ESCUELA:

PONENTE:

CÁLCULO II – INTEGRACIÓN

CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

CICLO:

Ing. María del Carmen Cabrera L.

Octubre 2009 – Febrero 2010

1

BIMESTRE: I Bimestre

Definición

Función primitiva o antiderivadaFunción primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la solución dada.

F'(x) = f(x)

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral Indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee : integral de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de

la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar

cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C

Línealidad de la integral indefinida

La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Ejercicios 1. G

2. g

dx

x

xxx2

232

Cxxxdx

xxdx

x

xxxln

112

2 22

23

Integrales definidas

Integrales definidas

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.Se representa por

∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable

de la función que se integra.

a

b

dxxf )(

Propiedades de las integrales definidas

El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

Propiedades de las integrales definidas(2)

Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

Teorema Fundamental del Cálculo

La derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.

Regla de Barrow

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

)()()()( aGbGxGdxxf ba

b

a

Regla de Barrow (ejercicio)

1. j

3

81

2

1

3

1

4

31

2

1

3

1

4

3

234

3)13(

13

1

1

2341

1

23

1

1

23

xxxx

dxxxx

dxxxx

Integración por partes

El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Integración por partes (2)

Se debe considerar :Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Integración por partes (3)

1. h

Integración por partes (4)

2.h

Integración por Sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.

El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

CuFdxuuf )(')('

Pasos - Integración por Sustitución

1. Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

dxuuf ')('

ut dxudt '

dttfu

dtutf )(''

')('

Pasos - Integración por Sustitución(2)

2. Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:

3. Se vuelve a la variable incial:

dttfdttf )()('

CufCtf )()(

Pasos - Integración por Sustitución (ejercicio)

Integrales racionales

En la integración de funciones racionales se trata de

hallar la integral , siendo P(x) y Q(x) polinomios.

En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor que el de Q(x), si no fuera así se dividiría.

dxxQ

xP

)(

)(

dxxQ

xRdxxCdx

xQ

xP

)(

)()(

)(

)(

Integrales racionales (2)

C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división polinómica.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes casos:

Integrales racionales (3)

El denominador tiene solo raíces reales simples

La fracción P(x)/Q(x) puede escribirse así:

A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

)...)()(()( cxbxaxxQ

...)()()()(

)(

cx

C

bx

B

ax

A

xQ

xP

Integrales racionales (ejemplo)

d

Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

212

15223

2

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

)2)(1(

)1()2()2)(1(

xxx

xCxxBxxxA

)1()2()2)(1(152 2 xCxxBxxxAxx

Integrales racionales (ejemplo)

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

Se calculan integrales de las fracciones simples

2

1

0

x

x

x

)3)(2(3

)3)(1(6

)2)(1(1

C

B

A

2/1

2

2/1

C

B

A

22

1

12

2

1

2

15223

2

x

dx

x

dx

x

dxdxxxx

xx

Cxxx )2ln(2

1)1ln(2)ln(

2

1

GRACIAS

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