió a razón de ( )' 0,47.500 tR t e−= ⋅ miles de pesos por hora, en tanto los gastos operativos

de la campaña se acumulan a razón constante de $ 1.500.000 por hora, determine :

a) ¿ Durante cuántas horas será más rentable la campaña de recaudación de fondos ? b) ¿ Cuánta ganancia neta genera la campaña durante el periodo determinado en el punto a)?

29.- Se transfiere dinero sin interrupción a una cuenta a razón constante de $ 2.000.000 al año. La cuenta paga intereses a una tasa anual del 6% capitalizado continuamente ¿ cuánto habrá en la cuenta al cabo de 5 años? 30.- El dueño de una cadena de farmacias vende una franquicia de 5 años para su nuevo punto de ventas en Iquique. Las ocasiones en que ha procedido de manera similar en otras ciudades de Chile sugiere que dentro de t años, la franquicia generará utilidades a razón de

( ) 20.500 750h t t= + millones de pesos al año. Si durante los 7 años siguientes la tasa de interés

permanecerán fijas al 7,2% al año capitalizado continuamente ¿ cuál es el valor actual de la franquicia ?

31.- Se define la función de demanda para un producto como ( )p D q= . Se pide determinar:

a) La cantidad total de dinero que están dispuestos a gastar los consumidores para obtener q unidades del producto.

b) Trace la curva de demanda.

Para las siguientes funciones, i) ( ) 23(81 )D q q= − miles de pesos la unidad cuando q = 5 unidades

ii) ( )( )2

200

0,2 10D q

q=

+ miles de pesos la unidad cuando q = 12 unidades

iii) ( ) 430

5 2D q

q=

+ miles de pesos la unidad cuando q = 10 unidades

iv) ( ) 0,0755 qD q e−= ⋅ miles de pesos la unidad cuando q = 15 unidades

v) ( ) 0,05120 qD q e−= ⋅ miles de pesos la unidad cuando q = 12 unidades

32.- Hallar, en cada caso, el precio0P = D (q0 ) al cual se demandarán 10 unidades y calcule el

excedente de los consumidores correspondientes CS. Trace la curva de demanda y = D(q) y sombree la región cuya área representa el excedente de los consumidores.

a) D(q) = 2(64 - q2 ); q0 = 3 unidades

b) D(q) = 150 – 2q – 3q2 ; q0 = 6 unidades

c) D(q) = 40e 0,05q− ; q0 = 5 unidades

d) D(q) = 75e 0,04q− ; q0 = 3 unidades

33.- Hallar, en cada caso, el precio p0 = S(q0 ) al cual se ofrecerán q0 unidades y calcule el

excedente de los productores correspondiente PS. Trace la curva de oferta y = S(q) y sombree la región cuya área representa el excedente de los productores.

a) S(q) = 0,3q2 + 30; q0 = 4 unidades

b) S(q) = 0,5q + 15; q0 = 5 unidades

c) S(q) = 10 + 15e0,03q ; q0 = 3 unidades

d) S(q) = 17 + 11e0,01q ; q0 = 7 unidades

34.- Un fabricante ha determinado que cuando se producen q unidades de cierto artículo, el precio al cual pueden venderse todas las unidades es p = D(q) dólares por unidad, donde D es la función de demanda dada por

D(q) = 2

300

(0,1 1)q+

a) ¿Cuántas unidades espera vender el fabricante si el precio del artículo se fija en p0 = US $12 la unidad?

b) Halle el excedente de los consumidores que corresponde al nivel de producción q0

hallada en el literal a). 35.- Responda a las preguntas del problema anterior, para la función de demanda dada por

D(q) = 400

0,5 2q +

Y precio p0 = US $20 la unidad.

36.- El fabricante para una pieza de maquinaria pesada los vende en unidades de 1,000, y se venderán q unidades cuando el precio sea p = 110 – q dólares la unidad. El costo total de producir las q unidades es C(q) = q3 - 2q + 2q + 3,000 dólares.

a) ¿Cuánta utilidad se derivará de la venta de las q unidades al precio de p dólares la unidad? ( Nota: utilidad = ingreso - costo; ¿cuánto ingreso se derivará de la venta de q unidades?)

b) ¿Para qué valor de q se maximiza la utilidad? c) Halle el excedente de los consumidores para el nivel de producción q0 que

corresponde a la máxima utilidad. 37.- Siguiendo los pasos desarrollados en el ejercicio anterior, resuelva p = 124 – 2q y C(q) = 2q3 - 59q 38.- Supongamos que se demandan q unidades de cierto artículo en el mercado (se venden) cuando el precio es p = S(q) dólares la unidad, donde las funciones de demanda y oferta son respectivamente,

D(q) = 110 - q2 y S(q) = 1

3(q + 1)

a) ¿En qué nivel de producción q0 la oferta iguala a la demanda?

Este es el denominado nivel de equilibrio, y el precio correspondiente p0 es el precio

de equilibrio. b) Calcule el excedente de los consumidores y de los productores cuando hay equilibrio

en el mercado

c) Trace primero la curva de demanda y = 110 - q2 y la curva de oferta 21

2 53

y q q= + + en el mismo eje de coordenadas, y luego sombree y marque las

regiones cuyas áreas respectivas correspondan al excedente de los consumidores y de los productores cuando hay equilibrio en el mercado.

39.- Cierta inversión genera ingresos sin intermisión durante un periodo de N años. Después de t años, la inversión generará ingresos a razón de f(t) dólares al año. Deduzca una expresión para el valor presente de esta inversión, si el interés anual predominante permanece fijo en r (expresado como decimal) y se capitaliza continuamente.

Unidad I : Integrales impropias Esta unidad nos permite analizar e interpretar de modo correcto aquellas integrales no

acotadas o discontinuas dentro del intervalo de integración. La interpretación gráfica de una

integral impropia no acotada hace referencia a una región cuya extensión es infinita. Hasta

los capítulos previamente abordados no se había considerado tal situación.

Objetivos :

� Determinar si una integral impropia converge o diverge.

� Solucionar problemas que involucran el uso de integrales impropias.

� Desarrollar algunas aplicaciones de integrales impropias en economía y

administración

� Resolver problemas relacionados con probabilidades que involucran el desarrollo de

integrales impropias.

INTEGRAL IMPROPIA

- Introducción

Al definir la integral definida ∫b

a

dxxf )( , pretendimos que la función f estuviera definida en

el intervalo cerrado [ ]ba, . Ahora ampliaremos la definición de la integral definida para considerar un intervalo infinito de integración y a dicha integral la denominaremos integral impropia .

Las integrales impropias son integrales de alguna de las siguientes formas:

[ [ ] ]

[ ] bcayidaddiscontinudepuntocconba

óbaóbaconperodxxf

decasoslostienensetambiéndxxfdxxfdxxf

b

a

b

a

≤≤

∫

∫∫∫+∞

∞−∞−

+∞

,

,,)(

;)(;)(;)(

Es decir: La integral ∫

b

adxxf )( se dice impropia si ocurre al menos una de las hipótesis

siguientes: 1º a, b o ambos son infinitos. 2º La función f(x) no está acotada en el intervalo [a,b].

Ejemplos: ∫∞

1 2dx

x

1 ; ∫ −

2

0dx

1x

1 ; ∫

∞

0 2dx

x

1

- Interpretación Geométrica

Si f es no negativa, la integral impropia ∫+∞

a

dxxf )( puede interpretarse como

el área de la región bajo la gráfica de f que está a la derecha de x = a ( véase la figura ). Aunque esta región tiene una extensión infinita , su área puede ser finita o infinita , dependiendo de la rapidez con la que f(x) se aproxime a cero cuando x crece.

y y = f (x) y = f (x) a x a N x

∫∫ +∞→

∞

==N

aN

a

dxxfdxxfÁrea )(lim)(

- Definición

• INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS.

(Integral impropia de 1ª especie).

Los distintos tipos son: a) ∫∞

adx)x(f , b) ∫ ∞−

bdx)x(f , c) ∫

∞

∞−dx)x(f

a) Si f es continua para toda ax ≥ , entonces

existelímiteestesidxxflímdxxfb

ab

a∫∫ +∞→

+∞

= )()(

Si éste límite existe, y es igual a un nº finito L, se dice que la integral Ldx)x(fa

=∫∞

, es

convergente. ∫∞

1 2dx

x

1

Si tal límite es infinito la integral es divergente. ∫∞

0dx

x

1

Cuando no existe límite se dice que no existe valor de la integral o ésta es divergente por

oscilación. ∫∞

0senxdx

b) Si f es continua para toda bx ≤ , entonces

existelímiteestesidxxflímdxxfb

aa

b

∫∫ −∞→∞−

= )()(

En los casos en que, éste límite (sea finito, sea infinito o no exista), la integral será

(convergente, divergente o divergente por oscilación). −∞=∫−

∞−

1

31

dxx

1

c) Si f es continua para todos los valores de x, y c es cualquier número real, entonces

existelímiteestesidxxflímdxxflímdxxfb

cb

c

aa ∫∫∫ +∞→−∞→

+∞

∞−

+= )()()(

La integral del primer miembro de dice convergente, si existen y son finitas ambas

integrales del segundo miembro. ∫∞

∞−dxex

Se dice divergente si al menos una de ellas es no convergente.

• INTEGRALES DE FUNCIONES NO ACOTADAS

(Integral impropia de segunda especie).

a) Sea f(x) una función definida en un intervalo (a,b], integrable en todo intervalo [x , b]

con a < x ≤ b y no acotada en el límite inferior del intervalo de integración,

±∞=+→

)x(flímax

.

∫∫ ε+→ε==

b

a0

b

adx)x(flímdx)x(fI , I es convergente, divergente u oscilante si el límite es

finito, infinito o no existe, respectivamente. ∫1

0dx

x

1

b) Análogamente se define la integral en intervalo de la forma [a , b). Sea f(x) no acotada

en el límite superior del intervalo de integración

±∞=−→

)x(flímbx

; ∫∫ε−

→ε==

b

a0

b

adx)x(flímdx)x(fI , I es convergente , divergente u

oscilante si el límite es finito, infinito o no existe, respectivamente.

c) Si la función está definida en (a,b) y ±∞=+→

)x(flímax

; ±∞=−→

)x(flímbx

, siendo integrable

en todo intervalo contenido en ( a , b ) diremos que la integral ∫=b

adx)x(fI es

convergente cuando lo sean simultáneamente las integrales de f en los intervalos

(a , c] y [c , b).

d) f(x) no esta acotada en un punto c∈(a,b).

∫∫∫∫∫ ε+→ε

ε−

→ε+=+=

b

c0

c

a0

b

c

c

a

b

a 22

1

1

dx)x(flimdx)x(flimdx)x(fdx)x(fdx)x(f

en caso de ser ambos límites finitos la integral del primer miembro es convergente, en

otro caso la integral es divergente. ( )∫ −3

0 2 dx1x

dx

* INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS DE FUNCIONES NO ACOTADAS.

(Integral impropia de tercera especie).

Se trata de una integral con intervalo no acotado, y función no acotada en un número finito

de puntos.

Descomponemos la integral en suma de las integrales de los tipos anteriores. Es

Convergente si todas las integrales de los sumandos son convergentes. Si una al menos

es divergente la integral dada es divergente.

Ejemplos

( ) ( ) ( )convergeee

eeb

e

bedxedxedxe

dxeCalcular

bbbbb

b

b

x

b

x

b

bx

b

bx

b

x

x

1101lim1

lim11

limlim0

lim

02

1lim2lim22lim2

2.1

220222

2

0

2

0

2

0

2

0

2

=+=−=

−−=−−=−=

⋅−⋅=⋅=⋅=⋅

⋅−

∞→∞→∞→

⋅−−

∞→

−

∞→

−

∞→

−

∞→

−

∞→

∞−

∞−

∫∫∫

∫

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] divergeLnbLn

LnbLnb

xLnx

dx

x

dx

b

bb

b

b

⇒∞=−∞=−+=

+−+=+=+

=+

−

∞→

∞→∞→∞→

∞

∫∫111lim

101lim0

1lim1

lim1

.200

( )[ ] ( ) ( )[ ] divergeeeeeb

beex

eexdxeexdxex

evedvdxduxudxexdxex

bb

b

xx

b

xxxxx

xxb

x

b

x

⇒∞=−⋅−−⋅=−⋅=

−⋅=−⋅=⋅

=⇒==⇒=⋅=⋅−

∞→∞→

∞→

∞

∫∫

∫∫

00

00

0lim0

lim

lim.3

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) convergebbxx

dxx

xu

u

du

x

dxx

dxxdu

dxxduxux

dxx

x

dxx

bbb

b

bb

3

1

13

1

3

1lim

0

13

1lim

1lim

13

1

3

1

2

1

1

221

1lim

1.4

232232

0

252

232

3225252

20

252

0

252

−=

++−=

+−=

+

+−=−==

+

=⇒=⇒+=+

=+

−

−∞→−∞→−∞→

−

−∞→∞−

∫

∫∫

∫∫

( ) ( )Divergeee

eeeeeeee

be

aedxedxedxe

b

bbb

a

b

b

b

a

b

x

b

x

ab

x

b

ax

a

x

⇒∞=∞−+−∞=

−+−=−+−=

+=+=−

−−

−

−∞→

−

−∞→

−

+∞→

−

+∞→

−−

−∞→

−−

+∞→

−

−∞→

−

+∞→

+∞−

−∞→

−

+∞→

+∞

∞−

− ∫∫∫

22

2222220202

222

0

22

limlimlimlimlimlim

0lim

0limlimlim.5

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

Converge

xx

xuu

du

x

dxx

dxxduxux

dxx

x

dxx

x

dxx

x

dxx

x

dxx

o

33333

31312

0

312312

0

312

0

312

0

31231

23322

26

23220

2

03220

2 6

2322322

6

0322

49464332343

423463lim403423lim

2

643lim

0

243lim

4334

2

244

2lim

4

2lim

4

2

4

2

4

2.6

=+=+=

−+−−+−−−−=

+−+

−−=

−===

−

=⇒−=−

+−

=

−+

−=

−−

→→

→→

+→

−

→

∫∫

∫∫

∫ ∫∫

εε

εε

εε

εε

εε

ε

ε

( ) ( ) ( ) ( )

2

96

2

3

02

38

2

3lim1

2

30

2

3lim

0

8

2

3lim

1

0

2

3limlim)7

32

32

03

23

2

0

32

0

32

0

8

03

0

13

0

10

8

033

8

13

=+−=

+−⋅+

−−−⋅=

+

+−

−

=+=+=

→→

→→+

−

−−→

−∫∫∫ ∫∫

εε

ε

ε

εε

εεε

ε

εxx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

EJERCICIOS PROPUESTOS

Determinar si las siguientes integrales son convergentes o divergentes

( )

∫ ∫∫∫

∫∫ ∫

∫∫∫

∫ ∫∫∫

∞ ∞−−

∞∞

∞

−

∞+∞+

∞−

−

+∞

∞−∞−

⋅⋅⋅

++

−−−

−

0 1

8,1

12

13

1

02

2

22

2

02

5

452

2

0

3

02

12

3600)142)131

)12)11

)1064

)9)8

1)7

4)6

5

1)5

1)4

4)3

2)2)1

2

dxxdxexdxx

dxe

x

dxxLndx

xx

dxdxxLnx

dxx

dxdx

x

xdx

x

dxx

dxx

xdxdxex

xx

xx

Aplicaciones de la Integral Impropia

1.- Hallar el área situada a la derecha de x = 3 y limitada por la curva 1

12 −

=x

y y el eje x

Solución:

34,02

1

2

1

2

1

2

10

2

1

2

1

1

1

2

1lim

31

1

2

1lim

1

1lim

1

1

32

32

≈−=⋅−=

⋅−

+−⋅=

+−⋅=

−=

−

+∞→

+∞→+∞→

+∞

∫∫

LnLnLnu

uLn

u

x

xLndx

xdx

x

u

u

u

u

2.- Una firma determina que puede producir neumáticos a una tasa de tetR 42,0000.2)( −⋅= ;

donde t es el tiempo en años. Suponga que la firma trabaja por siempre, ¿cuántos neumáticos

puede producir?.

Solución:

⋅+⋅−=

⋅−=

⋅−=

⋅⋅−=−⋅⋅=⋅

=−⇒−=⇒−=

⋅=⋅

⋅−−

+∞→

−

+∞→+∞→

+∞→+∞→

−

+∞→

−

+∞→

+∞−

∫∫∫

∫∫

042,042,042,0

000

42,0

0

42,0

0

42,0

42,0

2000

42,0

2000lim

042,0

2000lim

042,0

2000lim

42,0

2000lim

42,02000lim000.2lim

42,042,042,0

000.2lim000.2

ee

u

e

u

e

dpedp

edte

dtdp

dtdptp

dtedte

u

u

t

u

p

u

up

u

up

u

ut

u

ut

u

t

9,761.442,0

2000

42,0

20000

42,0

2000

42,0

2000lim

42,0

2000

42,0

2000lim

42,0

2000lim

42,0

2000

42,0

2000lim

42,0

42,042,0

≈=+⋅−=+−=

+

⋅−=

+⋅−=

−

+∞→

+∞→

−

+∞→

−

+∞→

u

u

u

u

u

u

u

e

ee

3.- Hallar el valor presente acumulado de una inversión, para la cual existe un flujo monetario

continuo y perpetuidad de US$ 3.500 por año, la tasa de interés actual es del 7%.

Solución:

( ) ( )

000.501000.500000.50lim000.50lim000.50

07,0

500.3

07,0

500.3lim

007,0

500.3lim

500.3lim500.3500.3)(

007,0

007,007,007,0

0

07,0

0

07,007,0

=⋅+⋅−=+−=

⋅+⋅−=

⋅−=

⋅=⋅⇒⋅=

+∞→

−

+∞→

⋅−−

+∞→

−

+∞→

−

+∞→

+∞−− ∫∫

ee

ee

u

e

dtedtedtetR

u

u

u

u

u

t

u

u

u

y

1

12 −

=x

y

3 +∞∞∞∞

4.- Una persona desea hacer una donación a una empresa privada, de la cual ésta puede retirar a

perpetuidad US$ 7.000 a año para financiar a centro de costos. Suponiendo que la tasa de

interés anual predominante permanecerá fija en 10% capitalizado continuamente. ¿Cuánto

deberá dar el donante a la empresa, es decir, cuál es el valor presente de la donación?

Solución:

000.70lim000.70lim000.7001,0

000.7lim

000.7lim000.7)(

01,01,0

0

1,0

0

1,00

=+−=

⋅−=

=⋅=⋅=⋅=

∞→

−

∞→

−

∞→

−

∞→

∞−− ∫∫

eeu

e

dtedteePtP

u

t

u

t

u

ut

u

ttk

5.- La función de densidad de probabilidad recibe el nombre de Normal estándar que se define:

∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

⋅⋅== dxexdxxfxxfx

22

2

1)()(

π

Solución:

( )πππ

πππ

π

πππ

2

101lim

2

1lim

2

1

0lim

2

1lim

2

1lim

2

1

2lim

2

1)

2

1

2

1

2

1

20

2

00

22

0

2

0

2

0

2

2

2

2

222

−=+−=

−−=

−=−=−⋅⋅=

=−⇒−=⇒−=→⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

−∞→

−

−∞→

−

−∞→−∞→−∞→

−

−∞→

−+∞

−

∞−

−+∞

∞−

∫∫

∫

∫∫∫

u

a

u

x

ua

u

u

u

au

x

au

xxx

ee

aedue

x

duex

dxx

dudxxdu

xudxexa

dxexdxexdxex

( )

02

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

110lim

2

1lim

2

1

0lim

2

1lim

2

1lim

2

1

2lim

2

1)

2

0

2

0

2

0

2

00

22

0

222

22

2

2

=+−=

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⇒

=−−=

−−=

−=−=−⋅⋅=

=−⇒−=⇒−=→⋅=

−∞+

−

∞−

−∞+

∞−

−∞→

−

−∞→

−

−∞→−∞→−∞→

−

−∞→

∫∫∫

∫∫

∫

ππ

πππ

πππ

πππ

π

dxexdxexdxex

ee

bedue

x

duex

dxx

dudxxdu

xudxexb

xxx

ub

x

b

bu

b

ub

b

xb

b

b

6.- En los siguientes problemas f(x) es una función de densidad de probabilidades, dada para

una variable aleatoria particular x ; obtenga las probabilidades indicadas:

⟨

∞≤≤

=10

13

)(4

xsi

xsix

xf

( ) ( ) ( )2)21)1) ≥≤≤∞≤≤ xPcxPbxPa

Solución:

( ) ( ) 8

71

8

1

3

1

24

13

3

1

83

13

13

1

3

1lim3

13

1lim3

13lim3

3lim

3)

13

103

13

1

3

1lim3

13

1lim3

13lim33

3lim

3)

332

32

3

21

42

2

14

33

3

3

1

4

14

14

=+−=

+−⋅=

+⋅

−⋅=

⋅−−

⋅−=

=

−=−

==

=

+⋅=

⋅−−−=

−=

−===

→

→

−

→→

∞→

∞→

−

∞→

−

∞→

∞

∫∫

∫∫∫

u

u

x

uxdx

xdx

xb

a

a

x

axdxxdx

xdx

xa

u

uu

u

u

a

aa

aa

a

8

1

8

10

2

11lim

2

1lim

23

1lim3

3lim3

3lim

3)

333

32

42

42

4

=+=

−−−=

−=

−===

∞→∞→

∞→∞→∞→

∞

∫∫∫

u

u

x

u

xdx

xdx

xdx

xc

uu

u

u

u

u

u

7.- Una compañía telefónica determina que la duración de una llamada es una variable aleatoria

exponencial con una función de densidad de probabilidad de: te 22 −⋅ . Hallar la

probabilidad de que una llamada telefónica dure más de 5 minutos.

Solución:

( )

%004,010000004,0:,

00004,01053,41

011

lim

5

1lim

52lim2lim222

22)(

510102

2

2

5

22

5

2

5

02

2

=⋅

=⋅=+=

−−−=

−=

−⋅=⋅==⋅

⋅=+∞≤≤=⋅=

−

+∞→

+∞→

−

+∞→

−

+∞→

−∞+

−∞+

+∞−−

∫∫∫

∫

tienesementePorcentual

eee

u

e

uedtedtedte

dxekxaPe

etf

uu

tu

t

u

ut

u

tt

xkt

t

8.- El plutonio tiene una razón de desintegración radioactiva de 0,003 % por año. Suponga que

un accidente nuclear ocasiona liberación de plutonio en la atmósfera cada año y a

perpetuidad a razón de 1 libra por año . ¿ Cuál es el valor límite de la acumulación

radioactiva?.

Solución:

El modelo es 100003,0%003,0 0

0

0 ==⋅∫ − PydtePt

tk

[ ] ( ) 33,333.33133,333.331033,333.33

11lim33,333.33

000003,0

1lim

000003,0

1lim1lim1:

000003,000003,000003,0

00003,0

0

00003,0

0

00003,0

=−⋅−=−⋅−=

−⋅−=

⋅−=

⋅−=⋅=⋅

⋅∞→∞→

−

∞→

−

∞→

∞− ∫∫

ee

b

e

bedtedtedecirEs

bbtb

t

b

bt

b

t

9.- Se estima que dentro de t años cierta planta de energía nuclear producirá desechos

radioactivos a razón de ttf 400)( = libras al año. El desecho se desintegra

exponencialmente a razón de 2 % al año. ¿Qué pasará a la acumulación de desechos

radioactivos de la planta a largo plazo?.

Solución:

Cantidad de desechos presentes a largo plazo : ∫−

+∞→

NtN

Ndtete

0

02,002,0400lim

( )( )

( ) ∞+=+−=

+−=

−=

−

+∞→

−

+∞→

−

+∞→

N

N

NNN

N

ttN

N

eN

eeNe

Neete

02,0

02,002,002,0

02,002,002,0

500.2500.250400lim

500.2500.250400lim

0500.250400lim

Es decir, a largo plazo los desechos radioactivos de la planta crecerán sin límite.

Anexo

Las integrales impropias también aparecen en el estudio de probabilidad y estadística. La

probabilidad de un evento que puede resultar de un experimento aleatorio es un numero entre 0 y

1 que especifica la probabilidad del evento.

Una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X es una

función f(x) que satisface las tres condiciones siguientes:

( ) ∫=≤≤

≤≤−−

≥−

b

a

dxxfbXaP

egrallapordadaestá

bXaervaloelenquedeXquedeadprobabilidLa

esxfdegráficalabajototaláreaEl

realxtodoparaxf

)(

int

int.3

.1)(.2

.0)(.1

Los valores de a y b no necesitan ser finitos, y si alguno es infinito, la probabilidad

correspondiente está dada por la integral impropia. Por ejemplo, la probabilidad de que aX ≥ es

( ) ( ) ∫+∞

=∞+⟨⟨=≥a

dxxfXaPaXP )(

La segunda condición en la definición de la función de densidad de probabilidad se

deduce del hecho de que el evento ∞+⟨⟨∞− X ocurra. Esto es

existenlímitesambossisoloysiconvergey

dxxfdxxfdxxfN

N

NN1)(lim)(lim)(

0

0∫ ∫∫

−+∞→+∞→

+∞

∞−

=+=

Una función de densidad de probabilidad uniforme es constante durante un intervalo

acotado BxA ≤≤ y cero fuera de este intervalo; lo que lleva a la siguiente fórmula:

≤≤−

=casosdemáslosen

BxAsiAB

xf

0

1

)(

10.- Cierto semáforo permanece en rojo durante 40 segundos . Una persona llega

(aleatoriamente) al semáforo y lo encuentra en rojo. Utilice a función de densidad uniforme

apropiada para hallar la probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 15 segundos

para que el semáforo cambie a verde.

Solución:

Sea X la variable que mide el tiempo (en segundos) que debe esperar. Como todos los

tiempos de espera entre 0 y 40 son “igualmente posibles”, X se distribuye uniformemente

en el intervalo 400 ≤≤ x . La densidad uniforme correspondiente es:

≤≤

=casosdemáslosen

xsi

xf

0

40040

1

)(

y la probabilidad esperada es:

( )8

5

40

1540

15

40

4040

14015

40

15

=−===≤≤ ∫x

dxXP

Una función de densidad de probabilidad exponencial es una función f(x) que es cero

para x < 0 y decrece exponencialmente para x ≥ 0. Es decir:

⟨

≥⋅=

−

00

0

)(

xsi

xsiek

xf

xk

11.- Sea X una variable aleatoria que mide la duración de las llamadas telefónicas en cierta

ciudad y suponga que una función de densidad de probabilidad para X es:

⟨

≥=

−

00

05,0

)(

5,0

xsi

xsie

xf

x

donde x denota la duración (en minutos) de una llamada seleccionada aleatoriamente

a) Halle la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure entre 2 y 3

minutos.

b) Halle la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure al menos 2

minutos.

Solución:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) 3679,011

0

215,01212

:.2

1

3679,0lim2

lim

5,0lim5,022

.int

.)

1447,02

35,0)32()

11

5,05,02

0

115,05,0

2

5,0

2

5,0

15,15,03

2

5,0

==+−−=

−−=−=⟨−=≥

≈=+−=

−=

==+∞≤≤=≥

=+−=−==≤≤

−−

−−

−−−

+∞→

−

+∞→

−

+∞→

∞+−

−−−−

∫

∫∫

∫

ee

edxexPxP

decirEsquemenor

seaxquedeadprobabilidlamenoscalcularenconsistesegundaLa

eeeN

e

dxedxexPxP

impropiaegralunacalcular

enconsisteprimeraLaadprobabilidestacalculardeformasdosHayb

eeedxexPa

xx

N

N

x

N

Nx

N

x

xx

Unidad V : Ecuaciones diferenciales

Esta unidad estudia en una primera aproximación las ecuaciones diferenciales y su

vinculación con las unidades anteriormente tratadas en este texto.

Objetivos :

� Solucionar ecuaciones diferenciales

� Verificar que una función dada corresponde a una solución de una ecuación

diferencial..

� Solucionar ecuaciones diferenciales mediante la separación de variables.

� Aplicar ecuaciones diferenciales para resolver problemas relacionados con

Elasticidad de la Demanda.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas y/o diferenciales.

- Clasificación según el orden El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Ejemplo

1) 2

2d y dy

xdx dx

+ =

( 2do. orden)

2) 2

2dyx y

dx − =

(1er. Orden)

- Clasificación según linealidad Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma

a ( )n

n n

d yx

dx+ a 1n−

1

1( ) ....

n

n

d yx

dx − + a1 ( )dy

xdx

+ a0 ( ) ( )x y g x=

Las ecuaciones lineales poseen dos propiedades

1. La variable dependiente y junto con todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en y es 1.

2. Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x. Ejemplo x dy + ydx = 0 (1er. orden)

2

25 0

d y dyy

dx dx− + = (2do. orden)

x3 2

3 23 2

2 3d y d y dy

x x ydx dx dx

+ + =

Nota Si una ecuación diferencial no satisface éstas propiedades se dice no lineal. Contra ejemplo No son lineales

1. y2

22

d y dyx

dx dx− =

2. 2

22

0d y dy

ydx dx

+ + =

- Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La solución de una ecuación diferencial ordinaria es una función que no contiene derivadas o diferenciales. Esta solución puede expresarse como una función explícita o implícita. La solución general de una ecuación diferencial de orden n es una solución que contiene constantes de integración independientes y arbitrarias. Una solución particular de una ecuación diferencial es una solución que puede obtenerse de la solución general dándoles valores específicos a la constante arbitraria de la solución general. Ejemplo La función y = C xe x⋅ − es solución de la ecuación diferencial

1dy

y xdx

− = − (*)

Ya que la 1xdyC e

dx= ⋅ − luego reemplazando en (*) se tiene

(C 1) 1 ( ) 1x x xe y C e C e x x− − = − − ⋅ − = − Solución particular Si y = 4 cuando x = 0 entonces reemplazando en la solución general se tiene

4 = C 0 0e⋅ −

4 = C , luego la solución particular viene dada por y = 4 xe x⋅ −

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Verifique que y = 4

16

x es una solución de la ecuación

12 0

dyxy

dx− =

2. Verifique que y = 1 2, , ,x x x xe y e y C e y C e= = ⋅ = ⋅ son todas solución de la

ecuación diferencial y '' 0y+ = 3. Verifique si y + 1 - ln (x + y + 2) = C1 es solución de la ecuación diferencial

y' 1

1x y=

+ +

4. Verifique si y = x - ln 1x C+ + es solución de la ecuación diferencial

(x + 1) dy

xdx

=

Nota : Es en ocasiones útil escribir y’ como ''dy

o ydx

como 2

2

d y

dx

- Ecuaciones Diferenciales separables Si una ecuación diferencial puede escribirse en la forma M (x) d x + N (y) dy = 0 En la cual, M es una función solamente de x y N es una función solamente de y, entonces se dice que las variables son separables y se obtiene la solución de la ecuación diferencial con los métodos usuales de la integración

( ) ( )M x dx N y dy C+ =∫ ∫

Ejemplo

(1 + x2) 0dy

xydx

+ =

(1 + x2) dy + xydx = 0 / 2

1

(1 )x y+

2

0(1 )

dy xdx

y x+ =

+ / Integrando

21

dy xdx C

y x+ =

+∫ ∫

Las variables son separables y se tiene 21

2 ln(1 ) lnx y C+ + =

ln(1 + x1

22) ln y C+ = ⇔ ln1

22(1 )y x C + = /e.

y(1 + x1

22) C=

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resolver c/u de las siguientes ecuaciones diferenciales separables.

1. (y + 2)dx + (x - 2)dy = 0 2. 3 3 0y dx x dx− =

3. dy xy y

dx x xy

+=+

4. dy = 2xydx

5. (xy3 2) 0x dx xy dy− + =

6. 2

3

dy x

dx y=

7. x dy - y dx = 0

- Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Una ecuación diferencial de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Se denomina homogénea si M (x, y) y N (x, y) son funciones homogéneas de un mismo grado en x e y. Cuando una ecuación diferencial es homogénea, sus variables pueden separarse por sustitución.

y = vx v = y

x

dy = v dx + x dv entonces se transforma en una ecuación diferencial de variables separables. M (x) dx + N (v) dv = 0 ó por sustitución x = vy dx = v dy + y dv transformándose en una ecuación diferencial de variables separables. M (v) dv + N (y) dy = 0 Ejemplo Resolver la ecuación (y 2 2) 0xy dx x dy− + = (Ec. Homogénea grado 2) Sustituyendo y = vx ; dy = v dx + x dv

v = y

x

( )2 2( ) ( ) ( ) 0v x x v x dx x v dx x dv− + + =

(v 2 2 2 2 3) 0x x v dx x vdx x dv− + + = v 2 2 2 2 3 0x dx x vdx x vdx x dv− + + =

v2 2 32 3

10 /x dx x dv

v x+ =

2

1 10dx dv

x v+ =

Variable separables, integrando

Ln x - 1

Cv

=

Sustituyendo

v = y

x

ln x - x

Cy

=

y = ln

x

x c−

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resolver ecuaciones diferenciales homogéneas

1. (x 2 2) 2 0y dx xy dy+ − =

2. (x y - x2 2)dy

ydx

=

3. dy x y

dx x y

−=+

4. 2

4

dy x y

dx x y

−=+

5. (xy - y2

2 2) ( ) 02

xdx y dy+ − =

6. (x 2 3 22 ) 3 0y dx x y dy+ + =

7. (x 2 22 )y dx xy dy+ −

8. (x 3 3 2)y dx xy dy− +

9. (x + y)dx + x dy = 0

10. (x + y) dx = x dy

Elasticidad de la Demanda

Hay algunos bienes cuya demanda es muy sensible al precio, pequeñas variaciones en su precio provocan grandes variaciones en la cantidad demandada. Se dice de ellos que tienen demanda elástica. Los bienes que, por el contrario, son poco sensibles al precio son los de demanda inelástica o rígida. En éstos pueden producirse grandes variaciones en los precios sin que los consumidores varíen las cantidades que demandan. El caso intermedio se llama de elasticidad unitaria .

La elasticidad de la demanda se mide calculando el porcentaje en que varía la cantidad demandada de un bien cuando su precio varía en un uno por ciento. Si el resultado de la operación es mayor que uno, la demanda de ese bien es elástica; si el resultado está entre cero y uno, su demanda es inelástica.

Siendo “ x “ el número de unidades de un producto y “ p “ el precio por unidad de un articulo vendido, es posible relacionar ambas variables en la ecuación siguiente:

demandalaDsiendoxDp "")(=

toda vez que se aplica un incremento en el precio del articulo varia también la demanda por el mismo, siendo esta variación de orden porcentual ( ∆% ).

Entonces, la elasticidad de la demanda la definimos como:

( ) ( )( )pD

pDppE

'⋅=

E está dado como una función de precio “p”. En general, se hace una corrección sobre la ecuación anterior, para que la función E ( p ) no sea negativa, del modo siguiente:

( ) ( )( )

⋅−=

pD

pDppE

'

Ejemplos 1) Una tienda de videos desarrolló una función de Demanda, para el alquiler de cintas y

determinó que: ppDx 20120)( −== . Donde x es el número de videos alquilados por día, cuando “p” es el precio por alquiler. Determinar:

a) La cantidad demandada cuando el precio es US$ 2 por arriendo. b) La función de elasticidad. c) La elasticidad para p=2 y para p=5 dólares. d) El valor para el cual E(p)=1 . e) La función de ingresos totales. f) El precio p para los cuales los ingresos totales son máximos.

P = D(x)

D(x)

p

Solución:

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) p

p

p

p

pp

pD

pDppE

EntoncespDppDb

USdeesprecio

elcuandodemandadacantidadDa

−=

−−−=

−−⋅−=

⋅−=

−=⇒−=

=−=⋅−=

6620

20

20120

20'

:20'20120)

)2$

(80401202201202)

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )180,3040)3(''40)(''

)

(340

1200401200)('

40120)('20120)

2012020120

:)

13$

362616

1)

)(1556

55

)(12

1

26

22)

2

2

MáximoesIpI

mínimoo

máximoposibleppppI

ppIpppIf

pppppI

pDppItotalesIngresose

esdemandaladedelasticidalaUSdepreciounpara

ppppp

ppEd

puntoesteenelásticapE

puntoesteeninelásticapEc

⇒⟨−=⇒−=

=⇒=⇒=−⇒=

−=⇒−=

−=−⋅=⋅=

=⇔=⇔−=⇔=−

⇔=

⟩=−

==

⟨=−

==

2.- Considere la ecuación de elasticidad

( )1

5

−=

ppE encuentre la función de Demanda.

Solución:

( )

( ) ( )

[ ]

5

51

51

11

15

1

115

)1(5)1(

5

)1(1

1

)1(

1111)1()1(

)1(5

)1(

5

)1(

5

)1(

5

1

5

1

5

)()(

)('

1

5

1

5

−=⇔=

−

⇔=

−⇔=

−⇔=

−

=−−⇔=−

−−=−

+=−

=∧=→=+−⇒−

+→−

=−

⇔=−

⇔=−

⇔=−−

⇔⋅−=−

⇔⋅−

=−

=∧⋅−=−

⇔−

=

∫∫

∫ ∫∫

∫

∫∫∫∫∫

p

pxx

p

p

xLnp

pLnxLn

p

pLnxLn

p

pLn

xLnpLnpLnx

dx

pp

dp

pLnpLnp

dp

ppp

dp

BApBpAp

B

p

A

pp

dp

x

dx

pp

dp

x

dx

pp

dp

x

dx

pp

dp

x

dx

pp

dp

dp

dx

x

p

px

dp

dxp

pentonces

pDxpD

pDp

pppE

3.- Hallar la función de demanda p = D ( x ) ; dadas las siguientes condiciones

( ) exp

pE == ;4

Solución:

( ) ( )

4

144

4

11

4

1

14

1

4

144

'

1

2

2

+=⇒=⇒=

=⇔−=−

⇔−=

⇔⋅−=⇔⋅−=⇔⋅−=

=⇒=

−

∫∫

xLnppexSi

xLnp

xLnp

x

Dx

p

Dp

x

Dx

p

Dp

Dp

Dx

x

p

px

DpDx

pp

pD

xDpDpDx

4.- Encuentre la función Demanda si ( ) 10;190;200

==−

= pxp

ppE

Solución:

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )580380200

38019020010:19010

200

200200200

200200

200200

'

200

−=⇒−−=∴−=⇒+=−=∧=

+=−⇔

+=−⇔=−

⇔=−

=−

⇔=−−

⇔⋅−=−

⇔⋅−=−

⇔⋅−=−

∫∫∫∫

∫

pDpD

CCxporeempazand

Cxp

CxLnpLnx

dx

p

dp

x

dx

pp

dpp

x

dx

pp

dpp

x

dx

pp

dpp

dp

dx

x

p

p

p

x

dp

dx

pp

p

pD

pDp

p

p

5.- La utilidad marginal p de una firma, en función de su costo total “c” está dado por:

( )cd

pD . Con

( )( ) 2

33

200

+

−=ccd

pD

Encuentre la función utilidad ( ) 61$10$ == ccuandopsicP Solución:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

403

400

408

40010

361

40010

3

400400

21

2002003

3

200

3

200

3

200

212121

21

23

23

23

23

−+

=∴

−=⇔+=⇔

++

=⇔++

=⇔+⋅=⇔

+−

⋅−=⇔−=⇔=⇒+=

+−=⇔

+−=⇔

+−=

−

−

∫ ∫

∫ ∫

cp

CC

CCc

pCup

Cu

pu

dupDdcducu

dcc

pDdcc

pDccd

pD