Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez2 CONTENI DO Antiderivada .................................................................................................................5 Tabla de Integrales........................................................................................................5 Tabla de Derivadas ........................................................................................................6 Tabla de Identidades Trigonomtricas ..............................................................................6 Integrales Inmediatas ....................................................................................................7 Ejemplos Ilustrativos............................................................................................7 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................9 Tcnicas De Integracin ............................................................................................... 10 Integracin por Sustitucin Elemental o Cambio de Variable .............................................. 10 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 16 Integracin por partes.................................................................................................. 17 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 22 Integracin de Potencias del Seno y el Coseno................................................................. 23 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 29 Integracin de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante......................... 30 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 37 Integracin Por Sustitucin Trigonomtrica ..................................................................... 38 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 41 Integrales que contienen ax2+bx+c (Completacin de Cuadrados)...................................... 42 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 42 Integracin De Funciones Racionales (Casos I Y II) .......................................................... 44 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 44 Integracin De Funciones Racionales (Casos III y IV) ....................................................... 46 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 46 Integral Definida ......................................................................................................... 48 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 49 Longitud de Arco de una Curva Plana ............................................................................. 50 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 50 rea bajo una curva..................................................................................................... 53 rea entre dos curvas .................................................................................................. 53 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 54

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez3 Por qu la resolucin de problemas?Elhombreensuquehacerprcticodentrodelasociedadesunsolucionadorde problemaslocualloubicaporencimadelosanimalesmsinteligentesdelmundoenteroy dentro de su entorno se hace ms importante, ser capaz de resolver problemas, que obtener o acumularymanejarunasimpleinformacin.Ellenguajematemticoseuniversalizacadavez mas, hacindose ms preciso y exacto, y menos propenso a ambigedades por esto el estudio delaMatemticanosdebellevarporelcaminodelainteligenciayautorrealizacinhaciaun mundo cada vez mas humano y perfecto. La presente gua constituye un recurso didctico para ser utilizado en el aprendizaje del ClculoII,aquseproponenejerciciosqueabarcantodoslosaspectosconsideradoscomo fundamentales en todo el curso de esta ctedra. Mi motivacin principal al realizar esta gua es ofrecer al estudiante, que cursa su nivel universitario; una compilacin de ejercicios que conforman el background para las asignaturas Clculo I, II, III y IV as como tambin para las todas asignaturas del rea numrica. La misma esproductodelarecopilacindeejerciciosinteresantesatravsdelainvestigacine integracin de textos de diversos autores y sobre todo del m propio intelecto. Los propsitos de la esta gua se centran en: Propiciarlaindependenciaintelectualdeleducandoatravsdelaresolucinde problemas que le permitan desarrollar sus habilidades para aprender a autorregular y controlar sus pensamientos y acciones. Generar situaciones que propicienen el estudiante la adquisicin deconocimientos, habilidades, actitudes y valores relativos al rea intelectual, cientfica, tecnolgica y humanstica. Promovereneleducandoeldesarrollodelainvestigacin,lacreatividad,elauto aprendizaje, la transferencia de conocimientos habilidades y destrezas y la formacin devaloresfavorablesparaeldesempeocomoestudiante,futuroprofesionaly generacinderelevoenunasociedaddemocrticayenunmundocadavezmas globalizado. Propiciar en el estudiante el desarrollo del autoestima e incentivacin que estimulen el aprendizaje efectivo de la Matemtica. Apreciadoestudianteparaquepuedaserteprovechosoelcontenidodeestaguate aconsejo resolver paso a paso por lo menos el 80% de los ejercicios propuestos en cada grupo.

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez4 Losproblemasyejerciciossehandistribuidoypresentadoconunajerarquizacinen suniveldedificultadderesolucindelosmssencillosysignificativoalomscomplejoe interesante.La realizacin ordenada de los ejercicios presentados en este material auxiliar conlleva al afianzamientodeloshbitosdeestudionosoloenMatemticasinotambinentodaslas asignaturas. Otro aspecto que considero fundamental en este trabajo es la abundante y variada cantidaddeejemplosilustrativosyejerciciospropuestosquesepresentanagrupadospor objetivos y/o contenidos. Estoyplenamenteconvencidoqueelusoadecuadodeestaguaayudaradeforma determinante y definitiva a los alumnos a superar las debilidades detectadas en los contenidos matemticos fundamentales. Someto esta versin de la gua al criterio de mis colegas y alumnos con la finalidad de realizarlasmodificacionesnecesariasyenriquecerlaconsusvaliososeimportantesaportesa travs de sus criticas constructivas y poder as mejorarla para que pueda llevar por el camino de la excelencia intelectual y profesional a los alumnos que la utilicen adecuadamente. Para finalizar quiero expresar mi mas alto nivel de agradecimiento a las autoridades de la Universidad Alonso de Ojeda, a todo el personal que labora en esta ilustre universidad y a los estudiantes,porbrindarmelaexcelenteoportunidadderealizarunalabordirigidaa engrandecer nuestro pasal aportar mi humilde trabajoformando la generacin de relevo que enaltecer nuestra cultura e idiosincrasia. Pedro R. Gudez L Prof. de Matemtica

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez5 Ant i der i v ada Def i ni ci n: AntiderivadaUnafuncinF(x)sellamaantiderivadadeunafuncinf(x),enun intervalo I, si F(x) = f(x), valor de x en el intervalo I Ejm. F(x)= 4x3 + x2 + 5 f(x) = 12x2+ 2x G(x)= 4x3 + x2 - 8 g(x) = 12x2+ 2x A(x) = 4x3 + x2 + C h(x) = 12x2+ 2x Teor ema:Si F y G son dosfunciones tales que f(x) = g(x)x I entonces C tq F(X)= G(X)+ CxI Definicin:Antidiferenciacineselprocedimientopormediodelcualsedeterminantodaslas antiderivadas de una funcin dada. El smbolo denota la operacin de antidiferenciacin y se escribe: C ) x ( F dx ) x ( F + = Dos propiedades bsicas de la antidiferenciacin. 1.-dx ) x ( f a dx ) x ( af =2.-| | dx (x) f dx (x) f dx (x) f dx (x) f (x) f (x) fn 2 1 n 2 1 + + + = + + +Tabl a de I nt egr al es 1. = vdu uv dv u ; Integracin por Partes 2. C ) u ( Tan du ) u ( Sec2+ = 3.C u du + = 4. C ) u ( Cot du ) u ( Csc2+ = 5.C ku kdu + = Donde k es una constante 6. C ) u ( Sec du ) u ( Tan ) u ( Sec + = 7. C1 nudu u1 nn++=+;para n -18. C ) u ( Csc du ) u ( Cot ) u ( Csc + = 9. C u Lnudu+ =10. Ca ua uLna 21a udu2 2++=; ( u2 > a2 ) 11.C e du eu u+ = 11. Ca ua uLna 21u adu2 2++=; ( a2 > u2 ) 13.Ca Lnadu auu+ =; donde a>0 y a 1 14. CauarcSenu adu2 2+ =;donde a>0 15.C ) u ( Cos du ) u ( Sen + = 16. CauarcSeca1a u udu2 2+ =; donde a>0 17.C ) u ( Sen du ) u ( Cos + = 18. CauarcTana1u adu2 2+ =+ 19. C ) u ( Sec Ln du ) u ( Tan + = 20. C a u u Lna udu2 22 2+ + =

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez6 21. C ) u ( Sen Ln du ) u ( Cot + = 22. C u ) u ( Tan du ) u ( Tan2+ = 23. C ) u ( Tan ) u ( Sec Ln du ) u ( Sec + + = 24. ( ) C u ) u ( Cot du ) u ( Cot2+ + = 25. C ) u ( Cot ) u ( Csc Ln du ) u ( Csc + = 26.CauarcSen2au a2udu u a22 2 2 2+ + = 27.C a u u Ln2aa u2udu a u2 222 2 2 2+ + = Tabl a de Der i v adas 1.u D nu ) u ( Dx1 n nx= 2. u D u Cos ) u Sen ( Dx x=3. 2xxu 1u D) u arcSen ( D=4. v D u D ) v u ( Dx x x+ = +5. u D u Sen - ) u Cos ( Dx x=6. 2xxu 1u D -) u arcCos ( D=7. u vD v uD ) uv ( Dx x x+ =8.u D u Sec ) u Tan ( Dx2x= 9. 2xxu 1u D) u arcTan ( D+=10. 2x xxvv uD u vD)vu( D=11.u D u Csc ) u Cot ( Dx2x = 12. 2xxu 1u D -) u arcCot ( D+=13.u D e ) e ( Dxu ux= 14. u D Cot u Csc ) u Csc ( Dx x =15. 1 u uu D) u arcSec ( D2xx=16.u D Ln(a) a ) (a Dxu ux= 17. u D u Tan u Sec ) u Sec ( Dx x=18. 1 u uu D -) u arcCsc ( D2xx=19. uu DLn(u) Dxx= Tabl a de I dent i dades Tr i gonomt r i cas 1.1 ) x ( Sen ) x ( Cos2 2= + 2.) x ( Sen ) x ( Cos ) x 2 ( Cos2 2 =3.) x ( Tan 1 ) x ( Sec2 2+ = 4. (x) Cos ) x ( Cos) x ( Sen ) x ( Sen = = 5.) x ( Cot 1 ) x ( Csc2 2+ = 6. (x) Cot ) x ( Cot) x ( Tan ) x ( Tan = = 7. 1 ) x ( Csc ) x ( Sen =8. (x) Csc ) x ( Csc) x ( Sec ) x ( Sec = = 9. 1 ) x ( Sec ) x ( Cos =10. coh) ( Cschco) ( Sen = = 11. 1 ) x ( Cot ) x ( Tan =12. cah) ( Sechca) ( Cos = = 13. ) x ( Cos) x ( Sen) x ( Tan =14. coca) ( Cot caco) ( Tan = = h = Hipotenusa co = Cateto Opuesto ca = Cateto Adyacente h co ca

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez7 15. ) x ( Sen) x ( Cos) x ( Cot =16.( ) ( ) ( ) ( ) | | x n m Cos x n m Cos21nx Sen mx Sen + =17.| | ) x 2 ( Cos 121) x ( Sen2 = 18. ( ) ( ) ( ) ( ) | | x n m Cos x n m Cos21nx Cos mx Cos + + = 19.| | ) x 2 ( Cos 121) x ( Cos2+ = 20.( ) ( ) ( ) ( ) | | x n m Sen x n m Sen21nx Cos mx Sen + + =21.) x ( Cos ) x ( Sen 2 ) x 2 ( Sen = 22.( ) ( ) ( ) ( ) | | x n m Sen x n m Sen21nx Sen mx Cos + = I nt egr al es I nmedi at as Ej empl os I l ust r at i vos Ej empl o I l ust r at i vo 1Calcular dx x 34 dx x 34 C x53C1 4x3dx x 351 44+ =++ ==+ Ej empl o I l ust r at i vo 2 Calcular dxx13 dxx13 Cx 21C2xC1 3xdx x221 33+=+=++ ==+ Ej empl o I l ust r at i vo 3Calculardx x x 223 2 3 dx x x 223 2 3 23311322 xx dx22 x dx= = 111314322 xC111322 xC143+= ++= +

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez8 14314366x C1433x C7= += + Ej empl o I l ust r at i vo 4Calcula + dx ) x 8 x 3 2 ( x 23 2 2

+ dx ) x 8 x 3 2 ( x 23 2 2 C x38x56x34C x616x56x34C1 5x 161 4x 61 2x 4dx x 16 dx x 6 dx x 4dx ) x 16 x 6 x 4 (6 5 36 5 31 5 1 4 1 25 4 25 4 2+ + =+ + =+++++= + = + =+ + + Ej empl o I l ust r at i vo 5Calculadyy) 1 y 2 y (2 4 + dyy) 1 y 2 y (2 4 + C y 25y 49y 2C1y 25y 2 29y 2C21y25y 229yC121y123y 2127ydy y dy y 2 dy ydy y y 2 ydy y y 2 ydyy1yy 2yy21 2529212529212529121123127212327212327212 / 1 2 2 / 1 421212214+ + =+ + =+ + =+++++= + = + = + = + =++ + Ej empl o I l ust r at i vo 6Calcula3Sen(t) - 2Cos(t)dt | |dt 2Cos(t) - 3Sen(t)C ) t ( sen 2 ) t cos( 3dt Cos(t) 2 - Sen(t)dt 3+ ==

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez9 Ej empl o I l ust r at i vo 7Calcula| |+ d ) ( Sec 2 ) ( Cot ) ( Csc2 | |+ d ) ( Sec 2 ) ( Cot ) ( Csc2) ( Tan 2 ) ( Cscd ) ( Sec 2 d ) ( Cot ) ( Csc2 + =+ = Ej empl o I l ust r at i vo 8Calcula + dx ) x ( Cot 3(x) Cot3 + dx ) x ( Cot 3(x) Cot3| |( )( ) ) x ( sen ) x sec( Ln 3) x ( sen Ln ) x sec( Ln 3C ) x ( sen Ln 3 ) x sec( Ln 3dx ) x ( Cot 3 dx ) x ( Tan 3dx ) x ( Cot 3 ) x ( Tan 3 =+ =+ + =+ =+ = Ej empl o I l ust r at i vo 9Calcula + x x232 e 4 dxCos (x) + x x232 e 4 dxCos (x) ( )= += += + + 2 x x2 x xxx3Sec (x) 2 e 4 dx3 Sec (x)dx 2 e dx 4 dx43Tan(x) 2e CLn4 EJERCI CI OS PROPUESTOS I nt egr al Respuest aI nt egr al Respuest a 1. dx x 32 C x3 +2. + dx 3 x 5 x23C x 3 x310x522325+ +3. dxX13C x212 + 4. dy 7yC7 Ln7y+5. 3xdx C x2332+ 6. ( ) dy 3 y 2 y2 3 C y43y314 6+ +7. dx x 332 C x5935+ 8. ( ) ( ) d ) ( Tan 3 Cot 2 C ) ( Cos ) ( Sen Ln3 2+ 9. xdx C x 2 + 10. ) x ( Sendx2C ) x ( Cot + 11. dy y 3 y 5412C y 4 y35433+ 12. ) u ( CosduC ) u ( Tan ) u ( Sec Ln + +13. dxXx 2 x 42C x 4 x 22+ 14. ) t ( Cosdt ) t ( SenC ) t ( Sec Ln +15. dx axC3ax x 2+ 16.( ) dx 1 x 2 x2+ C4812xx34x23 4+ + +

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez10 17. dxX22x22 CX26x3+ + 18. + dxX5 x 6 x3C x Ln 5 x 63x3+ + 19. tdtC t Ln +20. d ) ( Cos ) ( Sec3C ) ( Tan + 21. dy ey C ey+ 22. + + dx 5X3x22 3C x 5x3x12+ + 23. dx x 34C x535 + 24. ( ) dt t t 2 32+ C t31t t 33 2+ + 25. du u 523 C u 225+26. ( )dx 1 x x +C x32x522325+ +27.dx x 103 2 C x 635+28. du u u23C u21u52225+ 29. dx x x 63 2C x59310+ 30. dxx1x33 + C x23x433234+ +31.dx e e6 x 2 3 x 2 C ex +32. ( ) dx x x 42 3+ C x31x3 4+ +33. ( ) dx 5 x 4 x 6 x 42 3+ C x 5 x 2 x 2 x2 3 4+ + 34. +dxx4 x 4 x2C x 8 x38x52212325+ +35. ( ) ( ) | |dt t Cos 2 t Sen 3 C ) t ( Sen 2 ) t ( Cos 3 + 36. ( ) ( ) d ) ( Tan 3 Cot 22 2C ) ( Tan 3 ) ( Cot 2 + + 37. ( ) ( ) ( )dt ) t ( Tan t Sec 5 t Csc 32 ( ) C ) t ( Sec 5 ) t ( Cot 3 + + Tcni cas De I nt egr aci n. I nt egr aci n porSust i t uci n El ement alo Cambi o de Var i abl e Ej empl os I l ust r at i vosEj empl o I l ust r at i vo 1Calculardy y 4 13dy y 4 13( ) dy y 4 131 =(A) Cambio de variable Sea 1-4y=u -4dy = du 4dudy= Sustituyendo u y dy en (A) tenemos 1313duu41u du4= =

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez13 Ej empl o I l ust r at i vo 6 Calcular + dx (2x)) Cot 2x) (Tan(2 Desarrollando el producto notable 2(2x)) Cot 2x) (Tan( +se tiene 2(2x)) Cot 2x) (Tan( +(2x) Csc (2x) Sec2 2 - (2x) Csc (2x) Sec1 - (2x) Csc 2 1 - (2x) Sec(2x) Cot 1 2 (2x) Tan(2x) Cot Cot(2x) 2Tan(2x) (2x) Tan2 22 22 22 22 2+ =+ + =+ + =+ + =+ + = Asi la integral original se transforma en + dx (2x)) Cot 2x) (Tan(2 + = dx (2x)) Csc 2x) ( (Sec2 2 Si cambiamos 2x por se tiene 2x = 2ddx d dx 2 = = + =2d)) ( Csc ) ( (Sec2 2 | |( ) C ) ( Cot ) ( Tan21d )) ( Csc )d ( (Sec212 2+ =+ = Quitando el cambio se tiene finalmente ( ) C ) x 2 ( Cot ) x 2 ( Tan21+ Ej empl o I l ust r at i vo 7 Calcular xxe -Sen(x) dxe +Cos(x) Cambio de variable: Sea ( )x xe +Cos(x) = re -Sen(x) dx = drque al sustituir en la integral original se obtiene: xxe -Sen(x) dxe +Cos(x)= = + = +xdrLn r C Ln e +Cos(x) Cr Ej empl o I l ust r at i vo 8 Calcular 22x Ln(x +1) dxx +1 Cambio de variable: Sea = =22 22x x dvLn(x +1) = vdx dv dx2 x +1 x +1sustituyendoenlaintegral original se obtiene: 22x Ln(x +1) dxx +1 22xLn(x +1)dxx +1dvv2= =

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez14 21v dv21 vC2 2= = + ( )221x +1 C4= + Ej empl o I l ust r at i vo 8 Calcular arcSen(x)2e +x dx1-x La integral original se puede expresar como sigue: arcSen(x)2e +x dx1-x = = + arcSen(x)2 2arcSen(x)2 2I1 I2e x+dx1-x 1-xe xdx dx1-x 1-x Resolviendo esta dos integrales por separado se obtiene: = arcSen(x)2eI1 dx1-xpara I1 el cambio de variable ser: = =2dxarcSen(x) udu1 x, por lo cual == = = += +arcSen(x)2arcSen(x)2uu1arcSen(x)1eI1 dx1-xdxI1 e1-xI1 e duI1 e CI1 e C = 2xI2 dx1-xpara I2 el cambio de variable ser: = = 2dv1-x v -2xdx dvxdx=2, asi tenemos que22xI2 dx1-x1I2 xdx1-x== 121 dvI22v1 1I2 dv2v= =

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez15 -121I2 v dv21I22= =12v122C + 122222I2 v CI2 v CI2 1-x C= += += + La integral original es la suma de I1 e I2: = +arcSen(x)2e +x dx I1 I21-x = + += + += +arcSen(x) 21 2arcSen(x) 21 2arcSen(x) 2e C 1-x Ce 1-x C Ce 1-x C Ej empl o I l ust r at i vo 9 Calcular ( )123 2x 2 x dx La integral original se puede expresar como sigue: ( )123 2x 2 x dx ( )122 2x 2 x xdx = Haciendo el cambio de variable: ( )( )( )22 21212 13131213 141312-x =u-2xdx=du xdx=- du2Como 2-x =u x =2-uque al sustituir en la integral original se obtiene:12 u u du212u u du212 u du u du21 2 1u u C2 13 141 1u 28 13u C2 1821364 = = = = + = += ( ) ( )( ) ( )( ) ( )132 2132 2132 22-x 28 13(2-x ) C12-x 28 26 13x C36412-x 2 13x C364 += + += + +

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez16 EJERCI CI OS PROPUESTOS I nt egr al Respuest aI nt egr al Respuest a 1. dy y 4 1 ( ) C y 4 16123+ 2. +dxe 3ex 2x 2C e 3 Ln21x 2+ +3. dx x 2 63( ) C x 2 68334+ 4. +3 2431rdr 2 r C 2 r53531+ +5. dx 9 x x2( ) C 9 x31232+ 6. dx x)31Sen( C3x3Cos - + 7. dx x 4 x 32 ( ) C x 4232+ 8. dx ) Sen(x 6x3 2 C ) (x 2Cos -3 +9.( )+ dx 1 x 2 x62( )721 x 2281+ 10. dt ) tCos(4t212( ) C t 4 Sen1612 +11.( )+321 xxdx ( )C1 x 4122++ 12. dr ) (r Sec r3 2 2( ) C r Tan313 +13. ( ) dx x 4 9 x 5322 ( ) C x 4 983352+ 14. d ) (2 Csc2 C ) Cot(221- + 15. ( )+ dx 4 x 4 x342( ) C 2 x113311+ 16. dx ) x 2 ( Cos 2 Sen(2x) | | C ) x 2 ( Cos 23123+ 17. dx 5 x 3 x5 4( ) C 5 x 3452 35+ 18. dx ) x ( Cos e) x ( Sen C e) x ( Sen+19. ( )543y 2 1dy y ( )44y 2 1 321 20. ( ) ( )dy 3y Cot 3y yCsc2 2( ) C 3y Csc61-2 +21. 4x 1xdx 2 C ) x ( arcSen2+ 22. ( )+ dx Sen(x) 2 Cos(x)5| | C ) x ( Sen 2616+ +23. dx 4 x 33 ( ) C 4 x 34134+ 24. ) x ( Tan 9 ) x ( Cosdx2 2 C3) x ( TanarcSen + 25. 2xdxx 311+ Cx 311 223+ + 26. +2)) x ( Cos 1 (dx ) x ( Sen 4 C) x ( Cos 14++ 27. ( )( )+ + +32 321 x 2 xdx x 8 x 6 ( )C1 x 2 x122 3++ +28.dxx 1x 1 Cos+ + C x 1 sen 2 + +29.( )+ dx x 3 x5 413 ( ) ( ) C 12 x 5 3 x13543453+ +30. ( )7r 1rdr 2 ( )( ) C r 1 1 r 61566+ 31. ( )( )+32y 3dy 3 y ( )( ) C y 3 21 y4331+ + 32. + 3 ttdt( ) ( ) C 3 t 6 t3221+ +

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez17 33. dx x x 2 32( ) ( ) C x 2 3 6 x 6 x 5351232+ + + 34. ( ) dx x 2 x122 3( ) ( ) C x 2 2 x 133641 132 2+ + I nt egr aci n porpar t es. Entrelasaplicacionesmasimportantesdelmtododeintegracinporparteseencuentrala integracin de : a)Diferenciales que contienen productos. b)Diferenciales que contienen logaritmos c)Diferenciales que contienen Funciones Trigonomtricas Inversas Si u y v son funciones dela misma variable independiente se tiene que udv = uv - vdula cuales llamada frmula de integracin por partes. Esta frmula expresa la udv entrminos de otra integral vdu la cual es mas fcil de evaluar. Para evaluar cualquier integral por este mtodo se debe elegir un cambiopara u y dv, por lo generalesrecomendablequeeldvseaelfactormscomplicadodelintegando.Otra recomendacin es la siguiente regla para la eleccin de u L = Logartmica. I = Trigonomtrica Inversa A = Algebraica T = Trigonomtrica Directa E = Exponencial Ej empl os I l ust r at i vos:Ej empl o I l ust r at i vo 1 Calcular 2lnxdxx Tomando en cuenta la regla (L)IATE se haceu Ln(x)dxdux== 2221dxdvxdxdvxdv x dxv x1vx==== = Sustituyendo en la frmula de integracin por partes se tiene: 2lnxdxx 21 1 dxLn(x)x x xLn(x) dx observe que esta integral se resolvio al iniciox xLn(x) 1Cx x11 Ln(x) Cx = = += + += +

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez18 Ej empl o I l ust r at i vo 2 Calcular dx Senx x Tomando en cuenta la regla LI(A)TE se hacedx dux u== ) x ( Cos vdx ) x ( Sen dvdx ) x ( Sen dv === Sustituyendo en la formula de integracin por partes se tiene: dx Senx xC ) x ( Sen ) x ( Cosdx ) x ( Cos ) x ( Cosdu v v u+ + = = = Ej empl o I l ust r at i vo 3 Calcular dx Cosx ex Siguiendo la regla LIA(T)E para seleccionar el cambio para u se tiene que la primera prioridad es Trigonomtrica por lo que: dx ) x ( Sen du) x ( Cos u == xxxe vdx e dvdx e dv=== Sustituyendo en la formula de integracin por partes se tiene: xe C os(x) dx ) A ( dx ) x ( Sen e ) x ( Cos edx ) x ( Sen e ) x ( Cos edu v v ux xx x + = = = Para resolver la integral dx ) x ( Sen exusamos tambin la tcnica de integracin por partes, para lo cual aplicamos la regla LIA(T)E dx ) x ( Cos u d) x ( Sen u== xxxe vdx e v ddx e v d=== Por lo cual ) B ( dx ) x ( Cos e ) x ( Sen e dx Sen(x) eu d v v u dx Sen(x) ex x xx = = Sustituyendo la expresin (B) en la expresin (A)se tiene: x x x xx x x xeC os(x) dx e Cos(x) e Sen(x) e Cos(x)dxeC os(x) dx e Cos(x)dx e Cos(x) e Sen(x)= + + = +

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez19 x x xx x122 e Cos(x)dx e Cos(x) e Sen(x)e Cos(x)dx e Cos(x) Sen(x) C = + = + + Ej empl o I l ust r at i vo 4 Calcular dxx - 1x23 dxx - 1x23 Observe que: = dxx - 1x x22 Utilizando la regla LI(A)TE para seleccionar el cambio tiene que la primera prioridad es Algebraica por lo que: xdx 2 dux u2== ==

) A (22x 1xdxdvx 1xdxdv Para resolver la integral (A) se hace el cambio de variable xdx2dtdt xdx 2 t x 12= = = Por lo que: 221 21212x 1 t t21t21dt t21t2dtx 1xdx = = = === Lo cual se simplifica en: 22x 1x 1xdx = Asi la expresin (A) quedara como: 2x 1 v =Quedandolaintegraloriginalalaplicarlaformuladeintegracinporpartescomo sigue: dxx - 1x23

) B (2 2 22 2 2xdx 2 x 1 x 1 xxdx 2 x 1 x 1 xdu v v u + = = = Laintegral(B)serresueltaenformaanlogaalaintegral(A)poruncambiode variable siendo w=1-x2dw=-2xdx as ( )3223223212x 132) x 1 (32w32dw w dw w xdx 2 x 1 = = = = = Volviendo a la expresin (B) se tiene: dxx - 1x23 2 2 2u v v dux 1 x 1 x 2xdx

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez21 2x Sen (3x) dx ( ) x 1 2 1 C os(6x) dx1x xCos(6x) dx2 = = 2I11xdx xC os(6x)dx21 1xdx xCos(6x)dx2 2x 1xCos(6x)dx4 2 = = =

La integral I1 se resuelve usando el metodo de integracin por partes SiguiendolareglaLI(A)TEsetienequeelcambiomasindicadoparaues Trigonomtrica inversa por lo que: u xdu=dx=

dv Cos(6x)dxdv C os(6x)dx 6x = z6dx = dzdzdx = 6dzdv C os(z)61dv C os(z) dz6v = Sen(z)1v Sen(6x)6===== ResolviendolaintegralI1alaplicarlaformuladeintegracinporpartesquedar como sigue: I11I1 xCos(6x)dx2xSen(6x) 1 1I1 Sen(6x)dx2 6 6= =

1I1 xSen(6x) Sen(6x)dx126x = r6dx = drdr dx = 6 = 1 drI1 xSen(6x) Sen(r)12 6 =

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez22 1 1I1 xSen(6x) Sen(r)dr12 72= 1 1I1 xSen(6x) Sen(6x)dr12 721 1I1 xSen(6x) Cos(6x)12 72= = + 2x Sen (3x)dx 2I1222x 1xC os(6x)dx4 2x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C4 12 72x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C4 12 72118x 6xSen(6x) Cos(6x) C72= = + + = + = +

EJERCI CI OS PROPUESTOS I nt egr al Respuest aI nt egr al Respuest a 1.dx xex 3C31x e31x 3+ 2. dx x Ln C 1) - x (Ln x +3.dx x Sen xC x Cos x - x Sen + 4. ( )+dx1 xxe2x C1 xex++ 5.dxxx Ln2( ) C 1 x Lnx1+ + 6. dxx 1x23( ) ( ) c x - 1 2 x31212 2+ + 7.dx e xx 2 ( ) C 2 2x - x e2 x+ + 8. dx e x2x 3( ) C 1 x e212 x2+ + 9.dx e xx 2 ( ) C 2 x 2 x e2 x+ + + 10. dx 3x Sen x2 C 6x Cos721-126x Sen x- x412+11. dy y Sec y2C y Cos Ln y Tan y + +12. dx x) Ln(Cos x Sen ( ) C x Cos Ln - 1 x Cos +13. dx x Cos ex( ) C x Sen x Cos e21x+ +14. dx2xSen x C2xCos 2x -2x4Sen +15. ( )dx x Ln2 C 2x x Ln 2x - x Ln x2+ +16. dx x Csc x2C x Sen Ln x Cot x - + +

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez23 17. dx x arcTan x ( ) | | C x x arcTan 1 x212+ +18. ( )dx x Ln Sen( ) ( ) | | C x Ln Cos x Ln Sen2x+ 19. ( )dx x Ln Cos( ) ( ) | | C x Ln Cos x Ln Sen2x+ +20. ( ) dx 1 x 2 Cos x+ ( ) ( ) C 1 2x Cos411 2x Sen2x+ + + +21. dx x Tan x Sec x C x Tan x Sec Ln - x Sec x + +22. dx x Cos x2 C x 2Sen - x Cos 2x x Sen x2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 2+ +23. dx x Csc3 ` UpP X#X&1@M)p6!"!`6 &0h&7De`m6`!WS!23. 23. $pe`4UH&Ps 932 69E3a99T1 Tm2i10.0615 932 1r0.0840 38 0 134 55.38d 04.2 69E3a99T1 Tm2i10.0Tm6558l7Tj95Tj 8e6881531r1D1(-2.379 488.265 0d.9Tj-2.30 T )Tj95Tj -7.562 0 Td )Tj /CCsc79i0 Td (Ln)Tj -0.846 -0.792 7G x .d77 0 D62 1 Td (85 0 0 08-1.)62 1.564615 e516Tj 7d (w37ET l[052 1)Tj 660T[052 1 w37x

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez39 h xSec( )ca a = = 2 2x aT an( )a =y como xSec ( )a =As nuestra integral original quedara como: 2 22 22 22 2L n Sec( ) T an( )x x aL n Ca ax x aL n CaL n x x a L n a CL n x x a k donde k= L n a C= + += + ++ += += + + += + + + + 2 22 2dxL n x x a kx a= + + + Ej empl o I l ust r at i vo 2 Calcular 28dx4x 1 + 28dx4x 1 + ( )22 2Observemos que 4x 1 2x 1 + = +dzSea 2x=z 2dx=dz dx2 =asi nuestra integral original queda 2 22 22 28dx(2x) 1dz82z 1dz4z 1=+=+=+ Haciendo el cambio de variable2z Tg( ) dz Sec ( )d = = Ca=a h = x ( ) ( )( )2 2222 22 2h Co Cax Co aCo x a= += += Co

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez40 222Sec ( )d4Tg ( ) 1Sec ( )4 = +=2dSec ( )4 d = 4 C = +Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable 11Tg( ) z Tg (z)y como z=2x entoncesTg (2x) = = = As nuestra integral original quedara como: 14Tg (2x) C= +128dx4Tg (2x) C4x 1= ++ Ej empl o I l ust r at i vo 3 Calcular 223 xdxx 223 xdxx ( )( )2 2222222222Se hace x 3Sen( ) dx 3Cos( )dComo x 3Sen( ) x 3Sen ( )3 3Sen ( ) 3Cos( )d3Sen ( )3 1 Sen ( ) 3Cos( )d3Sen ( )3 1 Sen ( ) 3Cos( )d3Sen ( )3 Cos ( ) 3Cos( )d3Sen ( )3 3 C os ( ) Cos( )d3Sen= = = = = = = = =( )22( )3=Cos( ) Cos( )d3 ( )222222Sen ( )C os ( ) dSen ( )Ctg ( ) dCsc ( ) 1 dCsc ( ) d dCtg( ) C == = = = +

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez41 Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable c o xSen( )h3= = 2ca 3 xCos( )h3= =y como xSen( )3= 23 x3 Cos( )Ctg( )Sen( )= = x323 xx=y 1xSen3 = As nuestra integral original quedar como: 21Ctg( ) C3 x xSen Cx3= + = + 2 2123 x 3 x xdx Sen Cx x3 = + EJERCI CI OS PROPUESTOS I nt egr al Respuest aI nt egr al Respuest a 1. 2 2x 4 xdx( )Cx 4x 4212+2. + 4 x xdx2 C4 x 2xLn212++ + 3. 2x 25 xdx Cxx 25 - 5Ln512+4. ( )2322x Tan 4dx x SecCx Tan 4 4x Tan2+ 5. 2 2a xdx C a x x Ln2 2+ + 6.+2x 4xdx C x 42 + +7. ( )+2224 xdx x ( )C4 x 2x2xarcTan412++ 8.2x 4 1dx C x 2 arcSen21+Ca h =3Co=x( ) ( )( )()2 222222h Co Ca3 x CaCa 3 x= += +=

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez42 9.+2x x 4dx C x x 4 2 x Ln2+ + + + 10. ( ) 232x x 4 5dxCx x 4 5 92 x2+ + 11. ( )+ +23x x 2x7 e 8 edx e ( )C7 e 8 e 94 ex x 2x++ + + 12. ( )2329 x 4dx ( ) C 9 x 4 x91212+ 13.+2 2x a xdx Cx a axLna12 2++ +14.+ x 2 x 3dx2 C21 xarcSen + 15. ( )+dxx 41 x2 C2xarcSen x 42++ 16.2 2a x xdx CaxarcSeca1+17.2x 5 2dx C25x arcSen51+ 18. ( )232 2x adx Cx a ax2 2 2+ 19. Cos 2 d Sen2 C2 CosarcCos +20. dxx 25x62 C5xarcSen313+21. ( )+2x 9 4dx Cx 9 4x 3Ln412++22. 2 2x 5 xdx Cx 5x 52+23.+2x 9 xdx C3x 9 xLn2++ + 24. 4 w Ln wwdw Ln23 ( ) C 4 w Ln w Ln 8312 2+ +25. + 25 t tdt 24 C t Ln525 25 t Ln514+ + 26. dxxx 42 C x 4xx 4 - 2Ln 222+ + 27. dxx 9x22 C3xarcSen29x 9 x212+ + 28. 9 x xdx2 3 C3xarcSec541x 89 x22++ I nt egr al es que cont i enen ax2+ bx + c ( Compl et aci n de Cuadr ados) 1.- 2xdxx 4x 8 + +2.- x2x x 3/2e dx (e+ 8e+ 7) 3.- 2(y 1)dy5 12y 9y++ EJERCI CI OS PROPUESTOS

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez43 I nt egr al Respuest aI nt egr al Respuest a 1. 2x 4 1dx C x 2 arcSen21+ 2.2x 9 4dx C2x 3arcSen31+3. 2x x 2dx ( ) C 1 x arcSen + 4. ( ) +2x x 2 8dx x - 1 C x x 2 82+ +5.+ 16 x 9dx2 C4x 3arcTan121+ 6. 16 x x 4dx2 C4xarcSec161+7.+ + 2 x 4 x 4dx2( ) C 1 x 2 arcTan21+ + 8.2x 5 2dx C x210arcSen55+9.+ 5 x 2 xdx2 C21 xarcTan21+10.4r 9 16dr r C43rarcSen612+11.( )+ x x 1dx C x arcTan 2 +12. +x 2xe 7dx eC7earcTan71x+13.+ 2 x xdx2C71 x 2arcTan72+ 14. +2x x 2 15dx C4x - 1arcCos +15. Sen 4 d Cos2C Sen 2 Sen 2Ln41++ 16. +x 2xe 1dx e( ) C e arcTanx+17.( )+ ++5 x 4 x 4dx 3 2x2C21x arcTan215 x 4 x 4 Ln412+ + + + +18. + + 5 x 4 xdx x2( ) C 2 x arcTan 2 5 x 4 x 4 Ln212+ + + +19.+ 5 x 2 xdx x2 C 5 x 2 x 1 x Ln 5 x 2 x2 2+ + + + + 20. ( )+2x x 2dx 1 x ( ) C x x 2 1 x arcSen 22+ 21. ( )+ 3 x 4 xdx 1 - x2 C 3 x 4 x 2 x Ln 3 x 4 x2 2+ + + + + 23.+ + 5 x 4 xdx x2 C 5 x 4 x 2 x Ln 2 5 x 4 x2 2+ + + + + + +24. +2x x 4 5dx x C x x 4 532 xarcSen 22+ + 25. 2x x 2 3dx x C x x 2 32x 1arcCos2+ + 26. ( ) +2x x 2 4dx x 2C x x 2 45x 1arcSen2+ +

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez44 27. ( )+ +4 x 6 x 2dx 1 x2 C 2 x 3 x23x Ln2 2522 x 3 x22+ + + ++ 28. 8 x 2 xdx2 C 8 x 2 x 1 x Ln2+ + I nt egr aci n De Funci ones Raci onal es ( Casos IY I I ) Unafuncinracionalesaquellacuyonumeradorydenominadorsonfuncionesracionales(la variable no est afectada porexponentes negativos o fraccionarios). Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, (Fraccin Impropia) esta fraccin puedereducirse a una expresin mixta dividiendo el numerador entre el denominador. Por ejemplo 1 2x x3 5x3 - x x1 2x x3x X2223 4+ + ++ + =+ + + Dondeelltimotrminodeladerechaesunafraccinreducidaasumssimpleexpresin (FraccinPropia),esfcilobservarquex2+x3sepuedeintegrarinmediatamente;porlo que nuestro estudio se centrar en las fracciones propias. Caso ILos factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y ninguno se repite. Ejemplos Ilustrativos: ++dxx 2 x x3 x 22 3 Caso I ILos factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y algunos se repiten Ejemplos Ilustrativos:: + +dxx x 3 x 3 x1 x2 3 43 EJERCI CI OS PROPUESTOS I nt egr al Respuest a I nt egr al Respuest a 1. 4 xdx2C2 x2 xLn41++ 2. ( ) x 2 x xdx 2 x 42 3 ( )C1 xx 2 xLn22++ 3. +2 3x 3 xdxCx 31x3 xLn91+ + 4. ( )x xdx 3 x 532 ( )1 x x C Ln2 35. ( )4 xdx 2 x 52( ) ( )3 22 x 2 x C Ln + 6. ( ) + 4 w 7 w 2dw 11 - 4w2 ( )1 w 24 w CLn3+ 7. +dxx 2 x x4 x x 22 32 ( )C1 x2 x xLn2++ 8. ( ) x x 4dx 1 x 2 x 632 ( )1 x 21 x 2 x CLn413 4 + 9. ( )+21 x xdx C1 xxLn1 x1++++ 10. ( )( ) ( ) 2 x 1 xdx 1 x 2 ( )C1 x2 xLn3+

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez45 11. +dx5 x 4 xx2( ) ( )C 1 x 5 x Ln615 + 12. dx3 x 2 xx2C 1 x Ln413 x Ln43+ + + 13. + + 2 e 3 edt et t 2tCe 2e 1Lntt+++ 14. ++5 x 4 xdx ) 1 x (2C 1 x Ln413 x Ln43+ + + 15. 2 Cos Cosd Sen2 + CCos 1Cos 2Ln31+ + 16. + + 1 x 2 xdx x22C1 x11 x Ln 2 x ++ + 17. + + + 15 23x 9x xdx x2 3 ( )) 1 x ( 5) (xC 3 xLn8156+ + + 18. ( )( ) ( ) 2 x 1 xdx 1 x 2 ( )231) - (xC 2 xLn 19. ( ) ( )+ + 1 x 1 xdx2 ( )C x arcTan211 x1 xLn4122+ +++ 20. + ++dxx 3 x 8 x 43 x 42 3 ( ) ( )Cx3 x 2 1 x 2Ln212++ +21. + +dxx x 41 x 2 x 432 3 ( ) ( )Cx1 x 2 1 x 2Ln21x22+ ++22. ( )( ) ( )+ +221 x 1 xdx x 5 x 3( ) ( ) C1 x11 x 1 x Ln2++ +23. ( )+2 21 x xdxC1 x1x1x1 xLn 2 ++ + 24. ( )dz1 zz32 ( )( )C1 z 211 z21 z Ln2 + 25. ( )( ) ( )+ + 221 x 3 x 2dx 7 x 3 xC 3 x 2 Ln211 x Ln1 x3+ + + ++ 26. ( )+2 34y 2 ydy 8 yC y 2 y Ln 2y4y 22y22+ + + + 27. +dxx 4 x8 x x34 5 ( )( )C2 x2 x xLn x 42x3x35 2 2 3++ + + +28. + 2 x x 2 xdx 42 3 ( )( )C 2 x Ln3161 x1 xLn61x 22x32+ + +++ 29. ( ) ( ) 21 x 2 xdx C1 x2 xLn1 x1++ 30. + x 4 x 4 xdx ) 8 x (2 3Cx2 xLn 22 x3++ 31. ( )++31 x x2)dx (3x C1 xxLn 2) 1 x ( 23 x 42+++++ 32. ( ) ( )+ +2 224 x 2 xdx xC2 x4 xLn 28 x 6 x12 x 52+++++ + +33. ( )+dz4 z1 3z22 ( ) ( )C2 z2 zLn3212 z 1672 z 165++++

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez46 34. + ++ +dx3 x 5 x x17 x 4 x 5 x 3 x2 32 3 4C 3 x 2 x Ln1 x3x 2 x212 2+ + +35. + + + + + dx4 x 4 x 11 x 6 x 917 x 52 x 30 x 242 3 42 3 ( ) ( )( )C1 x32 x 3 311 x 2 x 3 Ln232++ + I nt egr aci n De Funci ones Raci onal es ( Casos I I IyI V) CasoI I ILos factores del denominador son lineales y/o cuadrticos y ninguno de los factores cuadrticos se repite. Ejemplos Ilustrativos:+ x 4 x4dx3 CasoI VLosfactoresdeldenominadorsonlinealesy/ocuadrticosyalgunosdelosfactorescuadrticos se repiten Ejemplos Ilustrativos:( )( )+ + +2231 xdx 3 x 2x EJERCI CI OS PROPUESTOS I nt egr al Respuest a I nt egr al Respuest a 1. + x x 2dx3 1 x 2x CLn2122+ 2. ( )++x 3 xdx 6 x 432 ( ) C 3 x x Ln2 2+ +3. ( ) ( )+ +2 21 x 1 xdx x 2 C x arcTan1 x1+ ++4. +2 4z zdzC z arcTanz1+ 5. ( )( ) ( )+ 4 t 2 tdt 8 t 8 t 222C2 t4 tLn 22++ 6. ( )+ 1 x xdx2 C1 xxLn2++ 7. + ++ + +dz2 y 3 y2 y 2 y y 22 42 3C y arcTan 2 y Ln2+ + +8. 1 xdx x35 ( ) | | C 1 x Ln x313 3+ + 9. ( ) ( )+ dx5 x 2 x 1 x3 - 3x - x 222 ( )( )C21 xarcTan211 x5 x 2 xLn232++ + 10. + + 8 x 6 xdx 6) - x (2 43 ( )C2xarcTan232xarcTan232 x4 xLn22 +++ 11. + 1 xdx3 ( )C31 x 2arcTan311 x - x1 xLn6122++++ 12. + + + 4 x 4 x x7)dx - 3x (2 3 ( )( )C2xarcTan211 x4 xLn22+ ++ + 13. + + x x xdx2 3 ++ + 31 x 2arcTan311 x xx CLn2122

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez47 14. ( )( ) ( )+ ++ +1 t 1 t 2dt 1 t t22( ) ( ) C t arcTan321 t 2 1 t Ln1013 2+ + + +15. + ++ dxx x 2 x2 x x 23 52 ( ) 1 x 2x- x arcTan211 xx CLn2 22++ 16. + 1 xdx 44Cx 1x 2arcTan 21 x 2 x1 x 2 xLn212 22+++ + + 17. ( )+ +dx2 x1 x x223( ) C2xarcTan2 412 x Ln) 2 x ( 4x 22122+ + ++ 18. ( ) ( )+ dx1 x 1 x8 x 422 22 ( ) ( )( )C x arcTan1 x1 xLn1 x 1 x1 x 32222+ ++++ 19. ( ) ( )+ 22221 x x x xdx C) 1 x x ( 31 x 231 x 2arcTan3 310x1 xLn2++ 20. 1 x 16dx4C x 2 arcTan411 x 21 x 2Ln81+ + 21. ( )+229 z 418dz C9 z 4z32zarcTan612+++ 22. 1 xdx 44C x arcTan 21 x1 xLn + + 23. +dx1 x 271 x 2 x32C31 x 6arcTan3 951 x 3 Ln8121 x 3 x 9 Ln16252+++ + +24. ( ) ( )+ +dx4 x 3 x 210 x x22C2xarcTan3 x 24 xLn212+ ++ 25. ( )+2254 tdt t ( ) C4 t84 t Ln 42t222++ + 26. ( )( )++2231 xdx 3x x ( ) C1 x11 x Ln2122++ +27. +dxx 9 x 418 x3C3x 2arcTan61x9 x 4Ln22+ ++ 28. ( )+2241 xdx x C) 1 x ( 2xx arcTan23x2+++ 29. ( )+221 xdxC x arcTan1 x1212+ ++ 30. + + dz5 z 2 z10 z 15 z z 522 3 ( )C5 z 2 z 815 47z -21 - zarcTan16655 z 2 z Ln2522++ ++ + 31. ( )+ +dxx Tan 1x Sec 1 x Sec32 2C31 x Tan 2arcTan32x Tan 1 Ln21++ +

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez48 32. ( ) + +1 x x xdx x x2 32 C x arcTan 1 x Ln + + 33. + +dzy 9 y9 y 9 y 9 y32 3 5 ( ) C 9 y Ln3y 423+ + 34. ( )++ +dx2 x x8 x 2 x 4222 C2xarcTan422 xxLn4 x 2x222+ +++ 35. ( )++dx2 xx 4 x323 5C ) 2 x ( Ln21) 2 x (122 2+ + ++ 36. + + ++ +dz) 2 z 2 z )( 2 z (2 z 3 z 222C 1) (z arcTan 2 z Ln 2 + + + I nt egr alDef i ni da Se lee integral de f(x) desde a hasta b Cuando has hallado el valor de la integral se dice que has evaluado la integral Sea f(x) una funcin definida en el intervalo [a,b], entonces la integral definida de f(x) de ay b denotada por dx ) x ( fba esta dado por: dx ) x ( fba= [F(x) + C] = F(b) F(a) Propiedades de la integral definida 1)0 dx ) x ( faa= 2) =abbadx ) x ( f dx ) x ( f 3) =babadx ) x ( f k dx ) x ( kf4)te c k ) a b ( k dx kba= = 5)| | dx (x) f dx (x) f dx (x) f dx (x) f (x) f (x) fbanba2ba1ban 2 1 = Integrando dx ) x ( fba Signo de la Integral Limite superior de Integracin Limite inferior de Integracin Diferencial, x es la variable de integracin

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez49 6)b c a tq c dx f(x) dx f(x) dx f(x)bccaba< < + = 7)) a b ( mxf dx ) x ( f ) a b ( mnfba siendo el mnf y mx. el mnimo y el mximo relativode la funcin f en el intervalo [a,b] 8) a) | | b a, x g(x) f(x) si dx ) x ( g dx ) x ( fbaba b) | | b a, x0 f(x) si 0 dx ) x ( fba Ejemplos Ilustrativos:1.-( )+5123 2dx 1 x x2.-( ) +02dx 4 x cos EJERCI CI OS PROPUESTOS I nt egr al Respuest a I nt egr al Respuest a 1.33dx 017. r0 2 2x rdx r 2r 2. ( )+21dx 5 x 2 818. 10x 2 3dx 1 3 3. ( )+ 102dx 3 x 2 x 7/319. +2031 xdx x8/3 - Ln 3 4. ( )+112dx 1 x 8/320.( )a02dx x a6a2 5.+20dx 1 x 4 13/321.( ) + +0dx 1 x 3Cos x 2Sen + 46. 0dx x Sen 222. +4021 xdx x5,6094 7. 0dx x Cos 023. 10x 3edx 0,3167 8. 242dxx Senx Cos 1 2 24.( ) +021d 2Cos 2 4 9. 602dx2x Cos2x Sen 1/225. 203 3dx x Cos x Sen 1/12 10. ( )+1031 x 2dx 2/926. 404dx x Sec 4/3 11.( )( )+ 21dx 3 2x 1 x -3/227. 21dx x Ln 1e2Ln 2 +12.( ) +02dx 4 x Cos 23328. 10xdx e e-1 13. + 212dx 2 x 5 x21 029. aa2 2dx x a2a2 14. ( )a03 2dx x x a4a2 30. +a02 2x adx a 4

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez50 15. e0 xdx131. 9129 xdx5 Ln121 16. +322t 1tdt 2 Ln 232. ( )+102xdx1 xxe( ) 2 e21 Longi t ud de Ar co de una Cur v a Pl ana Def. Sea f(x) una funcin continua en el intervalo [a , b]. En base a la grfica de la funcin y = f(x) la cual se muestra en la figura adjunta podemos establecer el arco de la funcin dada como la porcin de la curva desde el punto A=(a ,f(a)) hasta el punto B=(b ,f(b)), al cual podemos asignarunnmerorealcomosulongituddenotadoporLquepuedesercalculadoporla frmula Anlogamente para una curva dada por x = f(y) la longitud de arco entre c y d estara dada por: Ejemplos Ilustrativos: 1.- Calcular la longitud de rea de la curva x 216xy3+ = en el intervalo [1/2 , 2]Resp. 33/16 u.c. 2.- Calcular la longitud de rea de la curvax) Ln(cos y =entre x = 0y4x=

Resp. Ln(2 + 1) ln 1 0,8819 u.c. EJERCI CI OS PROPUESTOS 1.- Calcular la longitud del segmento de la recta y = 3x desde el punto (1 , 3) al punto (1 , 6) Resp.. c . u 102.-Calcular la longitud del segmento de la recta 4x + 9y = 36 desde el punto (-2 , 2) al punto (4 , 0) Resp.. c . u 973.- Encuentre la longitud de arco de la curva 9y2 = 4x3 desde el origen hasta el punto(3 ,3 2 ) Resp. . c . u314 4.- Hallar la longitud de arcode la curva 8y = x4 + 2x-2 desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 2 Resp. . c . u1633 Y=f(x) a b y x A=(a ,f(a)) B=(b ,f(b)) | | dx ) x ( ' f 1 Lba2+ =| | dy ) y ( ' f 1 Ldc2+ =

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez51 5.- Hallar la longitud de arcode la curvay3 = 8x2 desde el punto (1 , 2) hasta el punto (27 , 18) Resp. . c . u ) 125 97 (27123 6.- Calcule la longitud de arcode la curva232) 2 x (31y + =desde el punto donde x = 0 hasta el punto donde x = 3 Resp. 12 u. c. 7.- Obtenga la longitud de arcode la curva ) 1 x 3 ( x31y = desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 4 Resp. . c . u322 8.- Hallar la longitud de arcode la curva1 x y3232= +desde el punto donde x = 1/8 hasta el punto donde x = 1 Resp. . c . u89 9.- Hallar la longitud de arcode la curva1bxay3232= + en el primer cuadrante desde el punto donde x=a81 hasta el punto donde x= a Resp. . c . u) b a ( 8) b 3 a ( a 82 2232 2 3+ 10.- Hallar la longitud de arcode la curva 2 2) 3 x ( x y 9 =en el primer cuadrante desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 3 Resp. . c . u343 2 11.- Hallar la longitud de arco total de la Hipocicloide 32 3232abxay= + Resp. 6a u.c. 12.- Hallar la longitud de arcode la curva y = Ln(x) entre los limites x = 3y x = 8 Resp. . c . u23Ln211 + 13.- Calcular la longitud de arcode la curva y = 1-Ln[cos(x)] entre los limites x = 0 , 4x=

Resp. . c . u83Tan Ln 14.- Hallar la longitud de arcode la curva 23x y =desde el punto (0 , 0) hasta el punto (4 , 8) Resp. ( ) . c . u 1 10 10278 15.- Hallar la longitud de arcode la curva x 413xy3+ =desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 3 Resp. . c . u653 16.- Hallar la longitud de arcode la curva 24y 814yx + = desde el punto donde y = 1 hasta el punto donde y = 2Resp. . c . u32123 17.- Hallar la longitud de arcode la curva 3 2x 4 ) 1 y ( = +desde el punto donde x = 0 hasta el punto donde x = 1 Resp. ( ) . c . u 1 10 10274 18.- Hallar la longitud de arcode la curva y3 = x2 desde el punto (0 , 0) hasta el punto (8 , 4) Resp. 9,07 u.c. 19.- Hallar la longitud de arcode la parbola semicbicax3 = ay2 desde el origen hasta la

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez52 ordenada x = 5a Resp. . c . u27a 335 20.- Calcular la longitud de arcode la curva x 216xy3+ =desde el punto de abscisa x = 1 hasta el punto de abscisa x = 3Resp.. c . u314 21.- Hallar la longitud de arcode la parabola y2 = 2pxdesde el vrtice hasta un extremo del lado recto. Resp. . c . u ) 2 1 ( Ln2p22 p+ + 22.- Calcular la longitud de arcode la curva y2 = x3 desde el punto donde x = 0 hasta el punto donde x = 5/9 Resp. . c . u2719 23.- Calcular la longitud de arco de la parbola 6y = x2 desde el origen hasta el punto (4 , 8/3) Resp. 4,98 u.c. 24.- Determinar la longitud de arco de la curva y = Ln[Sec(x)] desde el origen hasta el punto Ln2 ,3Resp.. c . u ) 3 2 ( Ln +25.- Hallar la longitud del arco de la hiprbola x2 y2 = 9 comprendido entre los puntos (3 , 0) y (5 , 4) Resp. 4,56 u.c. 26.- Hallar la longitud de arcode la parbolay = 4x - x2 que est por encima del eje de las x Resp. 9,29 u.c.27.- Hallar la longitud de arcode la curva 23x y =desde el punto donde x = -1 hasta el punto donde x = 8 Resp. ( ) . c . u 5 , 10 . c . u 16 10 80 13 13271 + 28.- Demostrar que la longitud de una circunferencia de radio r es. c . u r 229.- Hallar la longitud de arcode la curva 32x y =desde el punto (1 , 1) hasta el punto (8 , 4) Resp.. c . u 6 , 7 . c . u 13 402712323 30.- Hallar la longitud de arcode la curva 2123x x31y = desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 9 Resp. . c . u653 31.- Hallar la longitud de arcode la curva1 x23y23+ = en el intervalo [0,1] 32.- Hallar la longitud de arcode la curva 35x 6110xy + =en el intervalo [1,2] 33.- Hallar la longitud de arcode la curva2e eyx x += en el intervalo [0,2] 34.- Hallar la longitud de arcode la curva 1 x23y23+ = en el intervalo [1,8] 35.- Hallar la longitud de arcode la curva1 x23y23 =en el intervalo [0,4] 36.- Hallar la longitud de arcode la curva y 214yx4+ =en el intervalo [1,2] 37.- Hallar la longitud de arcode la curva 3283 34x x43y =desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 8

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez53 38.- Hallar la longitud de arcode la curva 4 x 41x x x31y2 3++ + + = desde el punto donde x = 0 hasta el punto donde x = 2 r ea baj o una cur va Def. Sea R la regin acatada por la curva y = f(x) el eje x y las rectas verticales x = a , x = b. Entonces la medida del rea de la regin R est dado por: Ejemplos Ilustrativos: 1.- Hallar el rea acotada por la parbola y 1 = x2 y la recta x = 3 2.- Hallar el rea del circulo x2 + y2 = 9Resp.. c . u 923.- Hallar el rea acotada por la curva y = (x 1)3 y las rectas x = -1 , x = 5 Resp. 60 u2.c.

r ea ent r e dos cur vas Sea f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(x) g(x) a lo largo de [a,b] entonces el rea de la regin entre las curvas y = f(x) y y = g(x) desde x=a, hasta x = b esta dada por: Ejemplos Ilustrativos: En los siguientes ejercicios calcular el rea de la regin acotada por las curvas dadas: 1.- y = 3 x2;y = x+1 Resp. 9/2 u2.c. 2.- y = x2 4 ; y = -x2 2xy la rectax= -3 Resp. 38/3 u2.c. R 2 dx Y=f(x) a b y x (x ,f(x)) =badx ) x ( f Adx y R Y=f(x) a b x (x ,f(x)) (x ,g(x)) Y=g(x) | | =badx ) x ( g ) x ( f Af(x) g(x) f(x)-g(x) 2 2

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez54 r ea de una Regi n en Coor denadas Car t esi anas EJERCI CI OS PROPUESTOS En los siguientes ejercicios calcule el rea acotada por las curvas dadas Cur v as Resp. Cur v asResp. 1.x eje ; x - 4 y2= c u2322 2. 0 1 y x0; 1 y x2= + = + c u612 3.4 x 0; x ; x y3= = = c u 6424.19 1 x y ; 1 3x y + = + = c u232 5.3 x 1; x ; x - 4 y2= = = c u32226.-2 y 0; x ; y 2 x2 3= = =c u5122 7.3 x 0; x ; x - 9 y2= = = c u 1828.21 2 y x ; x y2+ = = c u292 9.3 x ; 2 x x; eje 1; x x y2= = + + =c u6592 10.-x y ; x - 2 y2= = c u292 11.3 x ; 3 x x; eje x; 2 3x x y2 3= = + + = c u 54212.23 2 y x ; x y2+ = = c u 62 13.x eje 12; - x x y2 + =c u6343214.3 x 1; - x y2= =c u 338215.b x ; a x x; eje ; k xy2= = =c uabLn k2 2 16.1 x y ; x - 3 y2+ = = c u292 17. 3 2 x ; 3 x x; eje ; x Sen y = = =c u 1218. 3x y ; x y = = c u1252 19.0 y 4x; x y2= = c u2322 20.-8 y 0; 4 y x2= = + +c u3322 21.3 3x y 1; x 2 x y2+ = + + = c u292 22.0 4 3y - x ; x y2 3= + = c u10272 23.1 x ; 1 x 1; - x y ; x y2= = = = c u37224. x 4 x 2 y2x; 3x x y22 3+ =+ + =c u12372 25. -4 y y; - x2= =c u3322 26. 2 2y - 6 x ; 2 - y x = = c u3642 27. 0 y 0; x ; x Sen - x Cos y = = =( ) c u 1 22 28. 0 y ; x 2 y x; y = = =c u 12 29. x 3 x 2 x y9x; - 3x - 2x y2 32 3 ==c u122532 30. Slidos de Revolucin Es un slido que se obtiene al girar una regin en un plano alrededor de una recta en el plano llamadaejederevolucin,lacualtocalafronteradelaregin,onocortalareginenun punto Ejemplos: 1.- Si la regin limitada por una semicircunferencia y su dimetro se hace girar sobre si mismo se genera una esfera (Fig. No. 1).

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez55 2.- Si la regin acotada por un tringulorectngulo se hace girar sobre uno de sus catetos se genera un cono recto circular (Fig. No.2). Volumen de un slido deRevolucin. Mtodo del Disco Este mtodo se usa cuando el eje de revolucin es una frontera de la regin que se hace girar y el rectngulo auxiliar es perpendicular al eje de revolucin. Definicin:Seafunafuncincontinuaenelintervalo[a,b]yf(x)0 x [a,b].Si denotamos por S el solid de revolucin obtenido el girar alrededor del eje x la regin limitada porlacurvay=f(x)elejexylasrectasverticalesx=a x=bysielvolumendelsolidode revolucin S lo denotamos por V unidades cbicas entonces: 1.-Hallarelvolumendelsolidderevolucingeneradoalgiraralrededordelejexlaregin acotada por la curva f(x) = x3 eje x y la recta x = 2 Sol. V=128 /7U3C 2.- Encuentre por integracin el volumen de un cono recto circular de altura h y base b. Fig. No.2 y x=a Y=f(x) Y=f(x)=r dx x=b dx Eje de revolucin x dx [f(x)] V2 =Eje de Revolucin Horizontal dy [f(y)] V2 =Eje de Revolucin Vertical Fig. No.1

Guia de Clculo II Pg. Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez56 3.- Determine el volumen del slido de revolucin generado si la regin limitada por un arco de la senoide es girada alrededor del eje x Sol. V=2 /2U3C EJERCI CI OS PROPUESTOS En los ejercicios del 1 al 8 hallar el volumen del slido de revolucin que se genera cuando la regin indicada en la figura adjunta a la derecha, es girada sobre el eje dado.1.- La regin R1 girada alrededor del eje X Sol. 64 U3 C. 2.- La regin R1 girada alrededor de la recta x=4Sol. 1024/35 U3 C. 3.- La regin R1 girada alrededor de la recta y=8Sol. 704 /5 U3 C. 4.- La regin R1 girada alrededor del eje Y Sol. 512 /7 U3 C. 5.- La regin R2 girada alrededor del eje X Sol. 192U3 C. 6.- La regin R2 girada alrededor de la recta x=4Sol. 3456/35 U3 C. 7.- La regin R2 girada alrededor de la recta y=8Sol.576 /5 U3 C. 8.- La regin R2 girada alrededor del eje Y Sol. 384 /7 U3 C. En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del slido de revolucin que se genera al girar alrededor del eje X la superficie limitada por las curvas dadas.9.- /7 128 Sol. 2 x ; 0 y y; x3 = = = 10.- 3 3 2 41Sol. x ; 0 y ; x ay a a = = = 11.- Una arcada de y = Cos(2x) 2 41Sol. 12.- ) 1 (21Sol. 5 x ; 0 x ; 0 y ; e y10 x - = = = = e 13.- 48 Sol.144 y 16 9x2 2= + 14.- ) 1 (41Sol. 1 x ; 0 y ; xe y2 x = = = e En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del slido de revolucin que se genera al girar alrededor del eje Y la superficie limitada por las curvas dadas.15.- /5 64 Sol. 2 x ; 0 y y; x3 = = = 16.- 732Sol. 2 x ; 0 y ; x 2y3 2= = = 17.- Sol.20 x ; 0 y ; e yx= = = 18.- 64 Sol.144 y 16 9x2 2= + Est a i nf or maci n ha si do Pr oduci da Recopi l ada yTr anscr i t a por :Pedr o R.Gudez yCar men L.Gudez Se pr ohbe su r epr oducci n t ot alo par ci alcon f i nes comer ci al es o de l ucr o 3 2x y =( ) 8 , 4R1 R2 A B C O ( ) 0 , 4( ) 8 , 0