Problemas de Cálculo II

CÁLCULO II

Cálculo diferencial en varias variables

01.- Sea la función f(x,y) definida de la siguiente forma para todo (x,y) de :

a) Calcule para cualquier (x,y) de las expresiones de

y

b) Calcule para qué direcciones de existen las derivadas direccionales

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02.- Sea , función de y , función de

. Hallar y y evaluar .

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03.- Sea la función definida de la siguiente forma en todo de :

a) Dibuje el conjunto de puntos del plano donde f no está definida.

b) Calcule para el punto de las expresiones de

y

.

c) Analice la continuidad de en el origen (utilice la trayectoria ).

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04.- Hallar los planos tangentes a las siguientes superficies en los puntos indicados:

a)

b)

c)

Solución: a) 3x+8y+3z=20; b)

; c) x+y+z=3

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Problemas de Cálculo II

Optimización

01.- Hallar los máximos y mínimos de la función:

, definida en el disco

Solución: a) máximo en (2,8); b) mínimo en (0,0) y Máximos en

y

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02.- Sea . Determinar los puntos extremos de f situados sobre la curva

Solución: Máximos en (2,0) y (-2,0), y mínimos en (0,1) y (0,-1)

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03.- El plano corta al cilindro en una elipse. Hallar los puntos de la

elipse más lejanos y más cercanos del origen.

Solución: punto más alejado

, puntos más cercanos (1, 0, 0) y (0, 1, 0)

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Funciones Vectoriales

01.- Determine la distancia recorrida por una partícula que describe una trayectoria:

desde el instante t=1 hasta llegar al punto (48,-16,-24) y la

velocidad |v| en ese punto.

Solución: L=49; |v(2)|=84

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02.- Determine el triedro de Frenet-Serret, la curvatura y la torsión de una partícula que

describe la trayectoria para el instante t.

Solución:

sin ; =12 ; =12; =0

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Integrales Dobles

01.- Evaluar las siguientes integrales iteradas:

a)

b)

c)

d)

Problemas de Cálculo II

Solución: a)

; b)

; c) 1; d)

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02.- Determina el volumen bajo el plano z=4-x-y, en la región [0,2]x[0,1] aplicando el principio

de Cavalieri.

Solución: 5

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03.- Determina el volumen bajo la función , en la región [0,1]x[0,2]

aplicando el teorema de Fubini.

Solución: 86/3

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04.- Determina la integral de la función 2x2y-2+2y en el interior de la región delimitada por las

curvas y=x, y=1, x=2.

Solución: 3

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05.- Determina el área de la región comprendida entre las curvas y=x2, y=x+2.

Solución: 9/2.

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06.- Determina el volumen de la región comprendida entre las superficies:

Solución:

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07.- Determina el área encerrada dentro de la lemniscata

Solución: 4

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08.- Evaluar la integral:

Siendo R la región de plano comprendida entre el eje y=0 y la curva

Solución:

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09.- Calcular el centroide de la región del primer cuadrante que está limitada superiormente

por la recta y=x e inferiormente por la parábola y=x2.

Solución:

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Problemas de Cálculo II

10.- Evaluar la integral:

Siendo R = [-1, 1] x [0, 1]

Solución:

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11.- Evaluar la integral:

donde R = [0, 1] x [0, 1], haciendo T(u, v) = (u, v/2) y evaluando una integral sobre D*,

donde T(D*)=D.

Solución:

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Integrales Triples

01.- Determina el volumen del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,1,0), (0,1,0) y (0,1,1).

Solución: 1/6

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02.- Evaluar la integral:

Siendo E la región comprendida bajo el plano z=x+2, por encima del plano OXY y entre los

cilindros x2+y2=1, x2+y2=4.

Solución: 0

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03.- Evaluar la integral:

Siendo E la región comprendida bajo el hemisferio superior de la esfera x2+y2+z2=1.

Solución: 8

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04.- Hallar la masa del elipsoide dado por la ecuación 4x2 + 4y2 + z2 = 16 que descansa sobre el

plano XY. La densidad en un punto del elipsoide es proporcional a la distancia entre el

punto y el plano XY.

Solución: 16

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Problemas de Cálculo II

05.- Calcular el momento de inercia alrededor del eje de simetría del sólido limitado por el

paraboloide z = x2 + y2 y el plano z=4. La densidad en cada punto es proporcional a la

distancia entre el punto y el eje z.

Solución:

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Integrales sobre trayectorias y superficies

01.- Evaluar las siguientes integrales de trayectorias

, donde

Solución: a) , b) 0, c)

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02.- Hallar la masa de un alambre que sigue la intersección de la esfera x2+y2+z2=1 y el plano

x+y+z=0 si la densidad en (x, y, z) está dada por ρ(x, y, z)= x2 gramos por unidad de

longitud del alambre.

Solución: 2/3

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03.- Considerar la fuerza . Calcular el trabajo realizado al mover una

partícula a lo largo de la parábola , , de a .

Solución: 9

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04.- Una ciclista sube una montaña a lo largo de la trayectoria que se muestra en la figura.

Realiza una revolución alrededor de la montaña para llegar a la cima, mientras que su

velocidad de subida es constante. Durante el viaje, ella ejerce una fuerza descrita por el

campo vectorial . ¿Cuál es el trabajo realizado por la ciclista

al viajar de A a B?

Problemas de Cálculo II

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05.- Considerar la superficie en R3 parametrizada por , 0 r 1 y 0

4.

a) Esbozar y describir la superficie. Ver resolución (1/3)

b) Hallar una expresión para una normal unitaria a la superficie. Ver resolución (2/3)

c) Hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie en el punto (xo, yo, zo).

Ver resolución (3/3)

Solución: a) Helicoide. Similar a una rampa en espiral alrededor del eje z.

b)

c)

06.- Dada una esfera de radio 2 con centro en el origen, hallar la ecuación para el plano que es

tangente a ella en el punto (1, 1, ), considerando la esfera como:

a) Una superficie parametrizada por ;

b) Una superficie de nivel de ; y

c) La gráfica de .

Solución:

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07.- Un toro, T, se puede representar paramétricamente por la función , donde

está dada por las funciones coordenadas , ,

; D es el rectángulo [0, 2] X [0, 2], esto es, 0 2, 0 2 y R es

constante y mayor que 1. Demostrar que su área superficial viene dada por la expresión

42R.

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08.- Hallar el área de la parte de la esfera unitaria cortada por el cono .

A

B

Problemas de Cálculo II

Solución:

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09.- Calcular

donde S es la superficie del tetraedro con lados z=0, y=0, x+z=1 y x=y.

Solución:

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10.- Evaluar

, donde S es el triángulo con vértices (1,0,0), (0,2,0) y (0,1,1).

Solución:

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11.- Sea la temperatura de un punto en dada por . Calcular el flujo

de calor a través de la superficie , 0 y 2, si k=1.

Solución: 482

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12.- Calcular el flujo de calor a través de la esfera unitaria si . ¿Puedes

interpretar físicamente el resultado?

Solución: 0

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Teoremas integrales del cálculo vectorial

01.- Evaluar la integral de línea

, donde C es el cuadrado cortado en el primer

cuadrante por las rectas x=1 e y=1.

Solución: 3/2

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02.- Usar el teorema de Green para hallar el área de un lazo de la rosa de cuatro hojas

.

Solución: 9/8

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03.- Usando el teorema de la divergencia, mostrar que

, donde

y D es el disco unitario. Verificar esto directamente.

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04.- Sea el campo vectorial

y C la frontera del

dominio limitado por la curva y=ln x y las rectas y=0 y x=2.

Problemas de Cálculo II

a) Calcula la integral de F a lo largo de C recorrida en sentido positivo aplicando el

teorema de Green.

b) Calcula la integral de F sobre el arco de curva y=ln x desde el punto A=(1, 0) hasta el

punto B=(2, ln 2).

Solución: a)

; b) -2 cos 2 + sen 2 + cos 1 – sen 1 -

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05.- Evaluar

, donde S es la superficie x2+y2+3z2=1, z0 y F=yi-xj+zx3y2k. (Hacer

que n, la normal unitaria apunte hacia arriba).

Solución: -2

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06.- Sea F= (2xyz + sen x)i + x2zj+x2yk. Hallar una función f tal que F = f y calcular el trabajo

de F a lo largo de la trayectoria dada por = (cos3 t, sen3 t, t4), 0 t .

Solución: f = x2yz – cos x + C; W=0

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07.- Sea F= x3i + y3j+z3k. Evaluar la integral de superficie de F sobre la esfera unitaria.

Solución: 12/5

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Problemas de Cálculo II

Problemas de Cálculo II

Ver resolución del problema de “el planímetro”