Metodo Grafico Parte 3

7/25/2019 Metodo Grafico Parte 3

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE ALTAMIRA Investigacin de Operaciones

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Ing. Efran Padilla Ayala |

METODO GRAFICO

Para resolver problemas pequeos, es decir, problemas con dos productos o variables, esposible utilizar el mtodo grfico. Aunque este procedimiento no sirve para resolver problemas

que tengan mas de dos variables, resulta til para ilustrar tanto el proceso de solucin como lascaractersticas de una solucin ptima o de mximas utilidades.

Pasos del procedimiento

Son cuatro los pasos que deben seguirse para resolver en forma grfica un problema, primeroplantearemos esos pasos y despus los ilustraremos, los pasos son:

1. Plantear en forma matemtica el problema2. Graficar o trazar las restricciones3. Graficar la funcin objetivo

4. Determinar los valores de las variables en el punto que arroje las mximas utilidades

Paso 1: p lantear el p robl ema en trm ino s m atemtico s

El planteamiento del problema implica un procedimiento que a su vez consta de 3 pasos:

Definir las variables de decisin Plantear en trminos matemticos la funcin objetivo o de utilidad Plantear en trminos matemticos las restricciones sobre los recursos

Para un ejemplo de Agro-Tech ya se definieron las variables como: x1= (ton. A fabricar de 5-5-10) y x2= (ton. A fabricar de 5-10-5) Se concluyo que la utilidad proporcionada por x1 es de $18.5 y por x2de $20 Es necesario recordar que cada producto se fabrica con nitrato, fosfato, potasio e

ingredientes inertes en las proporciones que se especifican en las cifras que se utilizanpara identificar los fertilizantes, existen restricciones para los primeros 3 ingredientes.

De nitrato existen un total de 1100 ton. Disponibles, y para la fabricacin, x1 necesita0.05 ton. Y x2necesita 0.05 ton.

De fosfato existen un total de 1800 ton. Disponibles, y para la fabricacin, x1 necesita0.05 ton. Y x2necesita 0.10 ton.

De potasio existen un total de 2000 ton. Disponibles, y para la fabricacin, x1 necesita

0.10 ton. Y x2necesita 0.05 ton.


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Utilizando los valores que se calcularon antes para la contribucin de las utilidades es posibleplantear la funcin objetivo de la siguiente manera:

Maximizar: Z= 18.5 x1+ 20 x2

Esta funcin objetivo esta sujeta a restricciones sobre los recursos.Puede plantearse en trminos matemticos la relacin para el uso del nitrato de la siguientemanera:

0.05 x1 + 0.05 x2 1100

para el fosfato la restriccin es:

0.05 x1 + 0.10 x2 1800

para el potasio la restriccin es:

0.10 x1 + 0.05 x2 2000

asimismo es necesario recordar que no son posibles niveles negativos de produccin, por loque tambin deben incluirse restricciones de no negatividad

x1 + x2 0

en conjunto, el problema puede plantearse de la siguiente manera:

Maximizar: Z= 18.5 x1+ 20 x2Sujeto a:

0.05 x1 + 0.05 x2 1100

0.05 x1 + 0.10 x2 1800

0.10 x1 + 0.05 x2 2000

x1 + x2 0

Paso 2: Graficar las restr icc ion es.

Dado a que se tienen 2 variables solo se requieren dos dimensiones para graficar el problema.En el eje horizontal mediremos la produccin del fertilizante representado por X1, y en el eje

vertical mediremos la produccin del fertilizante representado por X2.

Al igual que con cualquier relacin lineal de desigualdad puede graficarse trazando primero dospuntos. En este caso, la forma mas simple de trazar las desigualdades es igualar X1=0 ydespejar X2, despus, hacer el caso inverso.


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As, para la primer restriccin tenemos:

(0.05) (0) + 0.05 X2= 1100

X2= 22,000y0.05 X1+ (0.05) (0) = 1100 X1= 22,000

X2

22,000

0.05 X1 + 0.05 X2 = 1100

X122,000

la parte sombreada de la figura representa la desigualdad. Cualquier solucin que caiga en estaregin sombreada satisface la desigualdad.

Graficando las 3 restricciones tenemos:

X2

22,000 0.10 X1 + 0.05 X2 = 2000

0.05 X1 + 0.05 X2 = 1100

0.05 X1 + 0.10 X2 = 1800X1

22,000

es importante identificar y considerar:

Regin no negativa. La que se encuentra a la derecha del eje X2 y por encima del eje X1, porique solo se permiten niveles de produccin no negativos.

ReginFactible


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Regin factible. Obsrvese que existe una regin sombreada en la grfica que satisface enforma simultnea a las 3 restricciones, sta regin se denomina regin factible. Cualquier puntode la regin factible es una posible solucin para el problema original.

Paso 3: Graf icar la funcin ob jet ivo

Para graficar la funcin objetivo es necesario considerar diversos niveles de utilidad. Cuando segrafica la funcin objetivo para cada nivel de utilidad, se forma una recta de isoutilidad (a lolargo de la cual las utilidades son iguales). Para maximizar las utilidades debe encontrarse larecta de isoutilidad que est ms alejada del origen, pero que se mantenga en contacto con laregin factible.

Paso 4: Enco ntrar el punto con ms altas uti l idades

En primer lugar, los puntos que resulta necesario considerar para buscar el ptimo son los quese encuentran sobre la frontera o parte externa de la regin factible.En segundo lugar, los nicos puntos sobre la frontera que es necesario considerar son lasesquinas.Una solucin ptima para un problema de PL siempre ocurre en un vrtice de la regin factible


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CASOS ESPECIALES EN LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL(METODO GAFICO)

Soluc ion es ptim as AlternativasA partir del anlisis que se hizo del procedimiento grafico de solucin, se sabe que puedenencontrarse las soluciones optimas en los puntos extremos de la regin factible. Considrese

ahora el caso especial en el que la recta de la funcin objetivo optima coincide con la de algunade las restricciones limitantes que se encuentran en el extremo de la regin factible. Esto puedeconducir al caso de soluciones ptimas alternas; en estos casos, el valor ptimo de la funcinobjetivo se obtiene a partir de ms de una solucin.

Como ejemplo de las soluciones optimas alternativas, se regresa al problema de Par, Inc., quetiene cuatro restricciones, sin embargo ahora se supone que la utilidad proveniente de la bolsaestndar (x1) ha disminuido a $6.30, la funcin objetivo modificada se convierte en 6.3x1+ 9x2.

Maximizar: Z = 10x1+ 9x2Sujeto a:

7/10 x1 + 1 x2 630 corte y teido

1/2 x1 + 5/6 x2 600 costura1 x1 + 2/3 x2 708 terminado

1/10 x1 + 1/4 x2 135 inspeccin y embalajex1 + x2 0

En la figura se muestra la solucin grafica del problema. Obsrvese que la solucin optimasigue ocurriendo en un punto extremo, de hecho, ocurre en dos extremos: (300, 420) y (540,252).

Los valores de la funcin objetivo en estos dos puntos extremos son idnticos:

Z = 6.3x1+ 9x2= 6.3(300) + 9(420) = 5670Z = 6.3x1+ 9x2 = 6.3(540) + 9(252) = 5670

Adems, cualquier punto que se encuentra sobre la recta que une a los puntos extremosptimos tambin ofrece una solucin ptima. Por ejemplo, el punto de solucin (420, 336), que

(300,420)

(540,252)

Z = 6.3x1+ 9x2= 5670


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se halla a la mitad entre los dos puntos extremos, tambin proporciona el valor ptimo de lafuncin objetivo:

Z = 6.3x1+ 9x2 = 6.3(420) + 9(336) = 5670

No Fact ibi l idad

Ocurre la no factibilidad cuando no existe ninguna solucin de un problema de programacinlineal que satisfaga todas las restricciones, incluyendo las condiciones de no negatividad.

Grficamente, la no factibilidad significa que no existe una regin factible; es decir, no existenpuntos que satisfagan todas las restricciones y todas las condiciones de no negatividad enforma simultanea.

Tomando nuevamente el problema de Par, Inc. Supngase que los administradores hanespecificado que se deben fabricar cuando menos 500 bolsas estndares y cuando menos 360de lujo. La grafica de la regin de soluciones se construye para ilustrar estos nuevosrequerimientos.

Puntos quesatisfacen los

requisitos mnimosde produccin

Puntos quesatisfacen las

restricciones de losdepartamentos


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No A cotamiento

La solucin de un problema de programacin lineal es no acotada si el valor de la solucinpuede ser infinitamente grande, sin violar ninguna de las restricciones. A esta condicin se le

podra denominar utopa gerencial. Si ocurriera tal condicin en un problema de maximizacinde utilidades, seria un hecho que los administradores pudieran lograr utilidades ilimitadas.

En los modelos de programacin lineal de problemas reales, la ocurrencia de una solucin noacotada significa que el problema se ha planteado en forma inapropiada. Se sabe que no esposible aumentar las utilidades en forma indefinida.

Como ilustracin, considrese el siguiente problema:

Max 20x1 + 10x2Sujeto a.

1x1

21x2 5x1, x2 0

Obsrvese que solo puede sealarse una parte de la regin factible, puesto que se extiende enforma indefinida en la direccin del eje X1. Observando las rectas de la funcin objetivo seaprecia que la solucin a este problema puede hacerse tan grande como se desee.

Z = 20x1+ 10x2= 80

Z = 20x1+ 10x2= 160

Z = 20x1+ 10x2= 240

Regin Factible

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